ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-5: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς Εαρινό Εξάµηνο 06-7 ιδάσκοντες : Γ. Στυλιανού, Γ. Καφεντζής Λυµένες Ασκήσεις - Μετασχηµατισµός Laplace. Εστω το σήµα {, 0 t T x(t) 0, αλλού () (αʹ) Να υπολογίσετε το µετασχ. Fourier του. (ϐʹ) Να υπολογίσετε το µετασχ. Laplace του. Επιβεβαιώστε το αποτέλεσµα του προηγούµενου ερωτή- µατος, χρησιµοποιώντας τον µετασχ. Laplace. (αʹ) (ϐʹ) ( t T ) x(t) rect X(f) Tsinc(fT)e jπft/ Tsinc(fT)e jπft () T T 0 e st s e st T 0 s (e st ) s ( est ) (3) Επειδή το σήµα είναι πεπερασµένης διάρκειας, το πεδίο σύγκλισής του είναι όλο το s-επίπεδο. Επειδή το πεδίο σύγκλισης περιλαµβάνει το ϕανταστικό άξονα, ας ϐρούµε το µετασχ. Fourier µέσω του µετασχ. Laplace που µόλις υπολογίσαµε. X(s) σ0 jπf ( e jπft ) jπf e jπft/ (e jπft/ e jπft/ ) jπf e jπft/ j sin( πft ) πf e jπft sin(πft ) T πft e jπft sin(πft ) T sinc(ft)e jπft (4) που είναι το ίδιο ακριβώς αποτέλεσµα µε αυτό που υπολογίσαµε παραπάνω.. Υπολογίστε το µετασχ. Laplace του σήµατος x(t) e αt u(t) + e αt u( t), α > 0 (5) Υπολογίζεται για το σήµα αυτό ο µετασχ. Fourier µέσω του µετασχ. Laplace; Αν ναι, ϐρείτε τον. Αν όχι, εξηγείστε.
Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 06-7/Λυµένες Ασκήσεις 0 x(t)e st e (a s)t + e (a s)t 0 a s e(a s)t + 0 0 a s e(a s)t ( ) lim a s e(a s)t (0 ) + ( 0) a s a s a s + a s a s a + s (a s)(a s) a (s a)(s a) + a s αν a R{s} < 0 και a R{s} > 0 a < R{s} < a. ( lim t e(a s)t) (πρέπει R{a s} < 0 και R{a s} > 0) Τα δυο πεδία σύγκλισης προέκυψαν απ τους γνωστούς περιορισµούς στα ολοκληρώµατα, όταν t ±, ώστε αυτά να συγκλίνουν. Επειδή έχουµε άθροισµα σηµάτων, το πεδίο σύγκλισης ϑα είναι η τοµή των επιµέρους πεδίων σύγκλισης. Βλέπουµε ότι το πεδίο σύγκλισης είναι µια λωρίδα στο µιγαδικό επίπεδο, πράγµα που αναµενόταν, µια και έχουµε να κάνουµε µε αµφίπλευρο σήµα. (6) Ο µετασχηµατισµός Fourier δεν µπορεί να υπολογιστεί µέσω του µετασχ. Laplace, γιατί το πεδίο σύγκλισης δεν περιλαµβάνει το ϕανταστικό άξονα R{s} σ 0, για καµιά τιµή του a. 3. είξτε ότι ο µετασχ. Laplace του σήµατος είναι ο ίνεται ότι x(t) te αt u(t), α > 0 te αt ) α e αt( αt, R{s} > α (s + α) x(t)e st e (a+s)t ( ) + (a + s) (a + s)t 0 ( te (a+s)t lim a + s te (a+s)t lim a + s lim a + s (a + s) lim 0 + te at u(t)e st e (a+s)t ) (a + s) + e (a+s)t lim t e (a+s)t 0 + 0 (a + s) (a + s) + (a + s) (a + s) e (a+s)t + (a + s) te (a+s)t (a + s), αν R{s} + a > 0 R{s} > a. (7) (a + s)
Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 06-7/Λυµένες Ασκήσεις 3 Εδώ, το πεδίο σύγκλισης προέκυψε από τους γνωστούς περιορισµούς, ώστε τα όρια να ϕθίνουν στο µηδέν. Επίσης, στο τελευταίο όριο, εφαρµόσαµε τον κανόνα του De L Hospital για να το λύσουµε. 4. είξτε ότι ο µετασχ. Laplace του σήµατος x(t) tu(t) είναι, R{s} > 0. s ίνεται ότι te αt ) α e αt( αt te st s lim tu(t)e st 0 e st s 0 te st e st s ( st ) ( te st 0 s 0 lim te st + s lim t e st + s ) e st s 0 s se st + s 0 + s, R{s} > 0. (8) s Εδώ και πάλι χρησιµοποιήσαµε τον κανόνα του De L Hospital, ενώ το πεδίο σύγκλισης προκύπτει κατά τα γνωστά (πλέον :-) ). 5. είξτε ότι ο µετασχ. Laplace του σήµατος του Σχήµατος () είναι ο Σχήµα : Σχήµα Άσκησης 5 ίνεται ότι te αt ) α e αt( αt s (e s e s ) s e 4s ος τρόπος : (t )e st + e st s ( st ) e s s + e s s 4 + e st s e 4s s e st e st s 4 te st e st + 4 e st s (e s e s ) s e 4s (9)
Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 06-7/Λυµένες Ασκήσεις 4 Το πεδίο σύγκλισης είναι όλο το s-επίπεδο, αφού το x(t) είναι πεπερασµένης διάρκειας. ος τρόπος : Σχήµα : Παράγωγος Άσκησης 5 dx(t) ( t 3 ) rect δ(t 4) L{ dx(t) } s e 3 s (e s e s ) e 4s s e s s e s e 4s (0) Ισχύει ότι Άρα L{ dx(t) } sx(s) x(0 ) sx(s) s (e s e s ) e 4s sx(s) x(0 ) s (e s e s ) s e 4s () Ο δεύτερος τρόπος λύσης είναι πιο εύκολος, µε την προϋπόθεση ότι ϑα παραγωγιστεί σωστά το Σχήµα και ϑα εφαρµόσετε σωστά την ιδιότητα. 6. Να υπολογιστεί ο µετασχ. Laplace του σήµατος που ϕαίνεται στο Σχήµα 3. Σχήµα 3: Σχήµα Άσκησης 6
Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 06-7/Λυµένες Ασκήσεις 5 Σχήµα 4: Παράγωγος Σχήµατος Άσκησης 6 Παραγωγίζοντας, έχουµε το σήµα του Σχήµατος 4. sx(s) x(0 ) L{ dx(t) } L{δ(t ) rect ( t 3 ) } + rect e s s ( e s ) + s ( e s )e s e 3s s e s s e s + s e s + s e s s e 3s e 3s ) + e s( s + ) e 3s( ) s s + e s( s e s (s ) s ( t 5 ) δ(t 3)} + e s s e 3s (s + ) s () Το σήµα είναι πεπερασµένης διάρκειας, άρα το πεδίο σύγκλισης είναι όλο το s-επίπεδο. 7. Εστω 3s + 5 s + 3s + µε ROC : < R{s} <. Βρείτε τον αντίστροφο µετασχ. Laplace, x(t). Προφανώς δε ϑα χρησιµοποιήσουµε τον ορισµό για να ϐρούµε τον αντιστρ. µετασχ. Laplace, αλλά ϑα χρησι- µοποιήσουµε ήδη γνωστά µας Ϲεύγη µετασχηµατισµών, σπάζοντας το µεγάλο κλάσµα σε µικρότερα. Ισχύει ότι η τάξη του πολυωνύµου του αριθµητή είναι µικρότερη απ την αντίστοιχη του παρονοµαστή, άρα µπορούµε να εφαρµόσουµε Ανάπτυγµα σε Μερικά Κλάσµατα. : 3s + 5 s + 3s + 3s + 5 (s + )(s + ) s + + s + X(s)(s + ) 3s + 5 σ s + σ X(s)(s + ) 3s + 5 σ s + σ Άρα ϑα είναι s + + s +
Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 06-7/Λυµένες Ασκήσεις 6 Το πεδίο σύγκλισης δίδεται ότι είναι ROC : < R{s} < R{s} > R{s} < Άρα, γνωρίζοντας ότι το X(s) είναι άθροισµα δυο σηµάτων της παραπάνω µορφής, µε πεδία σύγκλισης τα δυο παραπάνω, ϑέλουµε να ϐρούµε τα δυο σήµατα στο χρόνο. Από τους πίνακες των Ϲευγών µετασχηµατισµών, έχουµε ότι : Άρα τελικά είναι το σήµα που ψάχνουµε. e t u(t), R{s} > s + e t u( t), R{s} < s + x(t) e t u(t) e t u( t) (3) 8. Να υπολογιστεί ο αντίστροφος µετασχ. Laplace του σήµατος όταν : (αʹ) ROC : < R{s} < (ϐʹ) ROC : R{s} > (γʹ) ROC : R{s} < 3 (s + )(s ) Σε κάθε περίπτωση, σχεδιάστε την περιοχή σύγκλισης. µε 3 (s + )(s ) s + + s X(s)(s + ) 3 s s s X(s)(s ) 3 s s + s Ανάλογα µε τα πεδία σύγκλισης που δίνονται, ϑα καθοριστεί και το σήµα στο χρόνο που ϑα προκύψει. (αʹ) Άρα (ϐʹ) Άρα s + s Το πεδίο σύγκλισης ϕαίνεται στο Σχήµα 5. s + s Το πεδίο σύγκλισης ϕαίνεται στο Σχήµα 6. (γʹ) Άρα s + s Το πεδίο σύγκλισης ϕαίνεται στο Σχήµα 7. <R{s}<{ <R{s}} {R{s}<} x(t) e t u(t) + e t u( t) (4) L R{s}>{R{s}> } {R{s}>} x(t) e t u(t) e t u(t) (5) L R{s}< {R{s}< } {R{s}<} x(t) e t u( t) + e t u( t) (6) L
Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 06-7/Λυµένες Ασκήσεις 7 Σχήµα 5: ο Πεδίο Σύγκλισης Άσκησης 8 Σχήµα 6: ο Πεδίο Σύγκλισης Άσκησης 8 Σχήµα 7: 3ο Πεδίο Σύγκλισης Άσκησης 8 9. Ο µετασχ. Laplace δίνεται από τη σχέση s + s s 3
Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 06-7/Λυµένες Ασκήσεις 8 (αʹ) Για όλα τα δυνατά πεδία σύγκλισης, ϐρείτε τον αντίστροφο µετασχ. Laplace, x(t). (ϐʹ) Σε ποιά περίπτωση υπολογίζεται ο µετασχ. Fourier; Υπολογίστε τον. (αʹ) Οι πόλοι του παρονοµαστή είναι οι s 3, s, όπως εύκολα διαπιστώνουµε. Άρα s + (s 3)(s + ) s 3 + s + Τα, δίνονται από τις σχέσεις X(s)(s 3) s + 5 s3 s + s3 4 X(s)(s + ) s + s s 3 s 4 Άρα έχουµε µε πιθανά πεδία σύγκλισης τα 4 s + + 5 4 s 3 R{s} <, ROC R{s} > 3, < R{s} < 3 ˆ Για την περίπτωση R{s} <, χρειαζόµαστε η τοµή των πεδίων σύγκλισης των δυο σηµάτων να µας δίνει το ηµιεπίπεδο σ <. Αυτό γίνεται µόνον αν {R{s} < 3} {R{s} < } (Σχήµα 8). Γι αυτά τα δυο πεδία σύγκλισης, ϑα έχουµε Άρα το σήµα στο χρόνο ϑα είναι το Σχήµα 8: ο Πεδίο Σύγκλισης Άσκησης 9 4 e t u( t) 5 4 e3t u( t) R{s}< L R{s}<3 L 5 4 s + 4 s 3 x(t) 4 e t u( t) 5 4 e3t u( t) (7)
Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 06-7/Λυµένες Ασκήσεις 9 ˆ Για την περίπτωση R{s} > 3, χρειαζόµαστε η τοµή των πεδίων σύγκλισης των δυο σηµάτων να µας δίνει το ηµιεπίπεδο σ > 3. Αυτό γίνεται µόνον αν {R{s} > 3} {R{s} > } (Σχήµα 9). Γι αυτά τα δυο Σχήµα 9: ο Πεδίο Σύγκλισης Άσκησης 9 πεδία σύγκλισης, ϑα έχουµε Άρα το σήµα στο χρόνο ϑα είναι το 4 e t u(t) 5 4 e3t u(t) R{s}> L R{s}>3 L 5 4 s + 4 s 3 x(t) 4 e t u(t) + 5 4 e3t u(t) (8) ˆ Για την περίπτωση < R{s} < 3, χρειαζόµαστε η τοµή των πεδίων σύγκλισης των δυο σηµάτων να µας δίνει το ηµιεπίπεδο < σ < 3. Αυτό γίνεται µόνον αν {R{s} < 3} {R{s} > } (σχηµα 0). Γι αυτά τα δυο πεδία σύγκλισης, ϑα έχουµε Σχήµα 0: 3ο Πεδίο Σύγκλισης Άσκησης 9 4 e t u(t) 5 4 e3t u( t) R{s}> L R{s}<3 L 5 4 s + 4 s 3
Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 06-7/Λυµένες Ασκήσεις 0 Άρα το σήµα στο χρόνο ϑα είναι το x(t) 4 e t u(t) 5 4 e3t u( t) (9) (ϐʹ) Ο µετασχηµατισµός Fourier υπολογίζεται µόνο στην περίπτωση ROC < R{s} < 3, γιατί µόνο σε αυτό το πεδίο περιλαµβάνεται ο άξονας των ϕανταστικών, σ 0. Άρα για σ 0, ϑα έχουµε jπf + X(s) (0) σ0 (jπf + )(jπf 3) 0. Υπολογίστε τη λύση της διαφορικής εξίσωσης d y(t) + 7 dy(t) + y(t) x(t) µε αρχικές συνθήκες y(0) 0, dy(t) και x(t) u(t). t0 Σχήµα : Really?? Παίρνουµε το µετασχ. Laplace των δυο µερών της εξίσωσης : L{ d y(t) } + 7L{ dy(t) } + L{y(t)} L{x(t)} s Y (s) sy(0 ) y (0) + 7sY (s) 7y(0 ) + Y (s) X(s) s Y (s) ( ) + 7sY (s) + Y (s) X(s) Y (s)(s + 7s + ) X(s) Y (s) s s(s + 7s + ) Y (s) s + B s + 4 + C s + 3 ()
Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 06-7/Λυµένες Ασκήσεις Θα είναι Y (s)s s0 B Y (s)(s + 4) 9 s 4 C Y (s)(s + 3) 7 s 3 Άρα Παρατήρηση : Χρησιµοποιήσαµε την ιδιότητα Y (s) s 9 s + 4 + 7 s + 3 y(t) u(t) 9e 4t u(t) + 7e 3t u(t) ( 9e 4t + 7e 3t) u(t) () L{ dn x(t) n } sn X(s) s n x(0 ) x (n ) (0 ) s n X(s). Να ϐρεθεί ο αντίστροφος µετασχ. Laplace της 3s + s + s + 0 n s n i x (i ) (0 ) i 3s + s + s + 0 3s + (s ( + 3j))(s ( 3j)) s ( + 3j) + s ( 3j) Τα, δίνονται από X(s)(s ( + 3j)) s +3j 3s + 3 s ( 3j) s +3j + j 6 Οπότε 3 j 6 ( 3 + j ( 3 6) s ( + 3j) + j ) 6 s ( 3j) Οι πιθανοί πόλοι είναι οι s 0 3j, s s 0 + 3j, οι οποίοι ϐρίσκονται πάνω στην ίδια ευθεία, σ. Άρα τα πιθανά πεδία σύγκλισης είναι τα R{σ} >, R{σ} <. Ανάλογα µε αυτά τα πεδία σύγκλισης, ϑα έχουµε και τα αντίστοιχα x(t). Βρείτε τα! :-). Για ένα σήµα και το µετασχ. Laplace του γνωρίζετε ότι : (αʹ) το σήµα στο χρόνο είναι πραγµατικό και άρτιο (ϐʹ) έχει 4 πόλους και κανένα µηδενικό στο µιγαδικό επίπεδο (γʹ) ένας πόλος ϐρίσκεται στο s ej π 4
Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 06-7/Λυµένες Ασκήσεις (δʹ) x(t) 4 Βρείτε το X(s). Προφανώς το X(s) ϑα είναι της µορφής : (s s )(s s )(s s 3 )(s s 4 ) ίδεται όµως ότι το σήµα είναι πραγµατικό και άρτιο, άρα ϑα είναι x(t) x (t) X (s ) και x(t) x( t) X( s) Άρα αν έχει έναν πόλο στη ϑέση s k, ϑα έχει επίσης έναν πόλο στη ϑέση s k (από τη σχέση του άρτιου σήµατος). Οµοια, αν έχει έναν πόλο στη ϑέση s k ϑα έχει επίσης έναν πόλο στη ϑέση s k (από τη σχέση του πραγµατικού σήµατος). Γνωρίζουµε ότι έχει έναν πόλο s, άρα ϑα έχει κι έναν s, κι έναν s και έναν s. Οπότε το σήµα ϑα γράφεται : (s s )(s s )(s + s )(s + s ) Μένει να ϐρούµε το. ίνεται ότι Οµως ξέρουµε ότι x(t) 4 X(0) 4 x(t)e 0t x(t) 4 (0 s )(0 s )(0 + s )(0 + s ) s s 4 4 6 4 Άρα το σήµα που ψάχνουµε είναι το 4 (s ej π 4 )(s + ej π 4 )(s e j π 4 )(s + e j π 4 ) (3) 3. Σας δίνονται τα παρακάτω στοιχεία για ένα πραγµατικό σήµα x(t) και το µετασχ. Laplace του. (αʹ) Το X(s) έχει ακριβώς δυο πόλους (ϐʹ) Το X(s) δεν έχει κανένα µηδενικό (γʹ) Το X(s) έχει πόλο στο s + j (δʹ) Το e t x(t) δεν είναι απολύτως ολοκληρώσιµο (εʹ) X(0) 8 Βρείτε το X(s) και την περιοχή σύγκλισης. Λύστε το! :-) Hint: Βρείτε πρώτα τη µαθηµατική µορφή του X(s). Βρείτε τα πιθανά πεδία σύγκλισης. Τέλος, το (δ ) στοιχείο αξιοποιήστε το για να ϐρείτε το πεδίο σύγκλισης. Ερµηνεύστε σωστά τι σηµαίνει το e t x(t) δεν είναι απολύτως ολοκληρώσιµο.
Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 06-7/Λυµένες Ασκήσεις 3 4. ίνεται η παρακάτω γραµµική διαφορική εξίσωση ης τάξης : µε αρχικές συνθήκες και Βρείτε το y(t). d y(t) + 5 dy(t) y(0 ), dy(t) x(t) e t u(t) + 6y(t) x(t) t0 Γνωρίζουµε ότι dx(t) sx(s) x(0 ) d x(t) s X(s) sx(0 ) x (0 ) d y(t) + 5 dy(t) + 6y(t) x(t) s Y (s) sy(0 ) y (0 ) + 5sY (s) 5y(0 ) + 6Y (s) X(s) s Y (s) s + 5sY (s) 0 + 6Y (s) X(s) Y (s)(s + 5s + 6) X(s) + s + Y (s) s+ + s + s + 5s + 6 Y (s) s + 3s + (s + )(s + )(s + 3) Αναλύουµε σε µερικά κλάσµατα (µπορούµε κατευθείαν, γιατί η τάξη του αριθµητή είναι µικρότερη αυτής του παρονοµαστή): s + 3s + Y (s) (s + )(s + )(s + 3) s + + B s + + C s + 3 µε Άρα τελικά, που είναι και το Ϲητούµενο. (s + )Y (s) s + 3s + s (s + )(s + 3) s B (s + )Y (s) s + 3s + 6 s (s + )(s + 3) s C (s + 3)Y (s) s + 3s + 9 s 3 (s + )(s + ) s 3 Y (s) s + + 6 s + 9 s + 3 y(t) e t u(t) + 6e t u(t) 9 e 3t u(t) (4)