wwwaskisopolisgr 3ο Δπνληπηικό διγώνιζμ ζη Μθημηικά κηεύθσνζης ηης Γ Λσκείοσ 17-18 Θέμ A Α1 Έζησ κη ζπλερήο ζπλάξηεζε ζ έλ δηάζηεκ β λ πνδείμεηε όηη: t dt G β G Α Πόηε κη ζπλάξηεζε ιέγεηη 1-1; Α3 Πόηε κη ζπλάξηεζε είλη πξγσγίζηκε ζε έλ θιεηζηό δηάζηεκ,β Αλ G είλη κη πξάγνπζ ηεο ζην,β, κνλάδεο 7,β ηνπ πεδίνπ νξηζκνύ ηεο; ΑΝ ρξθηεξίζεηε ηηο πξνηάζεηο πνπ θνινπζνύλ, γξάθνληο ζην ηεηξάδηό ζο ηελ έλδεημε Σωζηό ή Λάθος δίπι ζην γξάκκ πνπ ληηζηνηρεί ζε θάζε πξόηζε h g θη ηζρύεη ) Αλ, g, h είλη ηξεηο ζπλξηήζεηο θη νξίδεηη ε h g ηόηε νξίδεηη θη ε h g h g β) Αλ είλη lim, ηόηε lim γ) Αλ ε ζπλάξηεζε είλη πξγσγίζηκε ζην θη δελ είλη ληηζηξέςηκε, ηόηε ππάξρεη θιεηζηό δηάζηεκ,β, ζην νπνίν ε ηθλνπνηεί ηηο πξνϋπνζέζεηο ηνπ ζεσξήκηνο Rolle δ) Αλ κη ζπλάξηεζε είλη θπξηή ζε έλ δηάζηεκ Δ, ηόηε ε εθπηνκέλε ηεο γξθηθήο πξάζηζεο ηεο ζε θάζε ζεκείν ηνπ Δ βξίζθεηη «πάλσ» πό ηε γξθηθή ηεο πξάζηζε ε) Γη θάζε ζπλάξηεζε, ζπλερή ζην,, ηζρύεη: λ d, ηόηε ζην, κνλάδεο 5 Θέμ Β Έζησ δύν θνξέο πξγσγίζηκε ζπλάξηεζε : Σην δηπιλό ζρήκ δίλεηη ε γξθηθή πξάζηζε ηεο πξγώγνπ ηεο ζην δηάζηεκ 1,5 Β1 ) Ν πξνζδηνξίζεηε η δηζηήκη ζη νπνί ε είλη γλεζίσο ύμνπζ, γλεζίσο θζίλνπζ θη λ βξείηε ηηο ζέζεηο ηνπηθώλ θξνηάησλ ηεο 1,5 ) ( ζην β) Ν πξνζδηνξίζεηε η δηζηήκη ζη νπνί ε είλη θπξηή, θνίιε θη ηηο ζέζεηο ησλ ζεκείσλ θκπήο ηεο 1,5 ) ( ζην Β Έζησ όηη ε, είλη πνιπώλπκν ηεηάξηνπ βζκνύ ) Ν βξείηε ηελ θη λ ζρεδηάζεηε ηελ ππόινηπε γξθηθή ηεο πξάζηζε κνλάδεο 5 β) Ν βξείηε ηελ, λ επηπιένλ γλσξίδεηε όηη 1 γ) Ν θάλεηε κη πξόρεηξε γξθηθή πξάζηζε ηεο Θέμ Γ Δίλεηη πξγσγίζηκε ζπλάξηεζε : κε ζπλερή πξώηε πξάγσγν, γη ηελ νπνί ηζρύεη όηη: e γη θάζε, 1 1 θη Γ1 Ν δείμεηε όηη e,
1 Γ Ν πνδείμεηε όηη d wwwaskisopolisgr d, 1 Γ3 Ν ππνινγίζεηε ην εκβδόλ ηνπ ρσξίνπ πνπ πεξηθιείεηη πό ηελ γξθηθή πξάζηζε ηεο, ηνπο άμνλεο, y y θη ηελ επζεί 1 κνλάδεο 5 1 1 Γ Ν πνδείμεηε όηη ε ληηζηξέθεηη θη ζηε ζπλέρεη λ ππνινγίζεηε ην Γ5 Ν πνδείμεηε όηη ε εμίζσζε 18 έρεη θξηβώο κί ξίδ d Γ6 Ν πνδείμεηε όηη ππάξρεη μ,1 ηέηνην, ώζηε ζπλ μ 1 μ εκ μ 1 μ 1 μ Θέμ Γ Δίλεηη ζπλάξηεζε :, δύν θνξέο πξγσγίζηκε γη ηελ νπνί ηζρύνπλ: Η είλη θπξηή ζην, 1 1 1 5h 1 h lim h h 1 Θεσξνύκε επίζεο ηε ζπλάξηεζε g, 1 1 Γ1 Ν κειεηήζεηε ηελ σο πξνο ηελ θπξηόηεη Γ Ν κειεηήζεηε ηελ g σο πξνο ηε κνλνηνλί Γ3 Αλ G ξρηθή ηεο g ζην 1, ηόηε: ) Ν ιύζεηε ηελ λίζσζε G8 6 G8 5 G 6 G 5 κνλάδεο 7 1 G G 1, 1 έρεη θξηβώο κη ξίδ ζην β) Ν δείμεηε όηη ε εμίζσζε 1, Σηέιηνο Μηρήινγινπ
Λύζεις wwwaskisopolisgr Θέμ Α Α1 Η ζπλάξηεζε F tdt είλη κη πξάγνπζ ηεο ζην πξάγνπζ ηεο ζην,β, ζ ππάξρεη c ηέηνην, ώζηε,β Επεηδή θη ε G είλη κη G F c (1) Από ηελ (1), γη, έρνπκε G F c tdt c c, νπόηε c G Επνκέλσο, G F G νπόηε, γη, έρνπκε β θη άξ t dt G β G G F G t dt G Α Μη ζπλάξηεζε :A ιέγεηη ζπλάξηεζε 1 1, όηλ γη νπνηδήπνηε 1, A ηζρύεη ε ζπλεπγσγή: λ 1, ηόηε 1 Α3 Η είλη πξγσγίζηκε ζε έλ θιεηζηό δηάζηεκ, ηνπ πεδίνπ νξηζκνύ ηεο, όηλ είλη πξγσγίζηκε ζην, θη επηπιένλ ηζρύεη lim θη lim Α ) Σ β) Σ γ) Σ δ) Λ ε) Λ Θέμ Β Β1 ) Ση δηζηήκη 1, θη 1, είλη θη επεηδή ε είλη ζπλερήο, είλη γλεζίσο θζίλνπζ ζε θζέλ -1 1 5 πό η δηζηήκη 1, θη 1, + + TM Ση δηζηήκη,1 θη,5 είλη θη επεηδή ε TE 1 TE 1 είλη ζπλερήο, είλη γλεζίσο ύμνπζ ζε θζέλ πό η δηζηήκη,1 θη,5 Η έρεη ηνπηθό ειάρηζην ζη, 1 θη ηνπηθό κέγηζην ζην 1 1 β) Ση δηζηήκη 1, θη 3,5 ε είλη γλεζίσο ύμνπζ, άξ ε είλη θπξηή ζε θζέλ πό η δηζηήκη πηά 1 Σην δηάζηεκ,3 ε είλη γλεζίσο θζίλνπζ, άξ ε είλη θνίιε ζην δηάζηεκ πηό Η έρεη ζεκεί θκπήο η 1 1, θη 3, 3 Β ) Αλ ε είλη πνιπώλπκν ηεηάξηνπ βζκνύ, ηόηε ε είλη ηξίηνπ βζκνύ 3 Έζησ, Από ην ζρήκ πξηεξνύκε όηη 1 (1),, 6 16 16 (3) 3 6 7 9 3 6 9 3 () θη Από ην ζύζηεκ ησλ (1), (), (3) πξνθύπηεη όηη 1, 5 θη -1 1/ 3 5 1 1 ΣΚ 3 ΣΚ 3 5, άξ 3
β) Επεηδή ε είλη πνιπώλπκν 3νπ βζκνύ, δελ έρεη ζύκπησηεο 3 lim lim θη lim lim 3 wwwaskisopolisgr 3 5 3 γ) 5 3 5 3 c, c 3 5 3 1 c 1 άξ 1, 3 59 1 1 19 3 7 iείλη 1,, 1, 3, θη 1 19 1 3 13 5 1 Σπγθεληξσηηθά νη κεηβνιέο ηεο ζην δηάζηεκ 1,5 θίλνληη ζηνλ πξθάησ πίλθ Επεηδή lim lim -1 1/ 1 3 5 1 1 + + 1 1 + ΤΜ ΣΚ ΣΚ ΤΕ πξάζηζε έρεη ηελ πξθάησ κνξθή ΤΕ θη ε σο πνιπσλπκηθή νπ βζκνύ δελ έρεη ζύκπησηεο, ε γξθηθή ηεο
Θέμ Γ Γ1 e e Επεηδή (1) γη θάζε, είλη 1 είλη e δηηεξεί ζηζεξό πξόζεκν Επεηδή e, Γ Είλη 1 e 1 Είλη 1 1 ηζόηεη, έρνπκε: wwwaskisopolisgr Επεηδή επηπιένλ ε είλη ζπλερήο, γη θάζε θη ε (1) γίλεηη: θη επεηδή ππάξρνπλ ηηκέο ηνπ γη ηηο νπνίεο δελ ηζρύεη ε 1 d 1 d 1 1 1 d d 1 1 1 1 d 1 () 1 Είλη 1 1 ηζρύεη ε ηζόηεη, έρνπκε: θη επεηδή ππάξρνπλ ηηκέο ηνπ γη ηηο νπνίεο δελ 1 d d d 1 d 1 1 1 1 1 1 1 d (3) 1 1 Από ηηο (), (3) πξνθύπηεη όηη d 1 1 d Γ3 Γη θάζε 1 1 1 Τν δεηνύκελν εκβδόλ είλη ην 1 1 1 1 1 1 1 E d d d 1 e d 1 e d Θέηνπκε u, ηόηε d du Γη είλη u θη γη 1 είλη u 1 Τόηε: 1 1 u 1 u 1 e 1 3 e E 1 e du 1 e 1 Γ Επεηδή ε είλη γλεζίσο ύμνπζ είλη 1-1 θη ληηζηξέθεηη 1 Θέηνπκε y y θη 1 y 1 1 y 1 Τόηε: είλη 11 1 1 1 1 y y d y dy Γη 1 e 1 d y ydy ye dy e Γ5 Είλη e είλη άξ ε είλη θπξηή ζην 1 είλη 11 y y θη γη Γη θάζε, θη γη θάζε θνίιε ζην, Η εθπηνκέλε ηεο C ζην έρεη εμίζσζε y y Επεηδή ε είλη θπξηή ζην, βξίζθεηη πάλσ πό θάζε εθπηνκέλε ηεο ζην δηάζηεκ πηό, εθηόο ηνπ ζεκείνπ επθήο, άξ Επεηδή lim είλη θη lim είλη Επεηδή ε είλη θνίιε ζην, βξίζθεηη θάησ πό θάζε εθπηνκέλε ηεο ζην δηάζηεκ πηό, εθηόο ηνπ ζεκείνπ επθήο, άξ Επεηδή lim είλη θη lim
Επεηδή ε είλη ζπλερήο θη γλεζίσο ύμνπζ ζην έρεη ζύλνιν ηηκώλ ην Επεηδή 18 ππάξρεη κνλδηθό 1 ηέηνην, ώζηε 1 18 Γ6 Θεσξνύκε ηε ζπλάξηεζε h εκ 1,,1 Η h είλη ζπλερήο ζην,1 σο πξάμεηο ζπλερώλ ζπλξηήζεσλ θη πξγσγίζηκε ζην h ζπλ 1 εκ 1 1 Είλη h εκ1, h1 εκ 1 1 1, δειδή h h1 κε ην ζεώξεκ Rolle, ππάξρεη μ,1 ηέηνην, ώζηε hμ ζπλμ 1 μ εκμ 1 μ 1 μ wwwaskisopolisgr ζπλ 1 εκ 1 1 εκ 1 εκ 1 1,1 κε, άξ ζύκθσλ Θέμ Γ Γ1 Επεηδή ε είλη θπξηή ζην,, ε είλη γλεζίσο ύμνπζ ζην δηάζηεκ πηό 1 5h 1 h 1 5h 1 1 h 1 lim lim h h h h 1 5h 1 1 h 1 lim (1) h h h u khuh 1 kh 1 k 1 u 1 1 u 1 Είλη lim lim lim k k 1, άξ ε (1) h h h u u u u u k 5 1 1 6 1 1 γίλεηη: 1 Γη θάζε 1 1,1 θη γη θάζε 1 1 1, 1 1 Γ Η g είλη πξγσγίζηκε ζην 1, κε g 1 Θεσξνύκε ηε ζπλάξηεζε h 1 1, 1 Η h είλη πξγσγίζηκε ζην 1, κε h 1 1 Γη θάζε 1 είλη h h1 1,, νπόηε h h1 άξ g γλεζίσο ύμνπζ ζην 1, 1, νπόηε ε g είλη Γ3 ) Θεσξνύκε ηε ζπλάξηεζε t G 1 G, 1 Η t είλη πξγσγίζηκε ζην 1, κε t G 1 G g 1 g Είλη 1 θη g γλεζίσο ύμνπζ ζην 1,, άξ t t1 1, Επεηδή γη θάζε είλη 8 6 1 θη 5 1, είλη G 8 6 G 8 5 G 6 G 5 t t 8 5 t 5 1 8 5 5 8 g 1 g g 1 g 3 - + + + + + + + + + + Γηλόκελν + +
wwwaskisopolisgr,, ος ηρόπος Θεσξνύκε ηε ζπλάξηεζε t G8 6 G8 5, Είλη t 16 g8 6 16 g8 5 16 g8 6 g8 5 Επεηδή 8 6 8 5 1θη g γλεζίσο ύμνπζ ζην 1,, είλη g8 6 g8 5 Γη θάζε είλη t t, 1 θη γη θάζε είλη t t, Γη θάζε είλη G8 6 G8 5 G 6 G 5 t t Γη θάζε είλη G8 6 G8 5 G 6 G 5 t t Γ3 β) 1 ος ηρόπος Η εθπηνκέλε ηεο C G ζην είλη ε ε: y G G y g G Επεηδή ε G είλη θπξηή βξίζθεηη πάλσ πό θάζε εθπηνκέλε ηεο, άξ G g G 1 G G 1 G G 1 κε ην ίζνλ λ ηζρύεη κόλν γη 1 Άξ ε εμίζσζε ιεζεύεη κόλν γη ος ηρόπος 1 G G 1, 1 Έζησ Είλη 1 1 1 1 1 1 1g g g1 1 1 1 Γη θάζε g g 1, Γη θάζε g1 1 Γη θάζε 1 g g 1, Γη θάζε Άξ ε είλη ε κνλδηθή ξίδ ηεο εμίζσζεο 1