Το θεώρηµα Tor στις πολλές µεταβλητές Ο σκοπός αυτής της παραγράφου είναι η απόδειξη ενός θεωρήµατος τύπου Tor για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών Το θεώρηµα για µια µεταβλητή θα είναι ειδική περίπτωση του γενικότερου αποτελέσµατος Σηµειώνουµε ότι στην πραγµατικότητα γνωρίζουµε ήδη µια µορφή του Tor για διαφορίσιµες συναρτήσεις πολλών µεταβλητών Πράγµατι αν f : U ( U ανοικτό στον είναι διαφορίσιµη στο U και θέσουµε ( x = f ( x f ( Df ( ( x U f x = f Df x x x U και από τον ορισµό της τότε ( x διαφορισιµότητας έχουµε ότι = 0 ( ες και την παράγραφο την σχετική x µε τον ορισµό της διαφορίσιµης συνάρτησης Έτσι το ανάπτυγµα Tor της f πρώτης τάξης γράφεται ως εξής: f h f h h µε = ( = ( = = και ( h ( x h x h h h = ( h h 0 όπου έχουµε θέσει Θα αποδείξουµε ότι το ανάπτυγµα Tor δεύτερης τάξης έχει ως εξής: Αν η f : U είναι της κλάσης C τότε µπορούµε να γράφουµε h 0 f h f h h h h = = όπου ( = ( ( h h 0 ( στο δεύτερο άθροισµα υπάρχουν h 0 όροι Σηµειώνουµε ότι για την απόδειξη του θεωρήµατος όπως διατυπώνεται εδώ αρκεί η f να είναι της κλάσης C η υπόθεση ότι η f είναι της κλάσης C εξασφαλίζει µια πιο εύχρηστη µορφή του υπολοίπου Για να αποδείξουµε το παραπάνω αποτέλεσµα ( καθώς και τις µορφές του αναπτύγµατος Tor ανώτερης τάξης στηριζόµαστε στην αντίστοιχη θεωρία της µιας µεταβλητής Ουσιαστικά περιορίζουµε την f στην τοµή του U µε την ευθεία ( t = t( x = th και εφαρµόζουµε στην συνάρτηση h( t = f ( th την θεωρία του αναπτύγµατος Tor µιας µεταβλητής Έστω U ανοικτό f : U Θεωρούµε ένα ευθύγραµµο τµήµα [ z w] x ( z w και ( t ( t tx t συνάρτηση της κλάσης U ( z w και ( z w C 0 Έστω ακόµη σ = η ευθεία που διέρχεται από τα x Παρατηρούµε ότι υπάρχουν t < 0 και βέβαια σ [ 0 ] = [ x] Περιορίζουµε την f στο [ z w ] και έστω h( t = f ( σ ( t t [ t t] [ ] σ f t t U h= foσ t > ώστε σ ( t = z και σ ( t = w και
4 σ είναι βέβαια C διαφορίσιµη συνάρτηση η σ :[ ] C συνάρτηση ( Προφανώς [ 0 ] [ t t ] Επειδή η : U είναι h = fo t t Έπεται ότι µπορούµε να εφαρµόσουµε το θεώρηµα του Tor στην h µε κέντρο το h 0 = f σ 0 = f h = f σ = f x και 0 Έτσι έχουµε: ( h ( ( ( '' 0 h 0 h t = h 0 h ' 0 t t t ( t0 t [ 0] όπου!! t ( ( 0 t = t h ( d! ( ολοκληρωτική µορφή του υπολοίπου 0 = h t t t t! ( Έπεται ιδιαίτερα ότι: ( ( ( ξ ξ ( 0 ( ( µορφή Lgrge του υπολοίπου h '' 0 h 0 h = h 0 h ' 0 ( 0!! ( ( 0 = h d h ( ξ ξ ( 0! =! 0 Έστω = ( x = ( x x και σ ( t σ ( t σ ( t σ ( t = ( t tx k k k k Ας υποθέσουµε για απλότητα ότι η f είναι της κλάσης ανάπτυγµα Tor της f στο δεύτερης τάξης = όπου C ( = Θα βρούµε το Έτσι έχουµε να υπολογίσουµε τις παραγώγους h '( 0 h ''( 0 και h ''' χρησιµοποιήσουµε τον κανόνα αλυσίδας για την συνάρτηση h foσ :[ 0] Έτσι έχουµε: h '( t = σ ( t t = σ = dσ dt = = ξ Θα ( t ( x t [ 0] (4 Άρα h '( 0 = ( ( x 4(α = Χρησιµοποιώντας πάλι τον κανόνα αλυσίδας για τις συναρτήσεις t [ 0 ] ( ( t x σ και παραγωγίζοντας την (4 υπολογίζουµε: dh' d h '' t t t x dt dt x σ = = = = ( x ( t d dt x σ = = ( x σ ( t t = = = σ = = dσ dt ( ( t ( x ( x σ x ( t ( x = = = Το τελευταίο άθροισµα έχει τυπικά όρους επειδή όµως έχουµε υποθέσει την συνέχεια των µερικών παραγώγων δεύτερης τάξης είναι ίσο µε h ''( t = ( σ ( t ( x ( σ ( t ( x ( x (5 = <
5 Είναι σαφές ότι το άθροισµα αυτό αναπτύσσεται σύµφωνα µε τη γνωστή αλγεβρική ταυτότητα z z z = z zz = zz = < = ( ( ( Ένα άθροισµα µε = όρους Έπεται ότι: h ''( 0 = ( ( x ( ( x ( x (5α = < Πρέπει τώρα να έχει γίνει σαφές πως θα προχωρήσουµε Έτσι µε χρήση του κανόνα αλυσίδας και παραγωγίζοντας την (5 υπολογίζουµε: h '''( t = ( ( t ( x ( x ( xk k x x x σ (6 k= k Το άθροισµα έχει τυπικά όρους επειδή όµως έχουµε υποθέσει την συνέχεια των µερικών παραγώγων της f τρίτης τάξης αναπτύσσεται σύµφωνα µε την ταυτότητα! z z z z z z z z k k k= k k k!! = k k k k 0 6(α k ( = = Έπεται από την ( για = και από τις 4(α και 5(α ότι: h'' ( 0 h = h( 0 h '( 0 ( 0 ή f ( x = f ( ( ( x! ( ( x ( ( x ( x ( 0 (7 = < Η ολοκληρωτική µορφή του υπολοίπου είναι: ( 0 = h ( d = 0 = ( (( x( x ( x ( xk k d 7(α k= 0 k Η µορφή Lgrge του υπολοίπου είναι: ( 0 = h ( ξ = ( ξ ( x ( x ( xk k 7(β όπου ξ!! x k= k σηµείο του ευθύγραµµου τµήµατος [ ] t [ 0] Θέτουµε τώρα ( x ( 0 = x δηλαδή ξ = ( t tx για κάποιο = Από την ολοκληρωτική µορφή του υπολοίπου και επειδή η ολοκληρούµενη συνάρτηση είναι συνεχής ως προς θα είναι φραγµένη στο [ 0 ] από κάποια σταθερά Μ > 0 Εποµένως ( x Μ x x xk k = Μ x x k= Μ x Εδώ χρησιµοποιήσαµε την ανισότητα: = x x x
6 καθώς και την ταυτότητα 6(α ( Η ανισότητα προκύπτει από την ανισότητα Cuch- κ = x x και ( του Schwrtz για τα διανύσµατα Έπεται ότι Συµπέρασµα: ( x Μ x 0 x ( x 0 x Τις ίδιες εκτιµήσεις βρίσκουµε και µε την χρήση της µορφής Lgrge του υπολοίπου Tor ( ες επίσης την παρατήρηση ( µετά το θεώρηµα Tor δηλ το θεώρηµα Εφαρµογή Έστω U = β x = x σηµεία του U ώστε x U ξ = ( ξ x και f : U = ανοικτό συνάρτηση της κλάσης και C Αποδείξτε ότι υπάρχει = ώστε: f ( x f ( β ( β ( x ( β ( β ( β ( x ( β ( x ( β ( β ( β [ ( ξ ( x ( ξ ( x ( β ( ξ ( x( β! ( ξ ( β ] Ο παραπάνω τύπος έπεται αµέσως από τους τύπους 7 και 7(β για = Σηµειώνουµε ότι επειδή = η h ξ υπολογίζεται σύµφωνα µε το ανάπτυγµα της z z z z z z z z ταυτότητας: = Επίσης σηµειώνουµε ότι για το υπόλοιπο Tor έχουµε (( x ( β ( = 0 όπου (( x ( β = ( 0 ( x ( β x β =! h ξ Παρατήρηση: Αν η f : U είναι C συνάρτηση και U Τότε η ολοκληρωτική µορφή του υπολοίπου Tor τάξης είναι ( x = ( (( x( x ( x d και η µορφή = 0 Lgrge είναι ( x = ( ξ( x ( x όπου [ x ] = ξ U Με την εισαγωγή κατάλληλου συµβολισµού για τα διαφορικά ανώτερης τάξης µιας συνάρτησης f : U της κλάσης C το ανάπτυγµα Tor της f τάξης λαµβάνει µια ( πιο ευκολοµνηµόνευτη µορφή που µας απαλλάσσει από το να σκεφτόµαστε µε συντεταγµένες Έτσι ορίζουµε τις ακόλουθες συναρτήσεις D f = U :
7 D f h = h h = h h D f ( ( h = ( h h ( = = D f ( ( h = ( h h h k= k k D f h = hk hk k k = k k Οι συναρτήσεις D f ( = ονοµάζονται διαφορικά ανώτερης τάξης της f στο Για παράδειγµα για = και = έχουµε: D f ( ( h h h = ( h ( h ( h z D f ( ( h h h = ( h ( h ( h z x z ( h h hh z D f ( ( h h h = ( h ( h ( h z z ( h h ( h h ( hh h h ( h h ( hh ( hh 6 ( h hh z z z z Με την βοήθεια των διαφορικών ανώτερης τάξης το πλήρες θεώρηµα Tor για πολλές µεταβλητές διατυπώνεται ( και αποδεικνύεται µε την µέθοδο που αναπτύξαµε πριν για = µε τον ακόλουθο τρόπο Θεώρηµα ( Tor Έστω συνάρτηση της κλάσης ( x C U ( 0 Αν x U ( x ανοικτό U µε [ x] και f : U U τότε υπάρχει c ώστε: f ( x = f ( D f ( ( x D f ( ( x D f ( ( x ( x!! ( x x = D f ( c( και 0 είναι το υπόλοιπο x (! όπου Tor στο τάξης της f στην µορφή Lgrge D f h = h h Παρατηρήσεις: Η συνάρτηση h = h h αναπτύσσεται σύµφωνα µε την ταυτότητα k k k k k k
8 ( z z z = z z z ( k k k k k = Έτσι τυπικά µπορούµε να γράφουµε: ( h ( h = ( hk h k ( ες και τις ασκήσεις ( k k x = k k και ( αυτής της παραγράφου Αν ( x x και N τότε: = 0 ( x x ( 000 x x Πράγµατι θέτουµε = ( και x ( x x = Από την ανισότητα Cuch Schwrz έπεται ότι αν x 0 τότε: ( x x x = x 0 x 0 x ( x x Με χρήση αυτού του ορίου αποδεικνύεται ότι Πράγµατι αν x = ( x x και ( ( x = 0 x = τότε επειδή οι µερικές παράγωγοι τάξης της f είναι συνεχείς συναρτήσεις στο ( U και άρα στο συµπαγές σύνολο [ x] U είναι οµοιόµορφα φραγµένες Εποµένως υπάρχει Μ > 0 ώστε Μ ( x = D f ( c( x x!! ( ( x Μ x x! x ( 0 Η µοναδικότητα των συντελεστών του αναπτύγµατος Tor αποδεικνύεται κατά τρόπο ανάλογο µε την περίπτωση των συναρτήσεων µιας πραγµατικής µεταβλητής ( ες και τις ασκήσεις ( και (4 αυτής της παραγράφου 4 Έστω f : U C διαφορίσιµη συνάρτηση Αν U τότε µπορούµε πάλι όπως και στην µία µεταβλητή να σχηµατίσουµε την αντίστοιχη σειρά Tor της f µε κέντρο το δηλαδή τη σειρά f ( D f ( ( x D f ( ( x! f x για εκείνα τα x U x Uγια τα Η σειρά Tor της f συγκλίνει στο οποία ισχύει ( x = 0 µε [ ] Παραδείγµατα: Να βρεθούν τα αναπτύγµατα Tor δεύτερης τάξης των f x = x και (β f ( x = x στο = ( 00 συναρτήσεων: (α
9 Λύση Η συνάρτηση f ( x ( x ( x ( 00 { } = είναι C διαφορίσιµη στο Αν τότε ( δες και εφαρµογή στην σελίδα 8 έχουµε f ( x = f ( 00 ( 00 x ( 00 ( x 00 ] 00 = = ( x ( x Άρα 00 = 0 00 = 0 όπου = = [ 00 00 00 = ( 00 = Επίσης f ( 00 = 0 Εποµένως f x x 4 x x 00 Επειδή = = = = 0 ( x x (( x ( 00 x = = 00 = 0 ( x ( 00 00 = = = x x ( x ( 00 Τελικά βρίσκουµε x 00 = 0 f x = x x που ήταν αναµενόµενο καθώς η f είναι πολυωνυµική Για το παράδειγµα (β εργαζόµαστε αναλόγως Υπολογίστε το ανάπτυγµα Tor δεύτερης τάξης για την f ( x ( x κέντρο το ( β = ( 0 D = Λύση Η f είναι C διαφορίσιµη στο ανοικτό = Παρατηρούµε ότι ( x = ( x = µε = ( x og( x og og = ( x ( x = ( x( x ( x og( x ( x og( x = ( x = ( x og( x ( Επίσης ( ( x ( x = όπως βέβαια ήταν αναµενόµενο = ( x ( x og( x = x Έπεται ότι f ( 0 = ( 0 = 0 = 0 og = 0 ( 0 = og( 0 ( 0 = 0 0 = 0 = 0 0 = ( ( 0 = 0 = 0 og 0 0 =
0 ( 0( x 0 ( 0( x 0( ( 0 (! (( x ( 0 = x 0 ( [x x( 0 ( ] (( x ( 0 = x ( x x( (( x ( 0 = (( x ( 0 x x x( (( x ( 0 όπου ( ( 0 0 x x Συνεπώς f ( x = f ( 0 ( 0 ( 0 ( 0( Να αναπτυχθεί σε σειρά Tor µε κέντρο το ( 00 η συνάρτηση ( x f x = e ( x Λύση Η f είναι βέβαια C διαφορίσιµη συνάρτηση x Πράγµατι = e = στο και 0 k 0 : k = Έπεται ότι αν ( h ( h h = = τότε x x Εποµένως = e = f ( x k D f ( ( h = ( h ( h = e h e h = e h h D f h h h h h e h h = = ( D f ( ( h = = e ( h h Εποµένως αν x = ( x ( 00 και ( 00 { } για κάθε = τότε f x = f 00 D f 00 x D f 00 x D f 00 x x 00!! ( x 00 = D f ( c( x για κάποιο! όπου (( 00 ( ( c x c = c c Άρα x x x e x!!! x f ( x = e = ( Επειδή η f ( t( x t [ 0] είναι φραγµένη στο [ ] c c Μ > 0 : 0 e Μ για κάθε c = ( c c ( 00 ( x c c Έπεται ότι e ( x c c ( x ( Μ 0!! 0 ως συνεχής υπάρχει