Παραγοντοποιήσεις πίνακα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΔΠΜΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΒΙΟΪΑΤΡΙΚΗ Παραγοντοποιήσεις πίνακα Θεωρία Perro-Frobeus Μαρία Αδάμ ΛΑΜΙΑ, 08

KΕΦΑΛΑΙΟ Παραγοντοποίηση πίνακα Άλγεβρα πινάκων Βασικοί ορισμοί Ορισμός Πίνακα A με στοιχεία από το (σύνολο των πραγματικών ή σύνολο των μιγαδικών αριθμών) ονομάζουμε μια διάταξη των m στοιχείων (αριθμών) συνόλου σε σχήμα ορθογωνίου παραλληλογράμμου ως εξής: a a a a a a a a a = m m m a j του Οι αριθμοί a j ονομάζονται στοιχεία του πίνακα Με βάση τις γραμμές και τις στήλες του πίνακα ( m ) βρίσκουμε το μέγεθος ή τύπο του πίνακα Συγκεκριμένα λέμε ότι ο πίνακας A είναι ένας m πίνακας A Στη συνέχεια, ο πίνακας A συμβολίζεται ( a j ), =,, m, j =,, Ακόμη, με M ( ) m συμβολίζεται το σύνολο όλων των m πινάκων με στοιχεία από το Δύο ή περισσότεροι πίνακες που έχουν ίδιο αριθμό γραμμών και στηλών χαρακτηρίζονται ως πίνακες ιδίου τύπου Αν διαγραφούν κάποιες γραμμές ή στήλες από τον πίνακα A, ο πίνακας που προκύπτει ονομάζεται υποπίνακας του A Ένας υποπίνακας του A M ( ), που προκύπτει από τη διαγραφή των k τελευταίων γραμμών και στηλών του A ονομάζεται κύριος υποπίνακας του A για κάθε k <

Βασικές Έννοιες Πινάκων Ένας πίνακας A M ( ) ονομάζεται σύνθετος πίνακας ή πίνακας block, m αν τα στοιχεία του είναι πίνακες μικρότερου μεγέθους από αυτό του A Οι υποπίνακες αυτοί είναι τέτοιοι ώστε τα στοιχεία-υποπίνακες, που βρίσκονται στην ίδια γραμμή, έχουν όλα τον ίδιο αριθμό γραμμών και τα στοιχεία-υποπίνακες που βρίσκονται στην ίδια στήλη, έχουν όλα τον ίδιο αριθμό στηλών Ο σύνθετος πίνακας θα συμβολίζεται A= ( A j ), όπου A j είναι το στοιχείο-υποπίνακας, που προκύπτει από τη διαμέριση του αρχικού πίνακα A και βρίσκεται στην - γραμμή και j - στήλη του πίνακα A Η διαμέριση του αρχικού πίνακα γίνεται με την χάραξη κατακόρυφων και οριζόντιων γραμμών, που διαχωρίζουν τις γραμμές και τις στήλες του αρχικού πίνακα Για παράδειγμα, έστω ο σύνθετος πίνακας 6 0 A A A 4 7 0 A = =, A A A 5 0 4 4 A =, A = ( 6), A = ( 0 ), A = 5 0 7 0 = 4 όπου ( ) A A, = και Στη συνέχεια παρουσιάζονται ορισμένες κατηγορίες πινάκων, που παρουσιάζουν ιδιαίτερο ενδιαφέρον και θα συναντήσουμε στην παρούσα εργασία Ένας πίνακας λέγεται και πίνακας-γραμμή, ενώ ένας m πίνακας λέγεται και πίνακας-στήλη ή διάνυσμα Όταν πρόκειται Στη συνέχεια, για πίνακες-διανύσματα των πραγματικών χώρων χρησιμοποιούμε το συμβολισμό το συμβολισμό όταν πρόκειται για πίνακα-γραμμή και όταν πρόκειται για πίνακα-στήλη, προκειμένου να μην υπάρχει σύγχυση με τα διανύσματα του για τα οποία βάζουμε κόμμα μεταξύ των στοιχείων-συντεταγμένων του διανύσματος (που είναι ισόμορφος με ), ή Σημειώνεται ότι οι χώροι, και είναι ισόμορφοι

Παραγοντοποίηση Πίνακα 4 Για παράδειγμα, γράφουμε A = ( 4) για το διάνυσμα-γραμμή και (,,, 4) για το διάνυσμα του 4 Εάν όλα τα στοιχεία ενός m πίνακα είναι ίσα με μηδέν, ο πίνακας αυτός ονομάζεται μηδενικός και συμβολίζεται με 0 m ή απλά με 0 Έστω A= ( a j ) ένας m πίνακας Ο m πίνακας ( a j ) ονομάζεται ανάστροφος του A και συμβολίζεται με A Για παράδειγμα, αν A = 8 τότε A = 4 8 4 Έστω A= ( a j ) ένας m πίνακας Ο m πίνακας, ο οποίος έχει ως στοιχεία του τα συζυγή στοιχεία του πίνακα A, δηλαδή a j, ονομάζεται συζυγής του A και συμβολίζεται με A Για παράδειγμα, αν, ο συζυγής του είναι 6 A = + 5+ Ο m πίνακας ( a ) ονομάζεται αναστροφοσυζυγής του πίνακα A και συμβολίζεται A * j = A Για παράδειγμα, ο αναστροφοσυζυγής του πίνακα 6 A = 5 είναι A * + t = A = 6 5+ Πίνακα A με στοιχεία από το (σύνολο των πραγματικών ή σύνολο των μιγαδικών αριθμών) ονομάζουμε μια διάταξη των m στοιχείων (αριθμών) του συνόλου σε σχή a j Ορισμός Ένας πίνακας A M m ( ), που όλα τα στοιχεία του είναι θετικοί αριθμοί ονομάζεται θετικός (postve) πίνακας και συμβολίζεται A > 0 Αν ο πίνακας A έχει όλα τα στοιχεία του μεγαλύτερα ή ίσα του μηδενός ονομάζεται μη-αρνητικός (oegatve) πίνακας και συμβολίζεται A 0

4 Βασικές Έννοιες Πινάκων Για παράδειγμα, ο πίνακας 4 είναι θετικός, ενώ 0 0 είναι μη-αρνητικός 4 Ορισμός Έστω A= ( aj ) M m ( ) Η απόλυτη τιμή του πίνακα A συμβολίζεται A και ορίζεται ως ο m μη-αρνητικός πίνακας με A = ( a j ) Για παράδειγμα, ο πίνακας A= + 4 έχει απόλυτη τιμή A = 0 4 5 0 5 0 Σχόλια: Συνδυάζοντας τον Ορισμό με τον Ορισμό συμπεραίνουμε ότι η απόλυτη τιμή οποιουδήποτε πίνακα είναι ένας μη-αρνητικός πίνακας, δηλαδή για κάθε πίνακα A ισχύει A 0 Ορισμός 4 Εάν ένας m πίνακας έχει ίδιο αριθμό γραμμών και στηλών ( m= ), ο πίνακας αυτός ονομάζεται τετραγωνικός Το σύνολο όλων των πινάκων με στοιχεία από το συμβολίζεται με M ( ) 5 Για παράδειγμα, οι πίνακες, 8 4 είναι τετραγωνικοί Ένας τετραγωνικός πίνακας λέγεται διαγώνιος, αν για κάθε j ισχύει a = 0, δηλαδή αν κάθε στοιχείο, που δε βρίσκεται στη διαγώνιο, είναι ίσο με μηδέν Οι πίνακες αυτοί συμβολίζονται και ως A = dag( a, a,, a ) Ειδικότερα, ο διαγώνιος πίνακας που έχει όλα τα διαγώνια στοιχεία ίσα με ονομάζεται μοναδιαίος και συμβολίζεται I = dag(,,,) Ένας τετραγωνικός πίνακας λέγεται άνω τριγωνικός, αν για κάθε > j ισχύει a j = 0, δηλαδή αν τα στοιχεία που βρίσκονται κάτω από την κύρια διαγώνιο είναι μηδέν j

Παραγοντοποίηση Πίνακα 5 Αντίθετα ένας τετραγωνικός πίνακας λέγεται κάτω τριγωνικός, αν για κάθε < j ισχύει a j = 0, δηλαδή αν τα στοιχεία που βρίσκονται πάνω από την κύρια διαγώνιο είναι μηδέν Ορισμός 5 Ένας πίνακας A= ( a ) M ( ) λέγεται συμμετρικός, αν για κάθε, j ισχύει j a j = a Ισοδύναμα, j ένας πίνακας A είναι συμμετρικός αν και μόνο αν ισχύει A = A Για παράδειγμα, A = 0 είναι συμμετρικός Ένας πίνακας A= ( a ) M ( ) λέγεται Ερμιτιανός, αν για κάθε, j, ισχύει j a j = a Ισοδύναμα ένας πίνακας λέγεται Ερμιτιανός αν και μόνο αν j A * = A Για παράδειγμα, ο πίνακας 4 4 + 4 7 είναι Ερμιτιανός Ορισμός 6 Έστω A M ( ) Ερμιτιανός πίνακας Αν για κάθε μη μηδενικό x ισχύει * x Ax > 0, τότε ο πίνακας A ονομάζεται θετικά ορισμένος πίνακας (postve defte matrx), ενώ όταν ισχύει * x Ax 0 ονομάζεται θετικά ημιορισμένος πίνακας (postve semdefte matrx) ή μη-αρνητικά ορισμένος πίνακας (oegatve defte matrx) 5 Για παράδειγμα, ο πίνακας 5 4 είναι θετικά ορισμένος, ενώ ο πίνακας 4 0 4 6 6 6 είναι θετικά ημιορισμένος ή μη-αρνητικά ορισμένος 6

6 Βασικές Έννοιες Πινάκων Ορισμός 7 Αν για έναν πίνακα A M ( ) ισχύει * * A A = AA = I, ο πίνακας ονομάζεται ορθομοναδιαίος, ενώ αν A M ( ) και ισχύει ο πίνακας ονομάζεται ορθογώνιος A A AA I = =, Ορισμός 8 Έστω A= ( a ) M ( ) με 0 Αν το άθροισμα κάθε γραμμής είναι ίσο με, ο j a j πίνακας ονομάζεται στοχαστικός κατά γραμμή (row stochastc) ή δεξιά στοχαστικός (rght stochastc) Αν το άθροισμα κάθε στήλης είναι ίσο με, ο πίνακας ονομάζεται στοχαστικός κατά στήλη (colum stochastc) ή αριστερά στοχαστικός (left stochastc) Τέλος, αν το άθροισμα κάθε γραμμής, αλλά και το άθροισμα κάθε στήλης είναι ίσα με, ο πίνακας ονομάζεται διπλά στοχαστικός (double stochastc) 04 0 04 Για παράδειγμα, ο A = 0 07 0 είναι κατά γραμμή στοχαστικός, ο πίνακας 05 05 05 A είναι στοχαστικός κατά στήλη, ενώ 0 0 05 B = 05 0 0 0 05 0 είναι διπλά στοχαστικός Ορισμός 9 Ένας τετραγωνικός πίνακας P M ( ) λέγεται πίνακας μετάθεσης (permutato matrx), αν τα στοιχεία του είναι 0 ή, έτσι ώστε σε κάθε γραμμή και στήλη να υπάρχει ένα μόνο 0 0 Για παράδειγμα, ο πίνακας P = 0 0 0 0 P, 0 0 = 0 0 0 0

Παραγοντοποίηση Πίνακα 7 Ορισμός 0 Έστω πίνακας A M ( ) Αν υπάρχει πίνακας μετάθεσης P M ( ) για τον οποίο ισχύει A A P AP = 0 A4 όπου A M r ( ), r, A4 ( ), τότε ο πίνακας A ονομάζεται M r αναγώγιμος (reducble) Σε διαφορετική περίπτωση ο πίνακας A ονομάζεται μη-αναγώγιμος (rreducble), δηλαδή, υπάρχει πίνακας μετάθεσης P M ( ) έτσι ώστε A A P AP =, με A 0, για κάθε =,,,4 A A4 Σχόλια: Σύμφωνα με τον Ορισμό 0, ένας μη-αναγώγιμος πίνακας δε συμπεριλαμβάνει μηδενικές γραμμές ή στήλες, γιατί αν περιείχε τουλάχιστον μία τέτοια γραμμή (στήλη), τότε θα ήταν αναγώγιμος, μια και θα υπήρχε κατάλληλος πίνακας μετάθεσης P, ώστε να εναλλάξει τη μηδενική γραμμή και να τη «μεταφέρει» στο «κάτω» μέρος του πίνακα, άρα ο σύνθετος πίνακας ως block πίνακα-γραμμή το μηδενικό, δηλαδή A = 0 P AP θα είχε Επίσης ο έλεγχος της αναγωγιμότητας ή μη ενός τετραγωνικού πίνακα δεν είναι επίπονος, καθώς δεν απαιτεί τον εντοπισμό κάποιου πίνακα μετάθεσης P, που να επαληθεύει τον παραπάνω ορισμό Στο βιβλίο των RHor και C Johso [βλέπε, heorem 6] αποδεικνύεται μία χρήσιμη πρόταση, στην οποία παρουσιάζεται ικανή και αναγκαία συνθήκη για τον παραπάνω χαρακτηρισμό Συγκεκριμένα, αποδεικνύεται Πρόταση Ο πίνακας A M ( ) είναι μη-αναγώγιμος (rreducble), αν και μόνο αν ισχύει ( I A) 0 + > RA Hor ad CR Johso, Matrx aalyss, Cambrdge Uversty Press, 005

8 Βασικές Έννοιες Πινάκων Διάταξη πινάκων Έστω A= ( aj ) M m ( ), B= ( bj ) M m ( ) πίνακες ιδίου τύπου Οι πίνακες λέμε ότι είναι ίσοι και σημειώνουμε A= B αν ισχύει για κάθε =,,, m, j =,,, a j = b, j Ορισμός Έστω A= ( aj ) M m ( ), B= ( bj ) M m ( ) Οι πίνακες λέμε ότι έχουν διάταξη και σημειώνουμε ) A> B, αν A B είναι θετικός πίνακας, δηλαδή αν ισχύει a j b > 0, για κάθε =,,, m, j =,,, j ) A B, αν A B είναι μη-αρνητικός πίνακας, δηλαδή αν ισχύει a j b 0, για κάθε =,,, m, j =,,, j Σχόλια: ) Ανάλογα ισχύουν για τη διάταξη A< B και A B ) Στις παραπάνω σχέσεις του Ορισμού, αν B είναι ο μηδενικός πίνακας, τότε από την () προκύπτει A > 0, άρα A είναι θετικός πίνακας και από τη () έχουμε A 0, δηλαδή A είναι μη-αρνητικός, (βλέπε, Ορισμός ) Παράδειγμα Έστω οι πίνακες A =, 4 5 B =, 0 Είναι φανερό από το τον Ορισμό ότι, Επίσης ισχύουν: > 0 A > 0 και 4 5 A B = = > 0 4 5 0 5 5 C = 5 6 και 0 B 0 0 0 D = 0, άρα A B> 0 A> B, (Ορισμός -())

Παραγοντοποίηση Πίνακα 9 A 0 0 C = = 0, άρα A C 0 A C, (Ορισμός -()) 4 5 4 0 Προφανώς αν πάρουμε τον αντίθετο πίνακα του A C θα προκύψει η αντίστροφη διάταξη, δηλαδή: 5 C A= = < 0, άρα C A< 0 C < A, (Σχόλια () 5 6 4 5 Ορισμoύ ) 0 D B= = 0 0 0 5 0 Ορισμoύ ), άρα D B 0 D B, (Σχόλια ()

0 Βασικές Έννοιες Πινάκων Πράξεις πινάκων Όπως και στους αριθμούς, έτσι και στους πίνακες υπάρχουν κάποιες βασικές πράξεις που μπορούν να εφαρμοστούν Αυτές οι πράξεις είναι το άθροισμα πινάκων, ο πολλαπλασιασμός πίνακα επί αριθμό και ο πολλαπλασιασμός πινάκων Ορισμός Έστω A= ( aj ) M m ( ), B= ( bj ) M m ( ) Ως άθροισμα A+ B των πινάκων A και B ορίζεται ο πίνακας A+ B= ( ) M ( ), γ j m ο οποίος είναι επίσης του ιδίου τύπου με τους αρχικούς πίνακες και έχει ως στοιχεία τα αθροίσματα των ομολόγων στοιχείων των A και B, δηλαδή A+ B= ( γ ) = ( a + b ) j j j Ορισμός Έστω A= ( aj ) M m ( ) και k Το γινόμενο ka του k επί τον A είναι πίνακας ιδίου τύπου με τον αρχικό πίνακα A, του οποίου τα στοιχεία προκύπτουν από τα αντίστοιχα του A με πολλαπλασιασμό τους επί k Δηλαδή, προκύπτει ο πίνακας ka = ( ka j ) Ο πολλαπλασιασμός αυτός ονομάζεται βαθμωτός πολλαπλασιασμός ή πολλαπλασιασμός πίνακα επί αριθμό Σχόλια: Ειδικά όταν k =, ο πίνακας ( ) A συμβολίζεται A και ονομάζεται αντίθετος του A Ως διαφορά δύο πινάκων θεωρείται ο πίνακας A B και είναι αποτέλεσμα των πράξεων A+ ( ) B Ορισμός 4 Έστω A= ( aj ) M f m( ) και B= ( bst ) M m ( ) Τότε το γινόμενο, AB, των πινάκων A και B, είναι ο πίνακας όπου στη θέση (,t) υπάρχει το στοιχείο AB = ( ) M ( ), γ t f m ab k kt = ab t + ab t + + ambmt k =

Παραγοντοποίηση Πίνακα Σχόλια : ) Να σημειωθεί ότι το γινόμενο ορίζεται μόνο όταν ο αριθμός των στηλών του πίνακα A είναι ίσος με τον αριθμό των γραμμών του B και ότι το μέγεθος του AB είναι f Έτσι για παράδειγμα, αν A είναι και B είναι, το γινόμενο AB ορίζεται και ο πίνακας AB είναι τύπου, ενώ το γινόμενο BA δεν ορίζεται ) Επίσης, για δύο τετραγωνικούς πίνακες AB, M ( ), για τους οποίους ορίζονται τα γινόμενα AB και BA, δεν ισχύει πάντα AB = BA Για παράδειγμα, έστω οι πίνακες A = και Επειδή, 0 7 AB = = είναι προφανές ότι AB BA και B 0 = 0 BA = =, 5 Στην περίπτωση που ισχύει AB = BA οι πίνακες AB, M ( ) ονομάζονται αντιμεταθετικοί ) Για έναν πίνακα A M ( ) ορίζεται η k δύναμη του A ως k A = A A A k φορές, k και 0 A = I Ορισμός 5 Για έναν πίνακα A M ( ), αν υπάρχει ένας άλλος πίνακας B M ( ), για τους οποίους ισχύουν οι ισότητες AB = BA = I, τότε ο πίνακας A ονομάζεται αντιστρέψιμος, ο δε B αντίστροφος του A και συμβολίζεται με A

Βασικές Έννοιες Πινάκων 4 Ιδιότητες άλγεβρας πινάκων Από τις πράξεις των πινάκων προέκυψαν κάποιες πολύ σημαντικές ιδιότητες που είναι αρκετά χρήσιμες στη μελέτη προβλημάτων που σχετίζονται με πίνακες Από τους ορισμούς της πρόσθεσης και του βαθμωτού πολλαπλασιασμού πινάκων (Ορισμός και 4), προκύπτουν οι ακόλουθες ιδιότητες, όταν AB,, Γ M m ( ) και k, k ) A+ B= B+ A ) ( A+ B) +Γ= A+ ( B+Γ ) ) A+ 0 m = A 4) A A = 0 m 5) ( + ) = + k A B ka kb 6) ( + ) = + k k A ka ka 7) = ( kk ) A k( k A) 8) A= A και 0A = 0 m Αν συνυπολογίσουμε και τον ορισμό του ανάστροφου και του αναστροφοσυζυγούς πίνακα (Ορισμός ) καταλήγουμε στις παρακάτω ιδιότητες: ) Για κάθε πίνακα A M ( ), έχουμε A= ( A ) και m A * * = ( A ) ) Έστω A M ( ) Τότε ( A+ B) = A + B και m ( A B) A B * * * + = + ) Έστω AB, M ( ) και k Τότε ( ka) = ka και m ( ka) = ka * * 4) Έστω A M f m( ), B M ( ) Τότε ( AB) = B A και m ( AB) = B A * * * 5) Για κάθε τετραγωνικό πίνακα A M ( ), ο πίνακας A + A είναι συμμετρικός Από την πρόσθεση πινάκων, το βαθμωτό πολλαπλασιασμό (πολλαπλασιασμό πίνακα επί αριθμό) και το γινόμενο πινάκων (Ορισμοί,, 4, αντίστοιχα) προκύπτουν οι εξής ιδιότητες:

Παραγοντοποίηση Πίνακα ) Έστω A M k l( ), B M l m( ), Γ M m ( ) Τότε ( AB) Γ= A( BΓ ) (προσεταιριστική ιδιότητα) ) Έστω A M ( ), B, Γ ( ) Τότε A( B +Γ ) = AB + AΓ l m M m (αριστερά επιμεριστική ιδιότητα) ) Έστω A, B M l m( ), Γ m ( ) Τότε ( A+ B) Γ= AΓ+ BΓ (δεξιά επιμεριστική ιδιότητα) M 4) Έστω k, A M l m( ), B M m ( ) Τότε k( AB) = ( ka) B = A( kb) 5) Έστω AB, M ( ) είναι άνω (κάτω) τριγωνικοί πίνακες Το γινόμενο AB M ( ) είναι άνω (κάτω) τριγωνικός πίνακας Αν AB, M ( ) είναι διαγώνιοι, τότε AB M ( ) είναι διαγώνιος πίνακας Χρησιμοποιώντας τους Ορισμούς και, όπου ορίστηκαν ο μη-αρνητικός και η απόλυτη τιμή πίνακα καθώς και τους Ορισμούς και 4, τις ιδιότητες των πραγματικών, μιγαδικών αριθμών και τον Ορισμό της διάταξης πινάκων, μπορούν εύκολα να αποδειχθούν οι ιδιότητες που αναφέρονται στην επόμενη πρόταση Πρόταση Έστω οι μη-αρνητικοί πίνακες ABCD,,, M m ( ) Τότε ισχύουν τα ακόλουθα: ) A 0 για κάθε A Ισχύει A = 0 αν και μόνο αν A = 0 ) aa = a A, για κάθε a ) A+ B A + B, (τριγωνική ανισότητα) v) Αν A 0, B 0 και ab, 0, τότε aa + bb 0 v) Αν A B και C D, τότε A+ C B+ D v) Αν A B και B C, τότε A C Χρησιμοποιώντας τους Ορισμούς, και 5, όπου ορίστηκαν η απόλυτη τιμή πίνακα, η διάταξη και το γινόμενο πινάκων, μπορούν εύκολα να αποδειχθούν οι ιδιότητες που αναφέρονται στην επόμενη πρόταση και σχετίζονται με ιδιότητες μη-αρνητικών πινάκων

4 Βασικές Έννοιες Πινάκων Πρόταση Έστω οι πίνακες ABCD,,, M ( ) και τα διανύσματα xy, Τότε ισχύουν τα ακόλουθα: ) Ax A x ) AB A B ) k A k A, για κάθε k v) Αν 0 A B και 0 C D, τότε 0 AC BD k k v) Αν 0 A B, τότε 0 A B, για κάθε k k k v) Αν A 0, τότε A 0 Ιδιαίτερα, αν A > 0, τότε A > 0, για κάθε k v) Αν A > 0, x 0 με x 0, τότε Ax > 0 v) Αν A 0, x > 0 και Ax = 0, τότε A = 0

Παραγοντοποίηση Πίνακα 5 Χαρακτηριστικά μεγέθη ενός τετραγωνικού πίνακα Ορίζουσες Ορισμός 6 Ορίζουσα (determe) ενός τετραγωνικού πίνακα A M ( ) είναι μια απεικόνιση για την οποία ισχύει det : M ( ) : A det A + j det A= ( ) a det( A ), = για κάθε j =,,,, όπου A j είναι ο ( ) ( ) πίνακας, ο οποίος προκύπτει από τον πίνακα A, αν διαγράψουμε τα στοιχεία της -γραμμής και της j -στήλης Η ορίζουσα του A M ( ) συμβολίζεται με A, ειδικά όταν ξέρουμε τα j j στοιχεία του πίνακα A, γράφουμε A = a a a a, det( A ) ή det A Το κριτήριο που μας υποδεικνύει ποια είναι η κατάλληλη στήλη για την ανάπτυξη, είναι η επιλογή της στήλης για την οποία έχουμε λιγότερες ελάσσονες ορίζουσες για υπολογισμό Έτσι, η στήλη που θα επιλέξουμε θα είναι αυτή που έχει τα περισσότερα μηδενικά στοιχεία, εφόσον υπάρχουν Παράδειγμα Έστω ο πίνακας A = 0 4 Ο υπολογισμός της ορίζουσάς του, det 0, θα είναι συντομότερος, αν γίνει 4 ανάπτυξη ως προς την τρίτη στήλη Πράγματι, Εντολή στη Matlab: da=det(a) παρουσιάζει την ορίζουσα του πίνακα Α

6 Βασικές Έννοιες Πινάκων + + + det 0 = ( ) ( ) + ( ) 0 + ( ) ( ) 4 4 4 = ( 4 ) + 0 + ( )[( ) ] = Οι σημαντικότερες ιδιότητες των οριζουσών είναι οι ακόλουθες: ) Για κάθε πίνακα A M ( ) οι ιδιότητες που αναφέρονται στις γραμμές της ορίζουσάς του, ισχύουν και για της στήλες του πίνακα ) Ένας πίνακας A M ( ) είναι αντιστρέψιμος αν και μόνο αν det A 0 αν και μόνο αν rak( A) =, όπου rak( A ) σημειώνει το βαθμό του πίνακα A ) Αν ένας πίνακας A M ( ) έχει μηδενική γραμμή, τότε det A = 0 4) Αν ένας πίνακας A M ( ) έχει δύο γραμμές ανάλογες, τότε det A = 0 5) Για κάθε άνω (κάτω) τριγωνικό πίνακα A M ( ) ισχύει det A= aa a, όπου a, =,,, είναι τα διαγώνια στοιχεία του πίνακα 6) Η ορίζουσα διαγώνιου πίνακα ισούται με το γινόμενο των διαγώνιων στοιχείων του Η ορίζουσα του μοναδιαίου πίνακα ισούται με 7) Για κάθε πίνακα A M ( ) ισχύει det( A ) = det A, det( A) = det A και det( A ) = det A 8) Αν AB, M ( ), τότε det( AB) = det A det B k k 9) Για κάθε πίνακα A M ( ) ισχύει det( A ) = (det A) 0) Για έναν πίνακα A M ( ) και λ ισχύει det( λa) = λ (det A)

Παραγοντοποίηση Πίνακα 7 Χαρακτηριστικά ποσά Ορισμός 7 Έστω ο τετραγωνικός πίνακας A M ( ) και ένα διάνυσμα x M ( ) τέτοιο ώστε να ισχύει Ax = λ x, με x 0 () για κάποιο λ Η τιμή του λ ονομάζεται ιδιοτιμή (egevalue) 4 του πίνακα A και το x ονομάζεται ιδιοδιάνυσμα (egevector) του A, αντίστοιχο της ιδιοτιμής λ Το σύνολο των ιδιοτιμών του πίνακα A συμβολίζεται σ ( A) και ονομάζεται φάσμα (spectrum) του πίνακα Από όλες τις ιδιοτιμές του πίνακα, αυτή που έχει τη μεγαλύτερη απόλυτη τιμή ονομάζεται φασματική ακτίνα (spectral radus) και συμβολίζεται με ρ ( A), δηλαδή ρ( A) = max{ λ : λ σ( A)} () Οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα ονομάζονται χαρακτηριστικά ποσά ή ιδιοποσά του πίνακα A Η ισότητα () γράφεται ισοδύναμα Ax λx = 0 ( A λi) x = 0 Αν γνωρίζουμε την ιδιοτιμή λ είναι εύκολο να υπολογίσουμε το αντίστοιχο μη μηδενικό ιδιοδιάνυσμα λύνοντας το γραμμικό σύστημα, που προκύπτει από την εξίσωση ( A λi) x = 0, για x 0 Παράδειγμα 0 Έστω ο πίνακας A = 0 και έστω ότι θέλουμε να βρούμε τις ιδιοτιμές λ καθώς και τα ιδιοδιανύσματα x x = x για κάθε ιδιοτιμή λ Από την () έχουμε 4 Εντολή στη Matlab: ea=eg(a) παρουσιάζει σε έναν πίνακα στήλη τις ιδιοτιμές του πίνακα Α [xα, eα]=eg(a) παρουσιάζει στον πίνακα xa τα ιδιοδανύσματα του Α και στο διαγώνιο πίνακα ea τις ιδιοτιμές του Α ως τα διαγώνια στοιχεία του

8 Βασικές Έννοιες Πινάκων 0 λ λ x λx+ x = 0 x = 0 = 0 0 λ λx x λx = 0 Επειδή η ορίζουσα του πίνακα των συντελεστών του παραπάνω συστήματος είναι ο πίνακας λ λ = λ + λ det είναι αντιστρέψιμος για κάθε λ, (ιδιότητα οριζουσών (), λ παράγραφο ), οπότε το σύστημα έχει μόνο τη μηδενική λύση, άρα x x 0 0 = = x Σύμφωνα όμως με το () ως ιδιοδιανύσματα θεωρούνται τα μη μηδενικά διανύσματα Άρα ο πίνακας A δεν έχει ιδιοτιμές ή ιδιοδιανύσματα στο Στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών ( ) το παραπάνω σύστημα έχει λύση αν και μόνο αν λ = + = λ =± λ det λ 0 Συνεπώς ο πίνακας A έχει δύο ιδιοτιμές : λ = και λ = Για λ =, το παραπάνω σύστημα είναι x+ x = 0 x = x x x = 0 x, από όπου συμπεράνουμε ότι υπάρχουν αντίστοιχα μιγαδικά ιδιοδιανύσματα τα οποία είναι x x, x {0} = x Αντίστοιχα στην ιδιοτιμή λ = αντιστοιχούν τα ιδιοδιανύσματα x x, = x x {0} Από το παραπάνω παραδείγματα γίνεται φανερό ότι, για να υπολογίσουμε όλες τις ιδιοτιμές λ ενός τετραγωνικού πίνακα A, πρέπει να ισχύει η διανυσματική εξίσωση στην () η οποία οδηγεί σε ένα γραμμικό σύστημα, το οποίο έχει μη μηδενική λύση αν και μόνο αν det( A λi) = 0

Παραγοντοποίηση Πίνακα 9 και αναλυτικότερα a λ a a a a λ a = a a a λ det 0 () Δηλαδή, όλες οι ιδιοτιμές λ του πίνακα A πρέπει να ικανοποιούν την εξίσωση (), η οποία ονομάζεται χαρακτηριστική εξίσωση του τετραγωνικού πίνακα A Αναπτύσσοντας την ορίζουσα στο αριστερό μέρος της χαρακτηριστικής εξίσωσης () καταλήγουμε σε ένα πολυώνυμο -οστού βαθμού, το οποίο γράφεται χ ( λ) = ( ) det( A λi) = det( λi A) = λ + b λ + + bλ+ b, (4) A 0 και ονομάζεται χαρακτηριστικό πολυώνυμο 5 του A με συντελεστές bj, j = 0,,, Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο μπορεί να αναλυθεί πάντοτε σε πρωτοβάθμιους παράγοντες στο και να γραφεί στη μορφή v χ ( λ) = ( λ λ ) ( λ λ ) ( λ λ ) k, A v v όπου λ, λ,, λ k, είναι οι διακεκριμένες ρίζες του χa( λ ) στο και ν, ν,, ν k, η πολλαπλότητα κάθε ρίζας, η οποία ονομάζεται αλγεβρική πολλαπλότητα Είναι φανερό ότι, για έναν πίνακα A M ( ) ισχύει ν+ ν + + νk = Αν για κάποιο k ισχύει ν k =, η ιδιοτιμή χαρακτηρίζεται απλή, διαφορετικά ονομάζεται πολλαπλή Αντικαθιστώντας κάθε μια διακεκριμένη ιδιοτιμή, k λ = λ, στο σύστημα () παίρνουμε ως γενική λύση του ομογενούς συστήματος ένα σύνολο διανυσμάτων που το συμβολίζουμε με V ( λ ) Το σύνολο V( λ ) = { x M ( ) : ( A λi) x = 0} ονομάζεται ιδιόχωρος 6, που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή υποσύνολο του M ( ) λ και είναι ένας μη κενό 5 Εντολή στη Matlab: poly(a) παρουσιάζει τους συντελεστές του χαρακτηριστικού πολυωνύμου του πίνακα Α

0 Βασικές Έννοιες Πινάκων Τα μη μηδενικά στοιχεία του V ( λ ) είναι τα ιδιοδιανύσματα, τα οποία αντιστοιχούν στην ιδιοτιμή λ, και η διάσταση του υποχώρου V ( λ ) είναι dm V ( λ ) = rak( A λi) Ο αριθμός dm V ( λ ) ονομάζεται γεωμετρική πολλαπλότητα της ιδιοτιμής λ και φανερώνει το πλήθος των γραμμικά ανεξάρτητων ιδιοδιανυσμάτων, που αντιστοιχούν στην ιδιοτιμή λ Επίσης μια σημαντική ιδιότητα που αφορά την αλγεβρική και γεωμετρική πολλαπλότητα είναι ότι η γεωμετρική πολλαπλότητα είναι πάντα μεγαλύτερη ή ίση της μονάδας και ταυτόχρονα είναι μικρότερη ή ίση με την αλγεβρική πολλαπλότητα Δηλαδή, γεωμετρική πολλαπλότητα αλγεβρική πολλαπλότητα Για τα χαρακτηριστικά ποσά ενός τετραγωνικού πίνακα A M ( ) οι βασικότερες ιδιότητες διατυπώνονται στην επόμενη πρόταση Πρόταση 4 Έστω A M ( ) και λ, λ,, λ είναι οι ιδιοτιμές 7 του ) Οι ιδιοτιμές ενός άνω (κάτω) τριγωνικού πίνακα είναι τα διαγώνια στοιχεία του ) Οι ιδιοτιμές ενός διαγώνιου πίνακα είναι τα διαγώνια στοιχεία του ) ) det A= λ λ λ = ( ) b0, όπου b 0 είναι ο σταθερός όρος του χαρακτηριστικού πολυωνύμου στην (4) Ο πίνακας A M ( ) είναι αντιστρέψιμος αν και μόνο αν δεν έχει το μηδέν ως ιδιοτιμή, αν και μόνο αν ο σταθερός όρος του χαρακτηριστικού πολυωνύμου του A είναι διάφορος του μηδενός ) tra = λ+ λ + + λ, δηλαδή το άθροισμα όλων των ιδιοτιμών του A ισούται με το ίχνος του, σημειώνεται tra το άθροισμα όλων των διαγώνιων στοιχείων του A 6 Ο ιδιόχωρος είναι ο χώρος λύσεων του γραμμικού συστήματος ( A λ I) x = 0 για μία γνωστή τιμή λ 7 Οι ιδιοτιμές δεν είναι απαραίτητα διακεκριμένες, δηλαδή δεν είναι όλες διαφορετικές

Παραγοντοποίηση Πίνακα 4) Για κάθε A M ( ), ισχύει σ( A) = σ( A ) 5) Ο πίνακας I + A έχει ιδιοτιμές + λ, + λ,,+ λ 6) Έστω A M ( ) με A 0, τότε ρ( I + A) = + ρ( A), [βλέπε, Lemma 84] 8 7) Αν λ, x είναι χαρακτηριστικά ποσά του A M ( ), τότε για τα χαρακτηριστικά ποσά του πίνακα k A ισχύει A k k x = λ x, όπου k 8) Αν λ, x είναι τα χαρακτηριστικά ποσά ενός αντιστρέψιμου πίνακα A M ( ), τότε τα χαρακτηριστικά ποσά του πίνακα k A k είναι λ και x, όπου k 9) Οι ιδιοτιμές ενός A M ( ) συμμετρικού (Ερμιτιανού) πίνακα είναι πραγματικοί αριθμοί Τα ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν σε διακεκριμένες ιδιοτιμές είναι μεταξύ τους κάθετα 0) Αν A είναι θετικά ορισμένος 9, όλες οι ιδιοτιμές του είναι πραγματικοί θετικοί αριθμοί, ενώ αν είναι θετικά ημιορισμένος (μη-αρνητικά ορισμένος), τουλάχιστον μία ιδιοτιμή του είναι ίση με μηδέν και οι υπόλοιπες είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί ) (Θεώρημα Cayley-Hamlto): Ο πίνακας A M ( ) επαληθεύει το χαρακτηριστικό πολυώνυμο όπως στην (4), δηλαδή, χ ( A) = A + b A + + ba+ bi= A 0 ) Αν ο πίνακας A M ( ) είναι αντιστρέψιμος, τότε 0 ( ) A = A + b A + + bi, b όπου χ ( λ) = λ + b λ + + bλ+ b το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του A A 0 8 RA Hor ad CR Johso, Matrx aalyss, Cambrdge Uversty Press, 005 9 Βλέπε, στον Ορισμό 6

Βασικές Έννοιες Πινάκων Νόρμες Μέτρα (νόρμες) διανυσμάτων Ορισμός 8 Έστω V ένας διανυσματικός χώρος με στοιχεία στον Μία απεικόνιση : V V : ( uv, ) u v ονομάζεται εσωτερικό γινόμενο στο V, όταν, για κάθε uvw,, V και ab,, ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες: ) ( au+ bv) w = a( u w) + b( v w ) ) u v = v u ) u u 0 v) u u= 0 u = 0 V Αν ο διανυσματικός χώρος V, είναι εφοδιασμένος με ένα εσωτερικό γινόμενο, τότε ονομάζεται Ευκλείδειος διανυσματικός χώρος Χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες () και (v) του Ορισμού 8 μπορούμε να ορίσουμε ένα μέτρο για τα στοιχεία-διανύσματα ενός διανυσματικού χώρου V Θεωρώντας στη συνέχεια ότι ο διανυσματικός χώρος είναι (που είναι ισόμορφος με και ), ορίζουμε τη νόρμα του διανύσματος και δίνουμε τα σημαντικότερα μέτρα στον Ορισμός 9 Μέτρο (orm) ενός διανύσματος με τις εξής ιδιότητες: ) x 0 ) x = 0 x = 0 x είναι μια πραγματική απεικόνιση [ ) : 0, + ) λx = λ x, για κάθε λ v) x+ y x + y, για κάθε x, y, (τριγωνική ανισότητα)

Παραγοντοποίηση Πίνακα Για το διάνυσμα x = ( x, x,, x ), όπου x για κάθε =,,, αποδεικνύεται εύκολα ότι η έκφραση x p = p = x p ικανοποιεί όλες τις παραπάνω ιδιότητες του Ορισμού 9, οπότε ορίζει ένα μέτρο στον χώρο Υπάρχει ένας μεγάλος αριθμός πιθανών μέτρων για το x Τα πιο συχνά χρησιμοποιούμενα μέτρα των διανυσμάτων είναι 0 : x = max{ x } (orm άπειρο) (0) = x = x (orm ένα) () * x = x = xx (orm ή Ευκλείδειο μέτρο) () = Παράδειγμα 4 Έστω το διάνυσμα-γραμμή x ( ) = Σύμφωνα με (0)-() τα αντίστοιχα μέτρα x x, και x είναι: x = max{,,, } = max{,,, } = x = + + + = 7 x = + + + = + 4 + + 9 = 5 = 870 0 Εντολές στη Matlab για τις αντίστοιχες orm είναι: Για τη x, orm(x,f) Για τη Για τη x, orm(x,), orm(x,) ή orm(x) x

4 Βασικές Έννοιες Πινάκων Ορισμός 0 Ένα σύνολο διανυσμάτων S = { v, v,, v } ενός διανυσματικού χώρου V με εσωτερικό γινόμενο ονομάζεται ορθοκανονικό, αν ισχύουν : ) v = για κάθε v S, με =,,,, ) v v 0 για κάθε j j = Στη συνέχεια παρουσιάζεται η μέθοδος κατασκευής ορθοκανονικοποίησης των γραμμικά ανεξάρτητων διανυσμάτων ενός διανυσματικού χώρου, και είναι γνωστή ως «μέθοδος ορθοκανονικοποίησης των Gram-Schmdt» Αλγόριθμος : Μέθοδος ορθοκανονικοποίησης των Gram - Schmdt Έστω { v, v,, v k } ένα σύνολο γραμμικά ανεξάρτητων διανυσμάτων ενός διανυσματικού χώρου V, ο οποίος είναι εφοδιασμένος με εσωτερικό γινόμενο και με μία αντίστοιχη orm Βήμα Θέτουμε u = v v u u = v u u v u v u u = v u u u u u = v v u v u u u k k k k k k u uk Βήμα Ορίζουμε w = u, w = u,, wk = uk u u u k Τα διανύσματα w, w,, w k είναι μεταξύ τους κάθετα και έχουν μέτρο ίσο με, άρα είναι ορθοκανονικά Παράδειγμα 5 Θεωρούμε τα διανύσματα v = (, 0,), v = (, 0, ), v = (0,, 4) του και το Ευκλείδειο (σύνηθες) εσωτερικό γινόμενο Αν τοποθετήσουμε τα διανύσματα ως

Παραγοντοποίηση Πίνακα 5 0 γραμμές (ή ως στήλες) σε έναν πίνακα A = 0 θα διαπιστώσουμε ότι 0 4 det A = 6 0, συνεπώς τα διανύσματα είναι γραμμικά ανεξάρτητα Σύμφωνα με τον Αλγόριθμο και χρησιμοποιώντας το Ευκλείδειο μέτρο από την () έχουμε: u = v = (, 0,) v u u = v u = v = (, 0, ) u v u v u 4 4 u = v u u = (0,, 4) (, 0,) (, 0, ) = (0,, 0) u u Τα μέτρα των διανυσμάτων u, u, u είναι, αντίστοιχα,,, Διαιρώντας τα u, u, u με τα αντίστοιχα μέτρα, βρίσκουμε ένα σύνολο ορθοκανονικών διανυσμάτων { w, w, w} = (, 0,), (, 0, ), (0,, 0) Περισσότερα παραδείγματα με τη μέθοδο ορθοκανονικοποίησης των Gram-Schmdt παρουσιάζονται στο Κεφάλαιο 8, (βλέπε, αρχείο Chapter8), όπου απαιτείται η εύρεση ενός ορθογωνίου (ή ορθομοναδιαίου) πίνακα κατά την τριγωνοποίηση του πίνακα Α ή τη διαγωνοποίηση συμμετρικών (Ερμιτιανών) πινάκων

6 Βασικές Έννοιες Πινάκων Νόρμες πινάκων Ορισμός Νόρμα ενός τετραγωνικού πίνακα A M ( ) είναι μια πραγματική απεικόνιση με τις εξής ιδιότητες: ) A 0 ) A = 0 A= 0 ) λa = λ A, για κάθε λ [ ) : ( ) 0, + M v) A+ B A + B, για κάθε AB, M ( ) v) AB A B, για κάθε AB, M ( ) Έστω A M ( ) Κάθε μία από τις νόρμες διανυσμάτων (0), () και () παράγει μια αντίστοιχη νόρμα για τον πίνακα A, που είναι : όπου A max{ a } = ή A Γ (νόρμα γραμμής) () j j= A max{ a } = j j = ή A Σ (νόρμα στήλης) (4) j * (Frobeus νόρμα) (5) = j= A = a = tr( A A) F * tr( A A ) σημειώνει το ίχνος του συμμετρικού πίνακα * AA Επίσης ορίζεται η φασματική νόρμα ή νόρμα- του πίνακα A, η οποία είναι A = ρ( AA ), (6) Εντολές στη Matlab για τις αντίστοιχες orm πίνακα είναι: Για τη A, orm(α,f) Για τη Για τη Για τη A, orm(α,), orm(a,'fro') A A F, orm(a,) ή orm(a)

Παραγοντοποίηση Πίνακα 7 όπου ρ ( AA) είναι η φασματική ακτίνα του συμμετρικού πίνακα AA (βλέπε τον ορισμό της φασματικής ακτίνας στην ()) Η φασματική νόρμα δεν προκύπτει από κάποια νόρμα διανύσματος Παράδειγμα 6 Έστω ο πίνακας A = 0 0, για τον οποίο θέλουμε να υπολογίσουμε τις παραγόμενες νόρμες A, A και A E Σύμφωνα με τον τύπο (), ο υπολογισμός της A γίνεται ως εξής: A = max{ a } = max{ c} = max{ c, c, c } j j= { a a a a a a a a a } { } { } = max + +, + +, + + = max + +, 0 + + 0, + + = max 4,, 4 = 4 όπου c = a, με =,, j= j Σύμφωνα με τον τύπο (4), ο υπολογισμός της A γίνεται ως εξής: A = max{ a } = max{ b } = max{ b, b, b } = j j j j = { a a a a a a a a a } { } { } = max + +, + +, + + = = max + 0 +, + +, + 0 + = max,5, = 5 όπου b j = a, με j =,, = j Για τον υπολογισμό του A F χρησιμοποιώντας τον τύπο (5) έχουμε: A F = + + + 0 + + 0 + + + = 6 = 4 Τέλος για τον υπολογισμό της A χρησιμοποιήσουμε τη μεγαλύτερη ιδιοτιμή του πίνακα Από τον ανάστροφο πίνακα A 0 = προκύπτει 0, σύμφωνα με τον (6) θα AA

8 Βασικές Έννοιες Πινάκων 0 AA= 0 0 = 9 4 0 4 5 Το σύνολο των ιδιοτιμών του πίνακα Επομένως ισχύει AA είναι σ( AA) = { λ = 007, λ = 86, λ = 006} ρ( AA) = max{ λ, λ, λ } = max{007, 86, 006} = 006 Άρα σύμφωνα με τον τύπο (6) έχουμε: A = ρ( AA) = 006 = 6098 Ιδιότητες νορμών Κλείνουμε την ενότητα δίνοντας στη συνέχεα τις σημαντικότερες ιδιότητες για τη νόρμα πίνακα Για κάθε πίνακα AB, M ( ) ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες: ) A = max { y Ax} x = y = A = A = A ) ) A AA = 4) Αν UV, δύο ορθομοναδιαίοι πίνακες, τότε A = U AV 5) A A A k 6) ρ( A) = k lm A k 7) ρ( A) A, για κάθε νόρμα πίνακα 8) ρ ( A) = A, αν ο A είναι συμμετρικός 9) Αν A B, τότε A B 0) A = A ) Έστω A M ( ) στοχαστικός πίνακας με aj 0 Τότε ρ ( A) = Βλέπε, στον Ορισμό 8

Παραγοντοποίηση Πίνακα 9 4 Παραγοντοποίηση τετραγωνικού πίνακα 4 Τα σημαντικότερα θεωρήματα παραγοντοποίησης Έστω A M ( ) με ιδιοτιμές λ, λ,, λ και αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα x, x,, x Τα σημαντικότερα θεωρήματα, που αναδεικνύουν τη χρησιμότητα των χαρακτηριστικών μεγεθών στη μελέτη των προβλημάτων διατυπώνονται στη συνέχεια Τα θεωρήματα αφορούν την παραγοντοποίηση οποιουδήποτε τετραγωνικού πίνακα με παράγοντα έναν πίνακα : σε «τριγωνική μορφή» (θεώρημα Schur), σε «διαγώνια μορφή» (θεώρημα διαγωνοποίησης) ή «σχεδόν διαγώνια μορφή» (θεώρημα κανονικής μορφής Jorda), και την παραγοντοποίηση των συμμετρικών (Ερμιτιανών) πινάκων σε «διαγώνια μορφή» (φασματικό θεώρημα) Θεώρημα (Schur) Για κάθε τετραγωνικό πίνακα A M ( ) υπάρχει ορθομοναδιαίος πίνακας U M ( ) και άνω τριγωνικός πίνακας M ( ) με διαγώνια στοιχεία τις ιδιοτιμές του πίνακα A έτσι ώστε να ισχύει η ισότητα: λ * * * λ * * = = λ A UU U U (7) Ορισμός Ένας πίνακας ( ) A M αντιστρέψιμος πίνακας ( ) διαγώνιος, δηλαδή, ονομάζεται διαγωνοποιήσιμος στο αν υπάρχει P M τέτοιος ώστε ο πίνακας = P AP, P AP να είναι Βλέπε, Ορισμό 7

0 Βασικές Έννοιες Πινάκων όπου ( ) ένας διαγώνιος πίνακας Ο πίνακας P M ( ) ονομάζεται M πίνακας ομοιότητας Αν ισχύει ο Ορισμός, τότε λέμε ότι εφαρμόζεται μια διαγωνοποίηση στον A και γράφουμε A= P P Θεώρημα (θεώρημα διαγωνοποίησης πίνακα) Ένας πίνακας ( ) διαγωνοποιήσιμος 4, A M με γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα είναι A= P P, (8) όπου ένας διαγώνιος πίνακας με διαγώνια στοιχεία τις ιδιοτιμές του A, δηλαδή, λ λ = λ και P ο τετραγωνικός πίνακας με στήλες τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα του A, δηλαδή, ( ) P= x x x Η απόδειξη 5 του θεωρήματος στηρίζεται στην κατασκευή ενός πίνακα P με στήλες τα ιδιοδιανύσματα του A και ενός διαγώνιου πίνακα ( λ ) = dag λ, λ,, με στοιχεία τις αντίστοιχες ιδιοτιμές (εδώ λαμβάνεται υπόψη η αλγεβρική πολλαπλότητα) Αυτή είναι και η βασική ιδέα του επόμενου αλγορίθμου τον οποίο εφαρμόζουμε όταν χρειάζεται να υπολογίσουμε μια διαγωνοποίηση του πίνακα A M ( ) 4 Βλέπε, στον Ορισμό 5 Γ Δονάτος και Μ Αδάμ, Γραμμική Άλγεβρα Θεωρία και εφαρμογές Εκδόσεις Guteberg, Αθήνα, 008

Παραγοντοποίηση Πίνακα Αλγόριθμος : Διαγωνοποίησης του A M ( ) Υπολογίζουμε το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του A, οπότε οι ρίζες του είναι οι ιδιοτιμές του πίνακα A Για κάθε ιδιοτιμή λ, υπολογίζουμε μία βάση του αντίστοιχου ιδιοχώρου, λύνοντας το σύστημα ( A λ I) x =0 Θεωρούμε το σύνολο { } x, x,, x r, το οποίο συγκεντρώνει όλα τα στοιχεία των βάσεων που υπολογίστηκαν στο βήμα Αν r, τότε ο A δε διαγωνοποιείται Αν r =, τότε ο A διαγωνοποιείται Ορίζοντας P να είναι ο πίνακας με στήλες τα ιδιοδιανύσματα x, x,, λ x, έχουμε = = Ρ ΑΡ λ, λ όπου λ είναι η ιδιοτιμή με αντίστοιχο ιδιοδιάνυσμα το x, Παράδειγμα 7 Ο πίνακας A 0 = 5 είναι διαγωνοποιήσιμος Υπολογίζουμε το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του πίνακα A λ χa ( λ) = det ( λi A) = det = λ 5λ+ 6, λ 5 από όπου προκύπτουν οι ιδιοτιμές λ = και λ = Για κάθε μία από τις ιδιοτιμές προσδιορίζουμε τον αντίστοιχο ιδιόχωρο, λύνοντας το σύστημα ( A λ I) x =0, =, Για την ιδιοτιμή λ =, έχουμε το σύστημα

Βασικές Έννοιες Πινάκων x 0 ( A I) x = 0 = x, 0 από το οποίο προκύπτει x+ x = 0 x = x x x x = = = x x x 0 x x x, x {0} + = Οι μη μηδενικές λύσεις του ιδιοχώρου V ( ) είναι ιδιοδιάνυσμα της λ =, για x = επιλέγουμε ιδιοδιάνυσμα το x ( ) Για λ =, έχουμε από όπου προκύπτει ( A I) = x 0 0, 0 x = = x x x+ x = 0 x = x x x x = = =, x {0} x+ x = 0 x x x Για την ιδιοτιμή λ = και για x =, επιλέγουμε αντίστοιχο ιδιοδιάνυσμα το ( ) x = Ο P κατασκευάζεται με στήλες τα παραπάνω ιδιοδιανύσματα, οπότε θέτοντας P ( x x ) = = υπολογίζουμε det P = 0 6 και P = Άρα, επαληθεύονται οι προϋποθέσεις του Θεωρήματος, συνεπώς ο A είναι διαγωνοποιήσιμος, με τη διαγώνια μορφή Κάνοντας πράξεις εύκολα επαληθεύουμε την ισότητα A= P P, όπως στην (8) 0 P AP = = 0 Για περισσότερα παραδείγματα εφαρμογής του Αλγορίθμου παραπέμπουμε στα παραδείγματα του Κεφαλαίου 8, (βλέπε, αρχείο Chapter8) 6 Η ορίζουσα του πίνακα P ότι είναι διάφορη του μηδενός σημαίνει ότι τα διανύσματαστήλες του πίνακα είναι γραμμικά ανεξάρτητα

Παραγοντοποίηση Πίνακα Σχόλια: ) Στο προηγούμενο παράδειγμα, οι ιδιοτιμές του πίνακα A ήταν διακεκριμένες, όσες και το μέγεθός του και αποδείξαμε ότι ο πίνακας διαγωνοποιήθηκε Αυτό δεν είναι τυχαίο, συμβαίνει πάντα στην περίπτωση των διακεκριμένων ιδιοτιμών, διότι ο πίνακας P, που κατασκευάζεται με στήλες τα ιδιοδιανύσματα, είναι πάντοτε αντιστρέψιμος μια και έχει στήλες γραμμικά ανεξάρτητα διανύσματα Επομένως στην ειδική περίπτωση όπου όλες οι ιδιοτιμές του πίνακα είναι διακεκριμένες μπορούμε να αποφανθούμε άμεσα για τη διαγωνοποίηση του πίνακα χωρίς να αναζητήσουμε τα ιδιοδιανύσματα του πίνακα, (βλέπε, Πρόταση 5 ()) ) Σε περίπτωση όπου οι ιδιοτιμές έχουν αλγεβρική πολλαπλότητα μεγαλύτερη από, δεν υπάρχει αντίστοιχη πρόταση ανεξαρτησίας των ιδιοδιανυσμάτων, που αντιστοιχούν στην πολλαπλή ιδιοτιμή, γεγονός που δεν εγγυάται την ύπαρξη τετραγωνικού και αντιστρέψιμου πίνακα P που να διαγωνοποιεί τον A Στην περίπτωση της πολλαπλότητας κάποιας ιδιοτιμής 7, αφού υπολογίσουμε όλα τα ιδιοδιανύσματα του πίνακα Α εξετάζουμε την αντιστρεψιμότητα του τετραγωνικού πίνακα P Αν ο πίνακας P είναι αντιστρέψιμος, τότε ο πίνακας Α διαγωνοποιείται Σε διαφορετική περίπτωση ο πίνακας A μπορεί να «διαγωνοποιηθεί» από έναν πίνακα P, που έχει ως στήλες τα «γενικευμένα ιδιοδιανύσματα» του Α, τα οποία αντιστοιχούν στις ιδιοτιμές που έχουν αλγεβρική πολλαπλότητα μεγαλύτερη του, και ο διαγώνιος πίνακας Δ έχει ως διαγώνια στοιχεία σύνθετους τριγωνικούς πίνακες με στοιχεία τις ιδιοτιμές του A Αυτή η διαγωνοποίηση του Α ονομάζεται κανονική μορφή Jorda, περισσότερα δείτε στην επόμενη παράγραφο 4 (βλέπε, και στην Ενότητα 84 στο αρχείο Chapter8) Στην επόμενη πρόταση διατυπώνονται ικανές και αναγκαίες συνθήκες ώστε ένας πίνακας να διαγωνοποιείται Επίσης διατυπώνεται μία σημαντική εφαρμογή της διαγωνοποίησης που σχετίζεται με τον υπολογισμό των δυνάμεων ενός διαγωνοποιήσιμου πίνακα 7 Επιπλέον, μπορούμε να ελέγξουμε τη διαγωνοποίηση του πίνακα χρησιμοποιώντας το ελάχιστο πολυώνυμο, το οποίο πρέπει να αποτελείται μόνο από πρωτοβάθμιους παράγοντες για να διαγονωποιείται ο πίνακας Α (βλέπε, αρχείο Chapter8, Πρόταση 84 και στις ενότητες «Χαρακτηριστικά ποσά» και «Κανονικές μορφές» στο eclass του μαθήματος Γραμμικής Άλγεβρας http://eclassuthgr/eclass/modules/documet/dexphp?course=dib0&opedr=/55dffb uofs), και στην Πρόταση 5 () στη συνέχεια

4 Βασικές Έννοιες Πινάκων Πρόταση 5 Έστω A M ( ) και λ, λ,, λ είναι οι ιδιοτιμές του ) Ο πίνακας A είναι διαγωνοποιήσιμος αν και μόνο αν όλες οι ιδιοτιμές είναι διακεκριμένες ) Αν λ, λ,, λ k ( k < ) είναι οι διακεκριμένες ιδιοτιμές του πίνακα A M ( ) ο A είναι διαγωνοποιήσιμος αν και μόνο αν ( A λi)( A λi) ( A λk I) =, αν και μόνο αν το ελάχιστο πολυώνυμο m ( λ ) είναι γινόμενο πρωτοβαθμίων παραγόντων, δηλαδή είναι της μορφής m A( λ) = ( λ λ)( λ λ) ( λ λ k) ) Αν o πίνακας ( ) A M για κάθε φυσικό αριθμό k είναι διαγωνοποιήσιμος, τότε A ( λ, λ,, λ ) A k Pdag k k k P =, v) Αν όλες οι ιδιοτιμές είναι μη μηδενικές, λ 0, τότε ( λ, λ,, λ ) k k k k A Pdag P =, για κάθε k Παράδειγμα 8 Να εξετάσετε τη διαγωνοποίηση του μη-αρνητικού πίνακα A = 0 Υπολογίζουμε τις ιδιοτιμές του πίνακα A από τη λύση της εξίσωσης ( A λi), που είναι: det = 0 λ λ det 0 λ = 0 ( λ) + = 0 λ λ λ ( 4 ) + = 0 4 4 = 0 ( λ) λ λ ( λ ) ( λ)( λ λ ) ( λ) ( λ)( λ 4λ 5) 0 ( λ)( λ )( λ 5) 0 = + = Άρα, οι ιδιοτιμές του πίνακα A είναι : Η φασματική ακτίνα είναι : λ =, λ = και λ = 5

Παραγοντοποίηση Πίνακα 5 ρ( A) = max λ, λ, λ = max,, 5 = 5 { } { } Επειδή ο πίνακας A έχει όλες τις ιδιοτιμές του διακεκριμένες (διαφορετικές) σύμφωνα με την ιδιότητα () της Πρότασης 5, ο πίνακας διαγωνοποιείται, για την ακριβή μορφή της διαγωνοποίησης χρειάζεται να υπολογίσουμε τον πίνακα ομοιότητας P, τον πίνακα που έχει ως στήλες τα ιδιοδιανύσματα του A Για κάθε ιδιοτιμή λ του πίνακα A υπάρχει και ένα αντίστοιχο ιδιοδιάνυσμα x, που υπολογίζεται από τη λύση της εξίσωσης ( A λ I) x 0 Για λ = ( λ ) ( ) x 0 = Έτσι έχουμε: ( ) x 0 A I x = 0 0 ( ) x = 0 x 0 x + x + x = 0 x = x x x = x = 0 4 x 0 x x 0 x x x x + = = = x 0 x x x = x = x = x, x {0} x x Επιλέγουμε x =, οπότε για λ =, το αντίστοιχο ιδιοδιάνυσμα είναι x Για λ = έχουμε: x 0 A I x = 0 0 x = 0 ( λ ) x 0 0 x 0 x + x = 0 x = x = 0 x 0 x x 0 x x 0 + = = x 0 x x x = x = x = x, x {0} x x Επιλέγουμε x =, οπότε για λ =, το αντίστοιχο ιδιοδιάνυσμα είναι x = =

6 Βασικές Έννοιες Πινάκων Για λ = 5 έχουμε: 5 x 0 A I x = 0 0 5 x = 0 ( λ ) 5x 0 4 x 0 x+ x + x = 0 0 x = 0 x + x = 0 x = x 4x 0 x + x x = 0 x = x x x x = x = x = x, x {0} x x Επιλέγουμε x =, οπότε για λ = 5 ένα αντίστοιχο ιδιοδιάνυσμα είναι x = Ο P κατασκευάζεται με στήλες τα παραπάνω ιδιοδιανύσματα, οπότε θέτοντας P ( x x x ) = = υπολογίζουμε det P = 6 0 8 συνεπώς τα ιδιοδιανύσματα είναι γραμμικά ανεξάρτητα, άρα, επαληθεύονται οι προϋποθέσεις του Θεωρήματος, συνεπώς ο A είναι διαγωνοποιήσιμος, με διαγώνια μορφή A= P P, όπου 0 0 = 0 0 0 0 5 Παράδειγμα 9 0 0 Έστω A = 0 Να αποδείξετε ότι 0 0 06 4 A A I = Υπολογίζουμε τις ιδιοτιμές του A Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο είναι Α ( ) ( )( )( ) χ λ = λ λ + λ = λ λ+ λ, 8 Η ορίζουσα του πίνακα P ότι είναι διάφορη του μηδενός σημαίνει ότι τα διανύσματαστήλες του πίνακα είναι γραμμικά ανεξάρτητα

Παραγοντοποίηση Πίνακα 7 οπότε οι διακεκριμένες ιδιοτιμές του A είναι λ =, λ = και λ =, άρα ο πίνακας A διαγωνοποιείται στο (βλέπε, ιδιότητα () της Πρότασης 5) και είναι αντιστρέψιμος Από την ιδιότητα () της Πρότασης 5 έχουμε οπότε κάνοντας αντικατάσταση για 06 για 4 0 0 k A = P0 0P k 0 0 k = έχουμε ( ) 06 k =, ( ) 4 k ( ) 0 0 = = = 06 0 0 06 A P 0 0 P PIP I 0 0 = = = 4 0 0 4 A P 0 0 P PIP I,,, άρα 06 4 A A I = Στην ειδική περίπτωση όπου ο πίνακας A είναι συμμετρικός (Ερμιτιανός) το φασματικό θεώρημα εξασφαλίζει την ύπαρξη καθώς και την αντιστρεψιμότητα του P, ανεξάρτητα από την πολλαπλότητα των πραγματικών 9 ιδιοτιμών του A Θεώρημα (φασματικό θεώρημα) Για κάθε συμμετρικό (Ερμιτιανό) πίνακα A M ( ) υπάρχει ορθογώνιος (ορθομοναδιαίος) πίνακας U M ( ) 0 και πραγματικός διαγώνιος πίνακας M ( ) με διαγώνια στοιχεία τις ιδιοτιμές του πίνακα A έτσι ώστε να ισχύει η ισότητα: λ λ = = λ A U U U U 9 Βλέπε, ιδιότητα 9, Πρότασης 4 0 Βλέπε, στον Ορισμό 7

8 Βασικές Έννοιες Πινάκων Ο ορθογώνιος (ορθομοναδιαίος) πίνακας U, που αναφέρεται στο παραπάνω θεώρημα, κατασκευάζεται από τον πίνακα P, με στήλες τα ιδιοδιανύσματα του A Στα διανύσματα-στήλες του πίνακα P εφαρμόζεται η μέθοδος ορθοκανονικοποίησης των Gram-Schmdt, και ο ορθογώνιος (ορθομοναδιαίος) πίνακας U είναι ο πίνακας που έχει ως στήλες τα ορθοκανονικά διανύσματα που προκύπτουν από την μέθοδο Παράδειγμα 0 Να βρεθεί η διαγωνοποίηση των πινάκων: 4 0 4 7 ) A = 0 4 ) B = 7 4 4 0 ) Παρατηρούμε ότι ο πίνακας A είναι συμμετρικός Υπολογίζουμε τις ιδιοτιμές του πίνακα A από τις ρίζες του χαρακτηριστικού χ λ = λ+ λ 4 λ 9 Οι ιδιοτιμές είναι λ =, πολυωνύμου, που είναι ( ) ( )( )( ) 4 A λ = και λ = 9, οι οποίες είναι όλες πραγματικοί αριθμοί, επαληθεύοντας την ιδιότητα (9) της Πρότασης 4 Για λ = το ομογενές σύστημα ( A+ I) x =0 έχει λύση τα διανύσματα του ιδιοχώρου ( ) ( ) { } V = x 4 5 : x {0}, και επιλέγουμε ως ιδιοδιάνυσμα της ιδιοτιμής Για 4 λ το x ( 4 5) λ = από το σύστημα ( A 4I) x { } ( ) ( ) = =0 υπολογίζουμε τον αντίστοιχο ιδιόχωρο V 4 = x 4 0 : x {0}, και επιλέγουμε ως ιδιοδιάνυσμα της ιδιοτιμής λ το x ( 4 0) = Τέλος, για λ = 9 ο αντίστοιχος ιδιόχωρος είναι { } ( ) ( ) V 9 = x 4 5 : x {0}, και επιλέγουμε ως ιδιοδιάνυσμα της ιδιοτιμής x = 4 5 Επειδή οι ιδιοτιμές του συμμετρικού πίνακα A είναι διακεκριμένες, όλα τα ιδιοδιανύσματα είναι ανά δύο μεταξύ τους κάθετα, (βλέπε, Πρόταση 4 ιδιότητα (9)) λ το ( ) Βλέπε, στον Αλγόριθμο

Παραγοντοποίηση Πίνακα 9 Άρα, ο ορθογώνιος πίνακας U M ( ) κατασκευάζεται με στήλες τα ιδιοδιανύσματα του A, αφού πρώτα διαιρέσουμε το καθένα με το μέτρο του, δηλαδή, U 4 4 4 4 50 5 50 5 5 5 = 4 = 4 50 5 50 5 5 5 5 0 5 0 50 50 Προφανώς κάνοντας τις πράξεις επαληθεύεται η σχέση Θεωρήματος 0 0 A= U 0 4 0 U 0 0 9 του 7 ) Παρατηρούμε ότι ο πίνακας B = 7 είναι συμμετρικός 0 Υπολογίζουμε τις ιδιοτιμές του πίνακα B από τις ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύμου, που είναι ( ) ( )( ) χ λ = λ λ 6 Οι ιδιοτιμές είναι οι ιδιοτιμές είναι λ = και λ = 6 (αλγεβρικής πολλαπλότητας ) Στην ιδιοτιμή ( ) ( ) B λ = το ομογενές σύστημα ( B I) { } x =0 δίνει τον ιδιόχωρο V = x : x {0} και επιλέγουμε ως ιδιοδιάνυσμα της ιδιοτιμής Στην 6 λ το x ( ) = λ = η λύση του συστήματος ( B I) { } ( ) ( ) ( ) 6 x =0 δίνει τον αντίστοιχο ιδιόχωρο V 6 = x 0 + x 0 : x, x και επιλέγουμε ως ιδιοδιανύσματα αντίστοιχα της ιδιοτιμής λ τα x = ( 0) και x ( 0 ) = Τα ιδιοδιανύσματα x, x και x, x αντιστοιχούν σε διακεκριμένες ιδιοτιμές, άρα είναι κάθετα (βλέπε, Πρόταση 4, ιδιότητα(9)) Σύμφωνα με το Θεώρημα, ο πίνακας ( ) U M πρέπει να έχει στήλες τα ορθογώνια ιδιοδιανύσματα Επομένως χρειάζεται να εφαρμόζουμε τη μέθοδο ορθοκανονικοποίησης Gram-Schmdt στα {, } x x, βρίσκουμε

40 Βασικές Έννοιες Πινάκων x x ˆx = x x = ( ) Διαιρώντας τα διανύσματα { x, x, x ˆ } με το x μέτρο του το καθένα, ώστε να γίνει μοναδιαίο, έχουμε u = x = x 6 u = x = 0, x Έτσι, ο ορθογώνιος πίνακας U είναι U ( u u u ) u ˆ = x =, ˆx 6 = = 6 0 6 Προφανώς κάνοντας τις πράξεις επαληθεύεται η σχέση Θεωρήματος 0 0 A= U 0 6 0 U 0 0 6 του

Παραγοντοποίηση Πίνακα 4 4 Γενικευμένα ιδιοδιανύσματα Σε αρκετά παραδείγματα της προηγούμενης ενότητας συμπεράναμε ότι υπάρχουν πίνακες ( ) A M που δε διαγωνοποιούνται, και όπως διαπιστώνουμε, από την εφαρμογή του Αλγορίθμου, ένας πίνακας είναι μη διαγωνοποιήσιμος όταν τα γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματά του δεν είναι «αρκετά», ώστε να κατασκευαστεί ένας αντιστρέψιμος πίνακας P, μέσω του οποίου επιτυγχάνεται η διαγώνια μορφή Βέβαια αυτό μπορεί να συμβεί μόνο σε περιπτώσεις όπου κάποια ιδιοτιμή έχει αλγεβρική πολλαπλότητα μεγαλύτερη της μονάδας και η γεωμετρική πολλαπλότητα είναι μικρότερη της αλγεβρικής πολλαπλότητάς της Σε αυτές τις περιπτώσεις χρειάζεται να επεκτείνουμε το σύνολο των γραμμικά ανεξάρτητων ιδιοδιανυσμάτων του αντίστοιχου ιδιοχώρου σε μία βάση, η οποία πρέπει να έχει διάσταση ίση με την αλγεβρική πολλαπλότητα της αντίστοιχης ιδιοτιμής Η επέκταση κατορθώνεται με τα λεγόμενα «γενικευμένα ιδιοδιανύσματα» Σε αυτήν την ενότητα παρουσιάζεται η θεωρία που αφορά την ύπαρξη και την κατασκευή ενός πίνακα, που είναι αντίστοιχος του πίνακα ομοιότητας P της διαγωνοποίησης του A Η νέα μορφή παραγοντοποίησης του πίνακα Α δεν είναι διαγώνια, αλλά «πολύ κοντά» στη διαγώνια μορφή, είναι μία μορφή απλή και εξίσου χρήσιμη και ονομάζεται κανονική μορφή Jorda Ορισμός Έστω ( ) A M Ένα μη μηδενικό διάνυσμα x λέγεται γενικευμένο ιδιοδιάνυσμα του A αν για την ιδιοτιμή λ ισχύει k ( A λ I) x =0, (9) για κάποιο k Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι το ιδιοτιμή λ x αντιστοιχεί στην Το σύνολο k ( λ) = { x : ( λ ) x = 0, } K A I k (0) ονομάζεται γενικευμένος ιδιόχωρος της ιδιοτιμής λ Η γεωμετρική πολλαπλότητα μιας ιδιοτιμής λ είναι ο αριθμός που δείχνει τη διάσταση του αντίστοιχου ιδιοχώρου V ( λ )

4 Βασικές Έννοιες Πινάκων Αν k είναι ο μικρότερος φυσικός αριθμός με την ιδιότητα (9), τότε για το γενικευμένο ιδιοδιάνυσμα x το σύνολο {,,, k, k } x x x x () ονομάζεται αλυσίδα από γενικευμένα ιδιοδιανύσματα, όπου x x x x k k x x k ( A λ I) ( A λ I) ( A λi) ( A λ I) Ο αριθμός k ονομάζεται μήκος της αλυσίδας k k x x x x () Σχόλια: ) Θεωρώντας k = στην (9) γίνεται φανερό ότι, κάθε ιδιοδιάνυσμα του A είναι ένα γενικευμένο ιδιοδιάνυσμά του Το αντίστροφο δεν ισχύει, δηλαδή τα γενικευμένα ιδιοδιανύσματα δεν είναι αναγκαστικά ιδιοδιανύσματα Για παράδειγμα, ο άνω τριγωνικός πίνακας λ = (διπλή ρίζα), κάνοντας πράξεις βρίσκουμε ότι ( ) A = έχει μοναδική ιδιοτιμή την 0 A I = Συνεπώς κάθε μη μηδενικό διάνυσμα x = ( x x) είναι ένα γενικευμένο ιδιοδιάνυσμα του A, επειδή επαληθεύεται τετριμμένα η ισότητα στην (9) Από όλα τα x μόνο τα ( x 0) είναι ιδιοδιανύσματα του A ) Σε κάθε ιδιοτιμή λ δεν αντιστοιχεί μία μόνο αλυσίδα, επειδή είναι δυνατόν στη λ να αντιστοιχούν περισσότερα από ένα γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα (εξαρτάται από τη γεωμετρική πολλαπλότητα της συγκεκριμένης ιδιοτιμής), το καθένα από τα οποία μπορεί να παράγει μία αλυσίδα διαφορετικού μήκους Το πλήθος των αλυσίδων, που αντιστοιχούν σε μία ιδιοτιμή, ισούται ακριβώς με τον αριθμό της γεωμετρικής πολλαπλότητάς της ) Παρατηρούμε ότι αν πολλαπλασιάσουμε αριστερά επί της () και αντικαταστήσουμε με την (9) προκύπτει A λ I την πρώτη ισότητα ( A λi) x = ( A λ I) k x =0 ()

Παραγοντοποίηση Πίνακα 4 ενώ αν πολλαπλασιάσουμε επί A λ I τις υπόλοιπες ισότητες της () και αντικαταστήσουμε κατάλληλα με τα αντίστοιχα διανύσματα από την () καταλήγουμε : ( A λi) x = ( A λi) x = x k ( A λi) x = ( A λi) x = x k ( A λi) x = ( A λi) x = x k k ( A λi) x = ( A λi) x = x k k ( A λi) x = ( A λi) x = x k k (4) Από την () καταλαβαίνουμε ότι το x είναι κάποιο από τα ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή λ, επειδή επαληθεύεται ο Ορισμός 7, το οποίο είναι το μοναδικό που συμμετέχει στη συγκεκριμένη αλυσίδα Συνεπώς, ξεκινώντας την αναζήτηση των γενικευμένων ιδιοδιανυσμάτων μπορούμε να ξεκινούμε με το x, ως ένα ιδιοδιάνυσμα αντίστοιχο της λ, τα δε υπόλοιπα x, x,, x k είναι διατεταγμένα γενικευμένα ιδιοδιανύσματα, που συμπληρώνουν την αλυσίδα και υπολογίζονται αναδρομικά από το x, σύμφωνα με τις ισότητες στην (4) Παράδειγμα Να βρεθούν τα ιδιοδιανύσματα και τα γενικευμένα ιδιοδιανύσματα του πίνακα 0 A = 4 Το χαρακτηριστικό και το ελάχιστο πολυώνυμο είναι A ( ) m ( ) ( ) ( ) χ λ = λ = λ λ+, και οι ιδιοτιμές του A είναι λ = (τριπλή ρίζα), A λ = Επειδή το ελάχιστο πολυώνυμο δεν είναι γινόμενο διακεκριμένων πρωτοβαθμίων παραγόντων σύμφωνα με την Πρόταση 5 () ο πίνακας Α δεν διαγωνοποιείται, επομένως υπάρχει αλυσίδα γενικευμένων ιδιοδιανυσμάτων, που υπολογίζεται από τις ()-(4), ως ακολούθως

44 Βασικές Έννοιες Πινάκων Για την ιδιοτιμή λ =, υπολογίζεται ο ιδιόχωρος { 4 4 } ( ) ( ) V = x : x και επιλέγουμε ως ιδιοδιάνυσμα το x = ( ) Στην ιδιοτιμή αυτή αντιστοιχεί μία αλυσίδα γενικευμένων ιδιοδιανυσμάτων μήκους με πρώτο διάνυσμα το x x, τα υπόλοιπα γενικευμένα ιδιοδιανύσματα x, x υπολογίζονται από την (4) Θεωρώντας γνωστό το x από παραπάνω η πρώτη εξίσωση στην (4) διαμορφώνεται ( A I)x = x και έχει άγνωστο x, οπότε εφαρμόζοντας τις γραμμοπράξεις, r r + r, r r+ r, r4 r4 + r, στον επαυξημένο πίνακα του συστήματος καταλήγουμε : 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 Η λύση του συστήματος που προκύπτει είναι x = ( x4 + x4 x4 x4), x4 Από όλα αυτά τα διανύσματα επιλέγουμε ένα μη μηδενικό διάνυσμα (πχ βάζοντας x = ), οπότε το δεύτερο διάνυσμα της αλυσίδας είναι x (0 0 0) 4 0 Συνεχίζοντας με την εξίσωση ( A I)x = x, βάζοντας x 4 = 0 και κάνοντας τις γραμμοπράξεις r r + r, r r + r, r 4 r 4 + r, στον επαυξημένο πίνακα του συστήματος, που δημιουργείται, βρίσκουμε 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 Η λύση του συστήματος είναι x = ( x4 x4 x4 x4), x4 Από τα διανύσματα αυτά επιλέγουμε ένα μη μηδενικό διάνυσμα (για x 4 = 0 ), οπότε το τρίτο διάνυσμα της αλυσίδας είναι x ( 0 0) Επομένως, ο γενικευμένος ιδιόχωρος K ( ) παράγεται από τα διανύσματα x, x, x

Παραγοντοποίηση Πίνακα 45 Για την άλλη ιδιοτιμή λ = υπολογίζεται ο ιδιόχωρος { } ( ) ( ) V = x 9 : x και επιλέγουμε ως ιδιοδιάνυσμα το x 4 = ( 9) Σχόλιο-Παρατήρηση: Επειδή det( x x x x 4) = 8 0, τα διανύσματα x x x x4 4,,, του Παραδείγματος είναι γραμμικά ανεξάρτητα Έστω ο πίνακας x x x x4 M = ( ) με στήλες τα παραπάνω διανύσματα x, x, x, x4 Επειδή τα διανύσματα είναι γραμμικά ανεξάρτητα ο πίνακας M είναι αντιστρέψιμος Αν υπολογίσουμε τον πίνακα M παρατηρούμε ότι 0 0 0 0 J 0 0 0 0, M AM = = = J 0 0 0 0 J, Στην παραπάνω μορφή παρατηρούμε ότι ο πίνακας J είναι σύνθετος διαγώνιος πίνακας, οι δε πίνακες J,, J,, που είναι τοποθετημένοι ως «διαγώνια στοιχεία» στον J, είναι και αυτοί άνω τριγωνικοί πίνακες με διαγώνια στοιχεία τις αντίστοιχες ιδιοτιμές λ = και λ = Από το σχόλιο-παρατήρηση του Παραδείγματος καταλήγουμε στον ακόλουθο ορισμό Ορισμός 4 Έστω ( ) A M και λ ιδιοτιμή του A Ένας k k πίνακας της μορφής J k, λ 0 0 λ 0 = (5) λ λ ονομάζεται στοιχειώδης πίνακας Jorda αντίστοιχος της ιδιοτιμής λ Ο πρώτος δείκτης στο συμβολισμό του J k, ταυτίζεται με το δείκτη της αντίστοιχης ιδιοτιμής

46 Βασικές Έννοιες Πινάκων και ο δεύτερος προσδιορίζει τον τύπο (μέγεθος) του στοιχειώδη πίνακα Jorda Χρησιμοποιώντας διάφορους τύπους στοιχειωδών πινάκων Jorda, J, k, j j =,,, τ, όπως αυτοί ορίστηκαν στην (5), κατασκευάζεται ένας ν ν με ν = + + + σύνθετος διαγώνιος πίνακας της μορφής k k k τ J J, k J, k = M J, k τ ν ( ), (6) που ονομάζεται σύνθετoς (block) Jorda ή σύνθετα (block) Jorda, αντίστοιχος της ιδιοτιμής λ Οι στοιχειώδεις πίνακες Jorda, που εμπεριέχονται στην (6) έχουν σε όλα τα στοιχεία της διαγωνίου την αντίστοιχη ιδιοτιμή λ του block Διαφοροποιούνται μόνο στο στοιχείο που είναι πάνω από την κύρια διαγώνιο, το οποίο στον J είναι ο μηδενικός πίνακας, ενώ στο στοιχειώδη πίνακα J, kj υπάρχει άλλοτε το 0 και άλλοτε το Αυτό εξαρτάται από τον αριθμό k >, τότε υπάρχει το, αν k =, τότε υπάρχει το 0 j j k j, δηλαδή αν Στο επόμενο θεώρημα διατυπώνεται ο τρόπος κατασκευής μίας βάσης από ιδιοδιανύσματα και γενικευμένα ιδιοδιανύσματα, ώστε μέσω της βάσης αυτής να προκύπτει η αντίστοιχη παραγοντοποίηση του πίνακα Α γνωστή στη βιβλιογραφία ως κανονική μορφή Jorda του πίνακα Α Θεώρημα 4 (κανονική μορφή Jorda) Έστω λ, λ,, λs οι διακεκριμένες ιδιοτιμές του πίνακα ( ) χαρακτηριστικό και ελάχιστο πολυώνυμο A A M με ν ν ν s k k ( ) = ( ) ( ) ( ), m ( λ) = ( λ λ ) ( λ λ ) ( λ λ ) χ λ λ λ λ λ λ λ s A αντίστοιχα Τότε, υπάρχει ένας σύνθετος διαγώνιος πίνακας, ο πίνακας της κανονικής μορφής Jorda, s k s O J ονομάζεται πίνακας της κανονικής μορφής Jorda, είναι σύνθετος διαγώνιος πίνακας με στοιχεία στη διαγώνιο τους υποπίνακες J, όπως αυτοί ορίστηκαν στην (6) Ο