V skyrius ĮVAIRŪS PALŪKANŲ APSKAIČIAVIMO KLAUSIMAI

V skyrius ĮVAIRŪS PALŪKANŲ APSKAIČIAVIMO KLAUSIMAI Uždirbtų palūkanų suma priklauso ne tik nuo palūkanų normos dydžio, bet ir nuo palūkanų kapitalizavimo dažnio Metinė palūkanų norma nevisada atspindi realų investicijos pelningumą Palūkanų normos skirstomos į faktines ir nominalias pagal palūkanų kapitalizavimo dažnumą Šiame skyriuje nagrinėsime šių palūkanų normų tarpusavio ryšį, taip pat išsamiau aprašysime kaip palūkanų normas perskaičiuoti į diskonto normas ir atvirkščiai Ankstesniuose skyreliuose laikėme, kad viso palūkanų termino metu palūkanų periodo norma lieka pastovi Praktikoje dažnai už skirtingus laikotarpius mokamos skirtingo dydžio palūkanos Parodysime kaip apskaičiuojamos įvairios vertės su kintama palūkanų norma Nevisada norimas vertes galima apskaičiuoti vien taikant perskaičiavimo ar diskontavimo formules, užrašytas ankstesniuose skyriuose Kartais atsakymą galima gauti užrašant ekvivalentumo lygtį Šiame skyriuje pademonstruosime kaip jos užrašomos ir nagrinėsime jų savybes 4 Faktinės ir nominalios palūkanų ir diskonto normos Terminas faktinė (effective arba actual) naudojamas palūkanų ir diskonto normoms charakterizuoti, kai palūkanos už laiko vienetą mokamos vieną kartą, intervalo pradžioje arba pabaigoje Šios sąvokos reikšmė paaiškės vėliau, apibrėžus nominalią palūkanų normą Pirmajame skyriuje apibrėžtos palūkanų ir diskonto normos yra faktinės, nors ten toks terminas nebuvo naudojamas Faktinė palūkanų norma yra santykis palūkanų už periodą ir vertės periodo pradžioje, ty S P r = P Kaip minėjome, dažniausiai laiko vienetas yra vieneri metai Pagal apibrėžimą faktinė metinė palūkanų norma yra santykis tarp palūkanų, gaunamų už metus, ir metų pradžioje turėtos vertės Kai investuota keletui laiko vienetų, faktinę palūkanų normą galima apskaičiuoti kiekvienam laiko intervalui atskirai Tegul r k k -ojo laiko intervalo faktinė palūkanų norma, o P k ir P k suma k -tojo intervalo pradžioje ir pabaigoje atitinkamai Tada pagal apibrėžimą r k = P k P P k k, k =,,3, Apskaičiuosime kiekvieno periodo faktines palūkanų normas paprastosioms ir sudėtinėms palūkanoms Tegul r paprastųjų palūkanų norma, tada 7

( + rk) P( + r( k ) ) r = P( + r( k ) ) + r( k ) P r k = Didėjant periodo numeriui k, norma r k mažėja Vadinasi, pastovią paprastųjų palūkanų normą atitinka mažėjanti, didėjant periodo numeriui, faktinė periodo palūkanų norma Šis rezultatas intuityviai aiškus, kadangi kekvieno periodo paprastosios palūkanos apskaičiuojamos pagal pradžioje investuotą sumą, o ne už faktiškai turimą vis dėjančią sumą Sudėtinėms palūkanoms, kai periodo palūkanų norma lygi r, faktinė k -ojo periodo palūkanų norma yra r k k k P(+ r) P(+ r) = k P(+ r) (+ r) = = r Vadinasi, sudėtinių palūkanų atveju faktinė kiekvieno periodo norma yra pastovi ir lygi periodo palūkanų normai Šis teiginys atspindi tą faktą, kad palūkanos apskaičiuojamos nuo realiai turimos periodo pradžioje vertės Faktinė diskonto norma apibrėžiama panašiai kaip faktinė palūkanų norma, skiriasi tik palyginimo pagrindas Faktinė diskonto norma santykis palūkanų už periodą su suma periodo pabaigoje, ty S P r = S Taikant šį apibrėžimą vieneriems metams, faktinė diskonto norma yra santykis tarp metinių palūkanų ir vertės, turimos metų pabaigoje Kaip ir palūkanoms galima apskaičiuoti kiekvieno periodo faktinę diskonto normą Paprastojo diskonto atveju, pastovią paprastojo diskonto normą d atitinka didėjanti faktinė periodo diskonto norma d k Iki šiol laikėme, kad per laiko vienetą palūkanos mokamos tik vieną kartą, periodo pradžioje arba pabaigoje Tokias palūkanų (diskonto) normas pavadinome faktinėmis Kai palūkanos priskaičiuojamos daugiau nei vieną kartą per laiko vienetą, palūkanų (diskonto) normos vadinamos nominaliomis (nominal) Nominalioji palūkanų arba diskonto norma palūkanos priskaičiuojamos daugiau negu vieną kartą per laiko vienetą Su nominaliomis palūkanų normomis dažnai susiduriame praktikoje Dažniausiai nurodoma metinė palūkanų norma ir palūkanų priskaičiavimo dažnumas Pavyzdžiui, sakoma: paskola su 0% metinėmis palūkanomis; kreditorius uždirbs 8%, perskaičiuojamus kas ketvirtį Pirmuoju atveju kalbama apie faktinę normą, antruoju apie nominaliąją palūkanų normą 8

Vartojamos įvairios sąvokos charakterizuojant nominaliąją palūkanų normą Pavyzdžiui, sakoma, kad palūkanos mokamos kas ketvirtį, priskaičiuojamos kas ketvirtį, perskaičiuojamos kas ketvirtį, sudėtinės ketvirtinės Dažnumas, kuriuo palūkanos apskaičiuojamos ir kapitalizuojamos, vadinamas palūkanų arba palūkanų priskaičiavimo periodu Ši sąvoka jau buvo apibrėžta sudėtinių palūkanų skyrelyje Toliau nominaliąją palūkanų normą dažnai žymėsime i, palūkanų periodų skaičių laiko vienete m, o faktinę palūkanų periodo normą r Posakiai 8% sudėtinės palūkanos, priskaičiuojamos kas ketvirtį, 8% palūkanos, kapitalizuojamos kas ketvirtį, 8%, mokami kas ketvirtį reiškia tą patį, būtent: nominali palūkanų norma yra i = 8%, o palūkanos, po r =i/ 4=8%/4 = % už ketvirtį, perskaičiuojamos ir kapitalizuojamos kiekvieno ketvirčio pabaigoje Kitaip sakant, mokamos sudėtinės palūkanos, kurių ketvirčio norma yra % Jei i nominali palūkanų norma, m palūkanų periodų skaičių laiko vienete, tai palūkanų periodo palūkanų norma yra i r = m Tegul investavimo trukmė yra t Jei laiko vienete yra m palūkanų perskaičiavimo periodų, tai bendras palūkanų periodų skaičius yra n = mt Būsimąją ir dabartinę vertes, kai investuojama su nominaliąja palūkanų norma, apskaičiuojame pagal tokias sudėtinių palūkanų formules: S P mt i = P +, m mt i = S + m 4 pavyzdys 0 000 Lt investuoti, gaunant 8% sudėtinių, priskaičiuojamų kas ketvirtį, palūkanų Kiek su palūkanomis bus po 5 metų? Sprendimas Duomenys: P = 0 000, i = 0,08, m = 4, t = 5 Pagal auksčiau užrašytą formulę būsimoji vertė po penkerių metų: 0,08 S = 0000 + 4 4 5 0 ( ) =4859, 47 = 0000 + 0,0 Matome, kad investavimas pavyzdyje nurodytomis sąlygomis ekvivalentus investavimui 0 metų su % sudėtinėmis metinėmis palūkanomis Kai žinoma nominalioji metinė palūkanų norma, o palūkanų periodas trumpesnis už metus, tai faktinės pajamos gaunamos už metus yra didesnės, negu pajamos, nusakomos nominaliąja palūkanų norma Šias pajamas apskaičiuojame su faktine palūkanų norma Santykį tarp nominaliosios ir faktinės palūkanų normų panagrinėsime kitame skyrelyje Lt 9

4 Ekvivalenčios normos Jau anksčiau minėjome, kad palūkanų dydis priklauso nuo kapitalo vertės, palūkanų mokėjimo laikotarpio ir palūkanų normos Palūkanos, dabartinė vertė ir sukaupta suma gali būti apskaičiuojamos arba su diskonto, arba su palūkanų norma Be to, šios normos yra faktinės arba nominalios Nustatysime ryšius tarp įvairių palūkanų normų Tokie uždaviniai spręndžiami, kai reikia apskaičiuoti investicijos su diskonto norma, arba nominaliąja palūkanų norma metinį pelningumą Tam, kad galėtume spręsti tokius ir panašius uždavinius, įvedama ekvivalenčių (equivalent) palūkanų normų sąvoka Ekvivalenčiomis vadinamos tokios palūkanų ar diskonto normos, su kuriomis gaunamos vienodos būsimosios arba diskontuotos vertės per tą patį palūkanų terminą Finansinio sandorio dalyviams visiškai nesvarbu kuri iš ekvivalenčių normų naudojama Jei iš sumos P kaupimu gaunama suma S, tai visos palūkanų ir diskonto normos su kuriomis gaunamas vienodas palūkanų daugiklis yra ekvivalenčios Todėl sulyginant palūkanų daugiklius su skirtingomis normomis gaunamas ekvivalentumo sąryšis Panašiai, jei nuo sukauptos sumos pereiname prie dabartinės, tai ekvivalentumo lygtį užrašome prilygindami vieną diskontavimo daugiklį kitam Toliau šiame skyrelyje išvesime keletą ekvivalentumo sąryšių Panagrinėkime ryšį tarp faktinės palūkanų normos r ir faktinės diskonto normos d Naudosime anksčiau įvestus žymėjimus: P dabartinė kapitalo vertė arba vertė periodo pradžioje, S būsimoji kapitalo vertė arba vertė periodo pabaigoje Sukauptoji suma palūkanų norma r reiškiama taip: S = P( + r) Tą pačią sumą S galima sukaupti su diskonto norma d: P S = d Sulyginę abiejų lygybių dešiniąsias puses, turime: + r = d Iš čia gauname, kad faktinė palūkanų norma r, ekvivalenti faktinei diskonto normai d yra d r = d 30

Šią formulę galima išvesti kitaip Jei imame Lt paskolą su faktine diskonto norma d, tai dabartinė vertė yra d, o palūkanos d Pagal faktinės palūkanų normos apibrėžimą gauname aukščiau parašytą išraišką Išsprendę pastarąją lygtį d atžvilgiu, turime: r d =, + r pagal šią formulę nustatome faktinę diskonto normą d, ekvivalenčią faktinei palūkanų normai i Tai atitinka faktinės diskonto normos apibrėžimą, nes r yra palūkanos už periodą, o + r vertė periodo pabaigoje, kai periodo pradžioje investuotas Lt 4 pavyzdys Kokia turi būti diskonto norma, jei norima uždirbti tokią pat sumą palūkanų per vienerius metus kaip investavus tą pačią sumą už 8% metinių palūkanų? Sprendimas Iš sąlygos išplaukia, kad diskonto norma turi būti ekvivalenti faktinei palūkanų normai r = 0,08 Vadinasi, arba 7,4% 0,08 d = = 0,074 + 0,08 Kaip matyti iš formulių ir uždavinio sprendimo, ekvivalenčios faktinės palūkanų ir diskonto normos yra skirtingos Kadangi su diskonto norma yra skaičiuojama nuo sumos periodo pabaigoje, ty nuo didesnės vertės, tai diskonto norma yra mažesnė už ekvivalenčią palūkanų normą 43 pavyzdys (a) Kokia faktinė palūkanų norma ekvivalenti 0% faktinei diskonto normai? (b) Kokia faktinė diskonto norma ekvivalenti 0% faktinei palūkanų normai? Sprendimas (a) Pagal ekvivalentumo lygtį diskonto normą d = 0,0 atitinka faktinė palūkanų norma 0, r = = 0, 0, arba,%, ty didesnė už diskonto normą (b) Tuo tarpu ekvivalenti diskonto norma: 0, d = = 0,090909 + 0, arba apytikriai 9,09% mažesnė už palūkanų normą 3

Nustatysime faktinę palūkanų normą r, ekvivalenčią nominaliai palūkanų normai i, kai metus sudaro m palūkanų periodų Pradžioje investavę Lt, pagal ekvivalentumo apibrėžimą, metų pabaigoje užrašome tokią lygybę: m i + r = +, m nes kairėje pusėje yra Lt vertė su palūkanomis, kai investuota su faktine palūkanų norma r, o dešinėje Lt sukauptoji suma su nominalia palūkanų norma i Iš šios lygties išplaukia dvi išvados faktinė palūkanų norma r, ekvivalenti nominaliajai palūkanų normai i, kai palūkanos priskaičiuojamos m kartų per metus, yra m i r = + ; m nominalioji palūkanų norma i, kai palūkanos kapitalizuojamos m kartų per metus, ekvivalenti faktinei palūkanų normai r, yra m [( + r) ] i = m Kai nominalioji palūkanų norma yra i, tai ekvivalenti faktinė palūkanų norma r yra ta palūkanų norma, su kuria apskaičiuojamos faktinės pajamos 44 pavyzdys Kokia faktinė palūkanų norma, jei už vienerių metų trukmės paskolą mokamos 8% sudėtinės palūkanos, perskaičiuojamos kas ketvirtį? Sprendimas Pagal sąlygą 8% yra nominali palūkanų norma, i = 0,08, m = 4 Pagal pirmąją formulę faktinė palūkanų norma tokia 4 0,08 i = + = 0,084 4 arba 8,4% Vadinasi, realiai už paskolą mokamos 8,4% metinės palūkanos Panagrinėsime ekvivalenčias palūkanų normas, kai laiko intervalo, kuriame normos lyginamos, ilgis yra t laiko vienetų Tegul r paprastųjų palūkanų, d paprastojo diskonto normos Kadangi pagal pagrindines paprastųjų palūkanų ir paprastojo diskonto formules S = P( + rt) ir P = S dt, tai ekvivalentumo sąlyga tenkinama, kai ( ) + rt = dt Iš šios lygties gaunamos tokios išvados 3

paprastųjų palūkanų norma r, ekvivalenti t ilgio laikotarpiu paprastojo diskonto normai d, yra d r = ; dt paprastojo diskonto norma d, ekvivalenti t ilgio laikotarpiu paprastųjų palūkanų normai r, tokia r d = + rt Kai t =, šios formulės sutampa su faktinės palūkanų ir faktinės diskonto normų ekvivalentumo sąryšiais 45 pavyzdys Kokia palūkanų norma ekvivalenti trijų mėnesių laikotarpiu 0% diskonto normai? Sprendimas Duomenys: d = 0,, t = 3/ = 0,5 Ekvivalenti metinė paprastųjų palūkanų norma yra arba 0,6% 0, r = = 0,06 0, 0,5 Nustatysime ekvivalentumo sąryšius tarp paprastųjų palūkanų normos ir nominaliosios palūkanų normos t ilgio laikotarpiui, Su paprastųjų palūkanų norma r, perskaičiuota vertė laiko momentu t yra S = P + rt, o su nominaliąja norma, kai perskaičiuojama m kartų per metus ( ) mt i S = P + m Ekvivalentumo sąlyga tenkinama, kai mt i + rt = + m Iš čia gauname tokias ekvivalentumo lygtis: paprastųjų palūkanų norma r, laikotarpiu t ekvivalenti nominaliajai palūkanų normai i, su m palūkanų kapitalizavimo periodų per metus, mt i r = + ; t m 33

nominalioji palūkanų norma i, su m palūkanų periodų per metus, ekvivalenti t ilgio laikotarpiu paprastųjų palūkanų normai r, mt [( + rt) ] i = m Akivaizdu, kad paėmę t =, gausime anksčiau išvestas nominalios ir faktinės normų formules Panašiai galima nustatyti ekvivalentumo sąryšius tarp nominaliosios palūkanų ir nominaliosios diskonto normos, tarp paprastosios diskonto ir nominaliosios diskonto normų laikotarpiui t Tačiau jie rečiau naudojami, todėl čia jų nenagrinėsime Prireikus šiuos sąryšius nesunku nustatyti savarankiškai 46 pavyzdys Pinigus vieneriems metams galima investuoti už % sudėtines palūkanas, kai palūkanos kapitalizuojamos kas pusmetį, arba už 3% paprastųjų palūkanų, arba su % diskonto norma Kokiu atveju uždirbama daugiausiai palūkanų? Sprendimas Duomenys: i = 0,, m = ; r = 0,3, d = 0, Apskaičiuosime faktinę palūkanų normą visais trimis atvejais pagal atitinkamas ekvivalentumo formules Ekvivalenčią faktinę palūkanų normą, atitinkančią sudėtinių palūkanų normą i, žymėsime r s Ji lygi r s m i = + m 0, = + = 0,36 arba,36% Antruoji r=3% norma yra faktinė norma, nes paskolos terminas vieneri metai Diskonto atveju ekvivalenti faktinė palūkanų norma, kurią žymėsime r d, lygi r d = d d 0, = = 0,3595 0, arba, 3595% Kadangi r < r < r, tai daugiausiai uždirbama investuojant už 3% paprastųjų palūkanų d s Nagrinėdami paprastąsias palūkanas matėme, kad apskaičiuojamos sumos priklauso nuo palūkanų termino nustatymo būdo Toliau tirsime metinių palūkanų normu ekvivalentumą, kai palūkanų mokejimo laikotarpis nustatomas skirtingais būdais 47 pavyzdys 00 000 Lt vieneriems metams galima investuoti gaunant 8% metinių palūkanų, kai palūkanų terminas apskaičiuojamas būdu faktinis/365, arba už 7,9%, kai investicijos trukmei nustatyti taikomas faktinis/360 būdas Metai nekeliamieji Kurio atveju sukauptoji suma metų pabaigoje būtų didesnė? Sprendimas Pirmuoju atveju po metų būtų išmokėta 34

365 00000 + 0,08 =08000 Lt, 365 o antruoju 365 00000 + 0,079 =08030 Lt 360 Apskaičiuosime 8% normai, taikomai su faktinis/365 būdu, ekvivalenčią palūkanų normą, siejamą su faktinis/360 būdu Tai galima padaryti taip: 0,08 360 365 = 0,0789 arba 7,89% Vadinasi, 8%, skaičiuojant faktinis/365 būdu, yra tas pats, kaip 7,89%, taikant faktinis/360 būdą Kad šios palūkanų normos tikrai ekvivalenčios įsitikiname šitaip: 365 00000 + 0,0789 =08000 Lt 360 Vadinasi, jei mokamos palūkanos didesnės už 7,89% ir terminas nustatomas faktinis/360 būdu, tai naudingiau negu 8% palūkanos, kai trukmė apskaičiuojama faktinis/365 būdu Panagrinėkime ryšius tarp dviejų ekvivalenčių metinių palūkanų normų r ir r Palūkanų termino apskaičiavimo būdą pažymekime " D M " Aukščiau aprašytiems pagrindiniams metodams D yra 30 arba faktinis, o M viena iš trijų reikšmių: 360, 365, faktinis Pavyzdžiui, kai D reikšmė yra faktinis, o M 360, tai palūkanų terminas nustatomas būdu faktinis/360 Tegul, skaičiuojant su palūkanų norma r, taikomas metodas " D M ", o palūkanų norma r susieta su būdu " D M " Investavę Lt vieneriems metams su ekvivalenčiomis palūkanų normomis r ir r, pasibaigus metams turime gauti vienodas palūkanas, todėl r D M = r D M arba D M r = r M D 35

Pagal šia formulę galima nustatyti sąryšius tarp ekvivalenčių metinių palūkanų normų, naudojamų su skirtingais palūkanų termino nustatymo budais Dydis faktinis yra 365 nekeliamaisiais metais ir 366 keliamaisiais metais 48 pavyzdys 5,6% palūkanų norma taikoma su faktinis/360 būdu Kokia ekvivalenti palūkanų norma susieta su faktinis/365 būdu? Sprendimas Atsakymą nesunku gauti pagal paskutiniąją formulę Užrašysime bendresnį ekvivalentumo ryšį tarp normos r taikomos su faktinis/360 ir normos r susietos su faktinis/365 Iš aukščiau parašytos formulės gauname, kad 365 r = r 360 Todėl ekvivalenti norma yra arba 5,678% r 365 = 0,056 = 0,05678 360 49 pavyzdys 5,6% palūkanų norma taikoma su 30/360 būdu Kokia ekvivalenti palūkanų norma susieta su faktinis/360 būdu? Sprendimas Paprasta įsitikinti, kad normai r, taikomai su 30/360 būdu, ekvivalenti norma r susieta su faktinis/360 yra 360 r = r 365 Todėl 5,6% ekvivalenti norma mažesnė r 360 = 0,056 = 0,055 365 arba 5,5% 43 Tolydžiosios palūkanos Tą pačią nominaliąją metinę palūkanų normą i atitinka tuo didesnė ekvivalenti faktinė palūkanų norma r, kuo didesnis palūkanų periodų skaičius m laiko vienete Tuo galime įsitikinti, išsprendę pavyzdį 48 pavyzdys Apskaičiuokite 000 Lt, investuotų su %, nominaliąja palūkanų norma, vertę po vienerių ir dvejų metų, jei palūkanų periodas yra: 36

(a) metai, (b) pusmetis, (c) ketvirtis, (d) mėnuo, (e) diena Sprendimas Duomenys: P = 000, i = %, (a) m =, (b) m =, (c) m = 4, (d) m =, (e) m = 365 Skaičiavimo rezultatai surašyti 4 lentelėje Palūkanų periodą galima toliau trumpinti, imant valandą, minutę, sekundę ir tt Akivaizdu, kad atitinkamai didės m ir ekvivalenti faktinė palūkanų norma Pasieksime, kad palūkanų periodas bus kiekvienas laiko taškas arba, kitaip tariant, be galo trumpas laiko intervalas Tolydžiosios palūkanos (continuous interest): palūkanų periodas yra be galo trumpas laiko intervalas (m neaprėžtai didelis) Galima laikyti, kad nuolatinių sudėtinių palūkanų atveju palūkanos perskaičiuojamos ir kapitalizuojamos kiekvienu laiko momentu Procesas nebe diskretus, o tolydus Palūkanų matai, apibrėžti ankstesniuose skyreliuose, tinkami palūkanų apskaičiavimui už tam tikrą laiko tarpsnį Faktinės palūkanų ir diskonto normos nusako palūkanas už vieną laiko vienetą, Palūkanų periodas 4 lentelė 48 pavyzdžio atsakymai m Faktinė palūkanų norma r (%) Suma po metų Suma po metų metai 0,00 54,40 pusmetis,36 3,60 6,48 ketvirtis 4,55 5,5 66,77 menuo,68 6,83 69,73 diena 365,747 7,47 7,0 o nominaliosios palūkanų ir diskonto normos apibrėžia palūkanas už m tąją laiko vieneto dalį Palūkanų periodą galima trumpinti tol, kol palūkanos keisis kiekvienu laiko momentu, ty palūkanų periodas bus be galo trumpas laikotarpis Palūkanų prieaugis jau nebe diskretus, o tolydus Praktikoje tolydūs pinigų sumų ar kapitalo didėjimo procesai taikomi rečiau negu diskretūs Daugumai žmonių labiau suprantama faktinė palūkanų (diskonto) ir nominaliosios palūkanų normos Be to, daugelis finansinių sandorių yra diskretūs, o ne tolydūs procesai Žymiai didesnę reikšmę tolydus augimas turi kiekybinėje analizėje, pasirenkant ir pagrindžiant investicinius sprendimus Tolydaus kitimo būtinumą sąlygoja pirmiausia tai, kad daugelis ekonominių procesų iš esmės yra tolydūs, todėl tolydžiais procentais aprašomi tiksliau negu diskrečiais 37

Nemažą reikšmę turi ir tai, kad taikant tolydžius procentus pavyksta atsižvelgti į svarbius dėsningumus, pavyzdžiui, įvesti kintančias pagal tam tikrą dėsnį palūkanų normas ir tt Tolydžių ir diskrečių palūkanų taikymas duoda tuos pačius rezultatus, jei naudojamos ekvivalenčios normos Tolydžiam kapitalo didėjimui nusakyti naudojama speciali palūkanų norma augimo jėga (force of interest), žymima δ Tarkime, kad i yra nominali palūkanų, kapitalizuojamų m kartų per laiko vienetą, norma, o r faktinė palūkanų norma Anksčiau nustatėme ekvivalentumo sąryšį tarp šių normų: m [( + r) ] i = m Tegul r yra fiksuota reikšmė, o m neapibrėžtai didinamas Tada i artės prie tam tikros ribinės reikšmės, kurią pažymėsime δ Norma δ gali būti pastovus arba kintamas dydis laiko atžvilgiu Kaip matėme iš 48 pavyzdžio, jei pasirenkama nominalioji palūkanų norma i ir didinamas palūkanų periodų skaičius per laiko vienetą, tai faktinė palūkanų norma didėja δ yra ta nominali palūkanų norma, kuriai esant faktinė palūkanų norma yra didžiausia, ty su δ gaunamos didžiausios pajamos Būsimąją kapitalo, investuoto su palūkanų norma δ, vertę nustatysime iš pagrindinės sudėtinių palūkanų formulės kurią užrašome taip: mt i S = P +, m it m i i S = P + m Pasinaudoję žinoma formule n z z + =e, n kai n be galo didelis, ir prisiminę, kad norma i, kai m = +, žymima δ, gauname pagrindinę tolydžiųjų palūkanų formulę S δ t = Pe Išsprendę šią lygtį P atžvilgiu, turime tokią diskontuotos vertės formulę: δ t P = Se Tegul r faktinė palūkanų norma Normų r ir δ ekvivalentumo lygtis: 38

+ r = e δ, nes abi lygties pusės yra Lt (vieno lito) būsimosios vertės laiko vieneto pabaigoje Faktinė palūkanų norma, ekvivalenti tolydžiųjų palūkanų normai δ yra δ r = e Tplydžiųjų palūkanų norma δ, ekvivalenti faktinei palūkanų normai r, lygi δ = ln( + r ) Panašiai nustatomi ekvivalentumo sąryšiai laikotarpiui t 49 pavyzdys Už 0 000 Lt priskaičiuojamos 7% tolydžiosios palūkanos Kokia suma bus po metų? Sprendimas Duomenys: P = 0 000, δ = 0,07, t = Įrašę parametrų reikšmes į pagrindinę formulę, apskaičiuojame, kad po metų bus suma 0,07 S = 0000e = 50,74 Lt 40 pavyzdys Tolydžiųjų palūkanų norma % Kokia ekvivalenti faktinė palūkanų norma? Sprendimas Pagal sąlygą δ = 0,, todėl faktinė norma yra 0, r = e = 0,7497 Palyginę su 48 uždavinio atsakymais, matome, kad ištikrųjų δ atitinka didžiausia faktinė palūkanų norma 4 pavyzdys Palūkanų, perskaičiuojamų kas ketvirtį, nominalioji norma 0% Kokia ekvivalenti nuolatinių sudėtinių palūkanų norma? Sprendimas Duomenys: i = 0,, m = 4 Formulės, pagal kurią galima tiesiogiai gauti atsakymą, neturime Tačiau uždavinį nesunku išspręsti pasinaudojus nominalios ir faktinės palūkanų normų ekvivalentumo sąryšiu ir formule m i r= + m δ = ln( + r) 39

Gauname: r = 0,038 ir δ = 0,0988 arba 9,88% Matome, kad δ mažesnė už i, nors abi normos ekvivalenčios normai r Teisingas toks tvirtinimas: iš visų nominalių palūkanų normų, ekvivalenčių faktinei palūkanų normai r, mažiausia yra nuolatinių sudėtinių palūkanų norma δ 44 Kintamos palūkanos Laikėme, kad palūkanų norma yra vienoda visiems palūkanų periodams Dabar panagrinėsime uždavinius, kai skirtingais periodais gali būti nevienoda palūkanų norma, arba uždavinius, kai palūkanų laikotarpį sudaro tam tikras pilnų periodų skaičius ir paskutinis nepilnas periodas Pažymėkime t-tojo periodo, nuo investavimo pradžios, palūkanų normą r t Tegul mokamos sudėtinės palūkanos Investuotos sumos P perskaičiuota vertė po t periodų yra: ( + r )( + r ) ( r ) S = P L + Šios formulės diagrama 4 brėžinyje t 4 brėžinys Kintamų sudėtinių palūkanų diagrama Kai r r r r = = = t =, gauname jau turėtą pagrindinę sudėtinių palūkanų formulę S = P( + r) t Diskontuotą t periodų vertę P galima apskaičiuoti, įrašius į aukščiau parašytą formulę palūkanų normų reikšmes ir po to išsprendus P, arba pagal žemiau parašytą formulę ( ) + ( + ) ( + r r r ) P = S L 4 pavyzdys Už 5 000 Lt paskolą numatyta bazinė 0% metinė palūkanų norma Už antrus ir trečius metus priskaičiuojamos 0,75% didesnės už bazines palūkanos Už likusius trejus metus palūkanų norma dar padidėja 0,5% Kiek reikės grąžinti su palūkanomis 6 metų? Sprendimas Duomenys: i = 0%, i = i = 0,75%, i = i = i =,5%, P = 5000 Grąžintina po 6 metų suma apskaičiuojama pagal formulę 3 3 ( )( + 0,075) ( + 0,5) = 988, 60 S = 5000 + 0, Lt t 4 5 6 40

Panagrinėkime paprastųjų palūkanų atvejį Tegul už laiko periodus, kurių ilgis yra t, t,, normos yra atitinkamai t + + t + t n t n mokamų palūkanų metinės, r, r Apskaičiuosime busima vertę laiko momentu n r, S=P + Pt r + Pt r + L+ Iškėlę P, turime Pt n r n ( t r + t r + + t ) S = P + L r Šios formulės laiko diagrama 4 brėžinyje n n Kai 4 brėžinys Paprastųjų kintamų palūkanų laiko diagrama t = t == t n = pagrindine paprastųjų palūkanų formule ( ) t ir r = r == r = r, paskutinioji formulė sutampa su t S = P + nt r, čia nt palūkanų terminas 43 pavyzdys Už indėlį mokamos paprastosios palūkanos Palūkanų norma pirmą metų ketvirtį %, antrą 0%, trečią 9%, ketvirtą ketvirtį 9,5% metinių palūkanų Kiek bus sąskaitoje spalio 8 dieną, jei kovo 4 dieną įnešta 500 Lt? Laikoma, kad už indėlio įnešimo ir atsiėmimo dienas palūkanos nemokamos, be to, palūkanų laikotarpis apskaičiuojamas būdu faktinis/365 Sprendimas Duomenys: P = 500, i = %, i = 0%, i = 9%, i = 9,5% Nuo kovo 5 d iki kovo 3 d (už kovo 4 dieną palūkanos nemokamos): t = 7, r = i 365 = 0, 365 Nuo balandžio d iki birželio 30 d: t = 30 + 3+ 30 = 9, r = i 365 = 0, 365 Nuo liepos d iki rugsėjo 30 d: t = 3 + 3 + 30 = 9, r = i 365 = 0, 09 365 3 3 3 3 4 4

Nuo spalio d iki spalio 7 d (už spalio 8 dieną palūkanos nemokamos): t = 7, r = i 365 = 0,095 365 4 Pradinė vertė su palūkanomis spalio 8 dieną: 4 4 0, 0, 0,09 0,095 S = 500 + 7 + 9 + 9 + 7 = 59,6 Lt 365 365 365 365 Vadinasi, už indėlį bus išmokėtos tokios palūkanos: S P = 9,6 Lt Iki šiol spręstuose uždaviniuose palūkanos buvo skaičiuojamos arba tik pagal paprastųjų palūkanų arba tik pagal sudėtinių palūkanų formules Kai kada taikomas mišrus palūkanų skaičiavimo būdas Panagrinėkime situaciją, kai palūkanų laikotarpį sudaro tam tikras palūkanų periodų skaičius ir laiko tarpas trumpesnis už palūkanų periodą Šį laiko tarpą vadinsime nepilnu palūkanų periodu Tegul r periodo palūkanų norma, n palūkanų periodų skaičius palūkanų termine T, 0< n aprašo kokią palūkanų periodo dalį sudaro nepilnas periodas, < Vadinasi, palūkanų termina T sudaro investavimo laikotarpis T yra 3 metai ir mėnesiai, tai n + n = 3 + metų n + n palūkanų periodų Pavyzdžiui, jei Šiuo atveju būsimoji vertė gali būti apskaičiuojama dviem būdais: (a) Visam palūkanų laikotarpiui taikoma sudėtinių palūkanų formulė, tada S = P n + n n n ( + r) = P( + r) ( + r) (b) Dažniau taikomas mišrus modelis, kai už pilnus palūkanų periodus priskaičiuojamos sudėtinės palūkanos, o už nepilną periodą paprastosios palūkanos Šiuo atveju n ( ) ( ) S = P + r + n r Pasirenkant (a) arba (b) būdą, reikia turėti omenyje, kad S > S, nes kaip anksčiau + < + n r, kai 0 < n nustatėme ( ) r n < Kai kada palūkanos mokamos tik už pilnus palūkanų periodus 44 pavyzdys 0 000 Lt kreditas išduotas 3 metams ir mėnesiams Sutartyje numatyta 8% metinė palūkanų norma ir mišrus palūkanų apskaičiavimo būdas Kokia suma grąžinama pasibaigus kredito terminui? Sprendimas Duomenys: P = 0000, n = 3, n = 6 365 (laikome, kad metai=365) dienos, ir vienas mėnuo turi 30 dienų, o kitas 3 dieną), r=8% Skaičiuojant (b) būdu grąžinama suma yra: 4

3 6 S = 0000( + 0,8) + 0,8 = 33849, 6 Lt 365 Palyginimui apskaičiuosime (a) būdu: ( ) 3+6 365 = 3378, 30 S = 0000 + 0,8 Lt Tai 66,86 Lt didesnės palūkanos negu atveju (b) 45 Ekvivalentumo lygtis Iš pateiktos medžiagos matyti, kad pinigų vertė laikui bėgant kinta Kalbama ne apie pinigų perkamosios galios mažėjimą dėl infliacijos, o apie tai, kad už pinigus galima gauti palūkanas Vadinasi, pinigų sumos gali būti lyginamos tik tuo pačiu laiko momentu Jei dvi ar daugiau pinigų sumų nagrinėjamos skirtingu laiku, tai prieš lyginant reikia perskaičiuoti jas tam pačiam laikui Šis bendras laiko taškas vadinamas palyginimo tašku arba palyginimo laiku (comparison date), o lygtis, į kurią įeina vertės palyginimo taške, vertės lygtimi (equation of value) arba ekvivalentumo lygtimi (equation of equivalence) Pagalbinė priemonė, užrašant vertės lygtį, yra jau mūsų naudota laiko diagrama Ant laiko ašies pažymimi laiko intervalai Įmokos pažymimos prie atitinkamo laiko momento virš tiesės, o išmokos žemiau tiesės Palyginimo taškas pažymimas rodykle Laiko diagrama nėra būtina sudarant vertės lygtį Šiek tiek įgudus paprastesniais atvejais vertės lygtis užrašoma be laiko diagramos Tačiau sudėtingesniais atvejais su laiko diagrama lengviau suprasti problemą ir užrašyti bei spręsti vertės lygtį Viena iš svarbesnių sudėtinių palūkanų (diskonto) savybių yra ta, kad palyginimo taško pasirinkimas neturi įtakos uždavinio atsakymui Kaip matysime iš pavyzdžių, nors skirtinguose palyginimo taškuose užrašytos vertės lygtys yra skirtingos, tačiau jos turi tuos pačius sprendinius Kitaip tariant, skirtinguose taškuose užrašytos vertės lygtys yra ekvivalenčios Paprastosios palūkanos ir paprastasis diskontas šios geros savybės neturi Skirtinguose taškuose užrašytos vertės lygtys turi skirtingus sprendinius 45 pavyzdys 4 000 Lt paskola paimta 5 metams su % metine palūkanų norma Paskola grąžinama taip: 3 000 Lt po metų, likusi dalis po 5 metų, skaičiuojant nuo sutarties sudarymo Kiek reikės grąžinti po 5 metų? Sprendimas Šio uždavinio diagrama 43 brėžinyje 43

43 brėžinys 45 pavyzdžio laiko diagrama Laikykime, kad palūkanos yra sudėtinės Pažymėkime sumą, grąžinamą po 5 metų, x Tegul palyginimo taškas yra paskolos paėmimo momentas (brėžinyje pažymėtas rodykle) Šiame taške vertės lygtis tokia: ( ) ( + 0, ) 5 4000 = 3000 + 0, + x Pirmasis dešinės pusės dėmuo yra diskontuota metus 3 000 Lt vertė, o antrasis įnašo x, mokėtino po 5 metų, diskontuota 5 metus vertė 3000 ir x sumas sudaro pradinės skolos 4000 Lt dalys ir palūkanos Diskontuodami iš šių sumų eliminuojame palūkanų dėmenis, todėl likusių dalių suma turi būti lygi paskolos sumai Galima iškart apskaičiuoti koeficientus, o po to išspręsti x Mes pirma randame x, padaugindami reiškinį iš ( + 0,) 5 : 5 3 x = 4000, 3000, = 834,58 Lt Jei palyginimo tašku pasirinksime laiką po 5 metų nuo paskolos paėmimo, tai vertės lygtis bus tokia: ( ) 3 = 4000( + 0, ) 5 3000 + 0, + x, čia pirmasis kairės pusės dėmuo yra 3 000 Lt perskaičiuota vertė po 3 metų, o dešinės pusės narys 4 000 Lt būsimoji vertė po 5 metų Išsprendę x, gauname tą pačią išraišką kaip ir anksčiau 5 3 x = 4000, 3000, Palyginimo tašku paėmę 3 000 Lt sumokėjimo momentą, ty metai po paskolos paėmimo, gautume tokią ekvivalentumo lygtį: 4 000, = 3 000+ x, 3, čia kairės pusės narys yra paskolos vertė su palūkanomis po metų, o antrasis dešinės 3 pusės dėmuo įnašo x, diskontuoto 3 metus, vertė Padauginę abi lygties puses iš,, gauname: 44

5 3 x = 4000, 3000, Palyginimo tašku galima pasirinkti bet kurį kitą tašką Visos užrašytos vertės lygtys bus ekvivalenčios, ty turės tą patį sprendinį Vieną lygtį galima gauti iš kitos algebriškai pertvarkius Keisdami sutarties sąlygas, pavyzdžiui, keletą mokėjimų pakeisdami vienu arba atvirkščiai, vieną mokėjimą išskaidydami į kelis, mokamus skirtingu laiku, pakeisdami mokėjimų terminus, sutarties dalyviai paprastai laikosi mokėjimų finansinio ekvivalentumo principo Pagal jį laikoma, kad abiejų pusių finansiniai įsipareigojimai pagal senąsias ir naująsias sutarties sąlygas yra vienodi Ekvivalenčiais vadinami tokie mokėjimai, kurie, perskaičiuoti su tam tikra palūkanų norma tam pačiam laiko taškui, yra lygūs Ieškoma suma apskaičiuojama iš ekvivalentumo lygties Ji užrašoma prilyginus perskaičiuotus mokėjimus pagal senas sutarties sąlygas tam pačiam laikui perskaičiuotiems mokėjimams pagal naujas sąlygas 46 pavyzdys Keičiami įsipareigojimai sumokėti 0 000 Lt lapkričio d ir 5 000 Lt kitų metų sausio d Pagal naują sutartį skolininkas gruodžio d sumoka 6 000 Lt, o likusią skolos dalį grąžina kitų metų kovo d Koks įnašo kovo d dydis, jei palūkanų norma lieka ta pati 6% metinių palūkanų Sprendimas Pažymėkime ieškomą sumą S Uždavinio laiko diagrama 44 brėžinyje 44 brėžinys 46 pavyzdžio laiko diagrama Kadangi sutarties galiojimo laikas trumpesnis negu metai, tai natūralu laikyti, kad mokamos paprastosios palūkanos Be to, tarsime, kad palūkanų terminas apskaičiuojamas faktinis/365 būdu tokia: Jei perskaičiavimo momentas yra sausio d (00), tai ekvivalentumo lygtis 6 0000 + 0,06 + 5000 = 365 = 6000 + 3 365 S 0,06 + 59 + 0,06 365 Išsprendę gauname: S=9 57,66 Lt Palyginimo tašku paėmę kitą datą, pavyzdžiui, kovo d, užrašome tokią vertės lygtį: 45

0 59 0000 + 0,06 + 5000 + 0,06 = 365 365 90 = 6000 + 0,06 + S 365 Dabar S = 9 56,99 Lt Kaip matome, atsakymas šiek tiek skiriasi nuo pirmojo Palyginimo datą galima pasirinkti ir kitą Kiekvienu atveju perskaičiavimo datos pakeitimas keičia ir atsakymą Atsakymas priklauso nuo palyginimo taško pasirinkimo paprastųjų palūkanų atveju dėl to, kad ( + n r)( + n r) + nr, čia n = n + n Turime ( + n r)( + n r) =+ ( n n ) r+ n n = + nr + n n r r + Kadangi r paprastai yra šimtosios arba dešimtosios vieneto dalys, tai narys n n r yra nedidelis Kad nekiltų nesusipratimų dėl rezultato perskaičiuojant su paprastosiomis palūkanomis, reikia susitarti dėl perskaičiavimo datos Skaičiuojant su sudėtinėmis palūkanomis, atsakymas nepriklauso nuo palyginimo datos pasirinkimo 46