BAB 8 : TABURAN KEBARANGKALIAN Sesi 1 Taburan Binomial A. Pembolehubah rawak diskret Contoh Jika X ialah satu pembolehubah rawak diskret yang mewakili bilangan hari hujan dalam seminggu, senaraikan semua nilai yang mungkin bagi X. B. Kebarangkalian suatu peristiwa dalam taburan binomial 1. Satu eksperimen yang mempunyai dua kesudahan sahaja iaitu kejayaan atau kegagalan. 2. Kebarangkalian untuk memperolehi r kali kejayaan dalam taburan binomial diberi oleh P(X = r) = ⁿC r p r q n r dengan n = bilangan percubaan p = kebarangkalian kejayaan q = kebarangkalian kegagalan (dengan p+q=1) Contoh 1 Jika sekeping duit syiling dilambung 8 kali, cari kebarangkalian bahawa angka muncul sebanyak 5 kali. 1
Contoh 2 Syafikah membeli 10 biji oren. Kebarangkalian sebiji oren yang dibeli masam ialah 0.2. Carikan kebarangkalian bahawa oren itu (a) tepat sebiji masam, (b) tidak lebih daripada sebiji oren masam, (c) sekurang-kurangnya dua biji oren masam. Graf Taburan Binomial Contoh Sebuah keluarga mempunyai tiga orang anak. Jika X mewakili bilangan anak lelaki, (a) senaraikan elemen pembolehubah rawak diskret binomial X, (b) hitungkan kebarangkalian untuk setiap elemen X, (c) plotkan graf untuk mewakili taburan binomial X. 2
Sesi 2 Min, varians dan sisihan piawai bagi taburan binomial Min, μ = np Varians, σ 2 = npq Sisihan piawai, σ = npq X~B(n, p) 3
Contoh 1 X ialah pembolehubah rawak diskret dengan X~B(n, p). Jika min dan sisihan piawai X masingmasing ialah 9.6 dan 2.4, carikan nilai n. 4
Contoh 2 Dalam satu peperiksaan percubaan SPM di sekolah, 2 daripada 5 orang pelajar gagal dalam Bahasa Inggeris. (a) Jika 6 orang dipilih secara rawak, carikan kebarangkalian tidak lebih daripada 2 orang pelajar gagal Bahasa Inggeris. (b) Jika terdapat 200 orang pelajar tingkatan 5 di sekolah itu, carikan min dan sisihan piawai bilangan pelajar yang gagal Bahasa Inggeris. 5
Contoh 3 Dalam satu kaji selidik, 60% daripada pesakit yang menghidap penyakit tertentu dipulihkan dengan ubat Y. Jika seorang doktor ingin memberi rawatan kepada 7 orang pesakit yang dipilih secara rawak dengan ubat Y, apakah kebarangkalian (a) 4 orang pesakit akan pulih? (b) lebih daripada 5 orang pesakit akan pulih? 6
Contoh 4 Sebuah kilang menghasilkan komponen elektronik. 10% daripada komponen tersebut adalah rosak. (a) Jika seorang juruteknik memilih 100 komponen itu secara rawak untuk diuju, carikan min dan sisihan piawai bagi komponen yang rosak. (b) Carikan bilangan komponen yang minimum supaya kebarangkalian memperoleh sekurangkurangnya satu komponen rosak melebihi 0.8. 7
Sesi 3 Taburan Normal Piawai Kebarangkalian skor-z. Contoh Cari nilai bagi setiap yang berikut : (a) P(Z > 1.92) (b) P(Z < 1.925) (c) P(Z 1.925) (d) P(Z > 2.3) (e) P(1.0 < Z < 2.0) (f) P( 2.5 < Z < 1.3) (g) P( 2.15 Z 0.5) (a) 8
(b) (c) 9
(d) (e) 10
(f) (g) #NOTA 1. P( Z < a) = P( a < Z < a) 2. P( Z > a) = P(Z > a) + P(Z < a) 11
Sesi 4 Contoh 2 Carikan skor-z bagi setiap yang berikut : (a) P(Z > z) = 0.3974 (b) P(Z < z) = 0.0202 (c) P(Z z) = 0.7 (d) P(Z > z) = 0.9247 (e) P( 1.2 Z z) = 0.237 (a) (b) 12
(c) (d) 13
(e) Menukarkan pembolehubah rawak bagi taburan normal, X, kepada pembolehubah piawai, Z X μ Z = σ Contoh Taburan normal X mempunyai min 15 dan varians 16. Cari skor-z apabila (a) x = 18 (b) x = 15 (c) x = 12.5 14
Mewakilkan kebarangkalian sesuatu peristiwa dengan mengunakan tatatanda set Contoh Jisim buah jambu yang dipetik dari sebuah dusun mempunyai taburan normal dengan min 250 g dan sisihan piawai 20 g. Wakilkan kebarangkalian jisim buah jambu yang dipilih secara rawak adalah lebih besar daripada 200 g tetapi kurang daripada 300 g dalam bentuk tatatanda set. Sesi 5 Menyelesaikan masalah yang melibatkan taburan normal Contoh 1 Markah sekumpulan pelajar dalam ujian Matematik Tambahan bertabur secara normal dengan min 55 dan varians 36. Jika seorang pelajar dipilih secara rawak, carikan kebarangkalian (a) markahnya lebih daripada 75, (b) markahnya diantara 50 dan 75. μ = 55 σ 2 = 36, σ = 6 (a) 15
(b) Contoh 2 Jisim sekeping biskut bertabur secara normal dengan min 7 g dan sisihan piawai 0.2 g. (a) Carikan kebarangkalian biskut yang dipiih secara rawak mempunyai jisim lebih daripada 7.25 g. (b) Jika 80% daripada biskut mempunyai jisim lebih daripada t g, carikan nilai t. 16
Contoh 3 Tinggi sekumpulan ahli kadet yang mengambil bahagian dalam perbarisan Hari Kebangsaaan bertabur secara normal dengan min 165 cm dan sisihan piawai 8 cm. (a) Cari kebarangkalian seorang ahli kadet yang dipilih secara rawak mempunyai ketinggian di antara 157 cm dan 177 cm. (b) Carikan bilangan ahli kadet yang tinggi mereka di antara 157 cm dan 177 cm, diberi bahawa terdapat sekumpulan 2000 orang ahli kadet. 17