Απαντήσεις Διαγωνίσματος Μαθηματικών Προσανατολισμού Γ Λυκείου 03/11/2018

Transcript

1 ΕΠΩΝΥΜΟ: ΟΝΟΜΑ: ΤΜΗΜΑ: ΤΣΙΜΙΣΚΗ &ΚΑΡΟΛΟΥ ΝΤΗΛ ΓΩΝΙΑ THΛ: ΑΡΤΑΚΗΣ - Κ ΤΟΥΜΠΑ THΛ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: Απαντήσεις Διαγωνίσματος Μαθηματικών Προσανατολισμού Γ Λυκείου 03//08 Θέμα Α A Σχολικό βιβλίο σελ 33, φυλλάδιο θεωρίας πρόταση 0 (μον 4) Α Σχολικό βιβλίο σελ 73, φυλλάδιο θεωρίας πρόταση 4 (μον 4) Α3 Σχολικό βιβλίο σελ 06, φυλλάδιο θεωρίας πρόταση 38 (μον 7) Α4 Σωστό ή Λάθος; Λ Λ 3 Σ 4 Λ 5 Σ (μον 0)

2 Θέμα Β e 9 3 Δίνεται η συνάρτηση Β Έχουμε A R, άρα για κάθε, R με ισχύει: e : 3 3 e e e e e e e 9 e 9 : στο R 3 3 Άρα, η συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη και επομένως -, άρα ορίζεται η αντίστροφη : ή Και: lim, lim, R A R : Επειδή: 3 lim lim e lim lim e Β Ισχύει ότι 0 ώστε o 0 Όμως, η συνάρτηση μοναδικό Β3 Έχουμε: (μον 6) R, επομένως υπάρχει τουλάχιστον ένα o R τέτοιο είναι -, επομένως e e 0 0 e 9 o (μον 7) Παρατηρούμε ότι: 3 Άρα : e (μον 7) Β4 Η είναι παραγωγίσιμη στο R, με: e 9 e 3 Επίσης: 3

3 e 3 4 και Άρα y y 4 y 4 7 (μον 5) Θέμα Γ Έστω η συνάρτηση : y y, για κάθε R R για την οποία ισχύουν τα εξής: yr, () η εξίσωση 0 έχει μοναδική ρίζα στο R Γ Από τη σχέση () για y 0 έχουμε: Γ Αρκεί να δείξουμε ότι η συνάρτηση, R με εξίσωση 0 έχει μοναδική ρίζα στο R Και είναι - Έστω λοιπόν, 0 0 Όμως, η 0 0, δηλαδή η μοναδική ρίζα είναι το 0 Επομένως, 0 Άρα, η - και αντιστρέφεται (μον 3) είναι (μον 5) Γ3 Προφανώς, για κάθε yr ισχύει ότι y R Επίσης, από τη σχέση () της εκφώνησης για 0 έχουμε: 0 0 y y y y για κάθε yr Επομένως η συνάρτηση είναι περιττή (μον 4) Γ4 Αν 0 για κάθε 0, τότε: α) Θα χρησιμοποιήσουμε την απαγωγή σε άτοπο Έστω ότι, για κάθε, R με Τότε: τέτοια ώστε : ή Άτοπο Άρα, για κάθε, R με τέτοια ώστε Επομένως, η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα Άρα, και -

4 β) Έχουμε: ln ln ln ln ln ln : 0, (μον 6+7) Θέμα Δ Δ Έχουμε:,,0 0, 0, 0 Άρα, για 0 η συνάρτηση είναι συνεχής ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων Για 0 έχουμε: 0 0 και 0 lim lim lim 0, επειδή: lim και 0 Για 0 έχουμε:, με Κριτήριο Παρεμβολής έχουμε: Επίσης, για 0 έχουμε: lim lim 0 Άρα, από 0 0 lim 0 0

5 , με Κριτήριο Παρεμβολής έχουμε: Επομένως, lim 0 0 lim lim 0 Άρα, από 0 0 lim 0 0 Άρα, 0 lim, άρα η συνάρτηση είναι συνεχής στο 0 0 Επομένως, η είναι συνεχής στο, Δ Πρέπει να λύσουμε την εξίσωση g g 0 Έστω h g, τότε: (μον 8) h : συνεχής στο 0, και h0 0 g 0 g g h g g g g g h 0 h g g 0 0 Άρα, μπορούμε να διακρίνουμε περιπτώσεις: Αν h h 0 0 τότε από το θεώρημα Bolzano υπάρχει τουλάχιστον ένα 0, τέτοιο ώστε h 0 Αν h0h 0 h0 0 ή 0 ρίζα το 0 ή το h, δηλαδή η συνάρτηση έχει Επομένως, υπάρχει τουλάχιστον ένα 0, τέτοιο ώστε h 0 g Δ3 Αρχικά, θα λύσουμε την εξίσωση c Έτσι: (μον 8) c 09 ln c ln c 09 0 ln c 09 c09 e c09 e ln 09 c 09c e 09c e

6 Άρα, η εξίσωση έχει δύο λύσεις, τις c 09 e και Έστω λοιπόν, σημείο A, και, της C και της ευθείας y c e 09c B τα κοινά σημεία Επίσης, έχουμε: 09 ln, 09 ln, Άρα, επειδή για η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη ως πράξεις, παραγωγίσιμων συναρτήσεων, έχουμε:, Και c e e c c c e e Τέλος, έστω ευθεία διεύθυνσης: που εφάπτεται της C στο σημείο A, με συντελεστή c c e e έστω ευθεία συντελεστή διεύθυνσης: που εφάπτεται της C στο σημείο B, με c c e e Όμως, παρατηρούμε ότι: c09 09c c09 09c c0909c 0 e e e e e e Δηλαδή, οι δύο ευθείες τέμνονται κάθετα (μον 9)