Konvergen dalam Peluang dan Distribusi
|
|
|
- Ευδοκία Μαρκόπουλος
- 8 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 limiting distribution Andi Kresna Jaya Jurusan Matematika July 5, 2014
2 Outline 1 Review 2 Motivasi 3 Konvergen dalam peluang 4 Konvergen dalam distribusi Back
3 Outline 1 Review 2 Motivasi 3 Konvergen dalam peluang 4 Konvergen dalam distribusi Back
4 Outline 1 Review 2 Motivasi 3 Konvergen dalam peluang 4 Konvergen dalam distribusi Back
5 Outline 1 Review 2 Motivasi 3 Konvergen dalam peluang 4 Konvergen dalam distribusi Back
6 Sasaran pembelajaran: Mampu menjelaskan kekonvergenan dalam distribusi dan kekonvergenan dalam peluang 1 Kemampuan memahami konsep kekonvergenan untuk barisan peubah acak 2 Ketepatan dalam memperoleh kekonvergenan dalam peluang 3 Ketepatan dalam memperoleh kekonvergenan dalam distribusi Metode: Kuliah dan Diskusi Text book: Hogg dan Craig, Introduction to Mathematical Statistics; Casella dan Berger, Statistical Inference
7 Opening Pertemuan Dua Kereta Api Sebuah kereta api berangkat dari Jakarta menuju Semarang pada jam dengan kecepatan 50 km/jam. Tiga jam kemudian (jam 16.00), kereta api lain berangkat dari Semarang menuju Jakarta dengan kecepatan 25 km/jam. Jarak antara Jakarta - Semarang adalah 450 km. Pada jam berapa kedua kereta api ini akan
8 Motivation Pembahasan di sini difokuskan pada fungsi kepadatan peluang dari sebuah peubah acak (fungsi dari sampel acak) yang bergantung pada ukuran sampel n. Ketaksamaan Chebyshev memberikan arah pembuktian untuk menunjukkan kekonvergenan barisan peubah acak. P( X µ kσ) 1 1 P( X µ < kσ) 1 k2 k 2. Jika X 1, X 2,, X n adalah barisan peubah acak dan Y n = u(x 1, X 2,, X n ) merupakan fungsi dari peubah-peubah acak tersebut, mampukah kita mendapatkan secara eksak distribusi dari Y n. Jika tidak, dapatkah diperoleh pendekatan untuk distribusinya ketika n menjadi sangat besar limiting distributions.
9 Motivation Pembahasan di sini difokuskan pada fungsi kepadatan peluang dari sebuah peubah acak (fungsi dari sampel acak) yang bergantung pada ukuran sampel n. Ketaksamaan Chebyshev memberikan arah pembuktian untuk menunjukkan kekonvergenan barisan peubah acak. P( X µ kσ) 1 1 P( X µ < kσ) 1 k2 k 2. Jika X 1, X 2,, X n adalah barisan peubah acak dan Y n = u(x 1, X 2,, X n ) merupakan fungsi dari peubah-peubah acak tersebut, mampukah kita mendapatkan secara eksak distribusi dari Y n. Jika tidak, dapatkah diperoleh pendekatan untuk distribusinya ketika n menjadi sangat besar limiting distributions.
10 Motivation Pembahasan di sini difokuskan pada fungsi kepadatan peluang dari sebuah peubah acak (fungsi dari sampel acak) yang bergantung pada ukuran sampel n. Ketaksamaan Chebyshev memberikan arah pembuktian untuk menunjukkan kekonvergenan barisan peubah acak. P( X µ kσ) 1 1 P( X µ < kσ) 1 k2 k 2. Jika X 1, X 2,, X n adalah barisan peubah acak dan Y n = u(x 1, X 2,, X n ) merupakan fungsi dari peubah-peubah acak tersebut, mampukah kita mendapatkan secara eksak distribusi dari Y n. Jika tidak, dapatkah diperoleh pendekatan untuk distribusinya ketika n menjadi sangat besar limiting distributions.
11 Motivation Pembahasan di sini difokuskan pada fungsi kepadatan peluang dari sebuah peubah acak (fungsi dari sampel acak) yang bergantung pada ukuran sampel n. Ketaksamaan Chebyshev memberikan arah pembuktian untuk menunjukkan kekonvergenan barisan peubah acak. P( X µ kσ) 1 1 P( X µ < kσ) 1 k2 k 2. Jika X 1, X 2,, X n adalah barisan peubah acak dan Y n = u(x 1, X 2,, X n ) merupakan fungsi dari peubah-peubah acak tersebut, mampukah kita mendapatkan secara eksak distribusi dari Y n. Jika tidak, dapatkah diperoleh pendekatan untuk distribusinya ketika n menjadi sangat besar limiting distributions.
12 Convergence in probability Definisi 1 Misalkan {X n } adalah barisan peubah acak dan X adalah sebuah peubah acak yang terdefinisi pada suatu ruang sampel. X n konvergen dalam peluang ke X jika untuk setiap ɛ > 0 berlaku atau lim P( X n X ɛ) = 0, n lim P( X n X < ɛ) = 1. n Notasi untuk menyatakan X n konvergen dalam peluang ke X adalah X n p X. Cara yang paling sederhana untuk menunjukkan kekonvergenan dalam peluang barisan peubah acak ke peubah acak tertentu adalah dengan menggunakan teorema Chebyshev.
13 Convergence in probability Definisi 1 Misalkan {X n } adalah barisan peubah acak dan X adalah sebuah peubah acak yang terdefinisi pada suatu ruang sampel. X n konvergen dalam peluang ke X jika untuk setiap ɛ > 0 berlaku atau lim P( X n X ɛ) = 0, n lim P( X n X < ɛ) = 1. n Notasi untuk menyatakan X n konvergen dalam peluang ke X adalah X n p X. Cara yang paling sederhana untuk menunjukkan kekonvergenan dalam peluang barisan peubah acak ke peubah acak tertentu adalah dengan menggunakan teorema Chebyshev.
14 example 1 Misalkan X n adalah mean sampel dari sebuah distribusi yang meannya µ dan variansinya σ 2 > 0. Maka X n berdistribusi dengan mean µ dan variansinya σ 2 /n. Untuk setiap ɛ > 0, pilih k = ɛ n/σ, maka P ( X n µ ɛ ) ( = P X n µ kσ ) n Dengan menggunakan ketaksamaan Chebyshev, P ( X n µ ɛ ) 1 k 2 = σ2 ɛ 2 n Jika n maka P ( X n µ ɛ ) = 0. Hal ini berarti X p µ
15 example 1 Misalkan X n adalah mean sampel dari sebuah distribusi yang meannya µ dan variansinya σ 2 > 0. Maka X n berdistribusi dengan mean µ dan variansinya σ 2 /n. Untuk setiap ɛ > 0, pilih k = ɛ n/σ, maka P ( X n µ ɛ ) ( = P X n µ kσ ) n Dengan menggunakan ketaksamaan Chebyshev, P ( X n µ ɛ ) 1 k 2 = σ2 ɛ 2 n Jika n maka P ( X n µ ɛ ) = 0. Hal ini berarti X p µ
16 example 1 Misalkan X n adalah mean sampel dari sebuah distribusi yang meannya µ dan variansinya σ 2 > 0. Maka X n berdistribusi dengan mean µ dan variansinya σ 2 /n. Untuk setiap ɛ > 0, pilih k = ɛ n/σ, maka P ( X n µ ɛ ) ( = P X n µ kσ ) n Dengan menggunakan ketaksamaan Chebyshev, P ( X n µ ɛ ) 1 k 2 = σ2 ɛ 2 n Jika n maka P ( X n µ ɛ ) = 0. Hal ini berarti X p µ
17 example 1 Misalkan X n adalah mean sampel dari sebuah distribusi yang meannya µ dan variansinya σ 2 > 0. Maka X n berdistribusi dengan mean µ dan variansinya σ 2 /n. Untuk setiap ɛ > 0, pilih k = ɛ n/σ, maka P ( X n µ ɛ ) ( = P X n µ kσ ) n Dengan menggunakan ketaksamaan Chebyshev, P ( X n µ ɛ ) 1 k 2 = σ2 ɛ 2 n Jika n maka P ( X n µ ɛ ) = 0. Hal ini berarti X p µ
18 example 1 Misalkan X n adalah mean sampel dari sebuah distribusi yang meannya µ dan variansinya σ 2 > 0. Maka X n berdistribusi dengan mean µ dan variansinya σ 2 /n. Untuk setiap ɛ > 0, pilih k = ɛ n/σ, maka P ( X n µ ɛ ) ( = P X n µ kσ ) n Dengan menggunakan ketaksamaan Chebyshev, P ( X n µ ɛ ) 1 k 2 = σ2 ɛ 2 n Jika n maka P ( X n µ ɛ ) = 0. Hal ini berarti X p µ
19 Teorema 1 {X n } adalah barisan peubah acak yang iid dengan mean µ dan variansi σ 2 <. Teorema 2 X n = 1 n n p X i X n µ. i=1 X n p X dan Yn p Y Xn + Y n p X + Y. Teorema 3 X n p X dan a adalah konstan Xn + Y n p X + Y. Teorema 4 X n p a dan g adalah fungsi real yang kontinu di a g(x n ) p g(a).
20 Teorema 5 X n p X dan Yn p Y Xn Y n p X Y. Definisi 2 Misalkan X 1, X 2,, X n adalah sampel acak dari distribusi yang fungsi peluang kumulatif F (x, θ), θ Ω. T n adalah fungsi dari sampel acak (statistik), T n adalah penaksir konsisten untuk θ jika T n p θ.
21 Example 2 Misalkan X 1, X 2,, X n adalah sampel acak dari sebuah distribusi dengam mean µ dan variansi σ 2. Misalkan variansi sampelnya Sn 2 = 1 n ( ) 2 Xi X n n 1 maka S 2 n = ( n 1 n 1 n i=1 n i=1 X 2 i X 2 n ) p σ 2 Variansi sampel adalah penaksir konsisten untuk σ 2.
22 Example 2 Misalkan X 1, X 2,, X n adalah sampel acak dari sebuah distribusi dengam mean µ dan variansi σ 2. Misalkan variansi sampelnya Sn 2 = 1 n ( ) 2 Xi X n n 1 maka S 2 n = ( n 1 n 1 n i=1 n i=1 X 2 i X 2 n ) p σ 2 Variansi sampel adalah penaksir konsisten untuk σ 2.
23 Example 2 Misalkan X 1, X 2,, X n adalah sampel acak dari sebuah distribusi dengam mean µ dan variansi σ 2. Misalkan variansi sampelnya Sn 2 = 1 n ( ) 2 Xi X n n 1 maka S 2 n = ( n 1 n 1 n i=1 n i=1 X 2 i X 2 n ) p σ 2 Variansi sampel adalah penaksir konsisten untuk σ 2.
24 Convergence in distribution Perhatikan bahwa X 1, X 2,, X n adalah barisan peubah acak dan Y n = u(x 1, X 2,, X n ) adalah sebuah fungsi peubah acak dengan fungsi peluang kumulatif F n (y) sehingga untuk n = 1, 2, F n (y) = P(Y n y) lim F n(y) = F (y) n Jika F (y) adalah fungsi kontinu, maka Y n dikatakan konvergen dalam distribusi ke Y. Y n D Y
25 Convergence in distribution Perhatikan bahwa X 1, X 2,, X n adalah barisan peubah acak dan Y n = u(x 1, X 2,, X n ) adalah sebuah fungsi peubah acak dengan fungsi peluang kumulatif F n (y) sehingga untuk n = 1, 2, F n (y) = P(Y n y) lim F n(y) = F (y) n Jika F (y) adalah fungsi kontinu, maka Y n dikatakan konvergen dalam distribusi ke Y. Y n D Y
26 Definisi 3 Misalkan {X n } adalah barisan sampel acak dan X adalah sebuah peubah acak. Misalkan F Xn dan F X merupakan fungsi peluang kumulatif dari X n dan X. Misalkan C(F X ) adalah himpunan semua titik sehingga F X kontinu. X n konvergen dalam distribusi ke X jika lim F X n n (x) = F X (x), x C(F X ). Misalkan X n adalah sampel acak yang semuanya mempunyai massa 1/n dan misalkan X adalah peubah acak yang massanya 0. Massa untuk X n konvergen ke 0. Untuk titik diskontinu dari F X, perhatikan bahwa lim F Xn (0) = 0 1 = F X (0). Untuk titik kontinu dari F X, berlaku lim F Xn (x) = F X (x). X n D X.
27 Definisi 3 Misalkan {X n } adalah barisan sampel acak dan X adalah sebuah peubah acak. Misalkan F Xn dan F X merupakan fungsi peluang kumulatif dari X n dan X. Misalkan C(F X ) adalah himpunan semua titik sehingga F X kontinu. X n konvergen dalam distribusi ke X jika lim F X n n (x) = F X (x), x C(F X ). Misalkan X n adalah sampel acak yang semuanya mempunyai massa 1/n dan misalkan X adalah peubah acak yang massanya 0. Massa untuk X n konvergen ke 0. Untuk titik diskontinu dari F X, perhatikan bahwa lim F Xn (0) = 0 1 = F X (0). Untuk titik kontinu dari F X, berlaku lim F Xn (x) = F X (x). X n D X.
28 Definisi 3 Misalkan {X n } adalah barisan sampel acak dan X adalah sebuah peubah acak. Misalkan F Xn dan F X merupakan fungsi peluang kumulatif dari X n dan X. Misalkan C(F X ) adalah himpunan semua titik sehingga F X kontinu. X n konvergen dalam distribusi ke X jika lim F X n n (x) = F X (x), x C(F X ). Misalkan X n adalah sampel acak yang semuanya mempunyai massa 1/n dan misalkan X adalah peubah acak yang massanya 0. Massa untuk X n konvergen ke 0. Untuk titik diskontinu dari F X, perhatikan bahwa lim F Xn (0) = 0 1 = F X (0). Untuk titik kontinu dari F X, berlaku lim F Xn (x) = F X (x). X n D X.
29 Definisi 3 Misalkan {X n } adalah barisan sampel acak dan X adalah sebuah peubah acak. Misalkan F Xn dan F X merupakan fungsi peluang kumulatif dari X n dan X. Misalkan C(F X ) adalah himpunan semua titik sehingga F X kontinu. X n konvergen dalam distribusi ke X jika lim F X n n (x) = F X (x), x C(F X ). Misalkan X n adalah sampel acak yang semuanya mempunyai massa 1/n dan misalkan X adalah peubah acak yang massanya 0. Massa untuk X n konvergen ke 0. Untuk titik diskontinu dari F X, perhatikan bahwa lim F Xn (0) = 0 1 = F X (0). Untuk titik kontinu dari F X, berlaku lim F Xn (x) = F X (x). X n D X.
30 Example 3 Misalkan X 1, X 2,, X n adalah sampel acak dari distribusi seragam, Unif (0, 1). Tentukan distribusi limit untuk X (n), statistik terurut ke-n. Perhatikan bahwa fkp distribusi seragam adalah f (x) = 1, 0 < x < 1 dan fungsi kumulatifnya, F (x) = x, 0 < x < 1. Misalkan F n (x) = P(X (n) x) adalah fungsi peluang kumulatif untuk X (n), maka n F n (x) = P(X i x) = i=1 n F (x) i=1 = x n, 0 < x < 1.
31 Example 3 Misalkan X 1, X 2,, X n adalah sampel acak dari distribusi seragam, Unif (0, 1). Tentukan distribusi limit untuk X (n), statistik terurut ke-n. Perhatikan bahwa fkp distribusi seragam adalah f (x) = 1, 0 < x < 1 dan fungsi kumulatifnya, F (x) = x, 0 < x < 1. Misalkan F n (x) = P(X (n) x) adalah fungsi peluang kumulatif untuk X (n), maka n F n (x) = P(X i x) = i=1 n F (x) i=1 = x n, 0 < x < 1.
32 Example 3 Misalkan X 1, X 2,, X n adalah sampel acak dari distribusi seragam, Unif (0, 1). Tentukan distribusi limit untuk X (n), statistik terurut ke-n. Perhatikan bahwa fkp distribusi seragam adalah f (x) = 1, 0 < x < 1 dan fungsi kumulatifnya, F (x) = x, 0 < x < 1. Misalkan F n (x) = P(X (n) x) adalah fungsi peluang kumulatif untuk X (n), maka n F n (x) = P(X i x) = i=1 n F (x) i=1 = x n, 0 < x < 1.
33 Example 3 Misalkan X 1, X 2,, X n adalah sampel acak dari distribusi seragam, Unif (0, 1). Tentukan distribusi limit untuk X (n), statistik terurut ke-n. Perhatikan bahwa fkp distribusi seragam adalah f (x) = 1, 0 < x < 1 dan fungsi kumulatifnya, F (x) = x, 0 < x < 1. Misalkan F n (x) = P(X (n) x) adalah fungsi peluang kumulatif untuk X (n), maka n F n (x) = P(X i x) = i=1 n F (x) i=1 = x n, 0 < x < 1.
34 Example 3 Maka dari hasil tersebut diperoleh lim n(x) n = 0, x < 1 lim n(x) n = 1, x 1. Tentukan distribusi limit untuk X (n), statistik terurut ke-n. Ini berarti X (n) D X yang mempunyai fungsi distribusi F (x) = 0 untuk x < 1 dan F (x) = 1 ketika x 1. Degenerate Distribution (distribusi peluang yang hanya ditentukan oleh satu nilai) Misalkan X 1, X 2,, X n adalah sampel acak dari distribusi seragam, Unif (0, θ). Tentukan distribusi limit untuk Z n = n(θ X (n) ), di mana X (n) adalah statistik terurut ke-n dari sampel acak distribusi Unif (0, θ).
35 Example 3 Maka dari hasil tersebut diperoleh lim n(x) n = 0, x < 1 lim n(x) n = 1, x 1. Tentukan distribusi limit untuk X (n), statistik terurut ke-n. Ini berarti X (n) D X yang mempunyai fungsi distribusi F (x) = 0 untuk x < 1 dan F (x) = 1 ketika x 1. Degenerate Distribution (distribusi peluang yang hanya ditentukan oleh satu nilai) Misalkan X 1, X 2,, X n adalah sampel acak dari distribusi seragam, Unif (0, θ). Tentukan distribusi limit untuk Z n = n(θ X (n) ), di mana X (n) adalah statistik terurut ke-n dari sampel acak distribusi Unif (0, θ).
36 Example 3 Maka dari hasil tersebut diperoleh lim n(x) n = 0, x < 1 lim n(x) n = 1, x 1. Tentukan distribusi limit untuk X (n), statistik terurut ke-n. Ini berarti X (n) D X yang mempunyai fungsi distribusi F (x) = 0 untuk x < 1 dan F (x) = 1 ketika x 1. Degenerate Distribution (distribusi peluang yang hanya ditentukan oleh satu nilai) Misalkan X 1, X 2,, X n adalah sampel acak dari distribusi seragam, Unif (0, θ). Tentukan distribusi limit untuk Z n = n(θ X (n) ), di mana X (n) adalah statistik terurut ke-n dari sampel acak distribusi Unif (0, θ).
37 Example 3 Maka dari hasil tersebut diperoleh lim n(x) n = 0, x < 1 lim n(x) n = 1, x 1. Tentukan distribusi limit untuk X (n), statistik terurut ke-n. Ini berarti X (n) D X yang mempunyai fungsi distribusi F (x) = 0 untuk x < 1 dan F (x) = 1 ketika x 1. Degenerate Distribution (distribusi peluang yang hanya ditentukan oleh satu nilai) Misalkan X 1, X 2,, X n adalah sampel acak dari distribusi seragam, Unif (0, θ). Tentukan distribusi limit untuk Z n = n(θ X (n) ), di mana X (n) adalah statistik terurut ke-n dari sampel acak distribusi Unif (0, θ).
38 Example 3 Maka dari hasil tersebut diperoleh lim n(x) n = 0, x < 1 lim n(x) n = 1, x 1. Tentukan distribusi limit untuk X (n), statistik terurut ke-n. Ini berarti X (n) D X yang mempunyai fungsi distribusi F (x) = 0 untuk x < 1 dan F (x) = 1 ketika x 1. Degenerate Distribution (distribusi peluang yang hanya ditentukan oleh satu nilai) Misalkan X 1, X 2,, X n adalah sampel acak dari distribusi seragam, Unif (0, θ). Tentukan distribusi limit untuk Z n = n(θ X (n) ), di mana X (n) adalah statistik terurut ke-n dari sampel acak distribusi Unif (0, θ).
39 Example 3 Maka dari hasil tersebut diperoleh lim n(x) n = 0, x < 1 lim n(x) n = 1, x 1. Tentukan distribusi limit untuk X (n), statistik terurut ke-n. Ini berarti X (n) D X yang mempunyai fungsi distribusi F (x) = 0 untuk x < 1 dan F (x) = 1 ketika x 1. Degenerate Distribution (distribusi peluang yang hanya ditentukan oleh satu nilai) Misalkan X 1, X 2,, X n adalah sampel acak dari distribusi seragam, Unif (0, θ). Tentukan distribusi limit untuk Z n = n(θ X (n) ), di mana X (n) adalah statistik terurut ke-n dari sampel acak distribusi Unif (0, θ).
40 Perhatikan bahwa f (x) = 1/θ, 0 < x < θ dan P(X x) = x/θ, 0 < x < θ. Maka n P(X (n) x) = P(X x) i=1 ( x ) n =, 0 < x < θ. θ Maka fungsi distribusi untuk Z n adalah G n (z) = P(Z n z) = P(n(θ X (n) ) z) ( = P X (n) > θ z ) ( n = 1 P X (n) θ z ) ( n = 1 1 z ) n nθ
41 Perhatikan bahwa f (x) = 1/θ, 0 < x < θ dan P(X x) = x/θ, 0 < x < θ. Maka n P(X (n) x) = P(X x) i=1 ( x ) n =, 0 < x < θ. θ Maka fungsi distribusi untuk Z n adalah G n (z) = P(Z n z) = P(n(θ X (n) ) z) ( = P X (n) > θ z ) ( n = 1 P X (n) θ z ) ( n = 1 1 z ) n nθ
42 Example 4 Misalkan sampel acak X 1, X 2,, X n sehingga X n mempunyai fkp dan nol untuk yang lain. Maka untuk < x < f n (x) = 1, x = n, lim f n(x) = 0. n f n (x) konvergen ke f (x) = 0 yang bukan merupakan sebuah fkp. Walaupun demikian diperoleh fungsi distribusinya F n (x) = 0 untuk x < n F n (x) = 1 untuk x n.
43 Example 4 Misalkan sampel acak X 1, X 2,, X n sehingga X n mempunyai fkp dan nol untuk yang lain. Maka untuk < x < f n (x) = 1, x = n, lim f n(x) = 0. n f n (x) konvergen ke f (x) = 0 yang bukan merupakan sebuah fkp. Walaupun demikian diperoleh fungsi distribusinya F n (x) = 0 untuk x < n F n (x) = 1 untuk x n.
44 Example 4 Misalkan sampel acak X 1, X 2,, X n sehingga X n mempunyai fkp dan nol untuk yang lain. Maka untuk < x < f n (x) = 1, x = n, lim f n(x) = 0. n f n (x) konvergen ke f (x) = 0 yang bukan merupakan sebuah fkp. Walaupun demikian diperoleh fungsi distribusinya F n (x) = 0 untuk x < n F n (x) = 1 untuk x n.
45 Example 4 Misalkan sampel acak X 1, X 2,, X n sehingga X n mempunyai fkp dan nol untuk yang lain. Maka untuk < x < f n (x) = 1, x = n, lim f n(x) = 0. n f n (x) konvergen ke f (x) = 0 yang bukan merupakan sebuah fkp. Walaupun demikian diperoleh fungsi distribusinya F n (x) = 0 untuk x < n F n (x) = 1 untuk x n.
46 Example 4 Misalkan sampel acak X 1, X 2,, X n sehingga X n mempunyai fkp dan nol untuk yang lain. Maka untuk < x < f n (x) = 1, x = n, lim f n(x) = 0. n f n (x) konvergen ke f (x) = 0 yang bukan merupakan sebuah fkp. Walaupun demikian diperoleh fungsi distribusinya F n (x) = 0 untuk x < n F n (x) = 1 untuk x n.
47 Example 4 Misalkan sampel acak X 1, X 2,, X n sehingga X n mempunyai fkp dan nol untuk yang lain. Maka untuk < x < f n (x) = 1, x = n, lim f n(x) = 0. n f n (x) konvergen ke f (x) = 0 yang bukan merupakan sebuah fkp. Walaupun demikian diperoleh fungsi distribusinya F n (x) = 0 untuk x < n F n (x) = 1 untuk x n.
48 Example 5 Misalkan X 1, X 2,, X n sampel acak dari distribusi N(µ, σ 2 ), tunjukkan bahwa Z n = n i=1 X i tidak mempunyai limit distribusi. Z n berdistribusi N(nµ, nσ 2 ), maka fungsi distribusinya ( Zn nµ F n (z) = P(Z n z) = P σ z nµ ) n σ n ( ) z nµ = Φ σ n di mana Φ adalah fungsi distribusi dari distribusi N(0, 1). Jika µ < 0, maka F n (z) 1 untuk < z <. Jika µ = 0, maka F n (z) 0.5 untuk < z <. Jika µ > 0, maka F n (z) 0 untuk < z <.
49 Example 5 Misalkan X 1, X 2,, X n sampel acak dari distribusi N(µ, σ 2 ), tunjukkan bahwa Z n = n i=1 X i tidak mempunyai limit distribusi. Z n berdistribusi N(nµ, nσ 2 ), maka fungsi distribusinya ( Zn nµ F n (z) = P(Z n z) = P σ z nµ ) n σ n ( ) z nµ = Φ σ n di mana Φ adalah fungsi distribusi dari distribusi N(0, 1). Jika µ < 0, maka F n (z) 1 untuk < z <. Jika µ = 0, maka F n (z) 0.5 untuk < z <. Jika µ > 0, maka F n (z) 0 untuk < z <.
50 Example 5 Misalkan X 1, X 2,, X n sampel acak dari distribusi N(µ, σ 2 ), tunjukkan bahwa Z n = n i=1 X i tidak mempunyai limit distribusi. Z n berdistribusi N(nµ, nσ 2 ), maka fungsi distribusinya ( Zn nµ F n (z) = P(Z n z) = P σ z nµ ) n σ n ( ) z nµ = Φ σ n di mana Φ adalah fungsi distribusi dari distribusi N(0, 1). Jika µ < 0, maka F n (z) 1 untuk < z <. Jika µ = 0, maka F n (z) 0.5 untuk < z <. Jika µ > 0, maka F n (z) 0 untuk < z <.
51 Example 5 Misalkan X 1, X 2,, X n sampel acak dari distribusi N(µ, σ 2 ), tunjukkan bahwa Z n = n i=1 X i tidak mempunyai limit distribusi. Z n berdistribusi N(nµ, nσ 2 ), maka fungsi distribusinya ( Zn nµ F n (z) = P(Z n z) = P σ z nµ ) n σ n ( ) z nµ = Φ σ n di mana Φ adalah fungsi distribusi dari distribusi N(0, 1). Jika µ < 0, maka F n (z) 1 untuk < z <. Jika µ = 0, maka F n (z) 0.5 untuk < z <. Jika µ > 0, maka F n (z) 0 untuk < z <.
52 Closing
Kalkulus Multivariabel I
Limit dan Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Operasi Aljabar pada Pembahasan pada limit untuk fungsi dua peubah adalah memberikan pengertian mengenai lim f (x, y) = L (x,y) (a,b) Masalahnya adalah
A. Distribusi Gabungan
HANDOUT PERKULIAHAN Mata Kuliah Pokok Bahasan : Statistika Matematika : Distibusi Dua peubah Acak URAIAN POKOK PERKULIAHAN A. Distribusi Gabungan Definisi 1: Peubah Acak Berdimensi Dua Jika S merupakan
Kalkulus Multivariabel I
Fungsi Dua Peubah atau Lebih dan Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2015 dengan Dua Peubah Real dengan Dua Peubah Real Pada fungsi satu peubah f : D R R D adalah daerah asal (domain) suatu fungsi
Sebaran Peluang Gabungan
Sebaran Peluang Gabungan Peubah acak dan sebaran peluangnya terbatas pada ruang sampel berdimensi satu. Dengan kata lain, hasil percobaan berasal dari peubah acak yan tunggal. Tetapi, pada banyak keadaan,
Kalkulus 1. Sistem Bilangan Real. Atina Ahdika, S.Si, M.Si. Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia
Kalkulus 1 Sistem Bilangan Real Atina Ahdika, S.Si, M.Si Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Sistem Bilangan Real Himpunan: sekumpulan obyek/unsur dengan kriteria/syarat tertentu. 1 Himpunan mahasiswa
Matematika
Sistem Bilangan Real D3 Analis Kimia FMIPA Universitas Islam Indonesia Sistem Bilangan Real Himpunan: sekumpulan obyek/unsur dengan kriteria/syarat tertentu. 1 Himpunan mahasiswa D3 Analis Kimia angkatan
Sebaran Kontinu HAZMIRA YOZZA IZZATI RAHMI HG JURUSAN MATEMATIKA FMIPA UNAND LOGO
Sebaran Kontinu HAZMIRA YOZZA IZZATI RAHMI HG JURUSAN MATEMATIKA FMIPA UNAND Kompetensi menguraikan ciri-ciri suatu kurva normal menentukan luas daerah dibawah kurva normal menerapkan sebaran normal dalam
Sistem Koordinat dan Fungsi. Matematika Dasar. untuk Fakultas Pertanian. Uha Isnaini. Uhaisnaini.com. Matematika Dasar
untuk Fakultas Pertanian Uhaisnaini.com Contents 1 Sistem Koordinat dan Fungsi Sistem Koordinat dan Fungsi Sistem koordinat adalah suatu cara/metode untuk menentukan letak suatu titik. Ada beberapa macam
Pengantar Proses Stokastik
Bab 6: Rantai Markov Waktu Kontinu Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Rantai Markov Waktu Kontinu Peluang Kesetimbangan Pada bab ini, kita akan belajar mengenai rantai markov waktu kontinu yang
TEORI PELUANG* TKS 6112 Keandalan Struktur. Pendahuluan
TKS 6112 Keandalan Struktur TEORI PELUANG* * www.zacoeb.lecture.ub.ac.id Pendahuluan Sebuah bangunan dirancang melalui serangkaian perhitungan yang cermat terhadap beban-beban rencana dan bangunan tersebut
PERSAMAAN KUADRAT. 06. EBT-SMP Hasil dari
PERSAMAAN KUADRAT 0. EBT-SMP-00-8 Pada pola bilangan segi tiga Pascal, jumlah bilangan pada garis ke- a. 8 b. 6 c. d. 6 0. EBT-SMP-0-6 (a + b) = a + pa b + qa b + ra b + sab + b Nilai p q = 0 6 70 0. MA-77-
Pengantar Proses Stokastik
Bab 6: Rantai Markov Waktu Kontinu Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Rantai Markov Waktu Kontinu Peluang Kesetimbangan Pada bab ini, kita akan belajar mengenai rantai markov waktu kontinu yang
S T A T I S T I K A OLEH : WIJAYA
S T A T I S T I K A OLEH : WIJAYA email : zeamays_hibrida@yahoo.com FAKULTAS PERTANIAN UNIVERSITAS SWADAYA GUNUNG JATI CIREBON 2009 II. SEBARAN PELUANG Ruang Contoh (S) adalah Himpunan semua kemungkinan
MA4181 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 2 Peluang dan Eks
MA4181 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 2 Peluang dan SMART AND STOCHASTIC MA4181 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 2 Peluang dan SMART AND STOCHASTIC Ilustrasi Fungsi Peluang Bersama Peluang Bersama - Diskrit
Hendra Gunawan. 16 April 2014
MA101 MATEMATIKA A Hendra Gunawan Semester II, 013/014 16 April 014 Kuliah yang Lalu 13.11 Integral Lipat Dua atas Persegi Panjang 13. Integral Berulang 13.3 33Integral Lipat Dua atas Daerah Bukan Persegi
S T A T I S T I K A OLEH : WIJAYA FAKULTAS PERTANIAN UNIVERSITAS SWADAYA GUNUNG JATI CIREBON
S T A T I S T I K A OLEH : WIJAYA FAKULTAS PERTANIAN UNIVERSITAS SWADAYA GUNUNG JATI CIREBON 2011 SEBARAN PELUANG II. SEBARAN PELUANG Ruang Contoh (S) adalah Himpunan semua kemungkinan hasil suatu percobaan.
S T A T I S T I K A OLEH : WIJAYA FAKULTAS PERTANIAN UNIVERSITAS SWADAYA GUNUNG JATI CIREBON
S T A T I S T I K A OLEH : WIJAYA FAKULTAS PERTANIAN UNIVERSITAS SWADAYA GUNUNG JATI CIREBON 2010 SEBARAN PELUANG II. SEBARAN PELUANG Ruang Contoh (S) adalah Himpunan semua kemungkinan hasil suatu percobaan.
Kalkulus 1. Sistem Koordinat. Atina Ahdika, S.Si, M.Si. Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia. Sistem Koordinat
Kalkulus 1 Atina Ahdika, S.Si, M.Si Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Sistem koordinat adalah suatu cara/metode untuk menentukan letak suatu titik. Ada beberapa macam sistem koordinat, yaitu:
Kalkulus Elementer. Nanda Arista Rizki, M.Si. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Mulawarman 2018
Kalkulus Elementer Nanda Arista Rizki, M.Si. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Mulawarman 2018 Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 1/83 Referensi: 1 Dale Varberg, Edwin
Persamaan Diferensial Parsial
Persamaan Diferensial Parsial Turunan Parsial f (, ) Jika berubah ubah sedangkan tetap, adalah fungsi dari dan turunanna terhadap adalah f (, ) f (, ) f (, ) lim 0 disebut turunan parsialpertama dari f
TINJAUAN PUSTAKA. Sekumpulan bilangan (rasional dan tak-rasional) yang dapat mengukur. bilangan riil (Purcell dan Varberg, 1987).
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Sistem Bilangan Riil Definisi Bilangan Riil Sekumpulan bilangan (rasional dan tak-rasional) yang dapat mengukur panjang, bersama-sama dengan negatifnya dan nol dinamakan bilangan
PENGEMBANGAN INSTRUMEN
PENGEMBANGAN INSTRUMEN OLEH : IRFAN (A1CI 08 007) PEND. MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS HALUOLEO KENDARI 2012 A. Definisi Konseptual Keterampilan sosial merupakan kemampuan
Bilangan Euler(e) Rukmono Budi Utomo Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat. March 5, 2016
Bilangan Euler(e) Rukmono Budi Utomo 30115301 Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat March 5, 2016 Asal Usul Bilangan Euler e 1 1. Bilangan Euler 2 3 4 Asal Usul Bilangan Euler e Bilangan Euler atau e = 2, 7182818284...
KALKULUS LANJUT. Integral Lipat. Resmawan. 7 November Universitas Negeri Gorontalo. Resmawan (Math UNG) Integral Lipat 7 November / 57
KALKULUS LANJUT Integral Lipat Resmawan Universitas Negeri Gorontalo 7 November 218 Resmawan (Math UNG) Integral Lipat 7 November 218 1 / 57 13.3. Integral Lipat Dua pada Daerah Bukan Persegipanjang 3.5
LOGIKA MATEMATIKA. MODUL 1 Himpunan. Zuhair Jurusan Teknik Informatika Universitas Mercu Buana Jakarta 2012 年 04 月 08 日 ( 日 )
LOGIKA MATEMATIKA MODUL 1 Himpunan Zuhair Jurusan Teknik Informatika Universitas Mercu Buana Jakarta 2012 年 04 月 08 日 ( 日 ) Himpunan I. Definisi dan Notasi Himpunan adalah kumpulan sesuatu yang didefinisikan
Pengantar Proses Stokastik
Bab 3: Diskrit Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Ilustrasi 1 Perilaku bunuh diri kini kian menjadi-jadi. Hesti (nama sebenarnya) adalah sebuah contoh. Dia pernah melakukan percobaan bunuh diri,
( 2 ( 1 2 )2 3 3 ) MODEL PT3 MATEMATIK A PUSAT TUISYEN IHSAN JAYA = + ( 3) ( 4 9 ) 2 (4 3 4 ) 3 ( 8 3 ) ( 3.25 )
(1) Tentukan nilai bagi P, Q, dan R MODEL PT MATEMATIK A PUSAT TUISYEN IHSAN JAYA 1 P 0 Q 1 R 2 (4) Lengkapkan operasi di bawah dengan mengisi petak petak kosong berikut dengan nombor yang sesuai. ( 1
MA5283 STATISTIKA Bab 2 Peluang
MA5283 STATISTIKA Bab 2 Peluang Orang Cerdas Belajar Statistika Silabus Silabus dan Tujuan Ruang sampel dan kejadian, konsep peluang, peluang bersyarat, Teorema Bayes. Tujuan Silabus dan Tujuan 1 Mendefinisikan
TH3813 Realiti Maya. Transformasi kompaun. Transformasi kompaun. Transformasi kompaun. Transformasi kompaun
TH383 Realiti Maa Transformasi 3D menggunakan multiplikasi matriks untuk hasilkan kompaun transformasi menggunakan kompaun transformasi - hasilkan sebarang transformasi dan ungkapkan sebagai satu transformasi
(a) Nyatakan julat hubungan itu (b) Dengan menggunakan tatatanda fungsi, tulis satu hubungan antara set A dan set B. [2 markah] Jawapan:
![(a) Nyatakan julat hubungan itu (b) Dengan menggunakan tatatanda fungsi, tulis satu hubungan antara set A dan set B. [2 markah] Jawapan:](/thumbs/66/54807199.jpg "(a) Nyatakan julat hubungan itu (b) Dengan menggunakan tatatanda fungsi, tulis satu hubungan antara set A dan set B. [2 markah] Jawapan:")
MODUL 3 [Kertas 1]: MATEMATIK TAMBAHAN JPNK 015 Muka Surat: 1 Jawab SEMUA soalan. 1 Rajah 1 menunjukkan hubungan antara set A dan set B. 6 1 Set A Rajah 1 4 5 Set B (a) Nyatakan julat hubungan itu (b)
artinya vektor nilai rata-rata dari kelompok ternak pertama sama dengan kelompok ternak kedua artinya kedua vektor nilai-rata berbeda
LAMPIRAN 48 Lampiran 1. Perhitungan Manual Statistik T 2 -Hotelling pada Garut Jantan dan Ekor Tipis Jantan Hipotesis: H 0 : U 1 = U 2 H 1 : U 1 U 2 Rumus T 2 -Hotelling: artinya vektor nilai rata-rata
Pengantar Proses Stokastik
Bab 3: Diskrit Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Ilustrasi 1 Matriks Peluang Transisi Matriks Stokastik Chapman-Komogorov Equations Peluang Transisi Tak Bersyarat Perilaku bunuh diri kini kian
Transformasi Koordinat 2 Dimensi
Transformasi Koordinat 2 Dimensi RG141227 - Sistem Koordinat dan Transformasi Semester Gasal 2016/2017 Ira M Anjasmara PhD Jurusan Teknik Geomatika Sistem Koordinat 2 Dimensi Digunakan untuk mempresentasikan
2 m. Air. 5 m. Rajah S1
FAKULI KEJURUERAAN AL 1. Jika pintu A adalah segi empat tepat dan berukuran 2 m lebar (normal terhadap kertas), tentukan nilai daya hidrostatik yang bertindak pada pusat tekanan jika pintu ini tenggelam
SOALMANDIRITINGKATSMA/MA/Sederajat ASAHTERAMPILMATEMATIKA(ASTRAMATIKA)XX I
SOALMANDIRITINGKATSMA/MA/Sederajat ASAHTERAMPILMATEMATIKA(ASTRAMATIKA)XX I 1-cos(x-a) 1.Hasildari lim =. x a (x-a)sin3(x-a) 2.Jumlahnsukupertamaderetaritmetikaadalah Sn =5 n 2-7n. Jikaasukupertamadanbbedaderettersebut,maka13a+3b=.
Peta Konsep. 5.1 Sudut Positif dan Sudut Negatif Fungsi Trigonometri Bagi Sebarang Sudut FUNGSI TRIGONOMETRI
Bab 5 FUNGSI TRIGONOMETRI Peta Konsep 5.1 Sudut Positif dan Sudut Negatif 5. 6 Fungsi Trigonometri Bagi Sebarang Sudut FUNGSI TRIGONOMETRI 5. Graf Fungsi Sinus, Kosinus dan Tangen 5.4 Identiti Asas 5.5
Bab 1 Mekanik Struktur
Bab 1 Mekanik Struktur P E N S Y A R A H : D R. Y E E M E I H E O N G M O H D. N O R H A F I D Z B I N M O H D. J I M A S ( D B 1 4 0 0 1 1 ) R E X Y N I R O AK P E T E R ( D B 1 4 0 2 5 9 ) J O H A N
LABORATORIUM STATISTIK DAN OPTIMASI INDUSTRI FAKULTAS TEKNIK PROGRAM STUDI TEKNIK INDUSTRI UNIVERSITAS PEMBANGUNAN NASIONAL VETERAN JAWA TIMUR
TNR 1 space 1.15 LABORATORIUM STATISTIK DAN OPTIMASI INDUSTRI FAKULTAS TEKNIK PROGRAM STUDI TEKNIK INDUSTRI UNIVERSITAS PEMBANGUNAN NASIONAL VETERAN JAWA TIMUR LAPORAN RESMI MODUL III TNR 1 Space.0 STATISTIK
ANALISIS LITAR ELEKTRIK OBJEKTIF AM
ANALSS LTA ELEKTK ANALSS LTA ELEKTK OBJEKTF AM Unit Memahami konsep-konsep asas Litar Sesiri, Litar Selari, Litar Gabungan dan Hukum Kirchoff. OBJEKTF KHUSUS Di akhir unit ini anda dapat : Menerangkan
Ukur Kejuruteraan DDPQ 1162 Ukur Tekimetri. Sakdiah Basiron
Ukur Kejuruteraan DDPQ 1162 Ukur Tekimetri Sakdiah Basiron TEKIMETRI PENGENALAN TAKIMETRI ADALAH SATU KAEDAH PENGUKURAN JARAK SECARA TIDAK LANGSUNG BAGI MENGHASILKAN JARAK UFUK DAN JARAK TEGAK KEGUNAAN
INVESTIGASI EMPIRIS KEKUATAN UJI KPSS. Oleh MUHAMMAD FAJAR
INVESTIGASI EMPIRIS KEKUATAN UJI KPSS Oleh MUHAMMAD FAJAR 2016 ABSTRAK Judul Penelitian : Investigasi Empirik Kekuatan Uji KPSS Kata Kunci : Uji KPSS, Data Generating Process, Persentase Keputusan Salah
RUMUS AM LINGKARAN KUBIK BEZIER SATAHAN
Jurnal Teknologi, 38(C) Jun 003: 5 8 Universiti Teknologi Malaysia RUMUS AM LINGKARAN KUBIK BEZIER SATAHAN 5 RUMUS AM LINGKARAN KUBIK BEZIER SATAHAN YEOH WENG KANG & JAMALUDIN MD. ALI Abstrak. Rumus untuk
Jika X ialah satu pembolehubah rawak diskret yang mewakili bilangan hari hujan dalam seminggu, senaraikan semua nilai yang mungkin bagi X.
BAB 8 : TABURAN KEBARANGKALIAN Sesi 1 Taburan Binomial A. Pembolehubah rawak diskret Contoh Jika X ialah satu pembolehubah rawak diskret yang mewakili bilangan hari hujan dalam seminggu, senaraikan semua
Jika X ialah satu pembolehubah rawak diskret yang mewakili bilangan hari hujan dalam seminggu, senaraikan semua nilai yang mungkin bagi X.
BAB 8 : TABURAN KEBARANGKALIAN Sesi 1 Taburan Binomial A. Pembolehubah rawak diskret Contoh Jika X ialah satu pembolehubah rawak diskret yang mewakili bilangan hari hujan dalam seminggu, senaraikan semua
Pumping Lemma. Semester Ganjil 2013 Jum at, Dosen pengasuh: Kurnia Saputra ST, M.Sc
Semester Ganjil 2013 Jum at, 08.11.2013 Dosen pengasuh: Kurnia Saputra ST, M.Sc Email: kurnia.saputra@gmail.com Jurusan Informatika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Syiah Kuala
ANALISIS KORELASI DEBIT BANJIR RENCANA UNTUK BERBAGAI KONDISI KETERSEDIAAN DATA DI DAERAH KHUSUS IBUKOTA JAKARTA ABSTRAK
ANALISIS KORELASI DEBIT BANJIR RENCANA UNTUK BERBAGAI KONDISI KETERSEDIAAN DATA DI DAERAH KHUSUS IBUKOTA JAKARTA Agung M Alamsyah NRP : 9521037 NIRM : 41077011950298 Pembimbing : Dr. Ir. Agung Bagiawan
KONSEP ASAS & PENGUJIAN HIPOTESIS
KONSEP ASAS & PENGUJIAN HIPOTESIS HIPOTESIS Hipotesis = Tekaan atau jangkaan terhadap penyelesaian atau jawapan kepada masalah kajian Contoh: Mengapakah suhu bilik kuliah panas? Tekaan atau Hipotesis???
SEE 3533 PRINSIP PERHUBUNGAN Bab III Pemodulatan Sudut. Universiti Teknologi Malaysia
SEE 3533 PRINSIP PERHUBUNGAN Bab III Universiti Teknologi Malaysia 1 Pengenalan Selain daripada teknik pemodulatan amplitud, terdapat juga teknik lain yang menggunakan isyarat memodulat untuk mengubah
PEPERIKSAAN PERCUBAAN SIJIL PELAJARAN MALAYSIA 2005
3472/2 Matematik Tambahan Kertas 2 September 2005 2½ jam MAKTAB RENDAH SAINS MARA 3472/2 PEPERIKSAAN PERCUBAAN SIJIL PELAJARAN MALAYSIA 2005 MATEMATIK TAMBAHAN Kertas 2 Dua jam tiga puluh minit 3 4 7 2
Teorem Titik Tetap Pemetaan 2 Mengecut Pada Ruang 2 Metrik
Matematika, 1999, Jilid 15, bil. 2, hlm. 135 141 c Jabatan Matematik, UTM. Teorem Titik Tetap Pemetaan 2 Mengecut Pada Ruang 2 Metrik Mashadi Jurusan Matematika Universitas Riau Kampus Bina Widya Panam
Klasifikasi bagi Kumpulan-Dua dengan Dua Penjana yang Mempunyai Kelas Nilpoten Dua
Matematika, 1999, Jilid 15, bil. 1, hlm. 37 43 c Jabatan Matematik, UTM. Klasifikasi bagi Kumpulan-Dua dengan Dua Penjana yang Mempunyai Kelas Nilpoten Dua Nor Haniza Sarmin Jabatan Matematik, Fakulti
BAB 5 : FUNGSI TRIGONOMETRI (Jangka waktu : 9 sesi) Sesi 1. Sudut Positif dan Sudut Negatif. Contoh
BAB 5 : FUNGSI TRIGONOMETRI (Jangka waktu : 9 sesi) Sesi 1 Sudut Positif dan Sudut Negatif Contoh Lukiskan setiap sudut berikut dengan menggunakan rajah serta tentukan sukuan mana sudut itu berada. (a)
BAB 5 : FUNGSI TRIGONOMETRI (Jangka waktu : 9 sesi) Sesi 1. Sudut Positif dan Sudut Negatif. Contoh
BAB 5 : FUNGSI TRIGONOMETRI (Jangka waktu : 9 sesi) Sesi 1 Sudut Positif dan Sudut Negatif Contoh Lukiskan setiap sudut berikut dengan menggunakan rajah serta tentukan sukuan mana sudut itu berada. (a)
Rajah S1 menunjukkan talisawat dari jenis rata dengan dua sistem pacuan, digunakan untuk
SOALAN 1 Rajah S1 menunjukkan talisawat dari jenis rata dengan dua sistem pacuan, digunakan untuk menyambungkan dua takal yang terpasang kepada dua aci selari. Garispusat takal pemacu, pada motor adalah
Transformasi Koordinat 3 Dimensi
Transformasi Koordinat 3 Dimensi RG141227 - Sistem Koordinat dan Transformasi Semester Gasal 2016/2017 Ira M Anjasmara PhD Jurusan Teknik Geomatika Sistem Koordinat Tiga Dimensi (3D) Digunakan untuk mendeskripsikan
Pembinaan Homeomorfisma dari Sfera ke Elipsoid
Matematika, 003, Jilid 19, bil., hlm. 11 138 c Jabatan Matematik, UTM. Pembinaan Homeomorfisma dari Sfera ke Elipsoid Liau Lin Yun & Tahir Ahmad Jabatan Matematik, Fakulti Sains Universiti Teknologi Malasia
Ciri-ciri Taburan Normal
1 Taburan Normal Ciri-ciri Taburan Normal Ia adalah taburan selanjar Ia adalah taburan simetri Ia adalah asimtot kepada paksi Ia adalah uni-modal Ia adalah keluarga kepada keluk Keluasan di bawah keluk
KEKUATAN KELULI KARBON SEDERHANA
Makmal Mekanik Pepejal KEKUATAN KELULI KARBON SEDERHANA 1.0 PENGENALAN Dalam rekabentuk sesuatu anggota struktur yang akan mengalami tegasan, pertimbangan utama ialah supaya anggota tersebut selamat dari
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga. Misalkan terdapat N buah besaran A µ dalam sistem koordinat {x µ } dan N
Lampiran 1 Tensor dan Operasinya Skalar,Vektor dan Tensor Misalkan terdapat N buah besaran A µ dalam sistem koordinat {x µ } dan N buah besaran A µ dalam sistem koordinat lain {x µ } dengan µ = 1, 2, 3...,
Latihan PT3 Matematik Nama:.. Masa: 2 jam. 1 a) i) Buktikan bahawa 53 adalah nombor perdana. [1 markah]
![Latihan PT3 Matematik Nama:.. Masa: 2 jam. 1 a) i) Buktikan bahawa 53 adalah nombor perdana. [1 markah]](/thumbs/84/89481197.jpg "Latihan PT3 Matematik Nama:.. Masa: 2 jam. 1 a) i) Buktikan bahawa 53 adalah nombor perdana. [1 markah]")
Latihan PT3 Matematik Nama:.. Masa: 2 jam a) i) Buktikan bahawa 53 adalah nombor perdana. [ markah] ii) Berikut adalah tiga kad nombor. 30 20 24 Lakukan operasi darab dan bahagi antara nombor-nombor tersebut
TOPIK 1 : KUANTITI DAN UNIT ASAS
1.1 KUANTITI DAN UNIT ASAS Fizik adalah berdasarkan kuantiti-kuantiti yang disebut kuantiti fizik. Secara am suatu kuantiti fizik ialah kuantiti yang boleh diukur. Untuk mengukur kuantiti fizik, suatu
SMJ minyak seperti yang dilakarkan dalam Rajah S2. Minyak tersebut mempunyai. bahagian hujung cakera. Dengan data dan anggapan yang dibuat:
SOALAN 1 Cakera dengan garis pusat d berputar pada halaju sudut ω di dalam bekas mengandungi minyak seperti yang dilakarkan dalam Rajah S2. Minyak tersebut mempunyai kelikatan µ. Anggap bahawa susuk halaju
Keterusan dan Keabadian Jisim
Pelajaran 8 Keterusan dan Keabadian Jisim OBJEKTIF Setelah selesai mempelajari Pelajaran ini anda sepatutnya dapat Mentakrifkan konsep kadar aliran jisim Mentakrifkan konsep kadar aliran Menerangkan konsep
EEU104 - Teknologi Elektrik - Tutorial 11; Sessi 2000/2001 Litar magnet
UNIVERSITI SAINS MALAYSIA PUSAT PENGAJIAN KEJURUTERAAN ELEKTRIK DAN ELEKTRONIK EEU104 - Teknologi Elektrik - Tutorial 11; Sessi 2000/2001 Litar magnet 1. Satu litar magnet mempunyai keengganan S = 4 x
Hairunnizam Wahid Jaffary Awang Kamaruddin Salleh Rozmi Ismail Universiti Kebangsaan Malaysia
Hairunnizam Wahid Jaffary Awang Kamaruddin Salleh Rozmi Ismail Universiti Kebangsaan Malaysia Jadual 1: Sekolah yang dijadikan Sampel kajian Bil Nama Sekolah 1 SAM Sg. Merab Luar, Sepang 2 SAM Hulu Langat
gram positif yang diuji adalah Bacillus subtilis, Staphylococcus aureus ATCC 25923,
3.2.2 Penskrinan aktiviti antimikrob Ekstrak metanol sampel Cassia alata L. dan Cassia tora L. dijalankan penskrinan aktiviti antimikrob dengan beberapa jenis mikrob yang patogenik kepada manusia seperti
Model Mangsa Pemangsa dengan Pengaruh Musim
Model Mangsa Pemangsa dengan Pengaruh Musim Yudi Arpa #1, Muhammad Subhan #, Riry Sriningsih # #Jurusan Matematika, Universitas Negeri Padang Jl. Prof. Dr. Hamka Air Tawar Padang, 25131, Telp. (0751) 444648,
BAB 4 PERENCANAAN TANGGA
BAB 4 PERENCANAAN TANGGA 4. Uraian Umum Tangga merupakan bagian dari struktur bangunan bertingkat yang penting sebagai penunjang antara struktur bangunan lantai dasar dengan struktur bangunan tingkat atasnya.
MODUL 3 : KERTAS 2 Bahagian A [40 markah] (Jawab semua soalan dalam bahagian ini)
![MODUL 3 : KERTAS 2 Bahagian A [40 markah] (Jawab semua soalan dalam bahagian ini)](/thumbs/62/47989304.jpg "MODUL 3 : KERTAS 2 Bahagian A [40 markah] (Jawab semua soalan dalam bahagian ini)")
MODUL 3 [Kertas 2]: MATEMATIK TAMBAHAN JPNK 2015 Muka Surat: 1 1. Selesaikan persamaan serentak yang berikut: MODUL 3 : KERTAS 2 Bahagian A [40 markah] (Jawab semua soalan dalam bahagian ini) 2x y = 1,
EMT361 Keboleharapan & Analisis Kegagalan. Dr Zuraidah Mohd Zain Julai, 2005
EMT361 Keboleharapan & Analisis Kegagalan Dr Zuraidah Mohd Zain zuraidah@kukum.edu.my Julai, 2005 Overview untuk minggu 1-3 Minggu 1 Overview terma, takrifan kadar kegagalan, MTBF, bathtub curve; taburan
Kuasa Dua Tensor Yang Tak Abelan bagi Kumpulan-Dua dengan Dua Penjana yang Mempunyai Kelas Nilpoten Dua
Matematika, 1999, Jilid 15, bil., hlm. 143 156 c Jabatan Matematik, UTM. Kuasa Dua Tensor Yang Tak Abelan bagi Kumpulan-Dua dengan Dua Penjana yang Mempunyai Kelas Nilpoten Dua Nor Haniza Sarmin Jabatan
Jawab semua soalan. P -1 Q 0 1 R 2
Tunjukkan langkah langkah penting dalam kerja mengira anda. Ini boleh membantu anda untuk mendapatkan markah. Anda dibenarkan menggunakan kalkulator saintifik. 1. (a) Tentukan nilai P, Q dan R Jawab semua
Tegangan Permukaan. Kerja
Tegangan Permukaan Kerja Cecair lebih cenderung menyesuaikan bentuknya ke arah yang luas permukaan yang minimum. Titisan cecair berbentuk sfera kerana nisbah luas permukaan terhadap isipadu adalah kecil.
STRUKTUR BAJA 2 TKS 1514 / 3 SKS PROGRAM STUDI TEKNIK SIPIL UNIVERSITAS JEMBER
STRUKTUR BAJA 2 TKS 1514 / 3 SKS PROGRAM STUDI TEKNIK SIPIL UNIVERSITAS JEMBER Winda Tri Wahyuningtyas Gati Annisa Hayu Plate Girder Plate girder adalah balok besar yang dibuat dari susunan yang disatukan
Pemerihalan Data. Pemerihalan Data. Sukatan kecenderungan memusat. Pengenalan. Min. Min 1/14/2011
Pemerihalan Data Pemerihalan Data PM DR KMISH OSMN Sukatan kecenderungan memusat Sukatan kedudukan Sukatan serakan Sukatan serakan relatif Ukuran korelasi G603 1 G603 Pengenalan Mengeluarkan maklumat daripada
Perubahan dalam kuantiti diminta bagi barang itu bergerak disepanjang keluk permintaan itu.
BAB 3 : ISI RUMAH SEBAGAI PENGGUNA SPM2004/A/S3 (a) Rajah tersebut menunjukkan keluk permintaan yang mencerun ke bawah dari kiri ke kanan. Ia menunjukkan hubungan negatif antara harga dengan kuantiti diminta.
PERENCANAAN JALAN ALTERNATIF & PERKERASAN LENTUR TANJUNG SERDANG KOTABARU,KALIMANTAN SELATAN KM KM 7+000
PERENCANAAN JALAN ALTERNATIF & PERKERASAN LENTUR TANJUNG SERDANG KOTABARU,KALIMANTAN SELATAN KM 4+000 KM 7+000 LATAR BELAKANG TUJUAN DAN BATASAN MASALAH METODOLOGI PERENCANAAN HASIL Semakin meningkatnya
SULIT 3472/2 SMK SERI MUARA, BAGAN DATOH, PERAK. PEPERIKSAAN PERCUBAAN SPM MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 5 KERTAS 2. Dua jam tiga puluh minit
MATEMATIK TAMBAHAN Kertas 2 September 2013 2½ Jam SMK SERI MUARA, 36100 BAGAN DATOH, PERAK. PEPERIKSAAN PERCUBAAN SPM MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 5 KERTAS 2 Dua jam tiga puluh minit JANGAN BUKA KERTAS
BAB 4 HASIL KAJIAN. dengan maklumat latar belakang responden, impak modal sosial terhadap prestasi
BAB 4 HASIL KAJIAN 4.1 Pengenalan Bahagian ini menghuraikan tentang keputusan analisis kajian yang berkaitan dengan maklumat latar belakang responden, impak modal sosial terhadap prestasi pendidikan pelajar
CADASTRE SURVEY (SGHU 2313)
CADASTRE SURVEY (SGHU 2313) WEEK 8-ADJUSTMENT OF OBSERVED DATA SR DR. TAN LIAT CHOON 07-5530844 016-4975551 1 OUTLINE Accuracy of field observations Misclosure in cadastre survey Bearing ('m' and 'c' correction
MENGENALI FOTON DAN PENGQUANTUMAN TENAGA
MENGENALI FOTON DAN PENGQUANTUMAN TENAGA Oleh Mohd Hafizudin Kamal Sebelum wujudnya teori gelombang membujur oleh Huygens pada tahun 1678, cahaya dianggap sebagai satu aliran zarah-zarah atau disebut juga
-9, P, -1, Q, 7, 11, R
Tunjukkan langkah-langkah penting dalam kerja mengira anda. Ini boleh membantu anda untuk mendapatkan markah. Anda dibenarkan menggunakan kalkulator saintifik. Jawab semua soalan 1 (a) Rajah 1(a) menunjukkan
SIJIL VOKASIONAL MALAYSIA A03101 PENILAIAN AKHIR SEMESTER 1 SESI 1/2015 Matematik Bahagian A Mei
A00 LEMBAGA PEPERIKSAAN KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA SIJIL VOKASIONAL MALAYSIA A00 PENILAIAN AKHIR SEMESTER SESI /205 Matematik Bahagian A Mei 2 jam Satu jam tiga puluh minit JANGAN BUKA KERTAS SOALAN
Sudut positif. Sudut negatif. Rajah 7.1: Sudut
Bab 7 FUNGSI TRIGONOMETRI Dalam bab ini kita akan belajar secara ringkas satu kelas fungsi penting untuk penggunaan dipanggil fungsi trigonometri Fungsi trigonometri pada mulana timbul dalam pengajian
DETERMINATION OF CFRP PLATE SHEAR MODULUS BY ARCAN TEST METHOD SHUKUR HJ. ABU HASSAN
DETERMINATION OF CFRP PLATE SHEAR MODULUS BY ARCAN TEST METHOD SHUKUR HJ. ABU HASSAN OBJEKTIF KAJIAN Mendapatkan dan membandingkan nilai tegasan ricih, τ, dan modulus ricih, G, bagi plat CFRP yang berorientasi
KOLEJ VOKASIONAL MALAYSIA BAHAGIAN PENDIDIKAN TEKNIK DAN VOKASIONAL KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA
NO KAD PENGENALAN ANGKA GILIRAN KOLEJ VOKASIONAL MALAYSIA BAHAGIAN PENDIDIKAN TEKNIK DAN VOKASIONAL KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA DIPLOMA VOKASIONAL MALAYSIA SAINS DAN MATEMATIK BERSEPADU UNTUK APLIKASI
BAB 4 PERENCANAAN TANGGA
BAB 4 PERENCANAAN TANGGA 4.1. Uraian Umum Tangga merupakan bagian dari struktur bangunan bertingkat yang penting sebagai penunjang antara struktur bangunan lantai dasar dengan struktur bangunan tingkat
SMK SERI MUARA, BAGAN DATOH, PERAK. PEPERIKSAAN PERCUBAAN SPM. MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 5 KERTAS 1 Dua jam JUMLAH
72/1 NAMA :. TINGKATAN : MATEMATIK TAMBAHAN Kertas 1 September 201 2 Jam SMK SERI MUARA, 6100 BAGAN DATOH, PERAK. PEPERIKSAAN PERCUBAAN SPM MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 5 KERTAS 1 Dua jam JANGAN BUKA KERTAS
KURIKULUM STANDARD SEKOLAH RENDAH DUNIA MUZIK
KEMENTERIAN PELAJARAN MALAYSIA KURIKULUM STANDARD SEKOLAH RENDAH DUNIA MUZIK TAHUN TIGA DOKUMEN STANDARD KURIKULUM STANDARD SEKOLAH RENDAH (KSSR) MODUL TERAS TEMA DUNIA MUZIK TAHUN TIGA BAHAGIAN PEMBANGUNAN
LATIHAN. PENYUSUN: MOHD. ZUBIL BAHAK Sign. : FAKULTI KEJURUTERAAN MEKANIKAL UNIVERSITI TEKNOLOGI MALAYSIA SKUDAI JOHOR
1. a) Nyatakan dengan jelas Prinsip Archimedes tentang keapungan. b) Nyatakan tiga (3) syarat keseimbangan STABIL jasad terapung. c) Sebuah silinder bergaris pusat 15 cm dan tinggi 50 cm diperbuat daripada
BAB 2 PEMODULATAN AMPLITUD
BAB MODULATAN LITUD enghantaran iyarat yang engandungi akluat elalui atu aluran perhubungan eerlukan anjakan frekueni iyarat akluat kepada julat frekueni yang euai untuk penghantaran - roe ini diapai elalui
SESI: MAC 2018 DSM 1021: SAINS 1 DCV 2 PENSYARAH: EN. MUHAMMAD AMIRUL BIN ABDULLAH
SESI: MAC 2018 DSM 1021: SAINS 1 DCV 2 PENSYARAH: EN. MUHAMMAD AMIRUL BIN ABDULLAH TOPIK 1.0: KUANTITI FIZIK DAN PENGUKURAN COURSE LEARNING OUTCOMES (CLO): Di akhir LA ini, pelajar akan boleh: CLO3: Menjalankan
UNTUK EDARAN DI DALAM JABATAN FARMASI SAHAJA
UNTUK EDARAN DI DALAM JABATAN FARMASI SAHAJA KEPUTUSAN MESYUARAT KALI KE 63 JAWATANKUASA FARMASI DAN TERAPEUTIK HOSPITAL USM PADA 24 SEPTEMBER 2007 (BAHAGIAN 1) DAN 30 OKTOBER 2007 (BAHAGIAN 2) A. Ubat
Kemahiran Hidup Bersepadu Kemahiran Teknikal 76
LOGO SEKOLAH Nama Sekolah UJIAN BERTULIS 2 Jam Kemahiran Hidup Bersepadu Kemahiran Teknikal 76 NAMA :..... ANGKA GILIRAN : TERHAD 2 BAHAGIAN A [60 markah] Jawab semua soalan pada bahagian ini di ruang
LITAR ELEKTRIK 1 EET101/4. Pn. Samila Mat Zali
LITAR ELEKTRIK 1 EET101/4 Pn. Samila Mat Zali STRUKTUR KURSUS Peperiksaan Akhir : 50% Ujian teori : 10% Mini projek : 10% Amali/praktikal : 30% 100% OBJEKTIF KURSUS Mempelajari komponen-komponen utama
Unit PENGENALAN KEPADA LITAR ELEKTRIK OBJEKTIF AM OBJEKTIF KHUSUS
PENGENALAN KEPADA LITAR ELEKTRIK OBJEKTIF AM Memahami konsep-konsep asas litar elektrik, arus, voltan, rintangan, kuasa dan tenaga elektrik. Unit OBJEKTIF KHUSUS Di akhir unit ini anda dapat : Mentakrifkan
BAB 3 PERENCANAAN TANGGA
BAB 3 PERENCANAAN TANGGA 3.1. Uraian Umum Semakin sedikit tersedianya luas lahan yang digunakan untuk membangun suatu bangunan menjadikan perencana lebih inovatif dalam perencanaan, maka pembangunan tidak
JAWAPAN. = (a + 2b) (a b) = 3b Jujukan ini bukan J.A. sebab beza antara sebarang dua sebutan berturutan adalah tidak sama. 3. d 1 = T 2 T 1 =
JAWAPAN BAB : JANJANG. A. d T T ( ) ( ) d T T ( ) Jujukan ini ialah J.A. sebab beza antara sebarang dua sebutan berturutan adalah sama, iaitu.. d T T (a b) (a + b) b d T T (a + b) (a b) b Jujukan ini bukan
PENGAJIAN KEJURUTERAAN ELEKTRIK DAN ELEKTRONIK
PENGAJIAN KEJURUTERAAN ELEKTRIK DAN ELEKTRONIK 2 SKEMA MODUL PECUTAN AKHIR 20 No Jawapan Pembahagian (a) 00000 0000 0000 Jumlah 000 TIM00 #0300 TIM00 000 000 0M END Simbol dan data betul : 8 X 0.5M = 4M
BAB 2 KEAPUNGAN DAN HIDROSTATIK
BAB 2 KEAPUNGAN DAN HIDROSTATIK 2.1 Hukum Keapungan Archimedes Sebuah badan yang terendam di air ditindak oleh beberapa daya. Pertama ialah berat atau jisim badan itu sendiri yang dianggap bertindak ke