Αποκλειστικά από το lisari.blogspot.gr ΠΡΟΤΥΠΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 05 06 ΑΝΑΒΡΥΤΑ 4-5-06 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ - ΙΟΥΝΙΟΥ ΤΑΞΗ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΜΑ ΠΡΩΤΟ Α Αν Α(x, y) ένα σημείο του κύκλου x + y = ρ, όπου ρ η ακτίνα του να αποδείξετε ότι η εξίσωση της εφαπτομένης του στο σημείο Α είναι: xx + yy = ρ. Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. Για οποιαδήποτε διανύσματα, ισχύει η ισοδυναμία: ΜΟΝΑΔΕΣ = 0 ( = 0 ή = 0 ) β. Η εξίσωση y yo = λ(x xο), λr, για τις διάφορες τιμές του λ, παριστάνει όλες τις ευθείες που διέρχονται από το σημείο Α(xo, yο) γ. Ο κύκλος με εξίσωση (x xο) +(y yο) = ρ, διέρχεται από το σημείο Α (xο, yο). δ. H απόσταση της εστίας από την διευθετούσα μιας παραβολής y = px είναι p, όπου p ένας οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός. ε. Η εξίσωση της εφαπτομένης της παραβολής x = py στο σημείο Μ (x, y) είναι yy = p (x + x) ΜΟΝΑΔΕΣ ΜΟΝΑΔΕΣ ΜΟΝΑΔΕΣ ΜΟΝΑΔΕΣ ΘΕΜΑ ΔΕΥΤΕΡΟ Θεωρούμε τα διανύσματα (,) και ( 6,0) Β. Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος. ΜΟΝΑΔΕΣ 4 Β. Να αποδείξετε ότι 6 ΜΟΝΑΔΕΣ 4
Β3. Να βρείτε την προβολή του διανύσματος β πάνω στο διάνυσμα ΜΟΝΑΔΕΣ 7 Αν επιπλέον για ένα διάνυσμα γ ισχύει: και πραγματικός αριθμός τότε: k όπου k Β4. Να υπολογίστε τον πραγματικό αριθμό k. ΜΟΝΑΔΕΣ 4 Β5. Αν k = 3 να υπολογίσετε το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων και. ΘΕΜΑ ΤΡΙΤΟ Ο κυκλικός περιφερειακός δακτύλιος μιας πόλης έχει εξίσωση x y. Τρεις ευθύγραμμοι δρόμοι (ε), (ε), (ε3), οδηγούν στη πόλη, την διασχίζουν και έχουν εξισώσεις: (ελ): ( + λ)x + (λ )y + 3λ = 0 () με λ =,, 3, αντίστοιχα. Γ. Να αποδείξετε ότι οι τρεις αυτοί δρόμοι εισέρχονται στη πόλη από το ίδιο σημείο του περιφερειακού δακτυλίου. Γ. Να βρείτε το σημείο του περιφερειακού από το οποίο εξέρχεται ο ευθύγραμμος δρόμος (ε) που προκύπτει για λ =. ΜΟΝΑΔΕΣ 4 Γ3. Με τη σκέψη ότι οι οδηγοί προτιμούν δρόμους με την μικρότερη διαδρομή εντός του δακτυλίου, να βρείτε ποιος από τους δρόμους της οικογένειας (ελ), που διασχίζουν τη πόλη, πρέπει να αποφεύγεται από τους οδηγούς; Να βρείτε για ποια τιμή του λ είναι αυτός ο δρόμος. Γ4. Υπάρχει δρόμος της οικογένειας (ελ) που να μη διέρχεται καθόλου μέσα από τον δακτύλιο; Αν ναι, για ποια τιμή του λ συμβαίνει αυτό; Γ5. Να βρείτε την μορφή και την εξίσωση του δρόμου, στον οποίο τα αυτοκίνητα που κινούνται απέχουν πάντα εξίσου από τον δρόμο (ε ) και από το Δημαρχείο της πόλης, που βρίσκεται στο σημείο Δ(-, 0). ΘΕΜΑ ΤΕΤΑΡΤΟ Δίνεται η εξίσωση x λx y 4λy 3λ = 0 () Δ. Να δείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση παριστάνει δύο ευθείες κάθετες μεταξύ τους για κάθε λ Δ. Aν οι ευθείες έχουν εξισώσεις x y 3λ και x y λ να βρείτε τον ΜΟΝΑΔΕΣ 4
3 γεωμετρικό τόπο του σημείου τομής τους για τις διάφορες τιμές του λ Δ3. Να βρεθεί η τιμή της μεταβλητής λ με για την οποία μία ευθεία της παραπάνω οικογένειας ευθειών διέρχεται από το σημείο (-3,0). Κατόπιν να δείξετε ότι για την παραπάνω τιμή του λ οι ευθείες της οικογένειας ευθειών είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία x = -. Δ4. Έστω ε και ε δύο ευθείες της παραπάνω οικογένειας ευθειών που προκύπτουν με λ = -, με ε την ευθεία με θετικό συντελεστή διεύθυνσης και ε την ευθεία με αρνητικό συντελεστή διεύθυνσης. Να βρεθούν οι παράλληλες ευθείες στις ευθείες ε και ε που βρίσκονται σε απόσταση 3 από αυτές. ΜΟΝΑΔΕΣ 4 Δ5. Έστω δ η παράλληλη ευθεία στην ε που δεν διέρχεται από το 0 τεταρτημόριο και δ η παράλληλη στην ε πού διέρχεται από το 0 τεταρτημόριο. Να δείξετε ότι οι ευθείες ε,ε,δ,και δ σχηματίζουν τετράπλευρο. Τι είδους τετράπλευρο σχηματίζουν; ΝΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΤΕ ΣΕ ΟΛΑ ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο ΔΙΕΥΘΥΝΤΗΣ ΟΙ ΕΙΣΗΓΗΤΕΣ ΓΚΥΡΤΗΣ ΘΑΝΑΣΗΣ ΚΑΝΤΑΣ ΚΩΣΤΑΣ ΚΙΟΥΛΑΦΑΣ ΜΑΝΟΥΗΛ ΚΑΡΔΑΜΙΤΣΗΣ ΣΠΥΡΟΣ ΣΩΤΗΡΟΠΟΥΛΟΣ ΝΙΚΟΣ
4 ENΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ΠΡΩΤΟ Α Έστω ε η εφαπτομένη του κύκλου C : x y σε ένα σημείο του A( x, y ). Γνωρίζουμε ότι ένα σημείο M( x, y) ανήκει στην ε, αν και μόνο αν ΟΑ ΑΜ αν και μόνο αν ισχύει OA AM 0 () Όμως OA x, y ) και ( AM ( xx, y y). Έτσι η () γράφεται διαδοχικά x ( x x ) y ( y y ) xx yy x y xx yy, αφού x y. 0 Επομένως, η εφαπτομένη του κύκλου x y ρ στο σημείο του ( x, y ) A έχει εξίσωση xx + yy = ρ Α Λ Λ Λ Λ Λ ΘΕΜΑ ΔΕΥΤΕΡΟ Β. Το μέτρο του διανύσματος είναι Β. Έχουμε: ( 6) 0 6 Β3. Επειδή // και 0 υπάρχει πραγματικός αριθμός λ τέτοιος ώστε Ισχύει 6 6 6 6 Άρα λ = 3, τότε 3(,) ( 3, 3) Β4. Αφού είναι τότε ισχύει: 0 (k ) 0 k 0 k ( 6) 0 k 3 Β5. Για k = 3 έχουμε ότι 3 επομένως ( 6) 0 6 και 3 (3 ) 9 6 9 6 9 6( 6) 6 36 Β τρόπος Επομένως 6, και τέλος 3 3 Άρα 9 9 9 6 6 9 Επομένως 8 Για k = 3 έχουμε ότι 3 και ( 6) 0 6 άρα έχουμε
β γ β (3α β) 3αβ β 3 ( 6) 6 8 ΘΕΜΑ ΤΡΙΤΟ 5 Γ Για λ = 0 έχουμε τον δρόμο με εξίσωση (ε0): x y + = 0 και για λ = έχουμε τον δρόμο με εξίσωση (ε): x =. Tο σύστημα των εξισώσεων των δύο δρόμων έχει λύση το σημείο με συντεταγμένες Α (, ) που επαληθεύει την (ελ) γιατί (+λ)+ (λ )+ 3λ = + λ + λ + 3λ = 0 Άρα όλοι οι δρόμοι διέρχονται από το σημείο Α(, ), συνεπώς και οι δρόμοι (ε), (ε), (ε3). Επίσης το σημείο Α(, ) ανήκει στον κύκλο (περιφερειακό δακτύλιο) γιατί τον επαληθεύουν αφού + =. Γ Για λ = έχουμε τον δρόμο με εξίσωση (ε): x = που τέμνει τον δακτύλιο με εξίσωση στα σημεία Α(, ) που εισέρχεται και Β(, ) που εξέρχεται. x + y = y = y = x = x = x = x + y = Γ3 Πρέπει να αποφεύγεται ο δρόμος που έχει το μεγαλύτερο μήκος μέσα στο δακτύλιο και είναι αυτός περνάει από το κέντρο του κύκλου, δηλαδή είναι η διάμετρός του κύκλου. Η διάμετρος διέρχεται από το κέντρο που είναι το σημείο Ο(0, 0) συνεπώς επαληθεύει την οικογένεια των ευθειών και έχουμε: (+λ)0+ (λ )0+ 3λ = 0 3λ = 0 λ 3 Γ4 Ο δρόμος της οικογένειας των ευθειών που διέρχεται από το σημείο Α(, ) και δεν εισέρχεται στον κυκλικό δακτύλιο είναι η εφαπτομένη του κύκλου στο σημείο αυτό. Η εφαπτομένη θα έχει συντελεστή διεύθυνσης αφού θα είναι κάθετη στην διάμετρο του κύκλου που περνάει από το σημείο Α. Επομένως θα είναι: + λ = λ = 3 λ - Γ5 Ο δρόμος που απέχει εξίσου από τον δρόμο (ε) x = και από το Δημαρχείο της πόλης, που βρίσκεται στο σημείο Δ(, 0) είναι παραβολή. Αυτή έχει εξίσωση y = px. Επειδή η εστία της παραβολής είναι το σημείο Δ(, 0) τότε p p άρα η ζητούμενη εξίσωση του δρόμου είναι η y = 4x.
6 ΘΕΜΑ ΤΕΤΑΡΤΟ Δ Είναι x λx y 4λy 3λ = 0 x λx + λ (y + 4λy + 4λ ) = 0 (x λ) (y + λ) = 0 (x + y + λ)(x y 3λ) = 0 άρα x + y + λ = 0 ή x y 3λ = 0 Δηλαδή η δοσμένη σχέση παριστάνει τις ευθείες x y 3λ και x y λ οι οποίες είναι κάθετες μεταξύ τους για κάθε λ αφού το γινόμενο των συντελεστών διεύθυνσης είναι x y 3λ x λ Δ Λύνοντας το σύστημα των εξισώσεων, λ οπότε το σημείο τομής x y λ y λ x λ των δύο ευθειών είναι σημείο (λ, λ). Από τις σχέσεις έχουμε ότι ο ζητούμενος yλ γεωμετρικός τόπος είναι η ευθεία y = x. Δ3 Για την ευθεία που ανήκει το σημείο ( 3,0) θα ισχύει ότι άρα λ = ή λ = 3 απορρίπτεται αφού είναι λ < 0. Για λ = έχουμε τις ευθείες 9 + 6λ 0 0 3λ = 0 λ λ 3 = 0 x y = 3 x + y = Λύνοντας το σύστημα των εξισώσεων έχουμε ότι τέμνονται στο σημείο (, ) Αν το (x, y ) είναι σημείο της ευθείας x y 3 και το (x, y ) είναι το συμμετρικό ως προς την ευθεία x επειδή η ευθεία x = είναι μεσοκάθετος του ευθυγράμμου τμήματος που συνδέει τα σημεία (x, y ) (x, y ) ισχύει x + x = x = x y = y y = y τότε είναι x y x y (x y ) ( 3) (γιατί το σημείο (x, y ) επαληθεύει την ευθεία x y 3 ) δηλαδή το σημείο (x, y ) επαληθεύει την εξίσωση της x + y = άρα οι δύο ευθείες είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία x = Δ4. Έστω M(x,y) σημείο της παράλληλης προς την (ε ) : x y= 3 (με θετικό συντελεστή διεύθυνσης ) που βρίσκεται σε απόσταση 3 από αυτή, τότε η παράλληλη της (ε) έχει εξίσωση x y 3 d(m,ε ) = = 3 x y 3 = 6 ( x y 3 6, x y 3 6) Άρα οι παράλληλες στην ευθεία (ε ) : x y = 3 έχουν εξισώσεις x y 3, x y 9 Αντίστοιχα οι παράλληλες ευθείες προς την (ε ): x + y = που βρίσκονται σε απόσταση 3 από αυτή έχουν εξισώσεις x y d(m,ε ) = = 3 x y = 6 ( x y 6, x y 6) Άρα οι παράλληλες στην ευθεία (ε ): x + y = (με αρνητικό συντελεστή διεύθυνσης ) έχουν εξισώσεις x y 7, x y 5
Δ5. Η παράλληλη της ε που δεν διέρχεται από το ο τεταρτημόριο είναι η δ : x y = 3 και η παράλληλη της ε που διέρχεται από το ο τεταρτημόριο είναι η δ: x + y = 7. Εφόσον οι ευθείες (ε ) : x y = -3 (ε ): x + y = τέμνονται κάθετα τότε οι παράλληλες τους τέμνονται κάθετα ανά δύο συνεπώς σχηματίζουν τετράπλευρο που είναι ορθογώνιο. Επειδή κάθε πλευρά του είναι ίση με 3 το σχηματιζόμενο τετράπλευρο είναι τετράγωνο. 7