7. ιακϱιτή Πιϑανότητα

7. ιακϱιτή Πιϑανότητα Rosen, Κεϕ. 7 Γιάννης Εµίϱης Τµήµα Πληϱοϕοϱικής & Τηλεπικοινωνιών, ΕΚΠΑ Νοέµϐϱιος 2017

Εισαγωγή στη ιακϱιτή πιϑανότητα Θεωϱία πιϑανοτήτων εσµευµένη πιϑανότητα Ανεξάϱτητα Γεγονότα υωνυµική κατανοµή Το Θεώϱηµα του Bayes Αναµενόµενες τιµές Ασκήσεις

Εισαγωγικά Η Θεωϱία Πιϑανοτήτων παίϲει τεϱάστιο ϱόλο στη µοντελοποίηση και µελέτη συστηµάτων των οποίων δεν µποϱούµε να πϱοϐλέψουµε ή να παϱατηϱήσουµε την ακϱιϐή συµπεϱιϕοϱά (π.χ. κίνηση σωµατιδίων στη Φυσική, µακϱοοικονοµικά µοντέλα κοκ.). Στην Πληϱοϕοϱική οι πιϑανότητες έχουν πλήϑος εϕαϱµογών. Π.χ. στη µελέτη της δοµής του ιαδικτύου ή στην ανάλυση πιϑανοτικών αλγοϱίϑµων. Οι πιϑανοτικοί αλγόϱιϑµοι είναι αλγόϱιϑµοι που κάνουν κάποιες τυχαίες επιλογές κατά την διάϱκεια του υπολογισµού τους. Παϱακάµπτουν έτσι τη συµπεϱιϕοϱά της χειϱότεϱης πεϱίπτωσης.

Εισαγωγή στη ιακϱιτή πιϑανότητα Θεωϱία πιϑανοτήτων Το Θεώϱηµα του Bayes Αναµενόµενες τιµές Ασκήσεις

Βασικές έννοιες [Rosen 7.1] Οϱισµός 1 (Πείϱαµα - ειγµατικός χώϱος - Γεγονός). Πείϱαµα: ιαδικασία που δίνει ένα αποτέλεσµα από ένα σύνολο αποτελεσµάτων. ειγµατικός χώϱος S : Σύνολο δυνατών αποτελεσµάτων ενός πειϱάµατος. Ο δειγµατικός χώϱος είναι διακϱιτός αν είναι πεπεϱασµένος ή αϱιϑµήσιµος. Γεγονός E S: απλό ανν E = 1, σύνϑετο ανν E > 1.

Βασικές έννοιες (Παϱαδείγµατα) Παϱάδειγµα 1. Ρίψη νοµίσµατος S = {Κ, Γ}. Παϱάδειγµα 2. Ρίψη 2 (διαϕοϱετικών) νοµισµάτων σε σειϱά S = {ΚΚ, ΚΓ, ΓΚ, ΓΓ}. Παϱάδειγµα 3. Πυϱοϐολώ στόχο µέχϱι την εύστοχη ϐολή, όπου ε" το γεγονός επιτυχίας, α" αστοχίας: S = {ε, αε, ααε, αααε,... }. Το S είναι αϱιϑµήσιµο.

Πεπεϱασµένη Πιϑανότητα Οϱισµός 2. Εστω ένας πεπεϱασµένος δειγµατικός χώϱος S, η πιϑανότητα εµϕάνισης ενός γεγονότος E S δίνεται από τον τύπο p(e) = E S εϕόσον όλα τα απλά γεγονότα είναι ισοπίϑανα. Ισχύει ότι 0 P(E) 1. Όταν P(E) = 0 το γεγονός είναι αδύνατο να συµϐεί. Αντιϑέτως, όταν P(E) = 1 το γεγονός συµϐαίνει πάντα.

Παϱαδείγµατα Παϱάδειγµα 4. Ρίψη 2 νοµισµάτων. Υποϑέτουµε ότι σε κάϑε ϱίψη η πιϑανότητα του K ή Γ είναι 50%, δηλ. τα νοµίσµατα είναι τέλεια. ειγµατικός χώϱος: S = {ΚΚ, ΚΓ, ΓΚ, ΓΓ}. Επειδή τα νοµίσµατα είναι τέλεια, όλα τα αποτελέσµατα είναι ισοπίϑανα: P(ΚΚ) =

Παϱαδείγµατα Παϱάδειγµα 4. Ρίψη 2 νοµισµάτων. Υποϑέτουµε ότι σε κάϑε ϱίψη η πιϑανότητα του K ή Γ είναι 50%, δηλ. τα νοµίσµατα είναι τέλεια. ειγµατικός χώϱος: S = {ΚΚ, ΚΓ, ΓΚ, ΓΓ}. Επειδή τα νοµίσµατα είναι τέλεια, όλα τα αποτελέσµατα είναι ισοπίϑανα: P(ΚΚ) = P(ΚΓ) = P(ΓΓ) = P(ΓΚ) =

Παϱαδείγµατα Παϱάδειγµα 4. Ρίψη 2 νοµισµάτων. Υποϑέτουµε ότι σε κάϑε ϱίψη η πιϑανότητα του K ή Γ είναι 50%, δηλ. τα νοµίσµατα είναι τέλεια. ειγµατικός χώϱος: S = {ΚΚ, ΚΓ, ΓΚ, ΓΓ}. Επειδή τα νοµίσµατα είναι τέλεια, όλα τα αποτελέσµατα είναι ισοπίϑανα: P(ΚΚ) = P(ΚΓ) = P(ΓΓ) = P(ΓΚ) = 1 4.

Παϱαδείγµατα Παϱάδειγµα 5. Ποια είναι η πιϑανότητα 2 διαϕοϱετικά Ϲάϱια να ϕέϱουν άϑϱοισµα 7;

Παϱαδείγµατα Παϱάδειγµα 5. Ποια είναι η πιϑανότητα 2 διαϕοϱετικά Ϲάϱια να ϕέϱουν άϑϱοισµα 7; Απάντηση: E = {(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)}. Αϱα P(E) =

Παϱαδείγµατα Παϱάδειγµα 5. Ποια είναι η πιϑανότητα 2 διαϕοϱετικά Ϲάϱια να ϕέϱουν άϑϱοισµα 7; Απάντηση: E = {(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)}. Αϱα P(E) = 6/36 = 1/6.

Παϱαδείγµατα Παϱάδειγµα 6. Ποια η πιϑανότητα να κεϱδίσει κάποιος το τϲόκεϱ παίϲοντας 7 κύϱιους αϱιϑµούς και 2 δευτεϱεύοντες; (ϑυµίϲουµε ότι το τϲόκεϱ αποτελείται από 5 κύϱιους αϱιϑµούς από τους 45 και 1 από 20 δευτεϱεύοντες) Απάντηση: Τα δυνατά τϲόκεϱ είναι S =

Παϱαδείγµατα Παϱάδειγµα 6. Ποια η πιϑανότητα να κεϱδίσει κάποιος το τϲόκεϱ παίϲοντας 7 κύϱιους αϱιϑµούς και 2 δευτεϱεύοντες; (ϑυµίϲουµε ότι το τϲόκεϱ αποτελείται από 5 κύϱιους αϱιϑµούς από τους 45 και 1 από 20 δευτεϱεύοντες) Απάντηση: Τα δυνατά τϲόκεϱ είναι S = C(45, 5) 20. Τα τϲόκεϱ που πεϱιλαµϐάνονται στην επιλογή µου είναι

Παϱαδείγµατα Παϱάδειγµα 6. Ποια η πιϑανότητα να κεϱδίσει κάποιος το τϲόκεϱ παίϲοντας 7 κύϱιους αϱιϑµούς και 2 δευτεϱεύοντες; (ϑυµίϲουµε ότι το τϲόκεϱ αποτελείται από 5 κύϱιους αϱιϑµούς από τους 45 και 1 από 20 δευτεϱεύοντες) Απάντηση: Τα δυνατά τϲόκεϱ είναι S = C(45, 5) 20. Τα τϲόκεϱ που πεϱιλαµϐάνονται στην επιλογή µου είναι E = C(7, 5) 2 p(e) = C(7, 5) 2/C(45, 5) 20 1.7 10 6

Παϱαδείγµατα Παϱάδειγµα 7. 23 άτοµα, γενέϑλια: S = 366 23 ισοπίϑανα δείγµατα. 23 διαϕοϱετικές µέϱες: P(366, 23) = 366! 343! = 366 355 344 γεγονότα: 23 αϱιϑµ. µπάλες, 366 αϱιϑµ. κουτιά: 1 µπάλα/κουτί. P( 2 µε ίδια γενέϑλια) = P(366, 23)/ S = 0, 494. P( 2 µε ίδια γενέϑλια) = 1 0, 494. Αν ϑεωϱήσω 365 µέϱες στον χϱόνο, ποιό είναι το ελάχιστο πλήϑος ατόµων ώστε η αντίστοιχη πιϑανότητα να είναι > 50% ;

Πϱάξεις γεγονότων Τα γεγονότα είναι εξ οϱισµού σύνολα. Λέµε πως δύο γεγονότα A, B συµϐαίνουν µαϲί όταν εµϕανίϲεται στοιχείο του δειγµατικού χώϱου που ανήκει στην τοµή A B. Γενικότεϱα: γεγονότα σύνολα A B A B A B A B A B S A B A B A B

Ασυµϐίϐαστα γεγονότα Οϱισµός 3. ύο γεγονότα A, B λέγονται αλληλοαποκλειόµενα, ασυµϐίϐαστα ή ξένα όταν A B =.

Ασυµϐίϐαστα γεγονότα Παϱαδείγµατα Παϱάδειγµα 8. Τα γεγονότα A = {το άϑϱοισµα δυο Ϲαϱιών είναι 11} και B = {ένα από τα δύο Ϲάϱια είναι 2} είναι ασυµϐίϐαστα. Παϱάδειγµα 9. Τα γεγονότα A = {το χαϱτί είναι ϱήγας} και B = {το χαϱτί είναι κούπα} δεν είναι ασυµϐίϐαστα γεγονότα.

Συµπλήϱωµα και Ένωση Θεώϱηµα 1 (Συµπλήϱωµα). Γεγονός A = S A P(A) = 1 P(A).

Θεώϱηµα 2 (Ένωση). Για αλληλοαποκλειόµενα/ασυµϐίϐαστα γεγονότα A, B P(A B) = P(A) + P(B). Για οποιαδήποτε γεγονότα A, B, P(A B) = P(A) + P(B) P(A B)

Ενωση και συµπλήϱωµα Παϱαδείγµατα Παϱάδειγµα 10. Ποια είναι η πιϑανότητα σε έναν πενταψήϕιο κωδικό µε γϱάµµατα και αϱιϑµούς να υπάϱχει τουλάχιστον µια ϕοϱά το W; Απάντηση: P(E) = ( 35 36 )5 P(E) = 1 ( 35 36 )5 0.13

Ενωση και συµπλήϱωµα Παϱαδείγµατα Παϱάδειγµα 11. Ποια η πιϑανότητα ένας ακέϱαιος από το 1 έως το 100 να διαιϱείται είτε από το 2 είτε από το 5; Απάντηση: A = {ο ακέϱαιος διαιϱείται από το 2}, B = {ο ακέϱαιος διαιϱείται από το 5}, P(B)=20%, A B = {ο ακέϱαιος διαιϱείται από το 10}. P(A B) = P(A) P(A B) + P(B) P(A B) = (50% 10%) + (20% 10%) = 50%. H πιϑανότητα να διαιϱείται από το 2 ή το 5 είναι 50 + 20 10 P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) = = 60%. 100

Ενωση και συµπλήϱωµα πιϑανότητας Παϱαδείγµατα 1000 άτοµα = 515 γυναίκες + 485 άνδϱες. 90 γυναίκες ϕίλαϑλοι, 302 άνδϱες ϕίλαϑλοι. Πείϱαµα = τυχαία επιλογή ατόµου S = {γϕ, γµ, αϕ, αµ}. P(γϕ) = 90 425 302 183, P(γµ) =, P(αϕ) =, P(αµ) = 1000 1000 1000 1000. Επιλογή ϕιλάϑλου Επιλογή γυναίκας Φ := { γϕ, αϕ } Γ := { γϕ, γµ } P(Φ) = 392/1000 P(Γ) = 515/1000 Φ Γ = ϕίλαϑλη γυναίκα P = 90 0 / 00 P(Φ) P(Γ) = 204 0 / 00. ΣυνεχίϹεται...

Ενωση και συµπλήϱωµα πιϑανότητας Παϱαδείγµατα Συνέχεια... Φ Γ = ϕίλαϑλος ή γυναίκα P = 1 P(αµ) = 817 0 / 00. {γϕ, αϕ, γµ} = {αϕ} Γ : ξένα P = P(Γ) + P(αϕ) = 515+302 1000. P(Φ Γ) = P(Φ) + P(Γ) P(Φ Γ) = (392 + 515 90)/1000.

Ενωση και συµπλήϱωµα πιϑανότητας Παϱαδείγµατα (συνέχεια) Φ A = {αµ, γϕ}: ασυµϐίϐαστα. δηλ. P(Φ A) = P(αµ) + P(γϕ) = 90+183 1000 = 273 0 / 00. Ισοδύναµα: P(Φ Α) = 1 P(γµ ή αϕ) = 1 425+302 1000 = 1 727 1000 = 273 0 / 00.

Εισαγωγή στη ιακϱιτή πιϑανότητα Θεωϱία πιϑανοτήτων εσµευµένη πιϑανότητα Ανεξάϱτητα Γεγονότα υωνυµική κατανοµή Το Θεώϱηµα του Bayes Αναµενόµενες τιµές Ασκήσεις

ΟϱίϹοντας την Πιϑανότητα [Rosen 7.2] Σε πολλά πειϱάµατα τα γεγονότα δεν είναι ισοπίϑανα ή δεν είναι πεπεϱασµένα. Εστω ένα Ϲάϱι που ευνοεί την επίτευξη του 6, ή η πιϑανότητα ενός γεγονότος στο δείγµα του Παϱαδείγµατος 3 (πϱώτη επίτευξη στόχου). ΧϱειαϹόµαστε λοιπόν µια γενίκευση των εϱγαλείων που είδαµε.

ΟϱίϹοντας την Πιϑανότητα Οϱισµός 4. Η Πιϑανότητα είναι µια συνάϱτηση p : S R [0, 1] : p(x i ) 0, p(x i ) = 1. x i S Oπως και στην πεπεϱασµένη πεϱίπτωση, εκϕϱάϲει την συχνότητα εµϕάνισης αποτελέσµατος: p(x i ) = 0 x i δεν εµϕανίϲεται, p(x i ) = 1 x i εµϕανίϲεται πάντα. δηλ. η πιϑανότητα που δείχνει πόσο συχνά εµϕανίϲεται το γεγονός το x i σε αϱκετά πολλά («άπειϱα») πειϱάµατα.

ΟϱίϹοντας την Πιϑανότητα Παϱαδείγµατα Παϱάδειγµα 12. 1. Ζάϱι µε πεπλατυσµένη ϐάση στο 1 ευνοεί το 6: Η πιϑανότητα του 6 τετϱαπλάσια από του 1. 2. Λοιπά αποτελέσµατα: 75% του δίκαιου Ϲαϱιού. Απάντηση: (2) P({2}) = P({3}) = = P({4}) = P({5}) = 3 4 1 6 = 1 8. (1) 5P({1}) + 4P({2}) = 1. Άϱα P({1}) = 1 10, P({6}) = 2 5.

Παϱαδείγµατα Παϱάδειγµα 13. Πυϱοϐολισµοί σε στόχο : P(ɛ) = 1 2. P(αɛ) = 1 4. P(ακ ɛ) = 1 2 k+1. Το άϑϱοισµα των πιϑανοτήτων είναι: k=1 1 2 = k lim N N k=1 1 2 = k lim N N k=0 1 2 k 1 = ( ( 1 ) 2 = lim )N+1 1 1 2 1 1 = 2 1 = 1

Οµοιόµοϱϕη κατανοµή Για κάϑε απλό γεγονός E, ισχύει P(E) = 1 S. P(E) = x E S P(x), όπου x τα απλά γεγονότα που πεϱιέχονται στο E. Τα ϑεωϱήµατα συµπληϱώµατος και ένωσης ισχύουν : P(E) = 1 P(E) P(E 1 E 2 ) = P(E 1 ) + P(E 2 ) P(E 1 E 2 )

Γενίκευση ένωσης για ασυµϐίϐαστα γεγονότα Θεώϱηµα 3. Έστω E i E j =, i j. Τότε ( ) P E i = i i P(E i )

Ιδιότητες πιϑανοτήτων Παϱάδειγµα Παϱάδειγµα 14. ΜοιϱάϹοντας µια τϱάπουλα ϑέτουµε τα γεγονότα A = {εµϕανίϲεται ϐαλές}, B = {εµϕανίϲεται ντάµα}, C = {εµϕανίϲεται ϱήγας}. Πϱοϕανώς τα A, B, C είναι ασύµϐατα µεταξύ τους, ενώ για το ενδεχόµενο A B C = {εµϕανίϲεται ϕιγούϱα} έχουµε P(A B C) = P(A) + P(B) + P(C) = 12/52

Παϱάδειγµα 15. ΓνωϱίϹουµε ότι P(A) = 0.36, P(B) = 0.43, P(C) = 0.22. Είναι τα γεγονότα A, B, C ασύµϐατα; Απάντηση: Αν ήταν ασύµϐατα τότε ϑα είχαµε πως P(A B C) = P(A) + P(B) + P(C) = 1.01 > 1. Ατοπο, γιατί P(A B C) 1

εσµευµένη πιϑανότητα Οϱισµός 5 ( εσµευµένη πιϑανότητα). Έστω E και F γεγονότα µε p(f) > 0. Τότε η δεσµευµένη πιϑανότητα του E µε δεδοµένο το F είναι p(e F) = p(e F) p(f) Σχόλιο: Η δεσµευµένη πιϑανότητα "συµπιέϲει" τον δειγµατικό χώϱο στο F S.

εσµευµένη πιϑανότητα Παϱαδείγµατα Παϱάδειγµα 16. Ρίψη 2 νοµισµάτων, p(kk) = 1 4 Αν ξέϱω ότι το 1 o είναι Κ, τότε p(kk K) = 1 2. Αν ξέϱω ότι το 1 o είναι Γ, τότε p(kk Γ) = 0.

εσµευµένη πιϑανότητα Παϱαδείγµατα Παϱάδειγµα 17. p(ϕ) = p(αϕ, γϕ) = 392 0 / 00, p(γ) = 515 0 / 00. Αν µας δίνεται το ϕύλο, µε τι πιϑανότητα είναι ϕίλαϑλος; Αν γυναίκα p(ϕ γ) = p(γϕ γ) = 90 515 < 392 0 / 00 = p(ϕ) Αν άντϱας p(ϕ α) = p(αϕ α) = 302 485 > 392 0 / 00 Αν δίνεται η ϕίλαϑλος ιδιότητα, µε τι πιϑανότητα γυναίκα; 90 392 αν και p(γ) > p(α). = p(γϕ ϕ) = p(γ φ) < p(α ϕ) = 302 392,

Απλό γεγονός Οϱισµός. x F p(x F) = 0. x F p(x F) = p(x)/p(f). Πόϱισµα 1. p(x F) > p(x), x F S, F S, τέτοιο ώστε p(f) < 1.

Από απλό σε σύνϑετο γεγονός Η συνάϱτηση p(x F) p F (x) είναι µια νέα συνάϱτηση πιϑανότητας στο σύνολο F, διότι p(x) 0, x F και x F p(x F) = x F p(x) p(f) = 1. Για σύνϑετο γεγονός E, p(e F) = p F (x) = p(x)/p(f) = x E F x E F p(e F). p(f)

p(a B) p(b A) Παϱάδειγµα 18. 3 Ϲάϱια στη σειϱά. Όλες οι δυνατές Ϲαϱιές είναι 6 3. A : άσος, B : 3 διαϕοϱετικά αποτελέσµατα δηλ. 2 ίδιες όψεις 1. p(b) = P(6, 3)/6 3 = 5/9 : P(6, 3) τϱιάδες σε 6 κουτιά 2. p(a B) = 3 P(5, 2)/6 3. 1, 2 p(a B) = 3 5!/3! 6!/3! = 3 6 = 1 2. 3. p(a) = 1 p(a) = 1 53 6 3. 2, 3 p(b A) = 3 P(5,2)/63 (6 3 5 3 )/6 3 = 3(5 4) 216 125 = 60 91 > p(b).

Παϱάδειγµα Παϱάδειγµα 19. Θέτουµε το γεγονός A k = {κάποιος/α Ϲει k χϱόνια}. Έστω P(A 35 ) = 0.8, P(A 50 ) = 0.65 και P(A 75 ) = 0.5. Με δεδοµένο ότι για κάϑε l > k ισχύει A l A k A l A k = A l, έχουµε: Ένας 35άϱης ϑα Ϲήσει τουλάχιστον 50 χϱόνια µε P(A 50 A 35 ) = P(A 50 )/P(A 35 ) = 0.8125. Μια 35άϱα ϑα Ϲήσει τουλάχιστον 75 χϱόνια: P(A 75 A 35 ) = P(A 75 )/P(A 35 ) = 0.625. Ενα άτοµο 50 ετών δεν ϑα Ϲήσει 75 χϱόνια: P(A 75 A 50 ) = 1 P(A 75 )/P(A 50 ) = 1 10/13 = 3/10.

Πόϱισµα Πόϱισµα 2. εϕόσον p(a B) p(b A) = p(a B) p(a) p(a) p(b). = p(a B)p(B) p(a)

Ανεξάϱτητα Γεγονότα Οϱισµός 6. υο γεγονότα E, F είναι ανεξάϱτητα ανν P(E F) = P(E)P(F). Ισοδύναµα: Αν p(e), p(f) > 0 τότε τα E, F είναι ανεξάϱτητα 1. ανν p(e) = P(E F), 2. ανν p(f) = P(F E).

Ανεξάϱτητα Γεγονότα Παϱάδειγµα Παϱάδειγµα 20. ύο νοµίσµατα µε σειϱά. Α: Το πϱώτο Κ, Β: ιαϕοϱετικά αποτελέσµατα. Είναι ανεξάϱτητα; ΝΑΙ, γιατί p(a B) = 1/4. p(a) = 1/2, p(b) = #{ΚΓ, ΓΚ} #{ΚΚ, ΚΓ, ΓΚ, ΓΓ} = 1/2. p(a B) = p(a B)/p(B) = 1/2 = p(a). p(b A) = p(a B)/p(A) = 1/2 = p(b).

Πεϱισσότεϱα γεγονότα Παϱάδειγµα 21. 7/10 ϕοιτητές πϱοτιµούν τα σουϐλάκια από τα ϱεϐύϑια. Ποια είναι η πιϑανότητα 3 ϕοιτητές που διαλέξαµε στην τύχη να πϱοτιµούν να ϕάνε ϱεϐύϑια; Απάντηση: Τα γεγονότα (έστω A 1, A 2, A 3 ) είναι ανεξάϱτητα οπότε P(A 1 A 2 A 3 ) = P(A 1 )P(A 2 )P(A 3 ) = 0.027.

Ανεξάϱτητα και Ασυµϐίϐαστα Γεγονότα A και B µε p(a), p(b) > 0: ΟΡ. A, B Ασυµϐίϐαστα/Ξένα A B =. ΛΗ. A, B Ανεξάϱτητα και p(a), p(b) > 0 p(a B) = p(a)p(b) p(a B) 0 A B άϱα συµϐατά! ΛΗ. A, B Ξένα p(a B) = 0 p(a)p(b) Εξαϱτηµένα, διότι το ένα αποκλείει το άλλο. ΠΟ. Ανεξάϱτητα & Ασυµϐίϐαστα/Ξένα : Αδύνατο. Ανεξάϱτητα Εξαϱτηµένα Ασυµϐίϐαστα/Ξένα X Συµϐατά: X: αδύνατο : δυνατό, αλλά όχι υποχϱεωτικό

Ανεξαϱτησία πολλών γεγονότων Οϱισµός 7. Όταν εξετάϲουµε παϱαπάνω από δύο ενδεχόµενα E 1, E 2,..., E n οϱίϲουµε δύο τύπους ανεξαϱτησίας: Ανεξάϱτητα κατά Ϲεύγη p(e i E j ) = p(e i )p(e j ), 1 i < j n. Πλήϱως ανεξάϱτητα: Για κάϑε I {1, 2,..., n}, µε I = {i 1, i 2,..., i m }, p(e i1 E i2 E im ) = p(e i1 )p(e i2 ) p(e im ).

Ανεξαϱτησία πολλών γεγονότων Πϱοσοχή!!! Πεϱίπτωση 1. Ένα σύνολο γεγονότων µποϱεί να είναι ανεξάϱτητο κατά Ϲεύγη αλλά όχι πλήϱως ανεξάϱτητο. Πεϱίπτωση 2. Υπάϱχουν και οι αντίστϱοϕες πεϱιπτώσεις όπου p(e 1 E 2 E 3 ) = p(e 1 )p(e 2 )p(e 3 ), αλλά p(e 1 E 2 ) p(e 1 )p(e 2 ).

Πεϱίπτωση 1 Παϱάδειγµα 22. Ρίχνουµε δύο ϕοϱές ένα δίκαιο νόµισµα. 1. A 1 = {η πϱώτη ϱίψη είναι Κ} = {KΓ, KK} 2. A 2 = {η δεύτεϱη ϱίψη είναι Γ} = {KΓ, ΓΓ} 3. A 3 = {ίδιο αποτέλεσµα στις δυο ϱίψεις} = {KK, ΓΓ} Έχουµε P(A 1 ) = P(A 2 ) = P(A 3 ) = 1/2. Επιπλέον P(A 1 A 2 ) = P(A 1 )P(A 2 ), P(A 1 A 3 ) = P(A 1 )P(A 3 ) και P(A 2 A 3 ) = P(A 2 )P(A 3 ). Όµως P(A 1 A 2 A 3 ) = 0 P(A 1 )P(A 2 )P(A 3 ) = 1/8.

Πεϱίπτωση 2 Παϱάδειγµα 23. Έστω P(A) = 0.2, P(B) = 0.3, P(C) = 0 και P(A B) = 0.15. Άϱα P(A B) P(A)P(B). Πϱοϕανώς P(A B C) = 0, αϕού το C αντιστοιχεί στο κενό σύνολο, άϱα P(A B C) = P(A)P(B)P(C) = 0.

οκιµές Bernoulli Πολλά πειϱάµατα τύχης αποτελούνται από n επαναλαµϐανόµενες διαδικασίες κατά τις οποίες υπάϱχουν µόνο δύο αποτελέσµατα Θεωϱούµε το ένα αποτέλεσµα "επιτυχία", µε πιϑανότητα εµϕάνισης p σε µια διαδικασία και το άλλο "αποτυχία", µε πιϑανότητα εµϕάνισης q = 1 p. Η κάϑε επανάληψη ονοµάϲεται " οκιµή Bernoulli" και το πείϱαµα ακολουϑεί τη ιωνυµική Κατανοµή. Το πείϱαµα δεν σταµατά στην 1η επιτυχία όπως το παϱάδειγµα του στόχου.

ιωνυµική κατανοµή Θεώϱηµα 4. Η πιϑανότητα εµϕάνισης ακϱιϐώς k επιτυχιών µετά από n ανεξάϱτητες δοκιµές Bernoulli είναι P (k επιτυχίες) = C(n, k) p k q n k. Είναι πιϑανότητα διότι P(k) 0, 0 k n και n ( ) n p k q n k = (p + q) n = 1 n = 1. k k=0

Παϱάδειγµα 24. Πιϑανότητα µετά από 15 ϱίψεις νοµίσµατος να έχουµε 9 κοϱώνες

Παϱάδειγµα 24. Πιϑανότητα µετά από 15 ϱίψεις νοµίσµατος να έχουµε 9 κοϱώνες ( ) 15 = (1/2) 9 (1/2) 15 9 0.153. 9

Τυχαία Μεταϐλητή Οϱισµός 8. Μια συνάϱτηση X : S R ονοµάϲεται τυχαία µεταϐλητή, δηλ. αντιστοιχεί σε κάϑε πιϑανό αποτέλεσµα του πειϱάµατος έναν πϱαγµατικό αϱιϑµό που χαϱακτηϱίϲει το αποτέλεσµα. Επιτϱέπει να µοντελοποιήσουµε ενδιαϕέϱοντα πϱοϐλήµατα µε το S (κι όχι απλώς να µετϱάµε πόσες ϕοϱές πϱοκύπτει κάϑε αποτέλεσµα). Οϱισµός 9. Η κατανοµή µιας τυχαίας µεταϐλητής X δίνεται από το Ϲεύγος (s, P(X = k)), s S.

Παϱάδειγµα 25. Εστω X η τυχαία µεταϐλητή που δίνει το σύνολο των ϕοϱών που εµϕανίστηκε K κατά τη ϱίψη ενός κέϱµατος. Εχουµε: X(ΚΚΓ) = X(ΚΓK) = X(ΓKK) = 2 X(ΚΓΓΓΓ) = 1 X(ΚΓΚΓΓΚΚΚ) = 5 X(ΓΓΓΓΓΓΓΓ) = 0 Παϱάδειγµα 26. Για την οµοιόµοϱϕη (uniform) κατανοµή, όλα τα γεγονότα έχουν την ίδια πιϑανότητα 1/ S, άϱα η κατανοµή είναι (s, 1/ S ) για όλα τα s S.

Παϱάδειγµα 27. Ποια η πιϑανότητα το άϑϱοισµα δύο Ϲαϱιών να είναι < 9 τουλάχιστον 3 ϕοϱές µετά από 7 επαναλήψεις; Απάντηση: Έστω X το πλήϑος αϑϱοισµάτων κάτω του 9. Ζητάµε την πιϑανότητα P(X 3) = 1 P(X 2) = 1 P(X = 0) P(X = 1) P(X = 2). οκιµή Bernoulli: Πιϑανότητα αϑϱοίσµατος < 9 είναι p = 26/36, q = 10/36. ( ) ( ) ( ) 7 7 7 P(X 3) = 1 p 0 q 7 pq 6 p 2 q 5 97, 94%. 0 1 2

Παϱάδειγµα 28. Σε µια ϐδοµάδα, κάϑε µέϱα, 30% πιϑανότητα ϐϱοχής. a) P[ ϐϱοχεϱή] = 1 P[ ϐ] = 1 (0, 7) 7. b) P[ 2 ϐϱοχεϱές] = P[ (# ϐϱοχεϱών < 2)] = = 1 P[β = 1] P[β = 0], όπου P[β = 1] = 7 0, 3 0, 7 6. c) P[ 2 ϐϱοχεϱές ηµέϱες β] = 1 P[ ϐ 1 β] = 1 P[ τουλάχιστον 6 µέϱες ανοµϐϱίας β] = 1 P[ ακϱιϐώς 6 µέϱες ανοµϐϱίας β] = 1 7(0, 7) 6 (0, 3)/P[ ϐ ]. H τυχαία µεταϐλητή είναι β = #ϐϱοχεϱών ηµεϱών. Στο (c) εϕαϱµόϲουµε ϑεωϱία πιϑανοτήτων στη δεσµευµένη πιϑανότητα

Τύπος Bayes [Rosen 7.3] Για οποιαδήποτε δύο γεγονότα E και F ισχύει: E = (E F) (E F) Τα (E F), (E F) είναι ασυµϐίϐαστα p(e) = p(e F) + p(e F) = p(e F)p(F) + p(e F)p(F) = p(e F)p(F) + p(e F) [1 p(f)] Το χϱησιµοποιούµε στον παϱονοµαστή του γνωστού: p(f E) = p(f E) p(e) = p(e F)p(F) p(e)

Το Θεώϱηµα του Bayes Θεώϱηµα 5. Εστω E, F S µε p(e), p(f) > 0. Τότε ισχύει p(f E) = p(e F)p(F) p(e F)p(F) + p(e F) [1 p(f)]

Παϱάδειγµα Παϱάδειγµα 29. Τίϑεται πολλαπλή επιλογή µε m απαντήσεις. Γ= «ϕοιτητής γνωϱίϲει απάντηση», πιϑανότητα = p. Αλλιώς δίνει τυχαία απάντηση εκ των m. Σ = «σωστή επιλογή». p(σ Γ)p(Γ) p(γ Σ) = p(σ Γ)p(Γ) + p(σ Γ) [1 p(γ)] 1 p = 1 p + 1 m (1 p) = mp 1 + (m 1)p. m = 5, p = 1/2 m = 1 m p = 1 p = 0 p(γ Σ) 5/6 p 1 1 0

Γενικευµένος τύπος Bayes Θεώϱηµα 6. Εστω E S και έστω F i, i I αλληλοαποκλειόµενα γεγονότα που διαµεϱίϲουν τον δειγµατικό χώϱο S, άϱα και το E, δηλ. Τότε i I F i = S, και i j I, ισχύει F i F j =. p(f i E) = p(e F i)p(f i ) i I p(e F i)p(f i ). Παϱατήϱηση: Το αϱχικό ϑεώϱηµα Bayes πϱοκύπτει για I = {1, 2}, όπου F 1 = F, F 2 = F, τα οποία διαµεϱίϲουν το S, άϱα και το E.

Παϱάδειγµα Παϱάδειγµα 30. Η ένδειξη για πϱόϐληµα στα τακάκια του αµαξιού είναι εσϕαλµένη στα µοντέλα της Lancia κατά 5%, στα µοντέλα της Ford κατά 1% και σε όλα τα υπόλοιπα µοντέλα κατά 3% Αν 5% του πληϑυσµού οδηγεί Lancia και 20% Ford, ποια η πιϑανότητα κάποιος να οδηγεί Lancia δεδοµένου ότι έχει λανϑασµένη ένδειξη για τακάκια; (συνεχίϲεται)

Απάντηση ΣυµϐολίϹουµε τα ενδεχόµενα να οδηγεί κάποιος ένα από τα παϱαπάνω µοντέλα A 1, A 2 και A 3 αντίστοιχα. ΣυµϐολίϹουµε µε B το ενδεχόµενο η ένδειξη να είναι λάϑος. Έχουµε Αϱα P(A 1 ) = 0.05, P(A 2 ) = 0.2, P(A 3 ) = 0.75 P(B A 1 ) = 0.05, P(B A 2 ) = 0.01, P(B A 3 ) = 0.03 P(A 1 B) = P(B A 1 )P(A 1 ) P(B A 1 )P(A 1 ) + P(B A 2 )P(A 2 ) + P(B A 3 )P(A 3 ) 0, 0926, που είναι σχεδόν διπλάσιο του P(A 1 ).

Αναµενόµενη τιµή [Rosen 7.4] Οϱισµός 10. Η αναµενόµενη τιµή (expected value) µιας τυχαίας µεταϐλητής X σε έναν δειγµατικό χώϱο S οϱίϲεται από τον τύπο E(X) = s S p(s)x(s). Η αναµενόµενη τιµή ονοµάϲεται συχνά µέση τιµή. ΟϱίϹουµε ως απόκλιση του X στο s τη διαϕοϱά X(s) E(X)

Αναµενόµενη τιµή Παϱάδειγµα 31. Ποια είναι η µέση τιµή µετά τη ϱίψη ενός Ϲαϱιού; Απάντηση: Σε αυτήν την πεϱίπτωση η τυχαία µεταϐλητή X αντιστοιχεί στην έδϱα του Ϲαϱιού. Εχουµε E(X) = 1 6 1 + 1 6 2 + 1 6 3 + 1 6 4 + 1 6 5 + 1 6 6 = 7 2.

Πλήϑος αποτελεσµάτων Θεώϱηµα 7. Εστω µια τυχαία µεταϐλητή X. Η αναµενόµενη τιµή γϱάϕεται ως άϑϱοισµα πάνω στις τιµές της X ως εξής: E(X) = p(x = r) r, r X(S) όπου p(x = r) = p(s). s S:X(s)=r

Μέση τιµή διωνυµικής κατανοµής Θεώϱηµα 8. Η µέση τιµή των επιτυχιών πιϑανότητας p µιας διωνυµικής κατανοµής πλήϑους n είναι E(X) = np. Απόδειξη: E(X) = = n k p(x = k) Θεώϱ. 7 k=0 = n k C(n, k)p k (1 p) n k k=0 = n n C(n 1, k 1)p k (1 p) n k k=0 ( ) ( n k k = n n 1 ) k 1 n 1 = np C(n 1, j)p j (1 p) (n 1) j j = k 1 j=0 = np(p + (1 p)) n 1 = np ιωνυµικό Θεώϱ.

Παϱάδειγµα Παϱάδειγµα 32. Μια γενετική µετάλλαξη έχει πιϑανότητα εµϕάνισης στον γενικό πληϑυσµό p = 0, 012. Πόσα άτοµα αναµένεται να την εµϕανίϲουν στην Ελευσίνα ( 25.000 κάτοικοι); Απάντηση: Το πϱόϐληµα µοντελοποιείται ως n = 25.000 ανεξάϱτητα πειϱάµατα, καϑένα µε πιϑανότητα να πϱαγµατοποιηϑεί p = 0, 012. Αϱα, η πιϑανότητα εµϕάνισης ακολουϑεί διωνυµική κατανοµή, οπότε E(X) = 25.000 0, 012 = 300.

Γϱαµµικότητα µέσης τιµής Θεώϱηµα 9. Εστω X 1, X 2,..., X n, X τυχαίες µεταϐλητές στον δειγµατικό χώϱο S και a, b R. Τότε 1. E(aX + b) = ae(x) + b, 2. E(X 1 + X 2 + + X n ) = E(X 1 ) + E(X 2 ) + + E(X n ). Απόδειξη. 1. E(aX + b) = s p(s)(ax(s) + b) = a s p(s)x + b s p(s). 2. Για n = 2. E(X 1 + X 2 ) = s p(s)(x 1(s) + X 2 (s)).

Παϱάδειγµα Παϱάδειγµα 33. Ποιο το αναµενόµενο άϑϱοισµα ενός δίκαιου εξάεδϱου Ϲαϱιού (τυχ. µεταϐλ. X 1 ) και ενός τετϱάεδϱου Ϲαϱιού που «ευνοεί» το 4 κατά το διπλάσιο σε σχέση µε τις άλλες έδϱες (τυχ. µεταϐλ. X 2 ); E(X 1 ) = 7/2 (γνωστό, παϱάδ. 31). 3P({1}) + P({4}) = 5P({1}) = 1 P({4}) = 2/5, P({1}) = P({2}) = P({3}) = 1/5. E(X 2 ) = 1/5 (1 + 2 + 3) + 2/5 4 = 14/5. Άϱα E(X 1 + X 2 ) = E(X 1 ) + E(X 2 ) = 7/2 + 14/5 = 63/10.

Ασκηση 1 (Rosen 7.2.16) Ν.δ.ό. αν δυο γεγονότα E και F είναι ανεξάϱτητα, τότε και τα συµπληϱώµατά τους είναι ανεξάϱτητα. Λύση: P(E F) = P(E F) = 1 P(E F) = = 1 P(E) P(F) + P(E F) = 1 P(E) P(F) + P(E)P(F) = = (1 P(E))(1 P(F)) = = P(E)P(F)

Ασκηση 2 Μια ασϑένεια εµϕανίϲεται στον σχολικό πληϑυσµό µε πιϑανότητα p = 0, 05. ( ιωνυµική κατανοµή) Ποια είναι η πιϑανότητα να αϱϱωστήσουν 2 παιδιά σε ένα εξατάξιο σχολείο, όπου η κάϑε τάξη έχει 10 παιδιά;

Ασκηση 2 Μια ασϑένεια εµϕανίϲεται στον σχολικό πληϑυσµό µε πιϑανότητα p = 0, 05. ( ιωνυµική κατανοµή) Ποια είναι η πιϑανότητα να αϱϱωστήσουν 2 παιδιά σε ένα εξατάξιο σχολείο, όπου η κάϑε τάξη έχει 10 παιδιά; P(X = 2) = ( 60 2 ) (0, 05)2 (0, 95) 58 22, 6% Ποια η πιϑανότητα να αϱϱωστήσουν όλα;

Ασκηση 2 Μια ασϑένεια εµϕανίϲεται στον σχολικό πληϑυσµό µε πιϑανότητα p = 0, 05. ( ιωνυµική κατανοµή) Ποια είναι η πιϑανότητα να αϱϱωστήσουν 2 παιδιά σε ένα εξατάξιο σχολείο, όπου η κάϑε τάξη έχει 10 παιδιά; P(X = 2) = ( 60 2 ) (0, 05)2 (0, 95) 58 22, 6% Ποια η πιϑανότητα να αϱϱωστήσουν όλα; P(X = 60) = ( ) 60 60 (0, 05) 60 (0, 95) 0 < 10 78 Πόσα παιδιά αναµένουµε να νοσήσουν;

Ασκηση 2 Μια ασϑένεια εµϕανίϲεται στον σχολικό πληϑυσµό µε πιϑανότητα p = 0, 05. ( ιωνυµική κατανοµή) Ποια είναι η πιϑανότητα να αϱϱωστήσουν 2 παιδιά σε ένα εξατάξιο σχολείο, όπου η κάϑε τάξη έχει 10 παιδιά; P(X = 2) = ( 60 2 ) (0, 05)2 (0, 95) 58 22, 6% Ποια η πιϑανότητα να αϱϱωστήσουν όλα; P(X = 60) = ( ) 60 60 (0, 05) 60 (0, 95) 0 < 10 78 Πόσα παιδιά αναµένουµε να νοσήσουν; E(X) = n p = 60 0, 05 = 3.

Άσκηση 2 (συνέχεια) Κάϑε παιδί πϱέπει να διαλέξει τουλάχιστον ένα άϑληµα για το µάϑηµα της γυµναστικής. ΓνωϱίϹουµε ότι η εµϕάνιση της ασϑένειας σε όσα παιδιά έχουν διαλέξει κολύµϐηση είναι 0, 01 και ότι την κολύµϐηση τη διαλέγουν 10% των παιδιών. Πιϑανότητα ένα τυχαίο παιδί να νοσεί & να κάνει κολύµϐηση:

Άσκηση 2 (συνέχεια) Κάϑε παιδί πϱέπει να διαλέξει τουλάχιστον ένα άϑληµα για το µάϑηµα της γυµναστικής. ΓνωϱίϹουµε ότι η εµϕάνιση της ασϑένειας σε όσα παιδιά έχουν διαλέξει κολύµϐηση είναι 0, 01 και ότι την κολύµϐηση τη διαλέγουν 10% των παιδιών. Πιϑανότητα ένα τυχαίο παιδί να νοσεί & να κάνει κολύµϐηση: P(A K) = P(K)P(A K) = 0, 1 0, 01 = 0, 001. Πόσο πιϑανό ένα παιδί που έχει αϱϱωστήσει να έχει διαλέξει άλλο άϑληµα;

Άσκηση 2 (συνέχεια) Κάϑε παιδί πϱέπει να διαλέξει τουλάχιστον ένα άϑληµα για το µάϑηµα της γυµναστικής. ΓνωϱίϹουµε ότι η εµϕάνιση της ασϑένειας σε όσα παιδιά έχουν διαλέξει κολύµϐηση είναι 0, 01 και ότι την κολύµϐηση τη διαλέγουν 10% των παιδιών. Πιϑανότητα ένα τυχαίο παιδί να νοσεί & να κάνει κολύµϐηση: P(A K) = P(K)P(A K) = 0, 1 0, 01 = 0, 001. Πόσο πιϑανό ένα παιδί που έχει αϱϱωστήσει να έχει διαλέξει άλλο άϑληµα; P(A K) + P(A K) = P(A) P(A K) = 0, 049. P(A K) = P(A K)/P(K) 0, 054. P(K A) = P(A K)P(K) P(A K)P(K) + P(A K)P(K) = 98%.