Γεώργιος Βασιλειάδης, Λύκειο Παιανίας «Η χρυσή τομή στα μαθηματικά, στην τέχνη, στη ζωή» 2012-2013
Η Χρυσή τοµή στην καθηµερινότητά µας Η χρυσή τοµή δεν είναι µόνο ένας µαθηµατικός όρος, αλλά και µια καθηµερινή έκφραση. Τη χρησιµοποιούµε όταν θέλουµε να πούµε ότι η λύση µας σε ένα πρόβληµα ή µια κατάσταση είναι η πιο κατάλληλη, η ιδανικότερη.
ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ Θεωρείται ότι δίνει αρµονικές αναλογίες και για το λόγο αυτό έχει χρησιµοποιηθεί στην ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ και τη ΖΩΓΡΑΦΙΚΗ, τόσο κατά την αρχαία Ελλάδα όσο και κατά την Αναγέννηση. Την χρυσή τοµή εισήγαγε και υπολόγισε ο ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ, (585-500 π.χ.) που γεννήθηκε στη ΣΑΜΟ, και ίδρυσε σηµαντικότατη φιλοσοφική σχολή στον Κρότωνα της Μεγάλης Ελλάδας (Κάτω Ιταλία). Η χρυσή τοµή συµβολίζεται µε το γράµµα Φ προς τιµήν του ΦΕΙ ΙΑ, του γνωστότερου ίσως γλύπτη της ελληνικής αρχαιότητας, και του σηµαντικότερου της κλασικής περιόδου.
Για να χωρίσουµε ένα ευθύγραµµο τµήµα µε αναλογίες χρυσής τοµής πρέπει ο λόγος του µεγαλύτερου τµήµατος προς το µικρότερο να είναι ίσος µε το λόγο όλου του τµήµατος προς το µεγαλύτερο. α + β α β Συνεπώς πρέπει:
ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ Ακολουθίες (ορισµός): Στα µαθηµατικά, µια ακολουθία είναι µια διατεταγµένη λίστα αντικειµένων. Μια ακολουθία έχει όρους και το πλήθος των όρων της (που µπορεί να είναι και άπειρο) ονοµάζεται µήκος της ακολουθίας. Σε αντίθεση µε τα σύνολα, σε µια ακολουθία έχει σηµασία η διάταξη των αντικειµένων της (πρώτος όρος, δεύτερος, τρίτος και ούτω καθ εξής). Επιπλέον δεν υπάρχει περιορισµός όσον αφορά το πόσες φορές µπορεί να εµφανίζεται ένα αντικείµενο µιας ακολουθίας.
ΑΚΟΛΟΥΘΙΑ ΦΙΜΠΟΝΑΤΣΙ Στα Μαθηµατικά, οι Αριθµοί Φιµπονάτσι είναι οι αριθµοί της παρακάτω ακέραιης ακολουθίας: 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144 Εξ ορισµού, οι πρώτοι δύο αριθµοί Φιµπονάτσι είναι το 0 και το 1, και κάθε επόµενος αριθµός είναι το άθροισµα των δύο προηγούµενων.
ΒΙΟΓΡΑΦΙΚΟ FIBONACCI Ο Λεονάρντο Πιζάνο γεννήθηκε στην Πίζα το 1170. Το όνοµά του προδίδει την καταγωγή του, αφού Φιµπονάτσι σηµαίνει απλά «γιος του Μπονάτσι». Εντούτοις, το όνοµα είναι µάλλον σύγχρονη επινόηση εφόσον δεν υπάρχουν στοιχεία που να αποδεικνύουν ότι στην εποχή του ήταν γνωστός ως Φιµπονάτσι. Στα µαθηµατικά µυήθηκε µέσω της λογιστικής, αφού ο πατέρας του ήταν Ιταλός έµπορος µε διεθνείς εµπορικές συναλλαγές. Πολύ σύντοµα ο Λεονάρντο εκδήλωσε ενδιαφέρον για τα µαθηµατικά. Μέσα από τα επαγγελµατικά ταξίδια του στη Βόρεια Αφρική του δόθηκε η ευκαιρία να διδαχτεί τα αραβικά µαθηµατικά από µουσουλµάνους δασκάλους. Έτσι γνώρισε το ινδοαραβικό σύστηµα αρίθµησης και αντιλήφθηκε αµέσως τα τεράστια πλεονεκτήµατα του. Έγινε ο πιο ένθερµος υπέρµαχός τους στην Ευρώπη όπου επεδίωξε να τα διαδώσει. Σ αυτό οφείλουµε την εισαγωγή τους στον πολιτισµό µας.
Η ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΟΥς ΚΑΡ ΙΑΚΟΥς ΠΑΛΜΟΥς Σε ένα ηλεκτροκαρδιογράφηµα, απεικονίζονται 3 είδη κυµάτων των καρδιακών παλµών : τα κύµατα P, το σύµπλεγµα κυµάτων QRS και τα κύµατα Τ. Έχει παρατηρηθεί, ότι σε ένα ηλεκτροκαρδιογράφηµα ήρεµων καρδιακών παλµών σχηµατίζεται Χρυσή Τοµή, όπως φαίνεται στο σχήµα. Έχει προταθεί ότι, αν υπάρχει σχέση Χρυσής Τοµής σε έναν καρδιακό παλµό στο Τ τµήµα του ηλεκτροκαρδιογραφήµατος, αναπαριστά µία κατάσταση υγείας ειρήνης και αρµονίας.
Η Ι ΕΑ ΣΥΝ ΕΣΗΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕ ΤΗΝ ΜΟΥΣΙΚΗ Η ιδέα της σύνδεσης των µαθηµατικών και της µουσικής γεννήθηκε πριν από 26 ολόκληρους αιώνες στην αρχαία Ελλάδα από τον Πυθαγόρα. Ο φιλόσοφος γνώριζε πολύ καλά τη σχέση της µουσικής µε τους αριθµούς. Οι ειδικοί ερευνητές θεωρούν ότι το πιθανότερο είναι πως ο ίδιος και οι µαθητές του εντρύφησαν στη σχέση της µουσικής και των αριθµών µελετώντας το αρχαίο όργανο µονόχορδο Ήταν εντυπωσιακό το γεγονός ότι µόνο οι ακριβείς µαθηµατικές σχέσεις έδιναν αρµονικούς ήχους στο µονόχορδο. Για παράδειγµα, έπρεπε να χωρίσουν ακριβώς στη µέση τη χορδή, και όχι περίπου στη µέση, ώστε να έχουν το ευχάριστο ψυχικό συναίσθηµα που απορρέει από έναν αρµονικό ήχο. Εύκολα λοιπόν οι Πυθαγόρειοι κατέληξαν στο συµπέρασµα ότι τα µαθηµατικά κυβερνούν τη µουσική ή και ότι, ως ένα βαθµό, η µουσική κυβερνά τα µαθηµατικά.
Η ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΙς ΣΟΝΑΤΕς ΤΟΥ ΜΟΤΣΑΡΤ. Στον καιρό του Μότσαρτ, η µουσική φόρµα της σονάτας εξελίχθηκε σε δύο µέρη: στην Έκθεση και στην Ανάπτυξη και Επανέκθεση. ηλαδή ο Μότσαρτ διαίρεσε τις σονάτες του σύµφωνα µε τη χρυσή αναλογία, µε την Έκθεση ως πιο το σύντοµο τµήµα (x) και την Ανάπτυξη και Επανέκθεση ως το πιο µεγάλο (1-x). Στο πρώτο µέρος της σονάτας αριθ.1 σε Ντο Ματζόρε, παραδείγµατος χάριν, η Έκθεση αποτελείται από 38 µέτρα και η Ανάπτυξη και Επανέκθεση από 62 µέτρα. Η διαίρεση του 38:62 δίνει πηλίκο περίπου 0,613, προσεγγίζοντας το χρυσό αριθµό.
Η ΜΕΛΛΙΣΣΑ ΓΝΩΡΙΖΕΙ ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ! Γιατί η µέλισσα επιλέγει το κανονικό εξάγωνο και όχι το ισόπλευρο τρίγωνο ή το τετράγωνο για την κατασκευή των κελιών της κερήθρας; Ιδού το ερώτηµα! 1. Είναι το µοναδικό σχήµα µε την µικρότερη περίµετρο ώστε να κλείνει το χώρο. ηλαδή η µέλισσα δαπανά λιγότερο κερί για την κατασκευή των κελιών της. 2.Αν θέλουµε να διαµερίσουµε (να χωρίσουµε σε µικρότερα τµήµατα) ένα δοχείο ώστε να περιέχεται όσο το δυνατό µεγαλύτερος όγκος στα κελιά της διαµέρισης αυτό επιτυγχάνεται µε την επιλογή κανονικών εξαγώνων. Η πλευρά του εξαγώνου (=0,62) σε σχέση µε την πλευρά του ισοδυνάµου τετραγώνου (=1) έχουν σχέση χρυσής τοµής. Πράγµατι ο λόγος 1 / 0,62 = 1,62 όπου 1,62 = φ. Οι πλευρές δηλαδή του των ισοδυνάµων τετραγώνου και εξαγώνου σχηµατίζουν το χρυσό ορθογώνιο στο οποίο ο λόγος των πλευρών ισούται µε 1,62 δηλαδή =φ. Και εύλογα διερωτάται κανείς! Ποιος έβαλε τις συγκεκριµένες γεωµετρικές πληροφορίες στα απειροελάχιστα εγκεφαλικά κύτταρα αυτού του ζουζουνιού;
ΦΥΤΑ Τα φυτά δε γνωρίζουν για την ακολουθία Fibonacci, απλά µεγαλώνουν µε τον πιο πρόσφορο και αποδοτικό τρόπο. Όµως η ακολουθία κάνει την εµφάνισή της στη διάταξη των φύλων γύρω από το µίσχο. Εµφανίζεται επίσης στην ανάπτυξη των βελόνων αρκετών ειδών ελάτου, καθώς επίσης και στη διάταξη των πετάλων στις µαργαρίτες και τα ηλιοτρόπια. Μερικά κωνοφόρα δένδρα παρουσιάζουν αυτή τη σειρά αριθµών στη δοµή της επιφάνειας των κορµών τους, ενώ τα φοινικόδενδρα στους δακτυλίους των κορµών τους.
ΤΟ Φ ΚΑΙ Η ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΗΝ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ Ξεκίνησε από τους Αιγυπτίους µε την κατασκευή των πυραµίδων.οι βασικές σχέσεις του φ χρησιµοποιήθηκαν για την κατασκευή ενός ορθογωνίου τριγώνου το οποίο σχηµατίζει τις διαστάσεις των µεγάλων Πυραµίδων της Αιγύπτου. Η υποτείνουσα όπως φαίνεται δίπλα σχηµατίζει µε τη βάση γωνία 51,83 µοιρών, της οποίας το συνηµίτονο είναι το 1/φ ή 0,618.
ΤΟ Φ ΚΑΙ Η ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΗΝ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ Οι Αρχαίοι Έλληνες γνώριζαν τη χρυσή τοµή ως «χωρισµό ενός ευθύγραµµου τµήµατος σε µέσο και άκρο λόγο» και τη χρησιµοποίησαν εκτεταµένα για οµορφιά και ισορροπία στον σχεδιασµό του Παρθενώνα και σε άλλα έργα αρχιτεκτονικής. Χρησιµοποιήθηκε στον σχεδιασµό της Παναγίας των Παρισίων, στο Παρίσι, το οποίο χτίστηκε στο χρονικό διάστηµα µεταξύ 1163 και 1250.
Καλλιτέχνες της Αναγέννησης της περιόδου του 1500 και του Leonardo Da Vinci την γνώριζαν ως θεϊκή αναλογία. Στην Ινδία, χρησιµοποιήθηκε στην κατασκευή του Taj Mahal το οποίο ολοκληρώθηκε το 1648. Η χρήση της συνεχίζεται και στην µοντέρνα Ο πύργος CN στο Toronto, ο αρχιτεκτονική, ψηλότερος πύργος στον όπως φαίνεται στο κόσµο, περιέχει την χρυσή κτίριο των τοµή στον σχεδιασµό του. Ο Ηνωµένων Εθνών. λόγος της πλατφόρµας παρατήρησης στα 342 µέτρα προς το συνολικό ύψος των 553,33 µέτρων είναι 0,618, το αντίστροφο του φ!
Η χρυσή αναλογία, το χρυσό ορθογώνιο και ο αριθµός Φ. Βήµα 1 Βήµα 2 Βήµα 3 Βήµα 4 Βήµα 5
Το ελληνικό γράµµα Φείναι το αρχικό του ονόµατος του Φειδία, δηµιουργού των γλυπτών του Παρθενώνα. Η πρόσοψη του Παρθενώνα όπως φαίνεται και από την φωτογραφία δίπλα, µπορεί νοητά να εγγραφεί σε ένα χρυσό ορθογώνιο που σηµαίνει ότι ο λόγος των διαστάσεών του είναι ο αριθµός Φ.
Πεντάλφα: σύµβολο των Πυθαγορείων. Απεικόνιση σε αρχαίο τάφο.
Γεωµετρικά σχήµατα που συνδέονται µε τη χρυσή τοµή Χρυσά οξυγώνια τρίγωνα
Απλές προσεγγιστικές κατασκευές κανονικών πενταγώνων ωδεκάεδρο, Εικοσάεδρο: Ανάµεσα στα πέντε Πλατωνικά ωδεκάεδρο, Εικοσάεδρο: Ανάµεσα στα πέντε Πλατωνικά στερεά, υπάρχουν και δύο που συνδέονται µε το κανονικό πεντάγωνο και την χρυσή τοµή. Είναι το κανονικό δωδεκάεδρο που οι έδρες του είναι κανονικά πεντάγωνα, και το δυϊκό του, το κανονικό εικοσάεδρο που ανά πέντε ισόπλευρα τρίγωνα ενώνονται για να σχηµατίσουν ένα σχεδόν σφαιρικό πολύεδρο
Κανονικό δωδεκάεδρο Leonardo da Vinci: Εικοσάεδρο Κανονικό εικοσάεδρο
Χρυσές σπείρες : Κατασκευή Η µία βασίζεται σε διαδοχικά χρυσά ορθογώνια που το ένα περιέχει το άλλο και η άλλη σε διαδοχικά χρυσά οξυγώνιατρίγωνα, που και εδώ, το ένα περιέχει το άλλο.
Η χρυσή τοµή στη γλυπτική και ζωγραφική
Mona Lisa Μελέτη αναλογιών Άγιος Ιερώνυµος Μελέτη αναλογιών σώµατος κατά τον προσώπου γέρου Vitruvious Τον 16ο αιώνα ο Luca Pacioli (1445-1514) γεωµέτρης και φίλος του µεγάλου αναγεννησιακού ζωγράφου Leonardo da Vinci, «ξαναανακάλυψε» την χρυσή τοµή. Το βιβλίο του, όπου µελετούσε τον αριθµό, εικονογραφήθηκε από τον γνωστό καλλιτέχνη
Michelangelo (1475-1564) αβίδ Κιονόκρανο Ιωνικού Ρυθµού
Η Αγία Οικογένεια Λουόµενοι
Σταύρωση Raphael (1483-1530)
Ο Μυστικός είπνος του Salvador Dali (1904-1989) πλαισιώνεται από ένα χρυσό ορθογώνιο. Χρυσοί λόγοι χρησιµοποιήθηκαν για να καθορίσουν την θέση κάθε φιγούρας ενώ ο θόλος του δωµατίου σχηµατίζεται από τις έδρες κανονικού δωδεκάεδρου που όπως είδαµε είναι ένα από τα στερεά που συνδέεται άµεσα µε την χρυσή τοµή.
Η χρυσή τοµή στο ανθρώπινο σώµα και τη φύση Η χρυσή τοµή στο ανθρώπινο σώµα και τη φύση Χρυσές αναλογίες σε φυτά και ζώα Στο σώµα εντόµων, ζώων αλλά και σε πολλά λουλούδια, ιδιαίτερα αυτά µε πέντε πέταλα, µπορούµε να διακρίνουµε λόγους χρυσής τοµής. Στις επόµενες εικόνες φαίνονται κάποια από τα χιλιάδες παραδείγµατα.
Χρυσές αναλογίες στο ανθρώπινο σώµα Ο αρχιτέκτονας Le Corbusier (1887-1965) κατασκεύασε µια κλίµακα αναλογιών που ονόµασε Le Modulor, η οποία βασίζεται στο ανθρώπινο σώµα. Σύµφωνα µε αυτή, ο οµφαλός διαιρεί το ανθρώπινο σώµα σε λόγο χρυσής τοµής.
Προχωρώντας σε λεπτοµερέστερα σηµεία του ανθρωπίνου σώµατος µπορούµε να παρατηρήσουµε και άλλες διαιρέσεις σε χρυσό λόγο. Για παράδειγµα ο καρπός διαιρεί το χέρι από τον αγκώνα και κάτω σε λόγο χρυσής τοµής, ενώ αν παρατηρήσουµε τις φάλαγγες του δείκτη µας, φαίνεται πως καθεµιά βρίσκεται σε χρυσή αναλογία µε την επόµενή της (παρατηρήστε τους αριθµούς Fibonacciστις µετρήσεις).
Η χρυσή αναλογία, όπως φαίνεται και στις διπλανές φωτογραφίες, εµφανίζεται στις αναλογίες των δοντιών µας, του αυτιού µας αλλά και σε πολλές άλλες λεπτοµέρειες του προσώπου µας όπως είναι τα χείλη, τα µάτια ή ακόµα και η µύτη. Προσέξετε ιδιαιτέρως την χρυσή σπείρα που εµφανίζεται στο εικονιζόµενο αυτί.
Ο πιο άρρητος αριθµός από τους άρρητους! Μία πρώτη διαπίστωση που µπορεί να κάνει ένας µαθητής Γυµνασίου, είναι ότι µπορούµε να προσεγγίσουµε τους άρρητους µε ρητούς αρκετά ικανοποιητικά. Άλλωστε και οι υπολογιστικές µηχανές χρησιµοποιούν µόνο ρητούς, αφού η οθόνη τους περιέχει πεπερασµένα δεκαδικά ψηφία. Υπάρχει όµως ένα θεώρηµα της θεωρίας αριθµών, το θεώρηµα του Hurwitz, που εξηγεί πόσο «καλά» µπορούν οι ρητοί να προσεγγίσουν έναν άρρητο. Και εκεί υπάρχει ένας περιορισµός: η συγκεκριµένη προσέγγιση δεν µπορεί να γίνει καλύτερη για τον αριθµό Φ. Με άλλα λόγια, ο αριθµός Φ προσεγγίζεται κατά τον χειρότερο τρόπο από τους ρητούς, είναι δηλαδή «ο πιο άρρητος από τους άρρητους»!
ΤΕΛΟΣ ΕΥΧΑΡΙΣΤΟΥΜΕ ΠΟΛΥ