LaT E X, R & SLACKWARE LINUX

Πτυχιακη Εργασια Εκτιµηση Κινδυνου Αγορας µε µετρα Value at Risk σε λογισµικο ελευθερου κωδικα : LaT E X, & του Κωνσταντινου Τσαρδουνη Επιβλέπων : Επίκουρος Καθηγητής Γεώργιος Εµµ. Χάλκος Τµήµα Οικονοµικών Επιστηµών Πανεπιστήµιο Θεσσαλίας Βόλος, 2006

Εκτίµηση Κινδύνου Αγοράς µε µέτρα Value at Risk σε λογισµικό ελεύθερου κώδικα : LaT E X, R & SLACKWARE LINUX

Κεντρική Βιβλιοθήκη Πανεπιστηµίου Θεσσαλίας : Τσαρδούνης, Κωνσταντίνος (Κωνσταντίνος Τσαρδούνης) Εκτίµηση Κινδύνου Αγοράς µε µέτρα Value at Risk: σε λογισµικό ελεύθερου κώδικα : LaTEX, R & slackware linux / του Τσαρδούνη Κωνσταντίνου Επιβλέπων : Επίκουρος Καθηγητής Γεώργιος Εµµ. Χάλκος έκδοση 0.09, 21 Φεβρουαρίου 2006 Περιέχει ευρετήριο. 1. ιαχείριση Κινδύνου. 2. Λογισµικό ελεύθερου κώδικα. Γκρίζα Βιβλιογραφία Πτυχιακές Εργασίες Οικονοµικού Τµήµατος ΠΤ - ΟΕ 2006 ΤΣΑ

στους γονείς µου, που µου έδωσαν την ευκαιρία να ασχοληθώ µε τη µουσική

Περιεχόµενα Κατάλογος Σχηµάτων Κατάλογος Πινάκων Ευχαριστίες Περίληψη Abstract Πρόλογος vii ix xi xiii xv xvii 1 Κίνδυνος Αγοράς και Value at Risk 3 1.1 ιαχείριση Κινδύνου....................... 3 1.1.1 Κίνδυνος Αγοράς - Market Risk............. 4 1.1.2 Πιστωτικός Κίνδυνος - Credit Risk............ 4 1.1.3 Επιχειρησιακός Κίνδυνος - Operational Risk...... 5 1.1.4 Κίνδυνος Υπόληψης - Reputation Risk......... 6 1.2 Value at Risk (VaR)....................... 6 1.2.1 Εισαγωγή......................... 6 1.2.2 Ορισµός.......................... 6 1.2.3 Αδυναµίες......................... 8 1.3 Conditional VaR (CVaR)..................... 9 1.4 Υπολογισµός του VaR...................... 10 1.4.1 Εισαγωγή......................... 10 1.4.2 Μέθοδος Συνδιακύµανσης................ 12 1.4.3 Μέθοδος Ιστορικής Προσοµοίωσης............ 15 1.5 Επανέλεγχος - Backtesting................... 17 1.5.1 Υπόδειγµα Ρυθµού Αποτυχίας.............. 17 1.6 Ελεγχος Πίεσης - Stress Testing................ 19 1.7 Αξιολόγηση των µέτρων VaR και CVaR............. 20

iv Περιεχόµενα 2 Μεθοδολογία 23 2.1 εδοµένα............................. 23 2.1.1 Αποδόσεις......................... 25 2.2 Οικονοµετρικοί Ελεγχοι..................... 25 2.2.1 Στασιµότητα........................ 25 2.2.2 Κανονικότητα....................... 27 2.2.3 ιαδικασίες GARCH.................... 29 2.3 Περιβάλλον εργασίας....................... 32 2.3.1 Σύντοµη εισαγωγή στο LaTEX............... 32 2.3.2 Το περιβάλλον R...................... 33 2.3.3 Το λειτουργικό slackware linux............. 35 2.4 Υπολογισµοί µέτρων Value at Risk............... 35 3 Εµπειρικά Αποτελέσµατα και Μελλοντικές Επεκτάσεις 37 3.1 Ερµηνεία Αποτελεσµάτων.................... 37 3.2 Συµπεράσµατα.......................... 38 3.3 Μελλοντικές Επεκτάσεις..................... 39 Α Πρόγραµµα σε AWK 43 Β Εντολές στην R για εξαγωγή των αποτελεσµάτων 45 Β.1 Κύριος κώδικας.......................... 45 Β.2 Προσοµοίωση Monte Carlo.................... 57 Β.3 Γραφικές Παραστάσεις Κειµένου................. 60 Β.4 Γραφικές Παραστάσεις Παραρτήµατος Ε............ 62 Γ Αποτελέσµατα Οικονοµετρικών Ελέγχων 65 Γ.1 Ελεγχοι Στασιµότητας...................... 65 Γ.2 Ελεγχοι Κανονικότητας..................... 66 Γ.3 ιαδικασία GARCH(1, 1)..................... 68 Γ.3.1 Εκτίµηση GARCH(1, 1).................. 68 Γ.3.2 Ελεγχος Engle...................... 69 Υπολογισµοί και Backtesting µέτρων VaR και CVaR 71.1 Υπολογισµοί µέτρων VaR και CVaR............... 71.2 Backtesting µέτρων VaR..................... 72 Ε Γραφικές Παραστάσεις 75 Ε.1 Παρουσίαση........................... 75 Ε.2 ιαγράµµατα........................... 76 ϝ Περιεχόµενα συνοδευτικού CD 91 Τσαρδούνης Κωνσταντίνος

Περιεχόµενα v Βιβλιογραφία 93 Ευρετήριο 102 Τµήµα Οικονοµικών Επιστηµών Πανεπιστήµιο Θεσσαλίας

Κατάλογος Σχηµάτων 1.1 ύο χρονολογικές σειρές 500 παρατηρήσεων. Ποια είναι περισσότερο µεταβλητή και ποια πιο ϱιψοκίνδυνη ;.......... 7 1.1.1 Αποδόσεις µε VaR 7, 0% και τυπική απόκλιση 0, 7%... 7 1.1.2 Αποδόσεις µε VaR 0, 02% και τυπική απόκλιση ίση µε 1, 0%............................. 7 1.2 Κατανοµές µε διαφορετικούς συντελεστές κύρτωσης...... 12 1.2.1 Μια κατανοµή µε υψηλές κεντρικές τιµές και παχιές ουρές. 12 1.2.2 Η τυποποιηµένη κανονική κατανοµή............ 12 2.1 ύο χρονολογικές σειρές 320 παρατηρήσεων. Ποια έχει τη στα- ϑερότερη διακύµανση στο πέρασµα του χρόνου ;........ 30 2.1.1 Σταθερές τυπικές αποκλίσεις που αφορούν οµοσκεδαστικότητα (υπό συνθήκη ή µη)................. 30 2.1.2 Ασταθείς τυπικές αποκλίσεις που αφορούν ετεροσκεδαστικότητα (υπό συνθήκη ή µη)................ 30

Κατάλογος Πινάκων Γ.1 Ελεγχοι Στασιµότητας...................... 65 Γ.2 Ελεγχοι Κανονικότητας..................... 67 Γ.3 Εκτίµηση µοντέλων GARCH(1, 1)................ 68 Γ.4 Ελεγχοι Engle.......................... 69

Ευχαριστίες Ευχαριστώ τον καθηγητή µου Γεώργιο Εµµ. Χάλκο για όλα. Επίσης, τους καθηγητές Ηλία Κεβόρκ, Στέφανο Παπαδάµου και Παναγιώτη Ευαγγελόπουλο που άµεσα ανταποκρίθηκαν κάθε ϕορά που χρειάστηκα τη ϐοήθειά τους. Τους συµφοιτητές µου Σωκράτη Κατσιούπη, Catalina Florea, Παντελή Παπαγεωργίου, Αγγελική Γκίζα, Παναγιώτη Πετρόπουλο, Εµµανουήλ Βογιατζάκη και Ειρήνη ράκου για την ανεκτίµητη ϐοήθειά τους, ιδιαίτερα κατά τη διάρκεια των σπουδών µου. Τον ϕίλο µου Αναστάσιο Σωτηρόπουλο που επέµεινε να ασχοληθώ µε λογισµικό ελεύθερου κώδικα, τον Ευστράτιο Λιβάνη για τον προσανατολισµό που µου έδωσε προς τον χρηµατοοικονοµικό τοµέα, την Ερµιόνη Χριστοπούλου για την ϐοήθεια που µου προσέφερε στην απόκτηση ϐιβλιογραφικών πηγών και τους Χρυσαυγή ελή και Γεώργιο Τσαρδούνη για το γλωσσικό και συντακτικό έλεγχο του κειµένου. Φυσικά κάθε λάθος ϐαρύνει αποκλειστικά τον υποφαινόµενο. Επίσης, το προσωπικό της Κεντρικής Βιβλιοθήκης του Πανεπιστηµίου Θεσσαλίας, που όσο υπήρχε ελεύθερη πρόσβαση στο ιαδίκτυο, µου χάρισε ένα περιβάλλον µελέτης και εργασίας όπου πραγµατικά χαιρόµουν να δη- µιουργώ. Το Τµήµα Μαθηµατικών του Πανεπιστηµίου Αιγαίου και τους Αντρέα Τσολοµύτη και Απόστολο Συρόπουλο για τη γραµµατοσειρά Kerkis αλλά και τη γενικότερη συνεισφορά τους, που έκανε ευκολότερη στους Ελληνες τη χρήση του LaTEX. Η ϐαθύτερη, ωστόσο, ευγνωµοσύνη µου κατευθύνεται προς τον κάθε έναν που έχει συνεισφέρει στην ανάπτυξη και διάδοση λογισµικού ελεύθερου κώδικα.

Περίληψη Ο κίνδυνος αγοράς ενός χαρτοφυλακίου αναφέρεται στην πιθανότητα χρη- µατοοικονοµικών απωλειών εξαιτίας µιας συντονισµένης κίνησης οικονοµικών µεταβλητών όπως το επιτόκιο και οι συναλλαγµατικές ισοτιµίες. Η ποσοτικοποίηση του κινδύνου της αγοράς είναι σηµαντική τόσο για τους χρη- µατοοικονοµικούς οργανισµούς όσο και για τις ϱυθµιστικές αρχές, ώστε να εξασφαλίζεται η επάρκεια των χρηµατοοικονοµικών ϱοών και η ασφάλεια των κεφαλαίων. Ο τυπικός τρόπος µέτρησης του κινδύνου αγοράς γίνεται µε ένα συντηρητικό µονόπλευρο διάστηµα εµπιστοσύνης στις απώλειες χαρτοφυλακίου για µικρό ορίζοντα πρόβλεψης. Αυτό το σύνορο των απωλειών ονοµάζεται συχνά Capital-at-Risk ή Value-at-Risk (VaR), δηλαδή κεφάλαιο ή αξία σε κίνδυνο. Στη ϐιβλιογραφία έχουν καταχωρηθεί πολλές παραλλαγές και επεκτάσεις του Value-at-Risk, µία εκ των οποίων είναι η Conditional Value-at-Risk (CVaR) που µετρά την αναµενόµενη απόδοση στην περίπτωση που η απόδοση του χαρτοφυλακίου είναι χαµηλότερη από την πρόβλεψη του µέτρου Value-at- Risk. Η παρούσα εργασία µετρά τον κίνδυνο της αγοράς έτσι όπως προκύπτει από την ατοµική επένδυση σε δείκτες του Χρηµατιστηρίου Αθηνών µε τα µέτρα κινδύνου Value-at-Risk και Conditional Value-at-Risk και επιβεβαιώνει τα κυριότερα συµπεράσµατα της ϐιβλιογραφίας ως προς τις αδυναµίες αυτών των µέτρων. Για την εκτίµηση των µέτρων χρησιµοποιούνται η παραµετρική µέθοδος της συνδιακύµανσης, η διορθωµένη µορφή της µε το ανάπτυγµα Cornish-Fisher, και η µέθοδος της ιστορικής προσοµοίωσης. Τα µέτρα αυτά ελέγχονται (γίνεται backtesting) µε τον έλεγχο Kupiec και µε τη ϐοήθεια προσοµοιώσεων Monte Carlo. Για την ανάλυση δηµιουργήθηκε ένα πρόγραµµα στο περιβάλλον ελεύθε- ϱου κώδικα R.

Abstract Market risk of a portfolio is related to the possibility of financial loss due to combined movement of economic variables, such as interest and exchange rates. Quantification of market risk is of crucial importance for the financial organisations and regulatory authorities, as it ensures the safety of the capital and the adequacy of financial flows. The typical way of calculating market risk regards a conservative onetail confidence interval of the losses of the portfolio for a short forecast horizon, which is called Capital-at-Risk (CaR) or Value-at-Risk (VaR). In the bibliography a lot of variations of the basic VaR measure have been developed. One of them is the coherent risk measure Conditional Valueat-Risk (CVaR), which measures the expected loss in case the loss exceeds the forecast of Value-at-Risk. This thesis measures market risk of one-asset portfolios, based on indices of the Athens Stock Exchange Market using VaR and CVaR measures, confirming the basic consequents of the bibliography regarding their weaknesses. For the estimation of these measures two methods are used: the parametric method of covariance, along with the Cornish-Fisher approximation for non-normal returns, and the historical simulation. The measures are backtested with Kupiec test with the aid of Monte Carlo simulation. The analysis is elaborated with the assistance of a program that was developed in the free source environment R for the purposes of this thesis.

Πρόλογος Οι επενδυτικές και εµπορικές τράπεζες, µεταξύ άλλων οργανισµών, κρατούν χαρτοφυλάκια µε πολύπλοκες σχέσεις µετοχών των οποίων η αξία εξαρτάται από εξωγενείς µεταβλητές, όπως το επιτόκιο και οι συναλλαγµατικές ισοτιµίες. [24] Η παρούσα πτυχιακή εργασία παρουσιάζει µια προσπάθεια µέτρησης του κινδύνου της αγοράς που ενέχουν υποθετικές µεµονωµένες τοποθετήσεις σε ϐασικούς και κλαδικούς δείκτες του Χρηµατιστηρίου Αξιών Αθηνών. Η προσπάθεια αυτή γίνεται για πρώτη ϕορά, από όσο µπορώ να γνωρίζω, εξ ολοκλήρου σε ελεύθερο λογισµικό (λογισµικό ανοιχτού κώδικα), στην Ελλάδα, δίνοντας ένα αποτέλεσµα που ϐασίζεται σε εργαλεία που ανυποψίαστα λείπουν από τις εργαλειοθήκες των σύγχρονων ϕοιτητών. Η σηµαντικότερη συµβολή της εργασίας ϐρίσκεται στα παραρτήµατα αλλά κυρίως στο συνοδευτικό CD, όπου µπορούν να ϐρεθούν το κείµενο και ο κώδικας που έχουν χρησιµοποιηθεί (ϐλ. Παράρτηµα ϝ ). Ετσι η µεθοδολογία που έχει ακολουθηθεί µπορεί να αναπαραχθεί, ελεγχθεί, αλλά κυρίως να επεκταθεί µε τον ευκολότερο τεχνολογικά διαθέσιµο τρόπο. Κλείνοντας, ϑα χαρώ πολύ να ενηµερωθώ για κάθε προσπάθεια επέκτασης και χρήσης της εργασίας µου. Τσαρδούνης Κωνσταντίνος costas.magnuse@gmail.com http://www.costis.name 21 Φεβρουαρίου 2006, Θεσσαλονίκη

Κύριο Μέρος

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Κίνδυνος Αγοράς και Value at Risk Οι άνθρωποι δεν επιδιώκουν ούτε την ευτυχία ούτε την ελευθερία ούτε τη δικαιοσύνη, αλλά, πρώτα και πάνω απ όλα, την ασφάλεια. α Isaiah Berlin, Τέσσερα οκίµια περί Ελευθερίας. [1] Hobbes α 1.1 ιαχείριση Κινδύνου Οι αντικειµενικοί στόχοι της διαχείρισης κινδύνου (risk management), σύµφωνα µε τον Best [13] είναι : η ϐελτίωση της χρηµατοοικονοµικής απόδοσης ενός οργανισµού και η εγγύηση πως ένας οργανισµός δε γψτθα υποστεί υπερβολικές απώλειες. Αν και τα ανωτέρω υπαινίσσονται ισχυρούς δεσµούς µεταξύ της διαχείρισης κινδύνου και του ελέγχου του δεν συµβαίνει αυτό ακριβώς. Η διαχείριση κινδύνου αποτελείται από τέσσερα ϐασικά στάδια :

4 Κίνδυνος Αγοράς και Value at Risk κατανόηση των κινδύνων στους οποίους εκτίθεται ο χρηµατοοικονοµικός οργανισµός, µέτρηση αυτών των κινδύνων, έλεγχος του κινδύνου και µετάδοση ή ερµηνεία της γνώσης για τον κίνδυνο. Εποµένως ο έλεγχος του κινδύνου είναι ένα και όχι το µόνο από τα στάδια διαχείρισης κινδύνου. Στην εργασία αυτή ϑα ασχοληθούµε µε το δεύτερο στάδιο, τη µέτρηση κινδύνου. Η πλήρης κατανόηση του χρηµατοοικονοµικού περιβάλλοντος εντοπίζει τον χώρο στον οποίο κινείται ο οργανισµός και µε τη σωστή ϑεµελίωση της γεωµετρίας του, προχωρά στη µέτρηση του κινδύνου. Οσο ο κίνδυνος είναι κατανοητός και µε ακρίβεια ποσοτικοποιηµένος δεν υπάρχει κάτι για να ελεγχθεί. Επίσης, είναι ευθύνη των υπεύθυνων διαχείρισης κινδύνου να µεταδώσουν και να εκπαιδεύσουν τα ανώτερα στελέχη τους τη ϕύση και τη κλίµακα των κινδύνων που αντιµετωπίζει ο οργανισµός. Κλείνοντας, ο κίνδυνος έχει αληθινό νόηµα µόνο αν αποφέρει άµεση ή έµµεση χρηµατοοικονοµική απώλεια. Οι χρηµατοοικονοµικοί οργανισµοί αντιµετωπίζουν πολλούς κινδύνους που µπορούν, αν δεν ελεγχθούν, να αυξήσουν το συνολικό χρηµατοοικονοµικό κίνδυνο. Ακολουθεί η παρουσίαση τεσσάρων ϐασικών κατηγοριών κινδύνου, πάντα σύµφωνα µε τον Best. [13] 1.1.1 Κίνδυνος Αγοράς - Market Risk Ο κίνδυνος της αγοράς είναι ο κίνδυνος απώλειας που προκύπτει από τις αλλαγές στην αξία εµπορεύσιµων περιουσιακών στοιχείων (tradable assets). Exempli gratia, εάν µια τράπεζα έχει ϑέση 1 εκατοµµυρίου σε χρυσό τότε είναι εκτεθειµένη στον κίνδυνο της πτώσης της αξίας του χρυσού. Υπάρχουν πολλές διαφορετικές κατηγορίες περιουσιακών στοιχείων (επενδυτικά επιτόκια, νοµίσµατα, χρεόγραφα, εµπορεύµατα κ. ά.) και σχεδόν άπειρη ποικιλία χρηµατοοικονοµικών προϊόντων, εκ των οποίων όλα δηµιουργούν εκθέσεις στον κίνδυνο της αγοράς. Η παρούσα εργασία εστιάζει σε τρόπους ποσοτικοποίησης και ελέγχου του κινδύνου της αγοράς που έχουν καταχωρηθεί στη ϐιβλιογραφία υπό τη σκέπη του όρου Value at Risk (ϐλ. 1.2). 1.1.2 Πιστωτικός Κίνδυνος - Credit Risk Ο πιστωτικός κίνδυνος αναφέρεται στην χρηµατοοικονοµική απώλεια που προκύπτει όταν µια επιχείρηση µε την οποία έχει συµβόλαιο µια τράπεζα το Τσαρδούνης Κωνσταντίνος

ιαχείριση Κινδύνου 5 αθετεί (default) ή όταν το συναίσθηµα της αγοράς καθορίζει πως η επιχείρηση είναι αρκετά πιθανό να αθετήσει τις υποσχέσεις της. Μέτρα πιστωτικού κινδύνου, παρόµοια µε το Value at Risk έχουν αναπτυχθεί από τράπεζες, όπως η JP Morgan [49], που ϐασίζονται στη µεταβλητότητα των τιµών των εταιρικών οµολογιών εξαιτίας µιας αλλαγής στην αντιληπτή από τον εκδότη αξία ή ενός πραγµατικού πιστωτικού γεγονότος, δηλαδή αθέτησης. 1.1.3 Επιχειρησιακός Κίνδυνος - Operational Risk Ο επιχειρησιακός κίνδυνος είναι µια ευρεία κατηγορία κινδύνου που µπο- ϱεί να αποτελέσει εκτενή απώλεια χρηµάτων. Ακολουθούν µερικές υποκατηγορίες. Απώλεια ελέγχου (control failure). Αποτελεί το µεγαλύτερο κίνδυνο για όλες τις τράπεζες. Παράδειγµα η αδυναµία ελέγχου των ϑέσεων στην αγορά, που δηµιουργούνται µέσα σε µικρά εξωχώρια καταστήµατα της τράπεζας. Κίνδυνος ϱευστότητας (liquidity risk). Είναι ο κίνδυνος απώλειας λόγω ανάγκης µεγαλύτερης χρηµατοδότησης από ό,τι είναι ικανός ο οργανισµός να αποκτήσει. Κίνδυνος χρηµατικών µεταφορών (money transfer risk). λόγω λανθασµένων ή αποτυχηµένων διακανονισµών. Ο κίνδυνος Κίνδυνος υποδειγµάτων (model risk). Ο κίνδυνος απωλειών λόγω ανεπάρκειας του οργανισµού να αξιολογήσει τα χρηµατοοικονοµικά του όργανα και υποδείγµατα (µοντέλα) ορθά. Κίνδυνος συστηµάτων (systems risk). Αποτυχηµένα ή καθυστερηµένα σχέδια στοιχίζουν σε έναν οργανισµό αρκετά χρήµατα, όπως και τα συστήµατα που αποτυγχάνουν να λειτουργήσουν ορθά. Η εκτίµηση του επιχειρησιακού κινδύνου ποσοτικοποιείται δύσκολα, κα- ϑώς κάθε απώλεια είναι διαφορετική και σπάνια συµβαίνουν σηµαντικές απώλειες και έτσι σπάνια επιχειρείται η µέτρησή του. Τµήµα Οικονοµικών Επιστηµών Πανεπιστήµιο Θεσσαλίας

6 Κίνδυνος Αγοράς και Value at Risk 1.1.4 Κίνδυνος Υπόληψης - Reputation Risk Ο κίνδυνος υπόληψης είναι ο κίνδυνος χρηµατοοικονοµικών απωλειών που προκύπτουν από την απώλεια κύκλου εργασιών λόγω µείωσης της υπόληψης του οργανισµού. Αν και η απώλεια υπόληψης µπορεί να αποτελεί αργή ϕθορά, συνήθως συµβαίνει λόγω ενός λάθους κρίσης για την εκτέλεση ενός σηµαντικού µέρους εταιρικών εργασιών. Εάν η αγορά, για παράδειγµα, αντιλαµβάνεται πως µια τράπεζα έχει αποτύχει να διαχειριστεί επιτυχώς κάποιο σηµαντικό κοµµάτι εργασίας τότε είναι απολύτως ϕυσικό οι πελάτες της να σκεφτούν να αλλάξουν τραπεζικό οργανισµό. 1.2 Value at Risk (VaR) 1.2.1 Εισαγωγή Ο Daníelson [25] προσδιορίζει τρεις ϐασικές έννοιες κινδύνου αυξανόµενης πολυπλοκότητας : Μεταβλητότητα. Το παραδοσιακό µέτρο κινδύνου, που είναι ουσιαστικά ανεπαρκές για τον χρηµατοοικονοµικό κίνδυνο. Αναφέρεται στην τυπική απόκλιση των αποδόσεων. Ωστόσο είναι εξαιρετικά παραπλανητική έννοια κινδύνου (ϐλ. Σχήµα 1.1). Value at Risk. Το ϑεµέλιο των κανονισµών κινδύνου της αγοράς, που αν και αναπόφευκτο κάθε άλλο παρά αψεγάδιαστο είναι. Συνεπή µέτρα κινδύνου. Ο προτεινόµενος τρόπος µέτρησης κινδύνου, που δυστυχώς ενέχει δύσκολο υπολογισµό. Βάσει της ιεθνούς Τράπεζας ιακανονισµών [15], το Value at Risk είναι ϐιοµηχανικό πρότυπο για τον προσδιορισµό της έκθεσης στον κίνδυνο της αγοράς σχετικά µε τους υπολογισµούς για την επάρκεια κεφαλαιακών αποθεµάτων και ενθαρρύνεται έντονα η χρήση από ϱυθµιστικές υπηρεσίες (regulatory agencies), όπως η Morgan Guaranty Trust Company, Global Research. [49] 1.2.2 Ορισµός Η Αξία σε Κίνδυνο (Value at Risk ή VaR), σύµφωνα µε τον Ramazan [52] είναι ένα µέτρο της µέγιστης δυνατής αλλαγής στην τιµή ενός χαρτοφυλακίου από χρηµατοοικονοµικά εργαλεία σε δεδοµένο επίπεδο εµπιστοσύνης. Το Τσαρδούνης Κωνσταντίνος

Value at Risk (VaR) 7 Returns 0.08 0.06 0.04 0.02 0.00 0.02 0.04 Returns 0.08 0.06 0.04 0.02 0.00 0.02 0.04 0 100 200 300 400 500 Time 0 200 400 600 800 1000 Time 1.1.1: Αποδόσεις µε VaR 7, 0% και τυπική απόκλιση 0, 7%. 1.1.2: Αποδόσεις µε VaR 0, 02% και τυπική απόκλιση ίση µε 1, 0%. Σχήµα 1.1: ύο χρονολογικές σειρές 500 παρατηρήσεων. Ποια είναι περισσότερο µεταβλητή και ποια πιο ϱιψοκίνδυνη ; επόµενο παράδειγµα από το τεχνικό έγγραφο RiskMetrics [49] εξηγεί την ιδέα. Υποθέστε πως µια Ευρωπαϊκή επιχείρηση διακρατεί $120 εκατοµµύρια. Αν η συναλλαγµατική ισοτιµία $/ είναι 1,2 $/ τότε η αγοραία αξία της ϑέσης είναι 100 εκατοµµύρια, που είναι και η συνολική έκθεση (exposure) της επιχείρησης. Εάν η ισοτιµία µειωθεί, η επιχείρηση ϑα έχει απώλειες, ενώ αν αυξηθεί ϑα ήταν γεγονός ϑετικό για την επιχείρηση. Η τυπική απόκλιση των κερδών στην ισοτιµία $/ ϑα µπορούσε να ϑεωρηθεί ένας δείκτης της ενδεχόµενης αλλαγής στη συναλλαγµατική ισοτιµία. Η τυπική µεθοδολογία υποθέτει πως οι τυποποιηµένες αποδόσεις 1 στην ισοτιµία $/ είναι κανονικά κατανεµηµένες. Ετσι, δεδοµένης της τιµής της ηµερήσιας τυπικής απόκλισης, µπορεί να υπολογιστεί µια υποτιθέµενη πτώση στη συναλλαγµατική ισοτιµία τη µία ηµέρα. Ακόµη, κατά Best [13], ένας γενικός επίσηµος ορισµός της VaR µπορεί να αποτελέσει η ϕράση : Η αξία σε κίνδυνο (Value at Risk ή VaR) είναι το µέγιστο ποσό χρηµάτων που µπορεί να απολεσθεί σε ένα συγκεκριµένο χαρτο- ϕυλάκιο κατά τη διάρκεια µιας συγκεκριµένης χρονικής περιόδου, δεδοµένου ενός επίπεδου εµπιστοσύνης. Συχνά το VaR υπολογίζεται για χρονική περίοδο µιας ηµέρας γνωστή ως η περίοδος διακράτησης (holding period) και συνήθως υπολογίζεται µε 99% επίπεδο εµπιστοσύνης, που σηµαίνει πως (κατά µέσο όρο) υπάρχει 99% 1 Η τυποποιηµένη απόδοση (standardised return) ορίζεται ως r t /σ t, όπου r t η λογαριθ- µηµένη αλλαγή στην τιµή και σ t η τυπική απόκλιση των αποδόσεων. Τµήµα Οικονοµικών Επιστηµών Πανεπιστήµιο Θεσσαλίας

8 Κίνδυνος Αγοράς και Value at Risk πιθανότητα να είναι κάποια απώλεια του χαρτοφυλακίου µικρότερη από την υπολογισµένη VaR. Ετσι ένας απλοϊκός ορισµός του VaR είναι πως δίνει : το µέγιστο χρηµατικό ποσό που µπορεί να χαθεί σε ένα χαρτοφυλάκιο µέσα σε 24 ώρες, µε πιθανότητα 99%. Ο ορισµός της περιόδου διακράτησης είναι αρκετά σηµαντικός, επειδή όσο µεγαλύτερος είναι, τόσο µεγαλύτερη και η αξία σε κίνδυνο. Το επίπεδο ή διάστηµα εµπιστοσύνης είναι επίσης σηµαντικό, καθώς αν µια τράπεζα ορίζει 95% επίπεδο εµπιστοσύνης σηµαίνει πως το υπόλοιπο 5% αντιστοιχεί σε µία ηµέρα στις 20, ενώ αν ορίσει 99% επίπεδο εµπιστοσύνης σηµαίνει πως το υπόλοιπο 1% αντιστοιχεί σε µία ηµέρα στις 100, δηλαδή σε γεγονότα που συµβαίνουν µία ϕορά κάθε 4 µήνες περίπου. 1.2.3 Αδυναµίες............................................................................ Συµπερίληψη Πρέπει να τονιστεί (Best [13]) πως το VaR λαµβάνει υπόψη το αποτέλεσµα διαφοροποίησης της διαφοροποίησης που πιθανότατα υπάρχει στο χαρτοφυλάκιο. ηλαδή ο παράγοντας µείωσης του κινδύνου συµπεριλαµβάνεται ολοκληρωτικά στο µέτρο VaR. Λόγω του Κεντρικού Οριακού Θεωρήµατος 2 (Central Limit Theorem), κατά τους Albanese και Lawi [9], ένα τέλεια διαφοροποιηµένο χαρτο- ϕυλάκιο δίδει κανονικές αποδόσεις. Σηµαντικές αποκλίσεις οφείλονται λόγω ατελών στρατηγικών διαφοροποίησης 3 ή λόγω του κινδύνου διαφοροποίησης (diversification risk)............................................................................. Μέγεθος Επίσης, αν και το VaR µας ϕανερώνει πως, για παράδειγµα, κατά µέσο απώλειας όρο, µία στις 20 ηµέρες ϑα έχουµε µεγαλύτερη απώλεια από την υπολογισµένη (το VaR σε επίπεδο εµπιστοσύνης 95%) δε µας δίδει το µέγεθος αυτής της απώλειας. Εποµένως το VaR δεν είναι αυτόνοµα επαρκές για την αποτελεσµατική διαχείριση κινδύνου της αγοράς............................................................................. Υπόθεση κανονικότητας Οπως τυπικά υπολογίζεται το VaR παρέχει µια ακριβή στατιστική εκτίµηση της µέγιστης πιθανής απώλειας ενός χαρτοφυλακίου όταν οι αγορές συµπεριφέρονται ϕυσιολογικά. Οµως σε αρκετά συχνή ϐάση οι χρηµατοοικονο- µικές αγορές δεν συµπεριφέρονται «κανονικά», αλλά παρουσιάζουν ακραίες 2 Το Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα, σύµφωνα µε τον Χάλκο [7], ορίζει πως η δειγµατοληπτική κατανοµή του δειγµατικού µέσου ενός µεγάλου δείγµατος ϑα είναι περίπου κανονική. Ετσι µπορούµε να προσεγγίσουµε τη δειγµατοληπτική κατανοµή του δειγµατικού µέσου χωρίς να ξέρουµε την πραγµατική κατανοµή του πληθυσµού. 3 Η διακράτηση ϑέσεων σε πολλά περιουσιακά στοιχεία. Τσαρδούνης Κωνσταντίνος

Conditional VaR (CVaR) 9 και απροσδόκητες αλλαγές τιµών. Το VaR δεν έχει σχεδιασθεί για να αντιµετωπίζει αυτές τις ακραίες αλλαγές τιµών. Τα δύο αυτά µειονεκτήµατα αµβλύνονται µε τη συµπληρωµατική τακτική του VaR, τον έλεγχο πίεσης (stress testing, ϐλ. 1.6). VaR και stress testing µαζί παρέχουν τη ϐάση για ένα περιεκτικό πλαίσιο µέτρησης του κινδύνου αγοράς, σύµφωνα µε τον Best. [13] 1.3 Conditional VaR (CVaR) Η αναµενόµενη υπό συνθήκη Ϲηµία της υπέρβασης της Αξίας σε Κίνδυνο (expected loss conditional on exceeding VaR) ή αλλιώς CVaR ("Conditional VaR", "Tail VaR" ή "Expected Shortfall" ή "ES") αναπτύχθηκε από τους Artzner, Delbaen, Eber και Heath. [11] Τονίζεται όµως από Grootveld και Hallerbach [38] πως πιθανώς η χρήση του υπονοεί ουδετερότητα στο ϱίσκο σε σχέση µε το εύρος των απωλειών, ένα ανεπιθυµήτο χαρακτηριστικό. Το CVaR ορίζεται από Consigli [20] ως η αναµενόµενη απόδοση πέραν από την αξία σε κίνδυνο (value at risk) µε δεδοµένο διάστηµα εµπιστοσύνης α και µαθηµατικά : CV ar a (X) = E[ X X V ar a (X)], (1.1) όπου V ar a (X) = inf{z P (x r z) > α}, το VaR µε συντελεστή α. Μειονέκτηµα του CVaR, παρά τα ϑεωρητικά του πλεονεκτήµατα που συζητούνται παρακάτω, και εκτός από το δύσκολο υπολογισµό του, είναι, κατά τους Yamai και Yoshiba [70], πως χρειάζεται πολύ περισσότερα δεδοµένα για backtesting (ϐλ. 1.5) από το VaR.............................................................................. Ενώ VaR και CVaR είναι µέτρα ασφάλειας κινδύνου (safety risk measures), δηλαδή σε αυτά προσδιορίζεται η ύπαρξη ή το επίπεδο καταστροφής των αποδόσεων µε στόχο την µεγιστοποίηση της πιθανότητας να είναι οι αποδόσεις υψηλότερες από το επίπεδο καταστροφής, µόνο το CVaR είναι συνεπές µέτρο κινδύνου (coherent measure of risk, ϐλ. Ορισµό 1). Τα «συνεπή µέτρα κινδύνου» αναπτύχθηκαν αξιωµατικά από τους Artzner et al. ([10] και [11]) σε πεπερασµένους χώρους πιθανοτήτων (finite probability spaces). Αργότερα ο Delbaen [27] έκανε το ίδιο και για τους γενικούς χώρους πιθανοτήτων (general probability spaces). Ορισµός 1 Θεωρούµε ένα σύνολο V πραγµατικών τυχαίων µεταβλητών. Μια συνάρτηση ρ : V R καλείται συνεπές µέτρο κινδύνου (coherent measure of risk) εάν είναι : Συνεπή Μέτρα Κινδύνου Τµήµα Οικονοµικών Επιστηµών Πανεπιστήµιο Θεσσαλίας

10 Κίνδυνος Αγοράς και Value at Risk 1. µονότονη (monotonous): X, Y V, Y X ρ(y ) ρ(x) 2. υποπροσθετική (subadditive): X, Y, X +Y V ρ(x +Y ) ρ(x)+ ρ(y ), 3. ϑετικά οµογενής (positively homogenous): X V, h > 0, hx V ρ(hx) = hρ(x) και 4. µεταφραστικά αµετάβλητη (translational invariant): X V, α R ρ(x + α) = ρ(x) + α, όπου X, Y, Z τυχαίες µεταβλητές αποδόσεων (απωλειών και κέρδους) αντίστοιχων χαρτοφυλακίων µε συγκεκριµένο χρονικό ορίζοντα T, ενώ ρ( ) είναι το µέτρο κινδύνου του υποκείµενου χαρτοφυλακίου. Το σηµαντικότερο από αυτά τα αξιώµατα είναι το δεύτερο (subadditivity) που αποτελεί και την κυριότερη αδυναµία του VaR έναντι του CVaR. Στο CVaR η διαφοροποίηση δεν οδηγεί στην περίπτωσή του σε χαµηλότερο κίνδυνο κατά τον Daníelson [25] δίδοντάς του ϑεωρητικό πλεονέκτηµα έναντι του VaR. Η υποπροσθετικότητα (subadditivity) επιτρέπει ένα χαρτοφυλάκιο που είναι σύνολο µικρότερων χαρτοφυλακίων (sub-portfolios) να έχει κίνδυνο που είναι το πολύ ίσος µε το άθροισµα των κινδύνων του κάθε µικρότερου χαρτοφυλακίου. Παράδειγµα αποτελεί η κατάλληλη διάσπαση ενός χαρτο- ϕυλακίου ώστε να µειωθεί η πιστωτική έκθεση του χαρτοφυλακίου ή τα υποχρεωτικά κεφάλαια (capital requirement), χωρίζοντας τεχνητά τα διαθέσιµα περιουσιακά στοιχεία σε µικρότερα χαρτοφυλάκια. Ακόµη, η αναζήτηση συνεπών µέτρων κινδύνου έχει σκοπό να ϐρεθούν µέτρα που λαµβάνουν υπόψη όχι µόνο τα ποσοστηµόρια της κατανοµής απωλειών στο συγκεκριµένο επίπεδο εµπιστοσύνης α, αλλά επίσης πληροφορίες σχετικά µε την αναµενόµενη απώλεια που ϑα µπορούσε να συµβεί µε πιθανότητα µικρότερη του α, όπως συµβαίνει και στο CVaR. Η συνέπεια ϑεωρείται απαραίτητη από τους Albanese και Lawi [9] και στην περίπτωση χαρτοφυλακίων που είναι εκτεθειµένα σε πιστωτικό και ασφαλιστικό κίνδυνο, καθώς οι κατανοµές των αποδόσεων συνήθως αποκλίνουν σηµαντικά από την κανονική λόγω των συνδεόµενων µεγάλων απωλειών µε γεγονότα µικρής πιθανότητας, όπως οι κρίσεις. 1.4 Υπολογισµός του VaR 1.4.1 Εισαγωγή Είναι εξαιρετικά σηµαντικό να αναπτύσσονται µεθοδολογίες που παρέχουν ακριβείς εκτιµήσεις του κινδύνου, επειδή τα µέτρα VaR έχουν πολλές Τσαρδούνης Κωνσταντίνος

Υπολογισµός του VaR 11 εφαρµογές, όπως στη διαχείριση κινδύνου, στην εκτίµηση αποδόσεων από τους διαχειριστές κινδύνου καθώς και για ϱυθµιστικές απαιτήσεις (regulatory requirements), όπως προαναφέρθηκαν. Κατά τους Engle και Manganelli [33], αν ο κίνδυνος αγοράς που αναλαµ- ϐάνει ένας οργανισµός δεν έχει εκτιµηθεί σωστά, αυτό µπορεί να οδηγήσει σε µη ϐελτιστοποιηµένη κατανοµή κεφαλαίων µε αρνητικές συνέπειες στην κερδοφορία ή την χρηµατοοικονοµική σταθερότητα των οργανισµών. Η πρόκληση, από στατιστικής πλευράς, είναι πως µε τις υπάρχουσες µεθοδολογίες για την εκτίµηση του VaR γίνεται αντιληπτό πως οι κατανοµές των αποδόσεων δεν είναι σταθερές διαχρονικά. Engle et al. [33] χωρίζουν τις µεθοδολογίες εκτίµησης VaR σε τρεις ϐασικές κατηγορίες παραµετρικές (RiskMetrics και GARCH) µη παραµετρικές (ιστορική προσοµοίωση και υβριδικό µοντέλο) ηµιπαραµετρικές (Extreme Value Theory, 4 CAViaR και quasimaximum likelihood GARCH). Τα αποτελέσµατά τους µπορεί να είναι πολύ διαφορετικά, για αυτό κριτικό ϱόλο στην επιλογή του κάθε µοντέλου παίζουν οι υποκείµενες υποθέσεις τους, τα µαθηµατικά µοντέλα και οι ποσοτικές τεχνικές τους, ώστε ο αναλυτής να επιλέξει ποιο µοντέλο είναι πιο κοντά στα πιστεύω ή στις ϕρονήσεις και στους αντικειµενικούς του στόχους. Επίσης οι Engle και Manganelli [33] περιγράφουν και τα ϐασικά χαρακτηριστικά των χρηµατοοικονοµικών δεδοµένων τα οποία είναι πως : οι κατανοµές για τις χρηµατοοικονοµικές αποδόσεις είναι λεπτόκυρτες, δηλαδή έχουν ϐαρύτερες ουρές και υψηλότερες κεντρικές τιµές από ό,τι η κανονική κατανοµή, κάτι που αντικατοπτρίζεται στον υψηλότερο συντελεστή κύρτωσης από αυτόν της κανονικής κατανοµής, οι αποδόσεις µετοχών είναι κατά κανόνα αρνητικά ασύµµετρες και πως τα τετράγωνα των καταλοίπων έχουν σηµαντική αυτοσυσχέτιση, δηλαδή οι µεταβλητότητες των παραγόντων της αγοράς τείνουν να οµαδοποιούνται (cluster). Ωστόσο ο Best [13] δίνει πως υπάρχουν τρεις απλούστερες ϐασικές µέθοδοι υπολογισµού του VaR: 4 Η Θεωρία Ακραίων Τιµών (Extreme Value Theory ή EVT) είναι, κατά τον Culp [23], ένα υποσύνολο της στατιστικής που επικεντρώνεται στις τιµές των ουρών των κατανοµών και ασχολείται µε το ϱυθµό που αυτές οι τιµές προσεγγίζουν το µηδέν, ώστε να καθοριστεί πόσο «παχιά» είναι η ουρά Τµήµα Οικονοµικών Επιστηµών Πανεπιστήµιο Θεσσαλίας

12 Κίνδυνος Αγοράς και Value at Risk η µέθοδος της συνδιακύµανσης, η µέθοδος της ιστορικής προσοµοίωσης και η µέθοδος της προσοµοίωσης Monte Carlo. 5 Αναλύονται οι δύο πρώτες, που έχουν χρησιµοποιηθεί και στην παρούσα εργασία. 1.4.2 Μέθοδος Συνδιακύµανσης............................................................................ Υποθέσεις Το στατιστικό αυτό µοντέλο, Best [13], για την επιτυχή εξαγωγή του VaR στηρίζεται στην υπόθεση πως οι αποδόσεις των χρηµατοοικονοµικών προϊόντων είναι κανονικά κατανεµηµένες. Αυτή η υπόθεση συχνά δεν ισχύει για τα χρηµατοοικονοµικά δεδοµένα δεδοµένου πως συνήθως έχουν υψηλές κεντρικές τιµές και παχιές «ουρές» λόγω των συχνότερων ακραίων αλλαγών σε σχέση µε την κανονική κατανοµή (ϐλ. Σχήµα 1.2). Η παρουσία τους δίδει ανεπάρκεια του VaR που πρέπει να συµπληρωθεί µε το stress testing (ϐλ. 1.6). Density 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Density 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 4 2 0 2 4 4 2 0 2 4 1.2.1: Μια κατανοµή µε υψηλές κεντρικές τιµές και παχιές ουρές. 1.2.2: Η τυποποιηµένη κανονική κατανοµή. Σχήµα 1.2: Κατανοµές µε διαφορετικούς συντελεστές κύρτωσης 5 Η προσοµοίωση Monte Carlo σύµφωνα µε τον Ossenbruggen [50] χρησιµοποιεί αριθ- µητικές µεθόδους για να αντλήσει πληροφορίες για τη συµπεριφορά µιας σύνθετης τυχαίας διαδικασίας. Η προσοµοίωση είναι ιδιαίτερα χρήσιµη όταν ο άµεσος υπολογισµός των συναρτήσεων πιθανοτήτων είναι περίπλοκος. Ενα από τα κυριότερα πλεονεκτήµατα της προσοµοίωσης Monte Carlo είναι πως µπορούν να δηµιουργηθούν µεγάλα σύνολα δεδοµένων χωρίς τη διεξαγωγή ϕυσικών πειραµάτων και εποµένως ϑα µπορούσε να χαρακτηριστεί εργαλείο ιδιαίτερα αποτελεσµατικό ως προς το κόστος του. Τσαρδούνης Κωνσταντίνος

Υπολογισµός του VaR 13............................................................................. Με τη µέθοδο της συνδιακύµανσης πρέπει αρχικά να προσδιορίσουµε την περίοδο διακράτησης (holding period). Συνήθως αφορά µία ηµέρα αν και υπάρχουν πολλοί λόγοι για να αλλάξει αυτό. Μερικοί, όπως περιγράφει ο Best [13], ϑεωρούν πως η διάρκειά της ϑα πρέπει να είναι : Περίοδος ιακράτησης ίση µε τη µέγιστη δυνατή περίοδο ϱευστοποίησης του περιουσιακού στοιχείου του χαρτοφυλακίου ή ίση µε την περίοδο ϱευστοποίησης όλων των περιουσιακών στοιχείων του οργανισµού ή ίση µε την περίοδο που το χαρτοφυλάκιο παραµένει σταθερό. Ο Daníelson [25] αναφέρει πως πολλές υπηρεσίες κανονισµών προτείνουν τουλάχιστον 250 ηµέρες ως χρονικό παράθυρο, ενώ οι περισσότεροι επιβλέποντες κινδύνου σπάνια δέχονται υψηλότερους ορίζοντες εκτίµησης ϐασιζό- µενοι στο πως : τα παλαιότερα δεδοµένα δεν είναι διαθέσιµα ή είναι µη αντιπροσωπευτικά εξαιτίας διαρθρωτικών ανωµαλιών, όπως στην περίπτωση εισαγωγής του Ευρώ και των αναπτυσσόµενων αγορών και στο ότι οι µακροχρόνιες σχέσεις κινδύνου είναι τόσο περίπλοκες που δεν µπο- ϱούν να µοντελοποιηθούν σε αρκετές περιπτώσεις. Υπάρχουν τράπεζες που επιλέγουν αυτή η περίοδος να είναι µία ηµέ- ϱα (RiskMetrics T M [67]) και άλλες ένας χρόνος (Bankers Trust [59]). Ο Daníelson [25] αναφέρει πως τα µέτρα VaR για κανονιστικούς/ρυθµιστικούς λόγους προτείνονται να έχουν περίοδο διακράτησης 10 ηµερών, καθώς υπάρχει ϕόβος κρίσης ϱευστότητας όταν ένας χρηµατοοικονοµικός οργανισµός δεν είναι ικανός να ϱευστοποιήσει σε 10 ηµέρες τα χαρτοφυλάκιά του. Ωστόσο κάτι τέτοιο δεν είναι απόλυτα ορθό, καθώς 10 ηµέρες διακράτησης VaR 99% αφορούν ένα γεγονός µε έντονο αντίκτυπο 2 εβδοµάδων που συµβαίνει 25 ϕορές περίπου τη δεκαετία ώστε να καλυφθεί πιθανή Ϲηµία λόγω κινδύνου ϱευστότητας που συµβαίνει εκ των πραγµάτων σπανιότερα από µια ϕορά στη δεκαετία. Μέτρηση για 10 ηµέρες µπορεί να γίνει : Τµήµα Οικονοµικών Επιστηµών Πανεπιστήµιο Θεσσαλίας