Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2017-2018 Ανάλυση ευαισθησίας Γκόγκος Χρήστος- Γεωργία Φουτσιτζή ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 1/12/2016 1
Παράδειγμα TOYCO Η επιχείρηση TOYCO χρησιμοποιεί τρεις διαδικασίες για τη συναρμολόγηση τριών τύπων παιχνιδιών (τρένα, φορτηγά και αυτοκίνητα). Οι καθημερινοί χρόνοι που διατίθενται για τις τρεις διαδικασίες είναι 430, 460 και 420 λεπτά αντίστοιχα, ενώ τα έσοδα ανά μονάδα παιχνιδιού είναι 3, 2 και 5 ευρώ αντίστοιχα. Για κάθε τρένο οι χρόνοι συναρμολόγησης ανά διαδικασία είναι 1, 3 και 1 λεπτά αντίστοιχα. Για κάθε φορτηγό οι χρόνοι συναρμολόγησης ανά διαδικασία είναι 2, 0 και 4 λεπτά αντίστοιχα. Τέλος για κάθε αυτοκίνητο οι χρόνοι συναρμολόγησης ανά διαδικασία είναι 1, 2 και 0 λεπτά αντίστοιχα. Ζητείται ο καθορισμός των αριθμών από τρένα, φορτηγά και αυτοκίνητα που θα πρέπει να παραχθούν έτσι ώστε να μεγιστοποιηθούν τα έσοδα της επιχείρησης x1, x2, x3 είναι οι αριθμοί από τρένα, φορτηγά και αυτοκίνητα αντίστοιχα 2
Αρχικό ταμπλό τελικό ταμπλό Cj 3 2 5 0 0 0 Cj Basis x1 x2 x3 s1 s2 s3 RHS 0 s1 1 2 1 1 0 0 430 0 s2 3 0 2 0 1 0 460 0 s3 1 4 0 0 0 1 420 Wj 0 0 0 0 0 0 0 Cj-Wj 3 2 5 0 0 0 Cj 3 2 5 0 0 0 Cj Basis x1 x2 x3 s1 s2 s3 RHS 2 x2-1/4 1 0 1/2-1/4 0 100 5 x3 3/2 0 1 0 1/2 0 230 0 s3 2 0 0-2 1 1 20 Wj 7 2 5 1 2 0 1350 Cj-Wj -4 0 0-1 -2 0 Βέλτιστη λύση: 0 τρένα, 100 φορτηγά, 230 αυτοκίνητα και 1350 συνολικά έσοδα 3
Συντελεστές μετατροπής Οι συντελεστές των στηλών του πίνακα simplex που αντιστοιχούν στις μη βασικές μεταβλητές ονομάζονται συντελεστές μετατροπής και αντιστοιχούν στις ποσότητες από τις βασικές μεταβλητές που πρέπει να αναλωθούν για να αυξηθεί η τιμή της συγκεκριμένης μη βασικής μεταβλητής κατά μια μονάδα BV = {s1,x3,s3} NBV = {x1,x2,s2} Cj 3 2 5 0 0 0 Cj Basis x1 x2 x3 s1 s2 s3 RHS 0 s1-1/2 2 0 1-1/2 0 200 5 x3 3/2 0 1 0 1/2 0 230 0 s3 1 4 0 0 0 1 420 Wj 15/2 0 5 0 5/2 0 1150 Cj-Wj -9/2 2 0 0-5/2 0 Για να αυξηθεί η τιμή της μη βασικής μεταβλητής x2 κατά 1 μονάδα, θα πρέπει να μειωθούν κατά 2 και 4 μονάδες οι βασικές μεταβλητές s1 και s3 αντίστοιχα 4
Συντελεστές μετατροπής στο αρχικό ταμπλό BV = {s1,s2,s3} NBV = {x1,x2,x3} Cj 3 2 5 0 0 0 Cj Basis x1 x2 x3 s1 s2 s3 RHS 0 s1 1 2 1 1 0 0 430 0 s2 3 0 2 0 1 0 460 0 s3 1 4 0 0 0 1 420 Wj 0 0 0 0 0 0 0 Cj-Wj 3 2 5 0 0 0 Οι πληροφορίες αυτές δίνονται και από την εκφώνηση του προβλήματος Για να αυξηθεί η τιμή της μη βασικής μεταβλητής x1 κατά 1 μονάδα θα πρέπει να μειωθούν κατά 1,3 και 1 μονάδες οι βασικές μεταβλητές s1, s2 και s3 αντίστοιχα Για να αυξηθεί η τιμή της μη βασικής μεταβλητής x2 κατά 1 μονάδα θα πρέπει να μειωθεί κατά 2 μονάδες η βασική μεταβλητή s1 και κατά 4 μονάδες η βασική μεταβλητή s3 Για να αυξηθεί η τιμή της μη βασικής μεταβλητής x3 κατά 1 μονάδα θα πρέπει να μειωθεί κατά 1 μονάδα η βασική μεταβλητή s1 και κατά 2 μονάδες η βασική μεταβλητή s2 5
Συντελεστές μετατροπής στο τελικό ταμπλό BV = {x2,x3,s3} NBV = {x1,s1,s2} Cj 3 2 5 0 0 0 Cj Basis x1 x2 x3 s1 s2 s3 RHS 2 x2-1/4 1 0 1/2-1/4 0 100 5 x3 3/2 0 1 0 1/2 0 230 0 s3 2 0 0-2 1 1 20 Wj 7 2 5 1 2 0 1350 Cj-Wj -4 0 0-1 -2 0 Για να αυξηθεί η τιμή της μη βασικής μεταβλητής x1 κατά 1 μονάδα θα πρέπει να αυξηθεί η βασική μεταβλητή x2 κατά 1/4, να μειωθεί η βασική μεταβλητή x3 κατά 3/2 και να μειωθεί η βασική μεταβλητή s3 κατά 2 Για να αυξηθεί η τιμή της μη βασικής μεταβλητής s1 κατά 1 μονάδα θα πρέπει να μειωθεί η βασική μεταβλητή x2 κατά 1/2 και να αυξηθεί η βασική μεταβλητή s3 κατά 2 Για να αυξηθεί η τιμή της μη βασικής μεταβλητής s2 κατά 1 μονάδα θα πρέπει να αυξηθεί η βασική μεταβλητή x2 κατά 1/4, να μειωθεί η βασική μεταβλητή x3 κατά 1/2 και να μειωθεί η βασική μεταβλητή s3 κατά 1 6
Οι σειρές Cj, Wj, Cj-Wj Η σειρά Cj περιέχει τους συντελεστές κέρδους της αντικειμενικής συνάρτησης Τα στοιχεία αυτής της σειράς μπορεί να ερμηνευθούν ως η μικτή αύξηση που προκύπτει στο συνολικό κέρδος αν η τιμή της κάθε μεταβλητής αυξηθεί κατά μία μονάδα. Έτσι, μία μονάδα της x1 αποφέρει στην επιχείρηση επιπλέον κέρδος 3 Τα στοιχεία της σειράς Wj δηλώνουν το κατά πόσο θα μειώνονταν το συνολικό κέρδος αν η τιμή της αντίστοιχης μεταβλητής αυξηθεί κατά μία μονάδα Η τελευταία σειρά του πίνακα, Cj-Wj είναι αυτή που δηλώνει την καθαρή επίπτωση στο συνολικό κέρδος (αύξηση κέρδους - μείωση κέρδους) στην περίπτωση που η αντίστοιχη μη βασική μεταβλητή του προβλήματος αυξηθεί κατά μία μονάδα 7
Σκιώδεις (shadow) τιμές Οι σκιώδεις τιμές εκφράζουν την οριακή αξία κάθε επιπλέον μονάδας στις ποσότητες των περιορισμών Αναπαριστούν την ποσότητα κατά την οποία θα μεταβληθεί η συνάρτηση κόστους αν το δεξί μέλος του περιορισμού μεταβληθεί κατά 1 μονάδα, δεδομένου ότι η βασική λύση δεν αλλάζει (δηλαδή οι μεταβλητές που συνιστούν τη βάση δεν αλλάζουν) Οι σκιώδεις τιμές των μη δεσμευτικών περιορισμών είναι μηδέν Οι σκιώδεις τιμές είναι γνωστές και ως δυϊκές τιμές (dual values) ή οριακές τιμές (marginal values) 8
Σκιώδης Τιμές Τελικό Ταμπλό Cj 3 2 5 0 0 0 Cj Basis x1 x2 x3 s1 s2 s3 RHS 2 x2-1/4 1 0 1/2-1/4 0 100 5 x3 3/2 0 1 0 1/2 0 230 0 s3 2 0 0-2 1 1 20 Wj 7 2 5 1 2 0 1350 Οι σκιώδεις τιμές των μη δεσμευτικών περιορισμών είναι μηδέν Cj-Wj -4 0 0-1 -2 0 Οι τιμές της γραμμής Wj που αντιστοιχούν σε χαλαρές μεταβλητές, είναι οι σκιώδης τιμές των περιορισμών ή δυϊκές τιμές Αν αυξηθεί η s2 κατά 1 μονάδα, το κέρδος θα μειωθεί κατά 2 ευρώ Αν προστεθεί 1 μονάδα στο δεξί μέλος του 2 ου περιορισμού, το κέρδος θα αυξηθεί κατά 2 9
Μειωμένο κόστος (reduced cost) Κάθε μεταβλητή έχει ένα σχετικό με αυτή μειωμένο κόστος. Αν η τιμή της μεταβλητής στη βέλτιστη λύση είναι μηδέν τότε το μειωμένο κόστος είναι μη μηδενικό Αν η τιμή μιας μεταβλητής στη βέλτιστη λύση είναι θετική (δηλαδή η μεταβλητή είναι βασική) τότε το μειωμένο κόστος της μεταβλητής είναι μηδέν Το μειωμένο κόστος μιας μεταβλητής υποδηλώνει το κατά πόσο θα πρέπει να βελτιωθεί ο συντελεστής της μεταβλητής στην αντικειμενική συνάρτηση έτσι ώστε η τιμή της μεταβλητής να γίνει θετική στη βέλτιστη λύση Το μειωμένο κόστος είναι γνωστό και ως υπολειμματικό κόστος ή κόστος ευκαιρίας (opportunity cost) Σε προβλήματα μεγιστοποίησης οι συντελεστές των μεταβλητών στην αντικειμενική συνάρτηση αναπαριστούν το κέρδος ανά μονάδα δραστηριότητας που υποδηλώνει η κάθε μεταβλητή. Οι τιμές μειωμένου κόστους αναπαριστούν το πoσό που θα πρέπει να αυξηθεί το κέρδος ανά μονάδα έτσι ώστε να εισέλθει η αντίστοιχη μεταβλητή στη βέλτιστη λύση Σε προβλήματα ελαχιστοποίησης οι συντελεστές των μεταβλητών στην αντικειμενική συνάρτηση αναπαριστούν το κόστος ανά μονάδα δραστηριότητας που υποδηλώνει η κάθε μεταβλητή. Οι τιμές μειωμένου κόστους αναπαριστούν το ποσό που θα πρέπει να μειωθεί το κόστος ανά μονάδα έτσι ώστε να εισέλθει η αντίστοιχη μεταβλητή στη βέλτιστη λύση μειωμένο κόστος = κόστος πόρων που αναλώνονται ανά μονάδα - έσοδα ανά μονάδα 10
Μειωμένο Κόστος Τελικό Ταμπλό Cj 3 2 5 0 0 0 Cj Basis x1 x2 x3 s1 s2 s3 RHS 2 x2-1/4 1 0 1/2-1/4 0 100 5 x3 3/2 0 1 0 1/2 0 230 0 s3 2 0 0-2 1 1 20 Wj 7 2 5 1 2 0 1350 Cj-Wj -4 0 0-1 -2 0 Οι τιμές της γραμμής Cj-Wj που αντιστοιχούν σε αρχικές μεταβλητές απόφασης, είναι οι τιμές μειωμένου κόστους. Αν η μη βασική μεταβλητή x1 λάβει υποχρεωτικά την τιμή 1 τότε το κέρδος της λύσης θα μειωθεί κατά 4 11
Ανάλυση Ευαισθησίας 12
Στα πραγματικά προβλήματα οι τιμές των παραμέτρων είναι εκτιμήσεις με περιθώριο λάθους. Για το λόγο αυτό είναι πολύ σημαντικό η επίλυση ενός προβλήματος και ο εντοπισμός της βέλτιστης λύσης του να ακολουθείται από την ανάλυση ευαισθησίας της λύσης (sensitivity analysis). Η ανάλυση αυτή διερευνά τις μεταβολές που συμβαίνουν στη βέλτιστη λύση ενός προβλήματος όταν υπάρχουν μικρές ή μεγαλύτερες μεταβολές στις τιμές των παραμέτρων του. Μικρότερη ευαισθησία σημαίνει και μεγαλύτερη σιγουριά για την βέλτιστη λύση. Το αντίθετο σημαίνει ότι για μικρές μεταβολές στις παραμέτρους μεταβάλλεται και η βέλτιστη λύση.
Ερωτήματα Με ποιο τρόπο θα μεταβληθεί η βέλτιστη λύση εάν η επιχείρηση αποφασίσει : να μεταβάλει τους πόρους που χρησιμοποιούνται στη διαδικασία παραγωγής και κατά συνέπεια τους διαθέσιμους χρόνους παραγωγής; να μεταβάλει την τιμολογιακή της πολιτική και κατά συνέπεια τη συνεισφορά στο κέρδος; Πότε απαιτείται η τροποποίηση του μοντέλου και η εκ νέου επίλυση του και πότε η βέλτιστη λύση παραμένει ανεπηρέαστη; Απαντήσεις στα ανωτέρω ερωτήματα δίνονται μέσω της ανάλυσης ευαισθησίας. 14
Ανάλυση ευαισθησίας (sensitivity analysis) Η ανάλυση ευαισθησίας αφορά τη μελέτη της μεταβολής, εντός ορισμένων ορίων, των παραμέτρων του προβλήματος οι οποίες «δεν επιφέρουν αλλαγές» στη βέλτιστη λύση Η ανάλυση ευαισθησίας στα προβλήματα Γραμμικού Προγραμματισμού αφορά τις εξής ομάδες παραμέτρων του προβλήματος: Διαθέσιμες ποσότητες των περιορισμών (δεξιά μέλη των περιορισμών) Συντελεστές κέρδους της αντικειμενικής συνάρτησης 15
Μεταβολές στα δεξιά μέλη των περιορισμών Ανάλυση ευαισθησίας 16
Απαντά σε ερωτήματα του τύπου: Πώς θα επηρεαστεί η βέλτιστη λύση, αν η διαθέσιμη ποσότητα σε κάποιο περιορισμό αυξηθεί κάποια ποσότητα θ; Σε ποιο βαθμό επηρεάζει τη βέλτιστη λύση και τη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης z μια μεταβολή σε κάποια δεξιά μέλη των περιορισμών;
Εύρος ευαισθησίας του δεξιού μέλους του περιορισμού Το ζητούμενο στην περίπτωση αυτή είναι να προσδιορίσουμε το διάστημα μέσα στο οποίο μπορεί να μεταβάλλεται η τιμή του δεξιού μέλους του περιορισμού, όταν οι τιμές όλων των άλλων παραμέτρων παραμένουν σταθερές, ώστε να μη μεταβληθεί η βέλτιστη λύση. Το διάστημα αυτό ονομάζεται εύρος ευαισθησίας του δεξιού μέλους του περιορισμού (right hand side sensitivity range) ή εύρος εφικτότητας. Προφανώς, όσο μικρότερο είναι το εύρος αυτό τόσο πιο ευαίσθητη θεωρείται η λύση σε αλλαγές του συγκεκριμένου συντελεστή.
Μεταβολές στα δεξιά μέλη των περιορισμών - Μεθοδολογία Θεωρούμε μια μεταβολή θ στο δεξί μέρος του περιορισμού Στον τελικό πίνακα της Simplex αλλάζει η στήλη RHS των βασικών μεταβλητών Για να μη μεταβληθεί η βέλτιστη βάση (να παραμείνουν οι ίδιες βασικές μεταβλητές) πρέπει να είναι RHSj 0, απ όπου προσδιορίζονται τα όρια μεταβολής του RHSj. Διευκρίνιση: Μέσα στα όρια μεταβολής του δεξιού μέλους του περιορισμού που προσδιορίζουμε δε μεταβάλλεται η βάση (δηλ. οι μεταβλητές που είναι βασικές). Μεταβάλλονται, όμως, οι τιμές των μεταβλητών αυτών. Επιπλέον, δεν μεταβάλλονται οι σκιώδης τιμές των περιορισμών
Μεταβολές στο δεξιό μέλος (για τον περιορισμό δραστηριότητας 1) Για τη μη βασική μεταβλητή s1 Η μεταβλητή s1 έχει δυϊκή τιμή 1 Αν το δεξί μέλος του περιορισμού 1 αυξηθεί κατά θ, τότε το x2 θα γίνει 100 + θ, το x3 θα μείνει 230 και το s3 θα γίνει 20 2θ 2 Όμως οι τιμές των μεταβλητών x2, x3 και s3 πρέπει να είναι 0: Cj 3 2 5 0 0 0 Cj Basis x1 x2 x3 s1 s2 s3 RHS 2 x2-1/4 1 0 1/2-1/4 0 100 5 x3 3/2 0 1 0 1/2 0 230 0 s3 2 0 0-2 1 1 20 Wj 7 2 5 1 2 0 1350 Cj-Wj -4 0 0-1 -2 0 100 + θ 0 περιορισμός παραγωγής φορτηγών 2 20 2θ 0 περιορισμός αχρησιμοποίητων ωρών δραστηριότητας 3 Άρα: θ 200, θ 10 200 θ 10 Καθώς το δεξί μέλος του περιορισμού 1 είναι 430, το εύρος τιμών στο οποίο μπορεί να κινηθεί (και για κάθε μοναδιαία μεταβολή να αλλάζει το κέρδος σύμφωνα με τη δυϊκή τιμή της s1) είναι 430+θ δηλαδή [230,440] 20
Μεταβολές στο δεξιό μέλος (για τον περιορισμό δραστηριότητας 2) Για τη μη βασική μεταβλητή s2 Η μεταβλητή s2 έχει δυϊκή τιμή 2 Αν το δεξί μέλος του περιορισμού 2 αυξηθεί κατά θ τότε το x2 θα γίνει 100 θ, το x3 θα γίνει 230 + θ και το s3 θα γίνει 20 + θ 4 2 Όμως οι τιμές των μεταβλητών x2, x3 και s3 πρέπει να είναι 0: Cj 3 2 5 0 0 0 Cj Basis x1 x2 x3 s1 s2 s3 RHS 2 x2-1/4 1 0 1/2-1/4 0 100 5 x3 3/2 0 1 0 1/2 0 230 0 s3 2 0 0-2 1 1 20 Wj 7 2 5 1 2 0 1350 Cj-Wj -4 0 0-1 -2 0 100 θ 0 περιορισμός παραγωγής φορτηγών 4 230 + θ 0 περιορισμός παραγωγής αυτοκινήτων 2 20 + θ 0 περιορισμός αχρησιμοποίητων ωρών δραστηριότητας 3 Άρα: θ 400, θ 115, θ 20 20 θ 400 Καθώς το δεξί μέλος του περιορισμού 2 είναι 460 το εύρος τιμών στο οποίο το δεξί μέλος μπορεί να κινηθεί (και για κάθε μοναδιαία μεταβολή να αλλάζει το κέρδος σύμφωνα με τη δυϊκή τιμή της s2) είναι 460 + θ δηλαδή [440,860] 21
Μεταβολές στο δεξιό μέλος (για τον περιορισμό δραστηριότητας 3) Για τη βασική μεταβλητή s3 Η μεταβλητή s3 έχει δυϊκή τιμή 0 (όλες οι βασικές μεταβλητές έχουν δυϊκή τιμή 0) Αν το δεξί μέλος του περιορισμού 3 αυξηθεί κατά θ τότε το s3 θα γίνει 20 + θ Όμως οι τιμές των μεταβλητών x2, x3 και s3 πρέπει να είναι 0: Cj 3 2 5 0 0 0 Cj Basis x1 x2 x3 s1 s2 s3 RHS 2 x2-1/4 1 0 1/2-1/4 0 100 5 x3 3/2 0 1 0 1/2 0 230 0 s3 2 0 0-2 1 1 20 Wj 7 2 5 1 2 0 1350 Cj-Wj -4 0 0-1 -2 0 20 + θ 0 περιορισμός αχρησιμοποίητων ωρών δραστηριότητας 3 Άρα: θ 20 Καθώς το δεξί μέλος του περιορισμού 3 είναι 420, το εύρος τιμών στο οποίο μπορεί το δεξί μέλος να κινηθεί είναι 420 + θ, δηλαδή [400, + ]. Το δε κέρδος θα παραμένει σταθερό 22
Μεταβολές στους συντελεστές της αντικειμενικής συνάρτησης Ανάλυση ευαισθησίας 23
Απαντά σε ερωτήματα του τύπου: Μέσα σε ποια όρια μπορεί να μεταβάλλεται η τιμή πώλησης του κάθε προϊόντος χωρίς να είναι απαραίτητο να αλλάξουμε το βέλτιστο σχέδιο παραγωγής; Σε ποιο βαθμό επηρεάζει μια μεταβολή ενός αντικειμενικού συντελεστή τη βέλτιστη λύση και τη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης;
Εύρος ευαισθησίας του αντικειμενικού συντελεστή Το ζητούμενο είναι να προσδιορίσουμε το διάστημα μέσα στο οποίο μπορεί να μεταβάλλεται η τιμή ενός αντικειμενικού συντελεστή, όταν οι τιμές όλων των άλλων παραμέτρων παραμένουν σταθερές, ώστε να μη μεταβληθεί η βέλτιστη λύση του προβλήματος. Το διάστημα αυτό ονομάζεται εύρος ευαισθησίας του αντικειμενικού συντελεστή (objective function coefficient sensitivity range) ή εύρος βελτιστότητας. Προφανώς, όσο μικρότερο είναι το εύρος αυτό τόσο πιο ευαίσθητη θεωρείται η λύση σε αλλαγές του συγκεκριμένου συντελεστή.
Μεταβολές στους Αντικειμενικούς Συντελεστές - Μεθοδολογία Θεωρούμε μια μεταβολή Δ στον αντικειμενικό συντελεστή Cj Στον τελικό πίνακα της Simplex αλλάζει η γραμμή Wj και η γραμμή Cj-Wj Για να μη μεταβληθεί η βέλτιστη λύση θα πρέπει να είναι Cj-Wj <= 0, απ όπου προσδιορίζονται τα όρια μεταβολής του συντελεστή C j.
Μεταβολή στο συντελεστή κέρδους της x1 (μη βασική μεταβλητή) Έστω ότι ο συντελεστής κέρδους της μεταβλητής x1 αυξάνεται κατά Δ γίνεται δηλαδή 3+Δ Cj 3+Δ 2 5 0 0 0 Cj Basis x1 x2 x3 s1 s2 s3 RHS 2 x2-1/4 1 0 1/2-1/4 0 100 5 x3 3/2 0 1 0 1/2 0 230 0 s3 2 0 0-2 1 1 20 Wj 7 2 5 1 2 0 1350 Cj-Wj -4+Δ 0 0-1 -2 0 Για να εξακολουθεί να είναι το ταμπλό βέλτιστο θα πρέπει να ικανοποιείται το κριτήριο εύρεσης της βέλτιστης λύσης δηλαδή όλα τα στοιχεία της γραμμής Cj Wj να είναι μη θετικά 4 + Δ 0 Δ 4 Συνεπώς, ο συντελεστής κέρδους της μεταβλητής x2 που είναι 3 μπορεί να κυμαίνεται από - μέχρι και 3+4=7 χωρίς να αλλάζει η βέλτιστη λύση Αν η μη βασική μεταβλητή x1 λάβει υποχρεωτικά την τιμή 1 τότε το κέρδος της λύσης θα μειωθεί κατά 4 27
Μεταβολή στο συντελεστή κέρδους της x2 Έστω ότι ο συντελεστής κέρδους της μεταβλητής x2 αυξάνεται κατά Δ γίνεται δηλαδή 2+Δ Cj 3 2+Δ 5 0 0 0 Cj Basis x1 x2 x3 s1 s2 s3 RHS 2+Δ x2-1/4 1 0 1/2-1/4 0 100 5 x3 3/2 0 1 0 1/2 0 230 0 s3 2 0 0-2 1 1 20 Wj 7-Δ/4 2+Δ 5 1+Δ/2 2-Δ/4 0 1350+100Δ Cj-Wj -4+Δ/4 0 0-1-Δ/2-2+Δ/4 0 Για να εξακολουθεί να είναι το ταμπλό βέλτιστο θα πρέπει να ικανοποιείται το κριτήριο εύρεσης της βέλτιστης λύσης δηλαδή όλα τα στοιχεία της γραμμής Cj Wj να είναι μη θετικά 4 + Δ 4 0 Δ 16 1 Δ 2 0 Δ 2 2 + Δ 4 0 Δ 8 Άρα 2 Δ 8, συνεπώς ο συντελεστής κέρδους της μεταβλητής x2 που είναι 2 μπορεί να κυμαίνεται από 0 μέχρι και 10 χωρίς να αλλάζει η βέλτιστη λύση 28
Μεταβολή στο συντελεστή κέρδους της x3 Έστω ότι ο συντελεστής κέρδους της μεταβλητής x3 αυξάνεται κατά Δ γίνεται δηλαδή 5+Δ Cj 3 2 5+Δ 0 0 0 Cj Basis x1 x2 x3 s1 s2 s3 RHS 2 x2-1/4 1 0 1/2-1/4 0 100 5+Δ x3 3/2 0 1 0 1/2 0 230 0 s3 2 0 0-2 1 1 20 Wj 7+3/2Δ 2 5+Δ 1 2+Δ/2 0 1350+230Δ Cj-Wj -4-3/2Δ 0 0-1 -2-Δ/2 0 Για να εξακολουθεί να είναι το ταμπλό βέλτιστο θα πρέπει να ικανοποιείται το κριτήριο εύρεσης της βέλτιστης λύσης δηλαδή όλα τα στοιχεία της γραμμής Cj Wj να είναι μη θετικά 4 3 2 Δ 0 Δ 8 3 2 Δ 2 0 Δ 4 Άρα 8 Δ +, συνεπώς ο συντελεστής κέρδους 3 της μεταβλητής x3 που είναι 5 μπορεί να κυμαίνεται από 5 8 = 7 = 2.33 μέχρι και το άπειρο χωρίς να 3 3 αλλάζει η βέλτιστη λύση 29
Επίλυση με το LIPS τα μειωμένα κόστη είναι μηδενικά για τις βασικές μεταβλητές οι δυϊκές τιμές είναι μηδενικές για τους μη δεσμευτικούς περιορισμούς https://sourceforge.net/projects/lipside/ 30
Παράδειγμα ανάλυσης ευαισθησίας με τον Solver του Excel Μια επιχείρηση πρόκειται να εκμεταλλευτεί μια έκταση 50 στρεμμάτων προκειμένου να κατασκευάσει ένα πάρκο ψυχαγωγίας. Η έκταση θα πρέπει να χωριστεί σε 3 κατηγορίες: χώρος περιπάτου, εστιατόρια καφετέριες και εμπορικά. Κάθε στρέμμα όταν χρησιμοποιείται για περίπατο αποδίδει κέρδος 150 ανά ώρα, όταν χρησιμοποιείται από εστιατόρια-καφετέριες αποδίδει 200 ανά ώρα και όταν χρησιμοποιείται από εμπορικά αποδίδει 300 ανά ώρα. Ταυτόχρονα θα πρέπει να ικανοποιούνται και οι ακόλουθοι περιορισμοί: x1: στρέμματα που θα διατεθούν για χώρο περιπάτου x2: στρέμματα που θα διατεθούν για εστιατόρια-καφετέριες x3: στρέμματα που θα διατεθούν για εμπορικά Το πολύ 10 στρέμματα είναι κατάλληλα για εμπορικά καταστήματα. Θα πρέπει να υπάρχουν τουλάχιστον 1000 δένδρα στο πάρκο. Δίνεται ότι ένα στρέμμα περιπάτου έχει 20 δένδρα, ένα στρέμμα για εστιατόρια έχει 30 δένδρα, ενώ τα εμπορικά δεν έχουν κανένα δένδρο. Θα πρέπει να εργάζονται το πολύ 200 άτομα στο πάρκο. Δίνεται ότι απαιτούνται 3 άτομα ανά στρέμμα περιπάτου, 6 άτομα ανά στρέμμα που θα χρησιμοποιηθεί από εστιατόρια-καφετέριες και 5 άτομα ανά στρέμμα που θα χρησιμοποιηθεί από εμπορικά. 31
Επίλυση στο Excel Στο κελί B5 είναι η συνολική έκταση και από τις 3 χρήσεις γης Στο κελί D5 είναι ο συνολικός αριθμός δένδρων Στο κελί E5 είναι ο συνολικός αριθμός εργαζόμενων Στο κελί B13 είναι το συνολικό κέρδος =SUM(B2:B4) =SUMPRODUCT(B2:B4;D2:D4) =SUMPRODUCT(B2:B4;E2:E4) =SUMPRODUCT(B2:B4;C2:C4) Κελί προορισμού Με αλλαγή των κελιών Περιορισμοί Β13 B2:B4 Β4<=Β8 Β5<=Β7 D5>=B9 E5<=B10 32
Επίλυση στο Excel Ερωτήματα 1. Ποια είναι η λύση του προβλήματος που επιστρέφει τη βέλτιστη διάθεση του χώρου; 2. Ποιο θα είναι το κέρδος ανά ώρα του ψυχαγωγικού πάρκου; 3. Ποιοι είναι οι δεσμευτικοί και ποιοι οι μη δεσμευτικοί περιορισμοί; 4. Μια κατασκευαστική εταιρία μπορεί να μετατρέψει 5 στρέμματα της έκτασης σε έκταση διαθέσιμη για εμπορικά καταστήματα. Ποια θα είναι η αξία αυτής της μετατροπής σε ανά ώρα; 33
Απαντήσεις στα ερωτήματα 1. Η βέλτιστη διάθεση της έκτασης αναθέτει 31.25 στρέμματα σε χώρους περιπάτου, 12.5 στρέμματα σε εστιατόρια-καφετέριες και 6.25 στρέμματα σε εμπορικά 2. Το βέλτιστο κέρδος ανά ώρα είναι 9062.5 3. Οι δεσμευτικοί περιορισμοί είναι της έκτασης, των εργαζόμενων, των δένδρων και ο μη δεσμευτικός περιορισμός είναι της έκτασης για εμπορικά 4. Η αξία της μετατροπής στρεμμάτων της έκτασης σε διαθέσιμη έκταση για εμπορικά είναι μηδέν καθώς υπάρχει ήδη διαθέσιμη έκταση για εμπορικά η οποία δεν χρησιμοποιείται στη βέλτιστη λύση 34
Επίλυση στο Excel (ανάλυση ευαισθησίας) Επιπλέον ερωτήματα 1. Έστω ότι η απόδοση του κάθε στρέμματος που χρησιμοποιείται από εμπορικά είναι 180 ανά ώρα έναντι των 300 της αρχικής εκφώνησης. Αρκούν τα αποτελέσματα της ανάλυσης ευαισθησίας για να προσδιοριστεί το νέο κέρδος ανά ώρα και αν αυτό ισχύει ποιο θα είναι αυτό; 2. Έστω ότι η απόδοση του κάθε στρέμματος που χρησιμοποιείται από εστιατόρια είναι 180 ανά ώρα έναντι των 200 της αρχικής εκφώνησης. Αρκούν τα αποτελέσματα της ανάλυσης ευαισθησίας για να προσδιοριστεί το νέο κέρδος ανά ώρα και αν αυτό ισχύει ποιο θα είναι το νέο κέρδος ανά ώρα; 3. Αν αυξηθεί ο αριθμός των απαιτούμενων δένδρων σε 1020 πόσο θα κοστίσει σε ανά ώρα; 4. Αν αυξηθεί ο αριθμός των απαιτούμενων δένδρων σε 1200 πόσο θα κοστίσει σε ανά ώρα; 5. Ποιο θα είναι το μερίδιο σε ανά ώρα που θα πρέπει να δοθεί σε πιθανό συνεργάτη ο οποίος προτίθεται να συνεισφέρει 5 επιπλέον στρέμματα. 35
Απαντήσεις στα επιπλέον ερωτήματα 1. Ο συντελεστής της αντικειμενικής συνάρτησης για τα εμπορικά μπορεί να λάβει τιμές από 183.33 μέχρι + και η λύση να μην διαταραχθεί, άρα η τιμή 180 είναι εκτός ορίων και δεν μπορεί να προσδιοριστεί το αποτέλεσμα που θα προκύψει μόνο από τις πληροφορίες της ανάλυσης ευαισθησίας. 2. Ο συντελεστής της αντικειμενικής συνάρτησης για τα εστιατόρια μπορεί να λάβει τιμές από 75 μέχρι 315 και η λύση να μην διαταραχθεί, άρα η τιμή 180 είναι εντός ορίων και η βέλτιστη λύση θα λάβει την τιμή 31.25*150 + 12.5*180 + 6.25*300 = 8812.5 ανά ώρα. 3. Ο αριθμός δένδρων 1020 είναι εντός των ορίων (900, 1166.67) και για κάθε επιπλέον δένδρο το κέρδος θα μειώνεται κατά 4.375, άρα για 20 δένδρα το κέρδος θα μειωθεί κατά 20*4.375 =87.5 ανά ώρα. 4. Ο αριθμός δένδρων 1200 είναι εκτός των ορίων (900, 1166.67) και συνεπώς δεν μπορεί να προσδιοριστεί το αποτέλεσμα που θα προκύψει μόνο από τις πληροφορίες της ανάλυσης ευαισθησίας. Το πρόβλημα θα πρέπει να επιλυθεί εκ νέου. 5. Η αξία κάθε στρέμματος στο εύρος τιμών (33.33 έως 60 ) είναι 143.75 άρα το μερίδιο θα πρέπει να είναι το πολύ 5*143.75 =718.75 ανά ώρα. 36
Παραμετρική ανάλυση Η παραμετρική ανάλυση αφορά την ταυτόχρονη αλλαγή των παραμέτρων του προβλήματος Ισχύει ότι: αν αφαιρεθεί από το πρόβλημα ένας περιορισμός που δεν είναι δεσμευτικός η λύση παραμένει η ίδια αν προστεθεί στο πρόβλημα ένας περιορισμός η λύση παραμένει η ίδια μόνο στη περίπτωση που η λύση ικανοποιεί τον περιορισμό 37