ΑΕΡΟ ΥΝΑΜΙΚΗ ΕΡΓ Νο2 ΡΟΗ ΑΕΡΑ ΓΥΡΩ ΑΠΟ ΚΥΛΙΝ ΡΟ

ΑΕΡΟ ΥΝΑΜΙΚΗ ΕΡΓ Νο2 ΡΟΗ ΑΕΡΑ ΓΥΡΩ ΑΠΟ ΚΥΛΙΝ ΡΟ

Η µελέτη της ροής µη συνεκτικού ρευστού γύρω από κύλινδρο γίνεται µε την µέθοδο της επαλληλίας (στην προκειµένη περίπτωση: παράλληλη ροή + ροή διπόλου). Εδώ περιοριζόµαστε να δώσουµε την κατανοµή της ταχύτητας ως συνάρτηση της γωνίας θ: ν θ = 2 U sinθ Από την παραπάνω σχέση προκύπτει ότι κατά την µετακίνησή µας πάνω στην επιφάνεια του κυλίνδρου η ταχύτητα της ροής µεταβάλλεται συνεχώς και είναι µεγίστη για: θ = ±π/2. Η ροή µη συνεκτικού ρευστού γύρω από κύλινδρο φαίνεται και στο παρακάτω διάγραµµα κατανοµής γραµµών ροής: Η κατανοµή της στατικής πίεσης πάνω στην επιφάνεια του κυλίνδρου βρίσκεται γράφοντας την εξίσωση Bernoulli για ένα σηµείο αρκετά µακρυά από τον κύλινδρο (όπου έχουµε συνθήκες αδιατάρακτης ροής) και ένα σηµείο πάνω σττον κύλινδρο (θέση που ορίζεται µε την γωνία θ): p + ½ ρ U 2 = p s + ½ ρ v θs 2 Στην παραπάνω σχέση αµελούνται οι όροι που έχουν σχέση µε υψοµετρικές διαφορές (αυτή η προσέγγιση είναι τόσο καλύτερη όσο η πυκνότητα του ρευστού είναι µικρότερη).

Γνωρίζοντας την κατανοµή της ταχύτητας συναρτήσει της γωνίας θ από την πρώτη σχέση πιο πάνω είναι δυνατόν να υπολογίσουµε την κατανοµή της στατικής πίεσης (θεωρητικής) πάνω στον κύλινδρο: p s = p + ½ ρ U 2 ( 1 4 sin 2 θ ) Από την παραπάνω σχέση προκύπτει ότι η θεωρητική κατανοµή της στατικής πίεσης είναι συµµετρικής µορφής. Η ελάχιστη τιµή της παραπάνω κατανοµής είναι για: θ = ±π/2. Η κατανοµή της στατικής πίεσης πάνω στον κύλινδρο φαίνεται στο παρακάτω διάγραµµα: Από το ίδιο διάγραµµα προκύπτει ότι µόνο στην περιοχή της εισερχόµενης ροής η θεωρητική στατική πίεση (για µη συνεκτικό ρευστό) προσεγγίζει την πραγµατική (δηλ. την κατανοµή πίεσης για ροή συνεκτικού ρευστού). Στην περιοχή της απερχόµενης ροής οι δύο κατανοµές αποκλίνουν σηµαντικά. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι στην περίπτωση συνεκτικού ρευστού η συνεχώς ανερχόµενη πίεση στην περιοχή -π/2 < θ < +π/2 εµποδίζει το ρευστό να µείνει κολληµένο πάνω στην επιφάνεια του κυλίνδρου, µε αποτέλεσµα σε κάποιο σηµείο να έχουµε αποκόλληση και στην συνέχεια σχηµατισµό στροβιλισµών. Αποτέλεσµα των παραπάνω

είναι να µην έχουµε ανάκτηση της στατικής πίεσης, όπως συµβαίνει στην θεωρητική περίπτωση. Όπως για την ροή αέρα πάνω σε επίπεδη πλάκα έτσι και για την ροή γύρω από κύλινδρο σηµαντική επίδραση έχει ο αριθµός Reynolds. Γενικά ισχύει ότι όσο µεγαλύτερος είναι ο αριθµός Reynolds τόσο µικρότερη είναι η περιοχή όπου οι επιδράσεις τριβής είναι σηµαντικές. Για σώµατα τα οποία δεν έχουν αεροδυναµικό σχήµα παρατηρείται επιπλέον το φαινόµενο της αποκόλλησης της ροής (flow separation), όπως µπορούµε να διακρίνουµε στο παρακάτω σχήµα (b), (c): Για αριθµούς Reynolds µικρότερους του 1 το µέρος της ροής όπου οι επιδράσεις συνεκτικότητας είναι σηµαντικές είναι µεγάλο (µήκος αρκετών διαµέτρων πριν και µετά τον κύλινδρο). Καθώς ο αριθµός Reynolds αυξάνει η περιοχή µπροστά από τον κύλινδρο, όπου έχουµε συνεκτικές επιδράσεις µειώνεται πολύ,

όπως διακρίνουµε στο σχήµα (b) παραπάνω. Στο ίδιο σχήµα φαίνεται ακόµη το σηµείο αποκόλλησης, όπου οι δυνάµεις αδρανείας είναι αρκετά µεγάλες και τα σωµατίδια του ρευστού δεν µπορούν να ακολουθήσουν την επιφάνεια του κυλίνδρου. Τέλος σε κάποια απόσταση από τον κύλινδρο σχηµατίζεται µία περιοχή όπου τα σωµατίδια του ρευστού κινούνται κατ αρχάς αντίθετα και στην συνέχεια περιφερειακά µέσα σ αυτήν. Τέλος για ακόµη µεγαλύτερους αριθµούς Reynolds η περιοχή συνεκτικών επιδράσεων περιορίζεται ουσιαστικά στην περιοχή µετά τον κύλινδρο ενώ µόνον µία λεπτή περιοχή, η περιοχή του οριακού στρώµατος δ<< D, έχει να κάνει µε τριβή πάνω στον κύλινδρο. Στο παρακάτω διάγραµµα περιγράφεται µε λεπτοµέρεια ο µηχανισµός αποκόλλησης κατά την ροή σωµατιδίου του ρευστού στην επιφάνεια του κυλίνδρου.

Ένα σωµατίδιο του ρευστού καθώς κινείται µέσα στην περιοχή του οριακού στρώµατος ξεκινώντας από το σηµείο Α προς το σηµείο F δέχεται την ίδια κατανοµή πίεσης µε τα σωµατίδια που βρίσκονται στα όρια του οριακού στρώµατος δηλ. την κατανοµή πίεσης µη συνεκτικής ροής. Ωστόσο λόγω της τριβής στην περιοχή κοντά στην επιφάνεια του κυλίνδρου, το σωµατίδιο του ρευστού που κινείται µέσα στο οριακό στρώµα χάνει ένα µέρος της κινητικής του ενέργειας. Αυτή η απώλεια κινητικής ενέργειας έχει σαν αποτέλεσµα το σωµατίδιο του ρευστού να µην έχει αρκετή ενέργεια για να υπερβεί την συνεχώς αυξανόµενη στατική πίεση από το σηµείο C µέχρι το σηµείο F. To έλλειµα αυτό κινητικής ενέργειας φαίνεται µε σαφήνεια στο προφίλ ταχύτητας του σηµείου C. Έτσι το σωµατίδιο του ρευστού δεν είναι σε θέση να κινηθεί µέχρι το σηµείο F. Αποτέλεσµα αυτής της πραγµατικότητας είναι να έχουµε αποκόλληση (separation) του ρευστού από την επιφάνεια του κυλίνδρου. Όπως φαίνεται και από το διάγραµµα κατανοµής της στατικής πίεσης η µέση πίεση στο πίσω µέρος του κυλίνδρου είναι πολύ µικρότερη από την µέση πίεση στο µπροστινό µέρος. Εποµένως αναπτύσσεται λόγω διαφοράς πίεσης µία δύναµη αντίστασης (pressure Drag), ενώ η δύναµη αντίστασης λόγω τριβής (friction Drag) είναι σηµαντικά µικρότερη. Πρέπει να σηµειώσουµε στο σηµείο αυτό ότι έξω από την συνεκτική περιοχή, λόγω πολύ µικρών κλίσεων της ταχύτητας (velocity gradients) και ενώ το ρευστό είναι συνεκτικό η ροή είναι ουσιαστικά ατριβής. Αντίθετα οι πολύ µεγάλες κλίσεις ταχυτήτων στην συνεκτική περιοχή όταν πολλαπλασιάζονται µε το δυναµικό ιξώδες του ρευστού δηµιουργούν διατµητικές τάσεις δυνάµεις, οι οποίες λαµβάνονται υποχρεωτικά υπ όψιν σε ισολογισµούς δυνάµεων (αυτό γίνεται π.χ. στην εξίσωση Navier Stokes). Kλείνοντας την συνοπτική αυτή περιγραφή πρέπει να αναφερθεί ότι οι περισσότερες από τις πραγµατικές ροές έχουν υψηλούς αριθµούς Reynolds. Η µελέτη των ροών αυτών γινόταν µέχρι πρόσφατα χωρίζοντας τον χώρο της ροής σε δύο περιοχές: την περιοχή ροής µε έντονες επιδράσεις των συνεκτικών παραµέτρων και την περιοχή όπου η ροή συµπεριφέρεται κατ ουσίαν ως µη συνεκτική, επιτρέποντας έτσι την πολύ απλούστερη διαδικασία µελέτης της. Τέλος, η ταχύτατη ανάπτυξη στον χώρο των ηλεκτρονικών υπολογιστών επιτρέπει σήµερα την µελέτη της

συνολικής ροής εξετάζοντάς την ως συνεκτική. εν ενδιαφέρει πλέον το κόστος του υπολογιστικού χρόνου επεξεργασίας, διότι ο χρόνος αυτός είναι εξαιρετικά φθηνός. εδοµένα H 1= 22 h 7 =-23 h 13 =-6 H 2 =16 h 8 =-13 h 3 =6 h 9 =-10 Pολ=10mm h 4 =-1 h 10 =-6 Pst=4mm h 5 =-20 h 11 =-6 h 6 =-30 h 12 =-6 h Mοίρες 0.022 0 0.016 15 0.006 30-0.001 45-0.020 60-0.030 75-0.023 90-0.013 105-0.010 120-0.006 135

-0.006 150-0.006 175-0.006 190 Επίσης γνωρίζουµε ότι. P atm =10000okg/m 2 ρ ν =1000kg/m 3 g =10m/s 2 ΕΡΩΤΗΜΑ 1 ο ΙΑΓΡΑΜΜΑ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗΣ ΠΙΕΣΗΣ P i =P atm +ρ ν h i Pi(N/m 3 ) 100220 100160 100060 99990 99800 99700 99770 99870 99900 99940 99940 99940 99940 100000

100300 100200 100100 100000 99900 Σειρά1 99800 99700 99600 0 50 100 150 200 ΕΡΩΤΗΜΑ 2 ο ΙΑΓΡΑΜΜΑ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ εδοµένα U 1 =2U SINθ θ=15 µεταξύ 2 σηµείων p α =1,2kg/m 3 P ολ =P st +(p α /2)U 2 =>U= 2(P α -P st )/ρ α U= (2*(100220-100000))/2=14,8 m/s U Sin0=0 0 Sin15=0,259 7,6664 Sin30=0,5 14,8 Sin45=0,707 20,9272 Sin60=0,866 25,6336 Sin75=0,966 28,5936 Sin90=1 29,6 Sin105=0,966 28,5936

Sin120=0,866 25,6336 Sin135=0,707 20,9272 Sin150=0,5 14,8 Sin175=0,087 2,5752 Sin190=-0,175 5,1504 35 30 25 20 15 10 5 0-5 -10 0 50 100 150 200 Σειρά1 ΕΡΩΤΗΜΑ 3 ο. ΙΑΓΡΑΜΜΑ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΘΕΩΡΗΤΙΚΩΝ ΠΙΕΣΕΩΝ P ολ =σταθ=p thi +(ρ α /2)*(Ui) 2 P ολ =P atm +ρ ν *g*h ολ =100000*1000*10*0,016=100160N/m 2 P sti =P ολ -(ρ α /2)*Ui 2 Pst θ 100160 99866,13 99064,8 97970,26 96874,59 96072,03 95779,2 96072,03 96874,59 97970,26 99064,8

100126,8 100027,4 100160 100500 100000 99500 99000 98500 98000 97500 97000 96500 96000 95500 0 50 100 150 200 Σειρά1