A Π α ν ε π ι ς τ ή µ ι ο Α ι γ α ί ο υ Σ χ ο λ ή Θ ε τ ι κ ώ ν Ε π ι ς τ η µ ώ ν Τ µ ή µ α Μ α θ η µ α τ ι κ ώ ν Πτυχιακή εργασία Εκπονητής Χουσαΐνοβ Αλέξανδρος Α.Μ. 311/1997130 Σάµος, 2002
Τίτλος : Θεωρία των Θραυσµάτων (Fractals) http://www.samos.aegean.gr/math/s97130/ptyxiaki/ Συγγραφέας : Χουσαϊνοβ Αλέξανρος e-mail: s97130@math.aegean.gr soviet@teivos.samos.aegean.gr Ετος : 2002 Εκδοτικός Οίκος : Εκτυπωτές του Κέντρου Πληροφορικής της πανεπιστηµιακής µονάδας Σάµου του Πανεπιστήµιου Αιγαίου Στοιχειοθεσία : L a TEX χρησιµοποιώντας την έκδοση BibTeX Γραµµατοσειρά : Kerkis Font Family http://iris.math.aegean.gr/software/kerkis/ Πανεπιστήµιο Αιγαίου Σχολή Θετικών Επιστηµών Τµήµα Μαθηµατικών Καρλόβασι, Σαµος Τκ. 83200 http://www.samos.aegean.gr/
Ευχαριστία Θα ήθελα να εκφράσω την ευγνωµοσύνη προς την τριµελή επιτροπή που εξετά- Ϲει την πτυχιακή µου εργασία τον κ Ανούση Μιχάλη, Αναπληρωτή καθηγητή και Πρόεδρο του Τµήµατος Μαθηµατικών του Πανεπιστηµίου Αιγαίου, τον κ Τσαπόγα Γεώργιο, Επίκουρο καθηγητή του ίδιου τµήµατος και ιδιαίτερα τον κ Τσολοµύτη Αντώνιο «άσκαλο» Λέκτορα του Τµήµατος Μαθηµατικών που µου έδειχνε το «µονοπάτι» όταν εγώ αδυνατούσα να το διακρίνω. Η πτυχιακή εργασία αποτελεί για µένα το τελευταίο σκαλοπάτι στην απόκτηση του πτυχίου και στην ουσία κλείνει ένα, ίσος το καλύτερο, κοµµάτι της Ϲωής µου, τα ϕοιτητικά µου χρόνια. Επ αυτού ϑα ήθελα να ευχαριστήσω όλους που έχουν αναµειχθεί στην Ϲωή µου αυτά τα πέντε χρονάκια αφήνοντας είτε ευχάριστες είτε µη, αναµνήσεις. Τέλος, να µην ευχαριστήσω και τους γονείς µου, που µε πλήρωναν τον «µηνιαίο µισθό» επί πέντε χρόνια (πιστεύω να µην χρειαστεί άλλο, αλλά ποτέ δεν ξέρεις). Καρλόβασι, Οκτώβριος 2002 iii
Αφιερώνεται στις Ϲωή, ελπίδα, χαρά, ευτυχία, αγάπη, νίκη, ειρήνη, σοφία, ελευθερία, γυναίκες της Ϲωής µας...
Πρόλογος Στην παρούσα πτυχιακή εργασία παρουσιάζουµε την ϑεωρία των ϑραυσµάτων (fractal geometry) και πως ένα µέρος από αυτήν, εφαρµόζεται στην συµπίεση της ψηφιακής εικόνας. Η λέξη fractal εισάχθηκαι για πρώτη ϕορά από τον Benoit Mandelbrot το 1970 και αποτελεί ένα όνοµα για µια κλάση συνόλων που ϑα ορίσουµε πιό κάτω. Πρώτα όµως ϑα εξετάσουµε την προέλευση της και να δώσουµε µια µετάφραση. Η λέξη fractal προέρχεται από την λατινική λέξη fractus που ϑα µπορούσε να µεταφραστεί σαν τµήµα, κοµµάτι, ϑραυσµά ή κλάσµα και κατά κάποιο τρόπο χαρακτηρίζει τα σύνολα που είναι fractal µε την έννοια ότι κατά µεγάλο ποσοστό τέτοια σύνολα έχουν κλασµατική ή καλύτερα µη ακέραια διάσταση Hausdorff (όχι όµως όλα, για παράδειγµα το σύνολο «σκόνη Cantor», σχήµα 3.2). Προσπαθώντας να ϐρούµε την κατάλληλη µετάφραση στο όρο fractus, καταλήξαµε στην λέξη ϑραύσµα. Οπότε fractal ϑα είναι ϑραυσµατικό σύνολο. Ο ίδιος ο Mandelbrot αρχικά έχει ορίσει τα ϑραυσµατικά σύνολα να είναι εκείνα τα οποία αν µεγεθύνουµε οποιοδήποτε τµήµα του συνόλου ϑα πάρουµε ένα όµοιο σύνολο µε το αρχικό. Στην συνέχεια έβγαλε έναν πιο αυστηρό µα- ϑηµατικό ορισµό, που έλεγε ότι τα ϑραυσµατίκα σύνολα είναι εκείνα που έχουν την ϑραυσµατική τους διάσταση (fractal diamension) αυστηρά µικρότερη από την τοπολογική. Λέγοντας ϑραυσµατική διάσταση εννούσε στην ουσία την διάσταση Hausdorff, ορισµος 3.2.1. Σήµερα επικτρατεί η άποψη λοτι τα ϑραυσµατικά σύνολα είναι αυτά που η διάσταση Hausdorff τους είναι διαφορετική από την τοπολογική. Το πρώτο κεφάλαιο εισάγει τους ϐασικούς ορισµούς και ϑεωρήµατα από την µετρική τοπολογία. Στην παράγραφο 1.5 όπου µελετάται η συµπάγεια κατασκευάζουµε και ορίζουµε το σύνολο Cantor, που είναι και το πρώτο παράδειγµα ενός ϑραυσαµτικού συνόλου. Το ϑεώρηµα 1.6.3 που στην τοπολογία είναι γνωστό και ως αρχή της συσυτολής ή ϑεώρηµα σταθερού σηµείου Banach, ϑα αποτελέσει το ϑεµέλιο λίθο στην πρακτική εφαρµογή της πτυχιακής εργασίας, την συµπίεση της ψηφιακής εικόνας. Στην παράγραφο 1.9 ορίζουµε την µετρική Hausdorff που εφοδιάζει το µετρικό χώρο K(X) που είναι όλα τα µη κενά συµπαγή υποσύνολα του X που πάλι είναι αναγκαία για το ϑεωρετικό µέρος της πρακτηκής εφαρµογής της πτυχιακής εργασίας. Το δεύτερο κεφάλαιο ασχολείται µε τα ϐασικά εισαγωγικά στοιχεία της ϑεωρίας µέτρου. Ορίζει αυστηρά το µέτρο και το εξωτερικό µέτρο. Για καλύτερη κατανόηση εισάγουµε ως παράδειγµα το µέτρο Lebesgue. Περιγράφεται η µέθοδος Καραθεοδωρή της κατασκευής του εξωτερικού µέτρου και παρουσιάζεται το κριτήριο µετρησιµότητας κατά Καραθεοδωρή που είναι αναγαία στην κατασκευή του s-διάστατου µέτρου Hausdorff. vii
viii Στο τρίτο κεφάλαιο που είναι και το κυριότερο, ορίζουµε την διάσταση Hausdorff ενός συνόλου. ίνουµε µερικά παραδείγµατα ϑραυσµατικών συνόλων και µερικές τεχνικές υπολογισµού της διάστασής τους. Στην παράγραφο 3.4 ασχολούµαστε µε ένα υποσύνολο των ϑραυσµατικών συνόλων τα αυτοόµοια σύνολα. Ο λόγος είναι ότι τέτοια σύνολα και η ϑεωρία τους ϐρίσκουν µέγαλο µέρος στην πρακτική εφαρµογή. Το ϑεώρηµα 3.4.1 που είναι και το ϑεώρηµα σταθερού ση- µείου Banach στο µετρικό χώρο K(X) εφοδιασµένο µε την µετρική Hausdorff όπως και το ϑεώρηµα 3.4.4 γνωστό και ως το ϑεώρηµα «κολάζ», είναι τα δύο κύρια ϑεωρήµατα που χρησιµοποιεί ο αλγόριθµος της fractal συµπίεσης της ψηφιακής εικόνας. Τέλος στο κεφάλαιο 4 παρουσιάζουµε πως η ϑεωρία των ϑραυσµατικών συνόλων και για την ακρίβεια των αυτοόµοιων συνόλων µπορεί να εφαρµοστεί στην πράξη και να συµπιέση µια ψηφιακή εικόνα.
Περιεχόµενα Ευχαριστία Πρόλογος iii vi 1 Μετρική Τοπολογία 3 1.1 Μετρικοί Χώροι............................. 3 1.1.1 Τοπολογία Μετρικού Χώρου.................. 4 1.2 Συνέχεια Συναρτήσεων......................... 9 1.3 Ακολουθίες............................... 11 1.4 Συνεκτικοί Χώροι............................ 13 1.5 Συµπάγεια............................... 16 1.6 Πλήρεις και ιαχωρίσιµοι Χώροι.................... 23 1.6.1 Αρχή της Συστολής....................... 25 1.6.2 ιαχωρίσιµοι Χώροι....................... 26 1.7 Οµοιόµορφη Σύγκλιση Συναρτήσεων................. 28 1.8 Συστήµατα Αρίθµησης......................... 30 1.9 Μετρική Hausdorff.......................... 33 2 Θεωρία Μέτρου 35 2.1 σ-άλγεβρα................................ 35 2.2 Μέτρο.................................. 37 2.2.1 Μέτρο Lebesgue......................... 39 2.2.2 Μετρήσιµα σύνολα....................... 46 2.3 Κατασκευή Εξωτερικού Μέτρου.................... 48 2.3.1 Μέθοδος Καραθεοδωρή..................... 49 2.3.2 Πεπερασµένο Εξωτερικό Μέτρο................. 50 3 ιάσταση Hausdorff 53 3.1 Μέτρο Hausdorff............................ 53 3.2 ιάσταση Hausdorff.......................... 55 3.3 Τεχνική υπολογισµού της διάστασης Hausdorff........... 61 3.4 Αυτοόµοια Σύνολα........................... 67 4 Fractal Συµπίεση των Εικόνων 77 4.1 Θεωρητική Ιδέα της Fractal Συµπίεσης................ 78 4.2 Περιγραφή του Αλγορίθµου...................... 80 Βιβλιογραφία 83 1
2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Ευρετήριο 85
Κεφάλαιο 1 Μετρική Τοπολογία Στο κεφάλαιο αυτό ϑα παρουσιάσουµε τα ϐασικά στοιχεία της τοπολογίας τα οποία ϑα µας είναι χρήσιµα σχεδόν σε όλους τους τοµείς της παρούσας πτυχιακής εργασίας. 1.1 Μετρικοί Χώροι Ορισµός 1.1.1 Εστω Χ ένα σύνολο, µια συνάρτηση ρ : X X [0, ] ϑα λέγεται µετρική αν ισχύουν οι παρακάτω συνθήκες : 1. ρ(x, x) = 0 για κάθε x X 2. ρ(x, y) = ρ(y, x) για κάθε x, y X (συµµετρία) 3. ρ(x, y) ρ(x, z) + ρ(z, y) για κάθε x, y, z X (τριγωνική ανισότητα) Επιπλέον το X εφοδιασµένο µε την µετρική ρ ϑα λέγεται µετρικός χώρος και ϑα το συµβολίζουµε (X, ρ) και εφόσον δεν υπάρχει πρόβληµα στο να µπερδέψουµε τις µετρικές ϑα γράφουµε µόνο X. Μερικά παραδείγµατα Παράδειγµα : Στο R η συνήθης ή Ευκλείδεια µετρική ορίζεται να είναι η συνάρτηση : ρ(x, y) = (x y) 2 = x y όπου x, y R Το ότι η συνάρτηση ρ είναι µετρική στο R ϕαίνεται άµεσα (αφού ισχύουν και οι τρεις συνθήκες του ορισµού). Παράδειγµα : η συνάρτηση : Στο R 2 η συνήθης ή Ευκλείδεια µετρική ορίζεται να είναι ρ(x, y) = (x 1 y 1 ) 2 + (x 2 y 2 ) 2 όπου x, y R 2, δηλαδή x = (x 1, x 2 ) και y = (y 1, y 2 ) µε x 1, x 2, y 1, y 2 R. 3
4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΜΕΤΡΙΚΗ ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ Παράδειγµα : η συνάρτηση : όπου x, y R n Παράδειγµα : µε τύπο Στο R n η συνήθης ή Ευκλείδεια µετρική ορίζεται να είναι ( n ) 1/2 ρ(x, y) = (x i y i ) 2 Αν X είναι τυχόν µη κενό σύνολο, η συνάρτηση ρ : X X R ρ(x, y) = { 1, αν x y 0, αν x = y είναι µετρική στο R και λέγεται διακριτή µετρική Απόδειξη : Οι δύο πρώτες ιδιότητες της µετρικής προκύπτουν άµεσα από τον ορισµό της ρ. Ετσι αρκεί να δείξουµε ότι για τυχόντα στοιχεία x, y και z του X ισχύει ρ(x, y) ρ(x, z) + ρ(z, y) (1.1) Επειδή οι τιµές των αποστάσεων ρ(x, y), ρ(x, z) και ρ(z, y) είναι 0 ή 1, η µόνη περίπτωση όπου δεν ϑα ίσχυε η σχέση 1.1, ϑα ήταν η περίπτωση όπου ρ(x, y) = 1 και ρ(x, z) = ρ(z, y) = 0. Αλλά τότε, από τον ορισµό της ρ, ϑα είχαµε ρ(x, y) = 1 x y και ταυτόχρονα ρ(x, z) = ρ(z, y) = 0 x = z = y που είναι άτοπο. Μπορούµε να γενικεύσουµε την τριγωνική ανισότητα. Εστω x 1, x 2,..., x n X όπου (X, ρ) µετρικός χώρος και n 2 τότε ρ(x 1, x n ) ρ(x 1, x 2 ) + ρ(x 2, x 3 ) + + ρ(x n 1, x n ). Απόδειξη : Για n = 2, ο ισχυρισµός ισχύει από τον ορισµό. Εστω ότι ισχύει για n = k, δηλαδή ρ(x 1, x k ) ρ(x 1, x 2 ) + ρ(x 2, x 3 ) + + ρ(x k 1, x k ). Βάσει µαθηµατικής επαγωγής αρκεί να δείξουµε ότι ισχύει για n = k + 1. Κάτι που ισχύει αφού ρ(x 1, x k + 1) ρ(x 1, x k ) + ρ(x k, x k+1 ) ρ(x 1, x n ) ρ(x 1, x 2 ) + ρ(x 2, x 3 ) + + ρ(x k 1, x k ) + ρ(x k, x k+1 ). 1.1.1 Τοπολογία Μετρικού Χώρου Ορισµός 1.1.2 Εστω (X, ρ) µετρικός χώρος. Μια ανοιχτή µπάλα µε ακτίνα r > 0 και κέντρο το στοιχείο a X είναι το σύνολο B(a, r) = {x ώστε ρ(a, x) < r, x X} Ορισµός 1.1.3 Εστω (X, ρ) µετρικός χώρος. Μια κλειστή µπάλα µε ακτίνα r > 0 και κέντρο το στοιχείο a X είναι το σύνολο C(a, r) = {x ώστε ρ(a, x) r, x X}
1.1. ΜΕΤΡΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ 5 Προφανώς B(a, r) C(a, r). Μερικά παραδείγµατα : Παράδειγµα : Στο R, µε την συνήθη µετρική, η ανοιχτή µπάλα εµφανίζεται σαν ανοιχτό διάστηµα (δηλαδή διάστηµα της µορφής ( x, x) ). B(a, r) = {x R ώστε x a < r} Ενώ η κλειστή µπάλα εµφανίζεται σαν κλειστό διάστηµα. C(a, r) = {x R ώστε x a r} Παράδειγµα : Στο R 2 µε την συνήθη µετρική η ανοιχτή µπάλα είναι ο ανοιχτός δίσκος µε κέντρο a και ακτίνα r (δηλαδή ο δίσκος χωρίς τον κύκλο (x 1 a) 2 + (x 2 a) 2 = r 2 ). B(a, r) = {x R 2 ώστε ρ(x a) < r} = {x R 2 ώστε (x1 a 1 ) 2 + (x 2 a 2 ) 2 < r} Ενώ η κλειστή µπάλα εµφανίζεται σαν τον δίσκο ακτίνας r και µε κέντρο a. C(a, r) = {x R 2 ώστε ρ(x a) r} = {x R 2 ώστε (x1 a 1 ) 2 + (x 2 a 2 ) 2 r} Παράδειγµα : Στο R 3 µε την συνήθη µετρική η ανοιχτή µπάλα είναι το πε- ϱιεχόµενο της σφαίρας που το κέντρο της είναι a και ακτίνα r. B(a, r) = {x R 3 ώστε (x1 a 1 ) 2 + (x 2 a 2 ) 2 + (x 3 a 3 ) 2 < r} Η κλειστή µπάλα είναι ολόκληρη σφαίρα µε κέντρο a και ακτίνα r. Ορισµός 1.1.4 Εστω (X, ρ) µετρικός χώρος. Ενα υποσύνολο G X λέγεται ανοιχτό σύνολο (ως προς την µετρική ρ) αν για κάθε x G υπάρχει ε x > 0 ώστε η ανοιχτή µπάλα µε κέντρο x και ακτίνα ε x να είναι υποσύνολο του G. Παράδειγµα : ανοιχτό. Το κενό σύνολο είναι ανοιχτό. Το R µε συνήθη µετρική είναι Παράδειγµα : Το σύνολο A = [0, 1) δεν είναι ανοιχτό στο µετρικό χώρο (R, ρ), ό- που ρ είναι συνήθης µετρική, γιατί για ε > 0 πρέπει να έχω B(0, ε) = ( ε, ε) A όµως ε/2 ( ε, ε) και ε/2 / A. Πρόταση 1.1.1 Σε κάθε µετρικό χώρο (X, ρ), κάθε ανοιχτή µπάλα B(x, r) είναι ανοιχτό σύνολο. Απόδειξη : Εστω y B(x, r). Τότε ρ(x, y) < r. Οπότε ε = r ρ(x, y) > 0. Αρκεί να δείξουµε ότι B(y, ε) B(x, r). Εστω z B(y, ε), τότε ρ(y, z) < ε όµως από την ιδιότητα (3) της µετρικής (ορισµός 1.1.1) έχουµε ότι ρ(x, z) ρ(x, y) + ρ(y, z) < r ε + ε = r δηλαδή z B(x, r), άρα δείξαµε οτι B(y, ε) B(x, r).
6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΜΕΤΡΙΚΗ ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ Πρόταση 1.1.2 Κάθε ανοιχτό σύνολο G του µετρικού χώρου (X, ρ) είναι µια ένωση ανοιχτών µπαλών. Απόδειξη : Για κάθε x G υπάρχει ε x > 0 ώστε B(x, ε x ) G, τότε όµως x G B(x, ε x ) = G Εστω x R n, ορίζουµε την συνήθη νόρµα στο R n (ή l 2 νόρµα) να είναι x = (x 2 1 + x 2 2 + + x 2 n) 1 2 = n Πρόταση 1.1.3 Το πλήθος των στοιχείων µιας µπάλας B(x, ε) του R n, µε τη συνήθη µετρική, είναι υπεραριθµήσιµο. x 2 i Απόδειξη : Για κάθε 0 λ < ε το σηµείο x + λx/ x B(x, ε) δηλαδή ρ(x, x + λx x ) = λx x = λ x x < ε και επιπλέον το σηµείο x + λx/ x ορίζεται αµφιµονοσήµαντα σε σχέση µε το λ, οπότε το πλήθος των σηµείων της µπάλας B(x, ε) είναι τουλάχιστον ο πληθικός αριθµός του διαστήµατος [0, ε), δηλαδή υπεραριθµήσιµο. Μερικές ϐασικές ιδιότητες ανοιχτών υποσυνόλων του µετρικού χώρου (X, ρ) 1. και X είναι ανοιχτά. 2. Αν G 1, G 2,..., G n είναι ανοιχτά υποσύνολα του µετρικού χώρου (X, ρ) τότε και η τοµή τους, n G i, είναι ανοιχτό σύνολο. 3. Αν G i, όπου i J ανοιχτά υποσύνολα του µετρικού χώρου (X, ρ) τότε και η ένωσή τους, i J G i, είναι ανοιχτό σύνολο. Απόδειξη : Η πρώτη ιδιότητα είναι τετριµµένη. Την δεύτερη ιδιότητα ϑα την δείξουµε µε επαγωγή. Θα δείξουµε πρώτα ότι ισχύει για n = 2 δηλαδή G 1 G 2 είναι ανοιχτό σύνολο. Εστω x G 1 G 2 τότε x G 1 και x G 2. Αφού G 1 και G 2 είναι ανοιχτά σύνολα, υπάρχουν ε 1, ε 2 > 0 ώστε B(x, ε 1 ) G 1 και B(x, ε 2 ) G 2. Θέτουµε ε = min{ε 1, ε 2 } τότε ε ε 1 και ε ε 2. } B(x, ε) G 1 B(x, ε) G B(x, ε) G 1 G 2 2 Άρα G 1 G 2 είναι ανοιχτό σύνολο. Υποθέτουµε ότι ισχύει για n = k, µένει να δείξουµε ότι ισχύει και για n = k + 1, κάτι που ϕαίνεται εύκολα. Τέλος όσο αφορά την τρίτη ιδιότητα έχουµε έστω x i J G i, ϑα υπάρχει i 0 J ώστε x G i0. Αφού το G i0 είναι ανοιχτό, υπάρχει ε > 0 ώστε B(x, ε) G i0 i J G i άρα i J G i είναι ανοιχτό σύνολο. Στην ιδιότητα δύο µιλάµε για πεπερασµένη τοµή (σε αντίθεση µε την τρίτη, όπου οι ένωση είναι πάνω σε άπειρα ανοιχτά υποσύνολα). Το επόµενο παράδειγµα δείχνει οτι η ιδιότητα (2) δεν ισχύει για άπειρη τοµή. Παράδειγµα : Στο µετρικό χώρο (X, ρ) τα υποσύνολα ( 1/n, 1/n) για n N
1.1. ΜΕΤΡΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ 7 είναι όλα ανοιχτά, όµως η τοµή τους n=1( 1/n, 1/n) = {0} δεν είναι ανοιχτό υποσύνολο του µετρικού µας χώρου. Νόµοι του De Morgan Εστω X, L σύνολα και για κάθε λ L, το X λ είναι και αυτό σύνολο. Τότε 1. X \ λ L X λ = λ L (X \ X λ) 2. X \ λ L X λ = λ L (X \ X λ) Απόδειξη : (1) Εστω x X\ λ L X λ αυτό σηµαίνει ότι x X και x / λ L X λ, δηλαδή για κάθε λ L x / X λ. Ισοδύναµα x X \ X λ, για κάθε λ L άρα x λ L (X \ X λ) (2) x X \ λ L X λ x X και x / λ L X λ x X για κάποιο λ L και x / X λ x X \ X λ για κάποιο λ L x λ L (X \ X λ) Ορισµός 1.1.5 Εστω (X, ρ) µετρικός χώρος. Ενα υποσύνολο G X λέγεται κλειστό σύνολο (ως προς την µετρική ρ) αν το συµπλήρωµα του G c = X \ G είναι ανοιχτό σύνολο. Παράδειγµα : Το υποσύνολο A = [a, b] του R είναι κλειστό στο µετρικό χώρο (R, ρ), αφού το συµπλήρωµά του είναι (, a) (b, ) ανοιχτό σύνολο, ως ένωση ανοιχτών συνόλων. Μερικές ϐασικές ιδιότητες κλειστών συνόλων του µετρικού χώρου (X, ρ): 1. και X είναι κλειστά υποσύνολα 2. Αν F 1, F 2,..., F n είναι ανοιχτά υποσύνολα του µετρικού χώρου (X, ρ) τότε και η ένωσή τους, n F i, είναι ανοιχτό σύνολο. 3. Αν F i, όπου i J ανοιχτά υποσύνολα του µετρικού χώρου (X, ρ) τότε και η τοµή τους, i J F i, είναι ανοιχτό σύνολο. Απόδειξη : Από την στιγµή που το κενό σύνολο είναι συµπλήρωµα του X στο µετρικό χωρο (X, ρ) και αντίστροφα το X είναι συµπλήρωµα του κενού, µαζί µε την πρώτη ιδιότητα των ανοιχτών συνόλων, έπεται ότι είναι κλειστά σύνολα. Τα σύνολα X \ F 1, X \ F 2,..., X \ F n, είναι ανοιχτά, άρα η τοµή τους n F i είναι ανοιχτό σύνολο. Οπότε έχουµε n n (X \ F i ) = X \ άρα n F i είναι κλειστό σύνολο. Οµοίως αποδεικνύεται η ιδιότητα τρία F i Ορισµός 1.1.6 Εστω (X, ρ) ένας µετρικός χώρος και A ένα υποσύνολο του X. Η ένωση όλων των ανοιχτών υποσυνόλων του X που περιέχονται στο σύνολο A ϑα λέγεται το εσωτερικό ή ο πυρήνας του A και ϑα συµβολίζεται µε A. ηλαδή A = {G όπου G είναι ανοιχτό υποσύνολο του X ώστε G A}
8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΜΕΤΡΙΚΗ ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ Άµεση ερµηνεία του ορισµού και µερικά συµπεράσµατα που µπορούµε να ϐγάλουµε είναι ότι το εσωτερικό ενός συνόλου A είναι πάντα ανοιχτό σύνολο. εν υπερβαίνει ποτέ το ίδιο το σύνολο, δηλαδή είναι πάντα υποσύνολο του A (αν και µπορεί να ισούται µε το ίδιο το A). Είναι το µεγαλύτερο ανοιχτό υποσύνολό του και όλα τα ανοιχτά υποσύνολα του A περιέχονται στο A. Παράδειγµα : R = R, (a, b] = (a, b), (a, b) = (a, b), N =, Q = Παράδειγµα : Οποιοδήποτε αριθµήσιµο ή πεπερασµένου πλήθους στοιχείων υποσύνολο A του R έχει κενό εσωτερικό σύνολο. Ορισµός 1.1.7 Εστω (X, ρ) ένας µετρικός χώρος και A ένα υποσύνολο του X. Η τοµή όλων των κλειστών υποσυνόλων του X που περιέχουν το σύνολο A ϑα λέγεται κλειστότητα του συνόλου A και ϑα συµβολίζεται µε A. ηλαδή A = {F όπου F κλειστό υποσύνολο του X ώστε A F } Οπως και στην περίπτωση του εσωτερικού συνόλου έτσι και εδώ µπορούµε να ϐγάλουµε κάποια χρήσιµα συµπεράσµατα. Η κλειστότητα ενός συνόλου A είναι κλειστό σύνολο που πάντα περιέχει το A. Η κλειστότητα είναι το µικρότερο κλειστό σύνολο που περιέχει το A. Το A είναι κλειστό σύνολο αν και µόνο αν είναι ίσο µε την κλειστότητα του, A = A. Παράδειγµα : Η κλειστότητα των ϱητών αριθµών είναι όλο το R, Q = R. Θεώρηµα 1.1.1 Εστω (X, ρ) ένας µετρικός χώρος και A, B υποσύνολα του X. Τότε ισχύουν τα παρακάτω : 1. (A ) = A και (A) = A 2. A B A B και A B 3. (A B) = A B και A B = A B Η πρόταση (3) ισχύει και για πεπερασµένες τοµές και ενώσεις αντίστοιχα. Ορισµός 1.1.8 Εστω (X, ρ) ένας µετρικός χώρος και A ένα υποσύνολο του X. Ενα σηµείο a του A λέγεται µεµονωµένο σηµείο του A αν για κάποιο ε > 0 η τοµή της ανοιχτής µπάλας µε κέντρο a και ακτίνα ε µαζί µε το A είναι το µονοσύνολο {a}. ηλαδή αν ισχύει B(a, ε) A = {a} Ορισµός 1.1.9 Εστω (X, ρ) ένας µετρικός χώρος και A ένα υποσύνολο του X. Το σύνολο των σηµείων που ανήκουν στην κλειστότητα του A αλλά δε ανήκουν στο εσωτερικό του, ϑα λέγεται το σύνορο του A και ϑα συµβολίζεται µε A. ηλαδή A = A \ A Ορισµός 1.1.10 Εστω (X, ρ) είναι ένας µετρικός χώρος και A ένα υποσύνολο του X. Ενα σηµείο x του X λέγεται σηµείο συσσώρευσης του A αν για κάθε ε > 0 η τοµή της ανοιχτής µπάλας µε κέντρο x και ακτίνα ε µε το σύνολο A χωρίς το ίδιο το x (αν είναι µέσα στην τοµή) δεν είναι κενή. ηλαδή αν ισχύει B(x, ε) A \ {x}
1.2. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 9 Το παράγωγο σύνολο του συνόλου A είναι το σύνολο όλων των σηµείων συσσώρευσης του A και συµβολίζεται µε A, ηλαδή A = {x X όπου x είναι σηµείο συσσώρευσης του A} Θεώρηµα 1.1.2 Εστω (X, ρ) ένας µετρικός χώρος και A, B ένα υποσύνολο του X. Τότε ισχύουν τα ακόλουθα 1. Αν A B τότε A B 2. A A = A 3. (A B) = A B Η πρόταση (3) ισχύει και για πεπερασµένες ενώσεις Ορισµός 1.1.11 Εστω (X, ρ) µετρικός χώρος. Ορίζουµε την απόσταση µεταξύ δύο υποσυνόλων του X, A και B να είναι dist(a, B) = inf{ρ(a, b) : a A, b B} Ορισµός 1.1.12 Εστω A ένα υποσύνολο ενός µετρικού χώρου (X, ρ). Θα λέµε ότι το σύνολο A είναι πυκνό υποσύνολο του X αν για κάθε ε > 0 ισχύει ότι για κάθε x X υπάρχει y A ώστε ρ(x, y) < ε Πρόταση 1.1.4 Ενα υποσύνολο A ενός µετρικού χώρου (X, ρ) είναι πυκνό υποσύνολο του X αν και µόνο αν A = X Απόδειξη : Αρχικά ϑεωρούµε ότι το σύνολο A είναι πυκνό υποσύνολο του X. Τότε για τυχόν x X έχουµε ότι για κάθε ε > 0 υπάρχει y A ώστε ρ(x, y) < ε y B(x, ε) B(x, ε) A. Αυτό σηµαίνει ότι αν x A τότε x A άρα x A A δηλαδή x A. Άρα X A, δηλαδή X = A. Αντίστροφα, έστω ότι ισχύει X = A. Θεωρούµε τυχόν x X και τυχόν ε > 0. Αν x A τότε υπάρχει y = x A ώστε ρ(x, y) = 0 < ε, οπότε υποθέτουµε ότι x A (αλλά x A). Θέλουµε να δείξουµε ότι υπάρχει y A ώστε ρ(x, y) < ε. Εστω ότι δεν υπάρχει (για να καταλήξουµε σε άτοπο) τέτοιο y, αυτό σηµαίνει ότι υπάρχει r > 0 ώστε η ανοιχτή µπάλα µε κέντρο x και ακτίνα r δεν τέµνει καθόλου το A (B(x, r) A = ), άρα X \ B(x, r) είναι κλειστό υπερσύνολο του A, τότε όµως A X \ B(x, r), άτοπο αφού A = X. Άρα A είναι πυκνό σύνολο του X 1.2 Συνέχεια Συναρτήσεων Ορισµός 1.2.1 Εστω (X, ρ 1 ) (Y, ρ 2 ) µετρικοί χώροι και µια συνάρτηση f : X Y. Η f λέγεται συνεχής συνάρτηση αν για κάθε x 0 X και κάθε ε > 0 υπάρχει δ = δ(x 0, ε) > 0 ώστε για κάθε x X µε ρ 1 (x, x 0 ) < δ έχουµε ότι ρ 2 (f(x), f(x 0 )) < ε. Θα ορίσουµε τώρα την συνάρτηση οµοιότητας (similarity)
10 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΜΕΤΡΙΚΗ ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ Ορισµός 1.2.2 Μια συνάρτηση f : X Y από µετρικό χώρο (X, ρ 1 ) σε (Y, ρ 2 ), ϑα λέγεται οµοιότητα αν και µόνο αν υπάρχει r > 0 ώστε ρ 2 (f(x), f(y)) = rρ 1 (x, y) για όλα τα x, y S. Ο αριθµός r καλείται λόγος της f. ύο µετρικοί χώροι είναι όµοιοι αν και µόνο αν υπάρχει µια συνάρτηση οµοιότητας από τον έναν στον άλλο. Παράδειγµα : Η ταυτοτική συνάρτηση f : X X είναι συνεχής. Παράδειγµα : Κάθε συνάρτηση οµοιότητας είναι συνεχής. Απόδειξη : Αρκεί να πάρουµε δ = ε/r. Μάλιστα ισχύει κάτι πιο ισχυρό, κάθε συνάρτηση οµοιότητας είναι οµοιόµορφα συνεχής. Ορισµός 1.2.3 Οµοιόµορφη Συνέχια Εστω (X, ρ 1 ), (Y, ρ 2 ) µετρικοί χώροι και f : X Y µια συνάρτηση. Η f λέγεται οµοιόµορφα συνεχής αν για κάθε ε > 0 υπάρχει δ = δ(ε) > 0 ώστε για όλα τα x, y X. ρ 1 (x, y) < δ ρ 2 (f(x), f(y)) < ε Ορισµός 1.2.4 Εστω f : X Y συνάρτηση και A X, B Y. Εικόνα του A µέσω της f είναι f[a] = {f(x) ώστε x A} Αντίστροφη εικόνα του B µέσω της f είναι f 1 [B] = {x X ώστε f(x) B} Θεώρηµα 1.2.1 Εστω f : X Y είναι µια συνάρτηση. Εστω επίσης ότι για κάθε λ L, έχουµε ότι X λ X, Y λ Y τότε 1. f[ λ L 2. f 1 [ λ L 3. f 1 [ λ L X λ ] = λ L f[x λ ] Y λ ] = λ L f 1 [Y λ ] Y λ ] = λ L f 1 [Y λ ] Απόδειξη : Εστω y f[ λ L X λ ] δηλαδή υπάρχει x λ L X λ µε f(x) = y. Εχουµε x X λ0 για κάποιο λ 0 L και f(x) = y συνεπάγεται y f[x λ0 ] y λ L f[x λ ]. Τώρα y λ L f[x λ ] y f[x λ0 ] για κάποιο λ 0 L, άρα y = f(x) για κάποιο x X λ0 λ L X λ y f[ λ L Xλ] Θεώρηµα 1.2.2 Εστω f : X Y µια συνάρτηση µεταξύ µετρικών χώρων (X, ρ 1 ) και (Y, ρ 2 ). Τότε τα ακόλουθα είναι ισοδύναµα.
1.3. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ 11 1. Η f είναι συνεχής συνάρτηση. 2. Για κάθε ανοιχτό υποσύνολο G του Y, η αντίστροφη εικόνα του G, f 1 [G] είναι ανοιχτό σύνολο στο µετρικό χώρο X. 3. Για κάθε κλειστό υποσύνολο F του Y, η αντίστροφη εικόνα του F, f 1 [F ] είναι κλειστό σύνολο στο µετρικό χώρο X. Απόδειξη : 1 2. Υποθέτουµε ότι η f είναι συνεχής συνάρτηση και G ανοιχτό σύνολο στο µετρικό χώρο (Y, ρ 2 ). Εστω x 0 f 1 [G] f(x 0 ) G. Αφού το G είναι ανοιχτό σύνολο, τότε υπάρχει ε > 0 ώστε B ρ2 (f(x 0 ), ε) G. Από την συνέχεια της f, υπάρχει δ > 0 τέτοιο ώστε ρ 1 (x 0, x) < δ για κάθε x f 1 [G], δηλαδή B ρ1 (x 0, δ) f 1 [G]. Άρα F 1 [G] είναι ανοιχτό σύνολο στο X. 2 1. Αντίστροφα, έστω για κάθε ανοιχτό σύνολο G η f 1 [G] είναι ανοιχτό και αυτό. Θέλουµε να δείξουµε ότι η f είναι συνεχής. Εστω x 0 X τότε για ε > 0 η µπάλα B ρ2 (f(x 0 ), ε) είναι ανοιχτή στο Y, άρα το σύνολο f 1 [B ρ2 (f(x 0, ε)] είναι ανοιχτό στο X, δηλαδή υπάρχει δ > 0 ώστε B ρ1 (x 0, δ) f 1 [B ρ2 (f(x 0 ), ε)] ρ 1 (x 0, x) < δ και αφού B ρ2 (f(x 0 ), ε) έχουµε ότι ρ 2 (f(x 0 ), f(x)). Άρα η f είναι συνεχής συνάρτηση. Τώρα 2 3 ισχύει γιατί το συµπλήρωµα του F είναι ανοιχτό σύνολο και f 1 [F c ] = (f 1 [F ]) c. Ορισµός 1.2.5 Εστω συνάρτηση f : X Y από µετρικό χώρο (X, ρ 1 ) στο µετρικό χώρο (Y, ρ 2 ) και g : Y Z συναρτήση από το µετρικό χώρο (Y, ρ 2 ) στο Z, ρ 3. Ορίσουµε την σύνθεση συναρτήσεων να είναι η καινούργια συνάρτηση g f : X Z και (g f)(x) = g(f(x)). Παρατηρούµε ότι για A Z, η αντίστροφη εικόνα (g f) 1 [A] = f 1 [g 1 [A]]. Θεώρηµα 1.2.3 Εστω X, Y, Z είναι µετρικοί χώροι και f : X Y, g : Y Z είναι δύο συνεχείς συναρτήσεις. Τότε η σύνθεση g f είναι και αυτή συνεχής συνάρτηση. Απόδειξη : Αρκεί να δείξουµε ότι για κάθε ανοιχτό υποσύνολο A του Z το σύνολο (g f) 1 [A] είναι ανοιχτό σύνολο στο X. Από το ϑεώρηµα 1.2.2 έχουµε ότι g 1 [A] είναι ανοιχτό στο Y και πάλι από το ϑέωρηµα 1.2.2 το f 1 [g 1 [A]] είναι ανοιχτό σύνολο στο X. Θεώρηµα 1.2.4 Εστω µετρικοί χώροι (X, ρ 1 ), (Y, ρ 2 ) και (Z, ρ 3 ). Εστω f : X Y και g : Y Z δύο οµοιότητες µε λόγους r f και r g αντίστοιχα. Τότε η σύνθεση τους g f είναι οµοιότητα µε λόγο r g r f. Απόδειξη : ρ 3 (g(f(x)), g(f(y))) = r g ρ 2 (f(x), f(y)) = r g r f (x, y) 1.3 Ακολουθίες Ορισµός 1.3.1 Μια συνάρτηση a : N X που έχει ως πεδίο ορισµού το σύνολο των ϕυσικών αριθµών, λέγεται ακολουθία στο X και συµβολίζεται µε a n ή {a n } ή {a n } n=1. Επιπλέον συνηθίζουµε να γράφουµε a n για a(n).
12 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΜΕΤΡΙΚΗ ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ Εστω ότι έχουµε µετρικό χώρο (X, ρ) Λέµε ότι η ακολουθία {x n } συγκλίνει σε σηµείο x του X αν για κάθε ε > 0, υπάρχει m N ώστε για κάθε n m Συµβολίζουµε την σύγκλιση µε x n x. ρ(x, x n ) < ε ή x n B(x, ε). Θεώρηµα 1.3.1 Το όριο µιας ακολουθίας {x n } αν υπάρχει είναι µοναδικό. Απόδειξη : Εστω ότι η ακολουθία µας {x n } συγκλίνει και έχει δύο διαφορετικά όρια l 1 και l 2. Τότε έχουµε ότι για ε > 0, υπάρχει m 1 N ώστε για n m 1 να ισχύει ρ(l 1, x n ) < ε/2 και υπάρχει m 2 N ώστε για n m 2 να ισχύει ρ(l 2, x n ) < ε/2. Από την τριγωνική ανισότητα έχουµε ρ(l 1, l 2 ) ρ(l 1, x n ) + ρ(x n, l 2 ) για m = max{m 1, m 2 } η ανισότητα γίνεται ρ(l 1, l 2 ) ε 2 + ε 2 = ε (1.2) Οµως η σχέση 1.2 ισχύει για κάθε ϑετικό ε άρα ρ(l 1, l 2 ) = 0 και l 1 = l 2, άτοπο, δηλαδή το όριο είναι µοναδικό. Θεώρηµα 1.3.2 Εστω µετρικοί χώροι (X, ρ 1 ) και (Y, ρ 2 ) και µια συνάρτηση f : X Y. Τότε τα ακόλουθα είναι ισοδύναµα : 1. η f είναι συνεχής συνάρτηση. 2. αν x n x τότε f(x n ) x Απόδειξη : (1) (2). Υποθέτουµε πρώτα ότι η f είναι συνεχής συνάρτηση και ότι x n x, ϑέλουµε να δείξουµε ότι f(x n ) f(x). Εστω ε > 0 τότε, αφού η f είναι συνεχής συνάρτηση, ισχύει ότι υπάρχει δ > 0 ώστε ρ 1 (x, y) < δ, τότε ρ 2 (f(x), f(y)) < ε για κάθε y X. Τώρα αφού x n x υπάρχει m N ώστε για κάθε n m έχουµε ότι ρ 1 (x n, x) < δ άρα ρ 2 (f(x n ), f(x)) < ε. Ετσι f(x n ) f(x). (2) (1). Για x X και ε > 0, ϑα πρέπει να ϐρούµε δ > 0 τέτοιο ώ- στε ρ 1 (x, y) < δ ρ 2 (f(x), f(y)) < ε. Υποθέτουµε ότι δεν υπάρχει τέτοιο δ (για να καταλήξουµε σε άτοπο), αυτό σηµαίνει ότι για κάθε n N δεν ισχύει για δ = 1/n ώστε ρ 1 (x, y) < 1/n ρ 2 (f(x), f(y)). ηλαδή υπάρχει x n X τέτοιο ώστε ρ 1 (x n, x) < 1/n ενώ ρ 2 (f(x n ), f(x)) > ε. Εξετάζουµε την ακολου- ϑία {x n } του X. Εχουµε ότι x n x όµως ρ 2 (f(x n ), f(x)) > ε άρα f(x n ) δεν συγκλίνει, άτοπο αφού υποθέσαµε ότι f(x n ) f(x), άρα υπάρχει δ > 0 ώστε ρ 1 (x, y) ρ 2 (f(x), f(y)) < ε και η f είναι συνεχής συνάρτηση. Θεώρηµα 1.3.3 Η ακολουθία {a n } = (x n, y n ) το R 2 συγκλίνει στο σηµείο a = (x, y) R 2 αν και µόνο αν x n x και y n y στο R. Θεώρηµα 1.3.4 Εστω {x n } µια ακολουθία του υποσυνόλου A µετρικού χώρου X. Εστω ότι x n x, τότε x A.
1.4. ΣΥΝΕΚΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ 13 Απόδειξη : Υποθέτουµε ότι x A. Τότε G = X \ A είναι ανοιχτό υποσύνολο στο X και x G. Εχουµε ότι A G = αφού A A, άρα x n G για όλα τα n N. Αφού το G είναι ανοιχτό σύνολο έχουµε ότι για x G υπάρχει ε > 0 µε B(x, ε) G. Τώρα έχουµε ότι x n x που σηµαίνει ότι υπάρχει m N ώστε για n m να ισχύει ρ(x n, x) < ε, δηλαδή από κάποιο m και µετά όλα τα στοιχεία της ακολουθίας ϐρίσκονται στην µπάλα B(x, ε), άτοπο. Άρα x A. Ορισµός 1.3.2 Εστω {x n } ακολουθία σηµείων του µετρικού χώρου (X, ρ). Εστω 1 n 1 < n 2 < < n k < όπου n k N, τότε τα σηµεία x n1, x n2,..., x nk,... λέγεται ότι αποτελούν υπακολουθία της x n και γράφεται {x nk } k=1 ή {x n k } ή απλά x nk. Θεώρηµα 1.3.5 Εστω {x n } είναι µια ακολουθία µετρικού χώρου (X, ρ) και έστω η ακολουθία {x n } συγκλίνει στο x. Εστω {x nk } k=1 υπακολουθία της {x n}. Τότε η x nk x. Απόδειξη : Εστω ε > 0. Από την σύγκλιση της x n έχουµε ότι υπάρχει m N ώστε ρ(x, x n ) < ε για όλα τα n m. Άρα για κάθε k m έχουµε ότι n k > k m και ρ(x, x nk ) < ε, άρα x nk x. 1.4 Συνεκτικοί Χώροι Ορισµός 1.4.1 Ενας µετρικός χώρος X λέγεται µη συνεκτικός αν υπάρχουν ανοιχτά υποσύνολα G και U του X τέτοια ώστε 1. G και U 2. G U = 3. G U = X Αν δεν υπάρχουν τέτοια υποσύνολα του X, τότε ο X λέγεται συνεκτικός Παράδειγµα : Ο µετρικός χώρος (N, ρ), όπου ρ η συνήθης µετρική, είναι µη συνεκτικός, αφού αν πάρουµε G = {1} και U = {2, 3,...}, είναι ανοιχτά στο (N, ρ) και ικανοποιούνται οι τρεις προϋποθέσεις του ορισµού 1.4.1 Μια απλή παρατήρηση : ένας µη συνεκτικός χώρος πρέπει να περιέχει τουλάχιστον δύο σηµεία. Παράδειγµα : Το κενό σύνολο όπως και τα µονοσύνολα είναι συνεκτικοί χώροι. Λήµµα 1.4.1 Εστω I R ώστε για όλα x, y I και x < y να ισχύει [x, y] I τότε το I είναι διάστηµα. Απόδειξη : Θα εξετάσουµε την περίπτωση που το I έχει άνω και κάτω πέρας (ϕράγµα) και δεν είναι κενό ούτε µονοσύνολο. Εστω a = inf I και b = inf I τότε a < b. Εστω a < x < b, τότε υπάρχει y I µε a y < x (αφού a = inf I), οµοίως
14 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΜΕΤΡΙΚΗ ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ υπάρχει z I µε x < z b (αφού b = inf I). Από την υπόθεση [x, y] I, άρα x I. Εχουµε δείξει ότι για οποιοδήποτε x (a, b) το x I, άρα (a, b) I. Υπάρχουν τέσσερις περιπτώσεις συνόλων µε a = inf I και b = inf I που να περιέχουν το (a, b): I = (a, b), I = (a, b], I = [a, b) και I = [a, b]. Ολες είναι διαστήµατα. Θεώρηµα 1.4.1 Εστω I υπόχωρος του R. Το I είναι συνεκτικός υπόχωρος αν και µόνο αν το I είναι διάστηµα. Απόδειξη : Θεωρούµε πρώτα ότι I είναι διάστηµα, ϑα δείξουµε ότι είναι συνεκτικός υπόχωρος του R. Υποθέτουµε ότι I δεν είναι κενό και δεν είναι µονοσύνολο, γιατί αν ήταν, ϑα ήταν συνεκτικός, οπότε ϑα τελείωνε η απόδειξη. Εστω λοιπόν a, b I µε a < b. Τότε, αφού I είναι διάστηµα έχουµε ότι [a, b] I. Ας υποθέσουµε ότι υπάρχουν ανοιχτά G, U I ώστε G και U (1.3) G U = (1.4) Αρκεί να δείξουµε ότι για κάθε τέτοια δυάδα συνόλων δεν ισχύει η προϋπόθεση (3) του ορισµού 1.4.1. Από την σχέση 1.3 έχουµε ότι υπάρχουν a G, b U και χωρίς ϐλάβη της γενικότητας, έστω a < b. Επειδή I είναι διάστηµα [a, b] I. Το G είναι ανοιχτό στο I άρα αφού a G, αυτό σηµαίνει ότι υπάρχει ε 1 > 0 ώστε B I (a, ε 1 ) G [a, a + ε 1 ) G. Ανάλογα το U είναι ανοιχτό στο I, b U υπάρχει ε 2 > 0 µε B I (b, ε 2 ) U (b ε 2, b] U. Θέτω A = {x R ώστε [a, x] G} ηλαδή a < a + ε 1 /2 A. Επειδή b ε 2 /2 U είναι άνω ϕράγµα του G (b ε 2 /2 / G αφού G U = ). Άρα υπάρχει c = sup A R. Εχουµε c a + ε 1 /2 και c b ε 2 /2 a < c < b άρα c I. Αρκεί να δείξουµε ότι c / G και c / U τότε ϑα έχουµε G U I. Υποθέτουµε c G. Από την στιγµή που το G είναι ανοιχτό στο I, υπάρχει ε > 0 ώστε B I (c, ε) G. Υποθέτουµε ε < max{c a, b c} (c ε, c + ε) G. Εφόσον (c ε, c + ε) G, [a, c + ε/2] G c + ε/2 A που είναι άτοπο αφού c είναι άνω πέρας για το A άρα c / G. Εστω τώρα c U. Αφού U είναι ανοιχτό στο I, υπάρχει ε > 0 ώστε B I (c, ε) U. Μπόρουµε να υποθέσουµε ότι ε = max{c a, b c} (c ε, c + ε) U. Αφού c = sup A υπάρχει x A ώστε x > c ε, δηλαδή x (c ε, c) x U και x G, άτοπο από την σχέση 1.4 άρα c / U. Εµεινε να δείξουµε ότι αν ο I ειναι συνεκτικός τότε είναι διάστηµα. Εστω ο I δεν είναι διάστηµα αρκεί να δείξουµε ότι ο I είναι µη συνεκτικός. Από το λήµµα 1.4.1 υπάρχουν a, b I ώστε (a, b) I, οπότε υπάρχει c / I µε a < c < b. Θέτω G = (, c) I και U = (c, ) I ανοιχτά σύνολα στο (I, ρ). Εχουµε a G άρα G όπως και b U άρα U. G U = και G U = ((, c) I) ((c, ) I) = I R \ {c} = I αφού c / I. Άρα ο I µη συνεκτικός.
1.4. ΣΥΝΕΚΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ 15 Θεώρηµα 1.4.2 Εστω f : X Y συνεχής συνάρτηση επί του Y. Αν ο X είναι συνεκτικός χωρος τότε και ο Y είναι συνεκτικός. Απόδειξη : Υποθέτουµε ότι ο Y είναι µη συνεκτικός, αρκεί να δείξουµε ότι ο X δεν είναι συνεκτικός. Υπάρχουν ανοιχτά υποσύνολα G, U του Y ώστε 1. G, U 2. G U = 3. G U = Y Αφού η f είναι συνεχής συνάρτηση έχουµε ότι f 1 [G], f 1 [U] είναι ανοιχτά υποσύνολα του X, από το ϑεώρηµα 1.2.2. Αφού G U = Y και η f είναι επί, έχουµε X = f 1 [Y ] = f 1 [G U] = f 1 [G] f 1 [U], δηλαδή X = f 1 [G] f 1 [U] (1.5) Επίσης αφού G H = έχουµε = f 1 [ ] = f 1 [G U] δηλαδή f 1 [G] f 1 [U] = (1.6) Τέλος αφού G υπάρχει y G και αφού η f είναι επί y = f(x) για κάποιο x X, µα τότε x f 1 [G] άρα f 1. Οµοίως f 1 [U]. δηλαδή f 1 [G], f 1 [U] (1.7) Οι 1.5, 1.6, 1.7 και το γεγονός ότι οι εικόνες f 1 [G] και f 1 [U] είναι ανοιχτά υποσύνολα του X, δείχνουν ότι ο X είναι µη συνεκτικός χώρος. Παράδειγµα : Εστω f : R N συνεχής συνάρτηση µε τύπο f(x) = 1. Το R είναι συνέκτικος, αλλά το N δεν είναι. Το παράδειγµα αυτό δείχνει την αναγκαιότητα η συνάρτηση f να είναι «επί». Πόρισµα 1.4.1 Εστω f : X Y µια συνεχής συνάρτηση. Εστω ο X είναι συνεκτικός χώρος. Τότε η εικόνα f[x] ως υπόχωρος του Y είναι συνεκτικός χώρος. Πόρισµα 1.4.2 Θεώρηµα Ενδιάµεσης Τιµής Εστω f : X R µια συνεχής συνάρτηση και ο X συνεκτικός χώρος. Εστω x, y X µε f(x) < f(y). Εστω τώρα a R µε f(x) < a < f(y). Τότε υπάρχει z X ώστε f(z) = a. Απόδειξη : Από το πόρισµα 1.4.1 η εικόνα f[x] είναι συνεκτικός υπόχωρος του R, άρα από το ϑεώρηµα 1.4.1 είναι διάστηµα. Τώρα f(x), f(y) f[x] [f(x), f(y)] f[x] a f[x] υπάρχει z X µε f(z) = a Ορισµός 1.4.2 Αν A είναι υποσύνολο ενός µετρικού χώρου (X, ρ), ϑα λέµε ότι το A είναι συνεκτικό σύνολο αν το A, ως υπόχωρος του µετρικού χώρου X είναι συνεκτικός. Ορισµός 1.4.3 Ενας υπόχωρος X του R n λέγεται κυρτός αν για x 0, x 1 X, ισχύει ότι [x 0, x 1 ] X. Οπου [x o, x 1 ] είναι το ευθύγραµµο τµήµα από το x 0 προς το x 1 δηλαδή το σύνολο που αποτελείται από όλα τα σηµεία x 0 + (x 1 x 0 )t, όπου t [0, 1].
16 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΜΕΤΡΙΚΗ ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ Παράδειγµα : Ο R είναι κυρτός Πρόταση 1.4.1 Κάθε ανοιχτή µπάλα B(a, r) του R n είναι κυρτό σύνολο Απόδειξη : Εστω x 0, x 1 B(a, r) και t [0, 1]. Θέλουµε να δείξουµε ότι x = x 0 + (x 1 x 0 )t B(a, r). Τώρα ρ(x, a) = x a = x 0 (1 t) + x 1 t a = (x 0 a)(1 t) + (x 1 a)t (x 0 a)(1 t) + (x 1 a) t = x 0 a 1 t + x 1 a t < r(1 t) + rt = r Άρα ρ(x, a) < r, δηλαδή x B(a, r), οπότε B(a, r) είναι κυρτό σύνολο. 1.5 Συµπάγεια Ορισµός 1.5.1 Μια κάλυψη (ένα κάλυµµα) K ενός συνόλου X είναι µια συλλογή συνόλων K ώστε X K. Ορισµός 1.5.2 Εστω A ένα υποσύνολο ενός µετρικού χώρου X. Μια κάλυψη K του A ονοµάζεται ανοιχτή ή κλειστή στον X αν καθε στοιχείο B K είναι ανοιχτό ή κλειστό αντίστοιχα υποσύνολα του X. Ορισµός 1.5.3 Αν K είναι κάλυψη του µετρικού χώρου X, το υποσύνολο C του K λέγεται υποκάλυψη, αν η ένωση των στοιχείων της είναι ίση µε τον X, δηλαδή αν το C αποτελεί από µόνο του κάλυψη του X Ορισµός 1.5.4 Ενας µετρικός χώρος X λέγεται συµπαγής µετρικός χώρος αν κάθε ανοιχτή κάλυψη του έχει πεπερασµένη υποκάλυψη Ορισµός 1.5.5 Εστω A ένα υποσύνολο ενός µετρικού χώρου (X, ρ). Η διάµετρος του A, diam(a), ορίζουµε να είναι diam(a) = sup{ρ(x, y) ώστε (x, y) A A} Θεώρηµα 1.5.1 Για a, b R, ο υπόχωρος Y = [a, b] του R συµπαγής. Απόδειξη : Υποθέτουµε ότι a < b (σε αντίθετη περίπτωση Y = ή Y = a οπότε ο Y συµπαγής ως πεπερασµένος). Θεωρώ ένα ανοιχτό κάλυµµα K του Y. Υπάρχει ένα G 0 K µε a G 0. Τώρα το G 0 είναι ανοιχτό σύνολο του Y, δηλαδή υπάρχει ε 0 > 0 ώστε B Y (a, ε 0 ) G 0. Ισχύει ότι [a, a + ε 0 ) B Y (a, ε 0 ) G 0 (1.8) Θέτω A = {x [a, b] ώστε [a, x] να περιέχεται στην ένωση µιας πεπερασµένης υποοικογένειας του K} = {x [a, b] ώστε υπάρχουν G 1, G 2,..., G k K για k N τέτοια ώστε [a, x] G 1 G 2 G k }
1.5. ΣΥΜΠΑΓΕΙΑ 17 Από την (1.8) a + ε 0 /2 A και το A έχει το b ως άνω ϕράγµα. Άρα υπάρχει c = sup A, µάλιστα a < a + ε 0 /2 c b Εφόσον c Y, υπάρχει G µ K ώστε c G µ. Αφού όµως το G µ είναι ανοιχτό σύνολο, υπάρχει δ > 0 ώστε B Y (c, δ) G µ (1.9) Μπορούµε να πάρουµε δ < c a. Ας υποθέσουµε ότι c < b, τότε υποθέτουµε ότι δ min{b c, c a}. Από την (1.9) (c δ, c + δ) G µ. Αφού c = sup A υπάρχει x A µε c δ < x c. Οµως x A υπάρχουν G 1, G 2,..., G n K ώστε [a, x] G 1 G 2 G n [a, c + δ/2] G 1 G 2 G n G µ c + δ/2 A, άτοπο αφού c + δ/2 > c = sup A. Συµπέρασµα c = b. Υπάρχει δηλαδή x A µε b δ < x < b (αφού b = sup A). Άρα υπάρχει ένας πεπερασµένος αριθµός µελών του K, έστω G 1, G 2,..., G m έτσι ώστε [a, x] G 1 G 2 G m. Από την (1.9) (b δ, b) G µ άρα Y = [a, b] G 1 G 2 G m G µ Y G 1 G 2 G µ, άρα ο Y είναι συµπαγής. Ορισµός 1.5.6 Ενας µετρικός χώρος (X, ρ) λέγεται ϕραγµένος αν υπάρχει ϑετικό a R + ώστε ρ(x, y) a για κάθε x, y X Παράδειγµα : Ενας πεπερασµένος µετρικός χώρος X = {x 1,..., x n } είναι ϕραγµένος µε το ϕράγµα να είναι a = max{ρ(x i, x j ) όπου 1 i, j n}. Ενω ο µετρικός χώρος (R, ρ), όπου ρ είναι συνήθης µετρική, δεν είναι ϕραγµένος. Πρόταση 1.5.1 Εστω (X, ρ) µετρικός χώρος και x 0 X.Τότε ο X είναι ϕραγµένος µετρικός χώρος αν και µόνο αν X B(x 0, b) για κάποιο b > 0. Απόδειξη : Εστω ότι ο X είναι ϕραγµένος, δηλαδή υπάρχει a > 0 ώστε ρ(x, y) a για κάθε x, y X. Ισχύει ρ(x, x 0 ) a, ενώ εµείς ϑέλουµε ρ(x, x 0 ) < b. Αν πάρουµε b = a + 1, έχουµε το Ϲητούµενο x X ρ(x, x 0 ) a < b x B(x 0, b). ηλαδή X B(x 0, b). Εστω ότι X B(x 0, b) αυτό σηµαίνει ότι για x, y X x, y B(x 0, b) ρ(x 0, x) < b και ρ(x 0, y) από τριγωνική ανισότητα έχουµε ρ(x, y) ρ(x, x 0 ) + ρ(x 0, y) < 2b για όλα x, y X άρα ο X ϕραγµένος. Θεώρηµα 1.5.2 Ενας συµπαγής χώρος (X, ρ) είναι ϕραγµένος. Απόδειξη : Αν X = τότε είναι ήδη ϕραγµένος, οπότε υποθέτουµε ότι X δεν είναι κενός, δηλαδή υπάρχει ένα x 0 X. Τώρα n N B(x 0, n) = X. Εστω x X, τώρα ρ(x, x 0 ) R, άρα υπάρχει m N µε ρ(x, x 0 ) < m x B(x 0, m) x n N B(x 0, n). Το αντίστροφο είναι προφανές (γιατί κάθε µπάλα είναι υποσύνολο του X) Εστω {B(x 0, n) ώστε n N} είναι ανοιχτό κάλυµµα του X. Αφού X είναι συµπαγής υπάρχουν n 1, n 2,..., n k N ώστε X = B(x 0, n 1 ) B(x 0, n 2 ) B(x 0, n k ) B(x 0, a) όπου a = min{n 1, n 2,..., n k }. Άρα ο X είναι ϕραγµένος.
18 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΜΕΤΡΙΚΗ ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ Θεώρηµα 1.5.3 Ενας κλειστός υπόχωρος Y ενός συµπαγή χώρου X είναι συµπαγής. Απόδειξη : Θεωρώ ανοιχτό κάλυµµα K = {H λ ώστε λ J} του Y. Για κάθε λ J, H λ είναι ανοιχτό σύνολο του Y άρα H λ = G λ Y για κάποιο ανοιχτό G λ του X. K κάλυµµα του Y λ J h λ = Y Y λ J G λ. Τώρα G = X \ Y είναι ανοιχτό του X και G µαζί µε όλα τα G λ αποτελούν ανοιχτό κάλυµµα του X ο οποίος είναι συµπαγής. Άρα υπάρχουν λ 1, λ 2,..., λ k J ώστε X G G λ1 G λk. Τέµνοντας στην συνέχεια το Y έχουµε Y = (Y G) (Y G λ1 ) (Y G λk ) = H λ1 H λ2 H λk Y είναι συµπαγής µετρικός χώρος. Παράδειγµα : Y = {0, 1, 1/2, 1/3,...} είναι κλειστό του X = [0, 1] άρα Y είναι συµπαγής υπόχωρος του συµπάγη χώρου X του µετρικού χώρου (R, ρ), όπου ρ συνήθης µετρική. Θεώρηµα 1.5.4 Εστω Y συµπαγής υπόχωρος του X. υποσύνολο του X. Τότε το Y είναι κλειστό Απόδειξη : Αρκεί να δείξουµε ότι ο Z = X \ Y είναι ανοιχτός στον X. Εστω z Z. Αρκεί να ϐρω ε > 0 ώστε B(z, ε) Z. Για κάθε y Y το ρ(y, z) > 0 αφού y z. Θέτω ε y = 1/2ρ(y, z) > 0 τότε B(z, ε y ) B(y, ε y ) =. (1.10) B Y (y, n) = Y B(y, n) y Y B Y (y, ε y ) = Y άρα {B Y (y, ε y ) ώστε y Y } αποτελούν ανοιχτό κάλυµµα του συµπαγή χώρου Y. Αρά υπάρχουν y 1, y 2,..., y k Y ώστε Y = B Y (y, ε y1 ) B Y (y, ε y2 ) B Y (y, ε yk ) Y B(y, ε y1 ) B(y, ε y2 ) B(y, ε yk ) (1.11) Θέτουµε ε = min{ε y1, ε y2,..., ε yk } B(z, ε) B(y 1, ε y1 ) B(z, ε y1 ) B(y 1, ε y1 ) = από την (1.10). Τέµνουµε την (1.10) µε B(z, ε) και έχουµε B(z, ε) Y (B(z, ε) B(y 1, ε y1 )) (B(z, ε) B(y 2, ε y2 )) (B(z, ε) B(y k, ε yk )) = άρα B(z, ε) Y = B(z, ε) Z = X \ Y. Βάσει της άρνησης ισχύει το παρακάτω πόρισµα. Πόρισµα 1.5.1 Ενα σύνολο Y που δεν είναι κλειστό στο X το Y δεν είναι συµπαγής. Παράδειγµα : Τα σύνολα (µετρικοί χώροι) (0, 1), {1, 1/2, 1/3,...}, ( 1, 0], [3, 10) δεν είναι κλειστά στο R άρα δεν είναι συµπαγείς υπόχωροι (του R). Παρατηρούµε ότι το δεύτερο σύνολο γίνεται συµπαγής αν προστεθεί το στοιχείο µηδέν. Θεώρηµα 1.5.5 Εστω Y κλειστό και ϕραγµένο υποσύνολο του R. Τότε κάθε ανοιχτή κάλυψη του Y έχει πεπερασµένη υποκάλυψη, δηλαδή το Y είναι συµπαγής.
1.5. ΣΥΜΠΑΓΕΙΑ 19 Σχήµα 1.1: Κατασκευή του συνόλου Cantor µε λόγο λ = 1 4. Απόδειξη : Εστω Y κλειστό και ϕραγµένο σύνολο στο R. Αν Y = τότε είναι συµπαγής. Μπορούµε εποµένως να υποθέσουµε ότι υπάρχει y 0 Y. Αφού το Y είναι ϕραγµένο, ισχύει Y C Y (y 0, ε) για κάποιο ε > 0, όµως C Y (y 0, ε) [y 0 ε, y 0 + ε]. Τώρα X = [y 0 ε, y 0 + ε] είναι συµπαγές σύνολο, από το ϑεώρηµα 1.5.1. Τέλος από το ϑεώρηµα 1.5.3 ο Y είναι κλειστός υπόχωρος συµπαγούς χώρου X Y είναι συµπαγής. Εστω ότι ο χώρος Y είναι συµπαγής. Τότε από το ϑεώρηµα 1.5.2, είναι ϕραγ- µένος. Επίσης από το ϑεώρηµα 1.5.4, είναι και κλειστός. Στην συνέχεια ϑα ορίσουµε σύνολα Cantor στο R, τα όποια ϑα τα χρησιµοποιούµε σε πολλά παραδείγµατα στο κεφάλαιο 3. Οπως ϑα δούµε αργότερα, τα σύνολα Cantor είναι σύνολα κλασµατικής διάστασης. Εστω 0 < λ < 1/2. Ορίζουµε I 0,1 = [0, 1] και έστω I 1,1 = [0, λ] και I 1,2 = [1 λ, 1]. Συνεχίζουµε την διαδικασία διαλέγοντας υποδιαστήµατα από κάθε διάστηµα που έχουµε ήδη ϕτιάξει. Για παράδειγµα, αν έχουµε ορίσει τα διαστήµατα I k 1,1, I k 1,2,..., I k 1,2 k 1, τότε στο επόµενο ϐήµα ορίζουµε I k,1, I k,2,..., I k,2 k, διαγράφοντας από την µέση κάθε διαστήµατος I k 1,j ένα διάστηµα µήκους (1 2λ) diam I k 1,j = (1 2λ)λ k 1. Ετσι κάθε διάστηµα I k,j που παράγεται έχει µήκος λ k, ϐλέπε σχήµα 1.1. Ορισµός 1.5.7 Η οριακή κατάσταση της παραπάνω κατασκευής είναι το σύνολο Cantor µε λόγο λ 2 k C(λ) = I k,j k=0 j=1 Το περισσότερο διαδεδοµένο σύνολο Cantor είναι το τριαδικό, C(1/3) Παράδειγµα : Κάθε σύνολο Cantor µε λόγο 0 < λ < 1/2 είναι συµπαγές. Απόδειξη : Το σύνολο Cantor είναι ϕραγµένο από 0 και 1. Είναι επίσης και κλειστό ως άπειρη τοµή κλειστών συνόλων. Από το ϑεώρηµα 1.5.5 έπεται ότι το σύνολο Cantor είναι συµπαγές.
20 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΜΕΤΡΙΚΗ ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ Οι συνεχείς συναρτήσεις µεταφέρουν την συµπάγεια, όπως συµβαίνει και µε την συνεκτικότητα. Η συµπάγεια είναι τοπολογική ιδιότητα. Θεώρηµα 1.5.6 Εστω f : X Y συνεχής συνάρτηση. Εστω ότι η f είναι επί του X και ο X είναι συµπαγής. Τότε ο Y είναι συµπαγής. Απόδειξη : Εστω K = {G λ όπου λ L} είναι ανοιχτή κάλυψη του Y. Για κάθε λ L το σύνολο H λ = f 1 [G λ ] είναι ανοιχτό του X, αφού η f είναι συνεχής. Επίσης λ L G λ = Y. Άρα X = f 1 [Y ] = λ L f 1 [G λ ]. Ετσι το {H λ όπου λ L} είναι ανοιχτή κάλυψη του X. Ο X όµως είναι συµπαγής, άρα υπάρχουν λ 1,..., λ k L µε X = H λ1 H λk f[x] = f[h λ1 ] f[h λk ]. Τώρα, αφού η f είναι επί του Y ισχύει f[x] = Y, άρα έχουµε Y = f 1 [H λ1 ] f 1 [H λk ] = f[f 1 [G λ1 ]] f[f 1 [G λk ]] = G G. Άρα ο Y είναι συµπαγής. Πόρισµα 1.5.2 Εστω f : X Y είναι συνεχής συνάρτηση, όπου X είναι συµπαγής µετρικός χώρος. Τότε ο υπόχωρος f[x] του Y είναι συµπαγής Πόρισµα 1.5.3 Εστω ο X συµπαγής, µη κενός µετρικός χώρος. Εστω η f : X R µια συνεχής συνάρτηση. Τότε η f είναι ϕραγµένη και λαµβάνει ελάχιστη και µέγιστη τιµή. Απόδειξη : Το σύνολο f[x] είναι συµπαγής υπόχωρος του R, από το πόρισµα 1.5.2. Άρα το f[x] είναι κλειστό και ϕραγµένο σύνολο. Εφόσον το X είναι µη κενό, ϑα έχει άνω και κάτω ϕράγµα, δηλαδή ϑα υπάρχει a = inf{f[x]} και b = sup{f[x]} όπου a, b R. Τώρα για κάθε n N έχουµε a < a + 1/n συνεπάγεται ότι υπάρχει y n f[x] µε a < y n < a + 1/n (ορισµός του κάτω πέρατος). Τότε y n a. Επειδή y n f[x] έχουµε a f[x], αφού το f[x] είναι κλειστό. Άρα για κάποιο x 1 X έχουµε f(x 1 ) = a. Τώρα για κάθε x X έχουµε f(x) f[x]). ηλαδή f(x 1 ) f(x 2 ) για κάθε x X, άρα η f έχει ελάχιστη τιµή f(x 1 ) Οµοίως αποδεικνύουµε για µέγιστή τιµή. Ορισµός 1.5.8 Εστω X µετρικός χώρος. Ο X λέγεται ακολουθιακά συµπαγής αν κάθε ακολουθία του έχει συγκλίνουσα υπακολουθία. Ορισµός 1.5.9 Εστω X µετρικός χώρος. Ο X έχει την ιδιότητα Bolzano - Weierstrass αν κάθε άπειρο υποσύνολο A του X έχει τουλάχιστον ένα σηµείο συσσώ- ϱευσης, ή ισοδύναµα αν το παράγωγο σύνολο του A είναι µη κενό (A ) Θεώρηµα 1.5.7 Θεώρηµα Lebesgue Εστω (X, ρ) ακολουθιακά συµπαγής µετρικός χώρος. Εστω K είναι µια ανοιχτή κάλυψη του X. Τότε υπάρχει ε > 0 ώστε για κάθε x X, η ανοιχτή µπάλα B(x, ε) να περιέχεται σε κάποιο από τα στοιχεία της K. Απόδειξη : Υποθέτουµε ότι δεν υπάρχει τέτοιο ε (για να καταλήξουµε σε άτοπο). Τότε για κάθε n N το 1/n δεν έχει την παραπάνω ιδιότητα, δηλαδή υπάρχει x n X ώστε B(x n, 1/n) δεν περιέχεται σε κανένα από τα στοιχεία της K. Αφού ο X είναι ακολουθιακά συµπαγής, υπάρχει µια υπακολουθία x nk της x n η οποία συγκλίνει σε κάποιο σηµείο x 0 X. Εφόσον η K είναι ανοιχτή
1.5. ΣΥΜΠΑΓΕΙΑ 21 κάλυψη, υπάρχει G 0 K ώστε x 0 G 0. Αφού G 0 ανοιχτό, υπάρχει ε > 0 ώστε B(x 0, ε) G 0. Επιπλέον x 0 είναι όριο της ακολουθίας x nk, άρα από κάποιο m και µετά όλα τα στοιχεία της x nk ϑα ϐρίσκονται στην ανοιχτή µπάλα B(x 0, ε/2), δηλαδή x nm, x nm+1,... B(x 0, ε/2) Άρα υπάρχει κάποιο k > m (πολύ µεγάλο) µε 1/n k < ε/2 και x nk B(x 0, ε/2). Τώρα x B(x nk, 1/n k ) ρ(x, x nk ) < 1/n k < ε/2 και από τριγωνική ανισότητα ρ(x, x 0 ) ρ(x, x 0 ) + ρ(x nk, x 0 ) < ε δηλαδή B(x nk, 1/n k ) B(x 0, ε) G 0 K που είναι άτοπο. Θεώρηµα 1.5.8 Εστω (X, ρ) µετρικός χώρος. Τα ακόλουθα είναι ισοδύναµα : 1. ο X είναι συµπαγής 2. ο X έχει την ιδιότητα Bolzano - Weierstrass 3. ο X είναι ακολουθιακά συµπαγής Απόδειξη : (1) (2). Εστω A άπειρο υποσύνολο του X. Αρκεί να δείξουµε ότι A. Υποθέτουµε ότι A = (για να καταλήξουµε σε άτοπο). Αφού το A είναι άπειρο, το A περιέχει διακεκριµένα σηµεία x 1, x 2,.... Τώρα B = {x 1, x 2,...} A, άρα B A =, δηλαδή το παράγωγο του B είναι κενό, συµπεραίνουµε επίσης ότι το B είναι κλειστό αφού B = B B. Επίσης από την υπόθεση έχουµε ότι ο X είναι συµπαγής. Από το ϑεώρηµα 1.5.3 ο B είναι και αυτός συµπαγής υπόχωρος του X. Τώρα κάθε µονοσύνολο {x 1 }, {x 2 },... B είναι ανοιχτό υποσύνολο του B και {{x 1 }, {x 2 },...} είναι ανοιχτή κάλυψη του B, η οποία δεν έχει πεπερασµένη ανοιχτή υποκάλυψη, γιατι τα {x i } =, άρα ο B δεν είναι συµπαγής, που είναι άτοπο, άρα A και ο X έχει την ιδιότητα Bolzano - Weierstrass. (2) (3) Εστω τώρα ότι ο X έχει την ιδιότητα Bolzano - Weirstrass. Θεω- ϱούµε την ακολουθία x n X, ϑέλουµε να δείξουµε ότι η x n έχει συγκλίνουσα υπακολουθία. Ας εξετάσουµε το σύνολο A = {x 1, x 2,...}. Υπάρχουν δύο περιπτώσεις, είτε το A είναι πεπερασµένο, είτε αριθµήσιµο άπειρο. Αν το A έχει πεπερασµένο το πλήθος στοιχείων, δηλαδή A = {y 1,..., y k }. Θέτουµε N i = {n N ώστε x n = y i } τότε k N i = N. Τουλάχιστον ένα από τα N 1,..., N k είναι αριθµήσιµα άπειρο. Υποθέτουµε χωρίς ϐλάβη της γενικότητας ότι N i έχει άπειρα στοιχεία N i = {n 1, n 2,...} όπου 1 n 1 < n 2 <.... Για κάθε n k N i, x nk = y i, άρα x nk y i. Οπότε υπάρχει συγκλίνουσα υπακολουθία της x n που έχει όριο στο X. Αν τώρα A έχει αριθµήσιµο άπειρο το πλήθος στοιχείων, από τον ορισµό της ιδιότητας Bolzano - Weierstrass, έχουµε ότι A. Άρα υπάρχει x A. Κατασκευάζουµε στην συνέχεια την υπακολουθία µας B(x, 1) A είναι άπειρο, άρα υπάρχει ένα x n1 B(x, 1) B(x, 1 2 ) A είναι άπειρο, άρα υπάρχει ένα x n 2 B(x, 1 2 )
22 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΜΕΤΡΙΚΗ ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ. B(x, 1 k ) A είναι άπειρο, άρα υπάρχει ένα x n k B(x, 1 k ) Τώρα x nk είναι υπακολουθία της x n και ρ(x, x nk ) < 1/k, άρα x nk x. (3) (1) Εστω τώρα X ακολουθιακά συµπαγής, ϑέλουµε να δείξουµε ότι είναι συµπαγής. Θεωρούµε ανοιχτή κάληψη K του X. Υποθέτουµε ότι η K δεν έχει πεπερασµένη υποκάλυψη (για να καταλήξουµε σε άτοπο). Από το ϑεώρηµα 1.5.7 υπάρχει ε > 0 ώστε B(x, ε) να περιέχεται σε κάποιο µέλος της K για κάθε x X. Οπότε υπάρχει x 1 X και G 1 K µε B(x 1, ε 1 ) G 1, υπάρχει επίσης x 2 X \ G 1 και G 2 K ώστε B(x 2, ε 2 ) G 2. Τώρα έχουµε ϑεωρήσει πως K δεν έχει πεπερασµένη υπόκαλυψη, άρα G 1 G 2 X. Άρα υπάρχει x 3 X \ G 1 G 2 και G 3 K µε B(x 3, ε 3 ) G 3. Συνεχίζουµε έτσι και κατασκευάζουµε την ακολουθία x 1, x 2,..., µε x n G 1 G n 1 και να υπάρχει σύνολο G n K ώστε B(x n, ε n ) G n. Ετσι για τυχόντα m n ισχύει ρ(x m, x n ) > ε (1.12) Εφόσον ο χώρος X είναι ακολουθιακά συµπαγής υπάρχει υπακολουθία x nk της x n που συγκλίνει σε σηµείο x 0 X. Αφού x nk x 0 µπορούµε να συµπεραίνουµε ότι υπάρχουν τουλάχιστον δύο υπακολουθίες x nk1 και x nk2 µε ρ(x nk1, x 0 ) < ε/2 και ρ(x nk2, x 0 ) < ε/2. Τότε από τριγωνική ανισότητα έχουµε ρ(x nk1, x nk2 ) ε/2 + ε/2 = ε που αντιφάσκει µε την 1.12. Άτοπο. Θεώρηµα 1.5.9 Εστω (X, ρ 1 ) και (Y, ρ 2 ) είναι µετρικοί χώροι. Εστω ότι ο X είναι συµπαγής χώρος. Τότε κάθε συνεχής συνάρτηση f : X Y είναι οµοιόµορφα συνεχής. Απόδειξη : Εστω ε > 0 ϑέλουµε δ > 0 ώστε ρ 1 (x, y) < δ ρ 2 (f(x), f(y)) < ε. Θεωρούµε όλες τις µπάλες B(y, ε/2) του Y, y Y. Τότε f 1 [B(y, ε/2)] είναι ανοιχτό του X, γιατί η f είναι συνεχής συνάρτηση. Τώρα K = {f 1 [B(y, ε/2)] όπου y Y } είναι ανοιχτή κάλυψη του συµπαγούς X. Από το ϑεώρηµα 1.5.7 υπάρχει δ > 0 ώστε για κάθε x X η µπάλα B(x, δ) να περιέχεται σε κάποιο στοιχείο της K. Εστω ότι ρ 1 (x 1, x 2 ) < δ, τότε x 2 B(x 1, δ) B(x 1, δ) f 1 [B(y, ε/2)] για κάποιο y Y. Αφού x 1, x 2 B(x 1, δ) f(x 1 ), f(x 2 ) B(y, ε/2) και από τριγωνική ανισότητα ρ 1 (f(x 1 ), f(x 2 )) ρ 2 (f(x 1 ), y)+ρ 2 (f(x 2 ), y) < ε/2+ε/2 = ε. Άρα αν ρ 1 (x 1, x 2 ) < δ ρ 2 (f(x 1 ), f(x 2 )) < ε. Άρα η f είναι οµοιόµορφα συνεχής. Θεώρηµα 1.5.10 Εστω X υπόχωρος του R n τότε ο X είναι συµπαγής αν και µόνο αν ο X είναι κλειστός και ϕραγµένος στο R n. Απόδειξη : Αν ο X συµπαγής υπόχωρος του R n, τότε από το ϑεώρηµα 1.5.2 είναι ϕραγµένος και από το ϑεώρηµα 1.5.4 είναι κλειστός. Τώρα αν ο X είναι κλειστός και ϕραγµένος υπόχωρος του R n ϑέλουµε να δείξουµε ότι ο X είναι συµπαγής. Αρκεί να δείξουµε ότι είναι ακολουθιακά συµπαγής. Θα το δείξουµε για n = 2, δηλαδή R 2, αφού η απόδειξη για οποιοδήποτε n είναι παρόµοια (αλλά ίσως πιο πολύπλοκη).
1.6. ΠΛΗΡΕΙΣ ΚΑΙ ΙΑΧΩΡΙΣΙΜΟΙ ΧΩΡΟΙ 23 Εξετάζω την ακολουθία {x n, y n } n=1 του X. Αφού ο X είναι ϕραγµένος, υπάρχει κάποιο a > 0 ώστε z a για όλα τα z = (x, y) X x, y a. Ετσι για κάθε n R 2 έχουµε x n, y n [ a, a], οπότε x n, y n είναι ακολουθίες στο συµπαγές [ a, a]. Άρα υπάρχει υπακολουθία x nk της x n που να συγκλίνει σε σηµείο x 0 του [ a, a]. Τώρα για το ίδιο λόγο η ακολουθία y n έχει συγκλίνουσα υπακολουθία y nk, όριο της οποίας είναι y 0 [ a, a]. Τώρα έχουµε x x nk m 0 και y y nk m 0, από το ϑεώρηµα 1.3.3 {x nk m, y n k m } (x 0, y 0 ) Επειδή (x 0, y 0 ) X = X, έχουµε ότι η υπακολουθία {x nk m, y n k m } της {x n, y n } συγκλίνει σε σηµείο του X, άρα ο X είναι ακολουθιακά συµπαγής. Θεώρηµα 1.5.11 Αν A είναι κλείστο σύνολο, B είναι συµπαγής και A B =, τότε dist(a, B) > 0. Απόδειξη : Εστω dist(a, B) = 0. Τότε υπάρχει σηµείο x n A και y n B µε ρ(x n, y n ) < 1/n. Τώρα ο B είναι συµπαγης, άρα (αντικαθιστώντας την ακολουθίες µε υπακολουθίες) µπορούµε να υποθέσουµε ότι {y n } συγκλίνει. Εστω y n y B. Τότε x n y επίσης. Οµως το A είναι κλειστό σύνολο, άρα y A. Οπότε A B. 1.6 Πλήρεις και ιαχωρίσιµοι Χώροι Ορισµός 1.6.1 Μια ακολουθία x n ένος µετρικού χώρου (X, ρ) λέγεται Cauchy ή ϐασική ακολουθία αν για κάθε ε > 0 υπάρχει k = k(ε) N τέτοιο ώστε για κάθε n, m k να ισχύει ρ(x n, x m ) < ε Θεώρηµα 1.6.1 Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία είναι ακολουθία Cauchy. Απόδειξη : Εστω ότι η ακολουθία x n συγκλίνει σε x στο µετρικό χώρο (X, ρ). Εστω ε > 0 τότε υπάρχει k = k(ε) N ώστε για κάθε n k ισχύει ρ(x n, x) < ε. Τώρα για κάθε n, m > k και από τριγωνική ανισότητα έχουµε ρ(x n, x m ) ρ(x n, x) + ρ(x, x m ) < ε 2 + ε 2 < ε Άρα η x n είναι ακολουθία Cauchy. είξαµε προηγουµένως ότι κάθε συγκλίνουσα ακολουθία είναι ακολουθία Cauchy. Το αντίθετο δεν ισχύει εν γένει, όταν ισχύει όµως έχουµε τον ορισµό του πλήρη χώρου. Ορισµός 1.6.2 Εστω X µετρικός χώρος. Οταν κάθε ακολουθία Cauchy στο X συγκλίνει (σε σηµείο του X), τότε ο X λέγεται πλήρης χώρος. Παράδειγµα : Ο υπόχωρος X = (0, 1) του R δεν είναι πλήρης αφού η ακολου- ϑία x n = 1/n, n N είναι στο X και είναι Cauchy αλλά δεν συγκλίνει στο X, (0 X ).
24 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΜΕΤΡΙΚΗ ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ Πρόταση 1.6.1 Μια ακολουθία Cauchy που έχει συγκλίνουσα υπακολουθία, συγκλίνει και η ίδια. Μάλιστα συγκλίνει στο ίδιο σηµείο που συγκλίνει η υπακολουθία. Απόδειξη : Εστω x n ακολουθία Cauchy µετρικού χώρου (X, ρ). Εστω x nk υπακολουθία µε x nk x X. Εστω ε > 0 τότε από τον ορισµό της ακολουθίας Cauchy υπάρχει M 1 N ώστε για κάθε n, m M 1 να ισχύει ρ(x n, x m ) < ε/2. Τώρα επειδή x nk x, υπάρχει M 2 N ώστε για κάθε k M 2 ισχύει ρ(x nk, x) < ε/2. ιαλέγουµε M = max{m 1, M 2 }, τότε για κάθε n M και από την τριγωνική ανισότητα ρ(x n, x) ρ(x n, x nk ) + ρ(x nk, x) < ε 2 + ε 2 = ε Θεώρηµα 1.6.2 Κάθε συµπαγής µετρικός χώρος X είναι πλήρης. Απόδειξη : Εστω µια ακολουθία Cauchy x n του µετρικού χώρου X. Εφόσον ο X είναι συµπαγής, είναι και ακολουθιακά συµπαγής, δηλαδή κάθε ακολουθία x n έχει συγκλίνουσα υπακολουθία x nk σε σηµείο του X. Από την προηγούµενη πρόταση 1.6.1, ϐγάζουµε το συµπέρασµα ότι κάθε ακολουθία Cauchy στο X είναι συγκλίνουσα. ηλαδή ο X είναι πλήρης. Παράδειγµα : Κάθε κλειστό και ϕραγµένο διάστηµα [a, b] του R είναι πλή- ϱης υπόχωρος του R. Παράδειγµα : Ο R m είναι πλήρης. Απόδειξη : Εστω x n είναι ακολουθία Cauchy στο X. Από τον ορισµό της ακολουθίας Cauchy για ε = 1 υπάρχει k N ώστε για κάθε n, m k ισχύει ότι ρ(x n, x m ) < 1, δηλαδή από κάποιο k και µετά όλα τα στοιχεία της ακολουθίας x n ϐρίσκονται σε µια µπάλα B(x k, 1). Εστω a = max{ρ(x k, x 1 ),....ρ(x k, x k 1 ), 1} τότε όλη η ακολουθία x n περιέχεται σε µπάλα B(x k, a) C(x k, a), όπου C(x k, a) είναι µια κλειστή µπάλα. Η C(x k, a) είναι συµπαγής υπόχωρος του R m από το προηγούµενο ϑεώρηµα 1.6.2 η C(x k, a) είναι πλήρης, άρα η x n συγκλίνει σε σηµείο της C(x k, a) R m. Άρα ο R m είναι πλήρης. Η πληρότητα είναι µετρική ιδιότητα και αυτό ϕαίνεται από την επόµενη πρόταση. Πρόταση 1.6.2 Εστω X πλήρης µετρικός χώρος και Y ένας κλειστός υπόχωρος του X. Τότε ο Y είναι πλήρης. Απόδειξη : Εστω y n είναι µια ακολουθία Cauchy στο Y τότε y n είναι ακολουθία Cauchy στο πλήρη µετρικό χώρο X, δηλαδή y n x X. Οµως x Y και Y = Y γιατί ο Y είναι κλειστός. Άρα ο Y είναι πλήρης. Πρόταση 1.6.3 Εστω Y πλήρης υπόχωρος µετρικού χώρου X. κλειστός υπόχωρος του X. Τότε Y είναι Απόδειξη : Αρκει να δείξουµε ότι Y = Y = Y Y, δηλαδή Y Y. Εστω x Y, τότε υπάρχει ακολουθία y n του Y µε y n x. Οµως ο Y είναι πλήρης,