ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ Τομεας Αλγεβρασ-Γεωμ Θεόδωρος Κασιούμης Ισομετρικες Εμβαπτισεις Πολυπτυγματων Kaehler ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ Ιωάννινα, 2013

Αφιερωμένο στους γονείς μου Ιωάννη και Αλεξάνδρα, στην αδερφή μου Κωνσταντίνα και στην Γεωργία..

Η παρούσα Μεταπτυχιακή Διατριβή εκπονήθηκε στο πλαίσιο των σπουδών για την απόκτηση του Μεταπτυχιακού Διπλώματος Ειδίκευσης στα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (ΑΝΑΛΥΣΗ-ΑΛΓΕΒΡΑ-ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ) που απονέμει το Τμήμα Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Ιωαννίνων. Εγκρίθηκε την από την εξεταστική επιτροπή: Ονοματεπώνυμο Βαθμίδα Υπογραφή Θεόδωρος Βλάχος (Επιβλέπων) Ανδρέας Αρβανιτογεώργος Φανή Πεταλίδου Αναπληρωτής Καθηγητής Επίκουρος Καθηγητής Λέκτορας ΥΠΕΥΘΥΝΗ ΔΗΛΩΣΗ Δηλώνω υπεύθυνα ότι η παρούσα διατριβή εκπονήθηκε κάτω από τους διεθνείς ηθικούς και ακαδημαϊκούς κανόνες δεοντολογίας και προστασίας της πνευματικής ιδιοκτησίας. Σύμφωνα με τους κανόνες αυτούς, δεν έχω προβεί σε ιδιοποίηση ξένου επιστημονικού έργου και έχω πλήρως αναφέρει τις πηγές που χρησιμοποίησα στην εργασία αυτή. Θεόδωρος Κασιούμης

Ευχαριστιες Είμαι εξαιρετικά ευγνώμων στον καθηγητή μου, Θεόδωρο Βλάχο, για τις χρήσιμες συμβουλές του ώστε να εκπονηθεί η μεταπτυχιακή διατριβή, καθώς επίσης και την υ- πομονή που έδειχνε κατά την προετοιμασία της. Επίσης θα ήθελα να ευχαριστήσω την κυρία Φανή Πεταλίδου και τον κύριο Ανδρέα Αρβανιτογιώργο για τις σωστές διορθώσεις και επισημάνσεις στην διατριβή και τέλος τους καθηγητές του τμήματος για το ενδιαφέρον που έδειχναν όλα τα χρόνια της προπτυχιακής μου πορείας. 7

Περιληψη Ενα από τα βασικότερα προβλήματα της θεωρίας των ισομετρικών εμβαπτίσεων είναι να αποφασιστεί αν μια ισομετρική εμβάπτιση f : M N, είναι ο μοναδικός τρόπος ισομετρικής εμβάπτισης του πολυπτύγματος Riemann M στο πολύπτυγμα Riemann N, ως προς ισομετρία του N. Σε αυτή την περίπτωση η f θα καλείται άκαμπτη. Οταν η f δεν είναι άκαμπτη είναι πολύ σημαντικό να βρούμε μη τετριμμένες ισομετρικές παραμορφώσεις της. Στην παρούσα μεταπτυχιακή διατριβή θα αποδείξουμε ότι κάθε ελαχιστική ισομετρική εμβάπτιση ενός απλά συνεκτικού πολυπτύγματος Kaehler M σε χώρο έναν σταθερής καμπυλότητας Q c, επιδέχεται μια μονοπαραμετρική οικογένεια ισομετρικών ελαχιστικών εμβαπτίσεων. Θα δούμε ότι η οικογένεια αυτή είναι τετριμμένη αν και μόνο αν η f είναι ψευδολόμορφη. Επιπλέον, σε Ευκλείδειους χώρους θα διαπιστώσουμε ότι οι έννοιες ελαχιστικότητα και υπερελαχιστικότητα είναι ταυτόσημες. Κάθε ολόμορφη ισομετρική εμβάπτιση ενός πολυπτύγματος Kaehler είναι ελαχιστική και κάθε υπερελαχιστική εμβάπτιση δέχεται έναν μοναδικό ολόμορφο αντιπρόσωπο. Στο τελευταίο κεφάλαιο θα παρουσιάσουμε την παραμέτρηση του Gauss μιας Ευκλείδειας υπερεπιφάνειας με μηδενοκατανομή συνδιάστασης δύο (χωρίς ισόπεδα σημεία). Με βάση αυτό το εργαλείο θα ταξινομήσουμε πλήρως τις υπερεπιφάνειες Kaehler του Ευκλείδειου χώρου. i

Abstract One of the basic problems in the theory of isometric immersions, is to decide if a given isometric immersion f : M N is the unique way to isometrically immerse the Riemannian manifold M into the Riemannian manifold N, up to an isometry of N. If this is the case, then f is called rigid. When f is not rigid, it is very important to find nontrivial isometric deformations of f. In this thesis we will prove that any minimal isometric immersion f : M n Q n+p c of a simply connected Kaehler manifold M n into a space of constant sectional curvature Q n+p c, admits a 1-parameter associated family of minimal isometric immersions, up to congruence. We will conclude that the associated family is trivial if and only is f is pseudohomlomorphic. Furthermore, in Euclidean spaces we will deduce that every minimal immersion of a Kaehler manifold is pluriminimal, that every holomorphic isometric immersion is minimal and any pluriminimal isometric immersion admits a unique holomorphic representative. In the final chapter we will present the Gauss Parametrization of an Euclidean hypersurface whose nullity is of codimension two (no flat points). Then we use this tool in order to give a complete classification of Kaehler hypersurfaces into Euclidean spaces with no flat points. ii

Περιεχομενα Περίληψη Abstract i ii 1 Εισαγωγή 3 2 Προκαταρκτικά 5 2.1 Βασικές έννοιες για διαφορίσιμα πολυπτύγματα............. 5 2.2 Ισομετρικές εμβαπτίσεις......................... 11 3 Υπερελαχιστικές εμβαπτίσεις πολυπτυγμάτων Kaehler 19 3.1 Πολυπτύγματα Kaehler.......................... 19 3.2 Υπερελαχιστικές εμβαπτίσεις....................... 20 3.3 Η μονοπαραμετρική οικογένεια μιας υπερελαχιστικής εμβάπτισης.... 27 3.4 Ψευδολόμορφες εμβαπτίσεις........................ 32 3.5 Ολόμορφος αντιπρόσωπος υπερελαχιστικών εμβαπτίσεων....... 37 4 Ταξινόμηση των υπερεπιφανειών Kaehler του Ευκλείδειου χώρου 43 4.1 Παραμέτρηση του Gauss......................... 43 4.2 Ταξινόμηση υπερεπιφανειών Kaehler................... 53 1

2

ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ1 Εισαγωγη Ενα βασικό πρόβλημα της θεωρίας ισομετρικών εμβαπτίσεων μεταξύ πολυπτυγμάτων Riemann είναι το εξής: Δοθείσης μιας ισομετρικής εμβάπτισης f : M N να αποφασιστεί, αν η f είναι η μοναδική ισομετρική εμβάπτιση του M στο N, ως προς ισομετρία του N. Αν είναι μοναδική, τότε η f καλείται άκαμπτη (rigid) [8]. Οταν η f δεν είναι άκαμπτη είναι ενδιαφέρον να βρεθούν μη-τετριμμένες ισομετρικές παραμορφώσεις της. Για παράδειγμα, κάθε ελαχιστική ισομετρική εμβάπτιση g : M 2 R 2n, ενός διδιάστατου πολυπτύγματος Riemann στον Ευκλείδειο χώρο, δέχεται μια μονοπαραμετρική οικογένεια ισομετρικών εμβαπτίσεων που καλείται αντίστοιχη μονοπαραμετρική οικογένεια της g (associated-family). Η μονοπαραμετρική αυτή οικογένεια προκύπτει περιστρέφοντας τη δεύτερη θεμελιώδη μορφή, ενώ συγχρόνως κρατάμε σταθερή την κάθετη δέσμη και την επαγόμενη κάθετη συνοχή. Αυτή η μονοπαραμετρική οικογένεια είναι τετριμμένη αν και μόνο αν υπάρχει παράλληλη μιγαδική δομή στον R 2n, ώστε η g να είναι ολόμορφη στον C n R 2n. Ενας από τους στόχους της εργασίας είναι η γενίκευση της αντίστοιχης μονοπαραμετρικής οικογένειας, όπως αυτή δόθηκε από τους Dacjzer-Gromoll [7] σε ελαχιστικές εμβαπτίσεις πολυπτυγμάτων Kaehler. Τα πολυπτύγματα Kaehler είναι η φυσική γενίκευση των διδιάστατων προσανατολισμένων πολυπτυγμάτων Riemann. Θα μελετήσουμε λοιπόν ισομετρικές ελαχιστικές εμβαπτίσεις συνεκτικών πολυπτυγμάτων Kaehler σε χώρους σταθερής καμπυλότητας και θα διαπιστώσουμε ότι δέχονται μια μονοπαραμετρική οικογένεια ισομετρικών ελαχιστικών εμβαπτίσεων. Επιπλέον θα εξετάσουμε πότε αυτή η μονοπαραμετρική οικογένεια είναι τετριμμένη. Θα διαπιστώσουμε ότι οι έννοιες ελαχιστκή και υπερελαχιστική ισομετρική εμβάπτιση είναι ισοδύναμες σε Ευκλείδειους χώρους, καθώς και ότι κάθε ολόμορφη ισομετρική εμβάπτιση είναι κατ ανάγκην και ελαχιστική. Θα δούμε επίσης ότι κάθε υπερελαχιστική εμβάπτιση στον Ευκλείδειο χώρο επιδέχεται έναν μοναδικό ολόμορφο αντιπρόσωπο. Τέλος, θα ταξινομίσουμε πλήρως τις υπερεπιφάνειες Kaehler του Ευκλείδειου χώρου χωρίς ισόπεδα σημεία, κατά το σχετικό θεώρημα των Dacjzer-Gromoll [7]. Για τον σκοπό αυτό θα γίνει χρήση ενός σημαντικού εργαλείου που καλείται παραμέτρηση του Gauss, η οποία δόθηκε από τους Dacjzer-Gromoll [6]. 3

4

ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ2 Προκαταρκτικα Σε αυτό το κεφάλαιο θα παραθέσουμε απαραίτητες έννοιες από τα διαφορίσιμα πολυπτύγματα [1] και την θεωρία των ισομετρικών εμβαπτίσεων. 2.1 Βασικές έννοιες για διαφορίσιμα πολυπτύγματα Ορισμός 2.1.1. Καλούμε διαφορίσιμο πολύπτυγμα Riemann διαστάσεως n έναν τοπολογικό χώρο Hausdorff M n με αριθμήσιμη βάση για την τοπολογία του με τις εξής ιδιότητες: (i) Υπάρχει οικογένεια ανοικτών υποσυνόλων (U a ) a I του M n ώστε a I U a = M n και αντίστοιχων ομοιομορφισμών ϕ a : U a ϕ(u a ) R n, όπου ϕ a (U a ) ανοικτό υποσύνολο του R n. Το ζεύγος (U a, ϕ a ) ονομάζεται χάρτης ή σύστημα συντεταγμένων του M n. (ii) Για κάθε a, b I με U a U b, η απεικόνιση ϕ a ϕ 1 b : ϕ b (U a U b ) ϕ a (U a U b ) είναι C -διαφορίσιμη στο πεδίο ορισμού της. (iii) Η οικογένεια χαρτών (U a, ϕ a ) a I είναι μέγιστη. Δηλαδή, εάν (U, ϕ) είναι χάρτης του M n και οι απεικονίσεις ϕ a ϕ 1, ϕ ϕ 1 a είναι C διαφορίσιμες για κάθε a I, τότε ο χάρτης (U, ϕ) ανήκει στην οικογένεια (U a, ϕ a ) a I. Εστω f : U R συνάρτηση όπου U ανοικτό υποσύνολο του M. Η f θα καλείται διαφορίσιμη αν για κάθε χάρτη (V, ϕ) με U V η απεικόνιση f ϕ 1 : ϕ(u V ) R n R είναι διαφορίσιμη. Μια συνάρτηση f : M R θα καλείται διαφορίσιμη στο x M n εάν υπάρχει ανοικτή περιοχή U του x ούτως ώστε η f U να είναι διαφορίσιμη. Ορίζουμε μια σχέση ισοδυναμίας στο σύνολο όλων των διαφορίσιμων συναρτήσεων στο x: f g αν και μόνο αν υπάρχει ανοικτή περιοχή U του x, όπου f = g ταυτοτικά. Συμβολίζουμε με D(x) το σύνολο των τάξεων ισοδυναμίας στα οποία διαμερίζεται το σύνολο των διαφορίσιμων συναρτήσεων στο σημείο x. Ορισμός 2.1.2. Ενα εφαπτόμενο διάνυσμα του πολυπτύγματος M n στο σημείο x είναι μια απεικόνιση v : D(x) R με τις εξής ιδιότητες: v(κf + λg) = κv(f) + λv(g), v(fg) = v(f)g(x) + f(x)v(g), 5

Κεφάλαιο 2 2.1. Βασικές έννοιες για διαφορίσιμα πολυπτύγματα για κάθε f, g που ανήκουν στο D(x) και κ, λ R, όπου γράφουμε v(f) αντί v([f]). Το σύνολο των εφαπτόμενων διανυσμάτων στο σημείο x ονομάζεται εφαπτόμενος χώρος του M n στο x και συμβολίζεται με T x M n. Είναι γνωστό ότι έχει δομή διανυσματικού χώρου διάστασης n και μια βάση του προκύπτει ως εξής: Αν (U, ϕ) χάρτης του M n και x σημείο του U συμβολίζουμε με x i x (ι=1,2,...,ν) τα εφαπτόμενα διανύσματα που ορίζονται ως εξής: x i x(f) = D i (f ϕ 1 ) ϕ(x) όπου f D(x), D i η συνήθης μερική παράγωγος ως προς τη μεταβλητή x i του R n. Τότε το σύνολο { x i x } αποτελεί βάση του T x M n. Ορισμός 2.1.3. Μια διαφορίσιμη απεικόνιση f : M n M k θα καλείται διαφορομορφισμός αν είναι 1-1, επί και η αντίστροφή της f 1 είναι επίσης διαφορίσιμη. Ορισμός 2.1.4. Καλούμε διαφορικό df x της διαφορίσιμης απεικονίσεως f : M M στο σημείο x M τη γραμμική απεικόνιση df x : T x M T f(x) M που ορίζεται ως για κάθε v T x M και g D(f(x)). Ισχύει ο κανόνας της αλυσίδας, δηλαδή df x (v)(g) = v(g f), d(g f) x = dg f(x) df x. Αν f : M M διαφορομορφισμός τότε df x 1 = d(f 1 ) f(x). Επιπλέον, αν είναι f, g : M R διαφορίσιμες, τότε fg : M R είναι διαφορίσιμη και ισχύει Ακόμη, η f + g είναι διαφορίσιμη και d(fg) x = f(x)dg x + g(x)df x. d(f + g) x = df x + dg x. Ορισμός 2.1.5. Μια διαφορίσιμη απεικόνιση f : M n του M n στο M k εάν, για κάθε x M n, το διαφορικό M k λέγεται εμβάπτιση df x : T x M n T f(x) M k είναι 1-1, δηλαδή rank(df x ) = n. Μια εμβάπτιση f θα λέγεται εμφύτευση αν η απεικόνιση f : M n f(m n ) είναι ομοιομορφισμός, όπου f(m n ) είναι εφοδιασμένο με την επαγόμενη τοπολογία του M n+p. Ορισμός 2.1.6. Αν M n και M k είναι πολυπτύγματα τα οποία πληρούν M n M k και η απεικόνιση έγκλεισης i : M n M k, i(x) = x, x M n είναι εμφύτευση, τότε το M n ονομάζεται υποπολύπτυγμα του M k. 6

Κεφάλαιο 2 2.1. Βασικές έννοιες για διαφορίσιμα πολυπτύγματα Ορισμός 2.1.7. Καλούμε διαφορίσιμο διανυσματικό πεδίο X του πολυπτύγματος M n μια επιλογή διανύσματος X x T x M n για κάθε x M n με την εξής ιδιότητα: Για κάθε διαφορίσιμη συνάρτηση f : M R, η συνάρτηση Xf : M n R είναι διαφορίσιμη. (Xf)(x) = X x f Ισχύουν τα εξής: X(f + g) = Xf + Xg, X(λf) = λ(xf), X(fg) = (Xf)g + f(xg) για κάθε f, g D(M n ), λ R. Θα συμβολίζουμε με X (M n ) το σύνολο των διαφορίσιμων διανυσματικών πεδίων επί του M n. Αν X, Y X (M n ), f D(M n ) το άθροισμα X + Y και το γινόμενο fx που ορίζονται ως: (X + Y ) x = X x + Y x (fx) x = f(x)x x, είναι επίσης διανυσματικά πεδία. Αν (U, ϕ) χάρτης του M n, με συναρτήσεις συντεταγμένων x 1, x 2,..., x n τότε σε αυτόν αντιστοιχούν τα τοπικά διανυσματικά πεδία τέτοια ώστε για κάθε f D(M) X (U), i = 1, 2,...n, xi x i (f) = D i(f ϕ 1 ) ϕ. Ορισμός 2.1.8. Καλούμε γινόμενο Lie των διανυσματικών πεδίων X και Y το διαφορίσιμο διανυσματικό πεδίο που συμβολίζεται με [X, Y ] και ορίζεται ως εξής: Ισχύουν τα παρακάτω: [X, Y ] x = X x Y Y x X, x M, [X, Y ] x f = X x (Y f) Y x (Xf), f D(M). [X, Y ]f = X(Y f) Y (Xf), [X, Y ] = [Y, X], [κx 1 + λx 2, Y ] = κ[x 1, Y ] + λ[x 2, Y ], κ, λ R, [X, [Y, Z]] + [Y, [Z, X]] + [Z, [X, Y ]] = 0, [fx, gy ] = fg[x, Y ] + f(xg)y g(y f)x, [ x i, x j ] = 0. 7

Κεφάλαιο 2 2.1. Βασικές έννοιες για διαφορίσιμα πολυπτύγματα Ορισμός 2.1.9. Καλούμε εφαπτόμενη δέσμη T M n του διαφορίσιμου πολυπτύγματος M n την ένωση όλων των εφαπτόμενων χώρων του M, T M n = x M T x M n = {(x, v) : x M n, v T x M n }. Είναι γνωστό ότι η εφαπτόμενη δέσμη είναι διανυσματική δέσμη υπεράνω του M βαθμίδας n. Ορισμός 2.1.10. Εστω f : M n N k διαφορίσιμη απεικόνιση. Η f θα καλείται υπεμβάπτιση (submersion) αν το διαφορικό είναι επί σε κάθε σημείο x M n. df x : T x M n T f(x) N k Μια διαφορίσιμη απεικόνιση f : M N είναι υπεμβάπτιση αν και μόνο αν rank(df x ) = dim N για κάθε x M. Ορισμός 2.1.11. Ενα πολύπτυγμα Riemann M n ονομάζεται απλά συνεκτικό αν και μόνο αν κάθε συνεχής, κλειστή καμπύλη c είναι ομοτοπική με την σταθερή καμπύλη, δηλαδή υπάρχει συνεχής απεικόνιση F : [0, 1] [0, 1] M n, που λέγεται ομοτοπία, ώστε για ένα x M n να ισχύουν : F (0, t) = c(t), για κάθε t [0, 1], F (1, t) = x, για κάθε t [0, 1], F (s, 0) = F (s, 1) = x, για κάθε s [0, 1]. Ορισμός 2.1.12. Μια μετρική Riemann στο πολύπτυγμα M n είναι ένα τανυστικό πεδίο, τύπου (2,0) το οποίο πληροί: X, Y = Y, X, X, Y (x) > 0 εαν X x 0, για κάθε X, Y X (M n ). Ενα πολύπτυγμα M n εφοδιασμένο με μία μετρική Riemann καλείται πολύπτυγμα Riemann. Ορισμός 2.1.13. Καλούμε γραμμική συνοχή στο διαφορίσιμο πολύπτυγμα Μ μια απεικόνιση : X (M n ) X (M n ) X (M n ), που πληροί τα εξής: X+Z Y = X Y + Z Y, fx Y = f X Y, X (Y + Z) = X Y + X Z, X (fy ) = (Xf)Y + f X Y για κάθε f D(M n ), X, Y, Z X (M n ). Το διανυσματικό πεδίο X Y ονομάζεται συναλλοίωτη παράγωγος του Y στην διεύθυνση X, ως προς την συνοχή. 8

Κεφάλαιο 2 2.1. Βασικές έννοιες για διαφορίσιμα πολυπτύγματα Ορισμός 2.1.14. Καλούμε τανυστή καμπυλότητος R της συνοχής, την απεικόνιση R : X (M n ) X (M n ) X (M n ) X (M n ), (X, Y, Z) R(X, Y, Z) = R(X, Y )Z = X Y Z Y X Z [X,Y ] Z. Για τον τανυστή R ισχύουν τα εξής: R(X, Y )Z = R(Y, X)Z, R(X, Y )Z + R(Y, Z)X + R(Z, X)Y = 0, R(X, Y )Z, W = R(X, Y )W, Z, R(X, Y )Z, W = R(Z, W )X, Y. Ορισμός 2.1.15. Καλούμε καμπυλότητα τομής του M n στο σημείο x για το επίπεδο σ τον αριθμό K(σ) = K(X Y ) = R(X, Y )Y, X. όπου σ ένας διδιάστατος γραμμικός υπόχωρος του T x M n και {X, Y } ορθομοναδιαία βάση του σ. Ως προς τυχούσα βάση {X, Y } του επιπέδου σ T x M n ισχύει: K(σ) = R(X, Y )Y, X X Y 2, όπου X Y 2 = ( X 2 Y 2 X, Y 2 ) 1 2. Το πολύπτυγμα Riemann M n έχει σταθερή καμπυλότητα τομής c μόνο εαν ο τανυστής καμπυλότητας είναι R(X, Y )Z = c( Y, Z X X, Z Y ). Ενα παράδειγμα είναι ο R n με την συνήθη μετρική όπου c = 0. Ορισμός 2.1.16. Καλούμε τανυστή του Ricci Q το συμμετρικό (2-0)-τανυστικό πεδίο Q : X (M n ) X (M n ) D(M n ), (X, Y ) Q(X, Y ) = trace{z R(Z, X)Y : X, Y, Z X (M n )}. Αν {E i }, i = 1, 2,..., n είναι ένα ορθομοναδιαίο πλαίσιο, ισχύει ότι Q(X, Y ) = = = n R(E i, X)Y, E i i=1 n R(Y, E i )E i, X i=1 n R(E i, Y )X, E i i=1 = Q(Y, X). 9

Κεφάλαιο 2 2.1. Βασικές έννοιες για διαφορίσιμα πολυπτύγματα Ορισμός 2.1.17. Καλούμε καμπυλότητα Ricci στο σημείο x και στην διεύθυνση X του T x M n με X = 1, τον αριθμό Ric(X) = Q(X, X). Αν θέσουμε X = E n και επιλέξουμε μια ορθομοναδιαία βάση {E 1,..., E n 1, E n } του T x M, τότε Ric(X) = = = n R(E i, E n )E n, E i i=1 n 1 R(E i, X)X, E i i=1 n 1 K(X E i ). i=1 Ορισμός 2.1.18. Εστω δύο πολυπτύγματα M n και M k και μια εμβάπτιση f : M n M k (n k). Αν το M k είναι πολύπτυγμα Riemann τότε η επαγόμενη μετρική μέσω της εμβαπτίσεως f, είναι η μετρική Riemann του M n που δίνεται ως εξής: v, w = df x (v), df x (w), για κάθε v, w T x M n. Ορισμός 2.1.19. Μια εμβάπτιση f : M M μεταξύ δύο πολυπτυγμάτων Riemann M, M καλείται ισομετρική εμβάπτιση αν η επαγόμενη μετρική είναι η μετρική του M, δηλαδή αν: df x (v), df x (w) f(x) = v, w x, για κάθε x M και v, w T x M. Παραδείγματα Ισομετρικών Εμβαπτίσεων (1) Ο τόρος του Clifford διάστασης n που δίνεται ως f : S 1 1... S 1 1 S 2n 1 1 R 2n f(t 1,..., t n ) = 1 n ( cos( nt1 ), sin( nt 1 ),..., cos( nt n ), sin( nt n ) ). (2) Η Veronese επιφάνεια f : S 2 3 R 3 S 4 1 R5 με τύπο f(x, y, z) = ( xy, xz, yz, x2 y 2 3 3 3 2 3, x2 + y 2 2z 2 ). 6 (3) Το γενικευμένο ελικοειδές f : R n+1 R n+k+1, n k, με τύπο f(s, t 1,..., t n ) = k n k t i e i (s) + t k+i v 2k+i + sbv n+k+1, i=1 i=1 όπου v 1,..., v n+k+1 η κανονική βάση του R n+k+1, e i (s) = cos(a i s)v 2i 1 + sin(a i s)v 2i, και b, a i R, i = 1,..., k. Ισχύει το ακόλουθο θεμελιώδες θεώρημα για πολυπτύγματα Riemann. 10

Κεφάλαιο 2 2.2. Ισομετρικές εμβαπτίσεις Θεώρημα 2.1.20. Για κάθε πολύπτυγμα Riemann (M,, ) υπάρχει μοναδική συνοχή με τις εξής ιδιότητες: X Y Y X = [X, Y ], X( Y, Z ) = X Y, Z + Y, X Z, για κάθε X, Y, Z X (M), η οποία καλείται συνοχή Levi-Civita. Ορισμός 2.1.21. Η συναλλοίωτη παράγωγος ενός (r, s)-τανυστικού πεδίου στην διεύθυνση X είναι το (r, s)-τανυστικό πεδίο X T που ορίζεται ως: ( X T )(X 1,..., X r ) = X (T (X 1,..., X r )) r T (X 1..., X i 1, X X i, X i+1,..., X r ), όπου θέτουμε X (T (X 1,..., X r )) = X(T (X 1,..., X r )) εάν s = 0. Ισχύουν τα παρακάτω: i=1 X+Y T = X T + Y T, fx T = f X T, X (T 1 + T 2 ) = X T 1 + X T 2, X (ft ) = (Xf)T + f X T. 2.2 Ισομετρικές εμβαπτίσεις Στην παρούσα ενότητα θα αναφέρουμε απαραίτητα στοιχεία από την θεωρία ισομετρικών εμβαπτίσεων [5]. Ορισμός 2.2.1. Εστω f : M n M n+p διαφορίσιμη απεικόνιση και X X (M n ), X X ( M n+p ). Τα X, X λέγονται f-συσχετισμένα (f-related) αν ισχύει X f = df(x). Λήμμα 2.2.2. Αν f : M n M n+p διαφορίσιμη απεικόνιση και X, Y X (M n ) είναι f-συσχετισμένα των X, Ỹ X ( M n+p ) αντίστοιχα, τότε τα γινόμενα Lie [X, Y ], [ X, Ỹ ] είναι f-συσχετισμένα δηλαδή [ X, Ỹ ] f = df([x, Y ]). Καλούμε επαγόμενη δέσμη της f το σύνολο f (T M n+p ) = {(x, v) : x M n, v T f(x) M n+p }. Είναι γνωστό ότι η επαγόμενη δέσμη έχει τάξη (rank) n + p και το σύνολο των πεδίων του συμβολίζεται με (f). 11

Κεφάλαιο 2 2.2. Ισομετρικές εμβαπτίσεις Πρόταση 2.2.3. Εστω M n διαφορίσιμο πολύπτυγμα και ( M n+p,, ) διαφορίσιμο πολύπτυγμα Riemann με συνοχή Levi-Civita. Αν f : M n M n+p διαφορίσιμη απεικόνιση, τότε υπάρχει μοναδική απεικόνιση: f : X (M n ) (f) (f), για την οποία ισχύουν: (X, V ) f X V, f X 1 +X 2 V = f X 1 V + f X 2 V, f gx V = g f X V, f X (V 1 + V 2 ) = f X V 1 + f X V 2, f X (gv ) = X(g)V + g f X V, f X (Ỹ f) = df(x) Ỹ, X( V 1, V 2 ) = f X V 1, V 2 + V 1, f X V 2, f X df(y ) f Xdf(X) = df([x, Y ]), όπου τα X, X 1, X 2, Y X (M n ), Ỹ X ( M n+p ),V, V 1, V 2 (f) και g D(M n ). Η απεικόνιση f είναι η συνοχή που επάγει η συνοχή Levi-Civita M n+p στην επαγόμενη δέσμη f (T M n+p ). Για κάθε ισομετρική εμβάπτιση f : (M n,, ) ( M n+p,, ) και τυχόν σημείο x M n ο εφαπτόμενος χώρος T f(x) M n+p στο σημείο f(x) M n+p αναλύεται ως ορθογώνιο άθροισμα Θέτουμε T x f = df x (T x M). T f(x) M n+p = df x (T x M n ) (df x (T x M n )). Ορισμός 2.2.4. Η εφαπτόμενη δέσμη T f της f είναι το σύνολο T f = {(f(x), v) : x M n, v T x f}. Είναι γνωστό ότι η εφαπτόμενη δέσμη της f είναι διανυσματική δέσμη τάξης n και το σύνολο των πεδίων της είναι Γ(T f) = X f (M n ). Ορισμός 2.2.5. Ορίζουμε ως κάθετο χώρο T x f της f στο x να είναι ο p- διάστατος υπόχωρος του T f(x) M n+p T x f = {ξ : ξ (T x f) }, όπου (T x f) είναι το ορθοσυμπλήρωμα του T x f στον T f(x) M n+p. Ορισμός 2.2.6. Ονομάζουμε κάθετη δέσμη μιας ισομετρικής εμβάπτισης f : M n M n+p το σύνολο T f = {(x, w) f (T M n+p ) : x M n, w T x f}. 12

Κεφάλαιο 2 2.2. Ισομετρικές εμβαπτίσεις Είναι γνωστό ότι το T f = x M T x f είναι διανυσματική δέσμη τάξης p και το σύνολο των πεδίων της είναι Γ(T f) = (f). Για τυχόν v T f(x) M n+p υπάρχουν μοναδικά διανύσματα v T x M n και v T x f έτσι ώστε v = df x (v ) + v. Επιπλέον για κάθε V (f) υπάρχουν μοναδικά V X (M) και V f ώστε V = df(v )+V. Οπότε για κάθε X, Y X (M n ) έχουμε την ανάλυση: f X df(y ) = df(( f X df(y )) ) + ( f Xdf(Y )) Αποδεικνύεται ότι ( f X df(y )) = X Y. Ορισμός 2.2.7. Καλούμε δεύτερη θεμελιώδη μορφή της f την απεικόνιση α f : T M T M T f, η οποία είναι ένα συμμετρικό (2,1) τανυστικό πεδίο στο M με τύπο α f (X, Y ) = ( f X df(y )). Ο τύπος του Gauss για ισομετρικές εμβαπτίσεις είναι: f X df(y ) = df( XY ) + α f (X, Y ). Ομοίως για κάθε X T M, ξ T f έχουμε την ανάλυση: όπου ( f X ξ) T M και ( f X ξ) T f. f X ξ = df(( f X ξ) ) + ( f X ξ), Ορισμός 2.2.8. Η απεικόνιση Weingarten στην διεύθυνση ξ T f είναι: A ξ : T M T M X A ξ X = ( f X ξ). Η απεικόνιση Weingarten είναι D(M)-γραμμική ως προς ξ και αυτοπροσαρτημένο (1,1) τανυστικό πεδίο. Είναι γνωστό ότι A ξ X, Y = α f (X, Y ), ξ. Αν f : M n M n+p είναι ισομετρική εμβάπτιση και ξ 1, ξ 2,..., ξ p, τοπικά κάθετα διανυσματικά πεδία του T f, μοναδιαία ανά δυο κάθετα αλλήλων τότε α f (X, Y ) = p A ξi X, Y ξ i. i=1 Ειδικότερα αν η συνδιάσταση p = 1 τότε α f (X, Y ) = A ξ X, Y, όπου ξ μοναδιαίο κάθετο. 13

Κεφάλαιο 2 2.2. Ισομετρικές εμβαπτίσεις Ορισμός 2.2.9. Ονομάζουμε κάθετη συνοχή, τη συνοχή της κάθετης δέσμης της f που ορίζεται ως εξής: : T M T M T f (X, ξ) Xξ = ( f X ξ). Η είναι πράγματι συνοχή αφού για κάθε X T M και ξ 1, ξ 2 T f ισχύουν τα εξής: f X (ξ 1 + ξ 2 ) = f X ξ 1 + f X ξ 2, f X (gξ) = (Xg)ξ + g f X ξ, X( ξ 1, ξ 2 ) = f X ξ 1, ξ 2 + ξ 1, f X ξ 2. Ο τύπος του Weingarten για ισομετρικές εμβαπτίσεις είναι: f X ξ = df(a ξx) + Xξ. Ορισμός 2.2.10. Ο τανυστής της κάθετης καμπυλότητας της ισομετρικής εμβάπτισης f ορίζεται να είναι η απεικόνιση: R : T M T M T f T f (X, Y, ξ) R (X, Y )ξ = X Y ξ Y Xξ [X,Y ] ξ. Αποδεικνύεται ότι ο R είναι D(M)-γραμμικός ως προς κάθε μεταβλητή. Πρόταση 2.2.11. Κάθε ισομετρική εμβάπτιση f : M n M n+p πληροί τις παρακάτω εξισώσεις : (α) εξίσωση του Gauss : Αν X, Y, Z T M, ξ T f, τότε R(X, Y )Z, W = R(X, Y )Z, W + α(x, W ), α(y, Z) α(x, Z), α(y, W ), όπου R, R είναι οι τανυστές καμπυλότητος των M, M αντίστοιχα και με α θα συμβολίζουμε την δεύτερη θεμελιώδη μορφή α f όταν είναι προφανές ότι αναφερόμαστε στην εμβάπτιση f. (β) εξίσωση του Codazzi: Για κάθε X, Y T M και ξ T f: (γ) εξίσωση του Ricci: ( R(X, Y )Z) = ( Xα)(Y, Z) ( Y α)(x, Z). ( R(X, Y )ξ) = R (X, Y )ξ + α(a ξ X, Y ) α(x, A ξ Y ). Ειδικότερα, αν K(X, Y ) = R(X, Y )Y, X, K(X, Y ) = R(X, Y )Y, X είναι οι καμπυλότητες τομής των M, M αντίστοιχα, στο επίπεδο που παράγεται απο τα ορθομοναδιαία διανύσματα X, Y T x M, η εξίσωση του Gauss γίνεται K(X, Y ) = K(X, Y ) + α(x, X), α(y, Y ) α(x, Y ) 2. 14

Κεφάλαιο 2 2.2. Ισομετρικές εμβαπτίσεις Μια άλλη γραφή της εξίσωσης Ricci είναι: ( R(X, Y )ξ) = ( Y A)(X, ξ) ( X A)(Y, ξ), όπου ( Y A)(X, ξ) = Y A ξ X A ξ Y X A Y ξ X. Ειδικά όταν M n+p = Q n+p c πολύπτυγμα με σταθερή καμπυλότητα τομής c οι εξισώσεις των Gauss, Codazzi, Ricci λαμβάνουν αντίστοιχα την μορφή : R(X, Y )Z, W = c (X Y )Z, W + α(x, W ), α(y, Z) α(x, Z), α(y, W ), ( Xα)(Y, Z) = ( Y α)(x, Z), ή ( X A)(Y, ξ) = ( Y A)(X, ξ), R (X, Y )ξ = α(x, A ξ Y ) α(a ξ X, Y ). Τώρα θα αναφέρουμε ένα από τα σημαντικότερα θεωρήματα για ισομετρικές εμβαπτίσεις. Παραπάνω γράψαμε τις εξισώσεις των Gauss, Codazzi, Ricci οι οποίες πληρούνται για κάθε ισομετρική εμβάπτιση f : M n M n+p. Το παρακάτω θεώρημα μας παρέχει ένα τοπικά αντίστροφο αποτέλεσμα των ανωτέρω όταν M n+p = Qc n+p. Ειδικότερα, όταν το M είναι απλά συνεκτικό το αντίστροφο αυτό αποτέσματα είναι ολικό. Θεώρημα 2.2.12. [5] Θεμελιώδες Θεώρημα για ισομετρικές εμβαπτίσεις (1) Εστω M n ένα απλά συνεκτικό πολύπτυγμα Riemann, π : E M μια διανυσματική δέσμη Riemann με τάξη p, με συμβατή συνοχή και έστω α ένα συμμετρικό πεδίο της δέσμης ομομορφισμών Hom(T M T M, E). Ορίζουμε για κάθε τοπικό πεδίο ξ του Ε, μια απεικόνιση A ξ : T M T M ως εξής: A ξ X, Y = α(x, Y ), ξ, X, Y T M. Αν τα α, πληρούν τις εξισώσεις των Gauss, Codazzi, Ricci στην περίπτωση της σταθερής καμπυλότητας τομής c, τότε υπάρχει ισομετρική εμβάπτιση f : M n Qc n+p και ισομορφισμός διανυσματικών δεσμών Φ : E T f επί της f, έτσι ώστε για κάθε X, Y T M και για όλα τα τοπικά πεδία ξ, η E να έχουμε : Φ(ξ), Φ(η) = ξ, η, Φα(X, Y ) = α(x, Y ), Φ Xξ = XΦ(ξ), όπου α, είναι η δεύτερη θεμελιώδης μορφή και η κάθετη συνοχή της f αντίστοιχα. (2) Εστωσαν f, g : M n Q n+p c δύο ισομετρικές εμβαπτίσεις. Αν υπάρχει ισομορφισμός Φ : T f T g τέτοιος ώστε, για κάθε X, Y T M και ξ, η T f Φ(ξ), Φ(η) = ξ, η, Φα f (X, Y ) = α g (X, Y ), 15

Κεφάλαιο 2 2.2. Ισομετρικές εμβαπτίσεις Φ( fx ξ) = gx(φ(ξ)), τότε υπάρχει ισομετρία έτσι ώστε τ : Q n+p c Q n+p c g = τ f και τ T f = Φ. Ορισμός 2.2.13. Εστω f : M n M n+p ισομετρική εμβάπτιση. Το διάνυσμα μέσης καμπυλότητας H(x) της f στο σημείο x M ορίζεται να είναι H(x) = 1 n n α(x j, X j ), j=1 όπου α = α f είναι η δεύτερη θεμελιώδης μορφή της f και X 1,..., X n ορθομοναδιαία βάση του T x M. Αποδεικνύεται ότι ο ορισμός είναι καλός (δηλαδή ανεξάρτητος της επιλογής της βάσης) και ισχύει: H(x) = 1 n (tracea ξj )ξ j n j=1 για κάθε ορθομοναδιαία βάση ξ 1,..., ξ p T x f. Ορισμός 2.2.14. Μια ισομετρική εμβάπτιση f καλείται ελαχιστική αν H(x) = 0 για κάθε x M. Παραδείγματα Ελαχιστικών Ισομετρικών Εμβαπτίσεων (1) Το Ελικοειδές (helicoid) f(u, v) = (u cos(v), u sin(v), av), a R (2) Το Αλυσοειδές (catenoid) f(u, v) = (a cos(u) cosh( v a ), a sin(u) cosh( v a ), v), a R (3) Η επιφάνεια του Enneper με παραμετρική εξίσωση σε πολικές συντεταγμένες x(r, φ) = r cos(φ) 1 3 r3 cos(3φ), y(r, φ) = 1 3 r( r 2 sin(3φ) + 3 sin(φ) ), z(r, φ) = r 2 cos(2φ), r 0, φ [0, 2π]. (4) Ο τόρος Clifford διάστασης n, η Veronese επιφάνεια και το γενικευμένο ελικοειδές που αναφέραμε στα παραδείγματα ισομετρικών εμβαπτίσεων. Ορισμός 2.2.15. Μια εμβάπτιση f : M n M n+p θα καλείται ολικά γεωδαιτική στο x M αν και μόνο αν α x = 0 ταυτοτικά και θα καλείται ολικά γεωδαιτική, αν είναι ολικά γεωδαιτική σε κάθε σημείο του Μ. 16

Κεφάλαιο 2 2.2. Ισομετρικές εμβαπτίσεις Ορισμός 2.2.16. Εστω f : M n M n+p ισομετρική εμβάπτιση. Καλούμε μηδενοχώρο της f στο x M τον υπόχωρο του T x M : x = {X T x M n : α(x, Y ) = 0 για κάθε Y T x M n }, μηδενοδείκτη την διάσταση v(x) του x και η απεικόνιση : M n T M καλείται μηδενοκατανομή. Λήμμα 2.2.17. Εστω f : M n Qc n+p ισομετρική εμβάπτιση. Αν v(x) = dim (x) ανεξάρτητο του x, τότε η είναι μια ολοκληρώσιμη κατανομή, δηλαδή A ξ [Y, Z] = 0 για κάθε Y, Z, ξ T f. Επιπλέον, αυτή είναι ολικά γεωδαιτική, δηλαδή αν Y, Z τότε και Y Z. Απόδειξη. Εστω X εφαπτόμενο διάνυσμα και Y, Z. Τότε από εξίσωση Codazzi έχουμε : ( Xα f )(Y, Z) = ( Y α f )(X, Z) ή ισοδύναμα Xα f (Y, Z) α( X Y, Z) α(y, X Z) = Y α f (X, Z) α( Y X, Z) α(x, Y Z) Επειδή όμως τα Y, Z έχουν επιλεγεί ώστε να ανήκουν στο, μηδενίζουν την δεύτερη θεμελιώδη μορφή, άρα από την τελευταία εξίσωση έχουμε α(x, Y Z) = 0. Άρα Y Z. Από το Λήμμα 2.2.17 και το Θεώρημα του Frobenius [11] προκύπτει το επόμενο λήμμα. Λήμμα 2.2.18. Για κάθε x M υπάρχει υποπολύπτυγμα L x (leaf) του M ώστε T y L x = (y) για κάθε y L x. Το πολύπτυγμα L x καλείται ολοκληρωτικό υποπολύπτυγμα της μηδενοκατανομής στο σημείο x M. Ορισμός 2.2.19. Καλούμε πρώτο καθετο χώρο της ισομετρικής εμβάπτισης f : M n M n+p στο x M τον υπόχωρο N f 1 (x) T x f που ορίζεται ως: N f 1 (x) = span{α(x, Y ) : X, Y T xm}. Αποδεικνύεται ότι N f 1 (x) = {ξ T xm /A ξ = 0}. Η ακόλουθη πρόταση δίδει συνθήκες για τον υποβιβασμό της συνδιάστασης. Πρόταση 2.2.20. [5] Εστω f : M n Qc n+p ισομετρική εμβάπτιση. Αν L είναι παράλληλη υποδέσμη της κάθετης δέσμης με βαθμίδα q, ώστε q < p και N 1 (x) L(x) για κάθε x M, τότε το f(m n ) περιέχεται σε ολικά γεωδαιτικό υποπολύπτυγμα του Q n+p c. 17

18

ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ3 Υπερελαχιστικες εμβαπτισεις πολυπτυγματων Kaehler Σε αυτό το κεφάλαιο θα μελετήσουμε ελαχιστικές ισομετρικές εμβαπτίσεις πολυπτυγμάτων Kaehler σε χώρους σταθερής καμπυλότητας. Θα ορίσουμε μια ειδική κατηγορία από αυτές, τις λεγόμενες υπερελαχιστικές εμβαπτίσεις. Θα δείξουμε ότι κάθε υπερελαχιστική εμβάπτιση δέχεται μια μονοπαραμετρική οικογένεια υπερελαχιστικών εμβαπτίσεων. Επιπλέον, θα αποδείξουμε ότι κάθε ολόμορφη ισομετρική εμβάπτιση μεταξύ δυο τέτοιων πολυπτυγμάτων είναι κατ ανάγκην και ελαχιστική, ενώ το αντίστροφο δεν ισχύει πάντα. Ακόμη θα δείξουμε ότι οι έννοιες ελαχιστικότητα και υπερελαχιστικότητα, είναι ταυτόσημες για ισομετρικές εμβαπτίσεις πολυπτυγμάτων Kaehler σε Ευκλείδειους χώρους. 3.1 Πολυπτύγματα Kaehler Στην ενότητα αυτή θα ορίσουμε βασικές έννοιες για πολυπτύγματα Kaehler [5]. Ορισμός 3.1.1. Μια σχεδόν μιγαδική δομή σε ένα πραγματικό διαφορίσιμο πολύπτυγμα M είναι ένα τανυστικό πεδίο J τύπου (1,1) που πληροί την J 2 = I όπου Ι είναι το ταυτοτικό τανυστικό πεδίο. Ενα διαφορίσιμο πολύπτυγμα εφοδιασμένο με μια τέτοια δομή θα καλείται σχεδόν μιγαδικό πολύπτυγμα. Πρόταση 3.1.2. Ενα σχεδόν μιγαδικό πολύπτυγμα έχει άρτια διάσταση και κάθε εφαπτόμενος χώρος T x M n έχει μια βάση της μορφής X 1, JX 1,..., X n, JX n. Δύο τυχούσες βάσεις διαφέρουν κατά έναν ισομορφισμό με θετική ορίζουσα, οπότε ένα σχεδον μιγαδικό πολύπτυγμα είναι προσανατολίσιμο. Ενα παράδειγμα σχεδόν μιγαδικού πολυπτύγματος είναι το C n = R 2n = {(z 1,..., z n ) : z k = x k + iy k, x k, y k R}, το οποίο είναι εφοδιασμένο κατά φυσικό τρόπο με την σχεδόν μιγαδική δομή J που ορίζεται ως εξής: J( x k ) =, J( ) =, k = 1,..., n. y k y k x k 19

Κεφάλαιο 3 3.2. Υπερελαχιστικές εμβαπτίσεις Η απεικόνιση f : U C n C m είναι ολόμορφη εαν και μόνο εαν df x J = J df x, για κάθε x C n, αφού η ανωτέρω συνθήκη είναι ισοδύναμη με τις εξισώσεις Cauchy- Riemann για κάθε μια συνάρτηση συντεταγμένων. Είναι γνωστό ότι κάθε μιγαδικό πολύπτυγμα δέχεται σχεδόν μιγαδική δομή, κατά φυσικό τρόπο [4]. Υπενθυμίζουμε ότι ένα μιγαδικό πολύπτυγμα M μιγαδικής διάστασης n, είναι ένα 2n-διάστατο πραγματικό διαφορίσιμο πολύπτυγμα εφοδιασμένο με άτλαντα {(U a, ϕ a )} a I και χάρτες ϕ a : U a C n, έτσι ώστε η απεικόνιση ϕ a ϕ b 1 να είναι ολόμορφη στο ϕ b (U a U b ) C n, για όλα τα a, b I με U a U b. Ορισμός 3.1.3. Μια απεικόνιση f : M M μεταξύ δύο σχεδόν μιγαδικών πολυπτυγμάτων καλείται ολόμορφη αν df x J = J df x, για κάθε x M, όπου J και J είναι οι σχεδόν μιγαδικές δομές των M και M αντίστοιχα. Ορισμός 3.1.4. Καλούμε πολύπτυγμα Kaehler ένα σχεδόν μιγαδικό πολύπτυγμα, εφοδιασμένο με μια μετρική Riemann, έτσι ώστε: για κάθε X, Y X (M). JX, JY = X, Y και ( X J)(Y ) = X JY J X Y = 0, Στην επόμενη πρόταση παραθέτουμε κάποιες ιδιότητες του τανυστή καμπυλότητας για πολυπτύγματα Kaehler. Πρόταση 3.1.5. Ας είναι M ένα πολύπτυγμα Kaehler με τανυστή καμπυλότητος R. Τότε για κάθε X, Y X (M) ισχύουν τα εξής : R(X, Y ) J = J R(X, Y ), R(JX, JY ) = R(X, Y ), Ric(JX, JY ) = Ric(X, Y ). 3.2 Υπερελαχιστικές εμβαπτίσεις Ορισμός 3.2.1. Εστω f : M n M n+p μια ισομετρική εμβάπτιση, όπου M n πολύπτυγμα Kaehler. Αν η δεύτερη θεμελιώδης μορφή α της f ικανοποιεί τη σχέση α(x, JY ) = α(jx, Y ), για κάθε X, Y X (M), τότε η f καλείται υπερελαχιστική εμβάπτιση (pluriminimal immersion). Πρόταση 3.2.2. Κάθε υπερελαχιστική εμβάπτιση f : M και ελαχιστική. M είναι κατ ανάγκην 20

Κεφάλαιο 3 3.2. Υπερελαχιστικές εμβαπτίσεις Απόδειξη. Αφού η f είναι υπερελαχιστική ικανοποιεί την σχέση α(x, JY ) = α(jx, Y ), για κάθε X, Y X (M). Οπότε αν στην θέση του X βάλουμε το JX και στην θέση του Y το X έχουμε α(jx, JX) = α(j 2 X, X) = α(x, X), οπότε για κάθε X X (M). ελαχιστική. α(jx, JX) + α(x, X) = 0, Κατά συνέπεια αν πάρουμε το trace προκύπτει ότι η f είναι Λήμμα 3.2.3. Η f : M n M n+p είναι υπερελαχιστική αν και μόνο αν JA ξ = A ξ J για κάθε ξ T f. Απόδειξη. Η f είναι υπερελαχιστική αν και μόνο αν ή ισοδύναμα, α(jx, Y ) = α(x, JY ), X, Y X (M n ) α(jx, Y ), ξ = α(x, JY ), ξ, ξ T f, ή A ξ JX, Y = A ξ X, JY, το οποίο είναι ισοδύναμο με την σχέση A ξ J = JA ξ. Ενας άλλος τρόπος για να δείξουμε ότι κάθε υπερελαχιστική εμβάπτιση είναι ελαχιστική είναι ο εξής: από την σχέση JA ξ = A ξ J προκύπτει ότι το A ξ είναι όμοιο με το A ξ, οπότε όλες οι περιττές συμμετρικές συναρτήσεις των ιδιοτιμών του μηδενίζονται. Άρα η f είναι ελαχιστική. Λήμμα 3.2.4. Για υπερελαχιστικές εμβαπτίσεις με δεύτερη θεμελιώδη μορφή α ισχύει ότι α(x, Y ) + α(jx, JY ) = 0, όπου X, Y X (M). Απόδειξη. Εχουμε, α(x, Y ) + α(jx, JY ) = α(x, Y ) + α(j 2 X, Y ) = α(x, Y ) α(x, Y ) = 0. Παράδειγματα υπερελαχιστικών εμβαπτίσεων είναι όλες οι προσανατολισμένες ελαχιστικές επιφάνειες σε χώρους σταθερής καμπυλότητας τομής. Απόδειξη. Πράγματι έστω ορθομοναδιαίο πλαίσιο e 1, Je 1 = e 2 του T M. Επειδή f ελαχιστική έχουμε α(e 1, e 1 ) + α(e 2, e 2 ) = 0. Ισοδύναμα α(e 1, e 1 ) + α(je 1, Je 1 ) = 0, 21

Κεφάλαιο 3 3.2. Υπερελαχιστικές εμβαπτίσεις άρα για κάθε μοναδιαίο X X (M) ισχύει α(x, X) + α(jx, JX) = 0. Κατά συνέπεια αν X + Y X (M) τότε α(x + Y, X + Y ) + α(jx + JY, JX + JY ) = 0, ισοδύναμα, λόγω γραμμικότητας της δεύτερης θεμελιώδους μορφής, α(x, Y ) + α(jx, JY ) = 0. Αν λοιπόν στην θέση του Y βάλουμε το JY έχουμε α(x, JY ) α(jx, Y ) = 0 οπότε α(x, JY ) = α(jx, Y ) που αποδεικνύει ότι η f είναι υπερελαχιστική. Επιπλέον οι ολόμορφες ισομετρικές εμβαπτίσεις μεταξύ πολυπτυγμάτων Kaehler είναι υπερελαχιστικές όπως θα δείξουμε στο επόμενο θεώρημα. Θεώρημα 3.2.5. Εστω M n και M n+p δύο πολυπτύγματα Kaehler με μιγαδικές δομές J και J αντίστοιχα. Αν f : M n M n+p είναι μια ολόμορφη ισομετρική εμβάπτιση, τότε η δεύτερη θεμελιώδης μορφή α της f ικανοποιεί τη σχέση α(x, JY ) = Jα(X, Y ) = α(jx, Y ), για κάθε X, Y X (M). Ειδικότερα, η f είναι ελαχιστική εμβάπτιση. Απόδειξη. Εστω X, Y X (M). Αφού η f είναι ολόμορφη και το M είναι πολύπτυγμα Kaehler έχουμε ότι ( f X df(jy )) = ( f X Jdf(Y )) = ( J f Xdf(Y )) = J( f X df(y )). Χρησιμοποιώντας τον τύπο του Gauss και την συμμετρία της δεύτερης θεμελιώδους μορφής α έχουμε το ζητούμενο. Πρόταση 3.2.6. Εστω f : M n Q n+p c μια υπερελαχιστική εμβάπτιση. Αν c 0, τότε n = 2. Απόδειξη. Για κάθε X, Y, W, Z X (M) ισχύει ότι Πράγματι, R(X, Y )W, Z = R(X, Y )JW, JZ. R(X, Y )JW, JZ = JR(X, Y )W, JZ = R(X, Y )W, Z. Θεωρούμε τώρα ένα ορθομοναδιαίο πλαίσιο e 1, e 2,..., e 2m 1, e 2m στο τυχόν σημείο του M ώς εξής: Je 2k 1 = e 2k για κάθε k. 22

Κεφάλαιο 3 3.2. Υπερελαχιστικές εμβαπτίσεις Θα δείξουμε ότι Εχουμε: Ric(e 1, e 1 ) = (2m 1)c 2m j=1 α(e 1, e j ) 2. Άρα Ric(e 1, e 1 ) = trace(z R(Z, e 1 )e 1 ) = = 2m j=2 2m j=2 R(e j, e 1 )e 1, e j [c + α(e j, e j ), α(e 1, e 1 ) α(e 1, e j ) 2 ] = (2m 1)c + 2m j=2 α(e j, e j ), α(e 1, e 1 ) Ric(e 1, e 1 ) = (2m 1)c + 2m α(e 1, e 1 ), H 2m j=2 2m j=2 α(e 1, e j ) 2. α(e 1, e j ) 2, όπου H είναι η μέση καμπυλότητα. Επειδή f υπερελαχιστική συνεπάγεται ότι είναι και ελαχιστική, άρα H = 0 οπότε έχουμε: Ric(e 1, e 1 ) = (2m 1)c 2m j=2 α(e 1, e j ) 2. 23

Κεφάλαιο 3 3.2. Υπερελαχιστικές εμβαπτίσεις Μένει να δείξουμε ότι Ric(e 1, e 1 ) = c 2m j=1 α(e 1, e j ) 2. Είναι Ric(e 1, e 1 ) = = = 2m j=1 R(e j, e 1 )e 1, e j 2m j=2,j 0mod2 2m j=2,j 0mod2 2m + j=1,j 1mod2 2m R(e j, e 1 )e 1, e j + R(Je j 1, e 1 )e 1, Je j 1 R(e j, e 1 )e 1, e j 2m j 1,j 1mod2 R(e j, e 1 )e 1, e j = { α(je j 1, Je j 1 ), α(e 1, e 1 ) j=2,j 0mod2 α(je j 1, e 1 ), α(e 1, Je j 1 ) c (Je j 1 e 1 )e 1, Je j 1 } = = = + 2m j=1,j 1mod2 2m j=2,j 0mod2 R(e j, e 1 )e 1, e j { α(e j 1, e j 1 ), α(e 1, e 1 ) α(e 1, Je j 1 ) 2 + c[ e 1, e 1 Je j 1, Je j 1 Je j 1, e 1 e 1, Je j 1 ]} + 2m j=1,j 1mod2 2m j=2,j 0mod2 R(e j, e 1 )e 1, e j { α(e j 1, e j 1 ), α(e 1, e 1 ) α(e 1, Je j 1 ) 2 + c[ e 1, e 1 Je j 1, Je j 1 (e 1, Je j 1 ) 2 ]} + 2m j=1,j 1mod2 { α(e j, e j ), α(e 1, e 1 ) α(e j, e 1 ), α(e 1, e j ) + c[ e 1, e 1 e j, e j (e 1, e j ) 2 ]} 2m j=2,j 0mod2 c (Je 1, e j 1 ) 2 } + 2m j=1,j 1mod2 c (e 1, e j ) 2 ]}. { α(e 1, Je j 1 ) 2 + c e 1, e 1 e j 1, e j 1 { α(e 1, e j ) 2 + c e 1, e 1 e j, e j 24

Κεφάλαιο 3 3.2. Υπερελαχιστικές εμβαπτίσεις Επομένως, Ric(e 1, e 1 ) = 2m j=2,j 0mod2 + { α(e 1, e j ) 2 + c e 1, e 1 e j 1, e j 1 c (Je 1, e j 1 ) 2 } 2m j=1,j 1mod2 { α(e 1, e j ) 2 + c e 1, e 1 e j, e j c (e 1, e j ) 2 ]}. Ομως, και Άρα e 1, e 1 e j 1, e j 1 = 1, (Je 1, e j 1 ) 2 = 0 e 1, e 1 e j, e j = 1, (e 1, e j ) 2 = 0. Αφού λοιπόν Ric(e 1, e 1 ) = c = c (2m 1)c 2m j=2,j 0mod2 2m j=1 2m j=1 α(e 1, e j ) 2. α(e 1, e j ) 2 α(e 1, e j ) 2 = c έχουμε ότι 2m = n = 2 και η απόδειξη ολοκληρώθηκε. 2m j=1 2m j=1,j 1mod2 α(e 1, e j ) 2, α(e 1, e j ) 2 Θεώρημα 3.2.7. Εστω M 2n πολύπτυγμα Kaehler και f : M 2n R 2n+p ισομετρική εμβάπτιση. Τότε η f είναι ελαχιστική αν και μόνο αν είναι υπερελαχιστική. Απόδειξη. Εστωx M και θεωρούμε την ορθομοναδιαία βάση X 1,..., X 2n του T x M, ως εξής: X 2j = JX 2j 1, j = 1,..., n. Αφού η f είναι ελαχιστική, από την εξίσωση Ric(X, X) = 2n j=1 a(x, X j ) 2, έχουμε Ric M (X i, X i ) = 2n j=1 a(x i, X j ) 2, 25

Κεφάλαιο 3 3.2. Υπερελαχιστικές εμβαπτίσεις άρα Ric M (JX i, JX i ) = 2n j=1 a(jx i, X j ) 2. (3.1) Επίσης από την εξίσωση του Gauss και τις ιδιότητες του τανυστή καμπυλότητας που αναφέραμε στην Πρόταση 3.1.5 έχουμε ότι Ric M (X i, X i ) = = = 2n j i 2n j i 2n j i 2n = R(X j, X i )X i, X j R(X j, X i )JX i, JX j α(x j, JX j ), α(x i, JX i ) j i 2n j=1 α(x j, JX i ), α(x i, JX j ) α(x j, JX i ), α(x i, JX j ). (3.2) Η τελευταία ισότητα προέκυψε από το γεγονός ότι J 2 = I και από την επιλογή της βάσης. Εστω V το ευθύ άθροισμα των 2n αντιτύπων του T x f, δηλαδή και ας είναι V = 2n j=1(t x f) j,, : V V R το εσωτερικό γινόμενο που ορίζεται ως εξής:, = 2n j=1,. Για κάθε 1 i 2n ορίζουμε τα διανύσματα v i, w i V ως εξής v i = (α(x i, JX 1 ),..., α(x i, JX 2n )), w i = (α(x 1, JX i ),..., α(x 2n, JX i )). Τότε από την ανισότητα Cauchy-Schwartz έχουμε, Ric M (X i, X i ) 2 = v i, w i 2 v i, v i w i, w i = 2n j=1 2n α(x i, JX j ) 2 α(x j, JX i ) 2 j=1 = Ric M (X i, X i )Ric M (JX i, JX i ). 26

Κεφάλαιο 3 3.3. Η μονοπαραμετρική οικογένεια μιας υπερελαχιστικής εμβάπτισης Ομως από την Πρόταση 3.1.5 έχουμε ότι Ric M (X i, X i ) = Ric M (JX i, JX i ), οπότε ισχύει η ισότητα στην προηγούμενη ανισότητα Cauchy-Schwartz. Άρα v i = ±w i. Εστω v i = w i για κάποιο i με 1 i 2n. Τότε από την σχέση (3.2) έχουμε, Ric M (X i, X i ) = v i, w i = v i, v i. Επειδή Ric M (X i, X i ) 0, έχουμε Ric M (X i, X i ) = 0, οπότε λόγω της σχέσης (3.1) v i = w i. Αυτό δηλώνει ότι η f είναι υπερελαχιστική. 3.3 Η μονοπαραμετρική οικογένεια μιας υπερελαχιστικής εμβάπτισης Στην ενότητα αυτή θα ορίσουμε την αντίστοιχη μονοπαραμετρική οικογένεια μιας υπερελαχιστικής εμβάπτισης ενός πολυπτύγματος Kaehler M σε χώρο σταθερής καμπυλότητας. Τα μέλη της οικογένειας αυτής είναι επίσης υπερελαχιστικές εμβαπτίσεις. Στην συνέχεια, θα δούμε ότι αυτή η οικογένεια είναι τετριμμένη αν και μόνο αν η εμβάπτιση είναι ψευδολόμορφη. Εστω M n ένα συνεκτικό πολύπτυγμα Riemann διαστάσεως n και f : M n Q n+p c μία ισομετρική εμβάπτιση του M n σε έναν πλήρες απλά συνεκτικό χώρο Q n+p c με σταθερή καμπυλότητα τομής c. Υποθέτουμε ότι η διάσταση της f δεν υποβιβάζεται, δηλαδή ότι το f(m) δεν περιέχεται μέσα σε ένα ολικά γεωδαιτικό υποπολύπτυγμα του Qc n+p. Οπως αναφέραμε καλούμε την f : M n Q n+p c υπερελαχιστική, αν το M είναι Kaehler με μιγαδική δομή J έτσι ώστε η απεικόνιση Weingarten A ξ σε οποιαδήποτε κάθετη διεύθυνση ξ να πληροί την JA ξ = A ξ J. Είναι γνωστό ότι οι ελαχιστικές επιφάνειες στον Q 3 c έχουν ισομετρικές τις αντίστοιχες μονοπαραμετρικές οικογένειες. Αυτή η ιδέα μπορεί να γενικευτεί σε υπερελαχιστικές εμβαπτίσεις f : M n Q n+p c. Λήμμα 3.3.1. Για κάθε θ S 1 = R/ 2πZ, θεωρούμε το τανυστικό πεδίο J θ = e θj = cos θi + sin θj. Τότε το J θ είναι ορθογώνιο, παράλληλο και J θ J φ = J θ+φ. Απόδειξη. Θα δείξουμε ότι J θ J θ T = I και J θ = 0. Επειδή το J είναι παράλληλο, ισχύει J = 0, άρα: J θ = (cos θi + sin θj) = (cos θi) + (sin θj) = cos θ I + sin θ J = 0. 27

Κεφάλαιο 3 3.3. Η μονοπαραμετρική οικογένεια μιας υπερελαχιστικής εμβάπτισης Επίσης, επειδή J 2 = I έχουμε: J θ J φ X = J θ (cos ( φ)x + sin ( φ)jx) = J θ (cos φx sin φjx) = cos φj θ X sin φj θ JX = cos φ(cos θx + sin θjx) sin φ(cos θjx + sin θj 2 X) = cos φ cos θx + sin φ sin θx + cos φ sin θjx sin φ cos θjx = cos (θ + φ)x + sin (θ + φ)jx = J θ+φ X. Ορισμός 3.3.2. Για τυχόν κάθετο ξ, ορίζουμε το τανυστικό πεδίο A θ (ξ) = A ξ J θ. Επιπλέον, ορίζουμε το α θ Hom(T M T M, T f) ως α θ (X, Y ), ξ = A θ (ξ)x, Y. Πρόταση 3.3.3. Για το τανυστικό πεδίο A θ (ξ) ισχύουν τα εξής: A θ (ξ) = J θ A ξ = J θ/2 A ξ J θ/2. Επιπλέον ο A θ (ξ) είναι αυτοπροσηρτημένος (self-adjoint), α θ (JX, Y ) = α θ (X, JY ) και trace(a θ (ξ)) = 0. Απόδειξη. Θα δείξουμε ότι A ξ J θ = J θ A ξ. Για τυχόν X X (M) έχουμε: A ξ J θ X = A ξ (cos θx + sin θjx) = cos θa ξ X + sin θa ξ JX = cos θa ξ X sin θja ξ X = (cos ( θ)i + sin ( θ)j)a ξ X = J θ A ξ X. Άρα A θ (ξ) = J θ A ξ. Τώρα θα δείξουμε ότι: J θ A ξ = J θ/2 A ξ J θ/2. (3.3) Επειδή J θ/2 J θ/2 = I, λόγω της σχέσης (3.3) αρκεί να δείξουμε ότι J θ/2 J θ A ξ = J θ/2 J θ/2 A ξ J θ/2, ή ισοδύναμα J θ/2 J θ A ξ = A ξ J θ/2. 28

Κεφάλαιο 3 3.3. Η μονοπαραμετρική οικογένεια μιας υπερελαχιστικής εμβάπτισης Ομως, λόγω του ότι J θ+φ = J θ J φ έχουμε Άρα αρκεί να δείξουμε ότι J θ/2 J θ = J θ/2. J θ/2 A ξ = A ξ J θ/2, το οποίο προκύπτει άμεσα από το πρώτο σκέλος της απόδειξης. Θα δείξουμε ότι ο A θ (ξ) είναι αυτοπροσαρτημένος. Αφού το τανυστικό πεδίο A ξ είναι αυτοπροσαρτημένο έχουμε, A θ (ξ)x, Y = A ξ J θ X, Y = J θ X, A ξ Y = J θ J θ X, J θ A ξ Y = X, A ξ J θ Y = X, A θ (ξ)y. Θα δείξουμε ότι α θ (JX, Y ) = α θ (X, JY ). Εχουμε, α θ (JX, Y ) = α(j θ JX, Y ) = cos θα(jx, Y ) + sin θα(j 2 X, Y ) = cos θα(x, JY ) + sin θα(x, J 2 Y ) = α θ (X, JY ). Θα δείξουμε ότι trace(a θ (ξ)) = 0. Επιλέγουμε ορθομοναδιαίο πλαίσιο e 1,...e 2n του T M ώστε Je 2k 1 = e 2k. Τότε για i περιττό έχουμε Άρα trace(a θ (ξ)) = 0. α θ (e i, e i ) + α θ (e i+1, e i+1 ) = 0, ή α θ (e i, e i ) + α θ (Je i, Je i ) = 0. Λήμμα 3.3.4. Το τανυστικό πεδίο a θ πληροί τις εξισώσεις των Gauss, Codazzi, Ricci, ως προς την κάθετη συνοχή της υπερελαχιστικής εμβαπτίσης f : M n Q n+p Απόδειξη. Πρώτα θα αποδείξουμε ότι ικανοποιείται η εξίσωση Gauss. Εχουμε α θ (X, W ), α θ (Y, Z) α θ (X, Z), α θ (Y, W ) = α(j θ X, W ), α(j θ Y, Z) α(j θ X, Z), α(j θ Y, W ) = α(cos θx + sin θjx, W ), α(cos θy + sin θjy, Z) α(cos θx + sin θjx, Z), α(cos θy + sin θjy, W ) = { cos θα(x, W ) + sin θα(jx, W ), cos θα(y, Z) + sin θα(jy, Z) cos θα(x, Z) + sin θα(jx, Z), cos θα(y, W ) + sin θα(jy, W ). c. 29

Κεφάλαιο 3 3.3. Η μονοπαραμετρική οικογένεια μιας υπερελαχιστικής εμβάπτισης Άρα α θ (X, W ), α θ (Y, Z) α θ (X, Z), α θ (Y, W ) = cos 2 θ( α(x, W ), α(y, Z) α(x, Z), α(y, W )) ) + cos θ sin θ( α(x, W ), α(jy, Z) α(x, Z), α(jy, W ) + α(jx, W ), α(y, Z) α(jx, Z), α(y, W ) ) + sin 2 θ( α(jx, W ), α(jy, Z) α(jx, Z), α(jy, W ) ). (3.4) Επειδή α(jx, Y ) = α(x, JY ), για κάθε X, Y T M έχουμε Επομένως, Οπότε α(x, W ), α(jy, Z) = α(x, W ), α(y, JZ) α(x, Z), α(jy, W ) = α(x, Z), α(y, JW ) α(jx, W ), α(y, Z) = α(x, JW ), α(y, Z) α(jx, Z), α(y, W ) ) = α(x, JZ), α(y, W ) ). ( α(x, W ), α(jy, Z) α(x, Z), α(jy, W ) + α(jx, W ), α(y, Z) α(jx, Z), α(y, W ) ) = ( α(x, W ), α(y, JZ) α(x, Z), α(y, JW ) + α(x, JW ), α(y, Z) α(x, JZ), α(y, W ) ) = (( α(x, W ), α(y, JZ) α(x, JZ), α(y, W ) ) + ( α(x, JW ), α(y, Z) α(x, Z), α(y, JW ) )). ( α(x, W ), α(jy, Z) α(x, Z), α(jy, W ) = (( R(X, Y )JZ, W c (X Y )JZ, W ) + ( R(X, Y )Z, JW c (X Y )Z, JW )). (3.5) Τώρα θα δείξουμε ότι οι δύο όροι του αθροίσματος στην σχέση (3.5) έχουν άθροισμα μηδέν. Εχουμε R(X, Y )JZ, W = JR(X, Y )Z, W, γιατί R(X, Y ) J = J R(X, Y ), άρα και για κάθε Z T M έχουμε R(X, Y ) JZ = J R(X, Y )Z. Οπότε για τυχόν W T M παίρνοντας εσωτερικό γινόμενο έχουμε το ζητούμενο. Επειδή το J είναι ισομετρία έχουμε JR(X, Y )Z, W = JJR(X, Y )Z, JW = J 2 R(X, Y )Z, JW = R(X, Y )Z, JW. 30

Κεφάλαιο 3 3.3. Η μονοπαραμετρική οικογένεια μιας υπερελαχιστικής εμβάπτισης Αυτό συνεπάγεται ότι οι όροι R(X, Y )JZ, W και R(X, Y )Z, JW στην σχέση (3.5) διαγράφονται. Άρα (( R(X, Y )JZ, W c (X Y )JZ, W ) + ( R(X, Y )Z, JW c (X Y )Z, JW )) = ( c (X Y )JZ, W c (X Y )Z, JW ). Από την Πρόταση 3.2.6 που διατυπώσαμε πρέπει c = 0. Τελικά η σχέση (3.4) γράφεται α θ (X, W ), α θ (Y, Z) α θ (X, Z), α θ (Y, W ) = cos 2 θ( α(x, W ), α(y, Z) α(x, Z), α(y, W )) ) + sin 2 θ( α(jx, W ), α(jy, Z) α(jx, Z), α(jy, W ) ) = cos 2 θ( R(X, Y )Z, W c (X Y )Z, W ) sin 2 θ( R(JX, JY )Z, W c (JX JY )Z, W ). Ομως λόγω των ιδιοτήτων του τανυστή R από την Πρόταση 3.1.5, έχουμε Επιπλέον, R(JX, JY )Z, W = R(X, Y )Z, W. (JX JY )Z, W = JY, Z JX, W JX, Z JY, W = JJY, JZ JJX, JW JJX, JZ JJY, JW = Y, JZ X, JW X, JZ Y, JW = (X Y )JZ, JW = J(X Y )Z, JW = (X Y )Z, W. Οπότε φτάσαμε στο συμπέρασμα ότι οι συντελεστές των cos 2 θ και sin 2 θ στην σχέση (3.4) είναι ίσοι, καθώς και ότι οι συντελεστές των cos θ sin θ απαλείφονται. Άρα έχουμε α θ (X, W ), α θ (Y, Z) α θ (X, Z), α θ (Y, W ) = ( R(X, Y )Z, W c (X Y )Z, JW )(cos 2 θ + sin 2 θ) = R(X, Y )Z, W c (X Y )Z, JW, που αποδεικνύει ότι ο α θ ικανοποιεί την εξίσωση του Gauss. Επιπλέον θα δείξουμε ότι το τανυστικό πεδίο α θ πληροί την εξίσωση του Ricci, δηλαδή ( Xα θ )(Y, Z) = ( Y α θ )(X, Z), για κάθε X, Y, Z T M. Εχουμε λοιπόν ( Xα θ )(Y, Z) = X(α θ (Y, Z)) α θ ( X Y, Z) α θ (Y, X Z) = X(α(J θ Y, Z)) α(j θ ( X Y ), Z) α(j θ Y, X Z) = X(α(Y, J θ Z)) α( X Y, J θ Z) α(y, J θ ( X Z)) = ( Xα)(Y, J θ Z) + α( X Y, J θ Z) + α(y, ( X J θ Z) α( X Y, J θ Z) α(y, J θ ( X Z)) = ( Xα)(Y, J θ Z). 31

Κεφάλαιο 3 3.4. Ψευδολόμορφες εμβαπτίσεις Ακριβώς με τον ίδιο τρόπο, δείχνουμε ότι Επειδή όμως έχουμε που αποδεικνύει το ζητούμενο. ( Y α θ )(X, Z) = ( Y α)(x, J θ Z). ( Xα)(Y, J θ Z) = ( Y α)(x, J θ Z), ( Xα θ )(Y, Z) = ( Y α θ )(X, Z), Τέλος για την εξίσωση του Ricci αρκεί να δείξουμε ότι R (X, Y )ξ = α θ (X, A θ (ξ)y ) α θ (Y, A θ (ξ)x). Υπολογίζουμε το δεύτερο μέλος και έχουμε α θ (X, A θ (ξ)y ) α θ (Y, A θ (ξ)x) = α(j θ X, A θ (ξ)y ) α(j θ Y, A θ (ξ)x) = α(j θ X, A ξ J θ Y ) α(j θ Y, A ξ J θ X) = α(x, J θ A ξ J θ Y ) α(y, J θ A ξ J θ X) = α(x, A ξ Y ) α(y, A ξ X). Το τελευταίο λόγω της εξίσωσης Ricci για το α ισούται με R (X, Y )ξ, και η απόδειξη είναι ολοκληρωμένη. Συμπέρασμα των ανωτέρω είναι το επόμενο θεώρημα. Θεώρημα 3.3.5. [7] Εστω M ένα απλά συνεκτικό πολύπτυγμα Riemann και f : M n Q n+p c υπερελαχιστική εμβάπτιση με δεύτερη θεμελιώδη μορφή α f. Για κάθε θ S 1 R/2πZ υπάρχει υπερελαχιστική εμβάπτιση f θ : M n Q n+p c, μοναδική ως προς ισομετρία του Q n+p c, καθώς και ορθογώνιο και παράλληλο τανυστικό πεδίο Φ : T f T f θ ώστε α fθ = Φ α f. της υπερελαχι- Απόδειξη. Η ύπαρξη και η μοναδικότητα ως προς ισομετρία του Qc n+p στικής εμβαπτίσεως f θ προκύπτουν από το Θεώρημα 2.2.12. Η f θ, ονομάζεται αντίστοιχη μοναπαραμετρική οικογένεια της υπερελαχιστικής εμβάπτισης f. Στην συνέχεια θα υποθέτουμε πάντα για την αντίστοιχη μονοπαραμετρική οικογένεια της υπερελαχιστικής εμβάπτισης f : M N, ότι το M είναι απλά συνεκτικό. 3.4 Ψευδολόμορφες εμβαπτίσεις Γενικά, η αντίστοιχη μονοπαραμετρική οικογένεια υπερελαχιστικών εμβαπτίσεων μιας υπερελαχιστικής εμβάπτισης f : M n Q n+p c είναι μη τετριμμένη. Δηλαδή για θ 1 θ 2 mod π, οι απεικονίσεις f θ1, f θ2 δεν είναι ίσες ως προς ισομετρία του Qc n+p [7]. Στην ενότητα αυτή θα εξετάσουμε πότε μια ισομετρική εμβάπτιση ενός πολυπτύγματος Kaehler σε χώρο σταθερής καμπυλότητας έχει τετριμμένη αντίστοιχη μονοπαραμετρική οικογένεια. 32

Κεφάλαιο 3 3.4. Ψευδολόμορφες εμβαπτίσεις Λήμμα 3.4.1. Οι ισομετρικές εμβαπτίσεις f θ+π και f θ της αντίστοιχης μονοπαραμετρικής οικογένειας υπερελαχιστικών εμβαπτίσεων διαφέρουν κατά μια ισομετρία του Q n+p c. Απόδειξη. Για τυχόν X, Y T M έχουμε α θ+π (X, Y ) = α(j θ+π X, Y ) = α(cos (θ + π)x + sin (θ + π)jx, Y ) = α( cos θx sin θjx, Y ) = α(j θ X, Y ) = α θ (X, Y ). Άρα α θ+π = α θ. Ακόμη θεωρούμε τον ισομορφισμό δεσμών G : T f θ T f θ+π, Gξ = ξ. Προφανώς η G προφανώς είναι ισομετρία. Επιπλέον για τυχόν X, Y T M και ξ, η T f έχουμε G α fθ (X, Y ) = α fθ+π (X, Y ), G f θ X ξ = f θ+π X G(ξ). Οπότε σύμφωνα με το Θεώρημα 2.2.12, υπάρχει ισομετρία τ με f θ+π = τ f θ. Ορισμός 3.4.2. Μια ισομετρική εμβάπτιση f ενός πολυπτύγματος Kaehler με μιγαδική δομή J, θα καλείται ψευδολόμορφη αν υπάρχει ένα ορθογώνιο τανυστικό πεδίο T : T f T f, παράλληλο προς την κάθετη συνοχή, τέτοιο ώστε για κάθε ξ T f. A T ξ = A ξ J, Πρόταση 3.4.3. Κάθε ψευδολόμορφη ισομετρική εμβάπτιση είναι υπερελαχιστική. Απόδειξη. Εστω f ψευδολόμορφη συνάρτηση και τανυστικό πεδίο T ώστε A T ξ = A ξ J για κάθε κάθετο ξ. Ο A ξ J είναι αυτοπροσαρτημένος, αφού είναι πίνακας ενός αυτοπροσαρτημένου γραμμικού μετασχηματισμού, εφόσον ο A T ξ είναι συμμετρικός. Η f είναι υπερελαχιστική, γιατί για κάθε X, Y T M, ξ T f έχουμε A ξ JX, Y = X, A ξ JY, α f (JX, Y ), ξ = α f (X, JY ), ξ. Τέλος, για κάθε X, Y T M, ξ, T f έχουμε A T ξ X, Y = A ξ JX, Y, α f (X, Y ), T ξ = α f (JX, Y ), ξ = T α f (JX, Y ), T ξ, T α f (JX, Y ) = α f (X, Y ). 33

Κεφάλαιο 3 3.4. Ψευδολόμορφες εμβαπτίσεις Πρόταση 3.4.4. Η f : M n R n+p είναι ψευδολόμορφη αν και μόνο αν, η μιγαδική δομή του M n μπορεί να επεκταθεί σε μια παράλληλη μιγαδική δομή J της εφαπτόμενης δέσμης του R n+p, που όταν περιοριστεί στην f να έχουμε A Jξ = A ξ J. Οι ψευδολόμορφες εμβαπτίσεις, είναι ακριβώς οι ολόμορφες ισομετρικές εμβαπτίσεις του R n+p = C m, ως προς ισομετρία του R n+p. Απόδειξη. Εστω f ψευδολόμορφη. Τότε υπάρχει ένα ορθογώνιο τανυστικό πεδίο T στην κάθετη δέσμη της f, παράλληλο προς την κάθετη συνοχή, τέτοιο ώστε A T ξ = A ξ J για κάθε κάθετο ξ. Άρα A T 2 ξ = A T (T ξ) = A T ξ J = A ξ JJ = A ξ, οπότε A (T 2 +I)ξ = 0. Η εικόνα του παράλληλου τανυστή T 2 +I ειναι παράλληλη και ολικά γεωδαιτική υποδέσμη της κάθετης δέσμης. Οπότε η εικόνα αυτού D = Im(T 2 + I) οφείλει να είναι μηδέν, διαφορετικά η f θα υποβίβαζε την τάξη. Πράγματι, αν ήταν T 2 I τότε, επειδή το τανυστικό πεδίο T 2 + I είναι παράλληλο, το ορθογώνιο συμπλήρωμα της εικόνας του T 2 + I στον T f είναι παράλληλη υποδέσμη που περιέχει τον πρώτο κάθετο χώρο N 1 (x), αφού A (T 2 +I) = 0. Άρα από το Λήμμα 2.2.20, η f υποβιβάζει την τάξη. Οπότε έχουμε ότι T 2 = I. Για το δεύτερο σκέλος του λήμματος, παρατηρούμε ότι R n+p = T f(x) R n+p = df x (T x M) Tx f, και η σχέση A Jξ = A ξ J, ξ T f, είναι ισοδύναμη με την α(x, JY ) = T α(x, Y ), για κάθε X, Y T M, Ορίζουμε τανυστικό πεδίο J : R n+p R n+p, με J(df x (X x )) = df x (J x X x ), X x T x M και J(ξ) = T x ξ, ξ T x f. Τότε για κάθε X, Y T M, χρησιμοποιώντας τον τύπο του Gauss και τον ορισμό που δώσαμε, έχουμε ( f J)(df(Y X )) = f J(df(Y X )) J( f Xdf(Y )) = f X (df(jy )) J(df( X Y ) + α(x, Y )) = df( X JY ) + α(x, JY ) J(df( X Y )) Jα(X, Y ) = df( X JY ) + α(x, JY ) df(j X Y ) + T α(x, Y ) = 0, γιατί df( X JY ) = df(j X Y ), αφού J παράλληλο. Ακόμη για κάθε ξ T f, X T M, χρησιμοποιώντας τον τύπο Weingarten και το γεγονός ότι X T ξ = T Xξ, αφού T παράλληλο έχουμε, ( f X J)(ξ) = f X (T ξ) J( f X ξ) = df(a T ξ X) XT ξ J( df(a ξ X) + f X ξ) = df(a T ξ X) T ( ξ) + df(j(a ξ X)) + T ( Xξ) = df(a T ξ X + JA ξ X) = df((a ξ J + JA ξ )X) = 0. 34

Κεφάλαιο 3 3.4. Ψευδολόμορφες εμβαπτίσεις Είναι προφανές ότι J df = df J. Οπότε οι ψευδολόμορφες εμβαπτίσεις, είναι ακριβώς οι ολόμορφες ισομετρικές εμβαπτίσεις, ως προς ισομετρία του R n+p. Αντίστροφα, αν το J είναι παράλληλο κατά μήκος της f στον R n+p = C m τότε μπορεί να επεκταθεί σε μιγαδική δομή J του R n+p, το οποίο είναι συζυγές με την κανονική μιγαδική δομή του J στον C m, στην ορθογώνια ομάδα O(n + p). Αυτό σημαίνει ότι αν J 0, J δύο μιγαδικές δομές, αυτές είναι συζυγείς στην ορθογώνια ομάδα O(n + p) αν και μόνο αν υπάρχει πίνακας P O(n + p) ώστε J = P J 0 P 1. Θεώρημα 3.4.5. Ας είναι f θ η αντίστοιχη μονοπαραμετρική οικογένεια της υπερελαχιστικής εμβάπτισης f : M n Q n+p c. Τότε η f θ είναι τετριμμένη, αν η f είναι ψευδολόμορφη. Αντίστροφα, αν f θ1, f θ2 διαφέρουν κατά μια ισομετρία του Qc n+p, για θ 1 θ 2 modπ τότε η f είναι ψευδολόμορφη. Ειδικότερα αν c = 0 τότε η f είναι ολόμορφη. Απόδειξη. Εστω f ψευδολόμορφη, τότε από την Πρόταση 3.4.4 υπάρχει μια παράλληλη επέκταση J της μιγαδικής δομής του M. Θέτουμε J θ = cos θi + sin θj. Τότε A Jθ ξ = A ξ J θ. Πράγματι έχουμε A Jθ ξ = A (cos θi+sin θj)ξ = A ξ cos θi + A ξ sin θj = A ξ (cos θi + sin θj) = A ξ J θ. Από την τελευταία σχέση έχουμε ισοδύναμα ότι α θ = J θ α και επειδή προφανώς το J θ παράλληλο στην κάθετη δέσμη έχουμε ότι όλες f θ είναι ίσες ως προς ισομετρία του Q n+p c, λόγω του Θεωρήματος 2.2.12. Αντίστροφα, χωρίς βλάβη της γενικότητας, έστω θ 1 = 0 < θ 2 = θ < π. Εφόσον οι f θ, f 0 είναι ίσες ως προς ισομετρία του Qc n+p, υπάρχει παράλληλο ορθογώνιο τανυστικό πεδίο Φ : T f T f θ, ώστε για κάθε X, Y T M ή ισοδύναμα για κάθε ξ T f, Άρα, για κάθε X T M : οπότε Συνεπώς, Φα f (X, Y ) = α fθ (X, Y ), Φα f (X, Y ), ξ = α fθ (X, Y ), ξ, α f (X, Y ), Φ 1 ξ = α fθ (X, Y ), ξ, A Φ 1 ξx, Y = α(j θ X, Y ), ξ = A ξ (J θ X), Y. A Φ 1 ξx = A ξ (J θ X), A Φ 1 ξ = A ξ (J θ ) = A ξ (cos θi + sin θj). A Φ 1 ξ = cos θa ξ + sin θa ξ J, 35