ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων Ακαδ. Έτος 2017-2018 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutras@fme.aegean.gr Τηλ: 2271035468
Στα συστήματα αναμονής, πρέπει να παίρνουμε αποφάσεις που αφορούν κυρίως: Το πλήθος των θέσεων εξυπηρέτησης (k) Την ταχύτητα εξυπηρέτησης (μ) Τα ερωτήματα που πρέπει να εξετάζουμε σχετίζονται με το ποιό πρέπει να είναι το κατάλληλο επίπεδο εξυπηρέτησης Από τα πρωταρχικά ζητήματα που πρέπει να λύνουμε είναι το «Ποιά πρέπει να είναι η δυναμικότητα του συστήματος (η οποία σχετίζεται βέβαια και με το πλήθος των εξυπηρετητών), έτσι ώστε να ελαχιστοποιείται το προσδοκώμενο μεταβλητό κόστος του συστήματος»
Κόστος: Κόστος για την επιχείρηση από την αναμονή πελατών Κόστος για την παροχή εξυπηρέτησης (κόστος εγκατάστασης λειτουργία θέσεων εξυπηρέτησης αδράνεια) Δυναμικότητας (k) του μέσου χρόνου αναμονής στο σύστημα και του κόστους από την αναμονή των πελατών. του κόστους παροχής εξυπηρέτησης Δυναμικότητας (k) του μέσου χρόνου αναμονής στο σύστημα και του κόστους από την αναμονή των πελατών. του κόστους παροχής εξυπηρέτησης
TC: μέσο συνολικό κόστος λειτουργίας του συστήματος WC :μέσο κόστος αναμονής των πελατών SC :μέσο κόστος παροχής εξυπηρέτησης TC WC WC εξαρτάται από το κόστος αναμονής ενός πελάτη ανά μονάδα χρόνου (c W ) και από τον αριθμό των πελατών που φτάνουν στο σύστημα (λ) WC c w SC εξαρτάται από το κόστος εξυπηρέτησης από έναν εξυπηρετητή στην μονάδα χρόνου (c s ) και από τον αριθμό των εξυπηρετητών (k) SC W c SC c s k w L
(i) ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Ένα εργοστάσιο διαθέτει 4 μηχανές που δουλεύουν συνεχώς η μία ανεξάρτητα της άλλης. Ο χρόνος λειτουργίας της κάθε μηχανής ακολουθεί εκθετική κατανομή με μέση τιμή 30 ώρες. Όταν κάποια μηχανή χαλάσει πάει στο συνεργείο επισκευής στο οποίο υπάρχουν 2 μηχανικοί με την ίδια εμπειρία και ικανότητα. Ο χρόνος που χρειάζεται κάθε μηχανικός για να επισκευάσει μια μηχανή ακολουθεί εκθετική κατανομή με μέση τιμή 3 ώρες. Δώστε το διάγραμμα καταστάσεων για το σύστημα και υπολογίστε την στάσιμη κατανομή πιθανότητας (ii) Αν τα χαμένα έσοδα ανά ώρα για κάθε μηχανή που δεν λειτουργεί είναι 100 και το ωριαίο κόστος για κάθε μηχανικό είναι 10, να βρείτε το μέσο συνολικό κόστος λειτουργίας του συστήματος.
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: Μια εταιρεία logistics διαθέτει μεγάλο στόλο οχημάτων τα οποία τις ώρες αιχμής καταφτάνουν στην κεντρική αποθήκη για φορτοεκφόρτωση, με ρυθμό 15 οχήματα την ώρα σύμφωνα με μια διαδικασία Poisson. Στην αποθήκη υπάρχουν ίδια συνεργεία φορτοεκφόρτωσης, καθένα από τα όποια είναι σε θέση να εξυπηρετεί ένα όχημα σε 12 λεπτά κατά μέσο όρο. Ο χρόνος φορτοεκφόρτωσης ακολουθεί την εκθετική κατανομή. Το ωριαίο κόστος εργασίας ενός συνεργείου ανέρχεται στα 10 ανά ώρα, ενώ το κόστος από έναν αδρανή οδηγό και όχημα ανέρχεται στα 24 ανά ώρα. Να εντοπιστεί το βέλτιστο πλήθος συνεργείων που ελαχιστοποιεί το συνολικό προσδοκώμενο κόστος.
ΑΣΚΗΣΗ 1: Μια εταιρεία πουλάει εξοπλισμό υψηλής τεχνολογίας για ιατρικά μηχανήματα, παρέχοντας παράλληλα και υπηρεσίες service. Η εταιρεία διαθέτει τμήμα service στο οποίο οι κλήσεις για βλάβες καταφθάνουν με μέσο ρυθμό 3 εργασίες ανά 8ωρο (διαδικασία Poisson) και εξυπηρετούνται με τη σειρά που καταφθάνουν. Το τμήμα service λειτουργεί με μία ομάδα τεχνικών και ο χρόνος εξυπηρέτησης έχει μέση τιμή 2 ώρες ανά πελάτη (εκθετική κατανομή). Το κόστος εξυπηρέτησης ανέρχεται στα 28 ανά ώρα ενώ από οικονομική ανάλυση που έχει προηγηθεί γνωρίζουμε ότι το κόστος για την επιχείρηση από την αναμονή/παραμονή των πελατών στο σύστημα ανέρχεται στα 35 ανά ώρα.
(i) Αφού εντοπίσετε το κατάλληλο μοντέλο, να υπολογίσετε τους βασικούς δείκτες λειτουργικότητας: μέσος χρόνος παραμονής στο σύστημα, μέσος χρόνος αναμονής στην ουρά, μέσο πλήθος εργασιών στην ουρά, αν γνωρίζεται ότι ο μέσος αριθμός εργασιών στο σύστημα είναι. Υπολογίστε επίσης τον βαθμό απασχόλησης της ομάδας τεχνικών και την πιθανότητα άμεσης εξυπηρέτησης μιας εργασίας. (ii) Η διοίκηση παραγωγής και λειτουργιών της εταιρείας σκέφτεται να βελτιώσει τον εξοπλισμό του τεχνικού συνεργείου ενοικιάζοντας ένα ηλεκτρονικό διαγνωστικό σύστημα. Με το σύστημα αυτό ο μέσος χρόνος εξυπηρέτησης θα βελτιωθεί κατά 20%, αλλά το κόστος εξυπηρέτησης θα διπλασιαστεί. Ο διευθυντής οικονομικών υπηρεσιών διαφωνεί με την υιοθέτηση της ιδέας αυτής θεωρώντας ότι ο διπλασιασμός του κόστους εξυπηρέτησης δεν αντισταθμίζεται από τη βελτίωση του χρόνου εξυπηρέτησης. Έχει δίκιο ο διευθυντής οικονομικών υπηρεσιών;
ΑΣΚΗΣΗ 2: Ένα ναυπηγείο επισκευής πλοίων έχει δύο συνεργεία επισκευής και χώρο δεξαμενισμού που χωράει δύο πλοία. Για να επισκευάσει ένα πλοίο, το κάθε συνεργείο μεταφέρεται στο χώρο του δεξαμενισμού που βρίσκεται το πλοίο. Ο χρόνος επισκευής ενός πλοίου από το κάθε συνεργείο ακολουθεί εκθετική κατανομή με ρυθμό 1 πλοίο ανά μήνα. Τα πλοία φτάνουν στο ναυπηγείο για επισκευή τυχαία, σύμφωνα με μια διαδικασία Poisson με ρυθμό λ = 1 πλοίο ανά μήνα. Κάθε πλοίο που φτάνει όταν ο χώρος δεξαμενισμού είναι πλήρης δεν εισέρχεται στο ναυπηγείο και επομένως φεύγει για πάντα. Κάθε πλοίο που καταφέρνει να μπει στο χώρο δεξαμενισμού με ρυθμό λ και επισκευάζεται, αποφέρει έσοδα στο ναυπηγείο C r = 2.5εκ.. ανά μήνα. Το κάθε συνεργείο επισκευής κοστίζει στο ναυπηγείο C s = 0.7εκ. ανά μήνα. Επίσης, το ενοίκιο που πληρώνει το ναυπηγείο είναι C M = 0.1εκ. ανά μήνα για κάθε θέση δεξαμενισμού, ενώ το κόστος που επωμίζεται το ναυπηγείο από τη χαμένη εκμετάλλευση των πλοίων που βρίσκονται στο ναυπηγείο (αναμονή) είναι C W = 0.2εκ ανά πλοίο ανά μήνα. (i) Χαρακτηρίστε το σύστημα κατά Kendal. Ποια είναι η πιθανότητα ένα πλοίο να μην βρει ελεύθερο χώρο δεξαμενισμού; (ii) Ποιά είναι τα μηνιαία κέρδη του ναυπηγείου; (iii) Ο διαχειριστής του ναυπηγείου θέλει να εξετάσει αν κρατώντας μόνο το ένα από τα δύο συνεργεία καταφέρει να αυξήσει τα μηνιαία κέρδη του ναυπηγείου. Είναι η λύση αυτή συμφέρουσα;
ΑΣΚΗΣΗ 3: Στον έλεγχο διαβατηρίων σε ένα αεροδρόμιο υπάρχουν δύο σημεία από τα οποία περνάνε οι ταξιδιώτες. Από το ένα σημείο περνάνε οι ταξιδιώτες με διακεκριμένη θέση και από το άλλο σημείο περνάνε οι επιβάτες των οικονομικών θέσεων. Οι υπάλληλοι του αεροδρομίου και στα δύο σημεία έχουν την ίδια εμπειρία και έτσι ο μέσος χρόνος που χρειάζεται για τον έλεγχο των διαβατηρίων και στα δυο σημεία είναι 2 λεπτά (εκθετική κατανομή). Οι ταξιδιώτες των οικονομικών θέσεων καταφανούν στον έλεγχο με ρυθμό λ 1 =20 ανά ώρα (διαδικασία Poisson), ενώ οι ταξιδιώτες των διακεκριμένων θέσεων καταφανούν στον έλεγχο με ρυθμό λ 2 =10 ανά ώρα (διαδικασία Poisson). i. Ο υπεύθυνος διευθυντής του ελέγχου των διαβατηρίων έχοντας μελετήσει το παραπάνω σύστημα προτείνει τα δύο σημεία ελέγχου να γίνουν ένα, ανεξάρτητα με τον τύπο του ταξιδιώτη. Καταθέτει αυτήν την πρόταση γιατί υποστηρίζει ότι με αυτόν τον τρόπο θα μειωθεί ο μέσος χρόνος αναμονής κάθε ταξιδιώτη στον έλεγχο διαβατηρίων. Πρέπει η διοίκηση του αεροδρομίου να ακολουθήσει την συμβουλή του; ii. Την πρόταση του υπεύθυνου διευθυντή μελετά ένας υπάλληλος που χειρίζεται οικονομικά θέματα. Ο υπάλληλος μελετά το πρόβλημα την πλευρά του μέσου συνολικού κόστους λειτουργίας του συστήματος ελέγχου διαβατηρίων. Στην μελέτη του έχει σαν δεδομένα ότι το κόστος αναμονής ανά μονάδα χρόνου ενός ταξιδιώτη οικονομικής θέσης είναι 5 /ώρα, το αντίστοιχο κόστος για έναν ταξιδιώτη διακεκριμένης θέσης είναι 10 /ώρα, το κόστος εξυπηρέτησης από έναν υπάλληλο στην μονάδα χρόνου είναι 15 /ώρα ανεξάρτητα με το ποιόν ταξιδιώτη εξυπηρετεί και πόσα σημεία εξυπηρέτησης υπάρχουν και τέλος ότι στην περίπτωση που τελικά γίνει ένα σημείο ελέγχου το συνολικό κόστος αναμονής ανά μονάδα χρόνου ενός ταξιδιώτη θα είναι αθροιστικά 15 /ώρα. Με βάση λοιπόν τα παραπάνω στοιχεία, ο υπάλληλος υποστηρίζει ότι από οικονομικής πλευράς δεν συμφέρει πρόταση του διευθυντή και ότι πρέπει να διατηρηθούν τα δύο σημεία ελέγχου. Έχει δίκιο ο υπάλληλος; Δίνεται ότι στην περίπτωση δύο σημείων ελέγχου ο μέσος αριθμός ταξιδιωτών στο κάθε σημείο είναι, ενώ στην περίπτωση των ενός σημείου ελέγχου ο μέσος χρόνος αναμονής στον έλεγχο είναι.. 1 2 2 4 (4 )