ΨΗΦΙΑΚΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ. ιδάσκων : ρ. Β. ΒΑΛΑΜΟΝΤΕΣ. Πύλες - Άλγεβρα Boole 1



Σχετικά έγγραφα
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο Αλγεβρα BOOLE και Λογικές Πύλες

ΨΗΦΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΣΧΕ ΙΑΣΗ

Πρόγραμμα Επικαιροποίησης Γνώσεων Αποφοίτων

Ηλεκτρονικοί Υπολογιστές ΙΙ

Λογική Σχεδίαση Ψηφιακών Συστημάτων

Ψηφιακή Σχεδίαση Εργαστήριο Τ.Ε.Ι. ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜ. ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΨΗΦΙΑΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ. Κεφάλαιο 3

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 4+5: Άλγεβρα Boole

Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Φυσικής Εργαστήριο Ηλεκτρονικής. Ψηφιακά Ηλεκτρονικά. Άλγεβρα Boole και Λογικές Πύλες 2. Επιμέλεια Διαφανειών: Δ.

2. Άλγεβρα Boole και Λογικές Πύλες

ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

2 η Θεµατική Ενότητα : Άλγεβρα Boole και Λογικές Πύλες. Επιµέλεια διαφανειών: Χρ. Καβουσιανός

Ψηφιακά Συστήματα. 3. Λογικές Πράξεις & Λογικές Πύλες

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 6: Λογικές πύλες και λογικά κυκλώματα

ΨΗΦΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΣΧΕ ΙΑΣΗ

Ελίνα Μακρή

Εισαγωγή στην Πληροφορική

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ

2 η Θεµατική Ενότητα : Άλγεβρα Boole και Λογικές Πύλες. Βασικοί Ορισµοί

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Ψηφιακή Σχεδίαση

Γ2.1 Στοιχεία Αρχιτεκτονικής. Γ Λυκείου Κατεύθυνσης

K24 Ψηφιακά Ηλεκτρονικά 4: Σχεδίαση Συνδυαστικών Κυκλωμάτων

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ (Τ.Ε.Ι.) ΚΡΗΤΗΣ Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής & Πολυμέσων. Ψηφιακή Σχεδίαση. Κεφάλαιο 2: Συνδυαστικά Λογικά

Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Φυσικής Εργαστήριο Ηλεκτρονικής. Ψηφιακά Ηλεκτρονικά. Απλοποίηση Συναρτήσεων Boole. Επιμέλεια Διαφανειών: Δ.

ΨΗΦΙΑΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ - ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 2 ΛΟΓΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ OR, NOR, XOR

Αρχιτεκτονικές Υπολογιστών BOOLEAN ALGEBRA

Κεφάλαιο 4. Λογική Σχεδίαση

Ψηφιακά Ηλεκτρονικά. Κεφάλαιο 1ο. Άλγεβρα Boole και Λογικές Πύλες. (c) Αμπατζόγλου Γιάννης, Ηλεκτρονικός Μηχανικός, καθηγητής ΠΕ17

Παράσταση αριθμών «κινητής υποδιαστολής» floating point

Ενότητα 4 ΛΟΓΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΛΟΓΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΔΥΟ ΕΠΙΠΕΔΩΝ

Ενότητα 2 ΑΛΓΕΒΡΑ BOOLE ΛΟΓΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ

3. ΛΟΓΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ & ΛΟΓΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ

ΨΗΦΙΑΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ - ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 3

Εισαγωγή στους Ηλεκτρονικούς Υπολογιστές

2 η Θεµατική Ενότητα : Άλγεβρα Boole και Λογικές Πύλες

σύνθεση και απλοποίησή τους θεωρήµατα της άλγεβρας Boole, αξιώµατα του Huntington, κλπ.

3. Απλοποίηση Συναρτήσεων Boole

3 η Θεµατική Ενότητα : Απλοποίηση Συναρτήσεων Boole. Επιµέλεια διαφανειών: Χρ. Καβουσιανός

Επανάληψη Βασικών Στοιχείων Ψηφιακής Λογικής

Αναλογικά & Ψηφιακά Κυκλώματα ιαφάνειες Μαθήματος ρ. Μηχ. Μαραβελάκης Εμ.

Δυαδικές συναρτήσεις Άλγεβρα Boole Λογικά διαγράμματα

Εισαγωγή στους Υπολογιστές

4. ΝΟΜΟΙ ΔΥΑΔΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ

9. OIΚΟΥΜΕΝΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΕΙΣΟ ΩΝ

Κεφάλαιο Τρία: Ψηφιακά Ηλεκτρονικά

Λογικές πύλες: Οι στοιχειώδεις δομικοί λίθοι των κυκλωμάτων

ΜΕΡΟΣ 1 ο : Δυαδικές συναρτήσεις Άλγεβρα Boole Λογικά διαγράμματα

Εισαγωγή στην Πληροφορική

Γενικά Στοιχεία Ηλεκτρονικού Υπολογιστή

επανενεργοποιηθεί Βιομηχανικά Ηλεκτρονικά - Κ.Ι.Κυριακόπουλος Control Systems Laboratory

Ενότητα 5 ΑΠΛΟΠΟΙΗΣΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΔΥΟ ΕΠΙΠΕΔΩΝ

ΠΛΗ10 Κεφάλαιο 2. ΠΛH10 Εισαγωγή στην Πληροφορική: Τόμος Α Κεφάλαιο: : Αριθμητική περιοχή της ALU 2.5: Κυκλώματα Υπολογιστών

Πρόγραμμα Επικαιροποίησης Γνώσεων Αποφοίτων

ΑΣΠΑΙΤΕ Εργαστήριο Ψηφιακών Συστημάτων & Μικροϋπολογιστών Εργαστηριακές Ασκήσεις για το μάθημα «Λογική Σχεδίαση» ΑΣΚΗΣΗ 3 ΠΙΝΑΚΕΣ KARNAUGH

Περιεχόμενα. Πρώτο Κεφάλαιο. Εισαγωγή στα Ψηφιακά Συστήματα. Δεύτερο Κεφάλαιο. Αριθμητικά Συστήματα Κώδικες

Ελίνα Μακρή

Ψηφιακά Συστήματα. 4. Άλγεβρα Boole & Τεχνικές Σχεδίασης Λογικών Κυκλωμάτων

e-book ΛΟΓΙΚΗ ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Προγραμματισμός Ηλεκτρονικών Υπολογιστών 1

Προγραμματισμός Ηλεκτρονικών Υπολογιστών 1

4.1 Θεωρητική εισαγωγή

Ελίνα Μακρή

Πράξεις με δυαδικούς αριθμούς

100 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΕ ΤΙΣ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΨΗΦΙΑΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ

f(x, y, z) = y z + xz

"My Binary Logic" Ένας προσομοιωτής λογικών πυλών στο Scratch

2 η Θεµατική Ενότητα : Σύνθετα Συνδυαστικά Κυκλώµατα. Επιµέλεια διαφανειών: Χρ. Καβουσιανός

Στοιχεία προτασιακής λογικής

Άλγεβρα Boole, λογικές συναρτήσεις και κυκλώματα. URL:

ΑΣΚΗΣΗ 1 ΛΟΓΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ

ΣΠ. ΛΟΥΒΡΟΣ, Ν. ΣΚΛΑΒΟΣ

Εισαγωγή στα Ψηφιακά Συστήματα

Ι. ΠΡΑΞΕΙΣ. Ορισµός 2 A. ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΠΡΑΞΗ. Έστω E ένα µη κενό σύνολο. Κάθε απεικόνιση f: E x E E λέγεται εσωτερική πράξη επί του E.

Εισαγωγή στην πληροφορική

- 1 - Ασκήσεις Ψηφιακών Συστημάτων

ΗΜΥ 100 Εισαγωγή στην Τεχνολογία

ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

Βοηθητικές Σημειώσεις στη ΛΟΓΙΚΗ ΣΧΕΔΙΑΣΗ

9 ο Μαθητικό Συνέδριο Πληροφορικής Κεντρικής Μακεδονίας. "My Binary Logic" Ένας προσομοιωτής λογικών πυλών στο Scratch

6. Σχεδίαση Κυκλωμάτων Λογικής Κόμβων (ΚΑΙ), (Η)

Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Φυσικής Εργαστήριο Ηλεκτρονικής. Ψηφιακά Ηλεκτρονικά. Συνδυαστική Λογική. Επιμέλεια Διαφανειών: Δ.

Ενότητα 8 Η ΠΥΛΗ XOR ΚΑΙ ΟΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΚΩΔΙΚΟΠΟΙΗΣΗ

Μάθημα 0: Εισαγωγή. Λευτέρης Καπετανάκης. ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ Άνοιξη 2011

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών. Υπολογιστές και Δεδομένα Κεφάλαιο 4ο Πράξεις με μπιτ

Κεφάλαιο 2. Ψηφιακή Σχεδίαση

Κεφάλαιο 9. Ψηφιακά κυκλώματα - Άλγεβρα Boole

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Πρόλογος...9 ΚΕΦ. 1. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ - ΚΩΔΙΚΕΣ

Ψηφιακά Κυκλώματα (1 ο μέρος) ΜΥΥ-106 Εισαγωγή στους Η/Υ και στην Πληροφορική

ΑΣΚΗΣΗ 3 ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΛΟΓΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ: ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΣΧΕΔΙΑΣΗ

6. ΟΙΚΟΥΜΕΝΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ

ΑΚΑΔΗΜΙΑ ΕΜΠΟΡΙΚΟΥ ΝΑΥΤΙΚΟΥ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΘΕΜΑ : TEΣT ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΓΝΩΣΕΩΝ ΣΤΑ ΨΗΦΙΑΚΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ. ΜΑΘΗΜΑ 2 ο. ΑΛΓΕΒΡΑ Boole ΛΟΓΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΚΩ ΙΚΕΣ 1

1.1 Θεωρητική εισαγωγή

Λύσεις Ασκήσεων ΣΕΙΡΑ 1 η. Πρόσημο και μέγεθος

Υ52 Σχεδίαση Ψηφιακών Ολοκληρωμένων Κυκλωμάτων και Συστημάτων. Δεληγιαννίδης Σταύρος Φυσικός, MsC in Microelectronic Design

Copyright, 2006 ΚΑΓΙΑΜΠΑΚΗΣ ΜΑΝΟΣ

1 η Θεµατική Ενότητα : Αριθµητικά Κυκλώµατα. Επιµέλεια διαφανειών: Χρ. Καβουσιανός

Transcript:

ΨΗΦΙΑΚΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ιδάσκων : ρ. Β. ΒΑΛΑΜΟΝΤΕΣ Πύλες - Άλγεβρα Boole 1

ΕΙΣΑΓΩΓΗ Α)Ηλεκτρονικά κυκλώµατα Αναλογικά κυκλώµατα Ψηφιακά κυκλώµατα ( δίτιµα ) V V 2 1 V 1 0 t t Θετική λογική: Ο V 1 µε V 1 = 0 Volts 1 V 2 µε V 2 0 Volts Πύλες - Άλγεβρα Boole 2

V V 1 V 2 1 0 t t Αρνητική λογική: O V 1 µε V 1 0 Volts 1 V 2 µε V 2 = 0 Volts Β)Ψηφιακά κυκλώµατα Συνδιαστικά κυκλώµατα Ακολουθιακά κυκλώµατα Πύλες - Άλγεβρα Boole 3

Λογικές Πύλες Τα λογικά ηλεκτρονικά κυκλώµατα, µε τα οποία µπορούµε να εκτελέσουµε τις βασικές πράξεις της άλγεβρας Boole καλούνται λογικές πύλες και παίρνουν το όνοµα τους από τη λογική πράξη που εκτελούν. Πύλες - Άλγεβρα Boole 4

Ηπύλη OR Πίνακας Αληθείας OR Αν τουλάχιστον µία από τις εισόδους της είναι 1, η έξοδος είναι επίσης 1. Αλλιώς, η έξοδος είναι 0. A B A+B 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 Πύλες - Άλγεβρα Boole 5

Ηπύλη AND Πίνακας Αληθείας AND Η πύλη AND δίνει έξοδο 1 µόνο όταν όλες οι είσοδοι της είναι 1. A B A B 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 Πύλες - Άλγεβρα Boole 6

Ηπύλη NOT Πίνακας Αληθείας NOT Ηπύλη NOT αντιστρέφει την είσοδο της. A A 0 1 1 0 Πύλες - Άλγεβρα Boole 7

Ηπύλη NAND ( AND + NOT ) Πίνακας Αληθείας NAND A B A B 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 Πύλες - Άλγεβρα Boole 8

Ηπύλη NOR Πίνακας Αληθείας NOR ( OR + NOT ) A B A + B 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 Πύλες - Άλγεβρα Boole 9

Ηπύλη Exclusive OR (XOR) Πίνακας Αληθείας XOR A B A B 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 Ηπύλη XOR δίνει έξοδο 1 όταν οι είσοδοι της είναι άνισες. Από τον πίνακα προκύπτει: A B = AB + AB Πύλες - Άλγεβρα Boole 10

Ηπύλη Exclusive NOR (XNOR) Η πύλη XNOR δίνει έξοδο 1 όταν οι είσοδοι της είναι ίσες. A B 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 Ισχύει ότι: ΚΑΙ ΑΟΒ = ΑΟΒ Πύλες - Άλγεβρα Boole 11

Άλγεβρα Boole Είναι το µαθηµατικό εργαλείο µε το οποίο χειριζόµαστε τα Ψηφιακά κυκλώµατα. Η άλγεβρα Boole είναι µία αλγεβρική δοµή που ορίζεται στο σύνολο Β={0,1} µαζί µε δύο δυαδικούς τελεστές +και, και ικανοποιεί τα αξιώµατα του Huntington. Πύλες - Άλγεβρα Boole 12

Αξιώµατα της άλγεβρας Boole 1. α) Κλειστή ως προς τον τελεστή + β) Κλειστή ως προς τον τελεστή 2. α) Ουδέτερο στοιχείο το 0 ως προς την πρόσθεση: x+0=x β) Ουδέτερο στοιχείο το 1 ως προς τον πολλαπλασιασµό: x 1=x 3. α) Αντιµεταθετικότητα ως προς +: x+y = y+x β) Αντιµεταθετικότητα ως προς : x y = y x 4. Επιµεριστικότητα του ως προς + αλλά και αντίστροφα: x (y+z)=(x y)+(x z) x+(y z)=(x+y) (x+z) Πύλες - Άλγεβρα Boole 13

5. Για κάθε στοιχείο x B, υπάρχει ένα στοιχείο x B (που ονοµάζεται συµπλήρωµα τουx), τέτοιο ώστε: a) x + x = 1 b) x x = 0 6. Υπάρχουν τουλάχιστον 2 στοιχεία B y x, που να είναι x y Πύλες - Άλγεβρα Boole 14

Θεωρήµατα της άλγεβρας Boole 1. a) x x=x, b) x+x=x 2. a) 1+x=1, b) 0 x=0 3. x = x 4. a) x(y z)=(x y)z, b) x+(y+z)=(x+y)+z (προσετεριστική ιδιότητα ) 5. x(x+y)=x 6. x+xy=x 7. 8. x + xy = x + y Θεώρηµα De Morgan: a) x + y = x y b) x y = x + y Πύλες - Άλγεβρα Boole 15

Προτεραιότητα των πράξεων Η προτεραιότητα των πράξεων στην άλγεβρα Boole έχει ως εξής: 1. Παρένθεση 2. Ανάστροφο 3. Πολλαπλασιασµός 4. Πρόσθεση Πύλες - Άλγεβρα Boole 16

Παραδείγµατα - Ασκήσεις 1) Απόδειξη του θεωρήµατος 8.a µε πίνακα αληθείας x y x+y x + y 0 0 0 1 1 1 1 x y x y 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 Πύλες - Άλγεβρα Boole 17

2) Παράδειγµα απλοποίησης ( x+ y)( x+ y)( x+ z) = ( xx+ xy+ yx+ yy)( x+ z) = = ( x + xy + xy )( x + z ) = ( x + x( y + y ))( x + z ) = = ( x + x )( x + z ) = x( x + z) = xx + xz=xz Πύλες - Άλγεβρα Boole 18

3) Να απλοποιηθεί η συνάρτηση F = A + B + A + B + ( AB ) ( A B ) = = ( A + B ) ( A + B ) + ( AB ) + A B = = = = = = ( A + B )( A + B ) + AB + A B = A A + A B + AB + B B + AB + A B = A B + AB + AB + A B = A( B + B ) + A( B + B ) = A + A = 1 Πύλες - Άλγεβρα Boole 19

υικότητα της άλγεβρας BOOLE Αν σε µία ισότητα αντιµεταθέσω τις πράξεις + και., η νέα ισότητα που θα προκύψει ισχύει. Παραδείγµατα: a) x + y = x y a) x.(y.z)=(x.y).z b) x+(y+z)=(x+y)+z b) x y = x + y Πύλες - Άλγεβρα Boole 20

Κανονική µορφή συνάρτησης X Y Z A(X,Y,Z) Ελάχιστοι 0 0 0 0 Όροι Μέγιστοι Όροι X. Z X + Y + Z 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 X. Z X + Y + Z X. Z X + Y + Z X. Z X + Y + Z X. Z X + Y + Z X. Z X + Y + Z X. Z X + Y + Z X. Z X + Y + Z Πύλες - Άλγεβρα Boole 21

α) Η κανονική µορφή της συνάρτησης προκύπτει σαν το άθροισµα των ελαχίστων όρων που αντιστοιχούν στις µονάδες της συνάρτησης. A(X, Y,Z) = X. Z + X. Z + X. Z β) Το συµπλήρωµα της συνάρτησης είναι το άθροισµα των ελαχίστων όρων που αντιστοιχούν στα µηδέν της συνάρτησης A(X,Y,Z) = X. Z + X. Z + X. Z + X. Z + X. Z A(X, Y,Z) = X. Z + X. Z + X. Z + X. Z + X. Z A(X, Y,Z) A(X, Y,Z) = ( X. Y Z) X. Z. X. Z. X. Z. X. Z.. = ( X + Y + Z).( X + Y + Z).( X + Y + Z).( X + Y + Z).( X + Y + Z) δηλαδή η κανονική µορφή της συνάρτησης προκύπτει σαν γινόµενο των µεγίστων όρων που αντιστοιχούν στα µηδενικά της συνάρτησης. Πύλες - Άλγεβρα Boole 22

Σχεδίαση των πυλών AND, OR, NOT µε πύλες NAND, NOR Οι πύλες NAND και NOR κατασκευάζονται ευκολότερα, γι αυτό τις προτιµούµε στην κατασκευή κυκλωµάτων. Πύλες - Άλγεβρα Boole 23

Οι βασικές πύλες µε NAND 1) Η NOT 2) Η AND 3) Η OR Πύλες - Άλγεβρα Boole 24

Οι βασικές πύλες µε NOR 1) Η ΝΟΤ 2) Η OR 3) Η AND Πύλες - Άλγεβρα Boole 25