Peta Konsep. 5.1 Sudut Positif dan Sudut Negatif Fungsi Trigonometri Bagi Sebarang Sudut FUNGSI TRIGONOMETRI

Transcript

1 Bab 5 FUNGSI TRIGONOMETRI Peta Konsep 5.1 Sudut Positif dan Sudut Negatif 5. 6 Fungsi Trigonometri Bagi Sebarang Sudut FUNGSI TRIGONOMETRI 5. Graf Fungsi Sinus, Kosinus dan Tangen 5.4 Identiti Asas 5.5 Rumus Penambahan dan Rumus Sudut Berganda 5. Graf Fungsi Sinus, Kosinus dan Tangen Hasil Pembelajaran Melakar graf fungsi trigonometri (a) = c + a sin b (b) = c + a kos b (c) = c + a tan b dengan a, b dan c ialah pemalar dan b > Menentukan bilangan penelesaian bagi persamaan trigonometri dengan menggunakan lakaran graf. Menelesaikan persamaan trigonometri dengan menggunakan graf-graf terlukis ( Sila Rujuk Modul Powerpoint Yang Disediakan Bersama ) 1

2 Hasil Pembelajaran 1: Melakar Graf Fungsi Trigonometri A. Graf Fungsi Sinus Amplitud = c + a sin b, kala kala a = amplitud b = bilangan kala dalam 6 atau c = bilangan anjakan 1. Lakarkan graf bagi setiap fungsi trigonometri berikut. Contoh 1: sin, (a) 4sin, Semak : a= b = 1 c = - Contoh : sin, (b) sin, Semak : a= b = c = -

3 (c) sin, (d) sin, Contoh : sin, (e) sin, Semak : a= - b = 1 c = Contoh 4 : sin 1, (f) sin 1, 1-1 Semak : a= b = 1 c = 1 Contoh 5 : sin (g) 5sin 1, Semak : a= b = 1 c = -

4 B. Graf Fungsi Kosinus = c + a cos b, a = amplitud b = bilangan kala dalam 6 atau c = bilangan anjakan kala kala. Lakarkan graf bagi setiap fungsi trigonometri berikut. Contoh 1 : cos, (a) cos, Semak : a= b = 1 - c = Contoh : cos, (b) cos, Semak : a= b = 1 c = 4

5 Contoh : cos 1, (e) cos 1, 4 Semak : a= b = 1 c = - Contoh 4 : cos, (f) 5cos, Semak : a= b = 1 c = - Contoh 5 : cos, (g) 4cos, Semak : 1 a= b = 1 c = -1 5

6 C. Graf Fungsi Tangen Asimtot = c + a tan b, a = amplitud b = bilangan kala dalam 6 atau c = bilangan anjakan Kala kala Contoh 1 : tan, (a) tan, - Contoh : tan, (b) tan, - Contoh : tan, (c) tan, - 6

7 Aktiviti Berkumpulan : JOM LAKAR Arahan : 1. Bentukkan kumpulan ( 4 orang satu kumpulan ). Setiap kumpulan mendapat sekeping papan putih ( saiz kecil ) dan pen marker atau kertas A4 ( beberapa helai ). Guru memaparkan soalan ini tahun demi tahun dan setiap kumpulan dikehendaki melakarkan graf fungsi trigonometri tersebut dalam masa minit. 4. Wakil setiap kumpulan akan mempamerkan jawapan masing-masing. 5. Guru memberi markah kepada hasilan pelajar. 5. Setelah selesai semua soalan ( mengikut kesuaian masa ). Guru memberi hadiah kepada kumpulan ang menang. 6. Guru membuat kesimpulan dan membincangkan analisis soalan secara keseluruhan. 7

8 Analisis Soalan SPM Kertas Bahagian A : ( 15) Tahun Jenis Graf Fungsi Trigonometri Julat Lakaran Graf kos 4 kos 18 5 kos 6 kos 7 kos 8 tan 9 kos 1 1 kos 11 sin 1 kos1 1 Tiada soalan lakaran graf 14 1 tan 15 kos 6 8

9 Hasil Pembelajaran : Menentukan bilangan penelesaian bagi persamaan trigonometri dengan menggunakan lakaran graf. Untuk menentukan bilangan penelesaian bagi sesuatu Info : persamaan trigonometri : (i) asingkan ungkapan trigonometri daripada ungkapan bukan trigonometri dahulu. (ii) kemudian, lakarkan kedua-dua gaf fungsi itu pada rajah ang sama. (iii) bilangan penelesian bagi persamaan trigonometri itu diwakili oleh bilangan titik persilangan bagi dua graf fungsi itu. Contoh 1 : Lakarkan graf kos 1, bagi. Daripada graf itu, (a) Natakan koordinat titik maksimum dan minimum bagi graf = kos + 1, (b) Tentukan bilangan penelesaian bagi persamaan trigonometri ( i ) kos 1, ( ii ) 4 kos 8 9

10 Penelesaian : Langkah 1: 1 Langkah : kos 1, bagi -1 (a) Daripada graf, koordinat titik maksimum ialah (, ) dan (, ). Koordinat titik minimum ialah (, ) (b) ( i ) Kos = -1 Kos + 1 = =kos+ 1 dan =, Daripada graf, terdapat satu titik persilangan bagi graf = kos + 1 dengan paksi-, Maka persamaan trigonometri kos = -1 mempunai satu penelesaian. (ii) 4ko 8 8 kos 4 kos Lakarkan graf 4 pada rajah ang sama. Daripada graf, terdapat satu titik persilangan bagi graf = kos +1 dengan graf 4 Maka persamaan trigonometri 4kos 8 mempunai satu penelesaian. 1

11 Contoh : (i) Lakarkan graf bagi = sin bagi. (ii) Seterusna, dengan menggunakan paksi ang sama, lukiskan satu garis lurus ang sesuai untuk mencari bilangan penelesaian bagi persamaan sin bagi. Natakan bilangan penelesaian itu. Penelesaian : ( i ) Tip Langkah penelesaian (i) Lakarkan graf (ii) Cari Persamaan garis lurus (iii) Lukiskan garis lurus sin 1 sin sin 1 1 Pilih atau nilai ang sesuai dan cari nilai ang sepadan (iv) Natakan bilangan titik penelesaian Plotkan garis lurus ini Bilangan penelesaian = 11

12 Latihan Format SPM Kertas 1 (a) Lakarkan graf bagi = 5 sin bagi. [ 4 markah ] (b) Seterusna, dengan menggunakan paksi ang sama, lukiskan satu garis lurus ang sesuai untuk mencari bilangan penelesaian bagi persamaan 5 5 sin = bagi. Natakan bilangan penelesaian itu. [ markah ] (a) Lakarkan graf bagi = - kos bagi. [ markah] (b) Seterusna, dengan menggunakan paksi ang sama, lukiskan satu garis lurus ang sesuai untuk 4 mencari bilangan penelesaian bagi persamaan kos bagi. Natakan bilangan penelesaian itu. [4 markah] 1

13 (a) Lakarkan graf bagi = sin bagi. (b) Seterusna, dengan menggunakan paksi ang sama, lukiskan satu garis lurus ang sesuai untuk mencari bilangan penelesaian bagi persamaan bagi 4 sin bagi. Natakan bilangan penelesaian itu. [7 markah] 4 (a) Lakar graf bagi = kos + 1 untuk. [4 markah] (b) Jika garis = k dilukis pada paksi ang sama, cari julat nilai k atau nilai k jika k 1 = kos (i) tiada penelesaian, (ii) mempunai satu penelesaian. [ markah] 1

14 5 (a) Lakar graf tan untuk [ markah] (b) Seterusna, dengan menggunakan paksi ang sama, lukiskan satu garis lurus ang sesuai untuk mencari bilangan penelesaian bagi persamaan tan 6 untuk. Natakan bilangan penelesaian itu. [ markah] 6.(a) Lakarkan graf bagi = 5 kos bagi. [ 4 markah] (b) Seterusna, dengan menggunakan paksi ang sama, lukiskan satu garis lurus ang sesuai untuk mencari bilangan penelesaian bagi persamaan kos = bagi. Natakan bilangan penelesaian itu. [ markah ] 14

15 7.(a) Lakarkan graf bagi = sin bagi. [ markah ] (b) Seterusna, dengan menggunakan paksi ang sama, lukiskan satu graf ang sesuai untuk mencari bilangan penelesaian bagi persamaan sin = bagi. Natakan bilangan penelesaian itu. [ markah ] 8 (a) Lakarkan graf bagi = tan bagi.. (b) Seterusna, dengan menggunakan paksi ang sama, lukiskan satu garis lurus ang sesuai untuk mencari bilangan penelesaian bagi persamaan 4 tan bagi. Natakan bilangan penelesaian itu. [6 markah ] 15

16 9. (a) Lakarkan graf bagi sin bagi [4 markah] (b) Seterusna, menggunakan paksi ang sama, lakarkan satu garis lurus ang bersesuaian untuk mencari bilangan penelesaian bagi persamaan - + Natakan bilangan penelesaian tersebut. sin = for. [ markah] 1 (a) Lakarkan graf bagi = 1 kos bagi. [ 4 markah ] (b) Seterusna, dengan menggunakan paksi ang sama, lukiskan satu garis lurus ang sesuai untuk mencari bilangan penelesaian bagi persamaan 6 kos = + bagi. Natakan bilangan penelesaian itu. [ markah] Selamat mencuba..!!! 16

17 Permarkahan : Apa ang pelajar perlu tahu dan ingat Garis lengkung tidak boleh melebihi atau tidak menentuh garis amplitud Pada garis lurus, pelajar mesti fokus kepada nilai pintasan dan bentuk kecerunan Lakaran ang salah (i) (ii) Graf tajam graf mendatar Kalaan mestilah tepat dengan julat ang diberi dalam soalan 17

18 Jawaban : 1(a) 5 b ) 5 (a) Bil Penelesaian = 6 (b) 4 (a) + + cos = = 4 + Bila =, = Bila =, = 1 Bilangan Penelesaian = (b) 4 sin = 1 sin = = Bilangan Penelesaian = 5 18

19 4. (i) k >, k < 1 (ii) k = 1 5. / Lukis di atas paksi ang sama Bil. Penelesaian = 4 6. (a) (b) 5 kos = 1 + 7, Bil. penelesaian= 19

20 7. (a) (b) =, Bil. penelesaian = 8. (a) (b) = + 4, Bil.penelesaian= 9. (a) (b) = +, Bil. penelesaian = 8

21 1. (a) (b) =, Bil. penelesaian = Selamat Maju Jaa!! 1