ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα : ΔΙΑΚΡΙΤΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ 1
Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3
Σκοποί ενότητας Με την ολοκλήρωση αυτής της ενότητας, θα είστε σε θέση: Να αναγνωρίζετε τα σήματα διακριτού χρόνου με ανάλυση Fourier, Να έχετε γνώση του διακριτού μετασχηματισμού Fourier. 4
Περιεχόμενα ενότητας 1. Ανάλυση FOURIER σημάτων διακριτού χρόνου 2. Η διακριτή σειρά FOURIER 3. Ο διακριτός μετασχηματισμός FOURIER 4. Ασκήσεις λυμένες 5. Ασκήσεις για Λύση 5
Ανάλυση Fourier σημάτων (1) Χρόνος Συχνότητα Fourier transform (FT) continuous continuous Fourier series (FS) Discrete-time Fourier transform (DTFT) Discrete Fourier series (DFS) Discrete Fourier transform (DFT) continuous periodic discrete discrete periodic discrete Continuous impulse train continuous periodic continuous impulse train, periodic discrete 6
Ανάλυση Fourier σημάτων (2) 7
Ανάλυση Fourier σημάτων (3) 8
Διακριτή σειρά Fourier (DFS) (1) Όπως και στην περίπτωση των σημάτων συνεχούς χρόνου μια περιοδική ακολουθία διακριτού χρόνου μπορεί να αναπαρασταθεί από μια σειρά Fourier, δηλαδή από ένα άθροισμα μιγαδικών εκθετικών όρων η συχνότητα των οποίων είναι ακέραιο πολλαπλάσιο της βασικής συχνότητας 2π/Ν. 9
Διακριτή σειρά Fourier (DFS) (2) Σε αντίθεση με την περίπτωση των σημάτων συνεχούς χρόνου η αναπαράσταση με σειρές Fourier δεν απαιτεί άπειρες αρμονικές (πολλαπλάσια της βασικής συχνότητας) αλλά μόνο Ν μιγαδικούς εκθετικούς όρους. Η αιτία είναι ότι οι μιγαδικοί εκθετικοί όροι είναι περιοδικοί ως προς Ν. 10
Discrete-Time Fourier Series (1) Ένα σήμα μπορεί να αναπαρασταθεί από ένα γραμμικό συνδυασμό ημιτόνων. 11
Discrete-Time Fourier Series (2) 12
Discrete-Time Fourier Series Concept (1) 13
Discrete-Time Fourier Series Concept (2) 14
Discrete-Time Fourier Series Concept (3) 15
Discrete-Time Fourier Series Concept (4) 16
Discrete-Time Fourier Series Concept (5) 17
Διακριτή σειρά Fourier (DFS) (3) 18
Διακριτή σειρά Fourier (DFS) (4) 19
Διακριτή σειρά Fourier (DFS) (5) 20
Παράδειγμα (1) 21
Παράδειγμα (2) 22
Παράδειγμα (3) 23
Παράδειγμα (4) 24
Παράδειγμα (5) 25
Παράδειγμα (6). 26
Παράδειγμα (7) 27
Παράδειγμα (8) 28
Παράδειγμα (9) 29
Διακριτός μετασχηματισμός Fourier (DFΤ) (1) Ο Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier (ΔΜΦ) χρησιμοποιείται για την συχνοτική αναπαράσταση σημάτων πεπερασμένου χρόνου. Στην πραγματικότητα αυτό που επιδιώκεται είναι ο υπολογισμός του Μετασχηματισμού Fourier Διακριτού Χρόνου (ΜΦΔΧ) αλλά αυτό που μπορεί στην πράξη να υπολογιστεί είναι ο ΔΜΦ (δεδομένου ότι ΜΦΔΧ είναι μιας συνεχής συνάρτηση της διακριτής συχνότητας ω). 30
Διακριτός μετασχηματισμός Fourier (DFΤ) (2) Ο ΔΜΦ εκτός από τη σημασία του για την αναπαράσταση ακολουθιών διακριτού χρόνου στο χώρο της συχνότητας αποτελεί τη βάση πολλών εφαρμογών για την επεξεργασία σήματος όπως η ανάλυση φάσματος και η κωδικοποίηση δεδομένων (εικόνες JPEG, MP3, video MPEG). 31
Διακριτός μετασχηματισμός Fourier (DFΤ) (3) Επιπλέον σε πολλές περιπτώσεις (όπως σε εφαρμογές ανάλυσης φάσματος αλλά και φιλτραρίσματος), τα σήματα δεν είναι πεπερασμένου μήκους και η εφαρμογή του ΔΜΦ απαιτεί: τη χρήση κάποιου χρονικού παραθύρου, την επεξεργασία ανά τμήματα, ή την χρήση μιας εναλλακτικής μορφής του ΔΜΦ, κατάλληλης για χρονικά μεταβαλλόμενα σήματα, η οποία καλείται Χρονικά Εξαρτημένος Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier (ΧΕΔΜΦ). 32
Διακριτός μετασχηματισμός Fourier (DFΤ) (4) 33
Διακριτός μετασχηματισμός Fourier (DFΤ) (5) 34
DFS & DFT 35
Διακριτός μετασχηματισμός Fourier (DFΤ) (6) 36
Διακριτός μετασχηματισμός Fourier (DFΤ) (7) 37
Ιδιότητες DFΤ- Γραμμικότητα 38
Ιδιότητες DFΤ- Κυκλική μετατόπιση (1) 39
Ιδιότητες DFΤ- Κυκλική μετατόπιση (2) 40
Ιδιότητες DFΤ- Κυκλική μετατόπιση (3) 41
Παράδειγμα (1) 42
Παράδειγμα (2) 43
Παράδειγμα (3) 44
Ιδιότητες DFΤ- Κυκλική μετατόπιση (4) 45
Ιδιότητες DFΤ- Κυκλική συνέλιξη (1) 46
Ιδιότητες DFΤ- Κυκλική συνέλιξη (2) 47
ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΔΙΑΚΡΙΤΟΣ Μ/Σ FOURIER 48
Γενικές ιδιότητες DFT 49
Ιδιότητες DFT Μιγαδικής Ακολουθίας 50
Ιδιότητες DFT Πραγματικής Ακολουθίας 51
Ζεύγη DFT 52
ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΞΑΣΚΗΣΗΣ ΔΙΑΚΡΙΤΟΣ Μ/Σ FOURIER 53
Άσκηση 1 54
Λύση της Άσκησης 1 (1) 55
Λύση της Άσκησης 1 (2) 56
Λύση της Άσκησης 1 (3) 57
Άσκηση 2 Να υπολογιστεί η γραμμική συνέλιξη των ακολουθιών x (n) και h(n) του προηγούμενου παραδείγματος, χρησιμοποιώντας κυκλική συνέλιξη. 58
Λύση της Άσκησης 2 (1) 59
Λύση της Άσκησης 2 (2) 60
Άσκηση 3 61
Λύση της Άσκησης 3 (1) 62
Λύση της Άσκησης 3 (2) 63
Λύση της Άσκησης 3 (3) 64
Λύση της Άσκησης 3 (4) 65
Λύση της Άσκησης 3 (5) 66
Λύση της Άσκησης 3 (6) 67
Λύση της Άσκησης 3 (7) 68
Λύση της Άσκησης 3 (8) 69
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΟΣ Μ/Σ FOURIER 70
Άσκηση 1 Να δειχθεί ότι ο ΔΜΦ του παρακάτω τετραγωνικού παλμού: 71
Άσκηση 2 (1) 72
Άσκηση 2 (2) 73
Άσκηση 2 (3) 74
Τέλος Ενότητας 75