Αάλυση Παλιδρόμησης Αάλυση Παλιδρόμησης Με τη αάλυση παλιδρόμησης (regresson analss) εξετάζουμε τη σχέση μεταξύ δύο ή περισσοτέρω μεταβλητώ με σκοπό τη πρόβλεψη τω τιμώ της μιας, μέσω τω τιμώ της άλλης (ή τω άλλω). Σε κάθε πρόβλημα παλιδρόμησης διακρίουμε δύο είδη μεταβλητώ: τις αεξάρτητες ή ελεγχόμεες ή επεξηγηματικές (ndependent, predctor, casual, nput, eplanator varables) και τις εξαρτημέες ή απόκρισης (dependent, response varables). Σε πειραματικές έρευες, αεξάρτητη μεταβλητή X είαι εκείη τη οποία μπορούμε α ελέγξουμε, δηλαδή, α καθορίσουμε τις τιμές της (π.χ. το ύψος της διαφημιστικής δαπάης εός προϊότος, ο αριθμός τω λειτουργούτω ταμείω σε έα υποκατάστημα τραπέζης, η ποσότητα λιπάσματος που χρησιμοποιείται σε μια καλλιέργεια, η θερμοκρασία επεξεργασίας εός υλικού). Εξαρτημέη μεταβλητή Y είαι εκείη στη οποία αταακλάται το αποτέλεσμα τω μεταβολώ στις αεξάρτητες μεταβλητές (π.χ. η ζήτηση εός προϊότος, ο χρόος ααμοής τω πελατώ εός υποκαταστήματος τραπέζης, η απόδοση μιας καλλιέργειας, η ατοχή εός υλικού). Σε μη πειραματικές έρευες (δειγματοληψίες) η διάκριση μεταξύ αεξάρτητω και εξαρτημέω μεταβλητώ δε είαι πάτοτε σαφής γιατί καμία μεταβλητή δε είαι ελεγχόμεη αλλά όλες είαι τυχαίες (π.χ. το ύψος και το βάρος τω φοιτητώ, οι ώρες μελέτης τω φοιτητώ εός παεπιστημιακού τμήματος και η απόδοση τους σε έα τεστ, οι εβδομάδες εμπειρίας εός εργάτη σε μια επιχείρηση και ο αριθμός τω ελαττωματικώ προϊότω που παράγει, η κατάταξη δέκα προϊότω από έα κριτή και η κατάταξη τω ιδίω προϊότω από έα άλλο κριτή, ο αριθμός τω πωλήσεω μουσικώ CD σε μια περιοχή και ο αριθμός τω έω στη ίδια περιοχή). Ας θεωρήσουμε δύο μεταβλητές X, Y. Α οι μεταβλητές αυτές συδέοται με μια σχέση της μορφής Y f (X ) μέσω της οποίας για κάθε τιμή της X μπορούμε α προβλέψουμε επακριβώς τη τιμή της Y, δηλαδή, α οι τιμές της Y δε υπόκειται σε σφάλματα, τότε λέμε ότι οι δύο μεταβλητές συδέοται με τη συαρτησιακήπροσδιοριστική (functonal-determnstc) σχέση Y f (X ). Για παράδειγμα, το ρεύμα που κατααλώει μια οικογέεια σε έα δίμηο και το ποσό που πληρώει για τη καταάλωση αυτή συδέοται με συαρτησιακή-προσδιοριστική σχέση 6. Επίσης, το ποσό που καταθέτει κάποιος στο Ταμιευτήριο και ο τόκος που παίρει για το ποσό αυτό για ορισμέο χροικό διάστημα, συδέοται με συαρτησιακή-προσδιοριστική σχέση. Σε αυτές τις περιπτώσεις τα σημεία του διαγράμματος διασποράς βρίσκοται όλα πάω στη καμπύλη που έχει εξίσωση Y f (X ) και όσες φορές και α επααλάβουμε το πείραμα θέτοτας το Χ στο ίδιο επίπεδο X, θα παίρουμε πάτα τη ίδια τιμή για το Υ. Για παράδειγμα, η εξίσωση Y ( X 4) + (που παριστάει μια παραβολή) περιγράφει προσδιοριστικά τη σχέση μεταξύ τω Χ και Υ του παρακάτω πίακα: 6 Για τη ελληική πραγματικότητα, αυτό το παράδειγμα προσδιοριστικής σχέσης, μάλλο είαι άστοχο. Εργαστήριο. Μαθηματικώ & Στατιστικής / Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 5
Αάλυση Παλιδρόμησης 3 4 5 6 7 Υ 0 0 5 8 6 4 5 0 3 4 5 6 7 Χ Οι μη προσδιοριστικές σχέσεις μεταξύ μεταβλητώ οομάζοται στοχαστικές στατιστικές (stochastc, statstc/probablstc, non determnstc) σχέσεις. Στη περίπτωση αυτή, α επααλάβουμε το πείραμα πολλές φορές θέτοτας το Χ στο ίδιο επίπεδο X τότε στη τιμή της X δε ατιστοιχεί μια μόο τιμή της Υ αλλά, γεικά, ατιστοιχεί έα πλήθος διαφορετικώ τιμώ της Υ. Για παράδειγμα, α X είαι η τιμή εός προϊότος και Υ είαι η ζήτησή του, η Υ βρίσκεται σε στοχαστική σχέση-εξάρτηση με τη X, γιατί η ζήτηση εός προϊότος επηρεάζεται και από άλλους παράγοτες όπως είαι το ύψος του εισοδήματος τω κατααλωτώ, οι τιμές ομοειδώ προϊότω, οι κατααλωτικές συήθειες, κ.ά. Σε μια στοχαστική σχέση το διάγραμμα διασποράς είαι, γεικά, έα έφος σημείω το οποίο πολλές φορές καθορίζει μια ιδεατή γραμμή η οποία δίει μια πρώτη εικόα της σχέσης που συδέει τις δύο μεταβλητές. Η σχέση μάλιστα μεταξύ τω δύο μεταβλητώ είαι τόσο περισσότερο ισχυρή όσο πιο κοτά στη ιδεατή γραμμή βρίσκοται τα σημεία του διαγράμματος διασποράς. Στο πρώτο από τα παρακάτω σχήματα έχουμε το διάγραμμα διασποράς μιας ισχυρής σχέσης στη οποία ότα αυξάου οι τιμές της X αυξάου γεικά και οι τιμές της Υ, εώ στο δεύτερο σχήμα έχουμε μια λιγότερο ισχυρή σχέση στη οποία ότα αυξάου οι τιμές της X ελαττώοται γεικά και οι τιμές της Υ. Τέλος, στη περίπτωση του τρίτου σχήματος φαίεται α μη υπάρχει κάποια σχέση μεταξύ τω Χ και Υ. Υ Υ Υ Χ Χ Χ Γεικά, δύο μεταβλητές που συδέοται είτε με συαρτησιακή-προσδιοριστική σχέση είτε με στοχαστική σχέση λέγοται «εξαρτημέες». Α υπάρχει εξάρτηση μεταξύ δύο μεταβλητώ, τότε μπορούμε τη μια από αυτές α τη χαρακτηρίσουμε ως «αιτία» και τη άλλη ως «αποτέλεσμα». Αυτό όμως, μόο στη περίπτωση που η εξάρτηση οφείλεται σε σχέση αιτιότητας τω δύο μεταβλητώ και όχι σε μια απλή συμμεταβολή η οποία μπορεί α οφείλεται σε εξάρτηση τω δύο μεταβλητώ από μια τρίτη μεταβλητή. Α, για παράδειγμα, X είαι το ετήσιο εισόδημα μιας οικογέειας και Υ, Ζ είαι τα ποσά που ξοδεύει η οικογέεια αυτή σε έα έτος για κρέας και για αγορά λογοτεχικώ βιβλίω, τότε: α διαπιστώσουμε σε έα σύολο οικογεειώ σχέση μεταξύ τω Χ και Υ (ή μεταξύ τω Χ και Ζ) δεχόμαστε ότι υπάρχει εξάρτηση μεταξύ τω δύο μεταβλητώ και τότε μπορούμε α χαρακτηρίσουμε τη Χ ως «αιτία» και τη Υ (ή τη Ζ) ως «αποτέλεσμα». Α όμως διαπιστωθεί σχέση μεταξύ τω Υ και Ζ (που είαι πολύ πιθαό, αφού και οι δύο μεταβάλλοται με το ετήσιο εισόδημα Χ) ασφαλώς θα πρόκειται για «όθα» εξάρτηση. Εργαστήριο. Μαθηματικώ & Στατιστικής / Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 53
Αάλυση Παλιδρόμησης Για α περιγράψουμε τη στοχαστική εξάρτηση δύο μεταβλητώ Χ και Υ προσπαθούμε α βρούμε, όπως και στη προσδιοριστική εξάρτηση, μια σχέση μεταξύ τω Χ και Υ η οποία όμως τώρα δε θα δίει ακριβή αλλά προσεγγιστική μόο εικόα της εξάρτησης τω Χ και Υ και τα σημεία του διαγράμματος διασποράς τω Χ και Υ δε θα βρίσκοται πάω, αλλά, γύρω από μια καμπύλη. Μια μέθοδος που χρησιμοποιείται για τη περιγραφή της στοχαστικής εξάρτησης δύο μεταβλητώ είαι η μέθοδος τω ελαχίστω τετραγώω και αυτή θα εφαρμόσουμε στη συέχεια για α μελετήσουμε τη πιο απλή μορφή στοχαστικής εξάρτησης, τη γραμμική. Απλή Γραμμική Παλιδρόμηση Α το διάγραμμα διασποράς δύο μεταβλητώ X και Y έχει μορφή επιμήκους κεκλιμέης έλλειψης ή πλατυσμέου J, η σχέση τω X και Y είαι κατά προσέγγιση γραμμική. Στη περίπτωση αυτή έχουμε τη απλούστερη μορφή παλιδρόμησης, τη απλή γραμμική παλιδρόμηση όπου υπάρχει μόο μια αεξάρτητη μεταβλητή X και η εξαρτημέη μεταβλητή Υ μπορεί α προσεγγισθεί ικαοποιητικά από μια γραμμική συάρτηση του Χ. Η γραμμική σχέση Y α + β X δε μπορεί, ασφαλώς, α περιγράψει επακριβώς τη γραμμική στοχαστική εξάρτηση τω μεταβλητώ Χ και Υ αφού α, για παράδειγμα, Χ είαι η τιμή εός προϊότος και Υ είαι η ζήτηση του προϊότος αυτού, και διατηρήσουμε τη Χ στο ίδιο επίπεδο X τότε οι ατίστοιχες τιμές του Υ θα είαι φυσικά διαφορετικές στις διάφορες επααλήψεις. Επίσης, α Χ είαι η ποσότητα λιπάσματος και Υ είαι η απόδοση μιας καλλιέργειας, και διατηρήσουμε τη Χ στο ίδιο επίπεδο X τότε οι ατίστοιχες τιμές του Υ θα είαι φυσικά διαφορετικές στις διάφορες επααλήψεις αφού παράγοτες όπως, η θερμοκρασία, η υγρασία, η γοιμότητα του εδάφους, θα επηρεάζου, επίσης, τη παραγωγή. Επιπλέο, συμβαίει α παρατηρούται και σφάλματα μέτρησης τω τιμώ της Υ (λόγω οργάω ή ελλιπούς πληροφόρησης). Έτσι, για X το ατίστοιχο Y είαι μια τυχαία μεταβλητή Y που ακολουθεί κάποια καταομή. Ομοίως, για X το ατίστοιχο Y είαι μια άλλη τυχαία μεταβλητή Y που επίσης ακολουθεί κάποια καταομή κ.ό.κ.. Επομέως, στη γραμμική σχέση Y α + β X, πρέπει α προσθέσουμε έα ακόμη τυχαίο όρο (τυχαία μεταβλητή) ε, ο οποίος, για δεδομέη κάθε φορά τιμή της Χ, α περιγράφει τη απόκλιση της Υ από το γραμμικό όρο α + β X. Δηλαδή, ε Y ( α + β ). Προκύπτει, επομέως, το στοχαστικό μοτέλο Y α + β + ε. Η τυχαία μεταβλητή ε οομάζεται τυχαίο σφάλμα. Εργαστήριο. Μαθηματικώ & Στατιστικής / Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 54
Αάλυση Παλιδρόμησης Εργαστήριο. Μαθηματικώ & Στατιστικής / Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 55 Ας δούμε πώς, από ζεύγη παρατηρήσεω,,3,..., ),, (, μπορούμε α εκτιμήσουμε τις παραμέτρους α και β του στοχαστικού μοτέλου ε β α + + Y. Είαι λογικό, η εκτίμηση τω α και β α γίει έτσι ώστε α ελαχιστοποιούται τα σφάλματα, ) ( + β α ε. Για το σκοπό αυτό, θα εφαρμόσουμε τη μέθοδο τω ελαχίστω τετραγώω. Ειδικότερα, θα προσδιορίσουμε τα α και β για τα οποία ελαχιστοποιείται το άθροισμα τω τετραγώω τω σφαλμάτω, ε, δηλαδή, η συάρτηση, β α ε β α ) ( ), ( g () Σημείωση: Αξίζει α σκεφθείτε γιατί δε επιδιώκουμε τη ελαχιστοποίηση του αθροίσματος ε ή του αθροίσματος ε. Παραγωγίζοτας τη () ως προς α και β και εξισώοτας με μηδέ παίρουμε τις ακόλουθες δύο εξισώσεις που οομάζοται καοικές εξισώσεις: + + β α β α Λύοτας το σύστημα τω καοικώ εξισώσεω, παίρουμε: β α β ˆ ˆ ˆ ή s s β α και β ˆ ˆ ˆ Οι εκτιμήτριες αˆ και βˆ τω παραμέτρω α και β οομάζοται εκτιμήτριες ελαχίστω τετραγώω και η ατίστοιχη ευθεία, Y + β α ˆ ˆ ˆ, οομάζεται ευθεία ελαχίστω τετραγώω ή ευθεία παλιδρόμησης. Προφαώς, ) ( ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Y + + + β β β β α ή ) ( ˆ s s Y + Επίσης, είαι φαερό ότι η ευθεία ελαχίστω τετραγώω, διέρχεται από το σημείο ), (.
Αάλυση Παλιδρόμησης Πόσο «καλά» προσαρμόζεται η ευθεία ελαχίστω τετραγώω σημεία (, ),,,3,..., ; Yˆ ˆ α + ˆ β στα Από τη προφαή σχέση ( ˆ ) ( ˆ + ), μπορεί εύκολα α δειχθεί (αλγεβρικά) ότι ( ) ( ˆ ) + ( ˆ ) () Το άθροισμα SSTO ( ) οομάζεται ολικό άθροισμα τετραγώω (total sum of squares) ή ολική μεταβλητότητα (total varaton) τω και όπως φαίεται από τη () ααλύεται σε δύο συιστώσες: στο άθροισμα τετραγώω της παλιδρόμησης (regresson sum of squares) SSR ( ˆ ) και στο άθροισμα τετραγώω τω (εκτιμημέω) σφαλμάτω (sum of squares of errors ή error sum of squares) ή υπόλοιπο μεταβλητότητας (resdual varaton) SSE ε ( ˆ ) ˆ Δηλαδή, SSTOSSR+SSE Το SSTO εκφράζει τη συολική μεταβλητότητα τω παρατηρήσεω δηλαδή εκφράζει τη αβεβαιότητα στη πρόβλεψη του Y ότα δε χρησιμοποιείται το Χ. Το SSR εκφράζει τo μέρος της μεταβλητότητας που μπορεί α οφείλεται στο Χ και το SSESSTO-SSR εκφράζει τη υπόλοιπη μεταβλητότητα που δε εξηγείται από τη παλιδρόμηση, εώ ο λόγος ( ˆ ) ( SSR SSTO SSE SSE SSTO SSTO SSTO ( ) ( r ˆ ) ) Εργαστήριο. Μαθηματικώ & Στατιστικής / Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 56
Αάλυση Παλιδρόμησης εκφράζει το ποσοστό της συολικής μεταβλητότητας τω που εξηγείται (απορροφάται) από τη παλιδρόμηση. Το r λέγεται συτελεστής προσδιορισμού (coeffcent of determnaton) και παίρει τιμές στο κλειστό διάστημα [0, ]. Ότα όλα τα σημεία M, ), M (, ),..., M (, ) βρίσκοται πάω στη ευθεία ελαχίστω τετραγώω θα έχουμε ( ˆ και άρα SSE ( ˆ ) 0οπότε, r εώ ότα η κλίση της ευθείας ελαχίστω τετραγώω είαι μηδέ δηλαδή ˆ β 0 θα είαι r 0. Στις διάφορες πρακτικές εφαρμογές η τιμή του r βρίσκεται μεταξύ 0 και και όσο πλησιέστερα βρίσκεται προς το τόσο καλύτερη είαι η ευθεία ελαχίστω τετραγώω ως εκτίμηση της πληθυσμιακής ευθείας παλιδρόμησης. Η μέση απόκλιση μεταξύ της πραγματικής και της εκτιμώμεης τιμής της μεταβλητής οομάζεται τυπικό σφάλμα της εκτίμησης (standard error of the estmate), συμβολίζεται με s και δίεται από το τύπο SSE s ( ˆ ) Εά το τυπικό σφάλμα της εκτίμησης είαι μικρό τότε οι παρατηρούμεες και οι εκτιμώμεες τιμές δε διαφέρου πολύ και η ευθεία παλιδρόμησης μας δίει μια καλή περιγραφή της σχέσης μεταξύ τω Χ και Υ. Α το τυπικό σφάλμα της εκτίμησης είαι μεγάλο τότε δε μπορούμε α ισχυρισθούμε ότι έχουμε μια καλή περιγραφή της σχέσης. Είαι φαερό, ότι το τυπικό σφάλμα της εκτίμησης, είαι έα μέτρο της διασποράς τω (, ) γύρω από τη ευθεία ελαχίστω τετραγώω α + ˆ ˆ ˆ β (το s είαι μια εκτίμηση της διασποράς τω σφαλμάτω). Έχει, επομέως, ιδιότητες αάλογες με αυτές της τυπικής απόκλισης. Έτσι, α φέρουμε δύο ευθείες παράλληλες προς τη ευθεία ελαχίστω τετραγώω και σε κατακόρυφες προς αυτή αποστάσεις s, s, 3s τότε, για μεγάλα (μεγαλύτερα του 30), μεταξύ τω δύο αυτώ ευθειώ θα βρίσκεται περίπου το 68%, το 95% και το 99,7% τω σημείω του διαγράμματος διασποράς ατίστοιχα. Υ Χ Σημείωση: Στο σχήμα, οι παράλληλες έχου σχεδιασθεί σε κατακόρυφη απόσταση από τη ευθεία ελαχίστω τετραγώω ίση με s. Εύκολα μπορεί α αποδειχθεί ότι, ˆ ˆ ) ( s s ) s ( r β s ( ). Εργαστήριο. Μαθηματικώ & Στατιστικής / Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 57
Αάλυση Παλιδρόμησης Με τη υπόθεση (δες και Παράρτημα Α) ότι E( ε ) 0,,,3,...,, είαι προφαές ότι, E [ Y ] E( Y / X ) α + β. Δηλαδή, οι μέσες τιμές τω αάλογα με τη τιμή, κιούμεες επάω στη ευθεία α + β. Y μεταβάλλοται Παρατηρήσεις για τη ευθεία ελαχίστω τετραγώω. Είαι φαερό ότι το βˆ της ευθείας ελαχίστω τετραγώω Yˆ ˆ α + ˆ β εκφράζει τη ααμεόμεη (μέση) μεταβολή της εξαρτημέης μεταβλητής Υ (σε μοάδες μέτρησης της Υ) ότα η αεξάρτητη μεταβλητή Χ αυξηθεί κατά μια μοάδα (μέτρησής της). Πράγματι α X έχουμε ˆ ˆ ˆ α + β και α X + έχουμε ˆ ˆ α ˆ β ( ) ˆ α ˆ β ˆ β ˆ ˆ + + + + + β. Έτσι ότα το αυξηθεί κατά μια μοάδα το ŷ αυξάεται κατά βˆ μοάδες α ˆ β > 0 ή ελαττώεται κατά βˆ μοάδες α ˆ β < 0.. Το αˆ της ευθείας ελαχίστω τετραγώω Yˆ ˆ α + ˆ β εκφράζει τη ααμεόμεη (μέση) τιμή της εξαρτημέης μεταβλητής Υ ότα η αεξάρτητη μεταβλητή Χ πάρει τη τιμή 0. 3. Η ποσότητα r εκφράζει το ποσοστό της συολικής μεταβλητότητας της εξαρτημέης μεταβλητής που οφείλεται στο τυχαίο σφάλμα. 4. Το r δε μετρά πόσο μεγάλη ή μικρή είαι η κλίση βˆ της ευθείας παλιδρόμησης! 5. Ότα έχουμε πειραματικά δεδομέα όπου ο ερευητής ελέγχει-καθορίζει τις τιμές της μιας μεταβλητής θεωρούμε τη μεταβλητή αυτή αεξάρτητη (Χ) και τη άλλη εξαρτημέη (Υ). Σε αυτή τη περίπτωση εκτιμάμε τη ευθεία παλιδρόμησης της Υ πάω στη Χ, Yˆ ˆ α + ˆ β. Ότα έχουμε μη πειραματικά δεδομέα όπου ο ερευητής επιλέγει έα τυχαίο δείγμα δειγματοληπτικώ μοάδω και σε κάθε μια από αυτές μετρά τις τιμές τω μεταβλητώ, τότε μπορούμε α θεωρήσουμε ως αεξάρτητη μεταβλητή οποιαδήποτε από τις δύο και α μελετήσουμε είτε τη παλιδρόμηση της Υ πάω στη Χ είτε τη παλιδρόμηση της Χ πάω στη Υ. Εργαστήριο. Μαθηματικώ & Στατιστικής / Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 58
Αάλυση Παλιδρόμησης Στη περίπτωση αυτή, και οι δύο μεταβλητές είαι τυχαίες, και ως μέτρο της γραμμικής συσχέτισης χρησιμοποιούμε το συτελεστή γραμμικής συσχέτισης s s r και επειδή ˆ s β θα είαι, r βˆ (Ι) s s s s Έτσι, α το r πλησιάζει το τότε τα σημεία του διαγράμματος διασποράς τείου α βρίσκοται σε μια ευθεία με συτελεστή διεύθυσης ˆ β > 0 εώ, α το r πλησιάζει το - τότε τα σημεία του διαγράμματος διασποράς τείου α βρίσκοται σε μια ευθεία με συτελεστή διεύθυσης ˆ β < 0. Α r 0 τότε ˆ β 0 και δε υπάρχει γραμμική σχέση τω μεταβλητώ. Ο συτελεστής γραμμικής συσχέτισης έχει επομέως το ίδιο πρόσημο με το βˆ. Α Xˆ ˆ γ + ˆ δ είαι η εκτίμηση ελαχίστω τετραγώω της ευθείας s παλιδρόμησης της Χ πάω στη Υ θα ισχύει: ˆ δ και ˆ γ ˆ δ. s s Συεπώς, r δˆ (ΙΙ). Από τις (Ι) και (ΙΙ) προκύπτει, επίσης, ότι r ˆ β ˆ δ. s 6. Οι προβλέψεις που μπορούμε α κάουμε για τη εξαρτημέη μεταβλητή Y από τις τιμές της αεξάρτητης μεταβλητής X μέσω της ευθείας ελαχίστω τετραγώω Yˆ ˆ α + ˆ β πρέπει α γίοται μόο για τις τιμές της αεξάρτητης μεταβλητής, οι οποίες βρίσκοται στο διάστημα που έχει γίει η μελέτη ή κοτά στα άκρα του διαστήματος αυτού. 7. Η εξίσωση της ευθείας ελαχίστω τετραγώω Yˆ ˆ α + ˆ β, δε μας επιτρέπει α κάουμε προβλέψεις για τις τιμές της X, ότα δίοται οι τιμές της Y. Για α είαι αυτό δυατό, πρέπει α προσδιορίσουμε εξαρχής τη ευθεία ελαχίστω τετραγώω της Χ πάω στη Y, Xˆ ˆ γ + ˆ δ, η οποία γεικά είαι διαφορετική από τη Yˆ ˆ α + ˆ β. Και στις δύο όμως περιπτώσεις οι ευθείες διέρχοται από το σημείο (, ). 8. Επισημαίουμε ότι για δοσμέη τιμή της Χ, η εκτίμηση ˆ ˆ α + ˆ β αφορά τη μέση τιμή E Y / X ) της Υ και όχι τη πραγματική τιμή του Υ. ( 9. Αξίζει α σημειωθεί ότι πάτα ισχύει ˆ ε 0 αφού ˆ ε ( ˆ ) ( ˆ ˆ ) ˆ ˆ α β α β ( ˆ α ˆ β ) 0 Εργαστήριο. Μαθηματικώ & Στατιστικής / Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 59
Αάλυση Παλιδρόμησης Παράδειγμα-: Ο πίακας που ακολουθεί δίει τη ζήτηση εός προϊότος (Υ), για διάφορα επίπεδα διαφημιστικής δαπάης (Χ). (σε χιλιάδες τεμάχια) (σε χιλιάδες ) 4 4 3 6 4 3 3 39 9 4 3 4 9 5 4 60 6 5 4 60 6 4 5 70 5 6 5 80 5 7 6 0 36 8 6 08 36 47 40 6 80 Είαι: 40 4 0 47 4.7 0 ˆ β 6 0 4 4.7 80 0 4 ˆ α ˆ β 4.7.5 4 0..5 και άρα η εξίσωση της ευθείας ελαχίστω τετραγώω είαι η Yˆ 0.+. 5. Ερμηεία του βˆ Επειδή ˆ β.5 > 0, αύξηση της διαφημιστικής δαπάης συεπάγεται αύξηση της ζήτησης του προϊότος. Α η διαφημιστική δαπάη αυξηθεί κατά 000, η μέση ζήτηση του προϊότος εκτιμάται ότι θα αυξηθεί κατά.5 χιλιάδες τεμάχια. Ερμηεία τουαˆ Για μηδεική διαφημιστική δαπάη, η μέση ζήτηση του προϊότος εκτιμάται ότι θα είαι 0. χιλιάδες τεμάχια. Επειδή η τιμή 0 είαι μακριά από το διάστημα μελέτης, η ερμηεία του αˆ δε έχει πρακτική αξία (δες και Παρατήρηση-5). Θα υπολογίσουμε το συτελεστή προσδιορισμού r Εργαστήριο. Μαθηματικώ & Στατιστικής / Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 60
Αάλυση Παλιδρόμησης ŷ ˆ ( ˆ ) ( ),4 -,3 5,9 -,7 7,9 3,4 -,3 5,9 -,7,89 3 3 3,55 -,5,3 -,7,89 3 4 3,55 -,5,3-0,7 0,49 4 5 4,7 0 0 0,3 0,09 4 5 4,7 0 0 0,3 0,09 5 4 5,85,5,3-0,7 0,49 5 6 5,85,5,3,3,69 6 7 7,3 5,9,3 5,9 6 8 7,3 5,9 3,3 0,89 40 47 SSR6.44 SSTO3. r SSR SSTO ( ˆ ( ) ) 6.44 3. 0.8 r Ερμηεία του Οι μεταβολές του ύψους της διαφημιστικής δαπάης ερμηεύου, μέσω του μοτέλου Yˆ 0.+. 5, το 8% της μεταβλητότητας της ζήτησης του προϊότος. Ερμηεία του r Το 8% της μεταβλητότητας της ζήτησης του προϊότος, οφείλεται σε τυχαία σφάλματα. Το τυπικό σφάλμα της εκτίμησης s είαι s ( ˆ ) SSE 3. 6.44 8 0.7 0.84 Πρόβλεψη με το μοτέλο Yˆ 0.+. 5 που εκτιμήσαμε Α το ύψος της διαφημιστικής δαπάης είαι π.χ. 3.5 χιλιάδες, η μέση ζήτηση του προϊότος, εκτιμάται ότι θα είαι 0.+.5 3.5 4. 5 χιλιάδες τεμάχια. Αξιολόγηση του μοτέλου Το μοτέλο Yˆ 0.+. 5 ερμηεύει το 8% της μεταβλητότητας της ζήτησης του προϊότος. Παρατήρηση: Για συγκεκριμέη ζήτηση του προϊότος, δε μπορούμε από το μοτέλο αυτό, α προβλέψουμε το απαιτούμεο ύψος διαφημιστικής δαπάης. Εργαστήριο. Μαθηματικώ & Στατιστικής / Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 6
Αάλυση Παλιδρόμησης 8 7 6 5 4 3 3 4 5 6 Η ευθεία ελαχίστω τετραγώω Yˆ 0.+. 5 έχει σχεδιασθεί με κατάλληλο πρόγραμμα υπολογιστή. Παρατηρείστε ότι η οητή προέκταση της, δε τέμει το άξοα τω Y στο 0.. Υπάρχει λάθος; Τι εξήγηση δίετε; (Δείτε και το επόμεο σχήμα σε συδυασμό και με τη Παρατήρηση-6) 8 7 6 5 4 3 0 9 8 0 3 4 5 6 Παράδειγμα-: Μετρήσαμε το βάρος (σε gr) 3 εογέητω παιδιώ και τη αύξηση του βάρους τους τρεις μήες μετά τη γέησή τους. Η αύξηση του βάρους τους, εκφράζεται ως ποσοστό (%) του αρχικού τους βάρους. Έστω Χ το βάρος και Υ η αύξηση του βάρους. Από τις τιμές (, ),,..., 3 πήραμε: 79, 0780, 7380960, 36889000, 7976 Οι μεταβλητές Χ και Υ είαι και οι δύο τυχαίες και επομέως μπορούμε ως μέτρο συσχέτισης α χρησιμοποιήσουμε το συτελεστή γραμμικής συσχέτισης του Pearson r. Είαι: 335.5 7. Εργαστήριο. Μαθηματικώ & Στατιστικής / Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 6
Αάλυση Παλιδρόμησης s 7380960 3 335.5 7. 3 837.7 36889000 3 335.5 s χ χ 9799.3 άρα 3 s 9799.3 545.3 7976 3 7. s 3 s 837.7 r 0.65 s s 5455.3 3.7 56.83 άρα s 56.83 3. 7 Το αρητικό πρόσημο του r δείχει ότι αύξηση του βάρους τω εογέητω συεπάγεται ελάττωση του ποσοστού αύξησης του βάρους στο πρώτο τρίμηο μετά τη γέηση. Θα εκτιμήσουμε τη παλιδρόμηση της Υ πάω στη Χ. ˆ s 837.7 β 0.08 και ˆ α ˆ β 7. + 0.08335.5 65. 4. s 9799.3 Άρα η εξίσωση ελαχίστω τετραγώω της Υ πάω στη Χ είαι: Yˆ 65.4 0. 08. Ερμηεία του βˆ Αύξηση του βάρους γέησης κατά έα gr εκτιμάται ότι θα προκαλέσει μείωση του μέσου ποσοστού αύξησης τους βάρους το πρώτο τρίμηο μετά τη γέηση κατά 0.08%. Ερμηεία τουαˆ Για μηδεικό βάρος γέησης (!!!) το μέσο ποσοστό αύξησης του βάρους το πρώτο τρίμηο μετά τη γέηση εκτιμάται ότι θα είαι 65,4 %. Επειδή η τιμή 0 είαι μακριά από το διάστημα μελέτης (και όχι μόο) η ερμηεία του αˆ δε έχει πρακτική αξία (δες και Παρατήρηση-5). Αξιολόγηση του μοτέλου. Ο συτελεστής προσδιορισμού είαι: r ( 0.65) 0. 4. Δηλαδή, οι μεταβολές στο βάρος κατά τη γέηση ερμηεύου, μέσω του μοτέλου Yˆ 65.4 0. 08, το 4% της μεταβλητότητας του ποσοστού αύξησης του βάρους στο πρώτο τρίμηο μετά τη γέηση. Παρατήρηση: Επειδή είαι δυσόητη η ειδική εοιολογική ερμηεία της τετραγωικής ρίζας εός ποσοστού (όπως ο συτελεστής προσδιορισμού r ), για σκοπούς ερμηείας προτιμάται η χρησιμοποίηση του συτελεστή προσδιορισμού r παρά του συτελεστή γραμμικής συσχέτισης r. Το r ως μη αρητικός αριθμός μικρότερος ή ίσος του έχει τετραγωική ρίζα αριθμό μεγαλύτερό του (εκτός από τη περίπτωση που είαι 0 ή ) και συεπώς, α Εργαστήριο. Μαθηματικώ & Στατιστικής / Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 63
Αάλυση Παλιδρόμησης για τη αξιολόγηση του μοτέλου προτιμηθεί η τετραγωική του ρίζα (δηλ. το r) υπάρχει κίδυος υπερεκτίμησής του. Για παράδειγμα α r 0, 49 το r θα είαι 0,7. Δηλαδή, εώ το μοτέλο ερμηεύει τη μεταβλητότητα σε ποσοστό μικρότερο του 50% ο συτελεστής συσχέτισης δείχει ισχυρή γραμμική συσχέτιση. Το τυπικό σφάλμα της εκτίμησης είαι, 3 s s ( r ) 56.83 ( 0.4) 30 8.36. Επειδή 3 > 30, α φέρουμε δύο ευθείες παράλληλες προς τη ευθεία ελαχίστω τετραγώω και σε κατακόρυφες προς αυτή αποστάσεις 8.36, 8.36, 38. 36 τότε, μεταξύ τω δύο αυτώ ευθειώ θα βρίσκεται περίπου το 68%, το 95% και το 99.7% τω σημείω του διαγράμματος διασποράς ατίστοιχα. 0 00 Y (%) 80 60 40 0 0 00 500 900 3300 3700 400 4500 X (gr) Μεταξύ τω δύο παράλληλω βρίσκεται περίπου το 95% τω σημείω του διαγράμματος διασποράς (η κάθε ευθεία έχει κατακόρυφη απόσταση από τη ευθεία ελαχίστω τετραγώω 8.36 36. 7 ). Εργαστήριο. Μαθηματικώ & Στατιστικής / Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 64
Αάλυση Παλιδρόμησης ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Παραδοχές για τη εφαρμογή του Καοικού Απλού Γραμμικού Μοτέλου Η γεική υπόθεση-παραδοχή που κάουμε για έα μοτέλο παλιδρόμησης (γραμμικό ή όχι), είαι ότι η μεταβλητή Χ μετράται χωρίς σφάλμα και ότι η Υ, για κάθε επίπεδο της Χ, είαι τυχαία μεταβλητή με πεπερασμέη μέση τιμή και διασπορά. Για το καοικό απλό γραμμικό μοτέλο κάουμε επιπλέο τις ακόλουθες υποθέσειςπαραδοχές: Υπόθεση : Γραμμικότητα (Lneart) Η καταομή της Υ έχει, για τα διάφορα επίπεδα,,..., της Χ, μέση τιμή E( Y / X ) α + β ή E( Y / X ) α + β X, όπου, α και β παράμετροι που εκτιμώται από το δείγμα (, ),,...,. Δηλαδή, υποθέτουμε ότι οι μέσες τιμές της Υ, για τα διάφορα επίπεδα της Χ, είαι γραμμικές συαρτήσεις της Χ (ότι βρίσκοται δηλαδή σε ευθεία γραμμή). Σημειώουμε ότι στο μοτέλο Y α + β + ε, τυχαίες μεταβλητές είαι μόο οι Υ και ε. Υπόθεση : Ομοσκεδαστικότητα-Σταθερότητα Διασποράς (Homoscedastct - Varance Stablt) Οι καταομές της Y έχου ίδια διασπορά για όλα τα επίπεδα της X, δηλαδή, Var ( Y / X ) σ. Έα παράδειγμα παραβίασης της υπόθεσης αυτής (heteroscedastct) φαίεται στο προηγούμεο σχήμα (η διασπορά της Υ, π.χ. στο επίπεδο, είαι μεγαλύτερη από τη διασπορά της Υ στο επίπεδο ). Υπόθεση 3: Αεξαρτησία (Independence) Οι τιμές της Υ που ατιστοιχού στα διάφορα επίπεδα της Χ είαι αεξάρτητες μεταξύ τους. Υπόθεση 4: Καοικότητα (Normalt) Η καταομή της Υ για όλα τα επίπεδα της Χ είαι καοική. Εργαστήριο. Μαθηματικώ & Στατιστικής / Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 65
Αάλυση Παλιδρόμησης Με βάση τις προηγούμεες υποθέσεις για τις τυχαίες μεταβλητές μεταβλητές ε Y ( α + β ) (για τα σφάλματα) δεχόμαστε ότι:. ε ~ N(0, σ ). Για j, τα ε και αεξάρτητα). Y, για τις τυχαίες ε j είαι ασυσχέτιστα (και λόγω της καοικότητας είαι και Στη συέχεια, παρουσιάζουμε ορισμέες μεθόδους (γραφικές κυρίως) για το έλεγχο τω παραπάω προϋποθέσεω-παραδοχώ προσαρμογής του απλού γραμμικού μοτέλου. Οι παραδοχές αυτές αποτελού τη ααγκαία μαθηματική (πιθαοθεωρητική) βάση για τη εφαρμογή μεθόδω της στατιστικής συμπερασματολογίας (π.χ. έλεγχοι υποθέσεω, διαστήματα εμπιστοσύης). Ο έλεγχος επομέως αυτώ τω παραδοχώ είαι ααγκαίος προκειμέου α αποφεύγουμε λαθασμέες διαδικασίες εξαγωγής συμπερασμάτω για το πληθυσμό. Έας πρώτος, άμεσος, έλεγχος μπορεί α γίει με προσεκτική παρατήρηση του διάγραμματος διασποράς του δείγματος. Ας δούμε δύο παραδείγματα: Στο πρώτο διάγραμμα διασποράς (αριστερά) φαίεται ότι για όλα τα επίπεδα της Χ, οι καταομές της Υ είαι συμμετρικές και έχου σταθερή διασπορά οι ααμεόμεες μέσες τιμές της Υ βρίσκοται σε ευθεία γραμμή. Στο δεύτερο διάγραμμα διασποράς (δεξιά) φαίεται ότι, οι καταομές της Υ για τα διάφορα επίπεδα της Χ δε είαι συμμετρικές και ούτε έχου σταθερή διασπορά. Μάλιστα, φαίεται ότι αυξαομέου του Χ αυξάεται η διασπορά καθώς και η ασυμμετρία (θετική) της καταομής του Υ Εργαστήριο. Μαθηματικώ & Στατιστικής / Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 66
Αάλυση Παλιδρόμησης οι ααμεόμεες μέσες τιμές της Υ για τα διάφορα επίπεδα της Χ δε βρίσκοται σε ευθεία γραμμή αλλά σε καμπύλη. Ας δούμε πιο ααλυτικά, αά υπόθεση, πώς μπορούμε α διαπιστώσουμε και α ατιμετωπίσουμε πιθαές παραβιάσεις.. Γραμμικότητα (Lneart) Έας πρώτος έλεγχος της γραμμικότητας μπορεί α γίει γραφικά με το διάγραμμα διασποράς. Είαι όμως δυατό, ιδίως ότα η κλίση της ευθείας παλιδρόμησης που προσεγγίζει τα δεδομέα είαι μεγάλη, α μας δίεται η ετύπωση ότι τα σημεία (, ) είαι κοτά στη ευθεία παλιδρόμησης εώ στη πραγματικότητα δε είαι! (Δείτε τα παρακάτω σχήματα και, επίσης, θυμηθείτε με βάση ποιο κριτήριο εκτιμώται οι παράμετροι α και β της πληθυσμιακής ευθείας παλιδρόμησης E( Y / X ) α + β ). Για το λόγο αυτό, συήθως, χρησιμοποιούμε τα διαγράμματα υπολοίπω (resdual plots) όπου, ατί τω (, ) ααπαρίσταται γραφικά τα (, ˆ ε ) ή τα ( ˆ, ˆ ε ) (όπου ˆ ε ˆ τα υπόλοιπα). Α στο διάγραμμα υπολοίπω, τα σημεία (, ˆ ε ) (ή τα ( ˆ, ˆ ε )) δε ακολουθού κάποιο πρότυπο (κάποια συστηματική τάση) αλλά είαι τυχαία διεσπαρμέα σε μια οριζότια ζώη γύρω από τη οριζότια ευθεία που διέρχεται από το 0, τότε η επιλογή γραμμικού μοτέλου δικαιολογείται. Τα διαγράμματα υπολοίπω συήθως παρουσιάζου τη ίδια εικόα και ότα τα υπόλοιπα εˆ παρασταθού γραφικά συαρτήσει τω προσαρμοσμέω τιμώ ŷ. Εργαστήριο. Μαθηματικώ & Στατιστικής / Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 67
Αάλυση Παλιδρόμησης Σημείωση: Στα προηγούμεα διαγράμματα υπολοίπω (και στα επόμεα) ατί τω υπολοίπω ˆ ε ˆ, χρησιμοποιήσαμε τα s-τυποποιημέα υπόλοιπα (studentzed ˆ ε resduals) ˆ* ε, όπου h η μόχλευση της -οστής παρατήρησης. s h Στο ακόλουθο παράδειγμα, η προσαρμογή της ευθείας Yˆ 3.7. 09 Υ 0 8 6 4 δίει το ακόλουθο διάγραμμα υπολοίπω: 0 0 4 6 8 Χ Παρατηρούμε ότι αυξαομέου του Χ τα υπόλοιπα δε συγκετρώοται τυχαία γύρω από τη οριζότια ευθεία που διέρχεται από το 0, αλλά ακολουθού έα κυκλικό πρότυπο (αρητικές-θετικές-αρητικές τιμές). Αυτή η κυκλική συμπεριφορά (βλ. και επόμεο σχήμα) φαερώει παλιδρόμηση δεύτερου βαθμού ως προς Χ ( Y β + β + β + ε ). 0 Έτσι, α στα ίδια δεδομέα προσαρμοσθεί η παραβολή Yˆ 0.83 + 3.4 0.33 Εργαστήριο. Μαθηματικώ & Στατιστικής / Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 68
Αάλυση Παλιδρόμησης Υ 0 8 6 4 0 0 4 6 8 Χ τα υπόλοιπα συγκετρώοται τυχαία σε μια οριζότια ζώη γύρω από τη ευθεία που διέρχεται από το 0. Η καταλληλότητα ή όχι του γραμμικού μοτέλου ελέγχεται και με το ποσοστό της μεταβλητότητας του Υ που εξηγείται από τη παλιδρόμηση, δηλαδή, με το συτελεστή προσδιορισμού r. Στο προηγούμεο παράδειγμα, το μοτέλο Yˆ 3.7. 09 δίει r 7% εώ το μοτέλο Yˆ 0.83 + 3.4 0.33 δίει r 98.6%. Mπορεί επίσης α ελεγχθεί με το Lack-of-Ft test. Ότα διαπιστώεται ότι η σχέση μεταξύ Χ και Υ είαι μη γραμμική, σε αρκετές περιπτώσεις είαι δυατό, με κατάλληλους μετασχηματισμούς στα Χ ή/και στα Υ α προκύψει γραμμική σχέση. Έχουμε έτσι τη δυατότητα α αξιοποιήσουμε τη στατιστική θεωρία του γραμμικού μοτέλου και σε μη γραμμικά μοτέλα (αφού, ατιστρέφοτας στη συέχεια τις μετασχηματισμέες μεταβλητές, μπορούμε α πάρουμε τα ζητούμεα συμπεράσματα για τις αρχικές). Στο Παράρτημα Β δίουμε παραδείγματα τέτοιω μετασχηματισμώ. Γεικά, η στατιστική μελέτη μη γραμμικώ μοτέλω, με εξαίρεση τα πολυωυμικά, παραμέει δύσκολο και αοικτό πρόβλημα.. Ομοσκεδαστικότητα ή Σταθερότητα Διασποράς (Homoscedastct-Varance Stablt) Έας πρώτος έλεγχος της σταθερότητας ή μη της διασποράς της Υ (ή της ε) για τα διάφορα επίπεδα της Χ μπορεί α γίει με το διάγραμμα διασποράς και τα διαγράμματα υπολοίπω. Α για παράδειγμα, το διάγραμμα υπολοίπω έχει μορφή τραπεζίου (αοιχτής βετάλιας), όπως το παρακάτω, η πιο πιθαή αιτία αυτής της διαταραχής 7 είαι η μη σταθερότητα της διασποράς τω τυχαίω σφαλμάτω ε. Σε πολλές οικοομικές και εμπορικές εφαρμογές η μεταβολή της διασποράς σ με το Χ ή με το Ŷ 7 Της απόκλισης από τη τυχαία συγκέτρωση τω σημείω γύρω από τη οριζότια ευθεία που διέρχεται από το 0 Εργαστήριο. Μαθηματικώ & Στατιστικής / Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 69
Αάλυση Παλιδρόμησης δίει διαγράμματα υπολοίπω μορφής τραπεζίου (αυξαομέου του Χ ή του Yˆ, αυξάει το σ ή ατιστρόφως). Αυτό συμβαίει διότι τέτοιες εφαρμογές ακολουθού πολλαπλασιαστικά μοτέλα όπου σ Y [ E( Y )] σ και σ η διασπορά τω σφαλμάτω ε (γιατί;) 8. Επίσης, αάλογα διαγράμματα υπολοίπω δίου μεταβλητές που μετρού αριθμό συμβάτω στη μοάδα χρόου, χώρου, μήκους, κ.τλ. δηλαδή μεταβλητές που ακολουθού καταομή Posson (γιατί ;) 9. Α από τα διαγράμματα υπολοίπω δημιουργούται υπόοιες ότι δε έχουμε σταθερές διασπορές, μπορούμε α ελέγξουμε στατιστικά α υπάρχει σηματική διαφορά στις διασπορές ή όχι εφόσο για τα διάφορα επίπεδα της Χ έχουμε περισσότερες της μιας παρατηρήσεις. Μπορούμε, επίσης, α ταξιομήσουμε τις παρατηρήσεις σε αύξουσα σειρά τω Χ, α τις χωρίσουμε σε δύο ή περισσότερες ομάδες και α ελέγξουμε στατιστικά α οι ομάδες έχου σηματική διαφορά στις διασπορές ή όχι. Ότα διαπιστώεται μη σταθερότητα διασπορώ μπορούμε, σε αρκετές περιπτώσεις, α ατιμετωπίσουμε το πρόβλημα με κατάλληλους μετασχηματισμούς στις μεταβλητές. Στο Παράρτημα Β δίουμε παραδείγματα τέτοιω μετασχηματισμώ. 3. Αεξαρτησία (Independence) Εξαρτημέα Υ εμφαίζοται συήθως ότα παίρουμε παρατηρήσεις από τη ίδια πειραματική μοάδα σε διαφορετικές χροικές στιγμές (π.χ. μετράμε τη πίεση ή το βάρος του ιδίου ατόμου αά εβδομάδα). Επίσης, σε περιπτώσεις όπου χρησιμοποιούται μηχαές (όργαα μέτρησης, κ.τλ) που αλλάζει η απόδοσή τους με τη χρήση ή ο χειριστής βελτιώεται (ή χειροτερεύει) με τη πάροδο του χρόου. Είαι επομέως χρήσιμο, ότα έχουμε πειραματικά δεδομέα που παίροται με χροική σειρά, α κάουμε έα διάγραμμα υπολοίπω ως προς το χρόο έστω και α ο χρόος δε χρησιμοποιείται ως μεταβλητή στο μοτέλο. Α το διάγραμμα υπολοίπω έχει τη μορφή του παρακάτω σχήματος τότε είαι πιθαό α υπάρχει στοχαστική εξάρτηση μεταξύ τω σφαλμάτω. Στη συέχεια, πρέπει α ελέγξουμε στατιστικά τη υπόοια αυτή με το Durbn-Watson test. Α διαπιστωθεί εξάρτηση τω τιμώ της Υ τότε για τη προσαρμογή κατάλληλου μοτέλου και τη εξαγωγή στατιστικώ συμπερασμάτω πρέπει α χρησιμοποιηθού ειδικές μέθοδοι. 8 Στο πολλαπλασιαστικό μοτέλο έχουμε Y E(Y ) ε εώ στο προσθετικό έχουμε Y E(Y ) + ε Y 9 Θυμηθείτε ότι α η Υ ακολουθεί καταομή Posson τότε σ E( Y ) Εργαστήριο. Μαθηματικώ & Στατιστικής / Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 70
Αάλυση Παλιδρόμησης 4. Καοικότητα (Normalt) Η καοικότητα μπορεί α ελεγχθεί με διάφορους τρόπους όπως: Με ιστόγραμμα Με φυλλογράφημα (steam and leaf plot) Με θηκόγραμμα (bo plot) Με διάγραμμα πιθαοτήτω (normal probablt plot) Με στατιστικούς ελέγχους καλής προσαρμογής (goodness of-ft test) όπως Kolmogorov- Smrnov test ή X test. Ότα διαπιστώεται παραβίαση της καοικότητας μπορούμε, σε αρκετές περιπτώσεις, α ατιμετωπίσουμε το πρόβλημα με κατάλληλους μετασχηματισμούς στις μεταβλητές. Στο Παράρτημα Β δίουμε παραδείγματα τέτοιω μετασχηματισμώ. Πέρα τω παραπάω υποθέσεω-παραδοχώ, είαι χρήσιμο α ελέγχουμε τη ύπαρξη ή μη ακραίω παρατηρήσεω (outlers). Οι ακραίες παρατηρήσεις μπορού α αιχευθού αποτελεσματικά με το θηκόγραμμα τω παρατηρήσεω ή και με το διάγραμμα υπολοίπω. Α διαπιστωθεί ακραία παρατήρηση, πρέπει πρώτα α ερευηθεί α οφείλεται σε λαθασμέη παρατήρηση ή πιθαό σε απότομη στιγμιαία διαταραχή του συστήματος που παρατηρούμε. Α αυτό συμβαίει, πρέπει α παραληφθεί από το δείγμα. Α όμως η ακραία παρατήρηση αήκει στο πληθυσμό είαι λάθος α παραληφθεί από το δείγμα. Η γεική αρχή που πρέπει α τηρούμε είαι ότι ποτέ δε απορρίπτουμε μια ακραία παρατήρηση α δε είμαστε βέβαιοι ότι πρόκειται για λάθος ή απότομη στιγμιαία διαταραχή. Έγκυρες ακραίες παρατηρήσεις μπορεί α αποδειχθού οι πλέο εδιαφέρουσες! Εργαστήριο. Μαθηματικώ & Στατιστικής / Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 7
Αάλυση Παλιδρόμησης Υπόθεση για τη εφαρμογή του απλού γραμμικού μοτέλου παλιδρόμησης σε μη πειραματικά δεδομέα Για τη αάπτυξη της στατιστικής θεωρίας του απλού γραμμικού μοτέλου Y α + β X + ε, υποθέσαμε ότι η μεταβλητή Χ δε είαι τυχαία (μετράται χωρίς σφάλμα) και ότι τυχαίες μεταβλητές είαι μόο οι Υ και ε. Αυτή η υπόθεση ικαοποιείται στις πειραματικές έρευες όπου ο ερευητής ελέγχει (καθορίζει) τις τιμές της Χ και παρατηρεί πώς οι μεταβολές στις τιμές της Χ αταακλώται στη Υ. Σε μη πειραματικές έρευες (δειγματοληψίες), όπου ο ερευητής επιλέγει έα τυχαίο δείγμα (, ),,..., δηλαδή, ότα όχι μόο η Υ αλλά και η Χ είαι τυχαία μεταβλητή, τότε με τη υπόθεση ότι η από κοιού καταομή τω Χ και Υ είαι διδιάστατη καοική καταομή, μπορούμε και πάλι α εφαρμόσουμε τη θεωρία του απλού γραμμικού μοτέλου και α υπολογίσουμε τη ευθεία ελαχίστω τετραγώω της Υ πάω στη Χ ή της Χ πάω στη Υ διότι από τη θεωρία πιθαοτήτω είαι γωστό ότι οι δεσμευμέες καταομές της Υ δεδομέης της Χ και της Χ δεδομέης της Υ είαι καοικές με σ Y σ X μy / X μy + ρ ( X μ X ) και μ X / Y μ X + ρ ( Y μy ) ατίστοιχα. σ σ X Y Εργαστήριο. Μαθηματικώ & Στατιστικής / Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 7
Αάλυση Παλιδρόμησης ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Β Μετασχηματισμοί Σταθεροποίησης Διασπορώ Καοικοποίησης - Γραμμικοποίησης Κατά τη διερεύηση της σχέσης μεταξύ δύο μεταβλητώ Χ και Υ για τη εφαρμογή του γραμμικού μοτέλου παλιδρόμησης, πολλές φορές, διαπιστώεται παραβίαση μιας ή και περισσότερω εκ τω προϋποθέσεω-παραδοχώ εφαρμογής της ατίστοιχης στατιστικής θεωρίας. Σε αρκετές περιπτώσεις, μπορούμε α ατιμετωπίσουμε αυτά τα προβλήματα με κατάλληλους μετασχηματισμούς τω μεταβλητώ. Πιο συγκεκριμέα, υπάρχου τρεις βασικοί λόγοι για τη ααζήτηση κατάλληλω μετασχηματισμώ τω μεταβλητώ:. Για τη σταθεροποίηση τω διασπορώ, ότα παραβιάζεται η παραδοχή της ομοσκεδαστικότητας. Δηλαδή, ότα οι διασπορές της εξαρτημέης μεταβλητής Υ δε είαι ίσες για τα διάφορα επίπεδα της Χ.. Για τη καοικοποίηση, ότα οι καταομές της εξαρτημέης μεταβλητής Υ για τα διάφορα επίπεδα της Χ δε είαι καοικές. 3. Για τη γραμμικοποίηση, ότα τα αρχικά δεδομέα υποδεικύου όχι γραμμικό αλλά μη γραμμικό μοτέλο (είτε ως προς τις παραμέτρους παλιδρόμησης είτε ως προς τις μεταβλητές). Παρότι, για τους εδεικυόμεους κατά περίπτωση μετασχηματισμούς, υπάρχει πλούσια βιβλιογραφία, ετούτοις, η ααζήτηση κατάλληλω μετασχηματισμώ, για το συγκεκριμέο κάθε φορά πρόβλημα, απαιτεί αρκετή σχετική εμπειρία. Απαιτεί επίσης καλή γώση της φύσης του υπό μελέτη προβλήματος, ιδιαίτερα ότα τα δεδομέα παραβιάζου (δε υποστηρίζου) περισσότερες από μία προϋποθέσεις-παραδοχές. Γιατί σε αυτή τη περίπτωση, είαι δυατό, μετασχηματισμοί που προσφέροται για τη άρση μιας παραβίασης α μη προσφέροται για τη άρση τω άλλω ή και α δημιουργού έες. Στη συέχεια, σταχυολογούμε από τη βιβλιογραφία κάποιες χαρακτηριστικές περιπτώσεις εδεικυόμεω μετασχηματισμώ. Εργαστήριο. Μαθηματικώ & Στατιστικής / Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 73
Αάλυση Παλιδρόμησης. Λογαριθμικοί μετασχηματισμοί Ο λογαριθμικός μετασχηματισμός ln( Y ) Y εδείκυται: α) για σταθεροποίηση της διασποράς της Υ, ότα αυξάεται με το Υ. β) για καοικοποίηση της Υ, ότα η καταομή τω υπολοίπω παρουσιάζει θετική ασυμμετρία. γ) για γραμμικοποίηση του μοτέλου ότα τα αρχικά δεδομέα υποδεικύου το πολλαπλασιαστικό μοτέλο: X γ γ ε Y 0. Στη περίπτωση αυτή, το αρχικό μοτέλο (αριστερά) μετασχηματίζεται στο γραμμικό (δεξιά): Y α + β X + ε, όπου Y ln(y ), α ln( γ 0 ), β ln( γ ), ε ln( ε ) Με λογαριθμικούς μετασχηματισμούς γίεται, επίσης, γραμμικοποίηση τω πολλαπλασιαστικώ μοτέλω: γ e Y γ ε (με το μετασχηματισμό ln( X ) X ) 0 X και γ Y γ ε (με το μετασχηματισμό ln( Y ) Y και ln( X ) X ) 0 X Εργαστήριο. Μαθηματικώ & Στατιστικής / Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 74
Αάλυση Παλιδρόμησης. Ατίστροφοι μετασχηματισμοί Ο ατίστροφος μετασχηματισμός Y εδείκυται: Y α) για σταθεροποίηση της διασποράς της Υ, ότα έχουμε μεγάλη αύξηση της διασποράς πάω από κάποια τιμή του Υ. β) για γραμμικοποίηση του μοτέλου ότα τα αρχικά δεδομέα υποδεικύου το ατίστροφο μοτέλο: Y. γ + γ X + ε 0 Στη περίπτωση αυτή, το αρχικό μοτέλο μετασχηματίζεται στο γραμμικό: Y α + β X + ε, όπου Y, α γ 0, β γ, ε ε Y Με το ατίστροφο μετασχηματισμό X γίεται, γραμμικοποίηση του ατίστροφου X μοτέλου: Y γ 0 + γ + ε X 3. Μετασχηματισμοί τετραγωικής ρίζας Ο μετασχηματισμός Y Y εδείκυται: α) για σταθεροποίηση της διασποράς της Υ, ότα η διασπορά είαι αάλογη της μέσης τιμής της Υ. β) για γραμμικοποίηση του μοτέλου ότα τα αρχικά δεδομέα υποδεικύου το μοτέλο: Y ( γ + γ X + ε. 0 ) Στη περίπτωση αυτή, το αρχικό μοτέλο μετασχηματίζεται στο γραμμικό: Y α + β X + ε, όπου Y Y, α γ β γ, ε ε 0, Με το μετασχηματισμό X X γίεται γραμμικοποίηση του μοτέλου: γ + γ X + ε Y 0. Εργαστήριο. Μαθηματικώ & Στατιστικής / Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 75
Αάλυση Παλιδρόμησης 4. Μετασχηματισμός Y Y Ο μετασχηματισμός αυτός εδείκυται: α) για σταθεροποίηση της διασποράς της Υ, ότα ελαττώεται με τη μέση τιμή της Υ. β) για καοικοποίηση της Υ, ότα η καταομή τω υπολοίπω παρουσιάζει αρητική ασυμμετρία. γ) για γραμμικοποίηση του μοτέλου ότα τα αρχικά δεδομέα υποδεικύου καμπυλόγραμμο μοτέλο π.χ. Y γ 0 + γ X + ε. Στη περίπτωση αυτή, το αρχικό μοτέλο μετασχηματίζεται στο γραμμικό: Y α + β X + ε, όπου Y Y, α γ β γ, ε ε 0,. Οι παραπάω μετασχηματισμοί μπορού φυσικά α συδυασθού για τη ατιμετώπιση πιο πολύπλοκω περιπτώσεω. Για παράδειγμα το μη γραμμικό μοτέλο Y γ + γ X + ε + e 0 εύκολα μετασχηματίζεται σε γραμμικό με το μετασχηματισμό Y ln( ) που είαι Y έας ατίστροφος και έας λογαριθμικός μετασχηματισμός (διαδοχικά). Εργαστήριο. Μαθηματικώ & Στατιστικής / Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 76
Αάλυση Παλιδρόμησης ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Γ Επισημάσεις - Σχόλια - Διευκριήσεις. Ερμηεία του ελέγχου της υπόθεσης H 0 : β 0 έατι της H : β 0 για τη κλίση της πληθυσμιακής ευθείας παλιδρόμησης. α) Ότα δε απορρίπτεται η μηδεική υπόθεση, τότε 0 συμβαίει έα από τα παρακάτω: Η σχέση μεταξύ Χ και Υ δε είαι γραμμική Πρόκειται για το μοτέλο E ( Y / X ) E( Y ) α. Δηλαδή, πρόκειται για τη περίπτωση όπου η Χ δε συεισφέρει στη πρόβλεψη της E ( Y / X ). Έτσι, το γραμμικό μοτέλο Yˆ + ˆ β ( ) προβλέπει τη μέση τιμή της Υ όσο και το Y ˆ. β) Ότα απορρίπτεται η μηδεική υπόθεση, τότε συμβαίει έα από τα παρακάτω: Η Χ, μέσω του γραμμικού μοτέλου, συεισφέρει στη πρόβλεψη της E ( Y / X ). Το γραμμικό μοτέλο είαι μόο μια καλή γραμμική προσέγγιση, μιας μη γραμμικής, στη πραγματικότητα, σχέσης. Συοψίζοτας: Είτε απορρίπτεται η μηδεική υπόθεση είτε όχι, το γραμμικό μοτέλο μπορεί α μη είαι κατάλληλο. Κάποιο άλλο μοτέλο (μη γραμμικό), μπορεί α περιγράφει τη σχέση μεταξύ Χ και Υ καλύτερα. 0 με το ατίστοιχο σφάλμα λαθασμέης μη απόρριψης με το ατίστοιχο σφάλμα λαθασμέης απόρριψης Εργαστήριο. Μαθηματικώ & Στατιστικής / Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 77
Αάλυση Παλιδρόμησης. Ο Διορθωμέος Συτελεστής Προσδιορισμού (adjusted r ) Ο συτελεστής προσδιορισμού r εκφράζει το ποσοστό της μεταβλητότητας τω τιμώ της εξαρτημέης μεταβλητής που εξηγείται, μέσω του μοτέλου, από τις αεξάρτητες μεταβλητές. Α στο γραμμικό μοτέλο εισαχθεί μια επιπλέο μεταβλητή, δε είαι δυατό η τιμή του συτελεστή προσδιορισμού α μειωθεί. Ο διορθωμέος συτελεστής προσδιορισμού συμπεριφέρεται διαφορετικά. Α εισαχθεί μια επιπλέο μεταβλητή, η τιμή του μπορεί είτε α αυξηθεί είτε α ελαττωθεί. Α η έα μεταβλητή που εισάγεται δε συεισφέρει σηματικά στη ερμηεία της μεταβλητότητας τω τιμώ της εξαρτημέης μεταβλητής, η τιμή του διορθωμέου r ελαττώεται! Ο διορθωμέος συτελεστής προσδιορισμού υπολογίζεται από το τύπο: n r adj ( ) ( r ) όπου k, ο αριθμός τω παραμέτρω του μοτέλου. n k Ο διορθωμέος συτελεστής προσδιορισμού είαι πιο κατάλληλος από το συτελεστή προσδιορισμού στις εξής περιπτώσεις: α) ότα ο αριθμός τω παραμέτρω του μοτέλου είαι κοτά στο μέγεθος του δείγματος β) ότα συγκρίουμε μοτέλα που περιλαμβάου διαφορετικό αριθμό αεξάρτητω μεταβλητώ (γιατί;). Παρατηρείστε το τύπο υπολογισμού του και σκεφθείτε τι «τιμωρείται». Εργαστήριο. Μαθηματικώ & Στατιστικής / Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 78
Αάλυση Παλιδρόμησης Προβλήματα. Στο πίακα που ακολουθεί φαίοται τα ποσοστά χαλκού σε 30 δείγματα μεταλλεύματος που ελήφθησα σε διαφορετικές αποστάσεις κατά μήκος μιας στοάς εός μεταλλείου. Φαίοται, επίσης, οι αποστάσεις τω σημείω δειγματοληψίας από τη είσοδο της στοάς. Απόσταση (m) Ποσοστό Χαλκού (%) Απόσταση (m) Ποσοστό Χαλκού (%) 0.0 0.68 7.8 0.60 0.8 0.64 9.7 0.64.0 0.70 0. 0.89.3 0.59. 0.78.7 0.64 4.7.0 4.5 0.54 5. 0.66 5. 0.43 6.3.4 6.0 0.58 8.. 7. 0.4 30.5.0 8.7 0.50 3.0.3 0. 0.7 35.3.3.8 0.6 36..56 3. 0.5 37.7. 5. 0.57 38.4.60 6.3 0.90 4.0.03 (α) Προσαρμόστε στα δεδομέα το απλό γραμμικό μοτέλο. α ) Μέσω του μοτέλου που προσαρμόσατε, τι ποσοστό της μεταβλητότητας της περιεκτικότητας χαλκού εξηγείται από τη απόσταση; α ι ) Ελέγξτε α το μοτέλο που προσαρμόσατε είαι στατιστικά σηματικό. α ι ) Για τη κλίση της ευθείας παλιδρόμησης β, ελέγξτε τη υπόθεση H 0 : β 0 έατι της H : β 0. Ερμηεύστε το αποτέλεσμα του ελέγχου αυτού. α v ) Επιβεβαιώοται από τα δεδομέα οι υποθέσεις-παραδοχές της στατιστικής θεωρίας του απλού γραμμικού μοτέλου; (β) Προέκυψα εδείξεις ότι πρέπει α ααζητηθεί άλλο μοτέλο; Α αι, διερευήστε.. Στο πλαίσιο μιας περιβαλλοτικής μελέτης, μετρήθηκα σε έξι διαφορετικούς χρόους t, οι συγκετρώσεις Υ μιας χημικής ουσίας σε 8 διαφορετικά διαλύματα (έγια τρεις μετρήσεις σε καθέα από τους έξι διαφορετικούς χρόους). Στο πίακα που ακολουθεί φαίοται τα αποτελέσματα τω μετρήσεω αυτώ. Εργαστήριο. Μαθηματικώ & Στατιστικής / Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 79
Αάλυση Παλιδρόμησης Αριθμός Διαλύματος Χρόος ( t ) σε ώρες Συγκέτωση ( ) σε mg/ml 6 0.09 6 0.03 3 6 0.07 4 8 0.079 5 8 0.07 6 8 0.088 7 0 0.8 8 0 0.65 9 0 0.0 0 0.45 0.384 0.47 3 4.30 4 4.00 5 4.49 6 6.8 7 6.465 8 6 3.099 (α) Προσαρμόστε στα δεδομέα το απλό γραμμικό μοτέλο Y α + β t + ε. α ) Μέσω του μοτέλου που προσαρμόσατε, τι ποσοστό της μεταβλητότητας της συγκέτρωσης της χημικής ουσίας Υ εξηγείται από τη μεταβλητότητα του χρόου Τ; α ι ) Ελέγξτε α το μοτέλο που προσαρμόσατε είαι στατιστικά σηματικό. Για τη κλίση της ευθείας παλιδρόμησης β, ελέγξτε τη υπόθεση H : β 0 0 έατι της H : β 0. Ερμηεύστε το αποτέλεσμα του ελέγχου αυτού. Τέλος, ελέγξτε (στατιστικά) α πρέπει α εξετάσετε προσαρμογή κάποιου άλλου μοτέλου. α ιιι ) Σχολιάστε συολικά τις επιμέρους απατήσεις στo ερώτημα (α ι ). Είαι κάποιες ατιφατικές; Είαι κάποιες ταυτόσημες; (εξηγείστε.) α v ) Eπιβεβαιώοται από τα πειραματικά δεδομέα οι υποθέσεις-παραδοχές της στατιστικής θεωρίας του απλού γραμμικού μοτέλου; (β) Προσθέστε έα ακόμη όρο ( β t ) στο μοτέλο. β ) Επααλάβατε τα ερωτήματα α α v για το έο μοτέλο: ˆ ˆ Yˆ ˆ α + β t + β t. β ) Ελέγξτε α ο όρος β t είαι στατιστικά σηματικός. Ερμηεύστε το αποτέλεσμα του ελέγχου αυτού. β ) Βελτιώθηκε το ποσοστό της μεταβλητότητας του Υ που εξηγείται από τη παλιδρόμηση; (γ) Προσαρμόστε το μοτέλο ln( Y ) α + β t + ε. γ ) Επααλάβετε τα ερωτήματα α α v για το έο μοτέλο. γ ) Τι ποσοστό της μεταβλητότητας του ln(υ) εξηγείται από τη παλιδρόμηση; Εργαστήριο. Μαθηματικώ & Στατιστικής / Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 80
Αάλυση Παλιδρόμησης (δ) Ποιο από τα τρία μοτέλα παλιδρόμησης είαι το καταλληλότερο για προσαρμογή στα δεδομέα του πειράματος; Εξηγείστε γιατί. Εξηγείστε επίσης πώς οδηγηθήκαμε α εξετάσουμε αυτά τα μοτέλα. (ε) Έστω ότι οι 8 ααλύσεις δε είχα γίει σε 8 διαφορετικά διαλύματα αλλά σε 3. Δηλαδή, έστω ότι είχα γίει 6 ααλύσεις σε καθέα από 3 διαφορετικά διαλύματα (μια σε καθέα από τους 6 διαφορετικούς χρόους). Στη περίπτωση αυτή, θα υπήρχα προβλήματα στη εφαρμογή της στατιστικής θεωρίας της παλιδρόμησης; 3. Σε κοιλάδες τρίτης τάξης μετρήθηκα: α) ο αριθμός τω ρυακιώ πρώτης τάξης (Υ) β) η πυκότητα αποστράγγισης 3 (Χ ) γ) το εμβαδό κάθε κοιλάδας (Χ, δ) η υψομετρική διαφορά του υψηλότερου και του χαμηλότερου σημείου της λεκάης κάθε κοιλάδας (Χ 3 ) και ε) το σχήμα 4 κάθε κοιλάδας (Χ 4 ). Τα αποτελέσματα τω μετρήσεω φαίοται στο πίακα που ακολουθεί. Κοιλάδα Αριθμός ρυακιώ Υ Πυκότητα αποστράγγισης Χ (Km/Km ) Εμβαδό Χ (Km ) Υψομετρική διαφορά Χ 3 (m) Σχήμα Χ 4 5 7.6 0.968 998 0.4 7 8.8 0.98 56 0.53 3.73 0.54 54 0.33 4 59.47.08 87 0.5 5 5 4.6 0.7 635 0.7 6 0.53 0.339 33 0.4 7 6 4.76 0.6 75 0.65 8 3 0.57 0.564 786 0.73 9 6.6 0.54 695 0.47 0 7.8 0.8 885 0.45 5 7.3 0.54 690 0.7 0 9.43 0.33 59 0.36 3 9 7.76 0.595 735 0.66 4 6 7.06 0.306 548 0.4 5 5.4 0.098 576 0.38 6 9.76 0.7 73 0.5 7.5 0.440 805 0.3 8 7.44 0.56 384 0.39 9 7 8.46 0.766 90 0.3 0 5 9.55 0.79 507 0.4 (α) Να εξετάσετε α μεταξύ του αριθμού τω ρυακιώ Υ και κάθε μιας εκ τω μεταβλητώ Χ, Χ, Χ 3, Χ 4 υπάρχει γραμμική ή άλλη εξάρτηση. (β) Εκτιμείστε κατάλληλο στοχαστικό μοτέλο το οποίο θα σας επιτρέψει α απατήσετε στο ερώτημα: Σε επίπεδο σηματικότητας 5%, μπορούμε με αυτά τα δεδομέα α ισχυριστούμε ότι μια κοιλάδα που έχει 35 ρυάκια και εμβαδό 0.6 Km αήκει στο πληθυσμό τω κοιλάδω που μελετάμε; (γ) Εκτιμείστε το μοτέλο: Y β 0 + βx + β X + β3 X 3 + β 4 X 4 + ε. (δ) Ποιες εκ τω μεταβλητώ Χ, Χ, Χ 3, Χ 4 θα επιλέξετε για α συμπεριλάβετε στο μοτέλο; Όρους αλληλεπίδρασης θα συμπεριλάβετε; Εξηγείστε. 3 Η πυκότητα αποστράγγισης της κοιλάδας ορίζεται ως το πηλίκο του συολικού μήκους όλω τω ρυακιώ της κοιλάδας προς το εμβαδό της κοιλάδας. 4 Ως σχήμα της κοιλάδας ορίζεται το πηλίκο του πλάτους προς το μήκος της κοιλάδας. Εργαστήριο. Μαθηματικώ & Στατιστικής / Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 8
Αάλυση Παλιδρόμησης 4. Στο πίακα που ακολουθεί φαίοται οι μετρήσεις του βάρους Υ και του μήκους Χ είκοσι βρεφώ τα οποία κατά τη γέηση είχα βάρος μικρότερο τω.500 gr (λιπόβαρα). Μήκος ( ) σε cm Βάρος ( ) σε gr 4 360 40 490 38 490 38 80 38 00 3 680 33 60 38 060 30 30 34 830 3 880 39 30 38 40 39 350 37 950 39 0 38 980 4 480 39 50 38 50 (α) Με βάση τα παραπάω δεδομέα α εκτιμήσετε κατάλληλο στοχαστικό μοτέλο μέσω του οποίου α μπορεί α εκτιμηθεί το μέσο βάρος βρεφώ συγκεκριμέου μήκους. (β) Αξιολογείστε το μοτέλο που εκτιμήσατε και τεκμηριώστε τη καταλληλότητά του (επιβεβαίωση τω υποθέσεω-παραδοχώ της στατιστικής θεωρίας του μοτέλου, τυπικό σφάλμα της εκτίμησης, ζώη εμπιστοσύης, τυπικά σφάλματα τω εκτιμήσεω τω παραμέτρω και ατίστοιχα διαστήματα εμπιστοσύης, έλεγχοι υποθέσεω για τις παραμέτρους, συτελεστής προσδιορισμού, Lack-of-Ft test, διερεύηση πιθαώ ακραίω τιμώ, σύγκριση με άλλα επίσης κατάλληλα μοτέλα). (γ) Εκτιμείστε το μέσο βάρος τω λιπόβαρω κατά τη γέηση βρεφώ μήκους 36 cm. Τι αξία έχει αυτή η εκτίμηση; (δώστε έα διάστημα εμπιστοσύης για το μέσο βάρος του πληθυσμού τω λιπόβαρω βρεφώ μήκους 36 cm και ερμηεύστε). (δ) Από το εξεταζόμεο πληθυσμό τω λιπόβαρω κατά τη γέηση βρεφώ, επιλέγετε έα βρέφος και βρίσκετε ότι έχει μήκος 36 cm. Τι βάρος προβλέπετε α έχει αυτό το βρέφος; Τι αξία έχει αυτή η πρόβλεψη; (δώστε έα διάστημα εμπιστοσύης για το βάρος αυτού του βρέφους (διάστημα πρόβλεψης) και ερμηεύστε). (ε) Το μοτέλο που εκτιμήσατε μπορεί α δώσει «αξιόπιστη» εκτίμηση του μέσου βάρους λιπόβαρω βρεφώ μήκους 46 cm; (εξηγείστε.) (στ) Για ποιο μήκος προκύπτει το καλύτερο διάστημα εμπιστοσύης για το μέσο βάρος του πληθυσμού τω βρεφώ; Εργαστήριο. Μαθηματικώ & Στατιστικής / Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 8
Αάλυση Παλιδρόμησης 5. Σε δείγματα μελιού έγια επεμβάσεις (treatments) με malathon και fluvalnate σε συθήκες ncubator και storage. Για α μελετηθεί ο ρυθμός αποδόμησης τω ουσιώ αυτώ, έγια μετρήσεις της συγκέτρωσης Υ κάθε ουσίας σε διάφορους χρόους Τ μετά τη ατίστοιχη επέμβαση. Τα αποτελέσματα τω μετρήσεω αυτώ φαίοται στους παρακάτω πίακες 5 : Χρόος μετά τη αγωγή ( t ) σε εβδ. Malathon Συγκέτρωση σε ppd Incubator Storage Χρόος μετά τη επέμβαση ( t ) σε εβδ. Fluvalnate Συγκέτρωση σε ppd Incubator Storage 0 98.7 99.3 0 93.5 0.5 96.0 97.5 4 79.9 03.7 3 83.7 8.9 8 60. 4.6 4 77.7 8. 79.3 98. 5 40.3 5.4 6 37.4 95.6 6 9.7 37.7 0 8.3 76. 7 7.0 5.4 4 6.9 6.3 8 0.3 8.8 9 5.7 5.9 0 3.3 0. Οι ερευητές, μεταξύ άλλω, προσάρμοσα στις πειραματικές μετρήσεις και για κάθε περίπτωση ξεχωριστά (malathon σε ncubator, malathon σε Storage, fluvalnate σε ncubator, fluvalnate σε Storage), το απλό γραμμικό μοτέλο παλιδρόμησης. (α) Να βρείτε (εκτιμήσετε) αυτά τα μοτέλα γραμμικής παλιδρόμησης και α ερμηεύσετε τις τιμές τω παραμέτρω τους. (γ) Να ελέγξετε α επιβεβαιώοται από τα πειραματικά δεδομέα οι υποθέσειςπαραδοχές της στατιστικής θεωρίας του απλού γραμμικού μοτέλου. (δ) Να δώσετε το τυπικό σφάλμα και έα 95% διάστημα εμπιστοσύης για κάθε μια από τις παραμέτρους τω μοτέλω. Για κάθε μοτέλο, α ερμηεύσετε (με όρους του προβλήματος) τις τιμές τω άκρω του διαστήματος εμπιστοσύης κάθε παραμέτρου. (ε) Για κάθε περίπτωση, α εκτιμήσετε τη μέση συγκέτρωση της ουσίας δύο εβδομάδες μετά τη ατίστοιχη επέμβαση. Τι αξία έχου αυτές οι εκτιμήσεις; (στ) Να ελέγξετε α υπάρχει στατιστικώς σηματική διαφορά μεταξύ τω ρυθμώ αποδόμησης ) της ουσίας malathon σε συθήκες ncubator και σε συθήκες Storage ) της ουσίας fluvalnate σε συθήκες ncubator και σε συθήκες σε Storage ) της ουσίας malathon σε συθήκες ncubator και της ουσίας fluvalnate σε συθήκες ncubator. (ζ) Να αξιολογήσετε τα μοτέλα. 5 P. G. Balaanns; L. A. Santas, Journal of Apcultural Research, 3(): 70-76 (99) Εργαστήριο. Μαθηματικώ & Στατιστικής / Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 83
Αάλυση Παλιδρόμησης 6. Στο πίακα που ακολουθεί φαίοται οι τιμές του ρυθμού θαατηφόρω γεωργικώ ατυχημάτω Υ, που ατιστοιχού σε έτη μετά τη λήψη μέτρω ασφάλειας (ομοθετικώ, συμβουλευτικής, εκπαίδευσης κ.τλ). Τα έτη έχου κωδικοποιηθεί. Έτος Ρυθμός θαατηφόρω ατυχημάτω αά 00 γεωργούς 0.49 0.73 3 0.36 4 0.08 5 0.0996 6 0.095 7 0.0904 8 0.079 9 0.070 0 0.089 0.0799 0.084 (α) Για α μοτελοποιήσετε τη τάση τω ρυθμώ θαατηφόρω ατυχημάτω, επιλέξτε α προσαρμόσετε στα δεδομέα με τη μέθοδο τω ελαχίστω τετραγώω το καταλληλότερο από τα παρακάτω μοτέλα: ) Y α + β + ε ) e Y α β ε ) Y α + β + ε Τεκμηριώστε τη επιλογή σας. (β) Οι τιμές είαι τιμές χροολογικής σειράς. Τι συεπάγεται η διαπίστωση αυτή για τη «στατιστική αξία» του μοτέλου που προσαρμόσατε; 7. Στο πίακα που ακολουθεί φαίοται οι πειραματικές τιμές της πίεσης P και του ατίστοιχου όγκου V μιας μάζας αέρα. Όγκος 54.3 6.8 7.4 88.7 8.6 94.0 Πίεση 6. 49.5 37.6 8.4 9. 0. Σύμφωα με τη θερμοδυαμική θεωρία, για τα P και V ισχύει η μη γραμμική γ σχέση: P V C όπου γ και C σταθερές. α) Το διάγραμμα διασποράς τω πειραματικώ δεδομέω επιβεβαιώειυποδεικύει τη σχέση της θερμοδυαμικής θεωρίας; β) Αφού μετασχηματίσετε κατάλληλα τις πειραματικές τιμές της πίεσης P ή/και του όγκου V, προσαρμόστε το απλό γραμμικό μοτέλο για τη εκτίμηση της πίεσης από το όγκο. Τι εκτιμήσεις για τις παραμέτρους γ και C δίει το μοτέλο αυτό; Αξιολογείστε τις εκτιμήσεις αυτές. Εκτιμείστε τη τιμή της πίεσης P για V 00. Εργαστήριο. Μαθηματικώ & Στατιστικής / Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 84