Χώροι πηλίκα Έστω διανυσματικός χώρος και Y διανυσματικός υπόχωρος του. Για κάθε θεωρούμε το σύμπλοκο σχετικά με τον Y, = + y y Y = + Y ορ { : } δηλαδή το είναι η παράλληλη μεταφορά του Y κατά το διάνυσμα. Παρατηρούμε ότι = y y Y. Ο χώρος / Y ( χώρος πηλίκο του πάνω από τον Y ) είναι ο χώρος όλων των συμπλόκων ( όλων των παραλλήλων μεταφορών του Y ), δηλαδή { } / Y = : Με τις πράξεις της πρόσθεσης και του βαθμωτού πολλαπλασιασμού που ορίζονται με τον ακόλουθο τρόπο + y = + y και λ = λ,, y, λ K ( K = Rή C), ο / Y ορ γίνεται όπως εύκολα εξακριβώνεται ένας διανυσματικός χώρος πάνω από το σώμα K με μηδέν το σύμπλοκο = Y. Ας υποθέσουμε ότι ο είναι επί πλέον ένας ( διανυσματικός ) χώρος με νόρμα, ας την συμβολίσουμε με, και ότι ο Y είναι κλειστός ( διανυσματικός ) υπόχωρος του. Μπορούμε τότε να ορίσουμε μια νόρμα στον χώρο πηλίκο / Y ως εξής: Έστω = + Y / Y, = + = =. Θέτομε () if { y : y Y} if { y : y Y} d (, Y) ορ Όπως παρατηρούμε από τις ισότητες στην () η νόρμα του συμπλόκου ορίζεται να είναι η απόσταση του από τον υποχώρο Y ή ακόμη η απόσταση του από το σύνολο 4 +Y Y - -5 (,) 5 - -4
{ } ( ) + Y,( αφού = if ( + y) : y Y = d, + Y ). Η νόρμα που ορίζεται από τις ισότητες στην () ονομάζεται νόρμα πηλίκο. Στο εξής οποτεδήποτε θεωρούμε έναν χώρο πηλίκο / νόρμα πηλίκο. Y ενός χώρου με νόρμα (, ), θα θεωρούμε τον / Y εφοδιασμένο με την Στο παράδειγμα του σχήματος ο είναι το Ευκλείδειο επίπεδο R, ο Y ένας γνήσιος μη τετριμμένος διανυσματικός υπόχωρος του ( δηλαδή μία ευθεία που διέρχεται από το ( ), ) και ο χώρος πηλίκο / Y είναι το σύνολο όλων των ευθειών του επιπέδου που είναι παράλληλες με την ευθεία Y. Η νόρμα κάθε τέτοιας ευθείας είναι η απόστασή της από το σημείο (, ) του R. Πρόταση. Έστω χώρος με νόρμα και Y κλειστός υποχώρος του, τότε η νόρμα πηλίκο του / Y είναι ( πράγματι ) μία νόρμα στον διανυσματικό χώρο / Y. Απόδειξη. Αν τότε = d (, Y) και ακόμη ότι αν = d(, Y ) = Y = Y = = Y. Έστωλ K με λ και. Τότε έχουμε, λ = d ( λ, Y) = { λ y y Y} if : = λ if { y : y Y} λ d (, Y) προφανής. = if λ y : y Y = λ if y : y Y λ λ = =. Αν λ = η αποδεικτέα σχέση είναι λ Αποδεικνύουμε τώρα την τριγωνική ανισότητα. Έστω, y. Παρατηρούμε ότι για κάθε ζεύγος z, z Y ισχύει ότι: ( + y) ( z + z ) z + y z, συνεπώς, (, ) ( ) ( ) d + y Y + y z + z z + y z, z, z Y. Έπεται ότι, d ( + y, Y) if { z + y z : z, z Y} = if { z : z Y} + if { y z : z Y} d (, Y) d ( y, Y) Ισοδύναμα, + y + y. = +.
3 Ορισμός. Έστω Y διανυσματικός υποχώρος του διανυσματικού χώρου. Τότε η απεικόνιση πηλίκο η κανονική απεικόνιση του επί του / Y είναι η απεικόνιση π που ορίζεται από τον τύπο π ( ) = = + Y. Παρατηρούμε ότι η π είναι μια γραμμική απεικόνιση, με Kerπ = Y και βέβαια π ( ) = / Y Λήμμα.3 Έστω χώρος με νόρμα, Y κλειστός υποχώρος του και π : / Y η κανονική απεικόνιση. Τότε η εικόνα μέσω της π της ανοικτής μοναδιαίας σφαίρας του είναι η ανοικτή μοναδιαία σφαίρα του / Απόδειξη Έστω με π Β = Β. Y. Δηλαδή ( ) / Y < τότε, ( ) { } αφού Y. Έπεται ότι π ( Β ) Β / Y. Έστω τώρα με ( ) Y { y y Y} π = + Y = if + y : y Y <, π = + = if + : <. Θεωρούμε y Y ώστε + y < και θέτομε = + y. Τότε έχουμε ότι, = ή π ( ) = π ( ) με απόδειξη του Λήμματος είναι πλήρης. < και ( ) + Y = + y + Y = + Y. Επομένως <. Έτσι συμπεραίνουμε ότι π ( ) Β Β και η Παρατήρηση.4 Σημειώνουμε ότι για τις κλειστές μοναδιαίες σφαίρες ισχύει ότι, Β π Β υπάρχει / Y / Y και ότι εν γένει δεν ισχύει ισότητα. Αυτό σημαίνει ότι ενδέχεται να ώστε d (, Y) = π ( ) = και y >, y Y. Από αυτό συμπεραίνουμε ότι δεν υπάρχει με ώστε π ( ) π ( ) τέτοιο τότε Y, άρα = + y για κάποιο y Y. Έπεται ότι = + y, άτοπο. Πρβλ επίσης τις ασκήσεις.) =. ( Αν υπήρχε ένα Σημειώνουμε ότι σε κάποιες ενδιαφέρουσες περιπτώσεις ισχύει ισότητα στην παραπάνω σχέση, όπως θα διαπιστώσουμε αργότερα. ( Πρβλ την παρατήρηση.6 ). Θεώρημα.5 Έστω χώρος με νόρμα και Y κλειστός υπόχωρος του. Τότε η κανονική απεικόνιση π : / Y είναι συνεχής ( με π ) γραμμική και επί του Y, η οποία είναι επιπλέον και ανοικτή. Αν Y, τότε π =. Απόδειξη Η γραμμικότητα της π και το γεγονός ότι είναι επί του Y με k erπ = Y είναι προφανείς. Η συνέχεια της π έπεται αμέσως από το Λήμμα.3 ή και απευθείας αφού αν τότε + Y, άρα π.
4 Η π είναι ανοικτή από το Λήμμα αφού αν και ε > τότε, ( Β (, )) = ( + Β ) ( ) ( ) / Y / Y, π ε π ε = π + επ Β = + εβ = Β ε. Επομένως η π απεικονίζει τις περιοχές του τυχόντος σημείου σε περιοχές του π ( ) και είναι άρα ανοικτή απεικόνιση. Αν ο υποχώρος Y του είναι διαφορετικός του, δηλαδή ο χώρος πηλίκο / Y είναι μη τετριμμένος ( y Β / Y με y τότε υπάρχει.3 ότι π =. Β ώστε π ( ) ). Επομένως { } Y τότε ( και μόνο τότε ) Β, και αν / Y = y. Έπεται αμέσως από το Λήμμα Εύκολη συνέπεια του προηγουμένου θεωρήματος είναι και το γνωστό αποτέλεσμα του Riesz: Λήμμα (Riesz). Έστω χώρος με νόρμα και Y γνήσιος κλειστός υποχώρος του. θ > υπάρχει θ S { : } ( θ, ) = if { θ y : y Y} θ Τότε : (α) Για κάθε d Y = = ώστε (β) Αν ο Y έχει πεπερασμένη διάσταση, τότε υπάρχει τον Y είναι η μέγιστη δυνατή, δηλαδή d (, Y ) =. S του οποίου η απόσταση από Απόδειξη (α) Υποθέτουμε χωρίς να περιορίζεται η γενικότητα ότι θ (,). Θεωρούμε την κανονική απεικόνιση π : / Y. Επειδή ο Y είναι γνήσιος κλειστός υποχώρος του έπεται ότι π =. Έτσι έχουμε, { π ( ) } = π = sup : = = sup : = = sup { d (, Y ) : = }. Αν < θ <, έπεται από τον χαρακτηρισμό του supreu ( ενός φραγμένου συνόλου πραγματικών ) ότι υπάρχει (β) Έστω z Β / Y με z =, υπάρχει τότε θ S ώστε θ = d ( θ, Y) θ. με π ( ) = z. Έπεται ότι, (, ) = π ( ) = =. Θεωρούμε μια ακολουθία ( y ) d Y z Y ώστε y, είναι σαφές ότι η ( y ) είναι φραγμένη. Έτσι συμπεραίνουμε από την συμπάγεια των κλειστών σφαιρών του Y αφού ο Y είναι πεπερασμένης διάστασης ότι η ( y ) έχει υπακολουθία συγκλίνουσα μέσα στον Y. Έστω y y Y. Συνεπώς, k
5 y y =. Θέτομε = y και παρατηρούμε ότι, εφόσον y k έχουμε ότι π ( ) = π ( ) και = = d (, Y) = d (, Y) Y, θα Παρατήρηση.6 Παρατηρούμε ότι αυτό που στην πραγματικότητα αποδείξαμε στο δεύτερο μέρος του προηγούμενου Λήμματος είναι το ακόλουθο αποτέλεσμα: Αν ο Y είναι πεπερασμένης διάστασης υποχώρος του χώρου με νόρμα και π : / Y είναι η κανονική απεικόνιση, τότε π Β = Β / Y, ( πρβλ και την παρατήρηση.4). Υπενθυμίζουμε ακόμα ότι αν Η είναι χώρος Hilbert και F γνήσιος κλειστός υπόχωρος του Η τότε για κάθε Ηµε F υπάρχει ακριβώς ένα y F Έτσι αν d (, F) π ( ) = =, τότε θέτοντας y ώστε y d (, F) =. = και = έχουμε ότι π ( ) π ( ) =. Συνεπώς και στην περίπτωση αυτή έχουμε ότι π Β Η = ΒΗ/F αποτελέσματα της παραγράφου 4. και την παρατήρηση 4..3.) Πόρισμα.7 Έστω (, ) χώρος με νόρμα άπειρης διάστασης και. ( Πρβλ. τα......, ακολουθία υποχώρων του πεπερασμένης διάστασης. Τότε :(α) Υπάρχει μία ακολουθία ( ) έτσι ώστε, = = d (, ),. (β) Ιδιαίτερα έχουμε ότι σε κάθε απειροδιάστατο χώρο με νόρμα υπάρχει ακολουθία ( ) S ώστε, Απόδειξη. (α) Έστω με =. Προχωρώντας με επαγωγή και με την βοήθεια του ισχυρισμού (β) του Λήμματος Riesz για το ζεύγος, επιλέγομε την ακολουθία ( ) με τις ζητούμενες ιδιότητες. Από αυτό που μόλις αποδείξαμε έπεται εύκολα και η ύπαρξη μιας ακολουθίας ( ) S ώστε,, N με. Παρόλα αυτά θα δώσουμε και μια απευθείας απόδειξη αυτού του ισχυρισμού. (β) Έστω λοιπόν S, θέτομε =. Από το Λήμμα του Riesz υπάρχει S d ( ) :, =. Θέτομε =, και συνεχίζουμε με επαγωγή. Αν τα,..., S έχουν ορισθεί θέτομε,..., = και επειδή di < και di = υπάρχει + S ώστε d (, ) + =. Από την κατασκευή μας είναι φανερό ότι =, και,. Παρατηρήσεις ) Έστω χώρος με νόρμα άπειρης διάστασης
6 (α) Είναι δυνατό να αποδειχθεί με χρήση του θεωρήματος Hah-Baach ότι υπάρχει ( ) ώστε =, και >,. (δες το [D] σελίδα7). (β) Επίσης αποδεικνύεται ( Θεώρημα των Odell-Elto, δες το [D] σελίδα 4) ότι υπάρχει δ > ώστε, =, και + δ, Από το προηγούμενο αποτέλεσμα έπεται ένας σημαντικός χαρακτηρισμός των χώρων με νόρμα πεπερασμένης διάστασης. Θεώρημα.8 Έστω (, ) (ι) Ο είναι πεπερασμένης διάστασης χώρος με νόρμα. Τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα: (ιι) Η κλειστή μοναδιαία σφαίρα Β του είναι συμπαγές σύνολο Απόδειξη (ι) (ιι) Είναι γνωστό ότι αν ο έχει πεπερασμένη διάσταση τότε η Β είναι συμπαγές σύνολο. (ιι) (ι) Αν ο είχε άπειρη διάσταση τότε από το προηγούμενο αποτέλεσμα θα υπήρχε μία ακολουθία ( ) S ώστε,, N με Είναι σαφές ότι η ( ) δεν έχει συγκλίνουσα υπακολουθία και αυτό αντιφάσκει με το γεγονός ότι η ( ) περιέχεται στο συμπαγές σύνολο Β. Παρατήρηση.9 Έστω (, ) χώρος με νόρμα και Y κλειστός υποχώρος του. Θεωρούμε την κανονική απεικόνιση π : / Y (α) Αν και ε >, τότε υπάρχει ' ώστε π ( ' ) π ( ) Πράγματι, έστω y Y : y d (, Y ) ( ) ' y Y = και ' π ( ) < + ε. < + ε = π + ε θέτομε ' = y, τότε = και άρα π ( ) = π ( ' ), επίσης ' y π ( ) (β) Αν, και z π ( ) Y Πράγματι, αν z + Y τότε, = < + ε. = + τότε, d ( z, π ( ) ) π ( ) π ( ) { } (, π ( ) ) = if ( + ) : ( ) d z z y y Y =. { z y y Y} = = π ( ) π ( ), εφόσον z + Y z =. = if : = z = z Θεώρημα. Έστω χώρος Baach και Y κλειστός υποχώρος του, τότε ο χώρος πηλίκο / Y είναι χώρος Baach.
7 Απόδειξη. Έστω υπακολουθία k ακολουθία Cauchy στον χώρο / Y. Επιλέγομε με επαγωγή μια της ώστε να ισχύει, () k < k k, k = +,,... ( Για ε = υπάρχει N : > τότε <. Κατόπιν για ε =, επιλέγουμε > : > τότε <. Συνεχίζουμε με επαγωγή και έτσι εντοπίζουμε μία υπακολουθία ( k ) των φυσικών αριθμών ώστε να ισχύει η ()). Ακολούθως επιλέγομε με επαγωγή μία ακολουθία z, k =,,..., ώστε z z k < k k, k = +,,... Έστω z, από την προηγούμενη παρατήρηση, d z = < Έπεται ότι υπάρχει z ώστε z z <. Επειδή z έπεται ότι d z, 3 = 3 < άρα υπάρχει z 3 ώστε z 3 z <. Προχωρούμε 3 με επαγωγή στην επιλογή της ( ) ε > τότε υπάρχει z. Η ( ) k k z είναι μια ακολουθία Cauchy. Πράγματι, αν k N : < ε. Aν λ > µ k k + τότε, z z z z +... + z z λ µ µ µ + λ λ +... + < <. Επειδή ο είναι ε µ λ k χώρος Baach υπάρχει : z. Από τη συνέχεια της κανονικής απεικόνισης k k π, έπεται ότι π ( z ) = π k ( ) = στον χώρο / Y. Επειδή η k είναι ακολουθία Cauchy στον / Y και έχει υπακολουθία συγκλίνουσα, έπεται ότι και η ίδια είναι συγκλίνουσα. Παράδειγμα. Θεωρούμε τον χώρο πηλίκο l / c τότε η νόρμα πηλίκο δίνεται από τον =, όπου = ( ) τύπο, lisup l.,
8 Πράγματι, αν c li Υποθέτουμε ότι ( ) = d c = = = τότε, ( ) = l κα c, li ι, ισοδύναμα ότι ( ) ακολουθία πραγματικών η οποία δεν είναι μηδενική, δηλαδή ότι li sup a Παρατηρούμε ότι: ) Έστω ( ) = > και ( ) y = y c τότε = είναι μια φραγμένη φραγμένη. li sup y = li sup = a (Αν, y,, είναι συγκλίνουσα υπακολουθία k της y, τότε y, άρα li y = li a. Επειδή υπάρχει υπακολουθία ( ) k της ( ) έχουμε το συμπέρασμα ). : li ) (, ) k a d c = k k k = a έπεται ότι li y = li = a, άρα Πράγματι, αν ( ) y = y c τότε από την () a = lisup y (, ) = y a d c. sup y Υποθέτουμε για να καταλήξουμε σε άτοπο ότ ι a d (, c ) =,,...,,,... c,. Θέτομε ( ) <. a < d, c = sup : k +,. Έπεται ότι, ( ) { k } Συνεπώς, a < d (, c ) li sup { k : k + } καταλήξει σε αντίφαση. = lisup = a, έτσι έχουμε Πρόταση. Έστω, Z χώροι Baach και T : Z φραγμένος γραμμικός τελεστής επί του Z. Τότε ο χώρος πηλίκο / KerT είναι ισόμορφος του Z. Απόδειξη Ορίζουμε F : / KerT Z με F( KerT ) T ( ) + =. Θα αποδείξουμε ότι ο T είναι ένας ( καλά ορισμένος ) γραμμικός τελεστής ο οποίος είναι φραγμένος, και επί του Z. Από το θεώρημα ανοικτής απεικόνισης θα έχουμε το συμπέρασμα. Παρατηρούμε ακόμη ότι T = Foπ
9 (Ι) Ο T είναι καλά ορισμένος γραμμικός τελεστής. Έστω, ' ώστε, + = ' + ' ( ') = T ( ) T ( ') KerT KerT KerT T T είναι καλά ορισμένος. Ο T είναι επίσης γραμμικός αφού, =. Άρα ο ( λ ( + ) + µ ( + )) = F ( λ + µ y+ KerT ) = T ( λ µ y) ( ) + T ( y) = λ F ( + KerT ) + µ ( y+ KerT ). F KerT y KerT λ T µ (ΙΙ) Ο T είναι και επί του Z. Έστω F ( + KerT ) = F ( y + KerT ) T ( ) T ( y) = ( ) + = T y = y KerT + KerT = y + KerT. Ο T είναι επί, αφού αν z Z τότε ( ο T είναι επί ) υπάρχει = T ( ) = z, άρα ( ) (ΙΙΙ) Ο T είναι φραγμένος, με F F + KerT = z. = T. Έστω + KerT / KerT. Για κάθε ε > μπορούμε να επιλέξουμε y + KerT με y < + KerT + ε ( παρατήρηση.9). Συνεπώς F ( + KerT) = F ( y + KerT ) ( ) Εφόσον η ανισότητα ισχύει για κάθε θετικό ε, έπεται ότι, Συνεπώς F F ( + KerT) T + KerT. T και ο F είναι φραγμένος. Επειδή δε, ( ) ( ) ( ) + KerT = T y T y < T ( + KerT + ε ). T = sup T = sup F + KerT sup F + KerT = F, συμπεραίνουμε ότι, F = T Πόρισμα.3 Για κάθε διαχωρίσιμο χώρο Baach υπάρχει ένας κλειστός γραμμικός υπόχωρος Y του l ( N) ώστε ο χώρος πηλίκο ( N) l Y να είναι ισόμορφος με τον. / Απόδειξη Ως γνωστό επειδή ο είναι διαχωρίσιμος υπάρχει ένας φραγμένος γραμμικός τελεστής : ( ) T l N ο οποίος είναι επί του. Θέτομε Y = KerT. Από την προηγούμενη πρόταση έχουμε το συμπέρασμα. Παρατήρηση.4 Υπενθυμίζουμε εν συντομία το αποτέλεσμα που χρησιμοποιήσαμε στο προηγούμενο Πόρισμα, δηλαδή ότι κάθε διαχωρίσιμος χώρος Baach είναι συνεχής γραμμική εικόνα του l. Έστω D { } =, ένα αριθμήσιμο πυκνό υποσύνολο τηςβ.
Ορίζουμε T : l με T (( λ )) = λ, επειδή η σειρά λ = = είναι απόλυτα συγκλίνουσα ο T είναι ένας καλά ορισμένος γραμμικός τελεστής ο οποίος είναι φραγμένος με T. Αποδεικνύεται ακόμη ότι ο T είναι και επί του Y. Έστω Β <, εφόσον το D είναι πυκνό υπάρχει στην Β ( η Β δεν έχει μεμονωμένα σημεία ) υπακολουθία ( ) της ( ) με η συνήθης βάση του l ), τότε αποδείξαμε ότι Β T ( ). Θέτομε z = e,, άρα T ( Β l ). Έτσι z Β l και T ( z ) ( όπου ( e ) Β l. Από ένα γνωστό Λήμμα που χρησιμοποιείται στην απόδειξη του θεωρήματος ανοικτής απεικόνισης έπεται ότι Β T ( ) Β l από όπου συμπεραίνουμε ότι ο T είναι επί του. Αξίζει να σημειωθεί ότι ισχύει προφανώς και η σχέση ( l ) Β, και συνεπώς Β = T ( Β l ). Έπεται ότι αν F : l / Y = KerT, είναι ο τελεστής του θεωρήματος., τότε F ( ) T ( ) T Β Y, όπου Β l = Β l = Β. Από /Y όπου έπεται ότι ο F είναι μια ισομετρία ( γιατί; ) και άρα ο είναι ισομετρικά ισόμορφος με ένα πηλίκο του χώρου l. Μια ακόμη ενδιαφέρουσα εφαρμογή των χώρων πηλίκων είναι και η ακόλουθη. Πρόταση.5 Έστω χώρος με νόρμα, Z κλειστός υποχώρος του και Y υπόχωρος του πεπερασμένης διάστασης. Τότε ο Y + Z είναι κλειστός υποχώρος του. Απόδειξη. Έστω : / Z π η κανονική απεικόνιση. Ο ( Y) π είναι πεπερασμένης διάστασης υποχώρος του / Z και άρα κλειστός υποχώρος του / Z. Αφού η π είναι ( ) ( ) ( ) ( ) συνεχής ο π π ( Y) π π ( Y) π π Y y Y : π ( ) π ( y) Έπεται ότι Y Z π π ( Y) είναι κλειστός υποχώρος του. Παρατηρούμε ότι, ( ) = y Z Y + Z. + = και ο Y + Z είναι κλειστός υποχώρος του.