ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

7

II. OΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. Λ 7. Λ. Λ 5. Σ 8. Σ 3. Λ 6. Σ 9. Σ 4. Σ 7. Λ 30. Σ 5. Σ 8. Σ 3. Σ 6. Λ 9. Σ 3. Σ 7. Λ 0. Σ 33. Σ 8. Λ. Λ 34. Λ 9. Σ. Σ 35. Σ 0. Λ 3. Σ 36. Σ. Σ 4. Σ 37. Λ. Λ 5. Σ 38. Σ 3. Σ 6. Σ 39. Λ 4. Λ 40. Σ 73

Απαντήσεις στις ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής.. Γ 3. Β. Γ 3. Γ 4. 3. Γ 4. Ε 5. Ε 4. 5. Γ 6. Γ 5. Γ 6. 7. Γ 6. Γ 7. Β 8. Γ 7. Ε 8. Ε 9. Β 8. Γ 9. 30. Β 9. Β 0. B 3. 0. Β. Ε 3. Γ. Γ. Μερικές ενδεικτικές λύσεις 3. Προσπαθούµε να εφαρµόσουµε την αρχή του αποκλεισµού. Η απάντηση Α αποκλείεται γιατί η f δεν είναι συνεχής στο α. Η Β αποκλείεται γιατί η g δεν έχει ετερόσηµες τιµές, το ίδιο και η Ε. Η γιατί η φ δεν είναι συνεχής σε κάποιο σηµείο. Μένει η σωστή απάντηση Γ (δεν µας ενδιαφέρει αν η h δεν είναι παραγωγίσιµη σε κάποιο σηµείο). Σηµειώνουµε επίσης ότι το συµπέρασµα του θεωρήµατος ισχύει και στις περιπτώσεις Α και. 4. Εδώ πρέπει να προσέξουµε ότι στην εκφώνηση αναφέρεται η λέξη πάντοτε, η οποία βέβαια είναι απλώς και µόνο για έµφαση. Στα Μαθηµατικά, όταν λέµε ότι κάτι ισχύει, εννοούµε ότι ισχύει πάντοτε. Έτσι δεν προκύπτει από τα δεδοµένα ότι η f έχει µη αρνητικές τιµές, δεν υπάρχουν δεδοµένα ώστε να ισχύει η Β ή η Γ και η, άρα η σωστή απάντηση είναι η Ε. 74

3. Το 0 004 είναι πολύ µεγάλος αριθµός (πρακτικά ). Άρα η τιµή της f για x = 0 004 δηλαδή το f (0 004 ) προσεγγίζει ικανοποιητικά από το x f (x) = 0,5. Έτσι η σωστή απάντηση είναι η. 4 Απαντήσεις στις ερωτήσεις αντιστοίχισης. γ. γ ε δ 3 β 3 α 4 ε 3. γ 4. α δ β 3 ε 3 ε 4 α 4 δ 5 β 5. β 6. δ ε γ 3 α 3 ε 4 α Απαντήσεις στις ερωτήσεις διάταξης. µ λ κ ξ ν. γ, δ, α, ε, β. 75

Απαντήσεις - υποδείξεις στις ερωτήσεις ανάπτυξης. α) β) 0 γ) δ) 3 ε) στ) ζ) 4. (µε διάσπαση του κλάσµατος σε δύο κλάσµατα) 3. - 4. Είναι x 0 συνx - συν x - = = - εφx xσυνx x 0 xσυνx (συνx ) x 0 ηµx x = 0 συνx 5. - ηµ x = - ( συνx) = - συν x = x 0 - συνx x 0 x 0 συνx 6. α) 0 β) - 66 76

αx 7. Θέτουµε g (x) =, x < -, άρα αx = (x - ) g (x) x - άρα (αx ) = (x - ) g (x) - α = 0 α =. x - x - Άρα θα πρέπει f (x) = x - -, οπότε β = e 8. ν = ν (ν ) = 8 άρα ν = 7 9. ν = 0 ν = 5 π (x -) f οπότε f (x) = x 0. α) Θέτουµε (x) ηµ -= ( x -) g (x), β) Είναι f (x) -= ( x -) f (x) - άρα = x - άρα x f (x) - x - g (x) π g (x) - x - = - π 4 π (x -) ηµ - x - π (x -) ηµ π (x -). πλευρικά όρια 77

. Η f είναι συνεχής στο x 0 = - H g δεν είναι συνεχής στο x 0 = - (µε πλευρικά όρια) Η f είναι συνεχής στο x 0 = -, η g είναι συνεχής στο f (- ) = 0, άρα η gof είναι συνεχής στο x 0 = - 3. α) Θέτουµε x - x 0 = h β) f (0) = 0 και χρήση του (α) 4. α) D f = (0, e) β) στο 0 το, στο e - το - δ) R γ) µε τον ορισµό 5. Ισχύει - x f (x) x, άρα f (0) = 0και f (x) = 0 x 0 8. α) 3, 3,, β) y y = 3 x 0 x y γ) όχι, γιατί το f (x) δεν υπάρχει x 0 9. α) Είναι f (x0 h) = f (x 0 ) και f (x0 - h) = f (x 0 ) h 0 β) δεν ισχύει το αντίστροφο h 0 0. α), -,, β) 0 78

. α) Θεωρούµε τη συνάρτηση f (x) = (x ) x - και εφαρµόζουµε θεώρηµα Bolzano β) Θεώρηµα Bolzano στα διαστήµατα [-, 0] και [0, ]. f (x) = l nx e x και f (x) = -, x 0 άρα υπάρχει α <, ώστε f (α) < 0 f () > 0, θεώρηµα Bolzano στο [α, ] 3. h (x) = συνx - x και θεώρηµα Bolzano στο [0, 4 π ] 4. α) µία τουλάχιστον φορά σε κάθε ένα από τα διαστήµατα (0, ), (, 4), (4, 6), (6, 8) β) τέσσερις ρίζες 5. α) f (x) = κ (x - ) λ x (x - ) µ x (x ), x 0, -,, θεώρηµα Bolzano στα [-, 0] και [0, ], και η µοναδικότητα προκύπτει από το βαθµό της f (x) β) Να κάνετε χρήση των τύπων ρ ρ και ρ ρ, δεδοµένου ότι η f (x) είναι τριώνυµο. 6. Ρ (x) = x (x ν - ) - (x - ) = (x - ) Q (x) µε Q (0) = -, Q () = ν 7. α) Σύνθεση συνεχών β) θεώρηµα Bolzano για την h (x) στο [0, α ] 79

8. β) Βρίσκουµε κάθε φορά το µέσον του διαστήµατος και εφαρµόζουµε το θεώρηµα Bolzano σε κάθε υποδιάστηµα. 9. h (x) = 3 f (x) - f (α) - f (β) - f ( α β ) και θεώρηµα Bolzano στο [α, β] 30. β) y = [, 4 9 ], x = άρα ο x = (, 3 ). Όµοια 3 ( 4 9, 4) άρα 3 ( 3, ). 3. α) D f = [, 6] α) µε τον ορισµό δ) f (A) = [-, ] ε) 3 f (A) και f γνησίως αύξουσα στο [, 6] 3. α) Για την g (x) = f (x) - x, ισχύει g (α) = f (α) - α 0 και g (β) 0 β) Η γραφική παράσταση της f τέµνει την y = x 33. g (x) = - και g (x) = µε g (x) = f (x) e x lnx - x 0 x και g συνεχής και γνησίως αύξουσα 35. α) Αν υπάρχει x < 3 ώστε f (x ) < 0 τότε άτοπο από το θεώρηµα Bolzano. Οµοίως αν f (x ) > 0 µε 3 < x < 7. 80

36. Έστω f (t), g (t) οι συναρτήσεις που εκφράζουν τη θέση του ορειβάτη κατά την ανάβαση και κατάβαση π.χ. την απόσταση από τα πριόνια. Θεωρήστε την h (x) = f (t) - g (t) στο [6, ], τότε h (6) = f (6) - g (6) = 0-977, h () = f () - g () = 97-0. 37. α) h (x) = f (x ) - f (x) x [0, ] ν - β) h (x) = f (x ) - f (x) x [0, ] και θεώρηµα Bolzano ν ν 38. OT TM, φέρνουµε ΑΡ ΤΜ. Τότε ΑΝ = ΑΡ. (Τα τρίγωνα ΤΝΑ και ΤΡΑ είναι ίσα). ΑΝ ΑΡ Άρα = = ηµω, όπου ω = Ο Μ Τ. ΑΜ ΑΜ Καθώς το Μ πλησιάζει το Α, η γωνία ω π, άρα M A AΝ = AΜ π ω ηµω = 39. (ΜΑΒ) ΜΝ =, όπου ΜΝ το ύψος του τριγώνου ΜΑΒ, αλλά, από την (ΜΓ ) ΜΕ ΕΝ προηγούµενη άσκηση (38),, ΕΜ ΕΝ ΕΜ άρα, άρα ΕΜ ΕΜΕΝ ( ) ( ΜΓ ), άρα MAB MΕ ΕΝ ΕΝ = = = = 4 ΜΕ ΕΜ 40. α) - β) 0 γ) 0 δ) 0 ε) 8

4. α) Να διακρίνετε περιπτώσεις για µ < 0 ή µ >, 0 < µ <, µ =, µ = 0 β) για λ =, για λ γ) περιπτώσεις για 0 < α <, α <, α = δ) για 0 < α <, α >, α = 4. α) β) 0 γ) 0 x κ 43. α) (0, ) β), γ) f (x) - lnx = ln > 0, x x κ αφού >, x (f (x) - lnx) = ln = 0 x ω 44. α) f (x) = ηµ5x, g (x) = x β) f (x) = x, g (x) = 0x x κ.ο.κ. 45. Αν ΑΓ = x, τότε (ΒΓ -ΑΓ) = ( x x x c - x) = = 0 ή ΒΓ = ΑΓ x x x c x = 47. Αν ΑΒ = α και ΑΜ = x τότε ΒΜ = x - α, x οπότε ΑΜ = ΒΜ x x = x - α x 8

48. Πρέπει x >. H ευθεία ΑΜ : x y (κ - ) - κ = 0. Για x = 0, y = Ε (κ) = και κ κ και ΕΜΟΝ = κ - κ Ε (κ) = κ = Ε (κ) κ - 50. α) (-, 0) (0, ) (, ) f (x) > 0 για x (-, 0) (, ) f (x) < 0 για x (0, ) β) f (x) = 0, f (x) = 0, f (x) = - γ) x x 0 - x x 0 f (x) =, f (x) =, f (x) = -, f (x) = - 4 x x 0 - =, f (x) = 0, f (x) x x x x f (x) =, = 0, f (x) x x 0 f (x) = 0 f (x) = 0, x x = - f (x) 4 δ) ο µόνος τύπος που ταιριάζει µε τα όρια που έχουµε βρει είναι ο f 4 (x) = x (x ) ε) g (x) = x (x - ) 83

5. α) x = 0 ή x = - β) Πρέπει να γίνει ελάχιστη η g (x) = x (x ) = x x. Για - β x = = - α γ),. Η απόσταση ΟΜ γίνεται άπειρη, όταν x ± δ) µε συζυγή παράσταση 5. β) f (x) = 8, άρα f (x) < 8 x γ) Μετά από «αρκετά» χρόνια θα είναι = 0, άρα το ποσοστό θα x 3 είναι 8%. 53. α) υ κ β) κ ( - e -t ) = κ t 0 t γ) Σε συνεχή βροχόπτωση µεγάλης διάρκειας η ταχύτητα της σταγόνας είναι περίπου ίση µε κ. 54. α) f (0) = e (.78 βακτηρίδια) β) f (t) = f (t) = e 3 (0.079 περίπου) t 4 - t 4 γ) f (t) = 0 οπότε t = 9 δ) f (0) =.78 f (4) = 0.079. Είναι.78 < 8.950 < 0.079, άρα κάποια στιγµή µεταξύ 0 και 4 ώρες ο αριθµός θα είναι 8.950. Οµοίως στο (4, 9) 84

55. α) Ρ (t) = 6 (t - 5) t 5 6 9t 5 (t - 5) 5 (t - 5) 45, 0 t 5, 5 < t 0 β) P (t) = 3 (χιλιάδες) γ) P (t) = (χιλιάδες) t 5 - δ) όχι, δεν είναι στο x0 = 5 t 5 56. Ν (t) = Μ, άρα µετά από «αρκετό» χρόνο όλοι οι µαθητές θα ακούσουν t την φήµη (Για t = 30 ηµέρες το e -5 είναι ήδη πολύ µικρό) 57. α) Αφήγηση Α Β Γ ιάγραµµα Ι ΙΙΙ ΙV β) Μια απάντηση θα µπορούσε να είναι και η εξής: Μαθητής ( ιάγραµµα II): Ξεκίνησα βιαστικά όταν όµως κατάλαβα ότι έχω µπροστά µου πολύ χρόνο έκοψα ταχύτητα. Μαθητής Ε ( ιάγραµµα V): Μόλις βγήκα από το σπίτι πρόσεξα ότι είχα ένα λάστιχο κλαταρισµένο. Το επιδιόρθωσα και ξεκίνησα βιαστικά επιταχύνοντας. 85

58. α) ιάγραµµα Ι ΙΙ ΙΙΙ Συνάρτηση σ (x) f (x) g (x) β) Μια απάντηση θα µπορούσε να είναι και η εξής: C h C φ 0 ιάγραµµα ΙV 0 ιάγραµµα V 59. Μια τέτοια συνάρτηση θα µπορούσε να είναι η παρακάτω: 0 86