Εργαστήριο Μηχανικής Ρευστών Εργασία 1 η : Πτώση πίεσης σε αγωγό κυκλικής διατομής Ονοματεπώνυμο:Κυρκιμτζής Γιώργος Σ.Τ.Ε.Φ. Οχημάτων - Εξάμηνο Γ Ημερομηνία εκτέλεσης Πειράματος : 12/4/2000 Ημερομηνία παράδοσης Εργασίας : 10/5/2000
2 Θεωρητική Εισαγωγή: 1. Εισαγωγικές έννοιες Αριθμός Reynolds: Ο αριθμός Reynolds (R e ) είναι μια αδιάστατη παράμετρος που ορίζει τη μορφή της ροής. Είναι ο καθαρός αριθμός που ισούται με το πηλίκο των δυνάμεων αδράνειας προς τις δυνάμεις τριβής: Επεξήγηση τύπου V = μ / ε = συντελεστής κινηματικού ιξώδους ρ = πυκνότητα ρευστού u = μέση ταχύτητα ροής d = διάμετρος αγωγού μ = ιξώδες O αριθμός Reynolds μας βοηθάει να προσδιορίσουμε αν η ροή είναι στρωτή ή τυρβώδης : 1) Στρωτή - R e < 2000. Χαρακτηριστικό της ροής αυτής είναι ότι η κίνηση πραγματοποιείται σε λείες στρώσεις παράλληλες μεταξύ τους δηλαδή χωρίς μίξη άλλων στρώσεων. Η ροή αυτή παρατηρείται όταν οι δυνάμεις συνοχής είναι μεγαλύτερες από τις υπόλοιπες δυνάμεις που ασκούνται στο ρευστό. 2) Άγνωστη κατάσταση (μεταβατική περιοχή) - 2000 < R e < 5000 Σε αυτή τη περιοχή του αριθμού Reynolds η κίνηση του ρευστού είναι ακανόνιστη, ασταθής και με έντονη μίξη του ρευστού. 3) Τυρβώδης - R e > 5000 Είναι η ροή κατά την οποία οι δυνάμεις αδράνειας επηρεάζουν σε μεγάλο βαθμό τον τρόπο ροής. Άρα προκαλούνται διαταραχές στη ροή οι οποίες μπορούν να διατηρηθούν, να μεγενθυθούν ή να μεταφερθούν με τη ροή και με διάχυση να καταλάβουν ένα μεγάλο τμήμα της διατομής του αγωγού ή ακόμα και ολόκληρη τη διατομή. Αριθμός Mach: Ο αριθμός Mach (M) ορίζεται ως το πηλίκο της ταχύτητας του ρευστού προς την ταχύτητα του ήχου στο ρευστό, κάτω από τις ίδιες συνθήκες, δηλαδή: Επεξήγηση τύπου u = μέση ταχύτητα του ρευστού C = η ταχύτητα του ήχου Με τον αριθμό MACH προσδιορίζουμε αν η ροή είναι: 1) Υποηχητική - Μ < 1 2) Ακριβώς Διηχητική - Μ = 1 3) Υπερηχητική - Μ > 1
3 Αρχή Διατήρησης της Μάζας (εξίσωση συνέχειας): Η εξίσωση της συνέχειας εκφράζει τη διατήρηση της μάζας μέσα σε ένα σωλήνα. Σύμφωνα με τον ορισμό του ροϊκού σωλήνα δεν μπορεί να υπάρξει ροή κάθετα στα τοιχώματα του, αλλά μόνο κατά μήκους του άξονά του. Σε ένα ροϊκό σωλήνα θα πρέπει η εισερχόμενη μάζα να είναι ίση με την εξερχόμενη στη μονάδα του χρόνου. Η Αρχή Διατήρησης της Μάζας ανάλογα με το είδος του ρευστού μπορεί να πάρει τις εξής μορφές: 1) Συμπιεστά ρευστά: 2) Ασυμπίεστα ρευστά: Επεξήγηση τύπων Q = παροχή όγκου ή απλά παροχή m = παροχή μάζας ή ροή μάζας A = διατομή του ροϊκού σωλήνα u = μέση ταχύτητα ρ = πυκνότητα μάζας S = χαρακτηριστικό μήκος ροής Αρχή Διατήρησης της Ενέργειας (εξίσωση Bernoulli): Στο νόμο του Euler εάν κάνουμε την εξής παραδοχή δηλαδή ότι το ρευστό είναι ασυμπίεστο και προκύπτει: Δηλαδή το άθροισμα είναι σταθερός αριθμός. Διαιρώντας στη παραπάνω σχέση με g παίρνουμε: Επεξήγηση τύπων : ε =ρg το ειδικό βάρος του ρευστού = κινητό ύψος ή ύψος κινητικής ενέργειας p / ε = Πιεζομετρικό ύψος ή ύψος λόγω υδροστατικής πίεσης του υγρού μορίου z = Δυναμικό ύψος ενέργειας λόγω της θέσης του υγρού μορίου Η παραπάνω σχέση του Bernoulli ισχύει μεταξύ δύο σημείων του ρευστού που ικανοποιούν τις εξής προϋποθέσεις: 1) το ρευστό είναι ασυμπίεστο 2) το ρευστό είναι συνεκτικό
3) η ροή είναι μόνιμη 4 Αυτό σημαίνει ότι η παραπάνω σχέση ισχύει για ένα ιδανικό ρευστό. Σε μερικές περιπτώσεις όμως και κάτω από τις κατάλληλες συνθήκες μπορούμε να αγνοήσουμε κάποιες από τις παραπάνω προϋποθέσεις θα πρέπει όμως να ισχύουν τα παρακάτω : Πρώτον η ροή να είναι ασταθής αλλά η μεταβολή της ως προς το χρόνο να γίνεται με αργό ρυθμό Επίσης να υπάρχει κίνηση αερίου όπου η διαφορά πίεσης αποτελεί ελάχιστο ποσοστό της απολύτου πιέσεως, και τέλος το ρευστό να παρουσιάζει συνεκτικότητα αλλά οι απώλειες ενέργειας εξαιτίας των διατμητικών τάσεων να είναι ελάχιστες ή να μπορούν να συμπεριληφθούν σε έναν όρο ο οποίος μπορεί να υπολογιστεί από τα δεδομένα του και με τη βοήθεια κάποιου συντελεστή ο οποίος να μπορεί να βρεθεί πειραματικά. Εξίσωση απωλειών λόγω τριβών (εξίσωση Darcy Weisbach): Αποδεικνύεται θεωρητικά και πειραματικά πως σε ένα κλειστό αγωγό με σταθερή εσωτερική διατομή οι απώλειες λόγω τριβών εξαρτώνται από τη φύση του ρευστού, την ταχύτητά του όπως επίσης και από τα κατασκευαστικά στοιχεία του αγωγού λ.χ. το μήκος του, τη διάμετρο του, τη τραχύτητα του κ.τ.λ. Οι απώλειες αυτές δίνονται από τη σχέση Darcy και Weisbach : Επεξήγηση τύπου h f = απώλειες l = το μήκος αγωγού d = διάμετρος αγωγού = κινητό ύψος ή ύψος κινητικής ενέργειας F = o αδιάστατος συντελεστής γραμμικών απωλειών που εξαρτάται από τον αριθμό Reynolds και την τραχύτητα του αγωγού: Επεξήγηση τύπου a,b = σταθερές του αγωγού d = διατομή αγωγού c = συντελεστής οποίος εξαρτάται από το τη διατομή L H σχέση αυτή είναι γενική και ισχύει για κάθε αγωγό οποιασδήποτε διατομής και για κάθε μορφή ροής. Διάγραμμα Moody : Το διάγραμμα Moody δείχνει το συντελεστή τριβής συναρτήσει του αριθμού Reynolds. O συντελεστής τριβής F εξαρτάται από τον R e και τη μεταβλητή E / L. Αλλάζοντας αυτόν τον παράγοντα ο Moody σχεδίασε μια ομάδα ενδεικτικών καμπύλων. Στη περιοχή της τακτικής ροής όλες οι καμπύλες που αντιστοιχούν στις διάφορες τιμές του παράγοντα E / L ταυτίζονται με τη μοναδική καμπύλη 64 / Re. Προκύπτει δηλαδή ότι αγωγοί στη τακτική ροή έχουν λεία συμπεριφορά ανεξάρτητα την τραχύτητά τους. Όσο αυξάνεται ο R e, το πάχος του οριακού στρώματος ελαττώνεται με αποτέλεσμα οι καμπύλες της ομάδας να αποσπούνται από τη λεία καμπύλη. 2. Περιγραφή πειραματικής διάταξης και διαδικασίας: Περιγραφή πειραματικής διάταξης: Η διάταξη που χρησιμοποιούμε στο συγκεκριμένο πείραμα είναι η τράπεζα Bernoulli
5 στην οποία εφαρμόζεται ο πειραματικός αγωγός. Το νερό που περιέχεται στη δεξαμενή, η οποία βρίσκεται στο κάτω μέρος της τράπεζας Bernoulli, κινείται με τη βοήθεια της φυγοκεντρικής αντλίας που βρίσκεται στη δεξαμενή υπερχειλίσεως. Στη δεξαμενή αυτή υπάρχει και ένας κατακόρυφος αγωγός ο οποίος τελικά καταλήγει στο δοχείο περισυλλογής, υπάρχει επίσης και ένας κατακόρυφος μικρός αγωγός δίπλα στη δεξαμενή με τη βοήθεια του οποίου γνωρίζουμε τη στάθμη του νερού μέσα στη δεξαμενή και ο πειραματικός αγωγός. Από τον πειραματικό αγωγό το νερό πέφτει στη λεκάνη περισυλλογής και από εκεί επανέρχεται στη δεξαμενή νερού, κ.ο.κ. Στη πειραματική μας συσκευή υπάρχει επίσης ένα πλωτηρόμετρο με το οποίο μετράμε την παροχή του νερού σε lt / h. Στη βαθμολογημένη κατακόρυφη πλάκα της τράπεζας Bernoulli βρίσκονται κατακόρυφοι διάφανοι σωλήνες, που είναι συνδεδεμένοι με το πειραματικό αγωγό στις υποδοχές του. Με αυτούς τους σωλήνες μετράμε το πιεζομετρικό ύψος. Μια τράπεζα Bernoulli απεικονίζεται στο παρακάτω σχήμα. Σχήμα 1 - Τράπεζα Bernoulli Πειραματική διαδικασία: Για την εκτέλεση του πειράματος χρησιμοποιήσαμε την παραπάνω πειραματική διάταξη της τράπεζας Bernoulli (Σχήμα 1). Αρχικά ανοίξαμε τη βαλβίδα εφοδιασμού της δεξαμενής υπερχειλίσεως και ύστερα τον διακόπτη της ηλεκτροκίνητης φυγοκεντρικής αντλίας. Αφού η στάθμη του νερού έφτασε σε ένα ορισμένο ύψος στη δεξαμενή υπερχειλίσεως ανοίξαμε την βαλβίδα τροφοδοσίας του πειραματικού αγωγού. Με κατάλληλη ρύθμιση της βαλβίδας αυτής σε συνδυασμό με τη ρύθμιση της βαλβίδας τροφοδοσίας, ώστε να επιτευχθεί σταθερή παροχή, σταθεροποιήσαμε την στάθμη του νερού στη δεξαμενή υπερχείλισης. Στη συνέχεια μετρήσαμε το ύψος του
6 νερού στους πιεζομετρικούς σωλήνες και για διάφορες τιμές της παροχής καταγράψαμε το ύψος του. Πειραματικά δεδομένα και ανάλυση 1. Μετρήσεις Πίνακας πειραματικών μετρήσεων Μήκος αγωγού L = 2 m Εσωτερική διάμετρος α/α Παροχή Q ( lt /h) h1 (cm) h2 (cm) h3 (cm) 1 1300 83 78 81 2 1200 81 77 79 3 1000 73 71 75 4 800 69 68 72 5 550 58 56 59 6 350 50 49 52 αγωγού d = 1,905 cm Κινηματικό ιξώδες V = 10-6 m 2 /sec 2. Υπολογισμοί και επεξεργασία μετρήσεων Εμβαδόν διατομής αγωγού: Κατά τον υπολογισμό της παροχής Q θα μετατρέψουμε τις μονάδες σε cm3 / sec. Q ( lt / h) Q ( cm3 / sec) Q 1 1400 388,9 Q 2 1200 333,3 Q 3 1000 277,8 Q 4 800 222,2 Q 5 600 166,7 Q 6 400 111,1 Από την παροχή θα υπολογίσουμε τη μέση ταχύτητα u του υγρού σύμφωνα με το τύπο:
Q ( cm3 / sec ) A (cm 2 ) u ( cm / sec ) u 1 388,9 136,46 u 2 333,3 116,95 u 3 277,8 97,47 2,85 u 4 222,2 77,96 u 5 166,7 58,49 u 6 111,1 38,98 Από τη ταχύτητα υπολογίζω τον αριθμό Reynolds σύμφωνα με το τύπο: 7 u ( cm / sec ) d (cm) V R e R e1 136,46 25995,63 R e2 116,95 22278,98 R e3 97,95 18659,48 1,905 10-2 (cm 2 /sec) R e4 77,96 14851,38 R e5 58,49 11142,35 R e6 38,98 7425,69 Επίσης υπολογίζω τον συντελεστή F σύμφωνα με τη παρακάτω σχέση: όπου Δh = η διαφορά ύψους της στάθμης στους πιεζομετρικούς σωλήνες h 1 (m) h 2 (m) h3 (m) u ( cm / sec ) F F 1 0,88 0,84 0,81 136,46 0,008 F 2 0,85 0,82 0,79 116,95 0,008 F 3 0,8 0,77 0,75 97,47 0,012 F 4 0,77 0,74 0,72 77,96 0,019 F 5 0,64 0,61 0,59 58,49 0,033 F 6 0,57 0,54 0,52 38,98 0,075 Γνωρίζουμε ότι: όπου ταχύτητα ήχου c = 1500 m / sec Επομένως βρίσκουμε τον αριθμό Mach σύμφωνα με τον παραπάνω τύπο.
u ( cm / sec ) c ( m / sec ) Mach x10-3 Mach 1 136,46 0,9097 Mach 2 116,95 0,7797 Mach 3 97,47 0,6498 1500 Mach 4 77,96 0,5197 Mach 5 58,49 0,3899 Mach 6 38,98 0,2599 Αφού βρήκαμε όλα τα απαραίτητα στοιχεία μπορούμε να τα τοποθετήσουμε σε ένα πίνακα: α/α Q ( cm3 / sec ) u ( cm / sec ) R e F Mach x10-3 1 388,9 136,46 25995,63 0,008 0,9097 2 333,3 116,95 22278,98 0,008 0,7797 3 277,8 97,47 18659,48 0,012 0,6498 4 222,2 77,96 14851,38 0,019 0,5197 5 166,7 58,49 11142,35 0,033 0,3899 6 111,1 38,98 7425,69 0,075 0,2599 Εφόσον κατασκευάσαμε τον παραπάνω πίνακα μπορούμε να τοποθετήσουμε τα στοιχεία μας στο διάγραμμα Moody και να δημιουργήσουμε την παραστατική καμπύλη. Αυτή η καμπύλη φαίνεται στη επόμενη σελίδα. 8 Γενικά Συμπεράσματα: Στην καμπύλη που κατασκευάσαμε παρατηρούμε πως οι τιμές του συντελεστή τριβής F που βρήκαμε πειραματικά, έχουν απόκλιση από τις θεωρητικές του διαγράμματος Moody. Η απόκλιση αυτή οφείλεται κυρίως σε σφάλματα που προέκυψαν κατά την διαδικασία εκτέλεσης του πειράματος είτε λόγο φθοράς των μηχανημάτων που χρησιμοποιήθηκαν για το πείραμα, όπως π.χ. ο πειραματικός αγωγός που χρησιμοποιήθηκε δεν έχει λεία εσωτερική επιφάνεια με αποτέλεσμα να προκαλείται τυρβώδης ροή. Αυτό σημαίνει πως ο συντελεστής τριβής του υγρού στη πραγματικότητα είναι πάντα διαφορετικός σε σχέση με τη θεωρητική μελέτη του πειράματος, για αιτίες που είναι δύσκολο να προσδιοριστούν. Έτσι εάν επιθυμούμε ακριβέστερη προσέγγιση είναι προτιμότερο να διαλέγουμε την πειραματική μελέτη.
9 Βιβλιογραφία: 1. Μηχανική Ρευστών Ι... Περικλής Σπ. Κορωνάκης, Ήβος 1980 2. Μηχανική Ρευστών... Μ. Ακριβέλης 3. Μηχανική Ρευστών.. Απόστολος Κ. Γούλας 4. Fluid Mechanics, Ninth Editιon... Streeter, Wylie, Bedford, WCB/McGraw-Hill 5. Πάπυρος Larousse Britannica 6. Χάος μια νέα επιστήμη.. James Gleick
10