HY118-Διακριτά Μαθηματικά Τρίτη, 17/04/2018 Συνδυαστική Το υλικό των Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 1 2 Πείραμα Σύνθετο Πείραμα Πείραμα:Οποιαδήποτε διαδικασίαπου μπορεί να οδηγήσει σε ένα αριθμό παρατηρήσιμων αποτελεσμάτων. Παραδείγματα πειραμάτων και αντίστοιχα ενδεχόμενα αποτελέσματα: Πείραμα: Ρίψη ενός νομίσματος Πιθανά αποτελέσματα: {Κ, Γ} Πείραμα: Ρίψη ενός ζαριού Πιθανά αποτελέσματα:{1,2,3,4,5,6} Ένα σύνθετοπείραμα μπορεί να θεωρηθεί ως η σύνθεση επιμέρους απλούστερων πειραμάτων Πχ., «η ρίψη ενός ζαριού και ενός κέρματος» είναι ένα σύνθετο πείραμα που μπορεί να θεωρηθεί ότι προκύπτει από την σύνθεση των πειραμάτων «ρίψη ενός ζαριού» και «ρίψη ενός κέρματος». 3 4 1
Παραδείγματα Σε ένα διαγωνισμό στον οποίο συμμετέχουν 100 διαγωνιζόμενοι, πόσα διαφορετικά top-10 αποτελέσματα μπορούν να προκύψουν; Έχουμε μια συλλογή από 100 διαγωνιζόμενους. Το πείραμα είναι η επιλογή 10 από αυτούς. Τα αποτελέσματά του είναι όλες οι ενδεχόμενες «διαφορετικές» δεκάδες. Εάν ένα password έχει6-8 γράμματα ή/καιψηφία, πόσα «διαφορετικά» passwords μπορούμε να κατασκευάσουμε; Έχουμε μια συλλογή από 24 γράμματα και 10 ψηφία. Το πείραμα είναι η επιλογή 6-8 από αυτά για το σχηματισμό ενός password. Τα αποτελέσματά του είναι όλα τα ενδεχόμενα «διαφορετικά» passwords. Η έννοια της «διαφορετικότητας» είναι κι αυτή, αντικείμενο ορισμού. Συνδυαστική Η μελέτη στρατηγικών προκειμένου να μπορούμε να εκτιμήσουμε το πλήθος των ενδεχόμενων αποτελεσμάτων ενός πειράματος (απλού ή σύνθετου). 5 6 Που το πάμε Θα προσπαθούμε να «διασπάμε» ένα σύνθετο πείραμα σε απλούστερα. Στόχος είναι,για τα απλούστερα πειράματα, να μπορούμε πολύ εύκολα να προσδιορίσουμε το πλήθος των ενδεχόμενων αποτελεσμάτων τους Θα δούμε το πλήθος των δυνατών αποτελεσμάτων για μια σειρά από «πρότυπα» πειράματα Θα διατυπώσουμε κανόνες για το πώς εξαρτάται το πλήθος των αποτελεσμάτων των σύνθετων πειραμάτων από το πλήθος των απλούστερων. Διαίρει και βασίλευε (divide and conquer) Βασική ιδέα Τα ενδεχόμενα αποτελέσματα ενός οποιουδήποτε πειράματος σχηματίζουν σύνολα επομένως, θα μπορούσαμε να ανατρέξουμε στη θεωρία συνόλων για να βρούμε τα κατάλληλα εργαλεία 7 8 2
Τι (μπορούμε να) ξέρουμε ήδη 1 Εάν A είναι το σύνολο των ενδεχόμενων αποτελεσμάτων του πειράματος 1, B είναι το σύνολο των ενδεχόμενων αποτελεσμάτων του πειράματος 2, τότε το σύνθετο πείραμα «εκτέλεσε το πείραμα 1 ή το πείραμα 2» έχει ως ενδεχόμενα αποτελέσματα την ένωση των ενδεχόμενων αποτελεσμάτων των πειραμάτων 1 και 2. Επίσης, γνωρίζουμε ότι σε αυτή την περίπτωση A B = A + B - Α B Έστω ότι θέλουμε να βρούμε πόσοι από εσάς έχετε βάρος περισσότερο από 70 κιλά ή ύψος περισσότερο από 1.80. Πείραμα 1: διάλεξε κάποιον με βάρος > 70 κιλά, Ενδεχόμενα αποτελέσματα:το σύνολο Α που περιλαμβάνει όσους έχουν βάρος > 70 κιλά Πείραμα 2:διάλεξε κάποιον με ύψος > 1.80 Ενδεχόμενα αποτελέσματα:το σύνολο Β που αποτελείται από όσους έχουν ύψος > 1.80, τότε το σύνθετο πείραμα έχει ως ενδεχόμενα αποτελέσματα τα στοιχεία του συνόλου A B, ο πληθικός αριθμός του οποίου είναι A B = A + B - Α B 9 10 2 Έστω ότι ρίχνουμε ένα ζάρι. Θέλουμε να βρούμε πόσα είναι τα δυνατά αποτελέσματα έτσι ώστε το αποτέλεσμα της ρίψης να είναι περιττός ή πρώτος. Πείραμα 1:Το ζάρι έφερε περιττό αριθμό Ενδεχόμενα αποτελέσματα: {1, 3, 5} Πείραμα 2: Το ζάρι έφερε πρώτο αριθμό Ενδεχόμενα αποτελέσματα: {2, 3, 5} τότε το σύνθετο πείραμα έχει πλήθος ενδεχόμενων αποτελεσμάτων {2, 3, 5} {1, 3, 5} = {2, 3, 5} + {1, 3, 5} - {3, 5} = 3+3-2=4. Γνωρίζουμε επίσης ότι αν τα Α και Β είναι ξένα, τότε η τομή τους είναι το κενό σύνολο και επομένως A B = A + B 11 12 3
3 Τι (μπορούμε να) ξέρουμε ήδη Έστω ότι ρίχνουμε ένα ζάρι. Θέλουμε να βρούμε πόσα είναι τα δυνατά αποτελέσματα έτσι ώστε το αποτέλεσμα της ρίψης να είναι μεγαλύτερο του 4 ή μικρότερο του 3. Πείραμα 1: Το ζάρι έφερε αριθμό > 4 Ενδεχόμενα αποτελέσματα: {5, 6} Πείραμα 2:Το ζάρι έφερε αριθμό < 3 Ενδεχόμενα αποτελέσματα: {1, 2} τότε το σύνθετο πείραμα έχει πλήθος πιθανών αποτελεσμάτων {5,6} {1, 2} = {5,6} + {1, 2} -0 = 2+2=4. Εάν Aείναι το σύνολο των ενδεχόμενων αποτελεσμάτων του πειράματος 1, Bτο σύνολο των ενδεχόμενων αποτελεσμάτων του πειράματος 2, τότε το σύνθετο πείραμα «εκτέλεσε το πείραμα 1 ΚΑΙμετά το πείραμα 2» έχει ως ενδεχόμενα αποτελέσματα το καρτεσιανό γινόμενο των αποτελεσμάτων των πειραμάτων 1 και 2. Επίσης, γνωρίζουμε ότι σε αυτή την περίπτωση AxB = A B 13 14 3 Κανόνες αθροίσματος και γινομένου Έστω ότι ρίχνουμε ένα ζάρι και μετά ένα νόμισμα. Θέλουμε να βρούμε πόσα είναι όλα τα δυνατά αποτελέσματα που μπορούμε να έχουμε. Πείραμα 1: Ρίψη ζαριού Ενδεχόμενα αποτελέσματα: {1, 2, 3, 4, 5, 6} Πείραμα 2:Ρίψη νομίσματος, Ενδεχόμενα αποτελέσματα: {Κ, Γ} τότε το σύνθετο πείραμα έχει πλήθος πιθανών αποτελεσμάτων {1, 2,3, 4, 5,6}x{K, Γ} =6 2 = 12. Έστω πείραμα 1 με σύνολο αποτελεσμάτων Α και πείραμα 2 με σύνολο αποτελεσμάτων Β Κανόνας του αθροίσματος: Το σύνθετο πείραμα πείραμα 1 Ή πείραμα 2 έχει A B = A + B - Α B ενδεχόμενα αποτελέσματα Κανόνας του γινομένου: Το σύνθετο πείραμα πείραμα 1 ΚΑΙπείραμα 2 έχει AxB = A B ενδεχόμενα αποτελέσματα. 15 16 4
Έστω ότι το όνομα μίαςμεταβλητής μπορεί ναείναι ένα γράμμα ή ένα γράμμα ακολουθούμενο από ένα αριθμητικό ψηφίο. Πόσα διαφορετικά ονόματα μεταβλητών υπάρχουν; Έστω το σύνθετο «πείραμα»δημιουργίας του ονόματος μίας μεταβλητής. Μπορούμε να το θεωρήσουμε ως τη σύνθεση δύο πειραμάτων: Πείραμα Α: Σχηματισμός ονόματος μεταβλητής με ένα γράμμα. Πείραμα Β: Σχηματισμός ονόματος μεταβλητής με ένα γράμμα ακολουθούμενο από ένα αριθμητικό ψηφίο. Σύμφωναμετοκανόνα του αθροίσματος, αν θεωρήσουμε ότι το πείραμα Α έχει Α πιθανά αποτελέσματα και το πείραμα Β έχει Β πιθανά αποτελέσματα, τότε υπάρχουν A B = A + B - Α B πιθανάαποτελέσματαόταν γίνεται το πείραμα Α ή το πείραμα Β (= το σύνθετο πείραμα). Το πείραμααέχει 24 πιθανάαποτελέσματα (το όνομα της μεταβλητής μπορεί να είναι οποιοδήποτε από τα 24 γράμματα). 17 18 Διατύπωση του προβλήματος Σεκάθεεκτέλεση του πειράματοςβθαεκτελεστούν ΚΑΙ τα δύο παρακάτω πειράματα: ΠείραμαΒ 1 :Τοπρώτοσύμβολο του ονόματος της μεταβλητής θα είναι ένα γράμμα. ΠείραμαΒ 2 :Τοδεύτεροσύμβολο του ονόματος της μεταβλητής θα είναι ένα αριθμητικό ψηφίο. Σύμφωνα με το κανόνα του γινομένου: Αν θεωρήσουμε ότι το πείραμα B 1 έχει n 1 πιθανά αποτελέσματα και το πείραμα Β 2 έχει n 2 πιθανά αποτελέσματα, τότε υπάρχουν n 1 n 2 πιθανά αποτελέσματα όταν γίνονται και τα δύο αυτά πειράματα. Διατύπωση του προβλήματος ΤοπείραμαB 1 έχει24 πιθανά αποτελέσματα (τοπρώτο σύμβολο του ονόματος της μεταβλητής μπορεί να είναι οποιοδήποτε από τα 24 γράμματα). ΤοπείραμαB 2 έχει10 πιθανά αποτελέσματα (τοδεύτερο σύμβολο του ονόματος της μεταβλητής μπορεί να είναι οποιοδήποτε από τα 10 ψηφία). Συνεπώς το πείραμα Β έχει 24 10=240 πιθανά αποτελέσματα. Άρα υπάρχουν 24+240=264 διαφορετικά ονόματα μεταβλητών που ικανοποιούν τις παραπάνω συνθήκες. Προσέξτε ότι Α B =0 19 20 5
Κι άλλο παράδειγμα Μερικοί υποθετικοί κανόνες σχετικά με την δημιουργία passwords: Έστω passwords με μήκος 2 χαρακτήρες. Κάθε χαρακτήρας μπορεί να είναι ένα από τα γράμματα a-z, ένα ψηφίο0-9, ή ένα από τα ακόλουθα 11σύμβολα στίξης ~!@#$%^&*( ) Κάθε password πρέπει να περιλαμβάνει τουλάχιστον ένα ψηφίο ή σύμβολο. Πόσα διαφορετικά passwords μπορούμε να δημιουργήσουμε με βάση τους παραπάνω κανόνες; Διατύπωση (Ι) του προβλήματος Ένα νόμιμοpassword έχει ένα ψηφίο ή ένα σημείο στίξης στη θέση1 ήστη θέση2. Α = passwords με ψηφίο ή σύμβολο στη θέση #1και οτιδήποτε στη θέση #2 A = (10+11) (10+11+26) = 21 47= 987 B = passwords με ψηφίο ή σύμβολο στη θέση #2και οτιδήποτε στη θέση #1 B = (10+11+26) (10+11) = 47 21 = 987 Α B = passwords με ψηφίο ή σύμβολο και στις δύο θέσεις Α B = (10+11) (10+11) = 441 Μας ενδιαφέρει να βρούμε το A B = A + B - Α B = 987+987 441= 1,533 21 22 Διατύπωση (ΙΙ) του προβλήματος Και τώρα, μερικά ενδιαφέροντα πειράματα (# passwords με ψηφίο ή σύμβολο στη θέση#1 και γράμμα στη θέση 2) = (10+11) 26 = 21x26 = 546 ( ουσιαστικά, το Α-Β ) (# passwords με γράμμα στη θέση 1 και ψηφίο ή σύμβολο στη θέση#2) = 26 (10+11)= 26x21= 546 ( ουσιαστικά, το Β-Α ) (# passwords με ψηφίο ή σύμβολο και στις δύο θέσεις)= (10+11) (10+11)= 441 ( ουσιαστικά, το Α B ) Επομένως, A B = A-Β + B-Α + Α B = 546+546+441 = 1,533 23 Θα διερευνήσουμε το πλήθος ενδεχομένων αποτελεσμάτων κάποιων «συγκεκριμένων» σύνθετων πειραμάτων. Για τη διερεύνηση αυτή, θα θεωρήσουμε: Ένα σύνολο από n αντικείμενα τοποθετημένα σε ένα «σακούλι» Την επιλογή k από τα n αντικείμενα Θα μετρήσουμε τα δυνατά αποτελέσματα, σε σχέση με: Το πλήθος n των διαθέσιμων αντικειμένων Το πλήθος k των αντικειμένων που επιλέγουμε Κατά πόσον τα n αντικείμενα είναι διαφορετικά μεταξύ τους ή όχι. Το κατά πόσον κάθε φορά που επιλέγουμε ένα από τα αντικείμενα στο σακούλι, αυτό το ξαναρίχνουμε μέσα στο σακούλι ή το αφήνουμε στην άκρη (επανάθεση ή όχι) Κατά πόσον η σειρά με την οποία επιλέγουμε τα αντικείμενα μας ενδιαφέρει ή όχι. 24 6
Μεταθέσεις Μεταθέσεις 1 η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: n διαθέσιμα αντικείμενα Τα n αντικείμενα είναι διαφορετικά μεταξύ τους. Επιλέγουμε k=n (δηλαδή όλα) τα αντικείμενα Κάθε φορά που επιλέγουμε ένα αντικείμενο, ΔΕΝ το ξαναρίχνουμε μέσα στο σακούλι (χωρίς επανάθεση) Μας ενδιαφέρει η σειρά με την οποία επιλέγουμε τα αντικείμενα. Μεπόσους τρόπους μπορούμε εκτελέσουμε αυτό το πείραμα; n πειράματα i-πείραμα :«επέλεξε τo i αντικείμενο» Με βάση τον κανόνα του γινομένου έχουμε: Για την 1η επιλογή αντικειμένου έχουμεn ενδεχόμενα, Για τη 2η επιλογή αντικειμένου έχουμεn-1 ενδεχόμενα,, και για την n-οστή επιλογή αντικειμένου έχουμε 1 ενδεχόμενο. Με βάση τον κανόνα του γινομένου έχουμε: n!= 1 2 3 (n-1) n διαφορετικά ενδεχόμενα. 25 26 Τo n! μεγαλώνει πολύ γρήγορα με το n Μεταθέσεις n n! 0 1 1 1 2 2 3 6 4 24 5 120 6 720 7 5,040 9 362,880 10 3,628,800 20 2,432,902,008,176,640,000 27 Ορισμός: Μία μετάθεση(permutation) ενός συνόλου S που περιέχει n στοιχεία είναι μία οποιαδήποτε διατεταγμένη n-άδα των στοιχείων του S. Προσέξτε ότι μιλάμε για ένα σύνολο S, κι επομένως τα στοιχεία του είναι εξ ορισμού διαφορετικά! Επομένως, το πλήθος των μεταθέσεων ενός συνόλου S που έχει n στοιχεία είναι ίσο με το πλήθος των διαφορετικών διατεταγμένων n- άδων που μπορούμε να δημιουργήσουμε. Αυτό είναι ισοδύναμο με το πρόβλημα της ΠΕΡΙΠΤΩΣΗΣ 1 Επομένως, το πλήθος μεταθέσεων ενός συνόλου n στοιχείων είναι n!= 1 2 3 n 28 7
Έστω ότι κάποιος έχει να διεκπεραιώσει τις εξής εργασίες:{ε1, Ε2, Ε3, Ε4, Ε5}. Αν δεν υπάρχει καμία χρονική εξάρτηση μεταξύ τους, με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορεί να το κάνει αυτό; Μας ενδιαφέρει το πλήθος των διαφορετικών μεταθέσεων των n=5 εργασιών. Αυτό είναι n!=5!= 1 2 3 4 5 =120. Διατάξεις 2 η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: n διαθέσιμα αντικείμενα Τα n αντικείμενα είναι διαφορετικά μεταξύ τους. Επιλέγουμε k<=n τα αντικείμενα Κάθε φορά που επιλέγουμε ένα αντικείμενο, ΔΕΝ το ξαναρίχνουμε μέσα στο σακούλι (χωρίς επανάθεση) Μας ενδιαφέρει η σειρά με την οποία επιλέγουμε τα αντικείμενα. Μεπόσους τρόπους μπορούμε εκτελέσουμε αυτό το πείραμα; (ότι είναι με κόκκινο είναι η διαφοροποίηση από την ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1) 29 30 Διατάξεις kπειράματα i-πείραμα :«επέλεξε τo i αντικείμενο» Με βάση τον κανόνα του γινομένου έχουμε: Για την 1η επιλογή αντικειμένου έχουμεn ενδεχόμενα, Για τη 2η επιλογή αντικειμένου έχουμεn-1 ενδεχόμενα,, και για την k-οστή επιλογή αντικειμένου έχουμε (n-k+1) ενδεχόμενα. Συνεπώς υπάρχουν P(n, k)=n (n-1) (n-2) (n-k+1) διαφορετικά αποτελέσματα. Σημειώνουμε ότι: Διατάξεις P( n, k) n ( n 1) ( n 2)...( n k 1) ( n k) ( n k 1)... 2 1 n! n ( n 1) ( n 2)... ( n k 1) ( n k ) ( n k 1)... 2 1 ( n k )! Άρα το πλήθος των δυνατών αποτελεσμάτων για το σύνθετο πείραμα της ΠΕΡΙΠΤΩΣΗΣ 2 είναι: n! P( n, k) ( n k)! 31 32 8
Διατάξεις Έναισοδύναμο πρόβλημα με αυτό της ΠΕΡΙΠΤΩΣΗΣ 2, είναι αυτότηςδιάταξηςδιακριτώναντικειμένων. Όταν λέμε ότι διατάσσουμεk από n διακριτά αντικείμενα εννοούμε ότι επιλέγουμε k από τα n αντικείμενα με κάποια σειρά. Συνεπώς, υπάρχουν P(n, k) διαφορετικές διατάξεις των k απόnαντικειμένων. Μεταθέσεις και Διατάξεις Μία μετάθεση nαντικειμένων δεν είναι τίποτε άλλο από μία διάταξη n από nαντικείμενων. Πλήθος διατάξεωνn απόn αντικειμένων= P(n, n)= n!/(n-n)! = n!/0! = n!/1= n! = πλήθος μεταθέσεων n αντικειμένων 33 34 Πόσα διαφορετικά top-10 μπορούν να υπάρξουν σε ένα διαγωνισμό τραγουδιού στον οποίο συμμετέχουν 100 τραγούδια αν μας ενδιαφέρει και η σειρά με την οποία θα καταταχθούν στη 10άδα; Ενδιαφερόμαστε για τις διαφορετικές διατάξεις k=10 από n=100 αντικείμενα. Άρα: 100! 100! 90! 91 92... 100 P(100,10) (100 10)! 90! 90! 91 92... 100 6.28 10 19 Μεπόσους τρόπους μπορούν να καθίσουν 4 φοιτητές σε 7 αριθμημένες θέσεις; Αραγε πρέπει να επιλέξω θέσεις για τους φοιτητές, ή φοιτητές για τις θέσεις; Ποιο είναι τελικά το πείραμα ή τα πειράματα; 35 36 9
Μεπόσους τρόπους μπορούν να καθίσουν 4 φοιτητές σε 7 αριθμημένες θέσεις; Πείραμα, εκχώρηση θέσης σε κάποιο φοιτητή Έχω στο «σακούλι» τις 7 θέσεις Πρέπει να βρώ πόσες διαφορετικές 4-άδες μπορώ να επιλέξω Επιλέγω την 1 η θέση από τις 7 θέσεις. Επιλέγω την 2 η θέση από τις υπόλοιπες 6 θέσεις. Επιλέγω την 3 η θέση από τις υπόλοιπες 5 θέσεις. Επιλέγω την 4 η θέση από τις υπόλοιπες 4 θέσεις. Συνεπώς το πλήθος των τρόπων με το οποίο μπορούν να καθίσουν 4 φοιτητές σε 7θέσεις είναι 4 5 6 7= 840 = P(7, 4)= 7!/3! : Πόσες συμβολοσειρές μήκους 4 μπορούμε να σχηματίσουμε από το Ελληνικό αλφάβητο αν απαιτήσουμε οι χαρακτήρες της συμβολοσειράς να είναι διαφορετικοί μεταξύ τους; Δυνατές διαφορετικές τετράδες (θέσεις στη συμβολοσειρά) από ένα σύνολο 24 αντικειμένων (γράμματα). Άρα ο συνολικός αριθμός των διαφορετικών συμβολοσειρών με τέσσερα διαφορετικά γράμματα είναι P(24,4)=24 23 22 21=255,024. 37 38 10