ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΣΕ ΟΡΙΖΟΝΤΙΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΜΕ ΔΥΟ ΣΩΜΑΤΑ Σώμα είναι τοποθετημένο πάνω σε ορίζοντα δίσκο.ο δίσκος τιθεται σε οριζόντια αρμονικη ταλάντωση με συχνότητα f.αν ο συντελεστης μέγιστης στατικης τριβής μεταξύ σώματος και δίσκου είναι μs ποια η μέγιστη τιμή ταλάντωσης του δίσκου ώστε το σώμα να μη γλιστρα πανω στη δίσκο ; Στο σώμα Σ ασκούνται δυο δυνάμεις : (α) το βάρος του mg και (β) η αντίδραση R του δίσκου R Κίνηση δεξιά B
T Ν Κίνηση δεξιά B.Η αντίδραση R πρέπει να περιεχει την κατακόρυφη συνιστωσα Ν,ιση με το βάρος του σώματος και την οριζόντια τριβη Τα,η οποία πρέπει να παιζει το ρολο της δύναμης επαναφοράς.στη διάρκεια της ταλάντωσης η στατικη τριβη αλλαζει περιοδικα μέτρο και κατεύθυνση,ώστε να ισχύει η συνθηκη ΣF=-DX. Θ.Ι Ν Τ Τ B Καθώς το σώμα Σ ταλαντώνει γύρω από τη θέση ισορροπίας η στατική τριβή που παίζει το ρόλο της δύναμης επαναφοράς έχει πάντα φορά προς τη Θ.Ι Επειδή το σώμα δεν γλυστρα πανω στο δίσκο η τριβη Τα είναι στατικη τριβη.στη διάρκεια μιας ταλάντωσης πλάτους Α η σταρικη τριβη μεταβάλλεται περιοδικα από την τιμή μηδέν
έως την τιμή Τ max =DA.Αυξανοντας το πλάτος θα αυξανει και η τιμή Τ.Ομως η στατικη τριβη δεν μπορεί να παρει τιμή μεγαλύτερη από Τ α α=μ s Ν = μ s mg που αντιστοιχεί σε ένα μέγιστο πλάτος ταλάντωσης Α max.δηλαδη : Τ max =F επαναφορας,max Ή μ s mg=-d m A max : και επειδη D m =mω 2 η τελευταια σχέση γίνεται μ s mg=- mω 2 A max ΑΣΚΗΣΗ 4 Το αριστερό άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=400 Ν/m στερεώνεται ακλόνητα και στο δεξιό άκρο του προσδένεται σώµα Σ1 µάζας m 1 =3 kg, το οποίο µπορεί να κινείται σε λείο οριζόντιο δάπεδο. Πάνω στο Σ 1 τοποθετείται δεύτερο σώµα Σ 2 µάζας m 2 =1 kg. Εκτοξεύουµε προς τα δεξιά το σύστηµα από τη θέση ισορροπίας του, µε ταχύτητα µέτρου V και παράλληλη µε το οριζόντιο επίπεδο, όπως στο σχήµα, οπότε το σύστηµα εκτελεί γραµµική αρµονική ταλάντωση. Τα δυο σώµατα διατηρούντην την επαφή στη διάρκεια τηςταλάντωσης. ταλάντωση α) Να υπολογίσετε τη γωνιακή συχνότητα της ταλάντωσης καθώς και τις σταθερές ταλάντωσης D ολ,
D 1 και D 2 του συστήµατος και των σωµάτων Σ 1 και Σ 2 αντίστοιχα. β) Να τοποθετήσετε το σύστηµα σε µια τυχαία θέση της ταλάντωσής του, να σχεδιάσετε και να περιγράψετε σε τρία κατάλληλα σχήµατα τις δυνάµεις, που δέχονται: i) το σύστηµα Σ 1 Σ 2, ii) το Σ 1 και iii) το Σ 2. γ) Να παραστήσετε γραφικά την αλγεβρική τιµή της στατικής τριβής από το Σ 1 στο Σ 2 σε συνάρτηση µε την αποµάκρυνση χ από τη θέση ισορροπίας του, για πλάτος ταλάντωσης Α=3 cm. δ) Να υπολογίσετε τη µέγιστη τιµή της αρχικής ταχύτητας εκτόξευσης Vmax, του συστήµατος των Σ1, Σ 2 ώστε το σώµα Σ 2 να µην ολισθήσει πάνω στο σώµα Σ 1. ίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10 m/s 2 και ο συντελεστής στατικής τριβής µεταξύ των δύο σωµάτων Σ 1 και Σ 2 ειναι μs=0,5. ΛΥΣΗ α) Τα δύο σώµατα του συστήµατος, έχουν κοινή γωνιακή συχνότητα ω, αλλά έχουν διαφορετική σταθερά Ταλάντωσης ( D ολ D 1 D 2 ). Το σύστηµα έχει σταθερά ταλάντωσης: D =Kελ= 400 N, ολική µάζα m ολ = 4Κg Η γωνιακή συχνότητα του συστήµατος είναι:d=mολ ω 2 / To κάθε σώμα έχει τη δικη του σταθερά επαναφοράς : D 1 =m 1 ω 2 =300 r/s, D 2 =m 2 ω 2 =100r/s β) Οι ασκούµενες δυνάµεις είναι: i) στο σύστηµα Σ 1 Σ 2 :
Στον χ-άξονα: Η δύναµη από το ελατήριο Fελ. Στον y-άξονα: Το βάρος, η δύναµη επαφής Ν από το λείο οριζόντιο δάπεδο. Fελ Ν Μ2 Μ1 Βολ Θ.Ι ii) στο Σ 1 : Στον χ-άξονα: Η δύναµη από το ελατήριο Fελ και η δύναµη της στατικής τριβής Τ από το Σ 2. Στον y-άξονα: Το βάρος Β 1, η δύναµη επαφής Ν 0 από το λείο οριζόντιο δάπεδο και η δύναµη επαφής N από το Σ 2.
Ν0 Fελ Τ Μ 1 Ν Β 1 iii) στο Σ 2 : Στον χ-άξονα: Η δύναµη της στατικής τριβής Τ από το Σ 1. Στον y-άξονα: Το βάρος Β 2 και η δύναµη επαφής N από το Σ 1. Ν Τ Β2 γ) Εφαρµόζουµε τη Συνθήκη ταλάντωσης ΣF = D 2 x T = D 2 x
για το Σ 2 και λαµβάνουµε υπόψη ότι η µοναδική δύναµη, που δέχεται στον οριζόντιο άξονα είναι η στατική τριβή Τα, άρα αποτελεί τη δύναµη επαναφοράς του Σ 2 : Άρα η αλγεβρική τιµή της στατικής τριβής δίνεται από τη συνάρτηση: T = 100 x, µε A x A 0,03 x 0,03, οπότε και 3 T 3(όλες οι τιµές στο S.I.). Η γραφική παράσταση φαίνεται στο παρακάτω σχήµα. δ) Εφαρµόζουµε τη Συνθήκη ταλάντωσης για το Σ 2 :ΣFx = D 2 x. Θεωρώντας θετική φορά την προς τα δεξιά, έχουµε: -T = D 2 Χ T = D 2 x. Παρατηρούµε ότι το µέτρο της στατικής τριβής είναι ανάλογο της αποµάκρυνσης χ, άρα η στατική τριβή µεγιστοποιείται στα ακρότατα, δηλαδή: T max = D 2 A. Γνωρίζουµε ότι η µέγιστη τιµή της στατικής, δηλαδή η οριακή τριβή Toρ είναι ίση µε: = μsν, όπου µs είναι ο συντελεστής στατικής τριβής µεταξύ των δύο σωµάτων και Ν είναι η κάθετη αντίδραση στο Σ 2, η οποία υπολογίζεται από τη Συνθήκη Ισορροπίας ΣF = 0 N = m g στον y-άξονα: Τελικά, η οριακή τριβή είναι ίση µε: T oρ =μ s m 2 g =5N Για να µην ολισθήσει το Σ 2 πάνω στο Σ 1 πρέπει:
Τ σ! "# $ %! "# % &,& Η µέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης υπολογίζεται από τη σχέση: υ max (), οπότε µε βάση την προηγούµενη ανισότητα θα ισχύει: υ max =0,5m