ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΝΕΟ & ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΝΕΟ & ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΘΕΜΑ Α ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 18 ΜΑΪΟΥ 16 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΡΕΙΣ () A1 Έστω μια συνάρτηση f αραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (α,β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του, στο οοίο όμως η f είναι συνεχής Αν f () > στο (α, ) και f () < στο (,β), τότε να αοδείξετε ότι το f( ) είναι τοικό μέγιστο της f Μονάδες 7 A Πότε δύο συναρτήσεις f, g λέγονται ίσες; Μονάδες 4 A Να διατυώσετε το θεώρημα μέσης τιμής του διαφορικού λογισμού και να το ερμηνεύσετε γεωμετρικά Μονάδες 4 A4 Να χαρακτηρίσετε τις ροτάσεις ου ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίλα στο γράμμα ου αντιστοιχεί σε κάθε ρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η ρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η ρόταση είναι λανθασμένη α) Για κάθε συνεχή συνάρτηση f:[α,β], αράγουσα της f β α αν G είναι μια στο [α,β], τότε το f(t)dt = G(α) G(β) β) Αν οι συναρτήσεις f,g έχουν όριο στο και ισχύει f() g() κοντά στο, τότε lim f() lim g() γ) Κάθε συνάρτηση f, για την οοία ισχύει f () = για κάθε (α, ) (,β), είναι σταθερή στο (α, ) (,β) δ) Μια συνάρτηση f είναι 1-1, αν και μόνο αν, για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών της, η εξίσωση y = f() έχει ακριβώς μια λύση ως ρος ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ ΣΕΛΙΔΕΣ

ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΝΕΟ & ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ε) Αν η f είναι συνεχής στο [α,β], τότε η f αίρνει στο [α,β] μια μέγιστη τιμή M και μια ελάχιστη τιμή m Μονάδες 1 ΘΕΜΑ Β Δίνεται η συνάρτηση f() =, + 1 B1 Να βρείτε τα διαστήματα στα οοία η f είναι γνησίως αύξουσα, τα διαστήματα στα οοία η f είναι γνησίως φθίνουσα και τα ακρότατα της f Μονάδες 6 B Να βρείτε τα διαστήματα στα οοία η f είναι κυρτή, τα διαστήματα στα οοία η f είναι κοίλη και να ροσδιορίσετε τα σημεία καμής της γραφικής της αράστασης Μονάδες 9 B Να βρεθούν οι ασύμτωτες της γραφικής αράστασης της f Μονάδες 7 B4 Με βάση τις ααντήσεις σας στα ερωτήματα Β1, Β, Β να σχεδιάσετε τη γραφική αράσταση της συνάρτησης f (Η γραφική αράσταση να σχεδιαστεί με στυλό) Μονάδες ΘΕΜΑ Γ Γ1 Να λύσετε την εξίσωση e 1 =, Γ Να βρείτε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις f: σχέση f () = ( e 1) για κάθε Μονάδες 4 ου ικανοοιούν την και να αιτιολογήσετε την αάντησή σας Μονάδες 8 Γ Αν f() = e 1,, να αοδειχθεί ότι η f είναι κυρτή Μονάδες 4 Γ4 Αν f είναι η συνάρτηση του ερωτήματος Γ, να λυθεί η εξίσωση: όταν [, + ) f( ημ + ) f( ημ ) = f(+) f() Μονάδες 9 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ ΣΕΛΙΔΕΣ

ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΝΕΟ & ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΘΕΜΑ Δ Δίνεται συνάρτηση f ορισμένη και δύο φορές αραγωγίσιμη στο, με συνεχή δεύτερη αράγωγο, για την οοία ισχύει ότι: ( ) f ( ) = f()+ f () ημ d = και f() ( ) lim = 1 ημ e f() + = f f() + e για κάθε Δ1 Να δείξετε ότι f( ) = (μονάδες 4) και f () = 1 (μονάδες ) Μονάδες 7 Δ α) Να δείξετε ότι η f δεν αρουσιάζει ακρότατα στο (μονάδες 4) β) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο (μονάδες ) Δ Να βρείτε το ημ + συν lim f() + Μονάδες 6 Μονάδες 6 Δ4 Να δείξετε ότι e f(ln ) < d < Μονάδες 6 1 ΟΔΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζομένους) 1 Στο εξώφυλλο του τετραδίου να γράψετε το εξεταζόμενο μάθημα Στο εσώφυλλο άνω-άνω να συμληρώσετε τα ατομικά στοιχεία μαθητή Στην αρχή των ααντήσεών σας να γράψετε άνω-άνω την ημερομηνία και το εξεταζόμενο μάθημα Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο και να μη γράψετε ουθενά στις ααντήσεις σας το όνομά σας Να γράψετε το ονοματεώνυμό σας στο άνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας αραδοθούν Τυχόν σημειώσεις σας άνω στα θέματα δεν θα βαθμολογηθούν σε καμία ερίτωση Κατά την αοχώρησή σας να αραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα Να ααντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα μόνο με μλε ή μόνο με μαύρο στυλό με μελάνι ου δεν σβήνει Μολύβι ειτρέεται, μόνο αν το ζητάει η εκφώνηση, και μόνο για ίνακες, διαγράμματα κλ 4 Κάθε αάντηση ειστημονικά τεκμηριωμένη είναι αοδεκτή 5 Διάρκεια εξέτασης: τρεις () ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων 6 Χρόνος δυνατής αοχώρησης: 1 μ ΣΑΣ ΕΥΧΟΜΑΣΤΕ KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ ΣΕΛΙΔΕΣ

1 Α Π Α Ν Τ Η Σ Ε Ι Σ ΘΕΜΑ Α Α1,Α,Α,Α,Α βλέε σχβιβλίο Α4 α α Λάθος β Σωστό γ Λάθος δ Σωστό ε Σωστό ΘΕΜΑ Β Β1 Η f είναι αραγωγίσιμη ως ηλίκο αραγωγισίμων συναρτήσεων με ( + 1) f ( ) = = ( + 1) ( + 1) f ( ) = = f ( ) > > + f ( ) + f ( ) f () = ολελαχ Στο (,] η f είναι γνησίως φθίνουσα και στο [, + ) είναι γνησίως αύξουσα Στο η f αρουσιάζει ολικό ελάχιστο το f () = B H f είναι αραγωγίσιμη με f ( ) = =± ( + 1) 8 ( + 1) ( + 1) 8 ( + 1) f ( ) = = = ( + 1) ( + 1) ( + 1) 4 Σύρος Γιαννακόουλος

+ f ( ) + f ( ) 1 f ( ) = 4 1 f ( ) = 4 ΣΚ ΣΚ Η κυρτή στο διάστημα δύο σημεία καμής τα, και κοίλη στα διαστήματα, 1 1 Κ,, Λ, 4 4,, + f είναι Η C f έχει Β Η f είναι συνεχής στο R,οότε η C f δεν έχει κατακόρυφες ασύμτωτες lim f ( ) = 1Άρα η ευθεία με εξίσωση ψ = 1 είναι οριζόντια ασύμτωτη της C f στο + Όμοια η ευθεία ψ = 1 είναι οριζόντια ασύμτωτη στο + Β4 Μορούμε να αρατηρήσουμε ότι f είναι άρτια οότε η C f θα είναι συμμετρική ως ρος τον άξονα ψψ και με βάση τα συμεράσματα των Β1,Β,Β,η f έχει την αρακάτω γραφική αράσταση Σύρος Γιαννακόουλος

ΘΕΜΑ Γ ( ) = 1, Γ1 Θεωρούμε τη συνάρτηση g e R H g είναι αραγωγίσιμη ως ράξεις αραγωγισίμων συναρτήσεων με ( ) ( ) = = 1 g e e g ( ) = = Aν χ < χ > e 1> Άρα g ( ) < Αν χ > > e > 1 e 1> Άρα g ( ) > H g είναι συνεχής στο,συνεώς το g () = είναι ολικό ελάχιστο της g Άρα g( ) g() = To = ισχύει μόνο στο Συνεώς e 1= g( ) = = Γ Για τη συνάρτηση g του Γ1έχουμε (,) (, + ) ( ) ( ) 1 g > e > για κάθε f ( ) = e 1 f ( ) = e 1 f ( ) = e 1 Στο (,) η f είναι συνεχής με f ( ) οότε στο διάστημα αυτό η f διατηρεί σταθερό ρόσημο f = e αν f > ( ) 1 ( ) (1) Άρα στο (,): ή f e f Όμοια η f στο (, + ) διατηρεί σταθερό ρόσημο ( ) = ( 1) αν ( ) < () f = e f > ( ) 1 αν ( ) () Άρα στο (, + ): ή f ( ) = ( e 1) αν f ( ) < (4) Δεδομένου ότι f () = (5) αό τους συνδυασμούς των (1),(),(),(4) και της (5) έχουμε τις αρακάτω συναρτήσεις: (1),(),(5) ( ) 1, f = e R (1),(4),(5) ( ) e 1, f = > (e 1), (),(),(5) f ( ) = (e 1), e 1, > = (),(4),(5) f ( ) ( e 1), R Σύρος Γιαννακόουλος

4 Γ Η f είναι δύο φορές αραγωγίσιμη ως ράξεις αραγωγισίμων συναρτήσεων με ( ) = και f ( ) e 4 e ( e 1) 4 e f e = + = + Για κάθε χ (,) (, + ) είναι > e > 1 e > 1 Άρα f ( ) > και δεδομένου ότι η f είναι συνεχής στο,ή f είναι γνησίως αύξουσα στο R,οότε η f είναι κυρτή Γ4 Θεωρούμε τη συνάρτηση h( ) = f ( + ) f ( ), [, + ) H h είναι αραγωγίσιμη ως ράξεις αραγωγισίμων συναρτήσεων με h ( ) = f ( + ) f ( ) Η f είναι γνησίως αύξουσα και έχουμε: Για κάθε [, + ) < + f ( ) < f ( + ) h ( ) > Άρα η h είναι γνησίως αύξουσα,οότε είναι 1-1 Για [, + ) ( ) ( ) ( ) h "1 1" f ηµ + f ηµχ = f ( + ) f ( ) h ηµχ = h( ) ηµχ = = = (Γνωρί- ζουμε ότι: Για κάθε R ηµ To = ισχύει μόνο στο ) ΘΕΜΑ Δ f ( ) + f ( ) ηµ d= f ( ) ηµ d+ f ( ) ηµ d= Δ1 ( ) f ( ) ηµ d+ [ f ( ) ηµχ] f ( ) συνχ d= f ( ) d [ f ( ) ] ( ) f d [ f ( ) ] ( f ( ) f ()) = (1) ηµ συνχ ηµ = συνχ = f ( ) Κοντά στο θέτουμε = g( ) f ( ) = g( ) ηµχ Η f ως αραγωγίσιμη είναι συνεχής ηµ οότε lim f ( ) = f () = Άρα (1) f ( ) = f ( ) f ( ) Η f ως αραγωγίσιμη είναι συνεχής lim = lim = f () f () = 1 ηµ συνχ Δ α) Αν δεχτούμε ρος στιγμή ότι η f αρουσιάζει ακρότατο στο R,τότε αό το θεώρημα του Fermat f ( ) = f ( ) f ( ) e + = f ( f ( )) + e f ( ) e + 1 = f ( ) f ( f ( )) + e () για κάθε R Για = αό τη () αίρνουμε e = 1 =,δηλαδή f () = Άτοο αφού f () = 1 Άρα η f δεν αρουσιάζει ακρότατα στο R ( ) β) ( ) f () f ( ) e f ( f ( ) = e 1() () Για ( ) e 1 f ( ) e f ( f ( )) f ( ) και αφού f () έχουμε Σύρος Γιαννακόουλος

5 f ( ) για κάθε R Άρα η f διατηρεί στο R σταθερό ρόσημο και αφού f () > είναι f ( ) > για κάθε R Συνεώς η f είναι γνησίως αύξουσα Δ Αφού η f ( R) = R και η f είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής θα έχουμε lim f ( ) =+ 1 lim = Άρα αν Μ>,τότε για >Μ, f ( ) > + f ( ) ηµ + συνχ 1 1 >Μ = + + f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) Για, ηµχ συνχ ( ηµ συν ) + ηµ + συνχ ηµ + συνχ Είναι f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) lim =,οότε αό το κριτή- + f ( ) ηµ + συν ριο της ερεμβολής lim = + f ( ) f γν αύξουσα Δ4 Για 1 e ln f () f (ln ) f ( ) f (ln ) f (ln ) < (4) H (4) δεν ισχύει αντού ως ισότητα στο [1,e ] οότε έχουμε : f (ln ) 1 f (ln ) e e e e e d< d d [ ln ] d 1 < 1 = = < < 1 1 1 Σύρος Γιαννακόουλος