Έιεγρνο ππνζέζεσλ Όπως και στην εκτιμητική

Έλεγχος Υποθέσεων 1

Έιεγρνο ππνζέζεσλ Όπως και στην εκτιμητική συνάγουμε συμπεράσματα για τον πληθυσμό με βάση τις πληροφορίες τυχαίου δείγματος μεγέθους n. Η προσέγγιση είναι διαφορετική.

Έιεγρνο ππνζέζεσλ Υποθέηοσμε όηι ο πληθσζμός έτει μέζη ηλικία 5. H : 5 ( ) Προζδιοριζμός πληθσζμού Είναι ηο x πιθανό εάν μ=5 Όσι, δεν είναι Απόρριυη Μηδενικής σπόθεζης Η X Λήυη δείγμαηος

Έιεγρνο γηα ηε κέζε ηηκή Παράδειγμα: Έστω ότι ο αριθμός Χ των αμοιβόμενων υπερωριών που κάνουν μηνιαίως οι εργαζόμενοι σε μεγάλη δημόσια επιχείρηση προσεγγίζει πολύ καλά την Ν(43, 1). Η διοίκηση της επιχείρησης έδωσε εντολή για μείωση των υπερωριών. Μέζε ηηκή δηαθύκαλζε

Έιεγρνο γηα ηε κέζε ηηκή Μερικούς μήνες μετά ζητάει από το αρμόδιο τμήμα (όπου εργάζεστε) να ελέγξει αν η εντολή της εφαρμόζεται

Έιεγρνο γηα ηε κέζε ηηκή Η παξάκεηξνο πνπ καο ελδηαθέξεη είλαη ε κέζε ηηκή πιεζπζκνύ κ (δειαδή ν κέζνο αξηζκόο ππεξσξηώλ πνπ θάλνπλ κεληαίσο όινη νη εξγαδόκελνη ζηελ επηρείξεζε) Άξα, καο ελδηαθέξεη λα ειέγμνπκε θαηά πόζν ε κ κεηαβιήζεθε.

Έιεγρνο γηα ηε κέζε ηηκή Γηα ην ζθνπό απηό νξίδνπκε έλα ζύζηεκα δύν ππνζέζεσλ: Η : κ = 43 Η 1 : κ < 43

Έιεγρνο γηα ηε κέζε ηηκή Η Η ιέγεηαη κεδεληθή ππόζεζε Η Η 1 είλαη ε ελαιιαθηηθή ππόζεζε

Έιεγρνο γηα ηε κέζε ηηκή Με ηε κεδεληθή ιέκε «δελ άιιαμε ηίπνηα, όια είλαη όπσο πξώηα» Με ηελ ελαιιαθηηθή ιέκε «ε κέζε ηηκή κεηώζεθε»

Έιεγρνο γηα ηε κέζε ηηκή Ο δειγματικός μέσος τυχαίου δείγματος από έναν κανονικό πληθυσμό ακολουθεί την κανονική κατανομή Το ίδιο ισχύει και αν ο πληθυσμός δεν είναι κανονικός αρκεί το δείγμα να είναι αρκετά μεγάλο

Έιεγρνο γηα ηε κέζε ηηκή Αλ ινηπόλ ηζρύεη ε Η ηόηε θαη απηόλ ηνλ κήλα, ε Z X 1 / 43 (1.1) αθνινπζεί ηελ ηππηθή θαλνληθή θαηαλνκή δει. ηελ Ν(,1) n μ=43 ζ = 1=1

Έιεγρνο γηα ηε κέζε ηηκή Άξα ηζρύεη ε πηζαλόηεηα ε κέζε ηηκή λα είλαη κεηαμύ ηνπ δηαζηήκαηνο θαηά 9%. X 43 P( 1.645 Z 1.645) 1 / n.9 ή ε πηζαλόηεηα ε κέζε ηηκή λα είλαη εθηόο νξίνπ θαηά 5%. P( Z 1.645.5)

Έιεγρνο γηα ηε κέζε ηηκή Αλ ηζρύεη ε κεδεληθή ππόζεζε, ε πηζαλόηεηα γηα έλα ηπραίν δείγκα κεγέζνπο n λα δώζεη κηα δεηγκαηηθή κέζε ηηκή ηέηνηα ώζηε λα ηζρύεη x 43 Z 1 n είλαη κόλν.5% 1.645.5%.95% -1.645

Αλ ινηπόλ ζε ηπραίν δείγκα n εξγαδνκέλσλ.. καταγράψουμε τις μηνιαίες υπερωρίες τους τον τελευταίο μήνα υπολογίσουμε τον αριθμητικό τους μέσο και από την (1.1) προκύψει η x z x 1 / 43 n 1.645 θα απορρίψουμε την Η Εάν z < C.V. απορρίπηοσμε ηην Η & αποδετόμαζηε ηην Η1 (Η 1 : μ < 43)

Βήκαηα γηα ηνλ έιεγρν ππνζέζεσλ Να ελέγχει η υπόθεση ότι το ο πραγματικός αριθμός τηλεοράσεων που έχει κάθε νοικοκυριό είναι τουλάχιστον 3 ( γνωστή) 1. Δηλώνω ηην H. Δηλώνω ηην H 1 3. Επιλογή 4. Επιλογή n 5. Επιλογή Test H H 1 =.5 : 3 : 3 n 1 Z test

Έιεγρνο γηα ηε κέζε ηηκή Υπνζέζεηο πνπ γίλνληαη δεθηέο: -πξνθύπηνπλ από ηηο γλώζεηο καο γηα ηνλ πιεζπζκό θαη ηηο ζπλζήθεο ηεο δεηγκαηνιεςίαο -καδί κε ηελ κεδεληθή ππόζεζε νξίδνπλ ην θξηηήξην κε βάζεη ην νπνίν ζα απνθαζίζνπκε αλ ζα δερηνύκε ή ζα απνξξίςνπκε ηελ κεδεληθή ππόζεζε

Έιεγρνο γηα ηε κέζε ηηκή Η μηδενική και η εναλλακτική υπόθεση: Αλάινγα κε ηε θύζε ηνπ πξνβιήκαηνο, δηαθξίλνπκε ηηο εμήο πεξηπηώζεηο: i) αξηζηεξόπιεπξνο έιεγρνο 1 : : μ μ μ μ

Έιεγρνο γηα ηε κέζε ηηκή ii) δεμηόπιεπξνο έιεγρνο 1 : : μ μ μ μ iii) δίπιεπξνο έιεγρνο 1 : μ μ : μ μ

Απιζηεπόπλεςπορ ή απιζηεπόζηποθορ έλεγσορ H : μ = μ H 1 : μ < μ

Δεξιόπλεςπορ ή δεξιόζηποθορ έλεγσορ H : κ = κ H 1 : κ > κ

Δίπλεςπορ ή αμθίπλεςπορ έλεγσορ H : μ = μ H 1 : μ μ

Κξηηηθέο ηηκέο

Έιεγρνο γηα ηε κέζε ηηκή Έλα πξόβιεκα ειέγρνπ νλνκάδεηαη κνλόπιεπξν (one-sided) αλ κόλνλ νη απνθιίζεηο πξνο κία θαηεύζπλζε από ηελ κεδεληθή ππόζεζε επηβάιινπλ δηαθνξεηηθή ελέξγεηα απ όηη ζηελ κεδεληθή

Έιεγρνο γηα ηε κέζε ηηκή Αλ ε θαηαλνκή πιεζπζκνύ κπνξεί λα ππνηεζεί θαλνληθή κε δηαθύκαλζε γλσζηή ζην (ηπραίν) δείγκα ππνινγίδνπκε ηελ ηηκή x ( = δεηγκαηηθόο κέζνο) θαη x z / n

Έιεγρνο γηα ηε κέζε ηηκή ην θξηηήξην απνθάζεσο, γηα ηα ηξία είδε ειέγρνπ, αληίζηνηρα: Η κεδεληθή απόθαζε (H : μ = μ ) ζα απνξξηθζεί αλ i) z z1 ii) z z 1 iii) z z 1 /

Επίπεδο ζημανηικόηηηαρ Τν α νλνκάδεηαη επίπεδν ζεκαληηθόηεηαο. Επηιέγεηαη από ηνλ εξεπλεηή, ζπλήζσο ζην.5 ή ζην.1 ή ζην.1 (ζπαληόηεξα) Είλαη ε πηζαλόηεηα λα πξνθύςνπλ αθξαίεο ηηκέο θάησ από ηε κεδεληθή ππόζεζε. Σε κηα ηέηνηα πεξίπησζε (πξν)απνθαζίδνπκε λα απνξξίςνπκε ηελ κεδεληθή ππόζεζε ελ γλώζεη καο όηη κπνξεί λα θάλνπκε έλα ζθάικα

Δπίπεδν ζεκαληηθόηεηαο α. Πεξηνρέο απόξξηςεο ππνζέζεσλ H : 3 H 1 : < 3 Critical Value(s) H : 3 H 1 : > 3 H : 3 H 1 : 3 Rejection Regions /

Σθάικα ηύπνπ Ι Είλαη ε απόξξηςε ηεο κεδεληθήο ππόζεζεο ελώ ηζρύεη. Η πηζαλόηεηά ηνπ ηζνύηαη κε ην επίπεδν ζεκαληηθόηεηαο α. Τν ζθάικα ηύπνπ Ι είλαη πηζαλό ζηελ πεξίπησζε πνπ απνξξίπηνπκε ηελ κεδεληθή ππόζεζε.

Σθάικα ηύπνπ ΙI Είλαη ε απνδνρή ηεο κεδεληθήο ππόζεζεο ελώ ηζρύεη ε ελαιιαθηηθή ηεο. Η πηζαλόηεηά ηνπ ππνινγίδεηαη θαηά πεξίπησζε. Τν ζθάικα ηύπνπ ΙΙ είλαη πηζαλό ζηελ πεξίπησζε πνπ ηελ απνδερόκαζηε.

Παξάδεηγκα 5.1 Η κέζε θαηαλάισζε βελδίλεο είλαη 6.9 lt/1 km, δειαδή κ=6.9. Η θαηαλάισζε Χ είλαη θαλνληθή κε ζ =.5 lt/1 Km Να ειεγρζεί ν ηζρπξηζκόο ηνπ θαηαζθεπαζηή ζην α =.5. Γίλεηαη όηη ζε n= δνθηκέο ππνινγίζακε κεγαιύηεξε κέζε θαηαλάισζε x 7.4 lt/1km

Παξάδεηγκα.1 Υπνζέζεηο πνπ γίλνληαη δεθηέο: Η θαηαλάισζε Φ αθνινπζεί ηελ θαλνληθή θαηαλνκή, ε δηαθύκαλζή ηεο ηζνύηαη κε.5 1. Η κεδεληθή θαη ε ελαιιαθηηθή ππόζεζε H : κ = κ H ε : κ > κ Πηζηεύνπκε ηελ παξαγσγό επηρείξεζε κέρξηο όηνπ ηα δεδνκέλα καο νδεγήζνπλ ζηελ απόξξηςε ηεο Αλ ε θαηαλάισζε είλαη πην κεγάιε από όζε δηαθεκίδεηαη, ε παξαγσγόο επηρείξεζε εμαπαηά ηνπο θαηαλαισηέο Η μηδενική υπόθεση θα απορριφτεί εάν z z 1

Γηα ην θξηηήξην απνθάζεσο έρνπκε: α=.5, 1-α=.95 θαη x z / n z z 1.95 1.645 Δπνκέλσο, αλ z x.5/ 6.9 1.645 ζα απνξξίςνπκε ηελ κεδεληθή ππόζεζε H : μ = μ

Η απόθαζη: επειδή z 7.4.5/ 6.9 4.69 1.645 αποππίπηοςμε ηην μηδενική ςπόθεζη ζηο επίπεδο ζημανηικόηηηαρ α=.5 x z / n Η δειγματική μέση τιμή είναι τέτοια ώστε εκφρασμένη σε τιμές της Ζ είναι πολύ μεγαλύτερη από την κριτική τιμή 1.645 Συμπεραίνουμε ότι το δείγμα δεν στηρίζει την μηδενική υπόθεση στο α=.5 (επίπεδο σημαντικότητας) Ζπ=4.69 Z=1.645

Πόηε θάλσ ρξήζε z ή t θαηαλνκήο Το ζ ηος πληθςζμού γνωζηό? Όσι Είναι ηο n >3? Όσι Χπηζιμοποιώ ηιμέρ t & s ζηοςρ ηύποςρ Ναι Ναι Χπηζιμοποιώ ηιμέρ z ανεξάπηηηα από ηο μέγεθορ ηος δείγμαηορ Χπηζιμοποιώ ηιμέρ z και s ζηη θέζη ηος ζ ζηοςρ ηύποςρ 34

Άζθεζε. Το όριο αντοχής ενός τύπου καλωδίων είναι τυχαία μεταβλητή Χ με μέση τιμή μ=15 kgr και τυπική απόκλιση σ=175 kgr. Το εργοστάσιο που κατασκευάζει αυτόν τον τύπο καλωδίων ισχυρίζεται ότι βελτίωσε τα υλικά που χρησιμοποιεί και πλέον το όριο αντοχής των καλωδίων έχει αυξηθεί. Να ελεγχθεί ο ισχυρισμός του κατασκευαστή στο α =.5. Δίνεται ότι σε n=5 δοκιμές υπολογίσαμε μεγαλύτερη μέση αντοχή καλωδίου x 155 Πηγή:Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής / Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos).

Άζθεζε. Υπνζέζεηο πνπ γίλνληαη δεθηέο: Τν όξην αληνρήο Φ αθνινπζεί ηελ θαλνληθή θαηαλνκή, κε ηππηθή απόθιηζε =175 Η κεδεληθή θαη ε ελαιιαθηηθή ππόζεζε H : κ = κ H ε : κ > κ Πηζηεύνπκε ηελ επηρείξεζε κέρξηο όηνπ ηα δεδνκέλα καο νδεγήζνπλ ζηελ απόξξηςε ηεο Αλ ην όξην αληνρήο είλαη κεγαιύηεξν Η μηδενική υπόθεση θα απορριφτεί εάν z z 1

Γηα ην θξηηήξην απνθάζεσο έρνπκε: α=.5, 1-α=.95 θαη x z / n z z 1.95 1.645 Δπνκέλσο, αλ 15 z x 1.645 175/ 5 ζα απνξξίςνπκε ηελ κεδεληθή ππόζεζε H : μ = μ

Η απόθαζη: επειδή z 155 15 175/ αποππίπηοςμε ηην μηδενική ςπόθεζη ζηο επίπεδο ζημανηικόηηηαρ α=.5 5, 1.645 x z / n Η δειγματική μέση τιμή είναι τέτοια ώστε εκφρασμένη σε τιμές της Ζ είναι πολύ μεγαλύτερη από την κριτική τιμή 1.645 Συμπεραίνουμε ότι το δείγμα δεν στηρίζει την μηδενική υπόθεση στο α=.5 (επίπεδο σημαντικότητας) Ζπ=, Z=1.645

Άζθεζε.3 Η μέση ετήσια παράγωγη γάλακτος με βάση την βιβλιογραφία μιας φυλής αγελάδων είναι 4. κιλά ανά αγελάδα. Ένας ερευνητής θέλει να ελέγξει αν στις κτηνοτροφικές μονάδες μιας περιοχής οι αγελάδες της συγκεκριμένης φυλής έχουν την μέση ετήσια απόδοση που αναφέρεται. Για τον σκοπό αυτό με βάση τυχαία δειγματοληψία επέλεξε 4 αγελάδες και κατέγραψε κάθε μέρα επί ένα έτος την παραγωγή γάλακτος καθεμίας αγελάδας. Η μέση ετήσια παραγωγή των 4 αγελάδων βρέθηκε 3.91 κιλά με τυπική απόκλιση 5 κιλά. Να βρεθεί εάν αυτό που παρατηρήθηκε στο δείγμα διαφέρει από αυτό που αναφέρεται στην βιβλιογραφία σε επίπεδο σημαντικότητας,5. Δίνεται: Z 1,96,5 Πηγή:Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής / Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos)

Άζθεζε.3 Υπνζέζεηο Μεδεληθή ππόζεζε:κ=4 kgr Τπραίν δείγκα:n=4 Μέζε ηηκή: x 3.91 kgr Τππηθή απόθιηζε :ζ=5 kgr Η κεδεληθή θαη ε ελαιιαθηηθή ππόζεζε H : μ = μ H 1 : μ μ Η εηήζηα απόδνζε ησλ αγειάδσλ είλαη ηδία κε ηελ κέζε απόδνζε ηεο βηβιηνγξαθίαο. Η εηήζηα απόδνζε ησλ αγειάδσλ δηαθέξεη κε ηελ κέζε απόδνζε ηεο βηβιηνγξαθίαο. Η κεδεληθή ππόζεζε ζα απνξξηθηεί εάλ z z 1 /

Γηα ην θξηηήξην απνθάζεσο έρνπκε: α=.5, 1-α=.95 & α/=,5 z a / z,5 1,96 z x / n Δπνκέλσο, αλ z x / n 1.96 ζα απνξξίςνπκε ηελ κεδεληθή ππόζεζε H : μ = μ

Γηα ην θξηηήξην απνθάζεσο έρνπκε: α=.5, 1-α=.95 & α/=,5 z a / z,5 1,96 z x / n Δπνκέλσο, αλ z x / n 1.96 ζα απνξξίςνπκε ηελ κεδεληθή ππόζεζε H : μ = μ

z x / n 391 4 5 4 9 5 6.3,8 1,96 Η μηδενική ςπόθεζη θα αποππιθηεί γιαηί z z 1 /.95,8 z 95% όλων ηων ηιμών,8 z z.5 = -1,96 z.5 = 1,96 μ 43

Σπκπέξαζκα. Σε επίπεδο σημαντικότητας α=,5 το δείγμα δίνει σημαντικές στατιστικές αποδείξεις ότι η μέση ετήσια απόδοση των αγελάδων διαφέρει από την μέση ετήσια απόδοση των αγελάδων της βιβλιογραφίας. Η πιθανότητα το συμπέρασμα να είναι λάθος είναι το πολύ,5.

Γελ μερλάκε! Η κεδεληθή ππόζεζε απνξξίπηεηαη αλ: i) Η απορρίπτετε εάν ii) Η απορρίπτετε εάν iii) Η απορρίπτετε εάν z z a 1 1 : : 1 : : 1 : : z z a 1 z z a / 1 Εάν η ζ ηος πληθςζμού άγνωζηη Κπιηήπιο z εάν n>3. Κπιηήπιο t εάν n<=3.

Έλεγτος για ηη μέζη ηιμή μ όηαν η διακύμανζη ζ² ηοσ πληθσζμού είναι άγνφζηη 46

Σηελ πεξίπησζε απηή ν έιεγρνο ζα γίλεη κε ην θξηηήξην t. Εηδηθόηεξα, ε κεδεληθή ππόζεζε απνξξίπηεηαη γηα ηα ηξία είδε ειέγρνπ, αληίζηνηρα, αλ: i) t t, 1 ii) t t, 1 iii) t t ν,1 α/ όπνπ λ=n-1

Άζθεζε.4 Από ένα κανονικό πληθυσμό πήραμε ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους n=9 με δειγματικό μέσο x 6 και δειγματική τυπική απόκλιση 1 μονάδες. Να γίνει στατιστικός έλεγχος σε επίπεδο σημαντικότητας α=,5 για τον έλεγχο της μηδενικής υπόθεσης H : μ = 65 έναντι της εναλλακτικής H 1 : μ 65. (Δίνεται t8,.5=.36) Τ-test / σ πληθυσμού άγνωστη / n<3 Πηγή:Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής / Γ. Παπαδόποσλος (www.aua.gr/gpapadopoulos)

Άζθεζε.4 Η κεδεληθή θαη ε ελαιιαθηηθή ππόζεζε H : μ = 65 H 1 : μ 65 Η κεδεληθή ππόζεζε ζα απνξξηθηεί εάλ t t ν,1 α/ Χρησιμοποιώ t-student κατανομή γιατί n<3 tv, 1-a/= t8,.975=.36 Άξα εάλ t x s / n.36 ηόηε ζα απνξξηθηεί ε κεδεληθή ππόζεζε.

t x s / n 6 65 1 9 1,58,36 Η μηδενική ςπόθεζη δεν θα αποππιθηεί γιαηί t 1,58,36.95 1,5 t 95% όλων ηων ηιμών 1,5 t z.5 = -,36 z.5 =,36 μ 5

Σπκπέξαζκα Η τιμή της στατιστικής συνάρτησης έλεγχου δεν βρίσκεται στην περιοχή απόρριψης. Επομένως σε επίπεδο σημαντικότητας α=,5 δεν απορρίπτουμε την μηδενική υπόθεση.

Παξάδεηγκα.5 Απηόκαην κεράλεκα θόβεη κεηαιιηθά ειάζκαηα ησλ νπνίσλ ην κήθνο Φ αθνινπζεί ηελ θαλνληθή θαηαλνκή κε κ5cm. Τν κηθξό κήθνο πξναλαγγέιιεη βιάβε θαη γη απηό θαζεκεξηλά κεηξηέηαη ην κήθνο ζε ηπραίν δείγκα n ζην νπνίν ππνινγίδεηαη ε κέζε ηηκή x θαη ε δηαθύκαλζε s Σην δείγκα κηαο κέξαο ππνινγίζακε κέζν κήθνο 4.5 θαη s 1cm Να ειεγρζεί ε ππόζεζε όηη ην κέζν κήθνο ζην ζύλνιν ηεο παξαγσγήο κεηώζεθε ζε επίπεδν ζεκαληηθόηεηαο α.1

Παξάδεηγκα.5 Ο έλεγχος θα γίνει σταδιακά ως εξής: 1. Οι υποθέσεις που γίνονται δεκτές: Η κατανομή πληθυσμού είναι κανονική. Η μηδενική και η εναλλακτική υπόθεση: Η : μ = 5 Η 1 : μ < 5

3. Το κριτήριο αποφάσεως: Για ν n 1=19 βαθμούς ελευθερίας και α.1 βρίσκουμε από τον πίνακα t ν,1-α = t 19(.99) =.539. Επομένως αν t t, 1 x 5 t.539 π s / Χρησιμοποιώ t-student κατανομή γιατί n<3 θα απορρίψουμε την Η, υπέρ της Η 1.

δ. Η απόφαση: Επειδή 4.5 5 t.4.539 π 1/ δεν μπορούμε να απορρίψουμε την Η.

Παξάδεηγκα.6 Η μηδενική υπόθεση όμως απορρίπτεται για μεγαλύτερα επίπεδα σημαντικότητας, π.χ. για α.5. Πράγματι, t 1.79 19,(.95) και ισχύει t 1.79 π

Παξάδεηγκα.6 Η p-ηιμή ηος ελέγσος είναι μεηαξύ ηος 1% και 5%

Σηαηιζηικοί έλεγτοι σποθέζεφν για ηην διακύμανζη ζ² ενός κανονικού πληθσζμού με ένα ησταίο δείγμα μεγέθοσς n ζε επίπεδο ζημανηικόηηηας α. 58

Η θαηαλνκή ρ προκύπτει ως άθροισμα κανονικών τ.μ. υψωμένων στο τετράγωνο (συνεπώς)παίρνει τιμές μη αρνητικές Έχει μέση τιμή και διακύμανση, αντίστοιχα

Έτσι, αν S είναι η διακύμανση δείγματος n στοιχείων από έναν κανονικό πληθυσμό με διακύμανση σ τότε η τυχαία μεταβλητή σ Η θαηαλνκή ρ (n 1)S ζ Άθροισμα τετραγωνικών αποκλίσεων κανονικών τ.μ., (διαιρεμένων με σταθερά) Παράμετρος, άρα σταθερά ακολουθεί την κατανομή x με ν n 1 βαθμούς ελευθερίας

Η θαηαλνκή ρ Η κνλαδηθή παξάκεηξνο ηεο θαηαλνκήο ρ είλαη νη βαζκνί ειεπζεξίαο λ Με την αύξηση του ν προσεγγίζει την κανονική

Η θαηαλνκή ρ Σηνλ έιεγρν γηα ηε δηαθύκαλζε ην θξηηήξην απνθάζεσο νξίδεηαη κε βάζε ηε ζηαηηζηηθή σ (n 1)S ε νπνία αθνινπζεί ηελ θαηαλνκή x² κε λ=n-1 βαζκνύο ειεπζεξίαο ζ

x Η θαηαλνκή x Η κατανομή υπολογίζεται από τις μεταβλητές (n-1), s², σ², όταν επιλέγονται τυχαία δείγματα από ένα κανονικό πληθυσμό με διακύμανση σ² ( n 1) s x ά x ( n 1) s ά n 1 Διακύμανζη = ζ²,s² Τςπική απόκλιζη =ζ,s Εάν ςποθέζοςμε διάζηημα εμπιζηοζύνηρ 95% ηόηε: α = 1-,95=,5 X²δεξιά= (α/ =,5/ =,5) X²απιζηεπά = (1- α/ = 1 -,5 =,975) Παπόμοια διαδικαζία σπηζιμοποιείηαι για 9% ή 99% 63

Καηαλνκή x x n 1) ( s 1- α/ x n 1 α/ x n1,1 a / x n 1, a / 64

Σηελ πεξίπησζε απηή ν έιεγρνο ζα γίλεη κε ην θξηηήξην x². Εηδηθόηεξα, ε κεδεληθή ππόζεζε απνξξίπηεηαη αλ: x n : i) : Η απορρίπτετε εάν 1 1) s ( n n1, a / x ( 1) s ii) 1 : : Η απορρίπτετε εάν 1) s ( n n1, a x iii) 1 : : Η απορρίπτετε εάν 1) s ( n n1, a / x 1) s ( n n1,1 a / x

Άζθεζε.7 Μια αυτόματη μηχανή συσκευάζει καλαμπόκι σε τσουβάλια των 5 κιλών. Η μηχανή έχει ρυθμιστεί έτσι ώστε οι ποσότητας καλαμποκιού που συσκευάζονται ανά τσουβάλι έχουν τυπική απόκλιση 1,5 κιλό. Επίσης εxει παρατηρηθεί ότι οι ποσότητες ακλουθούν την κανονική κατανομή. Ο υπεύθυνος παραγωγής υποψιάζεται ότι η μηχανή έχει απορυθμιστεί και θέλει να ελέγξει αν η τυπική απόκλιση των ποσοτήτων καλαμποκιού που συσκευάζονται ανά τσουβάλι είναι πράγματι 1,5 κιλό. Για το σκοπό αυτό επέλεξε από την παραγωγή μιας ημέρας τυχαία 3 τσουβάλια. Κατέγραψε τα βάρη τους και υπολόγισε το μέσο βάρος τους x 4,8 kgr. και την τυπική απόκλιση s=1,6 kgr. Σε επίπεδο σημαντικότητας α=5% υποστηρίζουν αυτά τα δεδομένα τις υποψίες του υπεύθυνου παραγωγής? Δίνονται: 45,71 16, 4 x9,.5 x9,.75 Πηγή:Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής / Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos)

Άζθεζε.7 Υπνζέζεηο Μεδεληθή ππόζεζε: ζ=1,5 kgr Τπραίν δείγκα:n=3 Μέζε ηηκή: kgr x 4,8 Τππηθή απόθιηζε :S=1,6 kgr α=5% Η κεδεληθή θαη ε ελαιιαθηηθή ππόζεζε H : σ² = σ² H 1 : σ² σ²

Άζθεζε.7 Η κεδεληθή ππόζεζε ζα απνξξηθηεί εάλ ηζρύνπλ νη ζρέζεηο θαη 1) s ( n n1, a / 1) s ( n n1,1 a / Επίζεο x x x ( n 1) s πνπ καο δίλεη που μας δίνει (3 1)1,6 3,99 1,5 s ( n 1) 45.7 n 1, a / 9,.5 x x ( n 1) 16.7 x 1,1 / x n a 9,.75 Δελ ηζρύνπλ νη παξαπάλσ ζρέζεηο άξα απνδερόκαζηε ηελ Η. s

Καηαλνκή x x ( n 1) s 3,99 1-α/ x n 1 α/ x n1,1 a / 16,47 x n 1, a / 45,7 69

Σπκπέξαζκα. Τα δεδομένα που έχουμε δεν υποστηρίζουν τις υποψίες του υπεύθυνου παραγωγής. Αποδεχόμαστε την μηδενική υπόθεση. Η ποσότητα βρίσκεται εντός της μέσης περιοχής.

Άζθεζε.8 Έστω ότι ο χρόνος ζωής ενός τύπου μπαταριών ακολουθεί την κανονική κατανομή Ν(μ,σ²). Ο κατασκευαστής ισχυρίζεται ότι σ²=1. Μπορούμε να απορρίψουμε τον ισχυρισμό αυτό έναντι της Η1:σ²>1 σε επίπεδο σημαντικότητας 5% αν έχουμε την πληροφορία ότι η δειγματική διασπορά S² των χρόνων ζωής ενός τυχαίου δείγματος μπαταριών βρέθηκε ίση με 13. x 3. 14 Δίνεται: 9,.5 Πηγή: Κούηρας Μ., Μπούηζικας Μ., Σηαηιζηική ΘΘ, 1.

Άζθεζε.8 Υπνζέζεηο Μεδεληθή ππόζεζε: ζ²=1 Τπραίν δείγκα:n= Τππηθή απόθιηζε :S²=13 α=5% Η κεδεληθή θαη ε ελαιιαθηηθή ππόζεζε H : σ² = σ² H 1 : σ² > σ² ή H 1 : σ² > 1

Άζθεζε.8 Η κεδεληθή ππόζεζε ζα απνξξηθηεί εάλ ηζρύεη 1) s ( n n1, a x πνπ καο δίλεη s ( n 1) 3.14 n 1, a 9,.5 x x Επίζεο x ( n 1) s ( 1)13 1 4,7 Τν x² είλαη κηθξόηεξν ηνπ ππόζεζε : 1 x 9,. 5 θαη άξα απνδερόκαζηε ηελ

Καηαλνκή x x ( n 1) s 4,7 x n 1 α x 1, n a 3.14 74

Αζθήζεηο επαλάιεςεο.9 Ένας φοιτητής διοίκησης επιχειρήσεων ισχυρίζεται ότι ο μέσος φοιτητής MBA είναι υποχρεωμένος να ετοιμάζει περισσότερες από 5 εργασίες την εβδομάδα. Για να ελέγξει τον ισχυρισμό αυτόν ένας καθηγητής στατιστικής επέλεξε ένα τυχαίο δείγμα 1 φοιτητών MBA και τους ρώτησε πόσες εργασίες πρέπει να ετοιμάζουν ανά εβδομάδα. Οι απαντήσεις δίνονται στον παρακάτω πίνακα: 7 4 8 9 5 11 3 7 4 Μπορεί ο καθηγητής να συμπεράνει με στάθμη σημαντικότητας 5% αν ο ισχυρισμός είναι αληθής, αν είναι γνωστό ότι ο αριθμός των εργασιών ανά εβδομάδα έχει κανονική κατανομή με τυπική απόκλιση σ=1,5; Z1 a Δίνεται: 1, 645 Πηγή: Καθηγητής Ι. Μητρόποσλος / email: mitro@teipat.gr /

Αζθήζεηο επαλάιεςεο.9 Υπνζέζεηο Μεδεληθή ππόζεζε:κ=5 Τπραίν δείγκα:n=1 Τυπική απόκλιση : ζ=1,5 α=.5 Η κεδεληθή θαη ε ελαιιαθηηθή ππόζεζε H : μ = 5 H 1 : μ > 5 Η κεδεληθή ππόζεζε ζα απνξξηθηεί εάλ z z 1

x Γηα ην θξηηήξην απνθάζεσο έρνπκε: n x i i 1 4 n 7 4 8 9 5 11 3 7 1 6 1 6 Δπνκέλσο, αλ 15 z x 1.645 175/ 5 x z / n ζα απνξξίςνπκε ηελ κεδεληθή ππόζεζε H : μ = μ

επειδή z 6 5 1,5/ 1,11 1.645 Αποππίπηοςμε ηην μηδενική ςπόθεζη ζηο επίπεδο ζημανηικόηηηαρ α=.5 Άπα μ>5 x z / n Η δειγματική μέση τιμή είναι τέτοια ώστε εκφρασμένη σε τιμές της Ζ είναι μεγαλύτερη από την κριτική τιμή 1.645 Συμπεραίνουμε ότι το δείγμα δεν στηρίζει την μηδενική υπόθεση στο α=.5 (επίπεδο σημαντικότητας) Ζπ=,11 Z=1.645

Αζθήζεηο επαλάιεςεο.1 Ένας φοιτητής διοίκησης επιχειρήσεων ισχυρίζεται ότι ο μέσος φοιτητής MBA είναι υποχρεωμένος να ετοιμάζει λιγότερες από 5 εργασίες την εβδομάδα. Για να ελέγξει τον ισχυρισμό αυτόν ένας καθηγητής στατιστικής επέλεξε ένα τυχαίο δείγμα 1 φοιτητών MBA και τους ρώτησε πόσες εργασίες πρέπει να ετοιμάζουν ανά εβδομάδα. Οι απαντήσεις δίνονται στον παρακάτω πίνακα: 7 4 8 9 5 11 3 7 4 Μπορεί ο καθηγητής να συμπεράνει με στάθμη σημαντικότητας 5% αν ο ισχυρισμός είναι αληθής, αν είναι γνωστό ότι ο αριθμός των εργασιών ανά εβδομάδα έχει κανονική κατανομή με τυπική απόκλιση σ=1,5; Z1 a Δίνεται: 1, 645 Πηγή: Καθηγητής Ι. Μητρόποσλος / email: mitro@teipat.gr /

Αζθήζεηο επαλάιεςεο.1 Υπνζέζεηο Μεδεληθή ππόζεζε:κ=5 Τπραίν δείγκα:n=1 Τυπική απόκλιση : ζ=1,5 α=.5 Η κεδεληθή θαη ε ελαιιαθηηθή ππόζεζε H : μ = 5 H 1 : μ < 5 Η κεδεληθή ππόζεζε ζα απνξξηθηεί εάλ z z1

x Γηα ην θξηηήξην απνθάζεσο έρνπκε: n x i i 1 4 n 7 4 8 9 5 11 3 7 1 6 1 6 Δπνκέλσο, αλ z x 1,5/ 5 1 1.645 x z / n ζα απνξξίςνπκε ηελ κεδεληθή ππόζεζε H : μ = μ

Όμωρ ηο Ζπ είναι μεγαλύηεπο από ηο Ζ1-α z 6 5 1,5/ 1,11 1.645 Άπα αποδεσόμαζηε ηην μηδενική ςπόθεζη ζηο επίπεδο ζημανηικόηηηαρ α=.5 Άπα μ=5 x z / n Η δειγματική μέση τιμή είναι τέτοια ώστε εκφρασμένη σε τιμές της Ζπ είναι μεγαλύτερη από την κριτική τιμή -1.645 Συμπεραίνουμε ότι το δείγμα στηρίζει την μηδενική υπόθεση σε επίπεδο σημαντικότητας α=.5 Z1-α =-1.645 Ζπ=,11

Βηβιηνγξαθία: Εαραξνπνύινπ, Χ. (9) Σηαηηζηηθή Μέζνδνη - εθαξκνγέο (ηόκνο 1 θαη ) Κίνρνο Πέηξνο, Σηαηηζηηθή, Interbooks,1993. Τεξδάθεο Γεκήηξεο, Σηαηηζηηθή επηρεηξήζεωλ, Interbooks 1999 Τζάληαο, Ν., Χξ. Μωπζηάδεο Ν. Μπαγηάηεο θαη Θ. Χαηδεπαληειήο (1999) Αλάιπζε δεδνκέλωλ κε ηε βνήζεηα ζηαηηζηηθώλ παθέηωλ, Εήηε 1999 Gunter Bamberg, Franz Baur, Michael Krapp, Σηαηηζηηθή, Πξνπνκπόο 14. Levine Stephan, Krehbiel Berenson, Statistics for Managers, 3r edition, Prentice Hall. M.R. Spiegel: Πηζαλόηεηεο θαη Σηαηηζηηθή (Schaum s Outline Series), ειιεληθή κεηάθξαζε Αζήλα, ΔΣΠΗ 1977 Πεγέο: http://media.pearsoncmg.com/ph/esm/esm_levine_lsxl8e_17/cw/index.html http:prentice-hall/ Σεκείωκα Αλαθνξάο. Copyright: Τερλνινγηθό Ίδξπκα Ζπείξνπ. Γεξάζηκνο Μειεηίνπ. Σηαηηζηηθή θαη ινγηζκηθά ζηηο επηζηήκεο ηεο ζπκπεξηθνξάο http://eclass.teiep.gr/courses/logo1/ Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής / Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) Σεκείωκα Αδεηνδόηεζεο: Τν παξόλ πιηθό δηαηίζεηαη κε ηνπο όξνπο ηεο άδεηαο ρξήζεο Creative Commons Αλαθνξά Γεκηνπξγνύ-Με Δκπνξηθή Χξήζε-Όρη Παξάγωγα Έξγα 4. Γηεζλέο [1] ή κεηαγελέζηεξε. Δμαηξνύληαη ηα απηνηειή έξγα ηξίηωλ π.ρ. θωηνγξαθίεο, Γηαγξάκκαηα θ.ι.π., ηα νπνία εκπεξηέρνληαη ζε απηό θαη ηα νπνία αλαθέξνληαη καδί κε ηνπο όξνπο ρξήζεο ηνπο ζην «Σεκείωκα Χξήζεο Έξγωλ Τξίηωλ». Ο δηθαηνύρνο κπνξεί λα παξέρεη ζηνλ αδεηνδόρν μερωξηζηή άδεηα λα ρξεζηκνπνηεί ην έξγν γηα εκπνξηθή ρξήζε, εθόζνλ απηό ηνπ δεηεζεί. http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4./deed.el 83