Κεντρικό Οριακό Θεϊρθμα Central Limit Theorem

Κεντρικό Οριακό Θεϊρθμα Central Limit Theorem Αν από ζναν πλθκυςμό που ακολουκεί οποιαδιποτε κατανομι με μζςθ τιμι μ και διαςπορά ς, επιλζξουμε όλα τα δυνατά τυχαία δείγματα μεγζκουσ n και υπολογίςουμε τουσ μζςουσ τουσ, τότε για μεγάλα Ν (θεωρητικά n ), θ κατανομι αυτϊν των δειγματικϊν μζςων είναι κατά προςζγγιςθ κανονικι κατανομι με μζςθ τιμι επίςθσ μ και διαςπορά σ Όζο πιο μεγάλο είναι ηο μέγεθος Ν ηων δειγμάηων, ηόζο καλύηερη (ακριβέζηερη) είναι η προζέγγιζη ηης καηανομής ηων δειγμαηικών μέζων από ηην κανονική καηανομή Ν

Δειγματολθπτικζσ κατανομζσ Καηαλνκέο πνπ ρξεζηκνπνηνύληαη γηα ηνλ έιεγρν ππνζέζεσλ ζηα δείγκαηα Κανονικι κατανομι (z-κατανομι) t-κατανομι Χ κατανομι F-κατανομι Ζθτάμε να προςδιορίςουμε τισ παραμζτρουσ τθσ κατανομισ ενόσ πλθκυςμοφ (π.χ. μ και ς) από τισ αντίςτοιχεσ παραμζτρουσ δειγμάτων που παίρνουμε από τον πλθκυςμό (X και S)

Κανονικι κατανομι (Gauian ditribution) κ=κέζε ηηκή ζ=ηππηθή απόθιηζε y Ν(κ,ζ) x κ-ζ κ-ζ κ κ+ζ κ+ζ 68.7% 95.45%

Συποποιθμζνθ κανονικι κατανομι (Standardied Gauian ditribution) If XZ=(X-κ)/ζ ηόηε y Y e Ν(0,) z κ=0 ζ= z -ζ -ζ 0 ζ ζ 68.7% 95.45%

Σιμι του z με ζνα δεκαδικό ψθφίο z Standardied Gauian ditribution: table Δεφτερο δεκαδικό ψθφίο του z Ποια είναι θ πικανότθτα το z να πάρει τιμζσ από 0 μζχρι z a : 0<p<z a z 0 3.. 9 Πικανότθτα p(0<z<z) 0 0.0000 0.0040 0.0080 0.00 0.0359 0. 0.0398 0.0438 0.0478 0.057 0.0754 0. 0.0793 0.083 0.087 0.090 0.4 0.3 0.79 0.7 0.55 0.93 0.57 0.4 0.554 0.59 0.68 0.664 0.879 0.5 0.95 0.950 0.985 0.09 0.4 0.6 0.58 0.9 0.34 0.357 0.549...... 3.9 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5

Standardied Gauian ditribution Τπολογιςμόσ άλλων πικανοτιτων γνωρίηοντασ από τον πίνακα τθν πικανότθτα 0<p<z a P(-Za<z<0)=P(0<z<Za) P(z<-Za)=0.5- P(0<z<Za) -Za y 0 Za P(0<z<Za) από ηνλ πίλαθα P(z>Za)=0.5-P(0<z<Zaa) z P(z<Za)=0.5+P(0<z<Z) P(z>-Za)=0.5+P(0<z<Z)

Standardied Gauian ditribution Παράδειγμα: Μια παράμετροσ ακολουκεί τθν κανονικι κατανομι με μ=0 min και ς=.3 min. Ποια είναι θ πικανότθτα μια τιμι να βρίςκεται μεταξφ 8 και 3? P(8<x<3) =? x=8z = (8-0)/.3 = -0.87 x=3z = (3-0)/.3 =.3 P(8<x<3) = P(-0.87<z<.3) = P(-0.87<z<0) + P(0<z<.3) = P(0<z<0.87) +P(0<z<.3) = 0.308 + 0.403 = 0.7

Πίλαθαο z-θαηαλνκήο

t-κατανομι t X x όπνπ x Όηαλ ην δείγκα είλαη κηθξό Ν<30 ή όηαλ δελ γλσξίδνπκε ην ζ ηνπ πιεζπζκνύ 0 λ ΒΔ λ ΒΔ Σν t a (λ) δειώλεη ηελ θξίζηκε ηηκή δεμηά ηεο νπνίαο είλαη ην a.00% ηνπ εκβαδνύ θάησ από ηελ γξαθηθή παξάζηαζε t-θαηαλνκήθαλνληθή θαηαλνκή γηα >0 a/ a/ -ta ta

ΒΑΘΜΟΙ ΔΛΔΤΘΔΡΙΑ (freedom degree) Βαζκνί ειεπζεξίαο (λ): ν αξηζκόο ησλ αλεμάξηεησλ κεηξήζεσλ ηνπ δείγκαηνο (i.e. Μέγεζνο δείγκαηνο) κείνλ ηνλ αξηζκό k ησλ παξακέηξσλ ηνπ πιεζπζκνύ πνπ πξέπεη λα ππνινγηζηνύλ από ηηο κεηξήζεηο ηνπ δείγκαηνο (π.ρ. κέζε ηηκή, απόθιηζε) λ=-k

0.89...658...980.358.67 Ο πίνακασ παρζχει τισ κρίςιμεσ τιμζσ ta τθσ t-κατανομισ για διάφορεσ τιμζσ ςτάκμθσ ςθμαντικότθτασ (a) ΒΕ a δίπλεσρος 0. 0.0 0.05 0.0 0.0 μονόπλεσρος 0. 0.05 0.05 0.0 0.005 3.078 6.34.706 3.8 63.657.886.90 4.303 6.965 9.95 3.638.353 3.8 4.54 5.84 4.533.3.776 3.747 4.604 5.476.05.57 3.365 4.03 6.440.943.447 3.43 3.707 7.45.895.365.998 3.499 8.397.860.306.896 3.355.....

X -κατανομι x ( ) λ ΒΔ λ ΒΔ Σν x a (λ) δειώλεη ηελ θξίζηκε ηηκή δεμηά ηεο νπνίαο είλαη ην a.00% ηνπ εκβαδνύ 0 (-a)x00% ax00% x a

Ο πίλαθαο παξέρεη ηηο θξίζηκεο ηηκέο ηεο X θαηαλνκήο γηα δηάθνξεο ηηκέο ζηάζκεο ζεκαληηθόηεηαο (a) ΒΕ a 0.995 0.0 0.05 0.0 0.005 0.706 3.84 6.635 7.879 0.00 4.605 5.99 9.0 0.597 3 0.07 6.5 7.85.345.838 4 0.07 7.779 9.488 3.77 4.860 5 0.4 9.36.070 5.086 6.750 6 0.676 0.645.59 6.8 8.548 7 0.989.07 4.067 8.475 0.78 8.344 3.36 5.507 0.090.955.....

ΕΛΕΓΧΟΙ ΤΠΟΘΕΕΩΝ (ΗΜΑΝΣΙΚΟΣΗΣΑ) ηαηηζηηθή δηαδηθαζία πνπ ρξεζηκνπνηεί ηα δεδνκέλα ηνπ δείγκαηνο γηα λα εθηηκήζεη ηελ αμηνπηζηία κηαο ππόζεζεο πνπ έγηλε γηα ηνλ πιεζπζκό H 0 : μθδενικι υπόκεςθ (null hypothei) (hypothei under examination) H : εναλλακτικι υπόκεςθ (alternative hypothei) (αντίκετο ενδεχόμενο τθσ Η 0 ) Ορίηονται πριν τον ζλεγχο ςτθ ςτάκμθ ςθμαντικότθτασ a που είναι θ μζγιςτθ πικανότθτα ςφάλματοσ τφπου Ι

φάλματα κατά τον ζλεγχο υποκζςεων θάικα ηύπνπ Ι: απνξξίπηνπκε ηελ Η 0 ελώ είλαη αιεζήο θάικα ηύπνπ ΙΙ: δερόκαζηε ηελ Η 0 ελώ είλαη ςεπδήο Πιθανόηηηα να έτοσμε ζθάλμα ηύποσ Ι= α Πηζαλόηεηα λα έρνπκε ζθάικα ηύπνπ ΙΙ=β Πραγματικι κατάςταςθ τθσ Η 0 Αληθήσ Η 0 Ψευδήσ Η 0 τατιςτικι απόφαςθ Απόρριψη Η 0 Αποδοχή Η 0 φάλμα τφπου Ι με πικανότθτα α ωςτι απόφαςθ με πικανότθτα -α ωςτι απόφαςθ με πικανότθτα -β φάλμα τφπου ΙΙ με πικανότθτα β Παξάδεηγκα: Όηαλ α=0.05 ή 5% θαη απνδερόκαζηε ηελ Η0 ηόηε είκαζηε 95% ζίγνπξνη όηη έρνπκε πάξεη ηε ζσζηή απόθαζε ή Η Η0 γίλεηαη απνδεθηή ζηε ζηάζκε ζεκαληηθόηεηαο α=0.05, κε πηζαλόηεηα λα έρνπκε θάλεη ιάζνο 5%

ΟΡΟΙ ΗΜΑΝΣΙΚΟΣΗΣΑ ηάζκε ζεκαληηθόηεηαο - Significance level (α): αλ ε Η 0 γίλεη απνδεθηή, ηόηε ε πηζαλόηεηα λα θάλνπκε ιάζνο είλαη α% (δειαδή εθθξάδεη ηελ πηζαλόηεηα κηα εθηηκώκελε παξάκεηξνο λα κελ αλήθεη ζην δηάζηεκα [- z α, z α ] ) Δπίπεδν ζεκαληηθόηεηαο - Confidence level (-α)% : αλ ε Η 0 γίλεη απνδεθηή ηόηε ε πηζαλόηεηα λα είλαη ζσζηή ε απόθαζε είλαη -a, (δειαδή εθθξάδεη ηελ πηζαλόηεηα ε εθηηκώκελε παξάκεηξνο λα αλήθεη ζην δηάζηεκα [-z α, z α ] ) Απνξξίπηνπκε ηελ Η0 -α α/ α/ -z κ z Confidence interval Απνξξίπηνπκε ηελ Η0 π.ρ. α=0.05 (-α)=0.95=95%

ΕΛΕΓΧΟΙ ΤΠΟΘΕΕΩΝ Γίπιεπξνο έιεγρνο (Two ided tet): όηαλ εμεηάδνπκε ηζόηεηα (αλ κηα παξάκεηξνο είλαη ίζε κε έλαλ αξηζκό) πεξηνρή απόξξηςεο θαη ζηα δύν άθξα ηεο θαηαλνκήο a/ -a a/

Μνλόπιεπξνο έιεγρνο (One ided tet): όηαλ εμεηάδνπκε αληζόηεηα (κηα παξάκεηξνο είλαη κεγαιύηεξε ή κηθξόηεξε από έλαλ αξηζκό) a -a πεξηνρή απόξξηςεο ζηε κηα άθξε ηεο θαηαλνκήο a -a

Βιματα επεξεργαςίασ ςτουσ ελζγχουσ υποκζςεων Τπολογιςμόσ τθσ παραμζτρου που κα ελεγχκεί ςτο δείγμα Ορίηονται θ μθδενικι και θ εναλλακτικι υπόκεςθ Ορίηεται θ ςτάκμθ ςθμαντικότθτασ α Ορίηεται το είδοσ του ελζγχου (μονόπλευροσ ι δίπλευροσ) Ορίηεται θ δειγματολθπτικι κατανομι που κα χρθςιμοποιθκεί Ορίηονται οι βακμοί ελευκερίασ (αν απαιτείται) Τπολογίηονται οι κρίςιμεσ τιμζσ από πίνακεσ Τπολογίηονται οι ηϊνεσ αποδοχισ/απόρριψθσ τθσ Η0 Εξάγεται το τελικό ςυμπζραςμα

ΕΛΕΓΧΟΙ ΤΠΟΘΕΕΩΝ t-tet (: ι z-tet): εξετάηουν τθ ςθμαντικότθτα τθσ μζςθσ τιμισ χ tet: εξετάηουν τθ ςθμαντικότθτα τθσ διαςποράσ

ΔΛΔΓΥΟΙ ΓΙΑ ΣΗ ΜΔΗ ΣΙΜΗ ΔΝΌ ΓΔΙΓΜΑΣΟ H 0 : x (κέζε ηηκή δείγκαηνο κε κέγεζνο )=κ (κέζε ηηκή ηνπ πιεζπζκνύ) H : xκ t X Απόξξηςε ηεο H 0 x where x Απόξξηςε ηεο H 0 Γίπιεπξνο έιεγρνο t a (-) από ηνλ πίλαθα ηεο t- θαηαλνκήο γηα δηπιό έιεγρν Αλ -t a (-)<t< t a (- ) H 0 γίλεηαη απνδεθηή -ta Απνδνρή ηεο H 0 ta αιιηώο H 0 απνξξίπηεηαη

Παξάδεηγκα: Η κέζε ηηκή ζεξκνθξαζίαο ην Μάτν ζε έλα ζηαζκό είλαη ẋ=3. C θαη ε ηππηθή απόθιηζε S=.87 γηα =4 κεηξήζεηο. Να ειεγρζεί αλ ε κέζε ηηκή δηαθέξεη ζηαηηζηηθά από ηε κέζε ηηκή ηεο ζεξκνθξαζίαο ηεο πεξηνρήο ηνλ ίδην κήλα κ= C Λύζε: 0. 586 Γίπιεπξνο έιεγρνο ζε x ζηάζκε ζεκαληηθόηεηαο Η 0 : ẋ=κ Η : ẋ κ α=0.05 x t-tet t. 89 x βε=ν-=4-=3 Απόξξηςε Η0 Κξίζηκε ηηκή ηνπ t από ηνλ πίλαθα γηα ta=.069 -ta ta δίπιεπξν έιεγρν θαη α=0.05 θαη 3 βε Δπεηδή -ta<t<ta ε H 0 γίλεηαη απνδεθηή Απνδνρή Η0 Απόξξηςε Η0

Πίλαθαο t-θαηαλνκήο

ΔΛΔΓΥΟ ΗΜΑΝΣΙΚΟΣΗΣΑ ΓΙΑ ΣΗ ΜΔΗ ΣΙΜΗ ΓΔΙΓΜΑΣΟ. H 0 : x>κ H : xκ Όπσο ζην δίπιεπξν έιεγρν Απόξξηςε ηεο H 0 -ta ta Απνδνρή ηεο H 0. H 0 : x<κ H : xκ Απνδνρή ηεο H 0 Απόξξηςε ηεο H 0 Μνλόπιεπξνο έιεγρνο t a (-) από ηνλ Πίλαθα γηα κνλόπιεπξν έιεγρν Αλ t> t a (-) H 0 απνδεθηή αιιηώο H 0 απνξξίπηεηαη Αλ t<- t a (-) H 0 απνδεθηή αιιηώο H 0 απνξξίπηεηαη

Παξάδεηγκα: Η κέζε ηηκή ειάρηζηεο ζεξκνθξαζίαο ηνλ Ιαλνπάξην ζε έλα ζηαζκό είλαη ẋ= -0.6 C θαη ε ηππηθή απόθιηζε S= 0.63 γηα = κεηξήζεηο. Να ειεγρζεί αλ ε κέζε ηηκή ηνπ δείγκαηνο είλαη ζηαηηζηηθά κηθξόηεξε ηεο ηηκήο 0 C Λύζε: x 0. 8 Η 0 : ẋ<0 x c Η : ẋ 0 t-tet t 3. 389 x Μνλόπιεπξνο έιεγρνο ζε ζηάζκε ζεκαληηθόηεηαο α=0.05 βε=ν-=-= Απνδνρή Η 0 Κξίζηκε ηηκή ηνπ t από ηνλ πίλαθα γηα t a = -.796 -ta κνλόπιεπξν έιεγρν θαη α=0.05 θαη βε Δπεηδή t < -t a ε H 0 γίλεηαη απνδεθηή Απόξξηςε Η 0

Πίλαθαο t-θαηαλνκήο

Αλ ην δείγκα πξνέξρεηαη από θαλνληθά θαηελεκεκέλν πιεζπζκό κε γλσζηό ζ Z-tet X Z x όπνπ ή αλ >30 x Οπσο ζην t-tet Αιιά γηα ζηαζεξό z a Πνπ εμαξηάηαη κόλν από ην a θαη όρη από ηνπο ΒΔ a=0.0 a=0.05.58.96 (δίπιεπξνο).33.64 (κνλόπιεπξνο) Γίπιεπξνο: If -Z a <Z< Z a H 0 απνδεθηή Μνλόπιεπξνο: z > z a or z < -z a απνδεθηή αλάινγα κε ηε θνξά ηεο αληζόηεηαο ζην Ho

Πώο πξνθύπηεη ε ηηκή.96 γηα δίπιεπξν έιεγρν θαη α=0.05? a/ a/ P(0 < z < z a ) = 0.5 - a/ = 0.5-0.05/ = 0.475 -Z a Z a Από ηνλ πίλαθα ηεο θαλνληθήο θαηαλνκήο γηα P=0.475, z a =.96 a Z a Πώο πξνθύπηεη ε ηηκή.64 γηα κνλόπιεπξν έιεγρν θαη α=0.05? P(0 < z < z a ) =0.5 a = 0.5-0.05 = 0.45 Από ηνλ πίλαθα ηεο θαλνληθήο θαηαλνκήο γηα P=0.45, z a.64

Πίλαθαο z-θαηαλνκήο.64.96

Παξάδεηγκα: Τπνηίζεηαη όηη έλα ζπγθεθξηκέλνο αζηέξαο έρεη ζήκα έληαζεο 0, όπσο ην αληηιακβάλεηαη έλα αζηεξνζθνπείν ζηε γε. Η έληαζε ηνπ ζήκαηνο αθνινπζεί θαλνληθή θαηαλνκή κε ηππηθή απόθιηζε ζ=4. Να ειεγρζεί αλ ην ζήκα πνπ έρεη κεηξεζεί 0 θνξέο αλεμάξηεηα, κε κέζε έληαζε, είλαη ην ίδην κε ην ζήκα ηνπ ζπγθεθξηκέλνπ αζηέξα. Λύζε: Γίπιεπξνο έιεγρνο ζε x 0.89 ζηάζκε ζεκαληηθόηεηαο Η 0 : ẋ=κ Η : ẋ κ α=0.05 z-tet x z. 79 x Κξίζηκε ηηκή ηνπ z γηα δίπιεπξν έιεγρν θαη α=0.05 Z a =.96 Απόξξηςε Η 0 Δπεηδή -.96<z<.96 ε H 0 γίλεηαη απνδεθηή -za za Απνδνρή Η 0 Απόξξηςε Η 0

ΔΛΔΓΥΟ ΗΜΑΝΣΙΚΟΣΗΣΑ ΣΗ ΓΙΑΚΤΜΑΝΗ ΓΔΙΓΜΑΣΟ H 0 : =ζ H : ζ Γίπιεπξνο έιεγρνο x (-a/)(-) θαη x (a/)(-) από ηνλ πίλαθα κε - ΒΔ x ( ) Αλ x (-a/)(-)< X < x (a/)(-)> H 0 απνδεθηή Acceptance of H 0 αιιηώο H 0 απνξξίπηεηαη X (-a/) X a/

Παξάδεηγκα: ε έλα δείγκα ε ηηκή ηεο δηαθύκαλζεο είλαη =8.4. Να ειεγρζεί αλ ε δηαθύκαλζε απηή είλαη ζηαηηζηηθά ζεκαληηθή ίζε κε ηελ ηηκή δηαθύκαλζεο ηνπ πιεζπζκνύ ζ =4. Σν κέγεζνο ηνπ δείγκαηνο είλαη Ν=4. Γίπιεπξνο έιεγρνο ζε ζηάζκε ζεκαληηθόηεηαο Λύζε: α=0.05 θαη βε=ν-=4-=3 Η 0 : =ζ Η : ζ x -tet x ( ) Γύν θξίζηκεο ηηκέο ηνπ x γηα δίπιεπξν έιεγρν, βε=3 θαη α=0.05 47.38 x a/ = x 0.05= 38. Δπεηδή x >x a/ ε H 0 απνξξίπηεηαη Απόξξηςε Η 0 x -a/ x -a/ = x 0.975=.7 x a/ Απνδνρή Η 0 Απόξξηςε Η 0

Πίλαθαο x -θαηαλνκήο α

ΔΛΔΓΥΟ ΗΜΑΝΣΙΚΟΣΗΣΑ ΣΗ ΓΙΑΚΤΜΑΝΗ ΓΔΙΓΜΑΣΟ. H 0 : >ζ H : ζ Μνλόπιεπξνο x (-a)(-) από ηνλ πίλαθα κε - β.ε Αλ X >x (-a)(-)> H 0 είλαη απνδεθηή Acceptance of H 0 X (-a). H 0 : <ζ H : ζ x a(-) από ηνλ πίλαθα κε - β.ε Acceptance Αλ X <x a(-) H 0 είλαη απνδεθηή of H 0 X a

Παξάδεηγκα: Αλ ε δηαθύκαλζε ελόο δείγκαηνο κεγέζνπο είλαη =0.3969, λα ειεγρζεί αλ ε δηαθύκαλζε απηή είλαη κηθξόηεξε ηεο δηαθύκαλζεο ηνπ πιεζπζκνύ ζ =. Λύζε: Η 0 : <ζ Η : ζ ( ) x -tet x 4. 36 Κξίζηκε ηηκή ηνπ x γηα δίπιεπξν έιεγρν, βε= θαη α=0.05 x a = x 0.05= 9.7 Μνλόπιεπξνο έιεγρνο ζε ζηάζκε ζεκαληηθόηεηαο α=0.05 θαη βε=ν-=-= x a Απνδνρή Η 0 Απόξξηςε Η 0 Δπεηδή x <x a ε H 0 γίλεηαη απνδεθηή.

Πίλαθαο x -θαηαλνκήο α

ΔΛΔΓΥΟ ΗΜΑΝΣΙΚΟΣΗΣΑ ΣΩΝ ΓΙΑΦΟΡΩΝ ΣΩΝ ΓΙΑΚΤΜΑΝΔΩΝ ΓΤΟ ΑΝΔΞΑΡΣΗΣΩΝ ΓΔΙΓΜΑΣΩΝ t ample, d ample, H 0 : = H : F > F> Γίπιεπξνο έιεγρνο Τπνινγίδεηαη ε θξίζηκε ηηκή F a ζηε ζηάζκε ζεκαληηθόηεηαο α γηα ΒΔ - (αξηζκεηήο) θαη - (παξνλνκαζηήο) από ηνλ πίλαθα ηεο F θαηαλνκήο Αλ F <F a=0.05 H 0 απνδεθηή. Γηαθνξεηηθά απνξξίπηεηαη. Ιζρύνπλ θαη ηα παξαθάησ: Αλ F 0.05 <F <F 0.0 H 0 πηζαλόλ λα ηζρύεη Αλ F >F 0.0 Η 0 απνξξίπηεηαη

F-κατανομι ΒΔ αξηζκεηή= ΒΔ=... a() 0.0 0.05 0.0 0.0. a() 0.05 0.05 0.0 0.005 6 648 4050 600. 8.5 38.5 98.5 99 3 0. 7.4 34. 55.6. 4 7.7.. 3.3 5 6.6 0 6.3.8. 6 5.99 8.8 3.7 8.6..... ΒΔ παξαλνκαζηή

Παξάδεηγκα: Από δύν πιεζπζκνύο κηαο κεηαβιεηήο, θαλνληθά θαηαλεκεκέλνπο, έρεη ιεθζεί έλα δείγκα από ην θαζέλα. Αλ ηα δείγκαηα είλαη αλεμάξηεηα θαη έρνπλ δηαθπκάλζεηο =.79 θαη (Ν =) θαη =.48 (Ν =8) λα ειεγρζεί αλ νη δηαθπκάλζεηο είλαη ζηαηηζηηθά ίζεο. Αλ λαη, λα ππνινγηζηεί ε δηαθύκαλζε ησλ πιεζπζκώλ ζ από ηνπο νπνίνπο πξνέξρνληαη. Γίπιεπξνο έιεγρνο ζε Λύζε: Η 0 : = Η : ζηάζκε ζεκαληηθόηεηαο F-tet Δπεηδή > α=0.05 F.09 βε (αξηζκεηή)=ν -=-=0 βε (παξαλνκαζηή)=8-=7 Τπνινγίδεηαη ε θξίζηκε ηηκή ηνπ Fa γηα δίπιεπξν έιεγρν θαη α=0.05 F a = F 0.05= 4.76 Δπεηδή F<F 0.05 ε H 0 γίλεηαη απνδεθηή. ( ) ( ) S ().79 (8 ).48.66 8

δίπλεσρος έλεγτος Πίλαθαο F-θαηαλνκήο βε αριθμηηή βε παρανομαζηή

ΔΛΔΓΥΟ ΗΜΑΝΣΙΚΟΣΗΣΑ ΣΩΝ ΓΙΑΚΤΜΑΝΔΩΝ ΓΤΟ ΑΝΔΞΑΡΣΗΣΩΝ ΓΔΙΓΜΑΣΩΝ H 0 : > H : F > F> Μνλόπιεπξνο έιεγρνο γηα α=0.05 F 0.05 βε= -(αξηζκεηήο) Αλ F >F 0.05 Η 0 γίλεηαη απνδεθηή βε= - (παξνλνκαζηήο) από ηνλ πίλαθα ηεο F θαηαλνκήο

Παξάδεηγκα: Γύν δείγκαηα είλαη αλεμάξηεηα θαη πξνέξρνληαη από θαλνληθά θαηαλεκεκέλνπο πιεζπζκνύο κε κέγεζνο Ν =5 Ν =3. Δρνπλ ηππηθέο απνθιίζεηο =5.3 θαη =7.94. Να ειεγρζεί αλ ε ηππηθή απόθιηζε ηνπ ελόο δείγκαηνο είλαη ζηαηηζηηθά κεγαιύηεξε από απηή ηνπ δεύηεξνπ δείγκαηνο. Λύζε: F-tet F Η 0 : > Η :.36 Κξίζηκε ηηκή ηνπ Fa γηα κνλόπιεπξν έιεγρν θαη α=0.05 Δπεηδή > F a = F 0.05=.94 Δπεηδή F>F 0.05 ε H 0 γίλεηαη απνδεθηή. Μνλόπιεπξνο έιεγρνο ζε ζηάζκε ζεκαληηθόηεηαο α=0.05 βε (αξηζκεηή)=ν -=3-=30 βε (παξαλνκαζηή)=ν -=5-=4

ΕΛΕΓΧΟ ΣΩΝ ΜΕΩΝ ΣΙΜΩΝ ΔΤΟ ΑΝΕΞΑΡΣΗΣΩΝ ΔΕΙΓΜΑΣΩΝ t ample x,, d ample x,, H 0 : x =x H : x x. Οηαλ νη δηαθπκάλζεηο είλαη ζηαηηζηηθά ίζεο ηόηε: t ( x ). ( ). x ( ) -t a t a t a (Ν+Ν-) από ηνλ Πίλαθα γηα δίπιεπξν έιεγρν - t a <t< t a Acceptance of H 0

Παξάδεηγκα: Γηα δύν αλεμάξηεηα δείγκαηα ηζρύεη: ẋ =4.07, =343.099 θαη Ν =30 θαη ẋ = 76.6, =5458.46, Ν =0. α ειεγρζεί αλ νη κέζεο ηηκέο ηεο εμεηαδόκελεο κεηαβιεηήο δηαθέξνπλ ζηαηηζηηθά ζεκαληηθά κεηαμύ ηνπο. Λύζε: Έιεγρνο δηαθπκάλζεσλ F-tet Η 0 : = Η : Δπεηδή < F.737 Κξίζηκε ηηκή ηνπ Fa γηα δίπιεπξν έιεγρν θαη α=0.05 Δπεηδή F<F 0.05 ε H 0 γίλεηαη απνδεθηή. Οη δηαθπκάλζεηο είλαη ίζεο. Γίπιεπξνο έιεγρνο ζε ζηάζκε ζεκαληηθόηεηαο α=0.05 βε (αξηζκεηή)=ν -=0-=9 βε (παξαλνκαζηή)=ν -=30-=9 F a = F 0.05=.3

Έιεγρνο κέζσλ ηηκώλ t-tet Η 0 : ẋ = ẋ Η : ẋ ẋ Γίπιεπξνο έιεγρνο ζε ζηάζκε ζεκαληηθόηεηαο α=0.05 t ( ) x x ( ) S ( βε=ν +Ν -=30+0-=48 ).88 Δπεηδή -ta<t<ta ε H 0 γίλεηαη απνδεθηή. πλεπώο ηα δείγκαηα έρνπλ ζηαηηζηηθά ίζεο ηηκέο, άξα πξνέξρνληαη από πιεζπζκνύο κε ίζεο κέζεο ηηκέο Κξίζηκε ηηκή ηνπ t από ηνλ πίλαθα γηα δίπιεπξν έιεγρν θαη α=0.05 θαη 48 βε ta=.0 Σα δείγκαηα κπνξνύλ λα ελσζνύλ ζε έλα δείγκα ηνπ νπνίνπ ε κέζε ηηκή είλαη: x x x 55.8

ΕΛΕΓΧΟ ΣΩΝ ΜΕΩΝ ΣΙΜΩΝ ΔΤΟ ΑΝΕΞΑΡΣΗΣΩΝ ΔΕΙΓΜΑΣΩΝ H 0 : x =x H : x x. Οηαλ νη δηαθπκάλζεηο δελ είλαη ζηαηηζηηθά ίζεο ηόηε: t* x x * όπνπ * Οη ηηκέο ησλ t (Ν-) θαη t (-) ππνινγίδνληαη από ηνλ Πίλαθα γηα δίπιεπξν έιεγρν -t* a t* a - t* a <t*< t* a Acceptance of H 0 ta * t t

Παξάδεηγκα: Γηα δύν αλεμάξηεηα δείγκαηα ηζρύεη: ẋ =7., =0 θαη Ν =7 θαη ẋ = 98., =660. θαη Ν =3. α ειεγρζεί αλ νη κέζεο ηηκέο ηεο εμεηαδόκελεο κεηαβιεηήο δηαθέξνπλ ζηαηηζηηθά ζεκαληηθά κεηαμύ ηνπο. Λύζε: Έιεγρνο δηαθπκάλζεσλ F-tet Η 0 : = Η : Δπεηδή < F 3.5 Γίπιεπξνο έιεγρνο ζε ζηάζκε ζεκαληηθόηεηαο α=0.05 βε (αξηζκεηή)=ν -=3-= βε (παξαλνκαζηή)=ν -=7-=6 Κξίζηκε ηηκή ηνπ Fa γηα δίπιεπξν έιεγρν F a = F 0.05=.4 θαη F a = F 0.0=.9 Δπεηδή F>F 0.05 θαη F>F 0.0 ε H 0 απνξξίπηεηαη. Οη δηαθπκάλζεηο είλαη άληζεο.

Έιεγρνο κέζσλ ηηκώλ t-tet Γίπιεπξνο έιεγρνο ζε ζηάζκε ζεκαληηθόηεηαο α=0.05 Η 0 : ẋ = ẋ Η : ẋ ẋ t* x x.76 ta * Δπεηδή t* a >t* ε H 0 απνξξίπηεηαη Σα δείγκαηα δελ έρνπλ ζηαηηζηηθά ίζεο ηηκέο Κξίζηκε ηηκή ηνπ t θαη t από ηνλ πίλαθα γηα δίπιεπξν έιεγρν θαη α=0.05 t Γηα βε=ν -=3-= t =.074 Γηα βε=ν -=7-=6 t =.056 t.07

ΔΛΔΓΥΟ ΣΩΝ ΓΙΑΦΟΡΩΝ ΣΩΝ ΜΔΩΝ ΣΙΜΩΝ ΓΤΟ ΜΗ ΑΝΔΞΑΡΣΗΣΩΝ ΓΔΙΓΜΑΣΩΝ t ample x,κ, Κ=,...Ν d ample x,κ, Κ=,...Ν d K =X,K -X,K H 0 : d=0 H : d 0 όπνπ d ( x k x k K K ) t d k d d -t a t a όπνπ - t Acceptance a <t< t a of H 0 t a (Ν-) από ηνλ Πίλαθα γηα δίπιεπξν έιεγρν d k ( d k d) ( )

Παξάδεηγκα: ε κηα νκάδα ππεξηαζηθώλ αηόκσλ Ν=5 ρνξεγείηαη θάπνην θάξκαθν. Μεηξήζεθε ε αξηεξηαθή ηνπο πίεζε πξηλ θαη κεηά ηε ρνξήγεζε ηνπ θαξκάθνπ. Να ειεγρζεί αλ νη κέζεο ηηκέο ησλ δύν δεηγκάησλ είλαη ζηαηηζηηθά ίζεο Πριν 7. 6.5 4.8 6 4.9 4. 4 5.3 5. 6. 3.8 4. Μετά 6.8 7. 7 9. 5. 4 3.6 4.4 5.7 4.9.6 8.8 4.7 3.8 5.6 Λύζε: Σα δείγκαηα δελ είλαη αλεμάξηεηα. Διεγρνο θαηά δεύγε. Μετά- Πριν (d k ) -0.3 0.6. 3. 0.3-0..6 0.4 0.4-0..6.7 0.9-0.3 3.6 H 0 : d=0 (κε ζηαηηζηηθά ζεκαληηθή δηαθνξά) H : d 0 (ζηαηηζηηθά ζεκαληηθή δηαθνξά)

d ( x k x k K K ) d k d t k ( d k d) ( ) d d 3.5 0.338 βε=ν-=5-=4 Κξίζηκε ηηκή ηνπ t από ηνλ πίλαθα γηα δίπιεπξν έιεγρν θαη α=0.05 θαη 4 βε ta=.45 Δπεηδή t > ta ε H 0 απνξξίπηεηαη Σα δείγκαηα δελ έρνπλ ζηαηηζηηθά ίζεο ηηκέο

Παξάδεηγκα: ηνλ επόκελν πίλαθα θαίλνληαη ηα βάξε 8 αλζξώπσλ πξηλ ζηακαηήζνπλ ην θάπληζκα θαη πέληε βδνκάδεο αθνύ ζηακάηεζαλ ην θάπληζκα. Να ειεγρζεί ζε α=0.05 αλ ην βάξνο ηνπ θαπληζηή πνπ ζηακαηά ην θάπληζκα απμάλεη. Πριν 74 88 75 58 65 64 60 66 Μετά 77 90 74 6 66 68 6 64 Λύζε: Σα δείγκαηα δελ είλαη αλεμάξηεηα. Διεγρνο θαηά δεύγε. Μετά- Πριν (d k ) 3-3 4 - H 0 : d>0 (απμάλεη ην βάξνο κεηά ην θόςηκν ηνπ θαπλίζκαηνο) H : d 0

d ( xk xk) dk.5 K K d t k ( d k d) ( ) d d.05.07 βε=ν-=8-=7 Κξίζηκε ηηκή ηνπ t από ηνλ πίλαθα γηα κνλόπιεπξν έιεγρν θαη α=0.05 θαη 7 βε ta=.895 Δπεηδή t > ta ε H 0 ηζρύεη Άξα ζηεξίδεηαη ζηαηηζηηθά ε άπνςε όηη ην βάξνο ηνπ θαπληζηή κεηά ην θόςηκν ηνπ ηζηγάξνπ απμάλεη