PAU Código: 25 XUÑO 2012 FÍSICA Puntuación máxima: Cuestións 4 puntos (1 cada cuestión, teórica ou práctica). Problemas 6 puntos (1 cada apartado). Non se valorará a simple anotación dun ítem como solución ás cuestións. As respostas deben ser razoadas. Pódese usar calculadora sempre que non sexa programable nin memorice texto. O alumno elixirá unha das dúas opcións. OPCIÓN A C.1.- No movemento dos planetas en órbitas elípticas e planas ao redor do Sol mantense constante: A) A enerxía cinética. B) O momento angular. C) O momento lineal. C.2.- Nun oscilador harmónico cúmprese que: A) A velocidade v e a elongación x son máximas simultaneamente. B) O período de oscilación T depende da amplitude A. C) A enerxía total E se cuadriplica cando se duplica a frecuencia. C.3.- Se un núcleo atómico emite unha partícula α e dúas partículas β, o seu números atómico Z e másico A: A) Z aumenta en dúas unidades e A diminúe en dúas. B) Z non varía e A diminúe en catro. C) Z diminúe en dous e A non varía. C.4.- Disponse dun péndulo simple de 1,5 m de lonxitude. Mídese no laboratorio o tempo de 3 series de 10 oscilacións obtendo 24,56 s, 24,58 s, 24,55 s. Cal é o valor de g coa súa incerteza? P.1.- Tres cargas de +3 μc están situadas equidistantes entre si sobre unha circunferencia de radio 2 m. Calcula: a) O potencial eléctrico no centro da circunferencia. b) O vector campo eléctrico no mesmo punto. c) O traballo para traer unha carga q' = 1 μc desde o infinito ao centro da circunferencia. (Dato: K = 9 10⁹ N m² C ²) P.2.- Un obxecto de 3 cm sitúase a 20 cm dunha lente cuxa distancia focal é 10 cm: a) Debuxa a marcha dos raios si a lente é converxente. b) Debuxa a marcha dos raios si a lente é diverxente. c) En ambos os dous casos calcula a posición e o tamaño da imaxe. OPCIÓN B C.1.- Dúas esferas de radio R con cargas +Q e -Q, teñen os seus centros separados unha distancia d. A unha distancia d/2 (sendo d/2 >> R); cúmprese: A) O potencial é cero e o campo electrostático 4 k Q d ². B) O potencial é cero e o campo electrostático 8 k Q d ². C) O potencial é 4 k Q d ¹ e o campo cero. C.2.- A ecuación dunha onda é y = 0,02 sen (50 t 3 x); isto significa que: A) ω = 50 rad s ¹ e λ = 3 m. B) A velocidade de propagación u = 16,67 m s ¹ e a frecuencia f = 7,96 s ¹. C) T = 50 s e o número de onda k = 3 m ¹. C.3.- Se un espello forma unha imaxe real investida e de maior tamaño que o obxecto, trátase dun espello: A) Cóncavo e o obxecto está situado entre o foco e o centro da curvatura. B) Cóncavo e o obxecto está situado entre o foco e o espello. C) Convexo co obxecto en calquera posición. C.4.- Na determinación da constante elástica dun resorte podemos utilizar dous tipos de procedementos. En ambos os dous casos, obtense unha recta a partir da cal calcúlase a constante elástica. Explica como se determina o valor da constante a partir de dita gráfica para cada un dos dous procedementos, indicando que tipo de magnitudes hai que representar nos eixes de abscisas e de ordenadas. P.1.- Unha mostra de carbono 14 ten unha actividade de 2,8 10⁸ desintegracións s ¹; o período de semidesintegración é T = 5730 anos, calcula: a) A masa da mostra no instante inicial. b) A actividade ao cabo de 2000 anos. c) A masa de mostra nese instante. (Datos: N A = 6,02 10²³ mol ¹; masa atómica do ¹⁴C = 14 g mol ¹; 1 ano = 3,16 10⁷ s) P.2.- Se a masa da Lúa é 0,012 veces a da Terra e o seu radio é 0,27 o terrestre, acha: a) O campo gravitatorio na Lúa. b) A velocidade de escape na Lúa. c) O período de oscilación, na superficie lunar, dun péndulo cuxo período na Terra é 2 s. (Datos: g₀ T = 9,8 m s ²; R L = 1,7 10⁶ m)
Solucións OPCIÓN A 1. C.1.- No movemento dos planetas en órbitas elípticas e planas ao redor do Sol mantense constante: A) A enerxía cinética. B) O momento angular. C) O momento lineal. Solución: B O campo gravitacional é un campo de forzas centrais, nas que a forza gravitacional que exerce o Sol sobre un planeta ten a mesma dirección (e sentido contrario) que o vector de posición do planeta colocando a orixe de coordenadas no Sol. Nas forzas centrais o momento cinético (ou angular) L O respecto ao punto O onde se atopa a masa M que crea o campo gravitacional dun obxecto de masa m que se move a unha velocidade v é un vector constante. Se derivamos L O respecto ao tempo, d L O d t d( r m v) = = d r d t d t L O = r m v d(m v ) m v+ r = v m v + r F = 0+ 0= 0 dt O resultado é o vector 0 (cero) xa que o vector velocidade v e o vector momento lineal m v son paralelos e tamén o son o vector de posición r e o vector forza F. As outras opcións: A. Falsa. Nunha órbita elíptica, co Sol situado nun dos focos, a distancia do planeta ao Sol non é constante. O campo gravitacional é un campo de forzas conservativo, xa que é un campo de forzas centrais, nas que a forza gravitacional que exerce o Sol sobre un planeta ten a mesma dirección (e sentido contrario) que o vector de posición do planeta colocando a orixe de coordenadas no Sol. A enerxía potencial gravitacional, tomando como orixe de enerxía o infnito, vén dada pola expresión: E p = G M m r Sendo M a masa que orixina o campo gravitacional, (neste caso a do Sol), m é a masa do obxecto situado nel (o planeta), r a distancia entre ambas as masas e G a constante da gravitación universal. A enerxía potencial é negativa e será tanto maior canto maior sexa a distancia r. Como a enerxía mecánica consérvase, pero a enerxía potencial gravitacional depende da distancia, a enerxía cinética varía coa distancia e non se mantén constante. C. Falsa. O momento lineal p dun obxecto de masa m que se move a unha velocidade v vale: p = m v Como se dixo no apartado A, a rapidez varía coa posición do planeta. Ademais, a dirección cambia a medida que o planeta se despraza arredor do Sol. 2. C.2.- Nun oscilador harmónico cúmprese que: A) A velocidade v e a elongación x son máximas simultaneamente. B) O período de oscilación T depende da amplitude A. C) A enerxía total E se cuadriplica cando se duplica a frecuencia. Solución: C A forza recuperadora é unha forza conservativa (o traballo que realiza entre dous puntos é independente do camiño seguido) e dá lugar a unha enerxía potencial en cada punto de elongación x cuxa expresión é: Eₚ = ½ k x² Sendo unha forza conservativa, a enerxía mecánica valerá o mesmo para calquera elongación: é constante.
Para o punto de equilibrio: E = (E + Eₚ) = ½ m v² + ½ k x² = ½ m v²ₘ = ½ k A² E = E + Eₚ = ½ m v²ₘ + ½ k 0² = ½ m v²ₘ E = ½ m v²ₘ Por defnición, un obxecto realiza un movemento harmónico simple cando a aceleración recuperadora é proporcional á separación da posición de equilibrio. a = -ω² x Isto é equivalente a dicir que a ecuación de movemento é de tipo senoidal ou cosenoidal. Derivando. x = A sen(ω t + φ₀) A velocidade é máxima cando cos(ω t + φ₀) = 1 vₘ = A ω A pulsación ou fase angular, ω está relacionada coa frecuencia f pola expresión Substituíndo na ecuación da enerxía total ω = 2 π f E = ½ m v²ₘ= m (A 2 π f)² / 2 = 2 π² m A² f² É directamente proporcional ao cadrado da frecuencia. Se a frecuencia faise o dobre, a enerxía total cuadriplícase. As outras opcións: A: Falsa. Como se dixo antes, a velocidade é máxima cando o coseno da fase é 1 (φ = 0 ó φ = π). A expresión da elongación amosa que é máxima cando o seno da fase é 1 (φ = π/2 ó φ = 3 π/2) B: Falsa. A forza recuperadora elástica é: Se só actúa esta forza elástica, pola 2ª lei de Newton: F = -k x -k x = m a Para obter a expresión da aceleración derívase a expresión da velocidade: Substituíndo na expresión anterior: Qeda a= d v d t =d {A ω cos (ω t +φ )} 0 = A ω 2 sen(ω t +φ d t 0 ) = -ω² x -k x = m a = m (-ω² x) k = m ω² A pulsación ou fase angular, ω está relacionada co período T pola expresión Substituíndo queda Despexando o período: ω = 2π T k=m ω 2 = 4 π2 m T 2 T =2 π m k
O período depende da masa e da constante elástica do resorte, pero non da amplitude. 3. C.3.- Se un núcleo atómico emite unha partícula α e dúas partículas β, o seu números atómico Z e másico A: A) Z aumenta en dúas unidades e A diminúe en dúas. B) Z non varía e A diminúe en catro. C) Z diminúe en dous e A non varía. Solución: B As propiedades do núcleo resultante despois dunha emisión alfa ou beta poden deducirse pola natureza destas radiacións e as leis de conservación do número másico e da carga eléctrica nos procesos nucleares. Unha partícula alfa é un núcleo de helio-4 (α = ₂⁴He) e unha partícula beta(-) é un electrón (β = ₁⁰e) Escribindo as reaccións do enunciado e aplicando as leis de conservación mencionadas A X Z 4 He+2 0 A 4 e+ Y 2 1 Z 4. C.4.- Disponse dun péndulo simple de 1,5 m de lonxitude. Mídese no laboratorio o tempo de 3 series de 10 oscilacións obtendo 24,56 s, 24,58 s, 24,55 s. Cal é o valor de g coa súa incerteza? Solución: Como só hai datos para unha lonxitude de péndulo só se pode calcular o valor medio do período e aplicar a ecuación do período do péndulo: Experiencia 1 2 3 Tempo(s) empregado en 10 oscilacións 24,56 24,58 24,55 Período 2,456 2,458 2,455 O valor medio do período é: T = T i N = 7,369 [s] =2,456 s 3 O valor da aceleración g da gravidade calculado da ecuación do período do péndulo: T =2 π L g g =4 π 2 L T =4 1,5 [ m] 2 π2 m/s2 (2,456 [ s]) 2=9,8 O cálculo da incerteza limítase ao uso apropiado das cifras signifcativas. g = (9,8 ± 0,1) m/s² 5. P.1.- Tres cargas de +3 μc están situadas equidistantes entre si sobre unha circunferencia de radio 2 m. Calcula: a) O potencial eléctrico no centro da circunferencia. b) O vector campo eléctrico no mesmo punto. c) O traballo para traer unha carga q' = 1 μc desde o infinito ao centro da circunferencia. Dato: K = 9 10⁹ N m² C ² Rta.: a) V O = 4,05 10⁴ V; b) E O = 0; c) W(exterior) = 4,05 10 ² J Datos Cifras signifcativas: 3 Valor de cada carga Q = 3,00 μc = 3,00 10 ⁶ C Radio da circunferencia R = 2,00 m Valor da carga que se traslada q = -1,00 μc = 1,00 10 ⁶ C
Datos Cifras signifcativas: 3 Constante eléctrica K = 9,00 10⁹ N m² C ² Incógnitas Potencial electrostático no centro da circunferencia V O Intensidade do campo electrostático no centro da circunferencia E O Traballo para trasladar unha carga de 1 μc desde o infnito ao centro W O Outros símbolos Distancia entre dous puntos A e B r AB Ecuacións Lei de Coulomb (aplicada a dúas cargas puntuais separadas unha distancia r) F =K Q q u r r 2 F A = F Ai Principio de superposición Potencial electrostático nun punto creado por unha carga puntual Q situada a unha distancia r V =K Q r Potencial electrostático de varias cargas V = V Traballo que fai a forza do campo cando se move unha carga q desde un punto A ata outro punto B W A B = q (V A V B ) Solución: a) Os potenciais no centro O da circunferencia debidos a cada carga son iguais porque tanto as cargas como as distancias ao centro son iguais. Valen: V C O =V B O =V A O =V =9,00 10 9 [N m 2 C 2 ] 3,00 10 6 [ C] =1,35 10 4 V (2,00 [m]) O potencial electrostático dun punto debido á presenza de varias cargas, é a suma alxébrica dos potenciais debidos a cada carga. V O = V A O + V B O + V C O = 3 V = 3 1,35 10⁴ [V] = 4,05 10⁴ V b) Faise un debuxo cos vectores intensidade de campo electrostático creado por cada carga e a suma vectorial que é o vector campo E resultante. Ao ser iguais as tres cargas e estar á mesma distancia do centro da circunferencia, os tres vectores intensidade de campo electrostático son simétricos e a súa resultante é nula: E O = 0 C Se queres realizar os cálculos: A intensidade de campo electrostático no centro O da circunferencia, debida á carga de 3 μc situada no punto A é: E A O =9,00 10 9 [ N m 2 C 2 ] 3,00 10 6 [C] (2,00 [m]) 2 ( i )= 6,75 10 3 i N /C A intensidade de campo electrostático no centro O da circunferencia, debida á carga de 3 μc situada no punto B é: E B O =9,00 10 9 [ N m 2 C 2 ] 3,00 10 6 [C] (2,00 [ m]) 2 (cos( 60 ) i +sen( 60 ) j)=(3,38 10 3 i 5,85 10 3 j) N/ C Por simetría, a intensidade de campo electrostático no centro O da circunferencia, debida á carga de 3 μc situada no punto C é: E C O = 3,38 10³ i + 5,85 10³ j N/C Polo principio de superposición, a intensidade de campo electrostático resultante no punto O é a suma vectorial das intensidades de campo de cada carga: E O = E A O + E B O + E C O = (-6,75 10³ i) + (3,38 10³ i 5,85 10³ j) + (3,38 10³ i + 5,85 10³ j) = 0 i + 0 j c) O traballo que fai a forza do campo é B A
W O = q (V V O ) = 1,00 10 ⁶ [C] (0 4,05 10⁴) [V] = -4,05 10 ² J Supoñendo que salga e chegue con velocidade nula, o traballo que hai que facer é: W(exterior) = -W(campo) = 4,05 10 ² J 6. P.2.- Un obxecto de 3 cm sitúase a 20 cm dunha lente cuxa distancia focal é 10 cm: a) Debuxa a marcha dos raios si a lente é converxente. b) Debuxa a marcha dos raios si a lente é diverxente. c) En ambos os dous casos calcula a posición e o tamaño da imaxe. Rta.: c) (c) s = 0,20 m; y = -3,0 cm; (d) s = -0,067 m; y = 1,0 cm Datos (convenio de signos DIN) Cifras signifcativas: 2 Tamaño do obxecto y = 3,0 cm = 0,030 m Posición do obxecto s = -20 cm = -0,20 m Distancia focal da lente f = 10 cm = 0,10 m Incógnitas Posición da imaxe en ambas as lentes s₁ʹ, s₂ʹ Tamaño da imaxe en ambas as lentes y₁ʹ, y₂ʹ Ecuacións Relación entre a posición da imaxe e a do obxecto nas lentes 1 sʹ 1 s = 1 fʹ Aumento lateral nas lentes A L = yʹ y s Solución: a) No debuxo represéntase o obxecto O antes da lente e desde o seu punto superior debúxanse dous raios: - Un horizontal cara á lente que a atravesa e se refracta de maneira que o raio refractado pasa polo foco Fʹ. - Outro cara ao centro da lente. Atravésaa sen desviarse. O punto de corte é o correspondente á imaxe I. Análise: A imaxe é real xa que sʹ é positiva, é dicir á dereita da lente que é a zona onde se forman as imaxes reais nas lentes. O signo negativo do tamaño indícanos que a imaxe é invertida. Os resultados numéricos coinciden co debuxo. O F F' I s f s' b) No debuxo, como os raios non se cortan, prolónganse ata que as súas prolongacións córtanse. O punto de corte é o correspondente á imaxe I. Análise: A imaxe é virtual xa que sʹ é negativa, é dicir á esquerda da lente que é a zona onde se forman as imaxes virtuais nas lentes. O signo positivo do tamaño indícanos que a imaxe é dereita. Os resultados numéricos coinciden co debuxo. c) Polo convenio de signos, os puntos situados á esquerda da lente teñen signo negativo. Para a lente converxente, f = +0,10 m. Úsase a ecuación das lentes: O F I s' s f Substitúense os datos: 1 sʹ 1 0,20 [ m] = 1 0,10 [m] E calcúlase a posición da imaxe: sʹ = 0,20 m Para calcular a altura da imaxe úsase a ecuación do aumento lateral:
E calcúlase a altura da imaxe: Para a lente diverxente, f = 0,10 m. = yʹ 0,20 [m] = 0,030 [m ] 0,20 [ m] = 1 yʹ = A L y = -1,0 0,030 m = -0,030 m = -3,0 cm 1 sʹ 1 0,20 [ m] = 1 0,10 [m] sʹ = 0,067 m yʹ [ m] = 0,067 0,030 [m ] 0,20 [m] yʹ = 0,010 m = 1,0 cm OPCIÓN B 1. C.1.- Dúas esferas de radio R con cargas +Q e -Q, teñen os seus centros separados unha distancia d. A unha distancia d/2 (sendo d/2 >> R); cúmprese: A) O potencial é cero e o campo electrostático 4 k Q d ². B) O potencial é cero e o campo electrostático 8 k Q d ². C) O potencial é 4 k Q d ¹ e o campo cero. Solución: B Se d/2 >> R, as esferas poden considerarse como cargas puntuais. O potencial nun punto debido a dúas cargas puntuais é a suma alxébrica dos potenciais que cada carga crea nese punto sen ser afectada pola presenza da outra. O potencial V electrostático nun punto creado por unha carga Q puntual (ou esférica) situada a unha distancia R é: V =K Q R Onde K é a constante electrostática. Por tanto o potencial electrostático no punto medio creado por ambas as cargas é cero: V =V + +V - =K +Q Q +K d /2 d/2 =0 Polo principio de superposición, a intensidade do campo electrostático nun punto creado por un conxunto de cargas puntuais é a suma vectorial das intensidades de campo electrostático debidas a cada unha delas coma se o resto das cargas non estivese presente. A expresión da intensidade E do campo electrostático creado por unha carga Q puntual nun punto a unha distancia r d/2 d/2 E=K Q r 2 u r E + sendo u r o vector unitario na dirección do punto tomando como orixe a carga. Polo principio de superposición E= E + + E - =K +Q (d /2) 2 i +K Q (d /2) 2 ( i )=2( 4 K Q d 2) i =8K Q d 2 i +Q E -Q E =8 K Q d 2
2. C.2.- A ecuación dunha onda é y = 0,02 sen (50 t 3 x); isto significa que: A) ω = 50 rad s ¹ e λ = 3 m. B) A velocidade de propagación u = 16,67 m s ¹ e a frecuencia f = 7,96 s ¹. C) T = 50 s e o número de onda k = 3 m ¹. Solución: B A ecuación dunha onda harmónica unidimensional pode escribirse como: y = A sen(ω t ± k x) Na que y é a elongación do punto que oscila (separación da posición de equilibrio) A é a amplitude (elongación máxima) ω é a frecuencia angular que está relacionada coa frecuencia f por ω = 2 π f. t é o tempo k é o número de onda, a cantidade de ondas que entran nunha lonxitude de 2 π metros. Está relacionada coa lonxitude de onda λ por k = 2 π / λ x é a distancia do punto ao foco emisor. O signo ± entre ω t e k x é negativo se a onda propágase en sentido positivo do eixe X, e positivo se o fai en sentido contrario. A velocidade ou de propagación dunha onda é ou = λ f Comparando a ecuación xeral coa do problema obtemos: A = 0,02 m ω = 50 rad/s k = 3 rad/m Para elixir a opción correcta calculamos algúns dos parámetros da ecuación (usando 2 cifras signifcativas) Iso permítenos descartar a opción A. λ = 2 π k = 2 π [rad ] 3,0 [rad/ m] =2,1 m f = ω [rad /s] =50 2 π 2 π [rad] =8,0 s 1 =8,0 Hz ou = λ f = 2,1 [m] 8,0 [s ¹] = 17 m/s Coincide coa opción B (se redondeamos os valores que aparecen en devandita opción ás cifras signifcativas que hai que usar) A opción C non é correcta porque a frecuencia é a inversa do período: T = 1 f = 1 8,0 [s 1 ] =0,13 s 3. C.3.- Se un espello forma unha imaxe real investida e de maior tamaño que o obxecto, trátase dun espello: A) Cóncavo e o obxecto está situado entre o foco e o centro da curvatura. B) Cóncavo e o obxecto está situado entre o foco e o espello. C) Convexo co obxecto en calquera posición. Solución: A Nos espellos convexos o tamaño da imaxe é sempre menor. Haberá que usar un espello cóncavo e situar o obxecto entre o centro de curvatura e o foco como se ve na fgura. I C O F s s' R f
4. C.4.- Na determinación da constante elástica dun resorte podemos utilizar dous tipos de procedementos. En ambos os dous casos, obtense unha recta a partir da cal calcúlase a constante elástica. Explica como se determina o valor da constante a partir de dita gráfica para cada un dos dous procedementos, indicando que tipo de magnitudes hai que representar nos eixes de abscisas e de ordenadas. Solución: No estudo estático úsase a lei de Hooke: F = -k x Na que F é a forza peso, e x o alongamento producido. Se x represéntase no eixe de ordenadas, e as forzas F no eixe de abscisas, a pendente da recta será igual ao inverso da constante elástica do resorte: pendente estudo estático = pₑ = x / F = 1 / k O valor da constante será o inverso da pendente do estudo estático. No estudo dinámico, a ecuación empregada é a relación entre a constante elástica k e a constante harmónica ω² k=m ω 2 = 4 π2 m T 2 Na representación, as masas están no eixe de ordenadas e os cadrados dos períodos no de abscisas. Entón: pendente estudo dinámico = p = Δ m ΔT 2 = k 4 π 2 O valor da constante será 4 π² veces a pendente do estudo dinámico. k = 4 π² p 5. P.1.- Unha mostra de carbono 14 ten unha actividade de 2,8 10⁸ desintegracións s ¹; o período de semidesintegración é T = 5730 anos, calcula: a) A masa da mostra no instante inicial. b) A actividade ao cabo de 2000 anos. c) A masa de mostra nese instante. Datos: N A = 6,02 10²³ mol ¹; masa atómica do ¹⁴C = 14 g mol ¹; 1 ano = 3,16 10⁷ s Rta.: a) m₀ = 1,7 mg; b) A = 2,2 10⁸ Bq; c) m = 1,3 mg Datos Cifras signifcativas: 3 Período de semidesintegración T ½ = 5 730 anos = 1,81 10¹¹ s Actividade da mostra A₀ = 2,80 10⁸ Bq Tempo para calcular a actividade t = 2000 anos = 6,31 10¹⁰ s Masa atómica do ¹⁴C M = 14,0 g/mol Número de Avogadro N A = 6,02 10²³ mol ¹ Incógnitas Masa inicial da mostra m₀ Actividade radioactiva aos 2000 anos A Masa da mostra aos 2000 anos m Outros símbolos Constante de desintegración radioactiva λ Ecuacións Lei da desintegración radioactiva λ t N =N 0 e λ = ln (N₀ / N) / t Cando t = T ½, N = N₀ / 2 T ½ = ln 2 / λ Actividade radioactiva A = d N / d t = λ N Solución:
a) Pódese calcular o número de átomos N a partir da expresión da actividade radioactiva: A = λ N. Antes hai que calcular a constante λ de desintegración radioactiva, a partir do período de semidesintegración A masa é proporcional á cantidade de átomos: λ = ln 2 T 1/2 = 0,693 1,81 10 11 [s] =3,83 10 12 s 1 =0,000 175 anos N 0 = A 0 λ = 2,80 108 [ Bq] 3,83 10 12 [s 1 ] =7,30 1019 átomos m 0 = N 0 M= 7,30 1019 [ átomos] N A 6,02 10 23 [ átomos/ mol] 14,0 [g/ mol]=1,70 10 3 g=1,70 mg b) Como a actividade radioactiva é proporcional á cantidade de núcleos, A = λ N, pódese obter unha expresión similar á lei da desintegración radioactiva, N =N 0 e λ t, na que aparece a actividade no canto da cantidade de átomos: A λ = A 0 λ e λ t A=A 0 e λ t =1,00 10 7 [ Bq] e 0,000175 [año] 1 2000 [ año] =2,20 10 8 Bq c) Como a masa tamén é proporcional á cantidade de núcleos pódese obter unha expresión similar á lei da desintegración radioactiva, N =N 0 e λ t, na que aparece a masa no canto da cantidade de átomos. A constante de proporcionalidade é: N A / M, o número de átomos que hai na unidade de masa dese elemento, onde N A é o número de Avogadro e M é a masa atómica do elemento. N = m N A / M m N A M =m 0 N A M e λ t m=m 0 e λ t =1,70 [mg ] e 0,000175 [año] 1 2000 [año] =1,33 mg 6. P.2.- Se a masa da Lúa é 0,012 veces a da Terra e o seu radio é 0,27 o terrestre, acha: a) O campo gravitatorio na Lúa. b) A velocidade de escape na Lúa. c) O período de oscilación, na superficie lunar, dun péndulo cuxo período na Terra é 2 s. Datos: g₀ T = 9,8 m s ²; R L = 1,7 10⁶ m Rta.: a)g L = 1,6 m/s²; b) vₑ L = 2,3 km/s; c) T L = 4,9 s Datos Cifras signifcativas: 2 Relación entre as masas da Lúa e da Terra M L /M T = 0,012 Relación entre os raios da Lúa e da Terra R L /R T = 0,27 Aceleración da gravidade na superfcie da Terra g T = 9,8 m/s² Raio da Lúa R L = 1,7 10⁶ m Período do péndulo na Terra T T = 2,0 s Incógnitas Campo gravitacional na Lúa g L Velocidade de escape na Lúa vₑ L Período de oscilación na Lúa dun péndulo cuxo T T = 2 s T L Outros símbolos Constante da gravitación universal G Ecuacións Lei de Newton da gravitación universal (forza que exerce un planeta esférico sobre un corpo puntual) F G =G M m r 2 Peso dun obxecto P = m g
Ecuacións Enerxía cinética dun obxecto de masa m que se move á velocidade v E = ½ m v² Enerxía potencial gravitacional dun obxecto de masa m situado a unha distancia r do centro dun astro de masa M (referida ao infnito) p = G M m r E Enerxía mecánica E = E + Eₚ Período dun péndulo simple de lonxitude L nun punto onde a aceleración da gravidade é g T =2 π L g Solución: a) O peso dun obxecto preto da superfcie da Terra é a forza coa que a Terra o atrae: m g T =G M T m R T 2 Analogamente, o peso dun obxecto preto da superfcie da Lúa é a forza coa que a Lúa o atrae: m g L =G M L m R L 2 Dividindo a segunda ecuación entre a primeira, queda: m g T = m g L G M T m R T 2 G M L m R L 2 Despexando g L = M /M L T 0,012 g T (R L /R T ) 2= 0,27 =0,16 2 g L = 0,16 9,8 [m/s²] = 1,6 m/s² Análise: O resultado é razoable, xa que sabemos que a gravidade na superfcie da Lúa é unhas 6 veces menor que na superfcie da Terra. b) A velocidade de escape é a velocidade mínima que hai que comunicarlle a un obxecto en repouso sobre a superfcie da Lúa para que chegue a unha distancia «infnita» do centro da Lúa. Desprezando as interaccións dos demais obxectos celestes e tendo en conta que a forza gravitacional é unha forza conservativa, aplícase o principio de conservación da enerxía mecánica entre a superfcie da Lúa e o infnito. (E + Eₚ) L = (E + Eₚ) Ao ser a velocidade de escape unha velocidade mínima, tómase que o obxecto chega ao infnito con velocidade nula. Como a orixe de enerxía potencial gravitacional está no infnito, a enerxía potencial gravitacional dun obxecto no infnito é nula. Despexando a velocidade de escape vₑ L 1 2 m v 2 e L +( G M m L R L ) =0 v e L= 2G M L R L Como non se teñen os datos da constante da gravitación universal nin da masa da Lúa, haberá que ter en conta que na superfcie da Lúa, o peso dun corpo m g₀ é igual á forza gravitacional m g 0 =G M m R 2 G M = g₀ R²
A velocidade de escape na Lúa quedaría: = = v 2 G M 2 g 2 L L R L e L = 2 g R L R L = 2 1,6 [ m/ s 2 ] 1,7 10 6 [ m]=2,3 10 3 m /s=2,3 km /s L R L c) O período T dun péndulo de lonxitude L nun lugar onde a gravidade sexa g vén dado pola ecuación: T =2 π L g Dividindo as expresións correspondentes á Terra e a Lúa π 2 L = T L g = L T T 2π L g T g = T 9,8 g L 1,6 =2,5 Substituíndo o dato T T = 2,0 s T L = 2,5 2,0 [s] = 4,9 s Análise: O resultado é razoable. A gravidade na superfcie da Lúa é menor que na superfcie da Terra, e canto máis pequena, máis lentamente se move o péndulo e maior é o seu período. Cuestións e problemas das Probas de Acceso á Universidade (P.A.U.) en Galicia. Respostas e composición de Alfonso J. Barbadillo Marán. Algúns cálculos fxéronse cunha folla de cálculo OpenOfce (ou LibreOfce) do mesmo autor. Algunhas ecuacións e as fórmulas orgánicas construíronse coa extensión CLC09 de Charles Lalanne-Cassou. A tradución ao/desde o galego realizouse coa axuda de traducindote, de Óscar Hermida López. Procurouse seguir as recomendacións do Centro Español de Metrología (CEM)