Једначина о промени количине кретања

Једначина о промени количине кретања Друго снажно оруђе за решавање инжењерских проблема добија се применом једначине о промени количине кретања. Ова једначина најчешће се употребљава за одређивање силе којом флуид дејствује на површину која је ограничава. Иако је порекло Бернулијеве једначине и једначине о промени количине кретања исто, други Њутнов закон, једначина о промени количине кретања има мање ограничења од Бернулијеве једначине јер: важи за струјања која могу бити компресибилна и некомпресибилна, вискозна и невискозна (са и без трења), стационарна и нестационарна, са и без променљиве масе, једнолика и неједнолика. Док Бернулијева једначина важи, строго узевши, само за струјницу, ова једначина важи за произвољно, по потреби уочено, струјно поље са чврстим границама, без обзира на његову величину и облик. Други Њутнов закон, односно једначина о промени количине кретања важи само за инерцијске координатне системе; тј. системе који су непокретни или се крећу једноликом брзином. Други Њутнов закон може да се представи изразом d ( ) d mv = t F Израз у загради назива се количином кретања и представља целину јер је маса мера за инерцију тела, те и она мора да се изрази преко кретања. Горња дефиниција силе последица је повезаности масе и брзине. Маса је у општем случају функција времена, положаја и брзине m= m(, t x, y, z, v). Само у специјалном случају маса је константна, m=const. и тада важи добро позната формула: F = ma. Битна разлика једначина о промени количине кретања у механици чврстог тела и механици флуида је у томе што се равнотежа флуида изводи у акцији која није завршена у једном периоду времена, него у промени која најчешће бесконачно дуго траје. Општи облик једначине о промени количине кретања Општи облик једначине о промени кретања обухвата непокретне и покретне контролне системе са и без променљиве масе и једноликим и неједноликим кретањем. Под појмом контролни систем подразумева се скуп материјалних тачака (део флуидног простора) који учествује током неког времена у формирању разлике (промене) количине кретања. Сл.. Дефинисање контролног система и контролне запремине 6

Поред контролног система треба разликовати и контролну запремину - омеђени (најчешће делимично чврстом површином) део флуидног простора, кроз чије делове граничних површина флуид може потпуно произвољно да струји. Ова контролна запремина може бити непокретна или да се креће произвољно. Разлика између контролне запремине и контролног система је што: кроз границе контролне запремине пролази количина кретања али и маса, док је контролни систем запремина преко чијих граничних површина нема измене масе; он као чврсто тело, међутим, преживљава промену количине кретања (слика ). Маса m која је у тренутку t заузимала један део простора (контролну запремину) и поседовала брзину v у следећем тренутку заузима нови део простора (иста, по величини, контролна запремина премештена у други део простора), поседује брзину v+dv и масу m+dm. Количина кретања у тренутку t (у правцу x осе) за покретан систем K x једнака је количини кретања K' x у контролној запремини за исти временски тренутак t, јер је у том тренутку маса контролне запремине и маса у контролном систему. У тренутку t+dt количина кретања за покретан систем K x једнака је количини кретања у контролној запремини K' x плус количина кретања масе која за време dt напушта контролну запремину K xiz, минус количина кретања која за време dt улази у контролну запремину K xul. Пошто једначина o промени количине кретања важи само за инерцијски координатни систем (непокретан или се креће једноликом брзином), промена количине кретања изражаваће се у односу на апсолутан - непокретан координатни систем. Количина кретања (импулс) елементарне масе је: dk = vdm= vdv За укупну масу флуида, запремине V(t), важи K = vd V. V() t Према другом Њутновом закону сума спољашњих сила у једном правцу једнака је промени количине кретања у истом правцу, dk d = vv d = F dt dt V () t Применом трансформације временског извода на једначину о промени количине кретања, добија се: dk d ( v ) = vv d = d V+ vvn (, ) d= F dt dt V () t V t Први члан у трећем делу једнакости описује локалну промену количине кретања у запремини V, за чега је потребно познавање струјних величина у унутрашњости запремине. Други члан даје резултујуће струјање кроз граничне површине, за чега је потребно познавање свих променљивих само на граничним површинама запремине V. За стационарна струјања запремински интеграл једнак је нули, тако да су потребни само струјни подаци на границама контролне запремине, а израз постаје: v v, n d F ( ) = Ако се сила количине кретања дефинише као: F = v v, n d онда може да се напише као: K ( ) (, ) d = v v n F Ово је основна једначина за решавање проблема. F K + F = 0. 7

Слика. Дефинисање струјних величина на границама контролне запремине За силу количине кретања важи да је локално паралелна са вектором брзине и увек је усмерена ка унутрашњости контролне запремине (слика ). d F = v v, n d K ( ) У једначинама сума сила F представља збир свих сила које су узрок промени количине кретања. Ове силе су: o активне - запреминске силе (сила Земљине теже, Њутнова привлачна сила); o силе притиска - деле се на спољашње и унутрашње. Спољашње силе потичу од маса које су ван контролне запремине. Унутрашње силе налазе се у маси посматране запремине; њихово узајамно дејство се поништава, па је њихов збир једнак нули за целу запремину; o силе реакције које се такође деле на спољашње и унутрашње, али и овде остају реакције од спољашњих маса, и реакције граничних површина - силе којима се граничне површине супротстављају кретању флуида. У наставку овог поглавља биће приказани примери примене једначине о промени количине кретања. Примери примене једначине о промени количине кретања на непокретне елементе За примену једначине неопходно је уочити део флуидног простора - контролну запремину у којој долази до промене неких од наведених величина; па је затим ограничити од остале средине граничним или замишљеним површинама пресецима. Уз претпоставку да је ток струјница познат, пресеци се постављају нормално на њих, а утицаји средине испред и иза замењују се силама притиска i i које су уперене ка контролној запремини. Непокретни елементи са једним улазом и излазом флуида Поступак одређивања силе којом флуид дејствује на зидове цеви биће представљен на примеру обичног цевног колена, од 90 константне површине пресека А кроз које протиче количина флуида Q густине (слика ):. Издвоји се контролна запремина (пресеци -, - и зидови колена; индекс - везује се за пресек кроз који улази флуид, а - за пресек кроз који флуид напушта контролну запремину).. Означе се смерови брзина у улазном и излазном пресеку, уцртају се вектори сила количине кретања и сила притисака које замењују утицај флуидне струје испред и иза колена. 3. Произвољно се претпоставе смерови координатних оса x и y. 4. Претпоставе се смерови реакција веза. То су силе којима веза (лук, млазник, плоча и др.) дејствује на флуид (F x и F y ). Општи облик једначине о промени количине кретања за x-осу у случају непокретне контролне запремине испуњене стационарном струјом нестишљивог флуида уз занемаривање локалног губитка ( = =), своди се на 8

Слика. Примена једначине о промени количине кретања на колено Замена сила притиска и претпостављених реакција веза доводи до + Fx Qv= 0 тј. за = F x = + Qv. Слично је за y-осу + F Qv= тј. y 0 F = + Qv. y Пошто је у резултату за F x и F y добијена позитивна вредност, реакције везе су добро претпостављеног смера. Силе којима флуид дејствује на зидове колена ( F x и F y ) истог су интензитета као и одређене силе реакције колена, само су супротног смера. Дакле, а резултујућа сила F x = + Qv и F y ( + Qv) = + Qv F =. Ова сила представља центрифугалну силу услед закретања флуидне струје за 90º. Познавање ове силе омогућава димензионисање везе колена са осталим делом цевовода. У задацима се најчешће занемарује, или накнадно обрачунава сила тежине флуида. У горњем примеру она би фигурисала са -mg на левој страни једначине написане за y-осу, где је са m означена маса флуида у колену између пресека - и -. При струјању преко непокретних (и покретних) лопатица најчешће се сматра да су површине лопатице глатке, тако да интензитет апсолутне (или релативне) брзине струјања преко лопатице остаје константан. Уколико је струјање преко лопатице са губицима, Бернулијева једначина за улазне и излазне пресеке флуидног млаза одређује однос брзина у тим пресецима. 9

Нагло проширење При наглом проширењу попречног пресека цевовода долази до промене брзине у правцу кретања течности, јавља се удар, а као последица губитак енергије, према Бординој теореми (766. год.), пропорционалан квадрату разлика брзина. Нека је, ради једноставности, оса цевовода, сасвим напуњеног течношћу, хоризонтална а брзине и притисци у пресеку - и - су v, v и, (слика 3). Занемарујући трење, извести општи израз за изгубљену енергију. Слика 3. Струјање кроз нагло проширење Слика 4. Дефинисање контролне запремине при струјању кроз нагло проширење У пресеку - (слика 4) влада исти притисак као и у пресеку - јер су то два пресека који су бесконачно близу један другом. Једначину о промени количине кретања треба поставити за пресеке - и -, јер се на тај начин елиминише величина А, а у физичкој интерпретацији проблема не прави се никаква апроксимација због тога што је носилац притиска струја флуида, а не геометрија простора (пресек - ) кога струјање делимични испуњава. + Qv Qv =. 0 Једначина о промени количине кретања допуњава се Бернулијевом једначином за пресеке - и -. (При протицању реалног флуида кроз контролну запремину, губици енергије не улазе експлицитно у једначину о промени количине кретања, јер она описује промене на границама контролне запремине. Експлицитно ови губици се јављају у Б.ј., јер она важи за струјнице унутар контролне запремине. У једначини о промени количине кретања губици енергије су имплицитно представљени вредностима притисака и брзина из Б.ј.). v v + = + + gh i Из једначине о промени количине кретања замењује се израз Q( v v) v = v + gh i v v v ( v v ) + = gh i v v + vv = gh i ( ) / у Б.ј. 30

( v v ) = gh i. Млазник и дифузор са слободним истицањем У овом примеру потребно је одредити силу којом флуид делује на везу млазника са цевоводом при слободном истицању флуида из њега. Брзина и притисак су познати у пресецима А и А, као и =const. и = a. Погодан избор контролне запремине дат је на слици 5, док су на слици 6 приказане силе које делују на њу. Слика 5. Контролна запремина при струјању кроз млазник Слика 6. Силе на границама контролне запремине F = v, F = v, k k F =, F = F a B = F x Смер реакције ослонца произвољно је усвојен, а одређује се решавањем једначине о промени количине кретања у правцу х осе. v + v a + Fx = 0. Из једначине континуитета v = v следи Fx = v + ( a ) Ако се додатно претпостави да је струјање идеално, из Бернулијеве једначине следи: и сила реакције постаје: a = ( v v ) = v Fx = v +, одакле се види да је смер реакције везе погрешно претпостављен, односно сила којом флуид делује на млазник, F, усмерена је удесно и њен интензитет је: x F x = Fx = v = v. Сила којом флуид делује на млазник делује у правцу струјања и све једно је да ли је у питању млазник или дифузор (слика 7). Веза је у оба случаја напрегнута на истезање. Овај резулта добијен је, наравно, само уз наведене претпоставке. 3

Слика 7. Промена притиска уздуж млазника и дифузора Бордин наглавак Разматра се истицање течности из наглавка оштрих ивица, при чему долази до контракције млаза са А на А min, јер због оштре ивице долази до приањања млаза при истицању (слика 8). На границама слободног млаза делује атмосферски притисак a. Величина контракције млаза може се одредити из једначине о промени количине кретања. У ту сврху разматра се истицање из резервоара кроз Бордин наглавак (слика 9). Узима се у обзир само деловање натпритиска, тако да дуж х осе долази до равнотеже између силе притиска на унутрашњем ободу и силе количине кретања у млазу (реакција млаза): gh = v min одакле се добија величина најужег пресека gh =. v Ако се искористи Торичелијева формула за брзину истицања v= gh, следи: min min 0,5 =. Слика 8. Струјање кроз Бордин наглавак Слика 9. Контролна запремина при истицању из Бординог наглавка Експериментима су добијене веће вредности: 0,6 до 0,64. Ово потиче отуда, што је, због губитака, брзина истицања мања од Торичелијеве идеалне брзине. Отпор полутела у каналу Разматра се нестишљиво, невискозно опструјавање непокретног полутела у каналу (слика 0). Сила отпора којом флуид делује на тело може да се одреди из једначине о промени количине кретања. За одређивање ове силе потребно је познавање услова на задњој страни тела. Код полутела није могуће да се дефинишу ти услови, зато се претпоставља да у попречном пресеку (), довољно далеком од врха тела, влада притисак =. 3

x Слика 0. Опструјавање полутела у каналу Једначина о промени количине кретања гласи: Fx + v v = где је =, а једначина континуитета је v = v. Сила Fx 0 је реакција ослонца, а сила отпора којом вода делује на тело је F x = Fx: Fx = v v + ( ). Бернулијева једначина и једначина континуитета за разматрано невискозно струјање дају: = ( v v ) = v, односно Fx = v = v Сила којом вода делује на полутело ( F ) представља се познатим изразом x F x = v cd, где је брзина v=v. Бездимензијски коефицијент c D представља коефицијент отпора тела. Изједначавањем последње две једначине следи да је c D = Када А /А (А/А 0), тј. у бесконачно проширеном струјном пољу (бесконачно танком полутелу), сила отпора тежи нули, F 0. Примена једначине о промени количине кретања на пропелер Посматра се непокретан пропелер у флуидној струји или покретан пропелер у мирном флуиду. Ефекат пропелера састоји се у стварању промене количине кретања флуида у коме је уроњен, а као последица остварене промене, јавља се сила потиска (пропулзије) којом флуид дејствује на пропелер. Преко пропелерског вратила ова покретачка сила преноси се на цео објекат са којим пропелер чини целину. Једначином о промени количине кретања није могуће тачно описати струјне промене које су последица рада пропелера, али се могу успоставити односи између спољних карактеристика Q, v и F... 33

Слика. Примена једначине о промени количине кретања на пропелер Непосредно испред и иза пропелерског диска постоји разлика притисака преко које се такође може одредити сила потиска (слика ). Натпритисак иза пропелера убрзава струју, па се пропелер понаша, на неки начин, слично млазнику. Због тога се сила реакције, као и код млазника, везује за пропелер. За контролну запремину и пресеке непосредни испред и иза пропелера важи: F = Qv ( 4 v) = ( 3 ). где су D π =, Q= v 4 v је средња аксијална брзина струјања флуида кроз пропелерски диск. Замена протока Q у горњој једначини и веза са Бернулијевим једначинама (водећи рачуна да је = 4 = 0 притисак околне средине) за пресеке - и 3-4, даје редом vv ( v) = 4 3 + v = + v, 3 + v = 4 + v4 Б.ј. -, Б.ј. 3-4 Сабирањем претходне две једначине, водећи рачуна да су = 4 = 0, следи 3 = ( v4 v ) што у комбинацији са једначином vv ( 4 v) = 3 даје v v = + v 4 Брзина кроз роторски диск, значи, има средњу вредност брзине узводно и низводно од пропелера. 34

Коефицијент корисног дејства пропелера добија се из односа корисне снаге (добијене из једначине о промени количине кретања) и утрошене снаге. Корисна снага је F v = Q( v4 v) v као да се пропелер креће брзином v кроз миран флуид. Уложена снага је Q ( v 4 v ). Степен корисног дејства пропелера је Q( v4 v) v v v η = = =. Q v4 v v ( v4 v + ) Ако се са v означи v= v4 v, тј. v4 = v+ v, степен корисности може да се напише у другом облику v η = v v + одакле се види да се највећи степен корисности постиже за најмање повећање брзине флуидне струје. Непокретни елементи са различитим бројем улаза и излаза флуида Слика. Примена једначине о промени количине кретања на непокретни елемент са различитим бројем улаза и излаза флуида Једначина о промени количине кретања, без икаквих ограничења, може да се примени за различит број улаза и излаза флуида. Под претпоставком да су притисци у свим означеним улазним и излазним пресецима представљене контролне запремине исти, ЈПКК за претпостављене силе реакције гласи: тј. и X = Qv Q v n m i xi j xj i= j= n m Y = Qv Q v i yi j yj i= j= 0 0 Fx = Qv sinγ + Qv cos( β 90 ) + Qv Qv cos(90 α) + Qv 0 0 Fy = Q vcosγ + Q vsin( β 90 ) Qv sin(90 α). 35

Потисак ваздушно-усисавајућег погона Једначина о промени количине кретања примењује се на авионски млазни мотор. Контролна запремина обухвата простор довољно удаљен од мотора да може да се сматра да на њеним границама влада притисак =. Улазни попречни пресек А ће се кроз мотор умањити на струјни пресек А m, уз истовремено повећање брзине v на v m. Масени биланс - једначина континуитета - за подручје изван мотора даје: v ( ) + m = v ( m ) m = v ( m ) Одавде се види да долази до уструјавања флуида кроз бочне површине контролне запремине. Слика 3. Примена једначине о промени количине кретања млазни мотор Због тога настаје сила количине кретања, чија компонента у х правцу износи: F = v v, n d= v m = v ( ) ( ) K, x x m M ЈПКК гласи: v + v ( m) mvmm v ( m) + FR = 0 где је F R сила реакције коју трпи мотор. Она је једнака FR = mvmm v = m m( vm v ) Погонска сила F'=-F R. Директно је пропорционална масеном протоку и порасту брзине у млазу у односу на околину. Промена момента количине кретања Слично општем облику једначине о промени количине кретања може се успоставити веза између момента спољашњих сила M x и промене момента количине кретања d M x dt у облику: dm x M x =. dt Момент количине кретања елементарне масе је: d M = rv, d m= rv, dv За флуид у запремини V(t) je: [ ] [ ] M = [ rv, ] dv V() t Временска промена момента количине кретања једнака је суми свих спољашњих нападних момената. 36

dm d = rv, dv= d V+ rv, vn, d= M ( [ rv, ]) [ ] dt dt V () t V t [ ]( ) За стационарно струјање запремински интеграл једнак је нули, тј. локална промена у унутрашњости запремине V не постоји. Опет је потребно само познавање струјних величина на грничним површинама контролне запремине: rv, vn, d M [ ]( ) = Међутим, претпоставка о стационарности струјања у радним колима струјних машина не може да се прихвати, обзиром да је код њих струјање претежно нестационарно. Прво се обртни систем радног кола мора посматрати као стационарно струјање. Дефинише се момент количине кретања: M = rv, vn, d K [ ]( ) тако да као и код ЈПКК може да се напише у једноставном облику једначина момента количине кретања: MK + M = 0 rv,. Момент количине кретања локално је паралелан вектору [ ] Струјање у радијалним колима Промена момента количине кретања користи се при анализи рада турбомашина. Турбина одузима енергију, а пумпа предаје енергију флуидној струји уз помоћ роторског кола чије се лопатице померају само у тангенцијалном правцу. Због тога је користан рад последица деловања тангенцијалних компоненти сила на ротор. Радијалне силе не могу да померају ротор у радијалном правцу, пошто је чврсто причвршћен на осовину, па не производе рад. Слика 4. Карактеристични троуглови брзина за роторско коло пумпе (лево) и турбине (десно) v апсолутна брзина, u обимна брзина, v rel релативна брзина, v u тангенцијална компонента апсолутне брзине, v r радијална компонента апсолутне брзине Снага која се преноси са или на осовину, добија се када се резултујући момент тангенцијалних компонената сила помножи са угаоном брзином обртања осовине P=Mω. Резултујући момент тангенцијалних сила, пошто је проток флуида кроз роторско коло константан, одређен је изразом M = M M = Q R v cosα Rv cosα ( ) 37

где се индекси и односе на излаз и улаз флуида. Карактеристични троуглови брзине за улазне и излазне пресеке центрифугалне пумпе и турбине дати су на слици 4. Из претходне једначине види се да пумпу треба пројектовати тако да је М =0, а турбину да је М =0. Тада је степен ефикасности η највећи, а пошто је Mω = P= QY напор пумпе је YP = uvcosα а напор турбине Y = uv cosα. T Турбомашине класификује се према врсти струјања на: радијалне, аксијалне и радијално-аксијалне. На слици 5 приказане су скице типичних турбомашина. Снага турбине је: ( ) ( ) P = M ω = m rωv rωv = m uv u v Специфичан рад кола струјне машине дефинише се као: PT uv u uv u m =. T T u u u u Ово је Ојлерова једначина за турбине. Важи и за пумпе, када се промене предзнаци. Специфичан рад (напор) је рад који флуид предаје колу. Слика 5. Скице типичних аксијалних и радијалних турбомашина 38

Струјање компресибилног флуида Једначина континуитета, брзина слабог еластичног поремећаја, Махов конус. Компресибилност се јавља као најважнији струјни ефект, ако у флуидном систему долази до значајне промене густине или запремине. Ово се дешава при наглим убрзањима, појави еластичних таласа, брзинама које достижу и премашују брзину звука, струјање у разређеним срединама (велике висине). Разматрају се реверзибилне промене компресибилно струјање без губитака представљено изентропским законом. Једначина континуитета за компресибилан флуид је: v= v = m где се индекси и односе се на густину, брзину и површину проточног пресека нормалну на правац брзине у пресеку и, или. dm= d( v) Брзина слабог еластичног поремећаја брзина звука Брзина звука дефинише се као брзина простирања малих поремећаја величина стања (=звука) у мирном флуиду. То је брзина сигнала коју треба разликовати од брзине струјања самог флуида у којем се сигнал преноси. Разматра се напредовање таласног фронта у каналу константног струјног пресека, тзв. ударно-таласну цев (слика ). Према излазу цев је мембраном подељена на два дела. У десном делу влада ниски притисак, а у левом висок. Када се мембрана уклони, долази до згушњавања у области ниског притиска и разређивања у области високог притиска. Слика. Ударно-таласна цев Како су у питању мали поремећаји, сигнали се преносе брзином звука c (слика ). Разматра се околина таласног фронта који се креће удесно. Слика. Деснокретни талас сабијања То је нестационарни процес који се променом брзине с може разматрати као стационаран. (Стационаран приказ подразумева да се посматрач налази на фронту таласа. У сусрет, с десна на лево, стиже флуид брзином с, а ниструјно је с+dv). Користе се основне једначине струјне теорије, али линеаризоване. Једначина континуитета је: 39

одакле, уз линеаризацију, следи: m = const. c = + c + v ( d )( d ) d = dv c Применом Бернулијеве једначине за компресибилно струјање v d + const. = добија се ( c) d ( c+ dv) + d + = + + d c d c d + = cdv+. Последњи члан једнакости може да се трансформише на следећи начин: d + d d d( + d ) d d(d ) d d = = + = +. Уврштавањем у претходну једначину следи d cv d =. Комбинујући изразе d dv = c и d cv d = налази се брзина звука или c =. d d d s = = ε d d d cv d = dv= c d d d = c = c d За изотермску струју: c= = RT 40

За изентропску струју: c = = RT Махов број: M v = c - основни критеријум за анализу појава динамици гасова. - однос инерцијских (конвективних) еластичних сила у и Слика: брзина поремећаја с (из тачкастог извора) и брзине кретања извора (у мирном флуиду) усмерена је с лева на десно и расте од а) према д). Због пораста брзине кретања извора успорава се ширење поремећајног таласа уструјно од извора поремећаја, а убрзава ниструјно. При брзинама кретања извора v>c талас поремећаја простире се у виду конуса (Махов конус), са карактеристичним углом α. Основни закони компресибилног струјања. Зауставни притисак и зауставна температура. Основни закони компресибилног флуида могу се добити из Бернулијевог интеграла Ојлерове једначине за баротропан флуид при занемареним спољашњим силама: v d +. = const за изотермско струјање индекси се односе на две тачке исте струјнице v v = ln или v v = RT ln за изентропску струју v v + = + v c v c v v + = + + RT = + RT 4

За случај да је тачка зауставна (v =0; = t ) добијају се следеће релације у којима фигуришу тоталне величине стања: t = + M развојем у ред t 4 ( ) 6 = + M + M + M +... 8 48 t M = + T t T = + M Зауставни притисак је већи за компресибилан флуид него за некомпресибилан. За М=0,5, t је 6% већи, а за М=, 8% већи. Одређивање критеријума нестишљивог струјања гаса Поставља се питање до ког Маховог броја, односно брзине, може неко струјање са довољном тачношћу да се разматра као нестишљиво. Нека се претпостави да је у таквом струјању релативна промена густине увек мања од %. M = = = +... t M... M + + + одакле се налази t M = +... 0,0 M 0,4 t За ваздух на собној температури, гранична брзина струјања нестишњивог флуида је v<50 m/s=80 km/h. 4

Бернулијева једначина показује да је брзина струје мања у тачкама где влада већа брзина звука, и обрнуто. v c + = const. Максимална брзина звука c max припада тачкама v=0, тј. тачкама где флуид мирује. c max 0 = = 0 RT 0 За миран стандардни ваздух на нивоу мора, 5 0 С, c max =34 m/s Значајна тачка је и где се струјна брзина изједначује са брзином звука критична тачка, v kr и c kr. c max v c + = за За ваздух, при стандардним условима v= c= v = c kr kr добија се v = c = c + kr kr max v kr m = ckr = 34 = 3, 408 + s Истицање кроз конвергентан млазник Уобичајено је да се разматра адијабатска експанзија (истицање) из великог резервоара у коме се брзина флуида може занемарити (v =0). Карактеристичан случај је када на изласку из млазника максимална брзина струјања достиже брзину звука. За ову брзину потребан однос притиска у резервоару и на излазном пресеку млазника одређује се из: v v I + = + v kao = c = + = + = ( ) tj. = + gde je = odnosno = + Овај однос притисака назива се критични и за ваздух (=,4) износи: = = 0,58 + kr Уколико је притисак у излазном пресеку млазника, тј. околни притисак = већи од критичног: > брзина у излазном пресеку мања је од брзине звука за тај пресек и одређује се из Бј: kr v v = одакле је за v =0 v = c 43

За случај да је околни притисак мањи од критичног < kr у излазном пресеку задржава се максимална брзина v =c, притисак kr одређен је једнакошћу: = + kr и температура одређена је са У овом случају постоји скок притиска и температуре на излазном пресеку млазника са на и T на T. kr kr Масени проток је: m = v где је за случај: kada je < v = c = vmax kr m = RT + + = + Tkr T за случај > kr tj. v < c m = c Струјање кроз сужени пресек Ако компресибилни флуид струји кроз цевовод променљивог пресека, када се не може занемарити квадрат брзине у пресеку, проток се може одредити решавањем једначина: v v = За резултат се добија: m = v = v = m = + Струјање кроз конвергентно дивергентан млазник 44

Разматра се изентропско истицање из великог резервоара са притиском и температуром Т. Ако је у грлу млазника постигнута брзина звука флуид може да настави кретање и са дозвучном и са надзвучном брзином. Која ће се брзина остварити зависи од излазног притиска тј. од притиска околине у коју се врши истицање након дивергентног дела млазника. На почетку су притисци 0 и izl једнаки и не постоји струјање. Пошто се притисак izl смањи на вредност А, струјање почиње и потпуно је дозвучно. Притисак у грлу млазника мањи је од излазног притиска. Уколико се излазни притисак даље смањује, М у конвергентној секцији расте. Када однос притисак постане B /, однос притиска у грлу и тоталног притиска је */ и у грлу М=. Уколико се спољашњи притисак спусти на вредност C, јавља се нормални удар ниструјно од грла и дивергентна секција млазника се дели у део са надзвучном брзином и део са дозвучном брзином. У делу дифузора са надзвучним брзинама, он се понаша као надзвучни млазник убрзава струју, али после нормалног удара преостали део дифузора, пошто је струјање преведено у дозвучно, понаша се као дозвучни дифузор успорава струју. За мале вредности C / тачка појаве удара удаљава се од грла млазника. 45

Проток масе у тим случајевима не зависи од односа притисака, пошто су услови у грлу млазника непроменљиви за све односе мање од B /. Спуштајући излазни притисак, ударни талас се доводи до излазног пресека дифузора. Даље смањење излазног притиска узрокује ударни талас ван дифузора. Струјање у дивергентној секцији је потпуно суперсонично. Уколико спољашњи притисак и даље опада, не мења се струјни модел у млазнику. Међутим, притисак на излаз из млазника виши је од спољашњег, тако да се ширење гаса наставља изван млазника. Закон промене брзине зависно од променљиве површине проточног пресека Из једначине континуитета за стационарно компресибилно струјање следи v = const. log + log v+ log = log C d dv d = (&) v Користећи се једном од основних Бј, v. + const = d d диференцирањем се успоставља зависност: vv d + 0 = која у комбинацији са: + = 0 (#) v v dv c d d d c c = d = = dovodi do: Из једначине изентропске промене const., логаритмовањем и диференцирањем следи = d d = Уврштавањем у једначину (#) добија се: d dv M = v Заменом ове једначине у (&), добија се: d dv = ( M ) v За струјање некомпресибилног флуида, једн. континуитета, уз трансформације постаје: v = const. log v+ log = log C d dv = v Поређење једначина за d/ за компресибилно и некомпресибилно струјање, указује да се знатне промене проточног пресека компресибилног струјања, у односу на некомпресибилно, јављају са порастом Маховог броја. За дозвучно струјање М<, следи: - притисак и густина повећавају се са повећањем пресечне површине - брзина опада са повећањем пресечне површине. 46

За надзвучно струјање М>, следи: - притисак и густина опадају са повећањем пресечне површине - брзина расте са повећањем пресечне површине. Када се достигне брзина звука, промена притиска и густине веома је велика чак и за врло мале промене пресека. У близини М=, промене у брзини и густини се компензују. 47