ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Υποδείγματα τιμολόγησης δικαιωμάτων προαίρεσης βάσει δέντρων σεναρίων

ΤΜΗΜΑ ΔΙΕΘΝΩΝ ΚΑΙ ΕΥΡΩΠΑΪΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Εξειδίκευσης Κατεύθυνση Διεθνής Οικονομική και Χρηματοδοτική ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Υποδείγματα τιμολόγησης δικαιωμάτων προαίρεσης βάσει δέντρων σεναρίων Εφαρμογή στο ελληνικό Χρηματιστήριο Παπασωτηρίου Παρασκευή Α.Μ. 4110008 Ιούνιος 2013 Επιβλέπων Καθηγητής Τοπάλογλου Νικόλαος 0

Πίνακας περιεχομένων Εισαγωγή... 3 Κεφάλαιο 1 Επισκόπηση Βιβλιογραφίας... 5 Κεφάλαιο 2 Το μοντέλο των Black and Scholes... 12 Κεφάλαιο 3 Στοχαστικός Προγραμματισμός ( Stochastic Programming)... 19 Κεφάλαιο 4 Τιμολόγηση δικαιωμάτων προαίρεσης σε δέντρο σεναρίων 1 η μεθοδολογία Προσδιορισμός πιθανοτήτων ουδέτερων στον κίνδυνο... 24 Κεφάλαιο 5 2 η μεθοδολογία Τιμολόγηση δικαιωμάτων προαίρεσης με βάση την ασυμμετρία και την κύρτωση των αποδόσεων των υποκείμενων τίτλων... 32 Κεφάλαιο 6 Εμπειρική μελέτη και συμπεράσματα... 37 6.1 Επεξήγηση τρόπου λύσης... 39 6.2 Συμπεράσματα... 41 6.3 Επίλογος... 50 Παράρτημα... 4 Βιβλιογραφία... 4 1

Ευρετήριο Πινάκων και Διαγραμμάτων Διάγραμμα 1: Αλλαγές στην ασυμμετρία των αποδόσεων των υποκείμενων τίτλων Αύγουστος 2012... 43 Διάγραμμα 2: Αλλαγές στην ασυμμετρία των αποδόσεων των υποκείμενων τίτλων Σεπτέμβριος 2012... 43 Διάγραμμα 3: Αλλαγές στην ασυμμετρία των αποδόσεων των υποκείμενων τίτλων Οκτώβριος 2012... 44 Διάγραμμα 4: Αλλαγές στην ασυμμετρία των αποδόσεων των υποκείμενων τίτλων Νοέμβριος 2012... 44 Διάγραμμα 5: Αλλαγές στην κύρτωση των αποδόσεων των υποκείμενων τίτλων Αύγουστος 2012... 45 Διάγραμμα 6: Αλλαγές στην κύρτωση των αποδόσεων των υποκείμενων τίτλων Σεπτέμβριος 2012... 45 Διάγραμμα 7: Αλλαγές στην κύρτωση των αποδόσεων των υποκείμενων τίτλων Οκτώβριος 2012... 46 Διάγραμμα 8: Αλλαγές στην κύρτωση των αποδόσεων των υποκείμενων τίτλων Νοέμβριος 2012... 46 Διάγραμμα 9: Εμπειρικές εκτιμήσεις για τα ασφάλιστρα ασυμμετρίας Αύγουστος Νοέμβριος 2012... 48 Πίνακας αποτελεσμάτων Black and Scholes σε σχέση με τις τιμές των δικαιωμάτων προαίρεσης στην αγορά 17 Αυγούστου 2012 Call options 2012... 41 Πίνακες αποτελεσμάτων μεθόδων αποτίμησης 17 Αυγούστου 2012 Call options... 53 17 Αυγούστου 2012 Put options... 53 21 Σεπτεμβρίου 2012 Call options... 54 21 Σεπτεμβρίου 2012 Put options... 55 19 Οκτωβρίου 2012 Call options... 56 19 Οκτωβρίου 2012 Put options... 56 16 Νοεμβρίου 2012 Call options... 57 16 Νοεμβρίου 2012 Put options... 57 2

ΕΙΣΑΓΩΓΗ Τα παράγωγα χρηματοοικονομικά προϊόντα μετρούν αιώνες ύπαρξης στην παγκόσμια οικονομία. Ακόμα και χωρίς τη σημερινή τους μορφή, αποτελούσαν πάντα σημαντικά οικονομικά εργαλεία για τις επενδυτικές συναλλαγές. Σήμερα αποτελούν ένα ισχυρό εργαλείο στα χέρια χρηματοπιστωτικών ιδρυμάτων και συγκεντρώνουν όλο και περισσότερο ενδιαφέρον. Τα δικαιώματα προαίρεσης, παρουσιάζοντας μια διαρκώς ανερχόμενη δυναμική στους διεθνείς οικονομικούς κύκλους, θεωρούνται τα πιο γνωστά και εύκολα χρησιμοποιούμενα παράγωγα χρηματοοικονομικά προϊόντα. Η θεωρία τιμολόγησής τους σχετίζεται σχεδόν με οποιονδήποτε τομέα της χρηματοοικονομικής επιστήμης και πλήθος υπολογιστικών μοντέλων έχει αναπτυχθεί για την αποτίμησή τους και μελέτη της συμπεριφοράς τους. Σκοπός της διπλωματικής αυτής εργασίας είναι η κατανόηση της φιλοσοφίας τριών βασικών μεθόδων αποτίμησης των δικαιωμάτων προαίρεσης και στη συνέχεια η εμπειρική εφαρμογή τους στα δεδομένα του Χρηματιστηρίου Αξιών Αθηνών και του Χρηματιστηρίου Παραγώγων Αθηνών. Αναλυτικότερα, στο πρώτο κεφάλαιο γίνεται μια γενικότερη επισκόπηση των μεθόδων αποτίμησης που έχουν καταγραφεί μέχρι σήμερα, ξεκινώντας από το άνοιγμα του Chicago Board Options Exchange (CBOE) και φτάνοντας στο σήμερα. Από το δεύτερο κεφάλαιο και μετά, αφιερώνεται ένα κεφάλαιο σε κάθε μία από τις τρεις μεθόδους τιμολόγησης που επιλέξαμε να εξετάσουμε, ξεκινώντας από την απλούστερη μεν, αλλά γνωστότερη και ευρέως χρησιμοποιούμενη μεθοδολογία των Black and Scholes. Μιας και οι επόμενες μεθοδολογίες βασίζονται στον στοχαστικό προγραμματισμό, στο τρίτο κεφάλαιο αναλύεται η φιλοσοφία και οι αρχές του, ώστε, συνεχίζοντας στο τέταρτο, να εξετάσουμε τη δημιουργία ουδέτερων στον κίνδυνο πιθανοτήτων με βάση τα δέντρα στοχαστικών σεναρίων. Η επόμενη και τελευταία μέθοδος αποτίμησης (5 ο κεφάλαιο) βασίζεται στην τιμολόγηση της Black and Scholes, προσθέτοντας, όμως, στο αποτέλεσμά της δύο από τις υψηλότερες ροπές, την ασυμμετρία και την κύρτωση των υποκείμενων τίτλων. 3

Όσον αφορά στο εμπειρικό κομμάτι της εργασίας, επιλέξαμε να τιμολογήσουμε με βάση τις παραπάνω μεθόδους τα δικαιώματα προαίρεσης στο δείκτη Large Cap του Χρηματιστηρίου Αθηνών, για τους μήνες Αύγουστο, Σεπτέμβριο, Οκτώβριο και Νοέμβριο του προηγούμενου έτους, στηριζόμενοι σε δεδομένα της τελευταίας δεκαετίας (2002 2012). Η διαδικασία που ακολουθήθηκε και τα αποτελέσματά της παρουσιάζονται στο έκτο κεφάλαιο της εργασίας, ακολουθούμενα από σχολιασμό για το ελληνικό χρηματιστήριο και το ποσοστό σύνδεσής του με τα αποτελέσματα της θεωρίας κάτω από την παγκόσμια κρίση των τελευταίων ετών. Τέλος, στο παράρτημα της εργασίας, παρατίθενται τα αριθμητικά αποτελέσματα της εμπειρικής προσέγγισης για κάθε μήνα, μεθοδολογία και τύπο δικαιώματος προαίρεσης. 4

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑΣ Τα options (δικαιώματα προαίρεσης) θεωρούνται η πιο σημαντική ανακάλυψη των σύγχρονων οικονομικών. Σε αντίθεση με τα futures (συμβόλαια μελλοντικής εκπλήρωσης), όπου η μία πλευρά δεσμεύεται να παραδώσει και η άλλη να πληρώσει για ένα συγκεκριμένο αγαθό σε συγκεκριμένη μελλοντική ημερομηνία, τα options δίνουν στον κάτοχό τους το δικαίωμα, αλλά όχι την υποχρέωση, να αγοράσει (call option) ή να πουλήσει (put option) τον υποκείμενο τίτλο σε συγκεκριμένη τιμή εξάσκησης (strike price) και συγκεκριμένη ημερομηνία (δικαιώματα προαίρεσης ευρωπαϊκού τύπου) ή πριν από αυτήν (αμερικανικού τύπου δικαιώματα προαίρεσης). Η πρώτη οργανωμένη αγορά δικαιωμάτων προαίρεσης δημιουργήθηκε το 1973 στο Σικάγο από το Chicago Board Options Exchange (CBOE), με υποκείμενο τίτλο μετοχές υπό διαπραγμάτευση στα δύο χρηματιστήρια της Νέας Υόρκης. Το ενδιαφέρον των επενδυτών για τη σύναψη συμβολαίων δικαιωμάτων οδηγούσε επενδυτές και κερδοσκόπους να διαπραγματεύονται συμβόλαια δικαιωμάτων επί μετοχών με ικανή εμπορευσιμότητα σε μη οργανωμένες αγορές χρηματιστηριακών μεσιτών. Έτσι, με τη δημιουργία της ολοκληρωμένης αγοράς, όλο το ενδιαφέρον των επενδυτών συγκεντρώθηκε στο CBOE και σημειώθηκαν μεγάλοι όγκοι συναλλαγών. Η ελκυστικότητα των δικαιωμάτων προαίρεσης υπήρξε καθολική σε όλες τις κεφαλαιαγορές του κόσμου, με αποτέλεσμα την παγκόσμια διάδοσή τους. Στην Ελλάδα, η διαπραγμάτευση δικαιωμάτων προαίρεσης στο δείκτη FTSE/ASE 20 και στο FTSE/ASE Mid 40 ξεκίνησε το Σεπτέμβριο του 2000 και τον Ιούνιο του 2001 αντίστοιχα. Τα συμβόλαια δικαιωμάτων προαίρεσης δεν ήταν, όμως, κάτι το καινούριο, μιας και η πρώτη γνωστή περιγραφή τους γίνεται στα γραπτά κείμενα του Αριστοτέλη. Σε μια ιστορία του για το Θαλή το Μιλήσιο, περιγράφει πως ο Θαλής προέβλεψε την ιδιαίτερα καλή παραγωγή ελιάς της χρονιάς και έκανε πολύ φτηνές συμφωνίες με τους ιδιοκτήτες ελαιοτριβείων να του παραχωρήσουν τα δικαιώματα όταν η σοδειά θα ήταν έτοιμη για συγκομιδή. Όταν εμφανίστηκε μεγάλη ζήτηση στα ελαιοτριβεία, ο Θαλής διέθετε το εμπόρευμα σε όποια τιμή ήθελε, με αποτέλεσμα να αποκομίσει υψηλό κέρδος. 5

Καταλαβαίνουμε, λοιπόν, πως πρόκειται για ένα πολύ σημαντικό χρηματοοικονομικό προϊόν, κάτι που εξηγεί απόλυτα και την συνεχή έρευνα και σε θεωρητικό, αλλά και πρακτικό επίπεδο για την αποτίμησή τους. Οι σύγχρονες τεχνικές αποτίμησης των options, βασιζόμενες στον στοχαστικό λογισμό, κατατάσσονται ανάμεσα στις πιο πολύπλοκες μαθηματικές εφαρμογές των εφαρμοσμένων τομέων των χρηματοοικονομικών. Η αρχή έγινε το 1877 από το βιβλίο του Charles Castelli, «The Theory of Options in Stocks and Shares». Μ αυτό το βιβλίο, ο Castelli εισήγαγε για πρώτη φορά της έννοιες της κερδοσκοπίας και του hedging στα options, αλλά χωρίς καμία θεωρητική βάση. Είκοσι τρία χρόνια μετά (1900), ο Louis Bachelier με τη διατριβή του «Theorie de la Speculation» παρουσίασε την πρώτη αναλυτική αξιολόγηση των options. Η αξιολόγηση αυτή κίνησε την περιέργεια του Paul Samuelson, καθηγητή του MIT, ο οποίος το 1955 έγραψε το αδημοσίευτο άρθρο «Brownian motion in the Stock Market», ενώ την ίδια χρονιά, ένας φοιτητής του Samuelson, ο Richard Kruizenga, χρησιμοποίησε στη δική του διατριβή το έργο του Bachelier. Το 1962, ο A. James Boness στη μελέτη του, με τίτλο «A Theory and Measurement of Stock Option Value», ανέπτυξε ένα μοντέλο τιμολόγησης των options, που θεωρείται ο πρόδρομος για τη μελέτη των Black and Scholes. Σήμερα, οι οικονομικοί αναλυτές είναι σε θέση να υπολογίζουν με ακρίβεια την αξία ενός option, με τα περισσότερα από τα μοντέλα και τις παρούσες τεχνικές που χρησιμοποιούνται να βασίζονται στο μοντέλο των Black and Scholes (1973). Οι τελευταίοι, στην εργασία τους παρουσιάζουν την πρώτη λύση γενικής ισορροπίας στο πρόβλημα τιμολόγησης των call και put options, βασιζόμενοι στην υπόθεση ότι οι μετοχές ακολουθούν το γεωμετρικό Brownian model. Η βασική αντίληψη στην οποία στηρίζεται το μοντέλο είναι η εύρεση μιας δυναμικής εμπορικής στρατηγικής δημιουργίας χαρτοφυλακίου, ώστε να δημιουργείται μια πιστή αναπαράσταση των αποδόσεων των option πάνω στις μετοχές. Για να αποφευχθεί, όμως, η δημιουργία arbitrage, θα πρέπει η τιμή των options να ισούται με την αξία του χαρτοφυλακίου. Στον τύπο τιμολόγησης του μοντέλου, η μόνη εισροή που χρησιμοποιείται είναι η μεταβλητότητα (volatility) των μετοχών, κάτι, όμως, που δεν είναι άμεσα παρατηρήσιμο. Σαν αποτέλεσμα, συχνά το μοντέλο τιμολογεί λανθασμένα τα deep in the money και τα deep out of the money options, κάτι που ονομάζεται λοξή κίνηση αστάθειας ή χαμόγελο αστάθειας (volatility skew ή volatility smile). 6

Την ίδια χρονιά με τους Black and Scholes, ο Merton αποδεικνύει σε μια δημοσίευσή του, πως εάν μια μετοχή δεν δίνει μέρισμα, συνήθως δεν ασκείται το δικαίωμα προαίρεσης πριν τη λήξη της, και σαν αποτέλεσμα το μοντέλο των Black and Scholes δίνει για τη μετοχή την ίδια τιμή με ένα Ευρωπαϊκού τύπου δικαίωμα προαίρεσης. Προσθέτει, λοιπόν, στο ήδη υπάρχον μοντέλο, την ύπαρξη μερισμάτων, τα οποία καταβάλλονται συνεχώς, έτσι ώστε η μερισματική απόδοση δ D 1* S, να είναι σταθερή. Παράλληλα, κάνει τις πρώτες νύξεις για στοχαστικό επιτόκιο, κάτι που ολοκληρώνει το 1976 με τα Jump Diffusion Models (Μοντέλα Διάχυσης). Στη δεύτερη αυτή μεθοδολογία, ο Merton θεωρεί πως η τιμή των μετοχών ακολουθεί ένα γεωμετρικό Brownian model και μια σειρά από άλματα (jumps), ακολουθούν τη διαδικασία Poisson. Διακρίνει δύο τύπους αλλαγών στους δείκτες των μετοχών: την κανονική δόνηση στην τιμή μοντελοποιείται με στοχαστική διαδικασία (που παρουσιάζεται για πρώτη φορά) - και τις ανώμαλες δονήσεις, που μπορούν να προκληθούν από διάφορους οικονομικούς παράγοντες μοντελοποιούνται με τη διαδικασία Poisson. Το 1975 ο Ingersoll τροποποιεί ξανά το μοντέλο των Black and Scholes, ώστε να ληφθεί υπόψη η επίδραση των φορολογικών συντελεστών επί των κεφαλαιακών κερδών. Θεωρεί πως τα μερίσματα που πληρώνονται συνεχώς ( σε ποσοστό b = D/S ), φορολογούνται, όπως και τα έσοδα από τόκους, σε επιτόκιο τ και οι φόροι κερδών κεφαλαίου είναι μηδενικοί. Το 1979, οι Cox, Ross and Rubinstein παρουσίασαν τη μεθοδολογία στοχαστικών δέντρων για τιμολόγηση των δικαιωμάτων προαίρεσης, στην εργασία Option Pricing: A Simplified Approach, βασιζόμενοι σε αξιολόγηση μηδενικού κινδύνου. Δημιουργήθηκε έτσι το διωνυμικό μοντέλο αποτίμησης, κάτω από διάφορες εναλλακτικές υποδειγμάτων, όπως τα absolute diffusion, pure jump, and square root constant elasticity of variance models. Παρόλο που πρόκειται για ένα σχετικά απλό και εύκολο εργαλείο αποτίμησης, είναι αρκετά σημαντικό για την τιμολόγηση μιας μεγάλης γκάμας δικαιωμάτων προαίρεσης. Το δέντρο, σε κάθε κόμβο του, υπολογίζει όλες τις πιθανές μελλοντικές τιμές των μετοχών και τις αντίστοιχες πιθανότητες για να επέλθει η εκάστοτε τιμή, κάτω από ένα πρίσμα διαφορετικό από την γεωμετρική κίνηση Brown. Επιπλέον, σε αντίθεση με τη μεθοδολογία των Black and Scholes, το δέντρο αναφέρεται σε διακριτό χρόνο, ο οποίος χρησιμοποιείται στον υπολογισμό της τιμής. 7

Έχοντας δύο επιλογές για την κίνηση της τιμής της μετοχής, είτε να ανέβει, είτε να κατέβει, υπολογίζονται οι πιθανότητες q και 1-q αντίστοιχα, μιας και το σύνολό τους αθροίζει στο 1. Λόγω της ευκαμψίας του, το συγκεκριμένο μοντέλο θεωρείται πολύ πιο ακριβές στον υπολογισμό των τιμών των μετοχών απ ότι το Black and Scholes model. Βασιζόμενοι στο παραπάνω μοντέλο και στο ότι η εξίσωση των Cox, Ross and Rubinstein E[ST/St St] = exp{r(t-t)} είναι ίδια με την E[e -rt S T St] = e -rt S, οι Harrison and Kreps το 1979 οδηγήθηκαν στην ιδέα πως οι πιθανότητες των πρώτων μπορούν να αντιστοιχιστούν σε πιθανότητες ουδέτερου ρίσκου, οι οποίες προεξοφλημένες θα ικανοποιούν τις συνθήκες martingale. Στη συνέχεια, το 1985 (και το 1994) ο Rubinstein αναπαράστησε τη δομή των τιμών των δικαιωμάτων προαίρεσης μέσα από την κλίση της καμπύλης μεταβλητότητάς (volatility) τους, ώστε να γίνει πιο εύκολη η σύγκριση μεταξύ των τιμών εξάσκησης των δικαιωμάτων προαίρεσης (strike prices). Μελέτησε τις τιμές των 30 πιο ενεργά διαπραγματεύσιμων options του CBOE (Chicago Board Options Exchange) και εντόπισε ότι το μοντέλο των Black and Scholes υπερτιμά τα in the money options και κοστολογεί υπερβολικά χαμηλά τα out of the money options. Κατέληξε, λοιπόν, στο συμπέρασμα ότι η κλίση της τιμής εξάσκησης του δικαιώματος είναι αρκετά σημαντική για το μοντέλο των Black and Scholes και πως αυτή η κλίση είναι σχεδόν όμοια για τα περισσότερα options σε οποιοδήποτε σημείο, αλλάζει όμως ανά χρονική περίοδο. Το 1982 οι Jarrow and Rudd πρότειναν ένα ημιπαραμετρικό μοντέλο για να γίνει δυνατός ο υπολογισμός της προαναφερθείσας κλίσης. Εξήγαγαν μια μεθοδολογία αποτίμησης των δικαιωμάτων βασιζόμενοι σε μια επέκταση της λογαριθμικής συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας, ώστε να καταφέρουν έτσι να μοντελοποιήσουν την κατανομή των τιμών των μετοχών. Ουσιαστικά, πρόκειται για μια μέθοδο που υπολογίζει τις παρεκκλίσεις της ασυμμετρίας (skewness) και της κύρτωσης (kurtosis) από την λογαριθμική κανονική κατανομή των τιμών των μετοχών. Για το θέμα της ασυμμετρίας και της κύρτωσης έχουν γίνει αρκετές έρευνες και δημοσιεύσεις από τους Rubinstein (1973, 1994), Kraus and Litzenberger (1976), Merton (1976), Bakshi, Cao and Chen (1997), Ait-Sahalia and Lo (1998), Madan, Carr and Chang (1998), Pan (1999), Bates (2000), Duffie, Pan and Singleton (2000). Όλοι τους προσπάθησαν και σχεδίασαν μοντέλα αποτίμησης των δικαιωμάτων προαίρεσης που να βασίζονται κυρίως στο ρόλο που παίζουν οι παρεκκλίσεις των δύο αυτών ροπών στην κατανομή των τιμών σε έναν κόσμο ουδέτερου ρίσκου. 8

Με αρχή τον Rubinstein το 1994 και στη συνέχεια τους Derman and Kani την ίδια χρονιά, ξεκίνησε η εμφάνιση νέων μοντέλων για την τιμολόγηση των Ευρωπαϊκού τύπου δικαιωμάτων προαίρεσης, τα όποια βασίζονταν στο σχεδιασμό των διωνυμικών και τριωνυμικών δέντρων. Οι παραπάνω οικονομολόγοι αντί να επιβάλλουν την παραμετρική λειτουργία της μεταβλητότητας στα ήδη υπάρχοντα μοντέλα, προσπάθησαν να προσεγγίσουν τις τιμές των υποκείμενων αγαθών στους κόμβους των στοχαστικών δέντρων, βασιζόμενοι στις ήδη υπάρχουσες τιμές της αγοράς. Το 1996, οι Rubinstein and Jackwerth παρουσίασαν μια γενίκευση της πρότερης προσέγγισης του πρώτου, χρησιμοποιώντας μη γραμμικό προγραμματισμό. Κατάφεραν με αυτόν τον τρόπο να ελαχιστοποιήσουν ταυτόχρονα τέσσερις συναρτήσεις, ώστε να μπορούν να πετύχουν το μικρότερο δυνατό λάθος στην πρόβλεψη του μοντέλου, μεταξύ των τιμών προσφοράς και ζήτησης. Στις αρχές του 1990, βασιζόμενοι στο μοντέλο των Jarrow and Rudd (1982), ο Hull (1993) και στη συνέχεια ο Nattenburg (1994) παρατήρησαν ότι οι αποδόσεις των μετοχών παρουσιάζουν μη κανονική ασυμμετρία και κύρτωση. Η μη κανονικότητα αυτή οδηγεί στην ύπαρξη παραποίησης της μεταβλητότητας (volatility skews) και ευθύνεται για τις συνεχείς παραβιάσεις της υπόθεσης κανονικότητας, όπως αυτή δίνεται στο μοντέλο των Black and Scholes. Προχωρώντας, το 1996 οι Corrado and Su ανέπτυξαν μια μεθοδολογία αποτίμησης των δικαιωμάτων προαίρεσης για να ενσωματώσουν στο αποτέλεσμα τις μη κανονικές παρατηρήσεις στις ροπές υψηλότερης τάξης των options (higher moments). Επέκτειναν την μεθοδολογία των Black and Scholes, θεωρώντας πως η τελική τιμή των options ισούται με την υπολογισμένη Black and Scholes τιμή συν τις παρατηρήσεις για μη κανονική ασυμμετρία και κύρτωση προσαρμοσμένες στο ανάπτυγμα Gram - Charlier για δεσμευμένη (conditional) κατανομή. Οι τελευταίες μεθοδολογίες που εμφανίστηκαν με βάση τα διωνυμικά μοντέλα αποτίμησης των options, μπορούν να χρησιμοποιηθούν και για την αποτίμηση χρηματοοικονομικών χαρτοφυλακίων, η οποία βασίζεται στο στοχαστικό προγραμματισμό πολλαπλών σταδίων ( multistage stochastic programming ). 9

Ο στοχαστικός προγραμματισμός πολλών σταδίων εν αντιθέσει με τον στοχαστικό έλεγχο χρησιμοποιείται ευρέως στη διαμόρφωση και λύση χρηματοδοτικών προβλημάτων, τα οποία χαρακτηρίζονται από έναν μεγάλο αριθμό μεταβλητών και παράλληλα από μικρό αριθμό πιθανών σταδίων αποφάσεων. Η βιβλιογραφία για την τυποποίηση και τιμολόγηση του χαρτοφυλακίου μέσω στοχαστικού προγραμματισμού έχει τις ρίζες της στις αρχές της δεκαετίας του 70, όταν για πρώτη φορά έγινε προσπάθεια να λυθεί ένα πρόβλημα χαρτοφυλακίου με τίτλους σταθερού επιτοκίου. Όμως, στον στοχαστικό προγραμματισμό απαιτείται η συνεπής αντιπροσώπευση της αβεβαιότητας των κινήσεων των μετοχών, πράγμα που εκφράζεται με όρους της πολυμεταβλητής συνεχούς κατανομής. Ως εκ τούτου, το μοντέλο απόφασης και τιμολόγησης δημιουργείται κυρίως με εσωτερική δειγματοληψία ή προσεγγίζοντας τη διακριτή κατανομή των τιμών των υποκείμενων τίτλων. Η κατάλληλη μέθοδος για την απόκτηση των αποτελεσμάτων αυτών είναι η δημιουργία δέντρων σεναρίων ( scenario trees ). Στα πρότυπα πολλών σταδίων, σε κάθε περίοδο διακλαδίζονται νέα σενάρια με βάση τα ήδη υπάρχοντα και έτσι δημιουργείται το ζητούμενο δέντρο. Η διακριτικοποίηση των τυχαίων τιμών και παράλληλα του διαστήματος πιθανότητας εμφάνισής τους, οδηγεί σε ένα πλαίσιο στο οποίο μια τυχαία μεταβλητή παίρνει πεπερασμένο πλήθος τιμών. Σαν αποτέλεσμα, οι παράγοντες που οδηγούν σε ακραία γεγονότα προσεγγίζονται από το σύνολο των σεναρίων και την ακολουθία των γεγονότων. Λαμβάνοντας υπόψη την πορεία των τιμών μέχρι την παροντική στιγμή που μελετάμε, η αβεβαιότητα της επόμενης περιόδου χαρακτηρίζεται από ένα πεπερασμένο αριθμό αποτελεσμάτων για την επόμενη παρατήρηση. Αυτή η διαδικασία διακλάδωσης αναπαριστάται μέσω του δέντρου σεναρίων. Ο αρχικός κόμβος του δέντρου αντιπροσωπεύει το σήμερα, ενώ οι επόμενοι τα μελλοντικά γεγονότα, εξαρτώμενα από την τιμή του αρχικού αυτού κόμβου. Το ιδανικό για τον σχεδιαστή του μοντέλου αυτού, θα ήταν να μπορεί να αποκτήσει μια πλήρη αντιπροσώπευση των πιθανών αποτελεσμάτων της τυχαίας μεταβλητής, μέσα από τη δημιουργία ενός συνόλου σεναρίων. Γι αυτό, τα σενάρια που δημιουργούνται θα πρέπει να αντιπροσωπεύουν και τα θετικά και τα αρνητικά αποτελέσματα που μπορεί να πάρει η τιμή της μετοχής μέσα στο χρονικό διάστημα που εξετάζεται. 10

Σήμερα, υπάρχουν αρκετές τεχνικές για τη δημιουργία σεναρίων, όπως του Boender ( 1997 ) για αυτοπαλίνδρομες διαδικασίες, των Mulvey and Vladimirou ( 1992 ) που βασίζεται στην ανάλυση των κυρίων συνιστωσών, των Dempster and Thorlacius ( 1998 ), Carino et al. ( 1994 ) και Mulvey (1996) για στοχαστική προσομοίωση των οικονομικών μεταβλητών και των αποδόσεων των περιουσιακών στοιχείων. Τα υποδείγματα στοχαστικών μεθόδων χρησιμοποιούνται πια για παγκόσμιο στοχαστικό σχεδιασμό, εξετάζοντας συγκεκριμένους οικονομικούς παράγοντες. Σε θεωρητικό επίπεδο, το 2001 ο Pflug κατασκεύασε ένα δέντρο σεναρίων βάσει ενός προτύπου προσομοίωσης της υποκείμενης οικονομικής διαδικασίας, χρησιμοποιώντας στοχαστική προσέγγιση. Την ίδια χρονιά, οι Hoyland and Wallace δημιούργησαν μια τεχνική παραγωγής σεναρίων για τα δέντρα πολυμεταβλητών σεναρίων, την οποία χρησιμοποίησαν στις εργασίες τους οι Vitoriano et al. ( 2001 ) και οι Kouwenberg and Vorst ( 1998 ). Στην εργασία αυτή, οι Hoyland and Wallace πρότειναν τη διαδικασία παραγωγής ενός δέντρου σεναρίων με την επίλυση ενός αρκετά μεγάλου, μη γραμμικού προβλήματος βελτιστοποίησης, αλλά η ιδέα τους δεν αξιοποιήθηκε πλήρως. Όμως, η λύση στοχαστικών γραμμικών προγραμμάτων βελτιστοποίησης βρίσκει εφαρμογή σε προβλήματα πρακτικής σημασίας. Χρησιμοποιήθηκε μάλιστα σε πολλές έρευνες και εργασίες, όπως των Brennan, Schwartz and Langado ( 1997 ), Zhao and Ziemba ( 2001 ), Geyer et al. ( 2003 ), Ziemba ( 2003 ), Topaloglou et al. ( 2008 ). Στην εργασία αυτή, γίνεται προσπάθεια προσαρμογής και εμπειρικής εφαρμογής των κατάλληλων μεθόδων για αποτίμηση των δικαιωμάτων προαίρεσης, με βάση διακριτά σύνολα σεναρίων για τις τιμές των υποκείμενων τίτλων, εξετάζοντας τρεις διαδικασίες για την τιμολόγηση δικαιωμάτων προαίρεσης ευρωπαϊκού τύπου. 11

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΤΟ ΜΟΝΤΕΛΟ ΤΩΝ BLACK AND SCHOLES Το μοντέλο των Black and Scholes αποτελεί μια από τις πιο σημαντικές έννοιες της σύγχρονης χρηματοοικονομικής θεωρίας. Αναπτύχθηκε από τους οικονομολόγους Fischer Black and Myron Scholes, που μέσα από την εργασία τους «The Pricing of Options and Corporate Liabilities» (δημοσιεύθηκε τον Μάιο του 1973 στο περιοδικό Journal of Political Economy) επαναπροσδιόρισαν τις έννοιες των παραγώγων και γενικά των χρηματοοικονομικών προϊόντων. Σ αυτή τους την εργασία δημιούργησαν ένα μοντέλο για την παραλλαγή των τιμών κατά τη διάρκεια του χρόνου ζωής των χρηματοοικονομικών προϊόντων, που μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον προσδιορισμό της τιμής των Ευρωπαϊκού τύπου δικαιωμάτων προαίρεσης (European options). Το μοντέλο υποθέτει ότι η τιμή των στοιχείων που διαπραγματεύονται στις αγορές ακολουθεί τη γεωμετρική κίνηση Brown (geometric Brownian motion), με σταθερή κλίση και μεταβλητότητα. Όταν το μοντέλο εφαρμόζεται σε ένα option ενσωματώνει τη συνεχή διακύμανση των τιμών των μετοχών, τη χρονική αξία του χρήματος, την τιμή εξάσκησης (strike price) και το χρόνο λήξης (the time to expiration) του δικαιώματος. Το έναυσμα για τη δημιουργία της γνωστής πλέον εξίσωσης δόθηκε από τον Fisher Black, όταν ξεκίνησε να δουλεύει πάνω σε ένα μοντέλο αποτίμησης για τα δικαιώματα μελλοντικής αγοράς (stock warrants), σύμφωνα με το οποίο χρησιμοποιώντας παράγωγα (derivatives) μπορούσε να υπολογίσει πόσο διαφέρει το προεξοφλητικό επιτόκιο ενός ενεχυρογράφου ανάλογα με το χρόνο και την τιμή της μετοχής. Στη συνέχεια, συνεργάστηκε με τον Myron Scholes και το αποτέλεσμα της κοινής τους εργασίας ήταν ένα ακριβές πρότυπο τιμολόγησης των options. Στην πραγματικότητα, όμως, το αποτέλεσμα των δύο βασίζεται και βελτιώνει ένα μοντέλο που είχε προταθεί από τον A. James Boness, στην διατριβή του στο Πανεπιστήμιο του Σικάγο. Αυτό που οι Black and Scholes απέδειξαν είναι πως το επιτόκιο χωρίς κίνδυνο (risk-free rate) είναι ο σωστός συντελεστής προεξόφλησης των τιμών, με βάση την απουσία υποθέσεων σχετικά με τις προτιμήσεις κινδύνου των επενδυτών. 12

Στο αρχικό μοντέλο που παρουσίασε ο Black, εστίασε σε ένα χαρτοφυλάκιο της μορφής V=QS+C, όπου V είναι η αξία του χαρτοφυλακίου, Q η θέση της μετοχής, S η τιμή της και C η τιμή για ένα δικαίωμα προαίρεσης ευρωπαϊκού τύπου. Χρησιμοποιώντας το ανάπτυγμα του Taylor (Taylor series expansion) και βασιζόμενος σε αντιστάθμιση κινδύνου, κατάφερε να δημιουργήσει ένα χαρτοφυλάκιο με μηδενικό βήτα [beta συντελεστής συστηματικού (μη διαφοροποιήσιμου) κινδύνου] σε κάθε χρονική στιγμή. Το ολοκληρωμένο μοντέλο, όμως, που παρουσίασε μαζί με τον Scholes είναι πολύ πιο εξελιγμένο από αυτό. Οι βασικές υποθέσεις των δύο για τη λειτουργία του μοντέλου είναι οι εξής: Η μετοχή δεν δίνει μερίσματα κατά τη διάρκεια ζωής του δικαιώματος προαίρεσης Ισχύουν οι όροι άσκησης ενός European call, δηλαδή μπορεί κάποιος να ασκήσει το δικαίωμά του μόνο στη λήξη του option Αναφερόμαστε σε αποτελεσματικές αγορές. Δεν υπάρχει δυνατότητα arbitrage. Δεν υπάρχουν προμήθειες, είτε αμοιβές, είτε κόστη κατά τη διάρκεια αυτής της περιόδου. Τα επιτόκια παραμένουν σταθερά και είναι γνωστά κατά τη διάρκεια ζωής του option Οι αποδόσεις των μετοχών ακολουθούν λογαριθμική κατανομή. Με βάση τα παραπάνω, απέδειξαν ότι «είναι δυνατόν να δημιουργηθεί μια θέση αντιστάθμισης κινδύνου, που να αποτελείται από μια long position στη μετοχή και μια short position στο δικαίωμα, η αξία των οποίων δεν θα εξαρτάται από την τιμή της μετοχής» 1. Έστω: C η τιμή ενός European call option S η τιμή της μετοχής K η τιμή εξάσκησης του option T ημερομηνία λήξης του option r το ετήσιο risk-free rate μ η αναμενόμενη απόδοση σ η μεταβλητότητα (volatility) 1 Black, Fischer; Scholes, Myron. "The Pricing of Options and Corporate Liabilities"- Journal of Political Economy 81(3): 637 654. 13

Χρησιμοποιούμε την τυπική κανονική συνάρτηση κατανομής N(x) =, όπου N (x) = η τυπική κανονική συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας. Έστω ότι θέλουμε να τιμολογήσουμε ένα call option C(S,t), σε μία μετοχή S(S,t), με λήξη T και τιμή εξάσκησης K. Υποθέτουμε ότι ακολουθεί γεωμετρική κίνηση Brown, με αναμενόμενη απόδοση μ και μεταβλητότητα σ και το επιτόκιο μηδενικού κινδύνου r, συνεχώς ανατοκιζόμενο. Λόγω της γεωμετρικής κίνησης Brown που ακολουθεί το μοντέλο, η τιμή του υποκείμενου τίτλου δίνεται από την εξίσωση (1), 2 όπου το W αντιπροσωπεύει την κίνηση Brown. Στη συγκεκριμένη εξίσωση, το W και η απειροελάχιστη μεταβολή του dw, αποτελούν τη μόνη πηγή αβεβαιότητας. Δηλαδή το dw είναι στοχαστικό, dw ~ N(0, Wiener. ) και ακολουθεί την διαδικασία Υποθέτοντας ότι f είναι η τιμή ενός παραγώγου ασφαλείας (derivative security) ή ενός call option σαν συνάρτηση του χρόνου και τις τιμής της μετοχής έχουμε ότι: (2) Μεταφέροντας τις παραπάνω εξισώσεις σε διακριτό χρόνο έχουμε: (3) και (4), Όπου, οι μεταβολές σε S και f σε μικρό χρονικό διάστημα. 2 Hull, John C. (2008). Options, Futures and Other Derivatives (7 ed.). 14

Συνεχίζοντας, εφαρμόζουμε την προσομοίωση Monte Carlo και στηριζόμενοι στο λήμμα του Ito (Ito s lemma). Γνωρίζουμε ότι συνάρτησης, αφού ΔW ~ Ν(Ο,, και σύμφωνα με τις ιδιότητες της λογαριθμικής ), τότε ΔS ~ lognormal και κατά συνέπεια. Εφόσον ξέρουμε τη στοχαστική διαδικασία που ακολουθεί η μετοχή S χρησιμοποιούμε το ανάπτυγμα του Taylor στην f, σύμφωνα με τo οποίo (5). Από την εξίσωση (1) ξέρω ότι (6). Άρα, από τις (1), (5), (6) εξισώσεις καταλήγουμε στο ότι (7) Έχοντας όμως, τον όρο dw, ο οποίος είναι στοχαστικός, δεν μπορούμε να προχωρήσουμε στη λύση της παραπάνω εξίσωσης. Έχουμε, παρόλα αυτά, τη δυνατότητα σχηματισμού χαρτοφυλακίου, μιας και η τιμή του option και της μετοχής εξαρτώνται από τον παραπάνω στοχαστικό όρο. Δημιουργούμε, έτσι, ένα χαρτοφυλάκιο που να αποτελείται από τη μετοχή και το δικαίωμα προαίρεσης, συνδυασμένα με τέτοιο τρόπο ώστε να εξαλείφουν την αβεβαιότητα που υπάρχει στην εξίσωση (7). Στο παραπάνω χαρτοφυλάκιο, V, παίρνουμε θέση long σε Δ μετοχές = και short σε 1 δικαίωμα προαίρεσης. Η αξία του χαρτοφυλακίου αυτού δίνεται από τον τύπο (8). Άρα, η αλλαγή στην αξία του, σε χρόνο Δt ισούται με (9). 15

Αντικαθιστώντας τις εξισώσεις (3) και (4), στην (9) καταλήγουμε ότι: (10). Αφού η εξίσωση (10) δεν συμπεριλαμβάνει κανένα στοχαστικό όρο, θα πρέπει το χαρτοφυλάκιο που δημιουργήσαμε να εμπεριέχει μηδενικό κίνδυνο κατά τη διάρκεια του Δt, και να εμφανίσει ποσοστό απόδοσης ίσο με τις υπόλοιπες ουδέτερες στον κίνδυνο μετοχές, με επιτόκιο r, ουδέτερο στον κίνδυνο. Αυτό σημαίνει ότι: (11). Αντικαθιστώντας τις εξισώσεις (8) και (10), η (11) γίνεται : (12). Η (12) αποτελεί την εξίσωση των Black and Scholes. Ουσιαστικά, είναι μια μερική διαφορική εξίσωση, η οποία περιγράφει την τιμή του δικαιώματος προαίρεσης με την πάροδο του χρόνου. Η βασική ιδέα είναι ότι μπορεί κανείς να αντισταθμίσει πλήρως τον κίνδυνο από το option, αγοράζοντας και πουλώντας τον υποκείμενο περιουσιακό τίτλο με τέτοιο τρόπο, ώστε να πετύχει την εξάλειψη του κινδύνου. Αυτή η αντιστάθμιση, σημαίνει κατά βάση πως υπάρχει μόνο μία σωστή τιμή για το option, όπως αυτή προκύπτει από την εξίσωση (12). Η παραπάνω εξίσωση ικανοποιείται από κάθε παράγωγο, που η τιμή του εξαρτάται από την τιμή της μετοχής. Το εκάστοτε παράγωγο που τιμολογούμε καθορίζεται από τις οριακές του συνθήκες. Για τα options, οι οριακές συνθήκες είναι: Call option: f = max ( S K, 0) when t=t Put option: f = max ( K S, 0) when t=t 3 3 Hull, John C. (2008). Options, Futures and Other Derivatives (7 ed.). pg 288 16

Ο ένας τρόπος για να τιμολογήσουμε το call option είναι να λύσουμε την εξίσωση (12) με βάση την παραπάνω οριακή συνθήκη. Ο άλλος τρόπος είναι να χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο αποτίμησης μηδενικού κινδύνου (risk-neutral valuation). Για χάριν συντομίας, θα χρησιμοποιηθεί ο δεύτερος τρόπος. Η αναμενόμενη τιμή ενός call option χωρίς κίνδυνο είναι (13), και προεξοφλημένη στο risk-free rate (14). Θεωρώντας πως η S T κατανέμεται με βάση τη λογαριθμική συνάρτηση, την τυπική απόκλιση του lns T, σ, και λύνουμε και καταλήγουμε στην εξίσωση:, με και. Με τα d 1, d 2 ίδια και για τα put options, η αντίστοιχη εξίσωση είναι:. Με την εμφάνιση του μοντέλου έγιναν πολλά τεστ για την ορθότητα και την εγκυρότητα των αποτελεσμάτων του. Τα αποτελέσματα έδειξαν πως παρόλο που πολλοί από τους παράγοντες που λαμβάνονται υπόψη (όπως ο χρόνος, η τιμή εξάσκησης, η τιμή της μετοχής, το επιτόκιο) προσδιορίζονται εύκολα και με ακρίβεια, η μεταβλητότητα της μετοχής είναι πολύ δύσκολο να καθοριστεί επακριβώς. 17

Για μεγάλο χρονικό διάστημα, χρησιμοποιούνταν οι ιστορικές τιμές της μεταβλητότητας, οι οποίες ενώ μπορούν να δώσουν μια αποδεκτή εκτίμηση για την μελλοντική πορεία της, δεν είναι πάντα ακριβείς και μπορούν να προκαλέσουν λάθη στο αποτέλεσμα των εξισώσεων. Μετά από τα τεστ των Black & Scholes (1973) και των Chiras & Manaster (1978), ο Rubinstein το 1994 απέδειξε, χρησιμοποιώντας εμπειρικά δεδομένα από το 1986 έως το 1992 στον S&P500, πως στα αποτελέσματα του μοντέλου παρατηρούνται σημαντικά λάθη τιμολόγησης, περίπου γύρω στο 10%, και πως η μεταβλητότητα των δικαιωμάτων προαίρεσης διαφέρει ανάλογα με το πόσο υψηλή ή όχι είναι η τιμή τους. Σύμφωνα με τα προαναφερθέντα εμπειρικά τεστ, καθώς και αρκετές μελέτες που έγιναν, το μοντέλο παρουσιάζει τα παρακάτω προβλήματα: Υποθέτει ότι το ουδέτερο στον κίνδυνο επιτόκιο (risk-free rate) και η μεταβλητότητα είναι σταθερά, πράγμα αδύνατο, καθώς και τα δύο υπόκεινται σε διακυμάνσεις ανάλογα με τις επικρατούσες συνθήκες στην αγορά. Υποθέτει ότι οι τιμές των μετοχών είναι συνεχείς και δεν εμφανίζονται μεγάλες αλλαγές στην αγορά. Υποθέτει πως οι μετοχές δεν πληρώνουν μερίσματα, παρά μόνο στη λήξη τους. Οι αναλυτές μπορούν μόνο να υπολογίσουν τη μεταβλητότητα μιας μετοχής, αντί να την παρατηρήσουν άμεσα, όπως για τις υπόλοιπες παραμέτρους του μοντέλου. Το μοντέλο τείνει να τιμολογεί πολύ υψηλά τα out of the money και να τιμολογεί πολύ χαμηλά τα deep in the money options. Το μοντέλο τιμολογεί λανθασμένα τα options που περιλαμβάνουν οι μετοχές υψηλών μερισμάτων. Για να μπορέσουν να αντιμετωπιστούν τα προβλήματα αυτά, δημιουργήθηκαν διαφορετικά είδη μοντέλων για την αποτίμηση των options, όπως τα στοχαστικά προγράμματα. Η ανάπτυξή τους γίνεται εύκολη στην πράξη λόγω των ευέλικτων συστημάτων μοντελοποίησης, όπως τα διωνυμικά μοντέλα αποτίμησης, και της προόδου στον τομέα της πληροφορικής. Ως εκ τούτου, κερδίζουν όλο και περισσότερο την αποδοχή του κοινού σαν τα κατάλληλα εργαλεία για την τιμολόγηση και την αντιμετώπιση των χρηματοοικονομικών προβλημάτων. 18

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ (Stochastic Programming) Ο στοχαστικός προγραμματισμός αποτελεί ένα μαθηματικό προγραμματιστικό πλαίσιο για τη μοντελοποίηση των προβλημάτων που περιλαμβάνουν αβεβαιότητα. Παρόλο που τα θεωρητικά προβλήματα βελτιστοποίησης για την εύρεση λύσεων και μοντέλων διατυπώνονται με γνωστές παραμέτρους, στον πραγματικό κόσμο περιλαμβάνονται αρκετές άγνωστες παράμετροι. Κρίνεται, λοιπόν, απαραίτητο να βρεθεί λύση για βελτιστοποίηση όλων των δεδομένων σε πραγματικά προβλήματα. Ο βασικός στόχος είναι η εύρεση μιας διαδικασίας ικανής να υπολογίσει όλες τις πιθανές κινήσεις των δεδομένων και να οδηγήσει στη μεγιστοποίηση της συνάρτησης των προσδοκιών των επενδυτών για τις τυχαίες μεταβλητές, το ρόλο των οποίων, παίζουν οι μετοχές. Τα στοχαστικά προβλήματα πολλών βαθμίδων (multistage stochastic problems) αποτελούν μια αποτελεσματική και ικανή διαδικασία για την μοντελοποίηση και τιμολόγηση των δυναμικών προβλημάτων διαχείρισης χαρτοφυλακίων, γιατί μπορούν να ενσωματώσουν πολλά πρακτικά στοιχεία και αρκετές αντικειμενικές συναρτήσεις, οι οποίες αντιπροσωπεύουν τη θέση του επενδυτή απέναντι στον κίνδυνο και τους στόχους του. Το βασικότερο στοιχείο του στοχαστικού προγραμματισμού είναι η ικανότητα να μοντελοποιείται η αβεβαιότητα κάποιων παραμέτρων σε όρους διακριτών κατανομών. Έτσι, για να λύσουμε ένα πρόβλημα χρειαζόμαστε: α) ένα μοντέλο που περιγράφει το πρόβλημα, β) τις τιμές των παραμέτρων που θα θέσουμε και γ) την περιγραφή της στοχαστικότητας του προβλήματος, δηλαδή γνωστές κατανομές που θα χρησιμοποιήσουμε, τις ιδιότητές τους (π.χ. τις ροπές των κατανομών) και ιστορικά δεδομένα. Το μόνο «πρόβλημα» που αντιμετωπίζει κανείς είναι ο περιορισμός μεγέθους των δειγμάτων που μπορεί να χρησιμοποιηθούν σε ένα στοχαστικό πρόγραμμα, πράγμα που σημαίνει πως χρειάζεται να προσεγγίσει αρκετά την κατανομή που θα χρησιμοποιήσει. Η προσέγγιση αυτή επιτυγχάνεται μέσω των δέντρων σεναρίων (scenario trees). Με τη βοήθεια των δέντρων αυτών, που αναπαριστούν τα σενάρια για την εξέλιξη των τυχαίων μεταβλητών, μπορούμε να ασχοληθούμε με ασύμμετρες κατανομές και το πρόβλημα της συνδιακύμανσης. 19

Κάθε δέντρο σεναρίων αποτελείται από τα σενάρια, τους κόμβους και τις περιόδους. Ονομάζουμε σενάριο τη διαδρομή από τον αρχικό κόμβο του δέντρου (ρίζα root node) σε κάθε κλάδο, κόμβο το χρονικό σημείο στο οποίο παίρνονται αποφάσεις και περίοδο το χρονικό διάστημα μεταξύ δύο κόμβων. Στο πλαίσιο αυτής της εργασίας, τα εργαλεία που χρησιμοποιούνται και εξυπηρετούν το στοχαστικό προγραμματισμό είναι τα options. Αφού παρουσιαστεί ο τρόπος που αντιπροσωπεύονται τα σενάρια πάνω σε στοχαστικά δέντρα, θα προχωρήσουμε στην επεξήγηση των μεθόδων τιμολόγησης των options σε κάθε κόμβο τους. Δημιουργία δέντρου στοχαστικών σεναρίων Ένα παράδειγμα δέντρου στοχαστικών σεναρίων είναι αυτό που φαίνεται στην από πάνω εικόνα. Θέτουμε ως: Ν τον αριθμό των κόμβων n N έναν τυχαίο κόμβο, όπου n = 0 ο αρχικός κόμβος N T N το σύνολο των κόμβων την τελευταία περίοδο Τ, που προσδιορίζουν το πλήρες σύνολο των σεναρίων για το χρονικό διάστημα που με ενδιαφέρει p(n) N τον αμέσως προηγούμενο κόμβο από τον κόμβο n N M n N το σύνολο των επόμενων κόμβων από τον κόμβο n N την τιμή του i στοιχείου στον κόμβο n και 20

π n την άνευ όρων πιθανότητα (unconditional probability) για το αποτέλεσμα που ακολουθεί από τον n N κόμβο, όπως αυτή προκύπτει από την διαδικασία δημιουργίας του σεναρίου. Ισχύει ότι και αναδρομικά,. 4 Κάθε κόμβος του δέντρου αντιπροσωπεύει μια χρονική στιγμή, ξεκινώντας από τον αρχικό (root node), t = 0, που αναφέρεται στην παροντική κατάσταση των υποκείμενων τίτλων του χαρτοφυλακίου. Από κάθε κόμβο ξεκινούν δύο κλάδοι, οι οποίοι οδηγούν, με βάση την υπάρχουσα κατάσταση και την αντίστοιχη πιθανότητα, στο αποτέλεσμα της επόμενης χρονικής στιγμής για το χαρτοφυλάκιο. Για κάθε κόμβο, οι αμέσως επόμενοί του, μοντελοποιούν σε όρους διακριτής κατανομής τις τιμές των στοιχείων του χαρτοφυλακίου. Έτσι κάθε ένας από αυτούς αντιστοιχεί σε μια πιθανή έκβαση των τιμών κατά την αντίστοιχη χρονική περίοδο, αντανακλώντας στη δημιουργία του δέντρου τη συσχέτιση μεταξύ των τιμών. Η ακριβής αναπαράσταση της στοχαστικής αυτής διαδικασίας προϋποθέτει έναν τεράστιο αριθμό σεναρίων για κάθε στάδιο του δέντρου, πράγμα που την κάνει αρκετά δύσκολη και περίπλοκη αριθμητικά. Κρίνεται λοιπόν αναγκαίο να βρεθεί ένας επαρκής αριθμός σεναρίων που θα χρησιμοποιηθούν, καθώς και το μέγεθος των χρονικών περιόδων, έτσι ώστε να επιτυγχάνεται και η ακριβής αναπαράσταση του προβλήματος και να μην ερχόμαστε αντιμέτωποι με μια περίπλοκη αριθμητική διαδικασία. Δεν υπάρχει, όμως, συγκεκριμένη μεθοδολογία για την εύρεση κατάλληλου και επαρκούς αριθμού σεναρίων που θα πρέπει να χρησιμοποιηθούν για κάθε στοχαστική διαδικασία. Συνήθως επιλέγεται από τον εκάστοτε σχεδιαστή, σύμφωνα με τα δεδομένα που έχει μπροστά του. Παρόλα αυτά, η επιλογή του σωστού σεναρίου κρίνεται απαραίτητη, γιατί ένα λανθασμένο σενάριο μπορεί να επηρεάσει αρνητικά την ποιότητα της λύσης. Η σωστή μέθοδος σεναρίων, λοιπόν, θα πρέπει να πληροί κάποιες βασικές προϋποθέσεις για να είναι και αποτελεσματική: α) Να επηρεάζει τη λύση όσο το δυνατόν λιγότερο β) Η λύση που βασίζεται στο σενάριο να τείνει όσο το δυνατόν περισσότερο στο πραγματικό βέλτιστο, με την αύξηση αριθμού των σεναρίων γ) Να είναι όσο το δυνατόν πιο αξιόπιστη για έναν δεδομένο αριθμό σεναρίων. 4 N. Topaloglou et al., Pricing Options on Scenario Trees, Journal of Banking & Finance 32 (2008) 283 298 21

Ένα άλλο βασικό σημείο των δέντρων σεναρίων είναι η ποιότητά τους, η οποία κρίνεται μέσω της σταθερότητάς τους. Αυτό σημαίνει πως μιας και τα στοχαστικά προγράμματα έχουν συνήθως επίπεδες αντικειμενικές συναρτήσεις, θα πρέπει να είμαστε σε θέση να ελέγξουμε την σταθερότητα των αντικειμενικών αξιών και όχι των λύσεων αυτών καθαυτών και πως αν προκύψουν πολλά δέντρα σεναρίων, οι λύσεις τους δεν πρέπει να διαφέρουν κατά πολύ. Για να ελέγξουμε την ύπαρξη σταθερότητας σε ένα δέντρο σεναρίων συνήθως συγκρίνουμε είτε δύο διαφορετικές λύσεις, είτε δύο διαφορετικές μεθόδους δημιουργίας σεναρίων. Σε περίπτωση που δεν επαληθευτεί η ύπαρξη σταθερότητας για το μοντέλο, ο αναλυτής θα πρέπει να προβεί σε αλλαγές είτε στη μέθοδο σεναρίων που έχει επιλέξει, είτε σε αύξηση του αριθμού των σεναρίων, είτε στη δημιουργία αρκετών διαφορετικών δέντρων σεναρίων και επιλογής της φαινομενικά καλύτερης και πιο ταιριαστής λύσης στο πρόβλημα. 5 Οι πιο γνωστές μέθοδοι δημιουργίας σεναρίων είναι η δειγματοληψία ( conditional sampling ), η μέθοδος αντιστοίχισης ( property matching method ), η βέλτιστη διαφοροποίηση ( optimal discretization ) και οι step-wise growing and cutting methods. Η παρουσίαση κάθε μεθοδολογίας ξεχωριστά δεν αποτελεί θέμα αυτής της εργασίας, θα προχωρήσουμε, όμως, σε μια αναφορά των θετικών και αρνητικών σημείων της κάθε μίας, για μια πιο ολοκληρωμένη εικόνα από την απλή αναφορά τους. Τα θετικά της δειγματοληψίας είναι η ευκολία της στη χρήση και το ότι η κατανομή συγκλίνει στην πραγματική. Όμως, είναι αναγκαίο να γνωρίζουμε τι κατανομή ακολουθεί το δείγμα, μιας και σε μικρά δέντρα σεναρίων το αποτέλεσμα της μεθοδολογίας αυτής δεν εγγυάται την απαιτούμενη σταθερότητα. Η μέθοδος αντιστοίχισης (property matching method), που παρουσιάζεται και εξηγείται στις εργασίες των Hoyland and Wallace (2001) και Hoyland, Kaut and Wallace (2003), παρόλο που δε συγκλίνει προς την αληθινή κατανομή, καταφέρνει να συνδυάζει τα ιστορικά δεδομένα με προβλέψεις για τα σημερινά και δεν είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε την ακριβή κατανομή τους, ώστε να οδηγηθούμε σε σωστή εκτίμησή τους. 5 H.Heitsch, W.Romisch, C.Strugarek, Stability of multistage stochastic programs, Technical Report Preprint 324, DFG Research Center Matheon Mathematics for key technologies, 2006 22

Στη μεθοδολογία της βέλτιστης διαφοροποίησης βασιζόμαστε στη δημιουργία ενός δέντρου σεναρίων, το οποίο θεωρείται άριστο (optimal) στο πλαίσιο που μελετάμε. Κατ αυτόν τον τρόπο, όμως, εξαφανίζεται το πρόβλημα της βελτιστοποίησης που θέλουμε να επιλύσουμε και παράλληλα και τα διακριτά όριά του. Τέλος, στην step wise and cutting μεθοδολογία αναλύεται στις εργασίες των Dupacova et al. (2000 2002) και των Dempster and Thomson (1999) σκοπός είναι η εύρεση ενός μέτρου πιθανότητας και η διαμόρφωση μέσω αυτού ενός γραμμικού προβλήματος, το οποίο δίνει πιο ακριβή αποτελέσματα. Η τελευταία αυτή μεθοδολογία χρησιμοποιείται και στην παρούσα εργασία, ώστε να γίνει τιμολόγηση και να διεξαχθούν τα αποτελέσματα. Πιο αναλυτικά, θα εξηγηθεί στο 6 ο κεφάλαιο, πριν την παρουσίαση των συμπερασμάτων της εμπειρικής μελέτης. 23

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΤΙΜΟΛΟΓΗΣΗ ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΩΝ ΠΡΟΑΙΡΕΣΗΣ ΣΕ ΔΕΝΤΡΟ ΣΕΝΑΡΙΩΝ 1 Η ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΟΥΔΕΤΕΡΩΝ ΣΤΟΝ ΚΙΝΔΥΝΟ Αφού δημιουργήσουμε το δέντρο σεναρίων, στόχος μας είναι να υπολογιστούν οι τιμές των δικαιωμάτων προαίρεσης σε κάθε κόμβο του, ώστε να καταλήξουμε στην σωστή πρόβλεψή τους. Βασική εισροή και για τις δύο μεθοδολογίες είναι η κατανομή της τιμής του υποκείμενου τίτλου στη λήξη, η οποία εξαρτάται από τον αρχικό κόμβο, n 0, την οποία αντιπροσωπεύει ένα υποσύνολο κόμβων του δέντρου. Στην πρώτη προσέγγιση που θα μελετήσουμε, σκοπός μας είναι να προσδιορίσουμε πιθανότητες ουδέτερου κινδύνου (risk neutral probabilities) για κάθε αποτέλεσμα της τιμής του υποκείμενου τίτλου (S n, n ϵ L τ ) σε κάθε κόμβο του δέντρου σεναρίων. Αποκτούμε τις πιθανότητες αυτές μέσω μιας διαδικασίας, η οποία μετατρέπει τις φυσικές πιθανότητες των αποτελεσμάτων των τιμών σε ουδέτερες στον κίνδυνο πιθανότητες, και παράλληλα ικανοποιεί τις συνθήκες martingale, ώστε να μην δημιουργείται arbitrage. Οι συνθήκες Martingale (martingale conditions) αναφέρονται σε μια στοχαστική διαδικασία (ακολουθία τυχαίων μεταβλητών) για την οποία σε συγκεκριμένο χρόνο, η αναμενόμενη τιμή της επόμενης στη σειρά μεταβλητής είναι ίση με την παρούσα αξία της, ακόμη και αν γνωρίζουμε όλες τις προγενέστερες τιμές της μεταβλητής. Εδώ, θεωρούμε πως η αναμενόμενη τιμή του υποκείμενου τίτλου την επόμενη χρονική περίοδο υπό την πιθανότητα ουδέτερου κινδύνου θα ισούται με την απόδοσή του χωρίς κίνδυνο, για το ίδιο χρονικό διάστημα ( riskless return ). Όσον αφορά στο δέντρο και στην μη ύπαρξη arbitrage, ένα σύνολο τιμών περιουσιακών στοιχείων δεν παρουσιάζει arbitrage, εάν και μόνο εάν, υπάρχει τέτοια πιθανότητα, σύμφωνα με την οποία η διαδικασία προεξόφλησης των τιμών των τίτλων υπακούει στις συνθήκες martingale. 6 6 Jacod, J., Shiryaev, A.N., 1998 - Local martingales and the fundamental asset pricing theorems in the discrete-time case - Finance and Stochastics 2 (3), 259 273. 24

Έστω, λοιπόν, ότι θέλουμε να τιμολογήσουμε ένα ευρωπαϊκού τύπου δικαίωμα προαίρεσης, με t χρόνο λήξης. Θεωρούμε: t το χρόνο λήξης του option την τιμή του υποκείμενου τίτλου στον αρχικό κόμβο την τυχαία τιμή του υποκείμενου τίτλου στην ημερομηνία λήξης του option, η οποία εξαρτάται από την ( conditional on ) την τιμή του υποκείμενου τίτλου στον κόμβο του υποδέντρου το επιτόκιο ουδέτερου κινδύνου ( riskless rate ) K την τιμή εξάσκησης του option P τη φυσική πιθανότητα για την διακριτή κατανομή της τιμής του υποκείμενου τίτλου στη λήξη του option ( μέτρο πιθανότητας στον πραγματικό κόσμο) την ισότιμη πιθανότητα ουδέτερου κινδύνου για την παραπάνω κατανομή (μέτρο πιθανότητας σ έναν κόσμο ουδέτερου ρίσκου) το διακριτό σύνολο της κατανομής της τιμής του υποκείμενου τίτλου (ή αλλιώς, χώρος δυνατών καταστάσεων που μπορεί να βρεθεί η αγορά) οι εξαρτώμενες από τον κόμβο, πιθανότητες της φυσικής κατανομής, όπου η χωρίς καμία εξάρτηση πιθανότητα για τον εκάστοτε κόμβο n. οι κόμβοι του υποδέντρου, που αντιστοιχούν στο χρόνο μέχρι τη λήξη του option. Η τιμή του δικαιώματος προαίρεσης υπολογίζεται ως η αναμενόμενη τιμή του, προεξοφλημένη με το επιτόκιο χωρίς κίνδυνο, με βάση τις πιθανότητες χωρίς κίνδυνο που δημιουργούμε, μια διαδικασία που παρουσιάστηκε το 1979 από τους Harrison and Kreps. 7 Στην εργασία τους αποδεικνύουν ότι για κάθε χαρτοφυλάκιο αξιών, υπάρχει μια ενιαία τιμή, η οποία με βάση τις δεδομένες τιμές των τίτλων που περιέχει, δεν θα επιτρέψει τη δημιουργία arbitrage. 7 Harrison, J.M., Kreps, D.M., 1979.- Martingales and arbitrage in multiperiod securities markets - Journal of Economic Theory 20 (3), 381 408. 25

Βασιζόμενοι, λοιπόν, στη μεθοδολογία τους, και λαμβάνοντας υπόψη ότι ένα ισοδύναμο μέτρο martingale είναι η P* στο σύνολο ( Ω, F ), θα πρέπει να καταλήξουμε σε εξισώσεις που ικανοποιούν τις τρεις παρακάτω ιδιότητες: 1. P και P* να είναι ισοδύναμες. Δηλαδή. 2. Το παράγωγο των Radon Nikodym, ικανοποιεί τη συνθήκη ή αλλιώς,. 3. Η διαδικασία αυτή έστω Ζ είναι martingale για το S t σε σχέση με την P*, κάτι που απορρέει από τις συνθήκες ( 3.1 ) και Ισχύουν επίσης οι δύο επόμενες συνθήκες για το σύνολο Ω των τιμών των υποκείμενων τίτλων: Σύμφωνα με το δεύτερο θεώρημα ( Theorem 2 ) των Harrison and Kreps, εάν το μοντέλο μας υποθέτει no free lunches, όπως έχουμε όντως υποθέσει γι αυτή την εργασία, τότε πρέπει να υπάρχει αντιστοιχία μεταξύ των P* (πιθανότητες ουδέτερου ρίσκου) και των γραμμικά ανεξάρτητων υποκείμενων τίτλων, μία προς ένα. Στο μοντέλο που χρησιμοποιείται για το εμπειρικό κομμάτι αυτής της εργασίας, για να μπορέσω να έχω πλήρη προσδιορισμό, ώστε να καταλήξω σε ένα μοναδικό μέτρο martingale, πρέπει ο αριθμός των υποκείμενων τίτλων Ι να ισούται με τα αποτελέσματα των τιμών. Αυτό σημαίνει πως οι απαραίτητες martingale συνθήκες ( 3.2 ) ( 3.4 ) δεν είναι εξ ολοκλήρου επαρκείς. 26

Γενικότερα, στα πρακτικά προβλήματα τιμολόγησης, το νούμερο των αποτελεσμάτων που καθορίζεται μέσω του δέντρου σεναρίων είναι μεγαλύτερο από το νούμερο των χρεογράφων που έχω στο μοντέλο μου. Οπότε, καταφεύγουμε σε διευρύνσεις πάνω στην ισορροπία της αγοράς για τιμολόγηση των δικαιωμάτων προαίρεσης, έτσι ώστε να συμπληρώσουμε τις απαραίτητες martingale συνθήκες και να καθορίσουμε τις υπονοούμενες ουδέτερες στον κίνδυνο πιθανότητες για κάθε ξεχωριστό αποτέλεσμα τιμών. Η συνήθης υπόθεση για να καταλήξουμε σε ισορροπία της αγοράς είναι η αναγωγή όλων των συμμετεχόντων σε έναν, αντιπροσωπευτικό για όλους επενδυτή ( representative agent ). Μέσα από τις αποδεκτές κατηγορίες συναρτήσεων χρησιμότητας, επιλέγουμε την καταλληλότερη για το μοντέλο μας και τη θεωρούμε ως συνάρτηση χρησιμότητας για την αγορά. Η πιο σωστή επιλογή είναι εκείνη η συνάρτηση που αναπαριστά αρκετά καλά και αποτελεσματικά το σύνολο της αγοράς, σύμφωνα με τον Jackwerth ( 2000 ) a power utility function of moderate risk aversion. Γνωρίζουμε ότι σε κατάσταση ισορροπίας, όταν υπάρχει έλλειψη arbitrage, όλες οι τιμές των περιουσιακών στοιχείων μπορούν να εκφραστούν ως οι αναμενόμενες τιμές τους μέσα από έναν πυρήνα προτιμήσεων τιμών των περιουσιακών στοιχείων ( asset pricing kernel ). Ο πυρήνας αυτός συνοψίζει τις προτιμήσεις των επενδυτών ανά τον κόσμο για τις απολαβές τους και έτσι, όταν χρησιμοποιείται με ένα μοντέλο πιθανοτήτων, όπως εδώ, δίνει μια πλήρη περιγραφή των τιμών των περιουσιακών στοιχείων, των αναμενόμενων αποδόσεων και των ασφαλίστρων κινδύνου. Με βάση τον παραπάνω πυρήνα έστω ξ και την προσδοκία για τη φυσική πιθανότητα, καταλήγουμε στο ότι η σχέση για τη ζητούμενη ισορροπία ( equilibrium condition ) είναι η εξής: ( 3.5 ) Σκοπός, πλέον, είναι η συσχέτιση των φυσικών πιθανοτήτων με τις αντίστοιχες ουδέτερες στον κίνδυνο πιθανότητες. Για να μπορέσουμε να το επιτύχουμε, μέσα σ αυτό τον πυρήνα προτιμήσεων που μόλις αναφέρθηκε, ακολουθούμε τη μεθοδολογία των Bakshi et al., όπως αυτή παρουσιάστηκε στην εργασία τους Stock return characteristics, skew laws and the differential pricing of individual equity options, το 2003 και την προσαρμόζουμε στην περίπτωση της διακριτής κατανομής των αποδόσεων των μετοχών. 27

Η προαναφερθείσα ισορροπία, λοιπόν, σε όρους συνεχής κατανομής, συσχετίζει τις πιθανότητες ως εξής: Υποθέτοντας ότι ( 3.7 ) καταλήγουμε ότι τελικά πράγμα που σημαίνει πως και τα δύο μέτρα πιθανοτήτων προσδιορίζονται στο χώρο πιθανότητας (Ω, F), όπου F το σύνολο που περιλαμβάνει όλα τα υποσύνολα του Ω. Περνώντας σε όρους διακριτής κατανομής, τα πεπερασμένα αποτελέσματα στο σύνολο Ω θα πρέπει να αντιπροσωπεύουν την υπάρχουσα στοχαστική διαδικασία. Γι αυτό το λόγο, παίρνουν τη μορφή. Άρα, η ( 3.7 ) γίνεται Στην ίδια εργασία, οι Bakshi et al. παρουσίασαν και τον μετασχηματισμό μεταξύ των φυσικών και ουδέτερων στον κίνδυνο πιθανοτήτων, με τον πυρήνα προτιμήσεων ξ να αντιπροσωπεύει την αλλαγή στο μέτρο του πυρήνα τιμολόγησης. Σύμφωνα με το μετασχηματισμό αυτόν, λοιπόν: 28

Θέτοντας τον συντελεστή της αποστροφής στον κίνδυνο ίσο με γ και λαμβάνοντας υπόψη τη συνάρτηση χρησιμότητας του αντιπροσωπευτικού επενδυτή που έχουμε επιλέξει, ο στοχαστικός προεξοφλητικός παράγοντας του μοντέλου παίρνει την παρακάτω μορφή: Από τις ( 3.10 ) και ( 3.11 ) και αφού διαιρέσουμε αριθμητή και παρονομαστή με έχουμε ( 3.12 ). Θέτω όπου δεδομένης της αρχικής τιμής, την απόδοση δηλαδή του υποκείμενου τίτλου στον n-οστό κόμβο,, και τελικά η ( 3.12 ) καταλήγει στην τελική της μορφή: Αυτό που επιτυγχάνεται με την παραπάνω μετατροπή, είναι η δημιουργία ενός μέτρου ασφαλίστρων κινδύνου, βασισμένο καθαρά στο γ, συνεπές, όμως, με τις αρχές της ισορροπίας που έχουμε θέσει στο μοντέλο μας. Μιας και το γ συνήθως εκτιμάται μέσω των πρόσφατα παρατηρημένων παρατηρήσεων των τιμών των options, είναι γνωστό πως μπορεί να εμφανιστούν λάθη στον υπολογισμό της τιμής του. Κατά συνέπεια, το ίδιο μπορεί να συμβεί και στον υπολογισμό της ισορροπίας, αφού το γ χρησιμοποιείται στην τιμολόγηση των μελλοντικών τιμών του σεναρίου, πράγμα που εύκολα μπορεί να οδηγήσει τη μελλοντική διακριτή κατανομή των υποκείμενων τίτλων να διαφέρει από την μέχρι τώρα υπάρχουσα κατανομή. Για το λόγο αυτό, κρίνεται απαραίτητο να επιβάλλουμε ξανά τις martingale συνθήκες στον καθορισμό των ουδέτερων στον κίνδυνο πιθανοτήτων, πριν περάσουμε στη διαδικασία υπολογισμού των τιμών. 29

Ο τρόπος, λοιπόν, για την απόκτηση των risk neutral πιθανοτήτων δεδομένης της So στην ημερομηνία λήξης του option είναι η λύση του παρακάτω τετραγωνικού προβλήματος: ( 3.13 ). Λύνοντας το πρόβλημα καταλήγω στο ζητούμενο ουδέτερο στον κίνδυνο martingale μέτρο, το οποίο ικανοποιεί τις αρχές της ισορροπίας που θέλω να επιτύχω στο μοντέλο μου, [υπολογίζεται μέσα από την (3.12)], και αντανακλά τις conditional πιθανότητες για τα n διακριτά στάδια που συνεπάγονται από τις αρχές της ισορροπίας. Για να καταφέρω να προχωρήσω σε σωστή τιμολόγηση των δικαιωμάτων προαίρεσης το παραπάνω τετραγωνικό πρόβλημα πρέπει να λυθεί σε κάθε κόμβο του δέντρου ξεχωριστά. Πλέον, έχοντας καταφέρει να καθορίσω τις για κάθε κόμβο και κάθε τιμή S n, ο υπολογισμός των τιμών των δικαιωμάτων προαίρεσης γίνεται με βάση τους τύπους των οριακών συνθηκών τους, δηλαδή: 30

Το βασικότερο πλεονέκτημα αυτής της μεθόδου βρίσκεται στη γενική της χρήση, μιας και μπορώ να την χρησιμοποιήσω για κάθε διακριτή κατανομή τυχαίων τιμών περιουσιακών στοιχείων. Το μειονέκτημά της, όμως, είναι πως οι συνθήκες martingale, με βάση τις ουδέτερες στον κίνδυνο πιθανότητες, αλλάζουν μορφή όταν αναφερόμαστε σε πλήρη ή μη αγορά. Στην περίπτωση της πλήρους αγοράς, λύνοντας το πρόβλημα ( 3.13 ) καταλήγουμε σε ένα μοναδικό μέτρο martingale, το οποίο μπορούμε να εξάγουμε και από τις συνθήκες ( 3.2 ) ( 3.4 ), εάν έχουμε τον απαραίτητο αριθμό γραμμικών εξισώσεων, αποφεύγοντας έτσι την ελαχιστοποίηση. Αντίθετα, στην περίπτωση των ανολοκλήρωτων αγορών, καταλήγουμε σε πολλαπλές λύσεις και πρέπει αναγκαστικά να προχωρήσουμε στη λύση του προβλήματος ελαχιστοποίησης, ώστε να καταφέρουμε να βρούμε το κατάλληλο μέτρο martingale που ικανοποιεί τις συνθήκες ισορροπίας. Διαφορετικές μέθοδοι για τη λύση του προβλήματος αυτού παρουσιάζονται στις εργασίες του King (2002) και των Zhao and Ziemba (2008). 31