. ITRODUCERE. SEMALE ŞI SISTEME DISCRETE Î TIMP. Semnale dscrete în tmp Prelucrarea numercă a semnalelor analogce a devent o practcă frecvent întâlntă. Aceasta presupune două operaţ: - eşantonarea la anumte momente de tmp care în cele ce urmează vor f presupuse de forma nt s unde T s reprezntă peroada de eşantonare ar F S = / TS este frecvenţa de eşantonare ; această operaţe este realzată de un dspoztv de eşantonare memorare; - conversa analog numercă; aceasta presupune o dscretzare a nvelulu semnalulu Acest prm captol se referă la semnalele dscrete în tmp ncluzând dec ca un caz partcular ş semnalele numerce. Vom defn semnalul dscret în tmp ca o aplcaţe de forma : Z C sau R Poate proven dn eşantonarea unu semnal analogc a (t cu peroada T S = / F S = a ( nt S Pentru ca dn semnalul dscretzat în tmp să poată f refăcut semnalul analogc nţal trebue îndeplnte condţle teoreme eşantonăr. Aceasta presupune ca semnalul să fe de bandă lmtată ş FS FM unde este frecvenţa lmtă superoară a spectrulu semnalulu. F M Semnal analogc Semnal dscret în tmp Semnal numerc E/M a (t ( n CA Fg..
Pe un nterval fnt de tmp semnalul va f reprezentat prntr-un număr fnt de eşantoane care pot f eprmate ca ş componente ale unu vector = ( n ( n + T Semnale partculare Impulsul untar (Fg..: δ (n n = δ = n - - n Fg.. Impulsul treaptă untate (Fg..: u(n u = n n < - - n Fg.. Semnal perodc de peroadă. Vom spune că un semnal dscret în tmp este perodc dacă Z astfel încât = ( n + n Z ar este peroada semnalulu. Semnal snusodal dscretzat Pornnd de la semnalul analogc a ( t = A cos( Ωt + ϕ Ω = πf prn eşantonare se obţne = A cos( ΩnTS + ϕ În cele ce urmează vom nota frecvenţa normată f ş frecvenţa unghulară normată ω : F f = FTS = ω = Ω TS FS lterele mar fnd utlzate pentru mărmle nenormate. Se atrage atenţa că în unele lucrăr ma vech se utlzează pentru a smbolza normarea une frecvenţe sublnerea. Cu notaţa adoptată = Acos( nω + ϕ Acest semnal nu este în general perodc. Este perodc de peroadă numa dacă k astfel încât
sau π ω = kπ ω = k T S = T relaţe care presupune un anumt sncronsm între peroada de eşantonare ş peroada semnalulu. Concluza obţnută este valablă pentru orce semnal obţnut prn eşantonarea unu semnal analogc perodc. Eponenţala compleă: Energa semnalulu dscret este dată de : E k = A e def = n= Conform teoreme eşantonăr energa unu semnal analogc poate f calculată pormnd de la eşantoanele sale prn relaţa E a = T S n= a ( nt dec energa defntă ca ma sus pentru semnalul dscret se obţne dn energa semnalulu analogc prntr-o normare: E = Ea TS Dacă energa nu este fntă se poate defn puterea mede a semnalulu dscret în tmp P = lm + S n=. Ssteme dscrete în tmp Vom defn un sstem dscret în tmp ca un operator de forma = T{ } (Fgura.3 (n T { } (n Fg..3 Vom defn în contnuare clase ma partculare de ssteme dscrete în tmp. 3
Ssteme lnare (SL sunt acele ssteme care satsfac prncpul superpozţe adcă pentru orce constante a a ş orce semnale ( n T{ a + a } = at { } + at{ } = a + a (n Pentru sstemele lnare vom ntroduce funcţa de pondere ca răspuns al sstemulu la mpulsul untar δ. h = T{ δ } Orce semnal dscret poate f reprezentat ca = ( k ( n k δ În consecnţă răspunsul unu SL poate f scrs = T{ } = T ( k δ ( n k = ( k T{ δ ( n k } = ( k hk k = unde h k = T{ δ ( n k } Ssteme nvarante în tmp (SIT sau nvarante la deplasare se defnesc prn = T{ } ( n k = T{ ( n k } pentru k Z Pentru un sstem lnar ş nvarant în tmp (SLIT: h k = T{ δ ( n k } = h( n k aşa încât = ( k h( n k Se defneşte convoluţa lnară în tmp dscret prn Este evdent un operator comutatv ( = ( k ( n k ( = ( k ( n k = ( k ( n k = ( (n O notaţe echvalentă este frecvent utlzată ( = În concluze pentru un SLIT se obţne concluza mportantă că răspunsul acestua la un semnal este convoluţa dntre acesta ş funcţa de pondere a sstemulu (Fg..4: n = h n = h n ( ( ( ( ( (n h(n Fg..4 (n=(h (n Ssteme stable 4
Un sstem stabl este un sstem pentru care orce semnal de ntrare mărgnt (ca ampltudne conduce la un semnal de eşre de asemenea mărgnt. Pentru aceasta este necesar ş sufcent ca h ( k < dec ca funcţa de pondere să fe absolut sumablă. Ssteme cauzale O defnţe generală pentru un sstem cauzal mpune ca pentru n < n să este mplcaţa a = b pentru n < n a = b pentru n < n unde a a reprezntă răspunsurle sstemulu la cele două semnale de ntrare. Pentru un SL condţa de cauzaltate se rezumă la condţa de neantcpatvtate (răspunsul sstemulu nu poate apărea înantea ectaţe. Într-adevăr dacă la ntrarea unu sstem lnar cauzal se aplcă = a b (n dec = pentru. n < n răspunsul sstemulu în baza lnartăţ este = a b = pentru n < n. Dec în acest caz condţa de cauzaltate se poate scre = pentru n < n = pentru n < n Pentru un SLIT condţa de cauzaltate poate f scrsă sub forma: h n = n <. ( Într-adevăr în acest caz pentru orce înante se poate scre a b n a b ce satsfac condţle de ma = a ( k h( n k + a ( k h( n k n n = b ( k h( n k + b ( k h( n k n = b pentru n n a ( k h( n k = b ( k h( n k a < Dar aceasta înseamnă n [ ( k ( k ] h( n k = ( n k = a n k < dec în fnal b k = n k = n h pentru k n ş n < n adcă h = n <. Prn etense dacă o secvenţă îndeplneşte condţa = spune că este cauzală. pentru n < se 5
Ecuaţ cu dferenţe fnte O clasă partculară de SLIT poate f descrsă prn ecuaţ cu dferenţe fnte. k = α k M ( n k = β k ( n k k = Dacă α rezultă împărţnd cu α ş notând Dacă = rămâne: M α k α = a = bk ( n k ak ( n k bk ( n k ş în partcular pentru = δ = M β k k = bk α M bn n [ M ] h = bkδ ( n k = n rest Un asemenea sstem se spune că este cu răspuns fnt la mpuls (RFI sau FIR (fnte mpulse response. În caz contrar > sstemul este cu răspuns nfnt la mpuls (RII sau IIR (nfnte mpulse response. Comportarea SLIT în domenul frecvenţă Pentru caracterzarea unu sstem în domenul frecvenţă vom aplca la ntrarea sa un semnal jθ jθ = A cos ( nω + θ = A e e + A e e Să luăm pentru început cazul ma smplu: = e ş să calculăm răspunsul sstemulu. Se găsesc succesv = e j ( ( ( ( ( n k n = h k n k = h k e h jkω ( k e = h( k Se defneşte funcţa de transfer a sstemulu: ( e = h( k k = e jkω Dec în cazul consderat avem: = ( e e fnd în general o funcţe compleă se poate scre ca: ( e ω jkω j arg e j ( ( ( ϕ ( ω e = e e = e e = 6
( R Un caz mportant este cel al sstemelor cu funcţe de pondere reală h n : Z. În acest caz funcţa de transfer se scre: ( e = h( k( cos kω j sn kω = h( k cos kω j h( k Evdent partea reală este ar cea magnară Re Im { ( e } = h( k { ( e } = h( k cos kω sn kω sn kω Constatăm dec că în cazul sstemelor cu funcţe de pondere reală partea reală a funcţe de transfer este funcţe pară de ω ar partea magnară este funcţe mpară. De ac dervă propretăţ de smetre pentru modul ş argument: În consecnţă ( e = Re { ( e } + Im { ( e } = ( e Im ( { ( e } ϕ ω = arctg = ϕ ( ω Re{ ( e } ( e = Re { ( e } + j Im{ ( e } = Re{ ( e } j Im{ ( e } = ( e Dn rezultatul obţnut până ac se poate deduce smplu răspunsul sstemulu la jn eponenţala compleă n = e înlocund ω ω În fnal răspunsul în cazul ω ( semnalulu real = A cos( nω +θ se obţne pe baza lnartăţ: A jθ jϕ ( ω A jθ jϕ ( = e e e e + e e e A j ( ( ( nω + θ + ϕ ( ω j( nω + θ + ϕ ( ω n = e e + e ω ( ( e Relaţa de ma sus sugerează că ( e [ ] = A ( e cos nω + θ + ϕ( ω ( arată câştgul ntrodus de fltru dec reprezntă caracterstca ampltudne frecvenţă ; ϕ ( ω ndcă defazajul ntrodus de sstem dec reprezntă caracterstca fază frecvenţă ; dϕ ( ( ω τ ω = este caracterstca tmp de întârzere de grup (normat- dω frecvenţă. O partculartate a fucţe de transfer ( e a unu sstem dscret în tmp constă în faptul că este perodcă de peroadă π. În cazul sstemelor cu funcţe de pondere reală apare ş o smetre a caracterstc ampltudne-frecvenţă în raport cu π j( π ω j e = e ( π ω j π + ω e = e ( ( ( ( ( 7
Având în vedere aceste partculartăţ aspectele caracterstclor ampltudnefrecvenţă ale unor fltre sunt date în fgurle.5-.7. ( e FTJ -π π π 3π Fg..5 ( e FTS -π π π 3π Fg.6 ω ( e FTB ω -π π π 3π Fg..7 Transformăr utlzate în studul sstemelor dscrete în tmp Se reamntesc pentru preczarea notaţlor prncpalele transformăr foloste în domenul semnalelor ş sstemelor dscrete în tmp. Transformata Fourer în tmp dscret drectă 8
ş nversă X ( e e = TFTD = n= { }(ω { } π X ( e e dω = TFTDI X ( e = π π reprezntă un nstrument utl de lucru pentru analza în domenul frecvenţă comportarea crcutelor în regm armonc analza spectrală a semnalelor. Transformata Z este defntă ca o sere de puter X ( z = Z{ } = n= πj = Z { X ( z } = X ( z C z n z n { z C z = R R < R } C = R < Ea reprezntă un nstrument de bază pentru calculul răspunsulu sstemelor dscrete în tmp la semnale de tp mpuls. Transformata Fourer dscretă se defneşte pentru semnale de suport fnt sup{ } = [ ] prn n= ( k = TFD{ }( k = nk w X unde w = e Transformata nversă este nk = TFDI { X ( k } = X ( k w Este de fapt modaltatea practcă pentru calculul numerc al TFTD. + dz π j Probleme. Fe : Z R. Demonstraţ că acest semnal se poate reprezenta sub forma n n n n n partea mpară a ( = p ( + ( unde p ( este partea pară ar ( semnalulu nţal = ( n ; = ( n. p p. Găsţ ş reprezentaţ părţle pare ş mpare ale semnalelor: n n = α < α < ( = Acos( nω + ϕ an 3 = e sn( nω + ϕ α > : Z C = p + unde = ( n ar este un semnal conjugat antsmetrc = ( n 3. Fe. Demonstraţ că acest semnal se poate reprezenta sub forma p este un semnal conjugat smetrc p p 4. Deduceţ părţle conjugat smetrce ş conjugat antsmetrce ale semnalelor. 9
j( nω + ϕ ( = n Ae n j( nω + ϕ = Aα e 5. Demonstraţ că operaţa de convoluţe lnară este asocatvă: n n z n = n n z n. ( ( ( ( ( ( ( ( 6. Fe două ssteme lnare ş nvarante în tmp cu funcţle pondere h h. Calculaţ funcţa de pondere a sstemulu obţnut prn conectarea celor două ssteme - în paralel; - în cascadă. 7. În cazul celor două ssteme dn problema 6 fe ( e = TFTD h { } = ( z = Z{ h } = Calculaţ funcţle de transfer în domenul frecvenţă ş în domenul Z ale sstemulu obţnut prn conectarea celor două ssteme - în paralel; - în cascadă. 8. Fe un sstem lnar ş nvarant în tmp cu funcţa pondere n a n h = n b n < Determnaţ valorle lu a ş b pentru care sstemul este - stabl; - cauzal ş stabl. 9. Un sstem este caracterzat prn relaţa ntrare-eşre = ( nm M Este acest sstem lnar? Dar nvarant în tmp?. Un sstem este caracterzat prn relaţa ntrare-eşre n = ( n kl k L n = L n rest Este acest sstem lnar? Dar nvarant în tmp?. Un sstem este caracterzat prn relaţa ntrare-eşre = ( n Este acest sstem lnar? Dar nvarant în tmp?. Verfcaţ dacă sstemele caracterzate prn relaţle ntrare-eşre = cos( = cos( nω 3 = 4 = + n( n sunt a. lnare;
b. nvarante în tmp; c. cauzale; d. stable.