Conf. univ. dr. Liviu Mihăescu METODE CANTITATIVE ÎN MANAGEMENT

Conf. univ. dr. Liviu Mihăescu METODE CANTITATIVE ÎN MANAGEMENT

Cursul are la bză lucrarea MODELAREA ŞI SIMULAREA DECIZIILOR MANAGERIALE optimizare prin metode cantitative ISBN 973-739-003-2 Editura Universităţii Lucian Blaga Descrierea CIP a Bibliotecii Naţionale a României Modelarea şi simularea deciziilor manageriale - optimizare prin metode cantitative - Mihăescu, Liviu pp. ; 21 x 14,5 Bibliogr. ISBN 973-739-003-2 Copyright 2004 Toate drepturile sunt rezervate autorului

CUPRINS CAPITOLUL 1 ANALIZA CANTITATIVĂ, CALITATIVĂ ŞI PROCESUL DE LUARE A DECIZIEI... 1.1 Procesul de analiză cantitativă... CAPITOLUL 2 MODELAREA PROBLEMELOR DE TRANSPORT... 2.1 Problemă de transport... 2.2 Problema de transport: o problemă de programare liniară... 2.3 Problema de transport. procedură practică de rezolvare... 2.3.1 Găsirea unei soluţii iniţiale fezabile. Metoda Costului Minim... 2.4 Metoda Stepping-Stone... 2.5 Situaţii speciale care apar în problema de transport... CAPITOLUL 3 MODELAREA PROBLEMELOR DE DISTRIBUŢIE PRIN MODELE DE REŢEA... 3.1 Problema celei mai scurte rute... 3.1.1 Algoritmul celei mai scurte rute... 3.2 Problema arborelui de acoperire minimală... 3.2.1 Algoritmul arborelui de acoperire minimală (Greedy)... 3.3 Problema de flux maxim... 3.3.1 Algoritmul pentru flux maxim... CAPITOLUL 4 MODELE DE STOCARE... 4.1 Modelul de stocare cu cerere constantă... 4.2 Modelul de stocare a producţiei fabricate pe loturi... 4.3 Model de stocare cu cerere constantă şi lipsă de stoc... 4.4 Model de stocare cu cerere variabilă... 7 7 20 20 24 30 31 40 49 53 53 54 65 66 69 70 79 82 90 95 100

CAPITOLUL 5 FIRE DE AŞTEPTARE... 5.1 Fir de aşteptare cu o singură unitate de deservire... 5.1.1 Distribuţia sosirilor... 5.1.2 Distribuţia timpilor de deservire... 5.1.3 Regula de deservire... 5.2 Fir de aşteptare cu sosiri poissoniene şi timpi de deservire exponenţiali... CAPITOLUL 6 SIMULAREA PROCESELOR ECONOMICE... 6.1 Simularea unui proces de stocare... BIBLIOGRAFIE... 104 106 107 109 111 112 115 115 120

CAPITOLUL 1 ANALIZA CANTITATIVĂ, CALITATIVĂ ŞI PROCESUL DE LUARE A DECIZIEI 1.1 Procesul de analiză cantitativă În studiul metodelor cantitative pentru luarea deciziei se consideră procedura bazată pe parcurgerea următoarelor cinci etape: (1) definirea problemei, (2) dezvoltarea modelului, (3) pregătirea datelor, (4) generarea soluţiei şi (5) întocmirea raportului. 1. Definirea problemei. Definirea problemei este considerată ca fiind cea mai critică etapă a procesului de analiză cantitativă. De cele mai multe ori este necesară imaginaţie, lucru în echipă şi un considerabil efort de a transforma cel mai adesea o problemă descrisă la modul general într-o problemă dine definită în care se pot aplica metode de management cantitativ. De exemplu, o problemă descrisă prin exces de stoc poate fi clar definită în termenii privind obiectivele specifice şi restricţiile de operare, înainte ca un analist să parcurgă următoarea etapă a procesului de analiză cantitativă. Implicarea utilizatorului este aici esenţială, analistul trebuie aici să lucreze în colaborare cu managerul sau cu utilizatorul rezultatelor.

8 A N A L I Z A C A N T I T A T I V Ă, C A L I T A T I V Ă Ş I P R O C E S U L D E L U A R E A D E C I Z I E I 2. Dezvoltarea modelului. Modelele reprezintă reprezentări ale obiectelor sau situaţiilor reale. Aceste reprezentări, modele, pot fi făcute în forme variate. De exemplu, un avion real poate fi reprezentat printr-o machetă, un model al unui avion la scară redusă, numită model fizic. Acest model reprezintă replica fizică a obiectului real. În terminologia modelării, aceste replici fizice ale obiectelor reale poartă denumirea de machete. Există, de asemenea, modele care sunt fizice în formă, dar nu au reprezentarea fizică a obiectului modelat. Asemenea modele sunt denumite modele analoage 1. O altă categorie de modele, care vor fi studiate in continuare, este cea care include acele reprezentări ale problemelor în simboluri şi expresii matematice sau relaţii. Asemenea modele sunt numite modele matematice şi reprezintă elementul critic, cu o importanţă semnificativă, în abordarea cantitativă a procesului decizional. De exemplu profitul generat de vânzarea unui produs (P) poate fi determinat prin multiplicarea profitului unitar cu numărul de unităţi vândute (x). Dacă profitul unitar este de 10 u.m., atunci următoarea relaţie defineşte profitul total obţinut prin vânzarea a x unităţi de bun: P = 10x (1.1) Scopul, valoarea unui model este determinată de posibilitatea de a trage concluzii despre o situaţie reală, prin studierea şi analizarea modelului. De exemplu, un constructor de avioane testează, sub forma unei machete, un nou avion în tunelul aerodinamic, pentru a cunoaşte potenţialul de zbor al avionului la mărimea reală. În mod asemănător, un model 1 Un termometru este un model analog. Poziţionarea indicatorului termometrului pe scala de măsurare indică temperatura.

A N A L I Z A C A N T I T A T I V Ă, C A L I T A T I V Ă Ş I P R O C E S U L D E L U A R E A D E C I Z I E I 9 matematic poate fi utilizat pentru a oferi concluzii privind profitul obţinut prin vânzarea unei anume cantităţi de produs vândute. În corelaţie cu relaţia (1.1) se va obţine un profit de 40 u.m. prin vânzarea a 4 unităţi de bun. În general, experimentarea cu ajutorul modelelor necesită mai puţin timp şi este mai puţin costisitoare decât experimentarea cu obiecte la scara 1:1, sau, în situaţii concrete reale. Experimentarea cu ajutorul modelului avionului la scară redusă este mai rapidă şi mai puţin costisitoare decât experimentarea cu un avion la mărimea reală. În mod identic, modelul matematic prezentat anterior permite o rapidă determinare a profitului posibil fără a fi necesară decizia managerului de a produce şi a vinde x unităţi de bun. Modelele, de asemenea, prezintă avantajul că reduc riscul asociat cu experimentarea în situaţii reale. În particular, se poate aprecia că un design neadecvat, sau o decizie nepotrivită, pot cauza prăbuşirea avionului proiectat, iar un proiect care poate avea o pierdere potenţială mare (de exemplu 50.000 u.m.) poate determina decizia de a nu fi aplicat în situaţia reală. Acurateţea concluziilor şi a deciziilor luate pe baza studierii unui model sunt în corelaţie cu cât de bine, acesta, reprezintă situaţiile reale. Astfel, modelul avionului va putea reprezenta un avion real, iar concluziile vor determina caracteristicile şi comportamentul real al avionului în timpul zborului. La fel, modelul matematic ce descrie relaţia profitului cu cantitatea vândută, determinat la nivelul firmei, va arăta cu mai mare acurateţe care vor fi predicţiile profitului. În continuare se va aprofunda procesul de modelare matematică. Rezolvarea problemei manageriale trebuie să treacă în mod uzual prin etapa definirii problemei care să conducă spre un obiectiv specific, precum maximizarea profitului sau minimizarea costurilor, şi determinarea

10 A N A L I Z A C A N T I T A T I V Ă, C A L I T A T I V Ă Ş I P R O C E S U L D E L U A R E A D E C I Z I E I restricţiilor (de exemplu capacitatea de producţie). Succesul modelului matematic şi al abordării cantitative va depinde direct de acurateţea cu care au fost determinate funcţia (funcţiile) obiectiv şi restricţiile modelului, de modalitatea în care acestea au fost reprezentate în modelul matematic ecuaţional. Denumim în continuare funcţie obiectiv acea expresie matematică ce descrie obiectivul problemei. De exemplu, ecuaţia profitului P = 10x poate fi funcţie obiectiv pentru firma care doreşte să-şi maximizeze profitul. O restricţie relativă la capacitatea de producţie poate fi necesară dacă, de exemplu, sunt necesare 5 ore pentru producerea unei unităţi de bun şi sunt disponibile pe parcursul săptămânii de lucru doar un total de 40 de ore. Dacă x reprezintă numărul de unităţi produse, restricţia relativă la timpul de lucru poate fi: 5x 40 Valoarea 5x reprezintă timpul necesar pentru a produce x unităţi de bun. Simbolul arată că timpul necesar pentru producţie trebuie să fie mai mic sau egal cu disponibilul de 40 de ore. Problema decizională decurge din întrebarea: Câte unităţi de produs trebuie programate a fi realizate în fiecare săptămână pentru a maximiza profitul? Modelul matematic complet pentru această problemă simplă de producţie este: max P = 10x funcţie obiectiv 5x 40 restricţii x 0 Restricţia x 0 se referă la producţia care urmează a fi realizată, care poate fi zero sau mai mare decât zero, dar, se

A N A L I Z A C A N T I T A T I V Ă, C A L I T A T I V Ă Ş I P R O C E S U L D E L U A R E A D E C I Z I E I 11 consideră astfel că producţia nu poate lua valori negative. Soluţia modelului poate fi uşor calculată şi este x=8 având un profit asociat de 80 u.m.. Acest model este un exemplu, simplu, de programare liniară. În modelul anterior, profitul unitar (10 u.m.), timpul de producţie al unei unităţi (5 ore) şi capacitatea de producţie (40 ore) reprezintă factori care nu se află sub controlul managerului sau al decidentului. Asemenea factori pot influenţa deopotrivă funcţia obiectiv şi restricţiile şi sunt denumite factori necontrolabili ai modelului. Intrările care sunt controlate, sau determinate de decident, sunt denumite intrări controlabile în model. Intrările controlabile reprezintă decizii alternative specificate de manager, ele fiind de asemenea denumite şi variabile de decizie ale modelului. Intrări necontrolabile Intrări controlabile (Variabile de decizie) Modelul matematic Ieşiri (Rezultate proiectate) Figura nr. 1. 1 Reprezentarea procesului de transformare a intrărilor în ieşiri prin procesul de transformare modelat Odată ce toate variabilele controlabile şi necontrolabile au fost stabilite, funcţia obiectiv şi restricţiile pot fi evaluate, iar output-ul modelului determinat. În acest sens, output-ul modelului reprezintă o simplă proiecţie a ceea ce s-ar întâmpla

12 A N A L I Z A C A N T I T A T I V Ă, C A L I T A T I V Ă Ş I P R O C E S U L D E L U A R E A D E C I Z I E I dacă aceşti factori particulari şi decizia se vor întâlni într-o situaţie reală. O reprezentare a modului în care factorii controlabili şi cei necontrolabili sunt transformaţi de modelul matematic din intrări în ieşiri este cea din Figura nr. 1.1. Intrări necontrolabile profit unitar 10$ timp lucru unitar 5 ore capacitate de producţie 40 ore Nivelul cantităţii produse (x) Intrări max P = 10x 5x 40 x 0 Modelul matematic Profitul proiectat şi respectarea restricţiei timpului de Ieşiri Figura nr. 1. 2 Reprezentarea modelului de producţie În Figura nr. 1.2 este realizată o reprezentare similară cu cea anterioară în care sunt punctate detaliile specifice modelului de producţie. Aşa cum s-a arătat înainte, inputurile necontrolabile sunt acelea care nu pot fi influenţate de decident. Inputurile controlabile şi necontrolabile ale unui model depind de problema particulară analizată sau de situaţia decizională. În problema de producţie anterioară, timpul de producţie necesar, 40 de ore, este un input necontrolabil. Dacă este posibil să fie angajate alte persoane, sau să se presteze ore

A N A L I Z A C A N T I T A T I V Ă, C A L I T A T I V Ă Ş I P R O C E S U L D E L U A R E A D E C I Z I E I 13 suplimentare, numărul de ore de producţie va deveni un input controlabil şi, desigur, o variabilă de decizie în model. Inputurile necontrolabile, sau nu pot fi cunoscute cu exactitate, sau sunt incerte, şi, în consecinţă, au valori variabile. Dacă toate inputurile necontrolabile ale unui model sunt cunoscute şi nu pot varia, modelul respectiv este denumit model deterministic. Nivelul ratelor taxelor şi impozitelor nu se află la discreţia managerului şi astfel ele constituie un input necontrolabil în multe modele de decizie. Dacă aceste rate sunt cunoscute şi fixe, cel puţin pe termen scurt, un model matematic cu rate ale taxelor şi impozitelor ca fiind singurele inputuri necontrolabile, va fi un model deterministic. Caracteristica principală a modelului deterministic este aceea că valorile inputurilor controlabile sunt cunoscute dinainte. Dacă unul din inputurile necontrolabile este variabil, atunci modelul este numit model stochastic. Un input necontrolabil în toate modelele de producţie este cererea pentru acel produs. Dacă cererea posibilă viitoare este încadrată între două valori pe un interval, un model matematic ce tratează cererea în condiţii de incertitudine este un model stochastic. În modelul de producţie, numărul total mediu de ore necesare pentru realizarea unui produs, timpul total disponibil şi profitul mediu unitar sunt toate inputuri necontrolabile. Dacă toate inputurile necontrolabile iau valori cunoscute şi fixe, modelul este deterministic. Dacă numărul total mediu de ore necesare pentru realizarea unui produs poate varia între 3 şi 6 ore, în funcţie de calitatea materiei prime, modelul este stochastic. Caracteristica unui model stochastic este că nu poate fi determinată valoarea output-ului, chiar dacă valoarea input-ului controlabil este cunoscută, din cauza valorilor specifice ale inputurilor necontrolabile, care nu sunt cunoscute. Din aceste

14 A N A L I Z A C A N T I T A T I V Ă, C A L I T A T I V Ă Ş I P R O C E S U L D E L U A R E A D E C I Z I E I considerente, modelele stochastice sunt, adesea, mult mai dificil de analizat. 3. Pregătirea datelor. A treia etapă în analiza cantitativă este pregătirea datelor necesare modelului. În acest sens sunt necesare datele care reprezintă valori ale inputurilor necontrolabile din model. Toate inputurile necontrolabile trebuie să fie specificate înainte de a putea să se analizeze modelul şi de a selecta decizia bazată pe soluţia problemei. În modelul de producţie, valorile inputurilor necontrolabile sunt: 10 u.m. profitul unitar, 5 ore necesare pentru realizarea unei unităţi de produs şi 40 de ore pentru capacitatea de producţie. În dezvoltarea modelului, aceste valori sunt cunoscute şi sunt încorporate în modelul care a fost creat. Dacă modelul este relativ mic, şi numărul valorilor de input necontrolabile (a datelor) necesare este redus, analistul, probabil că va combina etapa de dezvoltare a modelului cu cea de pregătire a datelor. În acest moment sunt introduse datele valorice şi sunt determinate ecuaţiile matematice ale modelului. În multe situaţii de modelare, datele sau valorile necontrolabile nu sunt prezentate pentru a fi introduse ca atare. În aceste situaţii, managerul poate determina că modelul necesită date relative la: profit unitar, timp de producţie şi capacitate de producţie, dar valorile nu pot fi luate direct din evidenţele contabile ale firmei, din compartimentul de producţie sau proiectare. Adesea, în încercarea de a colecta datele, modelul este dezvoltat, iar analistul va folosi o notaţie generală pentru etapa de dezvoltare a modelului şi va trece, apoi, la etapa de pregătire a datelor, pentru a obţine valorile inputurilor necontrolabile. Se foloseşte următoarea notaţie: c = profit unitar; a = timpul de producţie în ore pe unitate produsă;

A N A L I Z A C A N T I T A T I V Ă, C A L I T A T I V Ă Ş I P R O C E S U L D E L U A R E A D E C I Z I E I 15 b = capacitatea de producţie în ore, iar în etapa de dezvoltare a modelului, acesta se va reprezenta în modul următor: opt c x a x b x 0 Apoi se vor identifica valorile corespunzătoare pentru a, b şi c pentru a defini corespunzător modelul. O parte din analiştii neexperimentaţi presupun că odată ce problema a fost definită şi modelul general dezvoltat, problema este în esenţă rezolvată. Aceştia cred că etapa de pregătire a datelor este o etapă cu o mică importanţă. În special modelele mari care au numeroase valori de input afirmaţia anterioară nu poate fi departe de adevăr. De exemplu, în modele de dimensiuni moderate, cu 50 de variabile de decizie şi 25 de restricţii sunt necesare peste 1300 de date care trebuie identificate şi pregătite pentru a fi introduse în model. Timpul necesar pentru pregătirea acestor date şi posibilitatea de a greşi, arată că etapa de pregătire a datelor este critică în procesul de analiză cantitativă. Adesea este necesară o bază de date care să furnizeze modelului matematic informaţiile necesare, iar specialiştii vor fi astfel implicaţi în etapa de pregătire a datelor. 4. Generarea soluţiei. Odată ce modelul a fost dezvoltat şi etapa de pregătire a datelor este completată, se poate trece la următoarea etapă. Acum, analistul va încerca să identifice valorile de decizie care conferă cel mai bun output pentru model. Valorile variabilelor specifice de decizie, sau valorile care oferă cel mai bun output, poartă denumirea de soluţie optimală a modelului. Pentru problema de producţie,

16 A N A L I Z A C A N T I T A T I V Ă, C A L I T A T I V Ă Ş I P R O C E S U L D E L U A R E A D E C I Z I E I generarea soluţiei este etapa care implică găsirea valorii cantităţii de produs, respectiv variabila de decizie x, care maximizează profitul, fără însă a determina nerespectarea restricţiilor modelului relative la capacitatea de producţie. Procedura de evaluare şi selectare care trebuie folosită în această etapă presupune încercări în care modelul este folosit pentru a testa şi evalua diferite variante de decizie alternative. În modelul de producţie, aceasta înseamnă testarea şi evaluarea modelului considerând valori pentru producţia x, variabile. Se consideră modelul din Figura nr. 1.2 şi se calculează pentru valori diferite ale lui x şi se verifică dacă acestea generează profit corespunzător şi, totodată, respectă restricţiile capacităţii de producţie. Dacă o decizie alternativă nu satisface una sau mai multe din restricţiile modelului, decizia alternativă este respinsă ca nefezabilă relativă la valoarea funcţiei obiectiv. Dacă toate restricţiile sunt satisfăcute, decizia alternativă este fezabilă şi este candidată la cea mai bună soluţie sau decizie recomandată. Tabelul nr. 1. 1 Reprezentarea procedurii de evaluare şi selecţie Alternativa de Total ore decizie Profitul Soluţie fezabilă? de (Cantitatea de proiectat (capacitatea =40) producţie produs) x 0 0 0 Da 2 20 10 Da 4 40 20 Da 6 60 30 Da 8 80 40 Da 10 100 50 Nu 12 120 60 Nu

A N A L I Z A C A N T I T A T I V Ă, C A L I T A T I V Ă Ş I P R O C E S U L D E L U A R E A D E C I Z I E I 17 Folosind această procedură de evaluare şi selectare a deciziilor alternative, decidentul poate identifica o bună şi posibil cea mai bună soluţie fezabilă a problemei. Această soluţie este cea care va determina decizia optimă pentru problemă. În Tabelul nr. 1.1 sunt prezentate rezultatele procedurii de evaluare şi selectare pentru problema prezentată în Figura nr.1.2. Decizia recomandată se referă la o cantitate produsă de 8 unităţi, iar soluţia fezabilă, cu cel mai mare profit, corespunde aceleiaşi cantităţi produse. Dacă procedura de evaluare şi selecţie poate fi aplicată relativ uşor şi poate să ofere informaţii de valoare managerului, atunci, ea va fi folosită pentru selectarea deciziei optime. Dacă ea necesită calcule foarte laborioase, este posibil să nu mai poată fi aplicată această procedură. Totuşi analiştii chiar au dezvoltat proceduri pentru multe modele care sunt mai eficiente chiar decât procedura de evaluare şi selecţie 1. De remarcat că pentru modelele de mici dimensiuni calculele pot fi efectuate manual, pentru cea mai mare parte a aplicaţiilor practice este necesară folosirea unui computer. Este important de ştiut că etapele de dezvoltare a modelului şi cea de generare a soluţiei nu pot fi complet separate. Atunci când analistul va dori să dezvolte un model de mare acurateţe care să transpună în relaţii matematice problema, el va dori să poată obţine soluţia problemei. Dacă modelul va fi foarte extins, complex, atunci va fi poate chiar imposibil de a se cunoaşte soluţia acestuia. În această situaţie, un model simplificat, uşor de înţeles, cu p procedură care să conducă spre cunoaşterea soluţiei va fi preferat, chiar dacă soluţia determinată prin acesta este doar o aproximare a celei mai bune decizii. Pe măsură ce analiştii acumulează cunoştinţe 1 Sunt introduse în aceastălucrare proceduri de căutare a soluţiilor pentru mai multe tipuri de modele matematice care vor fi formulate.

18 A N A L I Z A C A N T I T A T I V Ă, C A L I T A T I V Ă Ş I P R O C E S U L D E L U A R E A D E C I Z I E I despre metodele cantitative, modelele generate de aceştia vor fi mai uşor dezvoltate şi rezolvate. După ce soluţia modelului a fost obţinută, managerul împreună cu analistul vor fi interesaţi să afle cât de bună este soluţia determinată. După generarea modelului, analistul trebuie să verifice acurateţea modelului, pentru a cunoaşte gradul de confidenţă a soluţiilor generate de acesta, ceea ce presupune rezolvarea modelului. Testarea şi validarea modelului sunt etape care presupun confruntarea rezultatelor generate de model cu rezultatele economice obţinute în situaţia reală modelată. Dacă modelul generează soluţia identică cu cea obţinută în situaţia reală, atunci modelul ar putea fi folosit pentru rezolvarea problemei pentru care a fost formulat. Totuşi, în situaţia în care sunt identificate probleme determinate de lipsa de acurateţe a modelului, pot fi realizate acţiuni corective relative la modificarea modelului sau a datelor de intrare ale acestuia. Chiar şi după acţiunea corectivă, soluţia modelului nu va fi folosită în practică până când modelul nu va trece corespunzător de testare şi validare. 5. Întocmirea raportului. Etapa finală în procesul de analiză cantitativă este reprezentat de pregătirea rapoartelor manageriale bazate pe soluţia modelului. Referitor la procesul de luare al deciziei în problema supusă analizei cantitative, managerul va menţiona în raportul său soluţia generată de modelul cantitativ într-o modalitate care să determine înţelegerea acesteia şi la alte niveluri ierarhice. Raportul va conţine decizia recomandată, dar şi alte informaţii pertinente despre rezultatele modelului care pot fi utile. Implementarea modelului. Generarea raportului managerial este ultima etapă în procesul de analiză cantitativă

A N A L I Z A C A N T I T A T I V Ă, C A L I T A T I V Ă Ş I P R O C E S U L D E L U A R E A D E C I Z I E I 19 bazată pe soluţia obţinută prin intermediul modelului. Astfel, rămâne la latitudinea managerului dacă va include soluţia cantitativă, cu consideraţiile calitative pentru a face ca decizia luată să fie cea mai bună posibilă. După aceasta, managerul trebuie să urmărească implementarea şi să realizeze evaluarea deciziei. În timpul implementării, dar şi după aceasta, managerul trebuie să continue să monitorizeze contribuţia modelului. În acest moment, se poate ridica problema extinderii şi a creşterii acurateţei modelului care vor determina managerul să se întoarcă la etapele de început ale procesului de analiză cantitativă. Implementarea cu succes a rezultatelor este de mare importanţă atât pentru analist cât şi pentru manager. Dacă rezultatul procesului de analiză cantitativă nu este implementat, întregul efort depus a fost în zadar. Adesea implementarea necesită ca angajaţii care vor aplica soluţiile modelului să trebuiască să realizeze activitatea într-un mod diferit, cu eficienţă sporită, iar managerul poate să se lovească de rezistenţa acestora la schimbare. Una dintre cele mai eficiente modalităţi de implementare este să se implice cât mai mulţi angajaţi în procesul de modelare. Dacă angajaţii simt că şi-au adus aportul la identificarea problemei şi la dezvoltarea soluţiei, ei vor fi mai entuziaşti în aplicarea rezultatelor. Succesul implementării rezultatelor ştiinţei managementului în practică este mare pentru acele proiecte care au antrenat cât mai mulţi angajaţii 1. 1 Brabb J. George, Introduction to Quantitative Management, Holt, Reinhart and Winston Inc., New York, 1968, pg. 13.

CAPITOLUL 2 MODELAREA PROBLEMELOR DE TRANSPORT 2.1 PROBLEMĂ DE TRANSPORT Problemele de transport pot să apară adesea în planificarea distribuţiei de bunuri şi servicii, din mai multe locaţii, unde există disponibilitate, spre locaţiile unde se află cererea. De obicei, cantitatea de bunuri disponibile în fiecare locaţie de ofertă (origine) este fixă sau limitată, un anumit nivel al cererii fiind înregistrat la destinaţie. De obicei firmele dispun de mai multe rute care leagă sursele de destinaţie şi pe acestea sunt asignate costuri diferite de transport. Tabelul nr. 2. 1 Origine Unitatea de producţie Capacitatea d producţie lunară (buc) 1 Braşov 5.000 2 Cluj 6.000 3 Oradea 2.500 TOTAL 13.500 Obiectivul acestei rezolvări este determinarea a cât de multe unităţi de produs vor fi transportate, din origini (surse) spre fiecare destinaţie, astfel încât toate cererile la destinaţie să

MODELAREA PROBLEMELOR DE TRANSPORT 21 fie satisfăcute cu condiţia ca şi costul total de transport să fie minim. Fie ilustrarea următoarei probleme de transport pe care o are de rezolvat firma G.M. care produce generatoare de curent electric. Această problemă implică transportul produselor de la trei unităţi de producţie spre patru centre de distribuţie. G.M. dispune de centre de distribuţie în Braşov, Cluj, Oradea, iar capacităţile de producţie ale firmei în decurs de o lună sunt cele din Tabelul nr. 2.1. Tabelul nr. 2. 2 Destinaţie Centru de distribuţie Cerere lunară previzionată (buc.) 1 Bucureşti 6.000 2 Craiova 4.000 3 Constanţa 2.000 4 Iaşi 1.500 TOTAL 13.500 Se presupune că firma distribuie generatoarele prin patru centre regionale de distribuţie situate în Bucureşti, Craiova, Constanţa şi Iaşi. Cererea lunară corespunzătoare pentru centrele de distribuţie este prezentată în Tabelul nr. 2.2. Managerul firmei G.M. vrea să determine cât din producţia realizată în fiecare centru de producţie va fi transportat spre fiecare centru de distribuţie. Figura următoare reprezintă grafic legăturile posibile dintre centrele de producţie şi cele de distribuţie. În Figura nr. 2.1 prin cercuri sunt reprezentate noduri (surse sau destinaţii) iar liniile care unesc aceste noduri se

22 MODELAREA PROBLEMELOR DE TRANSPORT numesc arce. Graful care corespunde nodurilor interconectate se numeşte reţea. Figura nr. 2. 1 Reţea de transport Oferta Rute Cererea O problemă de transport poate fi reprezentată grafic ca o reţea. Din acest motiv problema este numită şi problemă de flux în reţea. Bunurile transportate de la origine spre destinaţie reprezintă fluxul din reţea.

MODELAREA PROBLEMELOR DE TRANSPORT 23 Tabelul nr. 2. 3 Costul transportului Destinaţii Surse Bucureşti Craiova Constanţa Iaşi Braşov 3 2 7 6 Cluj 7 5 2 3 Oradea 2 5 4 5 Costul de producţie este considerat, aici, identic pentru cele trei unităţi de producţie, costul care este variabil fiind numai cel de transport. Astfel, se pune problema să se determine rutele care vor fi folosite şi cantitatea ce va fi transportată pe acestea, astfel încât toată cererea să poată fi satisfăcută cu un cost de transport minim. Costurile pentru fiecare unitate transportată pe fiecare rută sunt prezentate în Tabelul nr. 2.3.

24 MODELAREA PROBLEMELOR DE TRANSPORT 2.2 PROBLEMA DE TRANSPORT: O PROBLEMĂ DE PROGRAMARE LINIARĂ Se poate folosi un program de programare liniară pentru a rezolva problema de transport a firmei G.M. Se vor folosi variabile precum x 11 care reprezintă cantitatea de produse transportate din sursa 1 (Braşov) în destinaţia 1 (Bucureşti); x 12 reprezintă cantitatea de produse transportate din sursa 1 (Braşov) în destinaţia 2 (Craiova) etc. Variabilele de decizie pentru problema de transport care are m origini (surse) şi n destinaţii pot fi notate prin x ij şi vor reprezenta numărul de unităţi transportate din sursa i la destinaţia j, cu i =1,,m şi j =1,,n. Folosind notaţia de mai sus, pentru x 24 = 500, ea corespunde unui transport de 500 bucăţi de produs din sursa 2 (Cluj ) la destinaţia 4 (Iaşi). Pe baza costurilor de transport din Tabelul nr. 2.3, se poate determina costul transporturilor pe baza următoarelor expresii: a) costul transportului dinspre Braşov = 3x 11 +2x 12 +7x 13 +6x 14 b) costul transportului dinspre Cluj = 7x 21 +5x 22 +2x 23 +3x 24 c) costul transportului dinspre Oradea = 3x 31 +5x 32 +4x 33 +5x 34 Suma expresiilor de mai sus reprezintă funcţia obiectiv care calculează nivelul costului total de transport al G.M. Restricţiile problemei sunt determinate, la sursă, de nivelul limitat al producţiei iar la destinaţie de nivelul cererii. În cazul producţiei din fiecare fabrică avem numărul total de bunuri oferite mai mic sau egal cu numărul de bunuri produse într-un centru de producţie. Astfel se poate scrie pentru fiecare furnizor: x 11 +x 12 +x 13 +x 14 5000 oferta furnizorului din Braşov x 21 +x 22 +x 23 +x 24 6000 oferta furnizorului din Cluj x 31 +x 32 +x 33 +x 34 2500 oferta furnizorului din Oradea

MODELAREA PROBLEMELOR DE TRANSPORT 25 Firma dispune de patru centre de distribuţie unde trebuie să se asigure că întreaga ofertă va fi satisfăcută. Pentru fiecare centru se deduce: x 11 + x 21 + x 31 = 6000 cererea în Bucureşti x 12 + x 22 + x 32 = 4000 cererea în Craiova x 13 + x 23 + x 33 = 2000 cererea în Constanţa x 14 + x 24 + x 34 = 1500 cererea în Iaşi Combinând funcţia obiectiv cu cele trei restricţii privind oferta şi cele patru restricţii privind cererea se obţine o problemă de programare liniară cu 12 variabile şi 7 restricţii liniare astfel: max f = 3x 11 +2x 12 +7x 13 +6x 14 +7x 21 +5x 22 +2x 23 +3x 24 +3x 31 +5x 32 +4x 33 +5x 34 x 11 +x 12 +x 13 +x 14 5000 x 21 +x 22 +x 23 +x 24 6000 x 31 +x 32 +x 33 +x 34 2500 x 11 +x 21 +x 31 = 6000 x 12 +x 22 +x 32 = 4000 x 13 +x 23 +x 33 = 2000 x 14 +x 24 +x 34 = 1500 x ij 0, pentru i =1,,3 şi j = 1,,4 Soluţia optimă pentru problema de transport a GM este o soluţie în care toate valorile sunt numere întregi. Acest fapt reprezintă o cerinţă obiectivă în rezolvarea problemelor de transport. Datorită structurii speciale a restricţiilor problemelor de transport întotdeauna se obţin soluţii numere întregi dacă nodurile sursă şi cele destinaţie prezintă oferta şi respectiv cererea în numere întregi. Varietatea de probleme de bază de transport se pot încadra în una sau mai multe din situaţiile următoare:

26 MODELAREA PROBLEMELOR DE TRANSPORT 1. Oferta totală nu egalează cererea totală. 2. Fiecare obiectiv poate fi de maximizare. 3. Unele rute pot să prezinte restricţii relative la capacitatea minimă sau maximă de transport. 4. Unele rute nu pot fi lua te în considerare fiind considerate inacceptabile. Cu unele modificări în PPL de transport, aceste situaţii pot fi luate în considerare în atingerea soluţiilor. Cea mai întâlnită situaţie este cea în care oferta totală nu este egală cu cererea totală. Când cantitatea oferită este peste nivelul cererii nu apar modificări în formularea modelului PPL. Excesul de ofertă va introduce variable de relaxare în rezolvarea PPL. Relaxarea poate fi interpretată prin ofertă neutilizată sau prin cantităţi oferite care sunt transportate, din surse spre centrul de distribuţie. Dacă oferta totală este mai mică sau egală cu cantitatea cerută, modelul PPL nu va avea o soluţie fezabilă pentru că restricţiile impuse de cerere nu vor fi satisfăcute. În acest caz, o modificare în restricţiile PPL devine necesară pentru a permite rezolvarea problemelor de transport şi obţinerea soluţiei acesteia. Se va introduce, astfel, o sursă fictivă a cărei ofertă (fictivă) reprezintă chiar excesul de cerere peste nivelul ofertei. Se va asocia costul nul pentru transportul de la această sursă fictivă spre fiecare nod al cererii, ceea ce în funcţia obiectiv va însemna costul transportului doar pe rutele care au cost asociat diferit de 0, deci soluţia optimă a problemei nu se modifică (nu vor mai efectuate practic transporturi de bunuri pe rutele cu cost asociat zero dinspre sursa fictivă). Odată introdusă sursa fictivă, oferta totală egalează cererea totală, iar modelul PPL poate fi folosit să genereze o soluţie. Pentru valoarea optimă obţinută, destinaţiile care primesc transporturi dinspre sursa fictivă vor fi cele pentru care cererea nu poate fi satisfăcută în totalitate. Prin introducerea

MODELAREA PROBLEMELOR DE TRANSPORT 27 sursei fictive în modelul PPL se va genera un program de transport cu cost minim pentru toată oferta disponibilă şi se vor indica în plus acele destinaţii pentru care există cerere nesatisfăcută. În unele formulări de probleme este posibil (sau este de dorit) să se considere profitul sau venitul pentru fiecare unitate transportată decât să se ia în considerare costul unitar. Folosirea venitului sau a profitului unitar în coeficientul funcţiei obţinute va impune rezolvarea unei probleme de maxim şi nu de minim (criteriul costului în modelul PPL). Restricţiile vor fi afectate de această modificare. Formularea problemelor de transport poate fi modificată pentru a lua în considerare capacitatea de transport pentru una sau mai multe rute. De exemplu presupunem că pe ruta Oradea-Bucureşti (sursa 3, destinaţie 1) capacitatea de transport este de 1000 unităţi din cauza spaţiului disponibil de transport limitat, restricţie care este impusă de mărimea vehiculului de transport. Această limitare a capacităţii de transport pe rută poate fi reprezentată în modelul PPL prin adăugarea unei restricţii care corespunde cu limitarea superioară a variabilei de decizie. Pentru x 31 (care corespunde cantităţii de bun transportat între Oradea şi Bucureşti) în problema GM se introduce restricţia relativă la capacitatea de transport: x 31 1000 La fel, o rută pentru care nivelul minim de unităţi de marfă transportate este specificat poate fi x 22 2000, ceea ce va garanta că numărul unităţilor transportate de la Cluj la Craiova va fi de cel puţin 2000 unităţi. Ca o situaţie particulară, cu ajutorul modeleului PPL este posibil să nu se poată obţine o rută de la fiecare sursă spre (A) destinaţie. Aceasta înseamnă că unele rute sunt

28 MODELAREA PROBLEMELOR DE TRANSPORT inacceptabile. Pentru a rezolva această situaţie, se elimină din problemă variabilele de decizie corespunzătoare acestei rute incluse în modelul în modelul PPL. Rezolvarea problemei în situaţia în care se consideră inacceptabilă ruta Braşov şi Constanţa va conţine 11 variabile, 7 restricţii, ceea ce va oferi soluţia optimă în care ruta specificată nu este utilizată. Modelul general al problemelor de transport în reprezentarea unei PPL. Se folosesc următoarele notaţii care apar în modelul general al problemelor reprezentate printr-o PPL: i = numărul de surse, i = 1, m ; j = numărul destinaţiilor, j = 1, n ; x ij = cantitatea transportată din sursa i spre destinaţia j; c ij = costul de transport asociat rutei dintre sursa i spre destinaţia j; s i = cantitatea de bun sipoanibilă în sursa i; d j = cantitatea de bun cerută în destinaţia j. Modelul general pentru probleme de transport în care sunt m surse şi n destinaţii este: min m i 1 n i 1 x x ij ij x ij 0 n i 1 si dj m j 1 cij xij i 1,m j 1,n ( ) i, j oferte cereri

MODELAREA PROBLEMELOR DE TRANSPORT 29 Dacă în problema de transport problemă de programare liniară oferta totală ( s i ) este mai mică sau egală n cu cererea totală ( d i ), o sursă fictivă va oferi exact cantitatea j 1 de bun care reprezintă excesul de cerere. Această sursă fictivă poate fi notată prin m+1, iar cantitatea oferită (fictiv) de această sursă este determinată ca: s m+1 = n j 1 m i 1 m dj si Pentru a fi siguri că soluţia optimă obţinută în urma acestui artificiu va reprezenta costul total de transport, toţi coeficienţii din funcţia obiectiv asociaţi surselor fictive vor fi nuli (nu se va efectua nici un transport dinspre sursele fictive). Dacă unele rute au restricţii fictive la capacitatea de transport se vor adăuga restricţii de forma x ij L ij, unde L ij reprezintă limita superioară sau capacitatea maximă de transport a rutei ce leagă sursa i de destinaţia j. Dacă, similar, nivelul minimal acceptat pentru transport pe o rută există, atunci se adaugă restricţia de forma x ij L ij. Aici L ij corespunde nivelului minim de marfă ce poate fi transportat de la o sursă i spre destinaţia j. i 1

30 MODELAREA PROBLEMELOR DE TRANSPORT 2.3 PROBLEMA DE TRANSPORT. PROCEDURĂ PRACTICĂ DE REZOLVARE Dacă problema de transport are 100 de surse şi 500 de destinaţii, aceasta implică 100 500=50000 de variabile de decizie în problema de transport problemă de programare liniară. Acest fapt a determinat realizarea de proceduri practice de rezolvare a problemei de transport care să nu necesite rezolvarea unei probleme de programare liniară asociate problemei de transport. Structura specială a problemei de transport - problemă de programare liniară a permis managerilor să folosească o procedură foarte simplificată pentru realizarea facilă a calculelor. În problemele GM avem 12 variabile de decizie şi 7 restricţii. Este clar că rezolvarea problemelor GM ca problemă de transport - problemă de programare liniară necesită un efort de calcul considerabil prin rezolvarea folosind Algoritmului Simplex. Prin procedura practică de rezolvare pot fi uşor rezolvate probleme de transport de mărime mică. Tabelul nr. 2. 4 Destinaţii Oferta Surse Bucureşti Craiova Constanţa Iaşi sursei 3 2 7 6 Braşov 5000 7 5 2 3 Cluj 6000 2 5 4 5 Oradea 2500 Cererea destinaţiei Celulă corespunzătoare transportului de la Oradea la Bucureşti 6000 4000 2000 1500 13500 n m d i = j 1 si i 1 cerere = oferta

MODELAREA PROBLEMELOR DE TRANSPORT 31 Aplicarea procedurii practice de rezolvare în problema GM presupune găsirea unei soluţii iniţiale fezabile şi apoi prin interaţii succesive care aduc îmbunătăţiri soluţiei se va determina soluţia optimă şi se va folosi o reprezentare tabelară care va conţine datele problemei şi este utilă în efectuarea calculelor, Tabelul nr. 2.4, unde sunt 12 celule care corespund celor 12 rute de transport (arce) reprezentate în Figura nr. 2.1. Fiecare celulă de tabel corespunde unei rute transport de la o sursă spre un centru de distribuţie. Cifrele din colţul dreapta sus al fiecărei celule reprezintă costurile de transport asociate fiecărei rute. În partea dreaptă a tabelului sunt trecute cantităţile disponibile în fiecare sursă, iar în linia de jos sunt reprezentate valorile cererii la destinaţie. În colţul dreapta jos al tabelului se trece nivelul cererii = nivelul ofertei. După realizarea tabelului, se trece la rezolvarea problemei de transport care presupune determinarea unei soluţii iniţiale fezabile. 2.3.1 Găsirea unei soluţii iniţiale fezabile. Metoda Costului Minim Metoda costului minim pentru identificarea unei souţii iniţiale fezabile presupune alocarea a cât mai multe unităţi spre a fi transportate pe rutele de cost minim. Paşii de parcurs în aplicarea Metodei costului minim pentru obţinerea soluţiei iniţiale fezabile a problemei de transport sunt: Pasul 1: Identificarea în tabelul de transport a celulei cu costul minim, şi apoi se asigură cât mai multe unităţi de transportat în respectiva celulă. Dacă există mai multe celule cu cost minim identic se ia în considerare celula în care se pot transporta un

32 MODELAREA PROBLEMELOR DE TRANSPORT număr maxim de unităţi. Dacă mai există alte celule candidate cu cost identic se va alege în continuare dintre acestea. Pasul 2: Se reduce în rândul ofertei şi în coloana cererii cantitatea de bun asigurată la pasul 1. Pasul 3: Dacă toate rândurile cu ofertă şi coloanele cu cerere au fost tăiate, atunci s-a obţinut soluţia iniţială fezabilă. În caz contrar se continuă cu pasul 4. Pasul 4: Dacă pe rândul ofertei este acum un disponibil nul, se elimină linia respectivă prin tăietură. Dacă pe coloana cererii nivelul acesteia este nul, se elimină coloana prin tăietură. Dacă atât linia cât şi coloana sunt tăiate se va face o nouă alocare de zero unităţi pe una din celulele deja tăiate de o linie, pe coloană sau rând. Pasul 5: Se continuă cu pasul 1 până sunt tăiate toate rândurile şi coloanele. În Tabelul nr. 2.4 se observă că rutele Braşov-Craiova, Cluj-Constanţa şi Oradea-Bucureşti au costul minim de 2 u.m. Dacă în problemă apar mai multe rute cu cost minim, este practic, util, să se aloce transportul pe ruta care are capacitatea de transport cea mai mare. În problema de faţă, cantitatea maximă - 4000 unităţi - poate fi transportată de la Braşov la Craiova. Aceasta va reduce cantitatea disponibilă la Braşov de la 5000 la 1000, valoarea iniţială a ofertei la Braşov va fi de 1000 iar valoarea cererii nesatisfăcute în Craiova va fi de 4000-4000=0 unităţi. Valoarea iniţială a cererii de 4000 va fi înlocuită pentru Craiova cu 0. Acum se poate elimina coloana corespunzătoare destinţiei Craiova pentru că cererea a fost aici complet satisfăcută.

MODELAREA PROBLEMELOR DE TRANSPORT 33 Tabelul nr. 2. 5 Surse Destinaţii Oferta Bucureşti Craiova Constanţa Iaşi sursei Braşov 3 2 7 6 5000 4000 1000 Cluj 7 5 2 3 6000 2 5 4 5 Oradea 2500 Cererea destinaţiei 6000 4000 0 2000 1500 13500 Acum se vor urmări doar celulele care nu au fost tăiate cu o linie pentru a identifica noua rută de cost minim. Aceasta este între Cluj Constanţa şi Oradea Bucureşti. Tabelul nr. 2.6 Surse Destinaţii Oferta Bucureşti Craiova Constanţa Iaşi sursei Braşov 3 2 7 6 5000 4000 1000 Cluj 7 5 2 3 6000 Oradea Cererea destinaţiei 2 5 4 5 2500 6000 3500 4000 0 2500 0 2000 1500 13500 Se alege ruta Oradea Bucureşti pentru că poate fi satisfăcută o cerere de 2500 unităţi (în comparaţie cu Cluj Constanţa care permite o satisfacere a cererii cu doar 2000 unităţi). Astfel, oferta din Oradea devine nulă prin alocarea întregii cantităţi disponibile care va fi transportată în Bucureşti. Oferta de 2500 din Oradea va fi înlocuită cu 0 şi cererea în

34 MODELAREA PROBLEMELOR DE TRANSPORT Bucureşti se va reduce de la 6000 la 3500. Linia corespunzătoare ofertei din Oradea va fi eliminată prin tăiere. Surse Braşov Cluj Oradea Cererea destinaţiei Tabelul nr. 2.7 Destinaţii Bucureşti Craiova Constanţa Iaşi 3 2 7 6 4000 7 5 2 3 2000 2 5 4 5 2500 6000 3500 4000 0 2000 0 Oferta sursei 5000 1000 6000 4000 2500 0 1500 13500 Următorul cost minim din tabel este pe ruta Cluj Constanţa. Acum poate fi satisfăcută cererea de 2000 de unităţi în Constanţa, din totalul disponibil în Cluj de 6000 unităţi, iar în Constanţa cererea este satisfăcută integral, valoarea iniţială va fi înlocuită cu valoarea 0, iar valoarea corespunzătoare cererii din Constanţa va fi tăiată. Surse Braşov Cluj Oradea Cererea destinaţiei Tabelul nr. 2.8 Destinaţii Bucureşti Craiova Constanţa Iaşi 3 2 7 6 4000 7 5 2 3 2000 1500 2 5 4 5 2500 6000 3500 4000 0 2000 0 1500 0 Oferta sursei 5000 1000 6000 4000 2500 2500 0 13500

MODELAREA PROBLEMELOR DE TRANSPORT 35 În continuare costul minim este de 3 u.m. pe rutele Braşov-Bucureşti şi Cluj-Iaşi. Pe prima rută pot fi transportate 1000 unităţi iar pe a doua 1500 unităţi. Conform regulii adoptate, se vor aloca 1500 unităţi de la Cluj la Iaşi. Cererea în Iaşi se satisface complet, coloana corespunzătoare se va elimina din tabel, iar oferta din Cluj scade de la 4000 la 2500 unităţi ce au rămas disponibile. Surse Braşov Cluj Oradea Cererea destinaţiei Tabelul nr. 2.9 Destinaţii Bucureşti Craiova Constanţa Iaşi 3 2 7 6 1000 4000 7 5 2 3 2000 1500 2 5 4 5 2500 6000 4000 2000 1500 3500 0 0 0 2500 Oferta sursei 5000 1000 0 6000 4000 2500 2500 0 13500 Următorul nivel minim al costului este 3 pe ruta Braşov Bucureşti. Cerea rămasă nesatisfăcută în Bucureşti are nivelul de 3500 unităţi. Din acest total pot fi satisfăcute 1000 unităţi disponibile în Braşov. Noul disponibil, aici, devenind nul, ceea ce presupune eliminarea liniei corespunzătoare sursei Braşov. Se constată că rămân 2500 unităţi disponibile în Cluj, iar cererea din Bucureşti este de 2500, ceea ce conduce la satisfacerea cererii din Bucureşti cu disponibilul rămas în Braşov. Valorile de 2.500 unităţi disponibil şi respectiv cerere, respectiv în Cluj şi Bucureşti devin nule, linia corespunzătoare

36 MODELAREA PROBLEMELOR DE TRANSPORT sursei Cluj şi coloana corespunzătoare destinaţiei Bucureşti se taie. Tabelul nr. 2.10 De la La Cantitatea transportată Cost unitar Cost total Braşov Bucureşti 1 000 3 3 000 Braşov Craiova 4 000 2 8 000 Cluj Bucureşti 2 500 7 17 500 Cluj Constanţa 2 000 2 4 000 Cluj Iaşi 1 500 5 4 500 Oradea Bucureşti 2 500 2 5 000 TOTAL 13500-42 000 Întrucât s-au alocat toate cele 13.500 unităţi cerute din totalul de 13.500 disponibile, s-a determinat o soluţie. Această soluţie este fezabilă pentru că toată cererea este satisfăcută de toată oferta disponibilă. Datele corespunzătoare acestei soluţii obţinute prin Metoda Costului Minim sunt trecute în Tabelul nr. 8.10. Observaţie: Aşa cum se poate deduce, această soluţie nu este soluţia optimă. În continuare, această metodă va presupune trecerea acestei soluţii fezabile spre soluţia optimă. Metoda costului minim poate fi folosită doar de soluţia iniţială fezabilă a problemei cu m surse şi n destinaţii foloseşte exact m+n-1 rute de transport. Astfel, problema GM trebuie să folosească 3+4-1=6 rute de transport în soluţia iniţială. Pentru problema GM soluţia iniţială fezabilă satisface această condiţie. Pentru a garanta că metoda costului minim va genera întotdeauna o soluţie iniţială fezabilă cu m+n-1 rute pe care vor fi folosite la transport trebuie efectuate unele modificări. Ultima alocare de la Cluj la Bucureşti de 2500 unităţi a

MODELAREA PROBLEMELOR DE TRANSPORT 37 presupus alocarea întregului disponibil rămas de 2500 unităţi pentru a satisface cererea din Bucureşti. În determinarea soluţiei iniţiale fezabile, ultima alocare reduce întotdeauna atât o linie a ofertei cât şi o coloană a cererii, astfel încât cererea şi oferta nesatisfăcute devin zero. În această situaţie se obţine o soluţie iniţială fezabilă cu mai puţin de m+n-1 rute de transport folosite. Pentru a preveni acea situaţie în care atât cererea cât şi oferta se reduc simultan la valoarea zero se poate proceda la: 1. Eliminarea liniei şi a coloanei prin tăierea acestora. 2. În plus se va adăuga unei celule aflate la intersecţia rândului tăiat şi a coloanei, un transport de zero unităţi, fie pentru linia, fie pentru coloana tăiată. Această celulă va fi tratată la fel ca şi cele pentru care s-a asociat o cantitate de transportat. Pentru a urmări cum se aplică această procedură se ia în considerare următoarea problemă care are 3 surse şi 4 destinaţii. Reprezentarea iniţială este următoarea: Surse Tabelul nr. 2.11 Destinaţii D 1 D 2 D 3 D 4 Oferta 6 8 3 10 S 1 30 2 9 5 7 S 2 15 7 8 6 4 S 3 15 Cererea 10 25 10 15 60 Prin aplicarea Metodei Costului Minim se alocă pe ruta S 2 -D 1 cu costul minim asociat (=2) un transport de 10 unităţi. Se trece la următoarea reprezentare:

38 MODELAREA PROBLEMELOR DE TRANSPORT Surse Tabelul nr. 2.12 Destinaţii D 1 D 2 D 3 D 4 Oferta S 1 6 8 3 10 30 10 20 S 2 2 9 5 7 15 10 5 S 3 7 8 6 4 0 15 Cererea 10 0 25 10 0 15 60 Corespunzător, următoarea alocare este pe ruta S 1 -D 3 cu 10 unităţi transportate. Apoi pe ruta S 3 -D 4 care are costul minim (=4) se constată că se reduc simultan linia lui S 3 şi coloana lui D 4 pentru care oferta şi cererea devin simultan zero. Dacă se elimină această linie şi respectiv coloană, singurele celule care mai rămân netăiate sunt corespunzătoare lui S 1 - D 2 şi S 2 -D 2. Astfel, ar trebui asigurată o valoare de 0 unităţi transportate de la S 2 la D 1 sau zero unităţi transportate de la S 3 la D 4. Prin asigurarea valorii pentru celula S 3 -D 1 se obţine următorul tabel de transport. Surse Tabelul nr. 2.13 Destinaţii D 1 D 2 D 3 D 4 Oferta S 1 6 8 3 10 30 10 20 S 2 2 9 5 7 15 10 5 7 8 6 4 S 3 0 15 Cererea 10 0 25 10 0 15 0 15 60 Flux de 0 unităţi creat artificial Ambele se reduc, simultan la 0

MODELAREA PROBLEMELOR DE TRANSPORT 39 S 1 - D 2 : 20 S 1 - D 3 : 10 S 2 - D 1 : 10 S 2 - D 2 : 5 S 3 - D 1 : 0 S 3 - D 4 : 15 În continuare se obţine tabelul în care soluţia 1 va fi: unităţi transportate, şi se folosesc m+n-1=3+4-1=6 rute de transport. Soluţia astfel determinată este optimă. 1 O altă metodă care poate conduce la obţinerea unei soluţii iniţiale fezabile este metoda costului de NV.

40 MODELAREA PROBLEMELOR DE TRANSPORT 2.4 METODA STEPPING-STONE Această metodă oferă o procedură iterativă care permite deplasarea de la soluţia fezabilă iniţială spre o soluţie optimă. Ea este folosită pentru a evalua transportul pe acele rute care nu fac parte din soluţia problemei de transport. Dacă se găsesc rute cu costuri mai mici, atunci soluţia curentă este înlocuită (îmbunătăţită) prin efectuarea de transporturi pe aceste noi rute. Corespunzător, dacă acele rute (care au costuri asociate) care nu sunt înlocuite în soluţia curentă vor determina creşterea costurilor, nu vor fi acceptate la determinarea soluţiei optime. Pentru ilustrare, se va folosi problema iniţială a GM pe care s-a aplicat metoda costurilor şi s-a determinat soluţia iniţială fezabilă. Surse Braşov Cluj Oradea Cererea destinaţiei Tabelul nr. 2.14 Destinaţii Bucureşti Craiova Constanţa Iaşi 3 2 7 6 1000 4000 7 5 2 3 2500 2000 1500 2 5 4 5 2500 Oferta sursei 5000 6000 2500 6000 4000 2000 1500 13500 Se presupune că se alocă o unitate în celula aflată la intersecţia coloanei 2 cu rândul 2 (ruta Cluj-Craiova). Astfel, pentru a satisface cererea din Craiova la nivelul stabilit, trebuie redus transportul de la Braşov la Craiova la 3999 unităţi transportate, cantitatea de la Braşov la Bucureşti va fi crescută cu o unitate, la 1001, astfel încât oferta din Braşov să fie

MODELAREA PROBLEMELOR DE TRANSPORT 41 menţinută la 5000 şi se va reduce cantitatea transportului de la Cluj la Bucureşti cu o unitate, de la 2500 la 2499 pentru ca cererea din Bucureşti să fie în continuare tot la 6000 unităţi. În Tabelul nr. 2.15 de mai jos sunt reprezentate efectele induse de aplicarea metodei la nivelul costului. Tabelul nr. 2.15 Ruta Modificări Efect în cost Cluj-Craiova transport suplimentar 1 unitate +5 Braşov-Craiova transport redus cu 1 unitate -2 Braşov-Bucureşti transport suplimentar 1 unitate +3 Cluj-Bucureşti transport redus cu 1 unitate -7 Efect net -1 Din analiza tabelului rezultă că se reduce costul de transport cu 1 u.m. pentru fiecare unitate transportată suplimentar de la Cluj la Craiova cu modificările corespunzătoare în celelalte rute. Înainte de a adăuga această rută se consideră procedura generală de evaluare a costurilor asociate cu o nouă rută (sau celulă) şi apoi se verifică toate rutele neutilizate pentru a îmbunătăţi soluţia problemei de transport. Metoda constă în evaluarea efectului unei modificări în alte rute care fac parte din soluţia curentă a problemei de transport, soluţie care constă din celulele ocupate. Deplasarea se face între celulele care constituie parte a soluţiei curente, pe orizontală şi verticală astfel încât se va ajunge la celula de unde s-a pornit iniţial. Deplasarea între celule este reprezentată prin linia punctată, precum se observă în tabelul următor, pentru evidenţierea modificărilor: Cluj-Craiova, Braşov-Craiova, Braşov-Bucureşti