ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Διανύσματα - Διανυσματικές Συναρτήσεις

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Διανύσματα - Διανυσματικές Συναρτήσεις Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος a) Να βρεθεί η ευθεία που διέρχεται από το σημείο P (5,,3) και είναι παράλληλη προς το διάνυσμα iˆ+ 4ˆj kˆ b) Επίσης να βρεθούν άλλα σημεία της α) Για να γράψουμε την εξίσωση μιας ευθείας χρειαζόμαστε ένα σημείο από το οποίο αυτή θα διέρχεται και ένα διάνυσμα ως προς το οποίο αυτή είναι παράλληλη. Ακριβώς αυτά είναι τα δεδομένα μας, επομένως η παραμετρική μορφή της εξίσωσης της ευθείας προκύπτει άμεσα ως: x= 5 + y = + 4 z = 3 () ή αν επιλύσουμε κάθε εξίσωση ως προς μπορούμε να πάρουμε τη συμμετρική μορφή των εξισώσεων: x 5 y z 3 = = () 4 β) Για να βρεθούν άλλα σημεία της ευθείας, θέτουμε αυθαίρετα τιμές στο στις () Έστω = x= 6, y = 5, z = (6,5,) ( ) = 4, 3,5 a) Να βρεθεί η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία A(, 4, 3) και B(3,,) b) Σε ποιο σημείο τέμνει η ευθεία αυτή το επίπεδο xy

α) Θέλουμε ένα σημείο από το οποίο θα διέρχεται η ευθεία, έστω το Α(,4,-3) (θα μπορούσαμε αντίστοιχα να χρησιμοποιήσουμε το Β). Επίσης χρειαζόμαστε ένα διάνυσμα παράλληλο προς την ευθεία. Αυτό θα είναι το διάνυσμα με άκρα τα σημεία Α και Β. AB = 3, 4, ( 3) =, 5, 4 Επομένως έχουμε: x= + y = 4 5 z = 3 + 4 () ή x y 4 z + 3 = = 5 4 () b) To επίπεδο xy έχει εξίσωση z = 0 (3) Το σημείο τομής (x,y,z) θα βρίσκεται τόσο πάνω στην ευθεία όσο και πάνω στο επίπεδο. Επομένως οι συντεταγμένες του θα πρέπει να ικανοποιούν και την εξίσωση της ευθείας αλλά και την εξίσωση του επιπέδου. Έτσι πρέπει να βρούμε τις κοινές λύσεις των () και (3). Θέτοντας την (3) στις () παίρνουμε x 3 = x = x y 4 0+ 3 4 = = 4 5 4 y 4 3 = y = 5 4 4 Επομένως το ζητούμενο σημείο είναι το,,0 4 4 Έστω οι ευθείες L : x= +, y = + 3, z = 4 L : x=, s y = 3 + s, z = 3+ 4s Να δειχθεί ότι είναι ασύμπτωτες: δεν τέμνονται και δεν είναι παράλληλες (και συνεπώς δεν είναι συνεπίπεδες)

Η L είναι παράλληλη στο διάνυσμα: v =, 3, L είναι παράλληλη στο διάνυσμα: v =,, 4 Η Επειδή το v δεν μπορεί να γραφεί ως πολλαπλάσιο του v, συνεπάγεται πως τα διανύσματα δεν είναι παράλληλα. Τώρα, αν η L έτεμνε την L τότε θα υπήρχαν τιμές και s ώστε + = s + 3 = 3 + s 4 = 3 + 4s Όμως το σύστημα είναι αδύνατο καθώς οι δύο πρώτες εξισώσεις δίνουν 8 =, s =, οι οποίες τιμές δεν ικανοποιούν την τρίτη εξίσωση. 5 5 Να βρεθεί επίπεδο που διέρχεται από το σημείο (,4,-) και είναι κάθετο στο διάνυσμα n =,3, 4 Για να γράψουμε την εξίσωση του επιπέδου χρειαζόμαστε ένα σημείο από το οποίο το επίπεδο διέρχεται και ένα κάθετο προς το επίπεδο διάνυσμα. Τα δεδομένα μας είναι ακριβώς αυτά, επομένως η εξίσωση του επιπέδου προκύπτει άμεσα ως: ( x ) + 3( y 4) + 4( z+ ) = 0 x+ 3y+ 4z = Για να σχεδιάσουμε πρόχειρα το επίπεδο μπορούμε να βρούμε τις τομές του επιπέδου με τους άξονες: z (0,0,3) x= 0, y = 0 z = 3 x= 0, z = 0 y = 4 y y = 0, z = 0 x= 6 (0, 4,0) x (6,0,0) 3

Να βρεθεί το επίπεδο που διέρχεται από τα σημεία P(,3,), Q(3,-,6) και R(5,,0) Χρειαζόμαστε ένα σημείο από το οποίο διέρχεται το επίπεδο, έστω το P(,3,). Επίσης χρειαζόμαστε και ένα κάθετο προς το επίπεδο διάνυσμα. Αυτό το παίρνουμε ως εξής: Αρχικά δημιουργούμε από το σημεία P,Q,R τα διανύσματα a = PQ =, 4, 4 b = PR = 4,, Τα διανύσματα αυτά ανήκουν στο επίπεδο. Ένα διάνυσμα κάθετο στο επίπεδο θα είναι κάθετο και στο α και στο b. Έτσι ένα τέτοιο διάνυσμα μπορεί να προκύψει μέσω του εξωτερικού γινομένου: iˆ ˆj kˆ n = a b = 4 4 = ( 4)( ) 4( ), ( ) + (4)(4), ( ) ( 4)4 =, 0,4 4 Επομένως η εξίσωση του ζητούμενου επιπέδου θα είναι η ( x ) + 0( y 3) + 4( z ) = 0 6x+ 0y+ 7z = 50 Να βρεθεί το σημείο που η ευθεία x= + 3, y = 4, z = 5+ τέμνει το επίπεδο 4x+ 5y z = 8 Αντικαθιστούμε τα xyz,, στην εξίσωση του επιπέδου: 4( + 3 ) + 5( 4 ) (5 + ) = 8 0+ 0 = Επομένως ( ) x= + 3( ), y = 4( ), z = 5 + ( ) 4,8,3 4

a) Να βρεθεί η γωνία μεταξύ των επιπέδων x+ y+ z = και x y+ 3z = b) Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που προκύπτει από την τομή τους a) Βρίσκουμε τα κάθετα διανύσματα προς τα επίπεδα n =,, n =,, 3 Και στη συνέχεια βρίσκουμε την μεταξύ τους γωνία n n () + ( ) + (3) θ = = = θ = n n + + + 4 + 9 4 4 o cos cos 7 b) L Αρχικά πρέπει να βρούμε ένα σημείο της L. Αφού η L ανήκει και στα επίπεδα, το σημείο αυτό πρέπει να ικανοποιεί και τις εξισώσεις των επιπέδων. Οι δύο εξισώσεις των επιπέδων δίνουν ένα σύστημα εξισώσεων με 3 αγνώστους. Το σύστημα είναι αόριστο και έχει άπειρες λύσεις. Εμείς επιθυμούμε μία από αυτές. Δίνοντας λοιπόν αυθαίρετα στον ένα άγνωστο μία τιμή π.χ. z = 0 δημιουργείται ένα σύστημα εξισώσεων με αγνώστους το οποίο επιλύουμε παίρνοντας: x+ y = x= z = 0 x y = y = 0 Επομένως υπάρχει μοναδική λύση. Άρα ένα κοινό σημείο των επιπέδων (και προφανώς και της L) είναι το P (,0,0). H L θα είναι παράλληλη προς το iˆ ˆj kˆ n n = = ()(3) ()( ), ()(3) + ()(),()( ) ()() = 5,, 3 3 Επομένως 5

x y z L : = = 5 3 Να υπολογισθεί το έργο που παράγει η δύναμη σώματος από το σημείο P(,,0) στο σημείο Q(4,6,) F= 3iˆ+ 4ˆj+ 5kN ˆ για τη μετακίνηση ενός Βρίσκουμε το διάνυσμα που δείχνει την μετατόπιση του σώματος: PQ =,5, Τότε θα είναι: W = F PQ = 3, 4,5,5, = 6 + 0 + 0 = 36 Joule Να υπολογισθεί η απόσταση του σημείου P(,3) από την ευθεία ε : 3x+ 4y = 0 ε (0,3) P(,3) d A (4,0) B ος τρόπος Έστω το Α(4,0) ένα σημείο της ευθείας τότε το d θα είναι η αριθμητική τιμή της προβολής του AP πάνω στο B AP B,3 3, 4 6 d = poj AP = = = B B 3 + 4 5 ος τρόπος Αν θεωρήσουμε τα σημεία σε χώρο τριών διαστάσεων θα είναι 6

d = QS v με v Q = (4,0,0) S = (,3, 0) Είναι QS =,3, 0 v = 0 4,3 0, 0 0 = 4,3, 0 Επίσης QS v = 0, 0, 6 Επομένως 0+ 0+ 6 6 d = = + + 5 ( 4) 3 0 Να υπολογισθεί η απόσταση του σημείου P(,-3,4) από το επίπεδο x+ y+ z = 3 Το κάθετο διάνυσμα στο επίπεδο είναι το n =,, ος τρόπος H παράλληλη ευθεία προς το n που διέρχεται από το σημείο P είναι η x = ε: y + 3 = z 4 = Θα πρέπει να βρούμε το ίχνος P της ε πάνω στο επίπεδο: Θέτουμε x= + y = 3 z = + 4 στην εξίσωση του επιπέδου: ( + ) + ( 3) + (+ 4) = 3 = 7

Έτσι P ' = (3,, 6) Θα είναι PP ' =,, Επομένως η ζητούμενη απόσταση θα δίνεται από το μέτρο PP ' = + 4+ 4 = 3 ος τρόπος Έστω ένα τυχαίο σημείο του επιπέδου Q π.χ. το (3,0,0). Τότε n PQ n 3,0 ( 3),0 4,, 3,0 ( 3),0 4,, 9 d = PQ = = = = = 3 n n + + + + 3 Να βρεθεί το επίπεδο που περνά από το σημείο O(0,0,0) και περιέχει την ευθεία x y+ z ε : = = = 3 4 Χρειαζόμαστε το κάθετο διάνυσμα προς το επίπεδο. Αρχικά βρίσκουμε σημεία της ευθείας, έστω για =0 και =: = 0 P= (,, 0) = Q= (3,,4) Τότε iˆ ˆj kˆ n = OP OQ = 0 = 4iˆ 4ˆj + 5kˆ 3 4 Επομένως το επίπεδο έχει εξίσωση: 4x 4y+ 5z = 0 sin e a) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της ( ) = + 3,, sin b) Να υπολογισθεί το όριο lim ( ) 0 8

3 3 a) Πρέπει να είναι + 3 0, Επίσης 0 (,0) ( 0, ) Τέλος sin 0 0, ± π, ± π,... Επομένως το πεδίο ορισμού είναι το 3, 0, π, π,3 π,... β) sin e lim ( ) = lim + 3,lim,lim 0 0 0 0 sin Είναι lim + 3 = 3 0 sin 0 L' Hospial cos lim = lim = 0 0 0 e 0 L' Hospial e 0 lim = lim = = 0 0 sin 0 0 cos Άρα lim ( ) = 3,, 0 0 Να υπολογίσετε την παράγωγο της ( ) = +, στο σημείο = '( ) =, '() = 4, (Πρόκειται για διάνυσμα εφαπτόμενο στην καμπύλη () στο σημείο =) 9

Αν ( ) =< cos,sin( ) > δύο τρόπους και g () 3 4 d g = να υπολογισθεί η παράγωγος ( ()) με ος τρόπος. Με τη χρήση του κανόνα αλυσιδωτής παραγώγισης d ( g ()) = g '() '( g ()) () Είναι g'( ) = 6, '( ) =< sin,cos( ) > Επομένως d ( g ( )) = 6 sin(3 4), cos(6 8) = 6 sin(3 4), cos(6 8) ος τρόπος Δημιουργώντας την σύνθεση των συναρτήσεων R ( ) = g ( ) = cos 3 4,sin(6 8) ( ) ( ) και έπειτα παραγωγίζοντας τη συνάρτηση που προκύπτει d d R'( ) = cos( 3 4 ), sin(6 8) = d d sin ( 3 4) ( 3 4 ),cos(6 8) (6 8) = ( ) 6 sin 3 4, cos(6 8) Βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της ( ) = cos,sin, για = 5 π /6 3 5π (5 π / 6) =,, 6 '( ) = sin, cos, 3 '(5 π / 6) =,, 0

Η εξίσωση της εφαπτομένης θα είναι παράλληλη στο διάνυσμα '(5 π / 6) από το σημείο (5 π / 6) : και θα διέρχεται 3 x= 3 y = 5π z = + 6 Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της = + () 3, στο σημείο (,3) Πρέπει να βρούμε το για το οποίο ( ) =,3 3 = = ( )( ) = 0 = + = = 3 ( + 3)( ) = 0 = 3 Το κοινό είναι επομένως το = '( ) = 3, + '() =, 4 Εξίσωση εφαπτομένης: x= y = 3+ 4 ή αν απαλείψουμε το : y = 4x 5 Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα ( ) ˆ ˆ 4 = + sin( ) + ˆ I i j e k Το ίδιο ολοκλήρωμα μπορεί να το γράψουμε και στη μορφή:

( ) ( ) ( ) ( ) ˆ ˆ 4 sin( ) ˆ ˆ sin( ) ˆ 4 I = i + j + e k = i + j + e kˆ= =, sin( ), 4 e Υπολογίζουμε ξεχωριστά τα 3 ολοκληρώματα των συνιστωσών: α) 3 3 = + c β) sin( ) Θέτουμε u = Επομένως sin cos cos( ) udu = u = + c γ) Τέλος για το ολοκλήρωμα 4 e θα εφαρμόσουμε κατά παράγοντες ολοκλήρωση: Παραγώγιση (u) + Ολοκλήρωση (dv) 4 e e 4 e 6 4 0 + 4-4 6 6 4 6 4 4 4 4 4 4 e = e e + 0 e = e e + c3 Έτσι τελικά είναι 3ˆ ˆ 4 4 ˆ I = cos( ) ˆ ˆ i j + e e k + c ˆ i + cj + c3k 3 4 6 ή = + 3 4 6 3 4 4 I, cos( ), e e C any veco Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα I = +, e

Είναι 3 και 0 = + = 3 3 = e e = e e Άρα I 0 =, 3 e e Δίνεται η ( ) = 5cos,+ 3sin,4sin. Να βρεθεί το T ˆ( ) '( ) T ˆ( ) = '( ) Είναι '( ) = 5sin,3cos, 4cos ( ) '( ) = ( 5sin ) + (3cos ) + (4 cos ) = 5sin + 5cos = 5 sin + cos = 5 = 5 Έτσι 3 4 T ˆ( ) = sin, cos, cos 5 5 Να δειχθεί ότι T ˆ ' T ˆ Είναι T ˆ( ) T ˆ( ) = TT ˆ ˆ cos 0 = ()()() = 3

Παραγωγίζοντας και τα δύο μέλη της παραπάνω σχέσης έχουμε d d ( ) ( ) Tˆ Tˆ = () Tˆ' Tˆ+ Tˆ Tˆ' = 0 Tˆ' Tˆ = 0 Tˆ' Tˆ = 0 Άρα T ˆ ' T ˆ Δίνεται o κύκλος R( θ) = αcos θα, sinθ R '( θ) = αsin θα, cosθ R'( θ) = α sin θ + α cos θ = a R '( θ ) Tˆ( θ ) = = sin θ,cos θ R '( θ ). Να βρεθεί το εφαπτόμενο διάνυσμα ˆ T Δίνεται η έλλειψη R ( ) = α cos b, sin το α είναι αντίθετο και ίδιου μέτρου με το R () υ = R'( ) = asin b, cos a = R''( ) = υ' = αcos, bsin = acos, bsin = R( ). Να βρεθούν τα διανύσματα υα, και να δειχθεί ότι e e Αν R ( ) = cos π,sin π να υπολογίσετε και να σχεδιάσετε τα R(0), υ(0), α(0) Από τη μορφή του R () καταλαβαίνουμε ότι η τροχιά του κινητού είναι ένας κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα. Θα υπολογίσουμε αρχικά τις εξισώσεις της ταχύτητας και της επιτάχυνσης με τρόπους: 4

oς τρόπος e e R ( ) = cos π,sin π e e e e e e e υ( ) = R'( ) = π sin π, π cos π = π sin π,cos π e e e e e e e e α( ) = υ'( ) = π sin π,cos π + π π cos π, π sin π = e e e e e e = π sin π, cos π π cos π,sin π = e e = π υ() π R () ος τρόπος e Έστω θ() = π d d e e Τότε θ() = π = π = θ() R () = cos θ(),sin θ(), δηλαδή η R είναι σύνθετη συνάρτηση του Επίσης ( ) ( ) Τότε R = cos θ,sinθ δηλαδή πρόκειται για εξίσωση κύκλου με ακτίνα και κέντρο το (0,0) Χρησιμοποιώντας τον κανόνα αλυσιδωτής παραγώγισης παίρνουμε: dr dr dθ υ = = = sin θ,cosθ θ dθ dυ dυ dθ Για 0 π = θ = α = = = ( cos θ, sinθ θ + sin θ, cosθ ) θ = θ R + θυ dθ Επομένως 5

R(0) = 0, π υ(0) =, 0 π ππ π α(0) = 0, +, 0 =, 4 4 (Στο σχήμα σχεδιάσαμε τα διανύσματα υ(0) της ταχύτητας και α(0) της επιτάχυνσης με αρχή το σημείο R (0) και όχι την αρχή των αξόνων για καλύτερη εποπτεία.) Παρατηρούμε ότι το διάνυσμα της ταχύτητας είναι εφαπτόμενο στην τροχιά του κινητού. Επίσης επειδή το μέτρο του διανύσματος θέσης είναι σταθερό R () = βλέπουμε ότι u R Τέλος, όπως είναι γνωστό σε ομαλή κυκλική κίνηση (σταθερή γωνιακή ταχύτητα) περιμένουμε το διάνυσμα της επιτάχυνσης να είναι αντίθετο προς το R και να δείχνει προς το κέντρο του κύκλου (κεντρομόλος επιτάχυνση). Αυτό προφανώς δεν συμβαίνει εδώ καθώς η κίνηση δεν γίνεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα και επομένως δεν είναι ομαλή. (Παρόλα αυτά το διάνυσμα της επιτάχυνσης πάντοτε μπορεί να αναλυθεί σε δύο συνιστώσες την επιτρόχια και την κεντρομόλο επιτάχυνση). (Στο σχήμα σχεδιάσαμε τα διανύσματα υ(0) της ταχύτητας και α(0) της επιτάχυνσης με αρχή το σημείο R (0) και όχι την αρχή των αξόνων για καλύτερη εποπτεία.) Παρατηρούμε ότι το διάνυσμα της ταχύτητας είναι εφαπτόμενο στην τροχιά του κινητού. Επίσης επειδή το μέτρο του διανύσματος θέσης είναι σταθερό R () = βλέπουμε ότι u R Υπολογίστε τις εξισώσεις της ταχύτητας και της επιτάχυνσης ενός κινητού σε πολικές συντεταγμένες Τα πρότυπα μοναδιαία διανύσματα σε πολικές συντεταγμένες γράφονται ως ( θ ) ( θ ) uˆ () = cos (),sin () () 6

( ) ( ) uˆ θ () = sin θ(),cos θ() () ενώ το διάνυσμα θέσης του κινητού δίνεται ως Για τον υπολογισμό της ταχύτητας έχουμε () = u () ˆ () (3) d d d d υ () = () = u () () = () u() + () u() ( ˆ ) ( ) ˆ ( ˆ ) (4) Παραγωγίζοντας όμως την () παίρνουμε d d d d uˆ () = cos ( θ() ),sin( θ() ) = cos ( θ() ), sin ( θ() ) = d d d = sin () (),cos () () = () sin (),cos () ( θ ) ( θ ) ( θ ) ( θ ) ( θ ) ( θ ) ( θ ) d = ( θ () ) uˆ θ () (5) Έτσι λόγω της (5) η (4) δίνει: d d υ() = ( ()) uˆ () () ( ()) ˆ + θ uθ () (6) Για να βρούμε στη συνέχεια την επιτάχυνση θα παραγωγίσουμε την (6) ως προς : () d () d d ( ()) ˆ () () d a = υ = u ( ()) ˆ + θ uθ () = d d d d ( ()) uˆ () () ( ()) ˆ θ uθ () + (7) Υπολογίζουμε ξεχωριστά τους όρους της (7) Ο πρώτος όρος: d d d d d = + ( ()) uˆ () ( ()) uˆ () ( ()) ( uˆ () ) (8) Η (8) λόγω της (5) δίνει τελικά: d d d d d = + ( ) ( ) ( ) ( θ ) () uˆ () () uˆ () () () uˆ () θ (9) Ο δεύτερος όρος: d d () ( θ () ) uˆ θ () = 7

d d d d d θ θ θ ( ()) ( θ() ) uˆ () () ( θ() ) uˆ () () ( θ() ) ( uˆ () ) + + (0) Παραγωγίζοντας όμως την () παίρνουμε d d d d uˆ θ () = sin ( θ() ),cos( θ() ) = sin ( θ() ), cos ( θ() ) = d d d = cos () (), sin () () = () cos (),sin () ( θ ) ( θ ) ( θ ) ( θ ) ( θ ) ( θ ) ( θ ) d = ( θ () ) uˆ () () Έτσι η (0) λόγω της () γίνεται d d () ( θ () ) uˆ θ () = d d d d () () uˆ () () () uˆ () () () uˆ () ( ) ( ) ( ) ( ) θ + θ θ θ θ () Επομένως αντικαθιστώντας τις (9) και () στην (7) παίρνουμε την εξίσωση της επιτάχυνσης: d d d α() = ( ()) uˆ () ( ()) ( ()) ˆ + θ uθ () + d d d d θ θ ( ()) ( θ() ) uˆ () + () ( θ() ) uˆ () () ( θ() ) uˆ () = d d d d d = ( ()) () ( θ() ) uˆ () () ( ()) ( ()) ( ()) ˆ θ θ uθ () + + (3) Για απλούστευση των συμβολισμών αντί π.χ. () συνάρτησης μπορούμε να γράψουμε μόνο το όνομα της Επίσης μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το συμβολισμό της τελείας για να δηλώνουμε την παράγωγο ως προς το χρόνο: π.χ. αντί d θ να γράφουμε θ Επομένως η εξίσωση (6) της ταχύτητας πιο σύντομα μπορεί να γραφεί ως υ = u ˆ ˆ + θu θ 8

ενώ η εξίσωση (3) της επιτάχυνσης πιο σύντομα μπορεί να γραφεί ως α = θ u + θ + θ uˆ θ ( ) ˆ ( ) 9