Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Κ Δ Δ Φ Α Ρ Μ Ο Γ Δ

Γ Δ Χ Μ Δ Σ Ρ Η Κ Δ Δ Φ Α Ρ Μ Ο Γ Δ Ομοππάηοι ή Σςζσεηιζμένοι σώποι Θεσξνύκε έ ζύνιν E, η ζηνηρεί ηνπ νπνίνπ ζ θινύκε ζεκεί θη ζ η ζπκνιίδνπκε κε θεθιί ξάκκη Θεσξνύκε θη έ ξκκηθό ρώξν V(F) ε θάζε δηηεηκέν δεύνο ζεκείσ Α, Β ηνπ E, ηηζηνηρνύκε έ δηάπζκ θ(a,) = V Γξάθνπκε θη A Οπιζμόρ Ζ δνκή E = (E, θ) θιείηη νκνπξάιιεινο ρώξνο (Affe space) : ) Γη θάζε Α E θη V, ππάξρεη έ θη κόν Β E, ηέηνην ώζηε, A ) Α A θη Γ, ηόηε θη AΓ (ζρέζε ηνπ Chasles A Γ ΓA ) Ζ εθινή εόο ηπρόηνο ζεκείνπ Ο E θη κηάο ηπρνύζεο άζεσο { e, e,, e} V εθνδηάδεη ην E κε έ ζύζηεκ θνξάο η έρνπκε ζύζηεκ θνξάο, ηπηίδνπκε ην ηπρό ζεκείν R E ηνπ ρώξνπ κε ηε δηπζκηηθή θηί ή δηάπζκ ζέζεσο OR Δίη, OR = r = μe μe μe Οη ζπηειεζηέο μ, θινύηη ζπηεηκέεο ηνπ R, θη εμξηώηη πό ην επηιεκέν ζύζηεκ θνξάο Γη δνζκέν ζύζηεκ θνξάο, νη ζπηεηκέεο ηνπ R είη έη κνδηθέο (ιέπε Γξκκηθνί Υώξνη, Πξόηζε, ζει ) Ζ πξνενύκεε δηδηθζί, ηεο εθινήο, δειδή, ηπρόηνο ζεκείνπ Ο E θη ηεο ηπηήζεσο ηνπ R E κε ην δηάπζκ ζέζεσο r OR ηνπ V, εθζηζηά κί έ-έ ηηζηνηρί άκεζ ζην E θη ζην V Μέζσ πηήο ηεο ηηζηνηρίο, ηπηίδνπκε η ζεκεί ηνπ E κε η δηύζκη ηνπ V Σςμοιζμόρ Σ δηύζκη ζ η ζπκνιίδνπκε είηε κε ειάθη πό πάσ, είηε κε κηθξά ιηηηθά ζηνηρεί Σ ζεκεί ηνπ E, πάηνηε κε θεθιί ξάκκη Ο ζπζρεηηζκένο ρώξνο E, έρεη θη ηηο ηδηόηεηεο: ) Σν κεδεηθό δηάπζκ, είη ε εηθό δεύνπο ηπηόζεκσ ζεκείσ Σνύην πξνθύπηεη πό ηε ) 4) Α A, ηόηε θη A 5) Α OR μe μe μ e θη OS ιe ι e ι e, ηόηε θη RS ( ι μ ) e ( ι μ ) e ( ι μ ) e Αο ιάνπκε έ έν ζύζηεκ θνξάο, πνπ πνηειείηη πό κηά έ ξρή O θη ηε ίδη άζε Θ δνύκε ην ηξόπν κεηνιήο ησ ζπηεηκέσ ησ ζεκείσ θη ησ δηπζκάησ 6) ) Γι η ζημεί ην ζεκείν R, ηηζηνηρνύ η δηύζκη ζέζεσο OR μe μe μ e θη OR μ e μ e μ e Δίη όκσο OR ΟΟ ΟR Α ινηπό, OO pe pe pe, ηόηε πό ηε πξνενύκεε ηζόηεη, πξνθύπηεη ην ζύζηεκ μ μ p, =,,, πνπ δίδεη ην ηξόπν κεηνιήο ησ ζπηεηκέσ ησ ζεκείσ ) Γι η δινύζμη Δίη RS OS OR ( OO OS) ( OO OR) OS OR RS, δειδή, RS R S

Άξ νη ζπηεηκέεο ηνπ RS δε κεηάιινηη7) Κξηάκε ηώξ, ζηζεξό ην ζεκείν Ο, θη ζεσξνύκε δύν ζπζηήκη θνξάο, κε δηθνξεηηθέο άζεηο { e, e,, e} θη e, e,, e } { ) ην ηπρό ζεκείν R, ηηζηνηρεί ην δηάπζκ ζέζεσο OR, πνπ έρεη ηηο δύν δηθνξεηηθέο εθθξάζεηο, OR μe μe μ e θη OR μ e μ e μ e Κάζε όκσο e, εθθξάδεηη ξκκηθά πό η e Έρνπκε, δειδή, θη ηηο ηζόηεηεο e pe pe pe, =,, Άξ θη OR = μ pje j j μ μ j p e Έρνπκε, ινηπό, ηηο ηζόηεηεο, μ p μ η θ =,, θ θ Αάιν πξνθύπηνπ έη θη νη ηζόηεηεο, μ q μ η ι =,, ι j ιj j Από ηηο ηζόηεηεο πηέο, πξνθύπηεη θόκ θη όηη, θ μ p μ = θ θ j j j p q μ = j j = pμ e pμ e = p q μ q μ ) p ( q μ q ) θ ( θ μ = ( p θq pθq ) μ ( pθq pθq ) μ ή θ pjq j μ j μ p jq j μ η θάζε θ =,, j Γη ηζρύεη ε ηζόηεη πηή, η νηδήπνηε εθινή ησ μ, ζ πξέπεη δηζώδεηη κόν ν ζπηειεζηήο ηνπ μ θ, ν νπνίνο κάιηζη, ζ πξέπεη έρεη θη ηε ηηκή Σε ζπζήθε πηή, ηε ξάθνπκε σο εμήο: t j p jq j κ κ δ κj όπνπ, η j θ, δ j Δίη, ινηπό, Q P, όπνπ, P p ), Q q ) ( j ( θι θ, εώ η j = θ, δ θ j ) Γη ηηο ζπηεηκέεο ηνπ δηύζκηνο RS, δε έρνπκε πνύκε θάηη ην ηδηίηεξν, κηά θη ην RS ε e ε e ε e ε e ε e ε e (Πεξίπησζε )) 8) Αο επηρεηξήζνπκε, ηώξ, κεηάινπκε θη ηε ξρή Ο θη ηε άζε { e, e,, e} ηνπ ρώξνπ Αο ππνζέζνπκε όηη, νη ζπηεηκέεο ηνπ Ο ζηε ξρηθή άζε είη (,,, ) θη επίζεο όηη e pe pe pe, =,, Ο ζπδπζκόο ησ πξνενπκέσ ζρέζεσ, δίδεη ηηο ηζόηεηεο, θ μ p μ η θ =,, Έρνπκε επίζεο θη ηηο ι j θ ιj j θ μ q μ η ι =,, ι Δξρόκζηε ηώξ, νξίζνπκε ηηο επζείεο θη η επίπεδ ηνπ ρώξνπ E

9) Ζ δηάζηζε dme ηνπ ρώξνπ E, είη εμ νξηζκνύ, ε δηάζηζε ηνπ ξκκηθνύ ρώξνπ V Ζ δηάζηζε πηή, ζπκπίπηεη κε ηε δηάζηζε ηνπ ξκκηθνύ ρώξνπ πνπ πξάεηη πό πζκηηθέο θηίεο ηνπ E, όη πηέο, πνηεινύ ζύνιν ξκκηθά εμάξηεην Θεσξνύκε, ηώξ, δύν ζπζηήκη θνξάο κέζ ζην E Σ (Ο, e ) θη (Ο, e ) Έζησ P ν πίθο ηνπ κεηζρεκηηζκνύ ηεο άζεο e ζηε άζε e, θη P ε νξίδνπζ ηνπ πίθ πηνύ ινη νη δπηνί ηέηνηνη κεηζρεκηηζκνί ησ άζεσ ηνπ ρώξνπ, έρνπ νξίδνπζ, ε νπνί ζ είη είηε ζεηηθή είηε ξεηηθή Σν ζύνιν ησ κεηζρεκηηζκώ πηώ, κεξίδεηη ζπεπώο ζε δύν ηάμεηο ηζνδπκίο: Σσ κεηζρεκηηζκώ κε νξίδνπζ ζεηηθή, θη πηώ κε νξίδνπζ ξεηηθή Θ ιέκε όηη, ζην ρώξν κο έρνπκε δεμηό πξνζηνιηζκό, ε άζε b ηνπ ρώξνπ κο είη ηζνδύκε, κε ηε πξπάσ ένη, πξνο ηε θνηθή άζε ηε πεξίπησζε πηή, επεηδή Δ ( e,e,,e ) θη ε νξίδνπζ ηνπ κεηζρεκηηζκνύ P : e b είη ε Δ ( b,b,,b ), θζηηθά, ην πξόζεκν ηεο Γ ζ είη ηε πεξίπησζε, πνπ έρνπκε άζε a ζην ρώξν κο κε πξόζεκν ηεο Δ( a,a,,a ) ξεηηθό, ζ ιέκε όηη, έρνπκε ξηζηεξό πξνζηνιηζκό Οπιζμόρ Σν ζύνιν ησ ζεκείσ Μ ηνπ νκνπξάιιεινπ ρώξνπ A, πνπ πιεξνύ ηε ζρέζε ΑΜ L ξ όπνπ Α δνζκέν ζεκείν ηνπ E θη L ξ ξκκηθόο ππόρσξνο ηνπ V δηζηάζεσο ξ θιείηη ξ-δηζηάζεσο επίπεδν δηεξρόκεν πό ην ζεκείν Α θη θηά ηε δηεύζπζε ηνπ Ο ππόρσξνο L ξ L ξ θιείηη θη νδεόο ππόρσξνο ηνπ επηπέδνπ ηε πεξίπησζε ξ =, ην επίπεδν θιείηη επζεί ηε πεξίπησζε, όπνπ ε δηάζηζε ξ =, κε = dmv, ην επίπεδν θιείηη ππεξεπίπεδν ηε πεξίπησζε =, ην ππεξεπίπεδν θιείηη πιά επίπεδν ΠΑΡΑΣΖΡΖΖ ξ ζεκεί ηνπ E νξίδνπ έ επίπεδν P ξ, η ξ νηδήπνηε ύζκη πνπ πξνθύπηνπ π πηά, είη ξκκηθώο εμάξηεη ΠΡΟΣΑΖ Σ επίπεδ ηνπ E, είη θη πηά νκνπξάιιεινη ππόρσξνη Απόδεημε Έζησ P ξ ην επίπεδν πνπ δηέξρεηη πό ην Α ζηε δηεύζπζε ηνπ η ζεκεί Μ θη Ν ηνπ Α N ήθνπ εμ νξηζκνύ ζην L ξ Άξ θη ην Ο ηνπ E, ζ ήθεη ζην L ξ Θεσξνύκε P ξ Απηά, ζ ζεκεί ηνπ E, έρνπ εηθό, ην MN Σ ΑΜ θη δηάπζκ, ην νπνίν έη είη ζηνηρείν ηνπ ππνρώξνπ MN AN AM ήθεη ζην L ξ Σν ζεκείν L ξ, κηά θη ζηε ξρή ηνπ ρώξνπ, ηηζηνηρεί ην κεδεηθό ΠΆΡΑΣΖΡΖΖ Κάζε ππόρσξνο L ξ είη δπηό ζεσξεζεί θη ζ επίπεδν, πνπ δηέξρεηη πό ηε ξρή ηνπ ζπζηήκηνο θνξάο ε όηη θνινπζεί, ζ δερόκεζ όηη ν ρώξνο κο E έρεη dm = θη έ ζύζηεκ θνξάο πνπ πνηειείηη πό ην ζεκείν Ο θη ηε άζε e, e,, } L ξ { e ΠΆΡΑΓΔΗΓΜΑ ) Πεξίπησζε ξ = Μί επζεί ηνπ E, πνπ δηέξρεηη πό ην ζεκείν Α, πνηειείηη πό εθεί η ζεκεί R ηνπ E, ζη νπνί ηηζηνηρεί ην Α R L Δπεηδή ξ =, έζησ u κί άζε ηνπ L Σν {Α, u } πνηειεί ζύζηεκ θνξάο ηνπ ρώξνπ P Σ δηύζκη ηνπ L έρνπ ηε έθθξζε Α R u

4 Δίη AR OR OA Άξ θη r a u, ζρέζε, πνπ όπσο ζ δνύκε ζηε 7, πξνζδηνξίδεη ηε επζεί ηνπ ρώξνπ, πνπ δηέξρεηη πό ην ζεκείν Α θη είη πξάιιειε πξνο ην επζύξκκν ηκήκ, πνπ ηηζηνηρεί ζην u Ζ ζρέζε πηή, είη ηζνδύκνο πξνο ην κννπξκεηξηθό ζύζηεκ ιμ, =,,, όπνπ r (,,, ), A (,,, ) θη u ( ξ, ξ,, ξ ) όπνπ όιεο νη ζπηεηκέεο είη εθθξζκέεο ζηε άζε { e, e,, e} Σ ζεκεί Υ ηεο επζείο, πνπ ιίνηη η ι, πνηεινύ ην ζεηηθό εκηάμν ΑΥ πηήο Αάιν έρνπκε ην ξεηηθό εκηάμν ηεο επζείο Οη δηηάμεηο ησ κνόκεηξσ κεεζώ ι, κεηθέξεηη ζη ζεκεί ηεο επζείο, θη θζνξίδνπ ηε θνξά ηεο ) Αο εμεηάζνπκε, ηώξ, ηε εηθή πεξίπησζε, dma =, dm L = ξ Θεσξνύκε ην επίπεδν P ξ, πνπ δηέξρεηη πό ην ζεκείν Α θη έρεη νδεό ην OR OA AR Άξ θη, r a r j L ξ Δίη ηόηε, ι j q j, (), όπνπ r, a νη δηπζκηηθέο θηίεο ησ ζεκείσ R θη Α, θη q, q,, } κηά άζε { e ξ { qξ ηνπ L ξ Έζησ, ηώξ, θη κηά άζε e, e,, } ηνπ ρώξνπ V Δθθξάδνπκε ζ πηή ηε άζε ηηο δηπζκηηθέο κο θηίεο θη η q j Δίη, r OM e e e a OA q μ e μ e μ e j j j, e e e Αηηθζηζηνύκε ζηε (), θη ιίνπκε ην ηζνδύκν ζύζηεκ, r j j ι μ ( ) j Σν ζύζηεκ πηό, έρεη r πξκέηξνπο ι ε πεξίπησζε πνπ έρνπκε ππεξεπίπεδν, νπόηε ξ =, κπνξνύκε πάη πό ηηο εμηζώζεηο θάνπκε πινηθή ησ πξκέηξσ, θη ιάνπκε κηά εμίζσζε ηεο κνξθήο Α Α Α () Σν ζύζηεκ ( ) θιείηη πξκεηξηθό ζύζηεκ ηνπ επηπέδνπ Ζ εμίζσζε () θιείηη Κξηεζηή κνξθή ηνπ ππεξεπηπέδνπ Έ ππεξεπίπεδν δηηξεί ην ρώξν ζε δύν ηκήκη: Έ ηκήκ πνπ ξίζθεηη ζηε δεμηά πιεπξά ηνπ, θη έ ηκήκ, πνπ ξίζθεηη ζηε ξηζηεξή πιεπξά ηνπ Σν δεμηό ηκήκ πεξηικάεη εθεί η ζεκεί Υ ηνπ ρώξνπ η νπνί, κδί κε ην ζεκείν Α ηνπ P, πξνζδηνξίδνπ ην δηάπζκ AX, ην νπνίν, κδί κε ηε άζε ηνπ L θη ην ζεκείν Α, δίδνπ έ ζύζηεκ θνξάο ηνπ ρώξνπ, πνπ ην πξνζηνιίδεη ζεηηθά Αάιν η ην νξηζκό ηεο ξηζηεξήο πιεπξάο Γη ηε πεξίπησζε, πνπ είη V = R, ην E ην ηπηίδνπκε κε ην ρώξν Δ (ιέπε ζει ) Σν ζύζηεκ θνξάο ηνπ E, ζπήζσο πνηειείηη πό ην ζεκείν Ο θη ηε θνηθή άζε ηνπ R η =, ρξεζηκνπνηνύκε ην ζπκνιηζκό: (,, ), j (,, ) θη (,, ) Σν ηπρό ζεκείν R E, έρεη ηόηε ηε έθθξζε, r j = (,,) Σν ζύζηεκ (), ζηε πεξίπησζε πηή, έρεη ηε κνξθή, ι μ ι μ ι ) ι ( ) j ( ιμ ιμ ι( ) ι( ιμ ιμ ι( ) ι( ) ) θη

5 όπνπ Α,, ), Β,, ), Γ,, ), ηξί ζεκεί ηνπ E, πνπ νξίδνπ θη ( ( ( ηε ζέζε ηνπ επηπέδνπ, θη ( μ, μ, μ) ΑΒ, ( μ, μ, μ) ΑΓ (όιεο νη ζπηεηκέεο είη εθθξζκέεο ζηε άζε, j, Ζ δηπζκηηθή εμίζσζε ηνπ επηπέδνπ, πνπ δηέξρεηη πό η ζεκεί Α, Β, Γ ηνπ ρώξνπ E, είη ε ΑR ι ΑΒ ι ΑΓ ή ηζνδύκ, ε r a ιb ι c όπνπ r OR (,, ) ην ηπρό ζεκείν ηνπ επηπέδνπ θη a, b, c, νη πζκηηθέο θηίεο ησ ζεκείσ Α, Β θη Γ ηίζηνηρ Ζ Κξηεζηή εμίζσζε ηνπ επηπέδνπ, είη ε Α Γ Γ = Γη ηε εμίζσζε ηεο επζείο ζην ρώξν Δ, ιέπε ζει Σσεηικέρ θέζειρ επιπέδων εν E Έζησ dme = Μέζ ζην E ζεσξνύκε η δύν επίπεδ P θ θη P ι η η νπνί, ππνζέηνπκε όηη έρνπ έ θνηό ζεκείν Α Δπηιένπκε ην ζεκείν πηό, σο ξρή ηνπ ζπζηήκηνο ζπηεηκέσ ηνπ ρώξνπ κο Σώξ, όη ην ηπρό ζεκείν R ηνπ E δηηξέρεη ην επίπεδν P θ (η P ι ), ε δηπζκηηθή θηί Α R δηηξέρεη ην ππόρσξν P θ (η P ι ) πεπώο, ην ζέκ ησ ζρεηηθώ ζέζεσ ησ επηπέδσ P θ, P ι, άεηη ζηε κειέηε ησ ζρεηηθώ ζέζεσ ησ ππνρώξσ L, L κέζ ζην V (Βιέπε εόηεη ΓΡΑΜΜΗΚΟΗ ΥΧΡΟΗ) ) Α η δύν επίπεδ P θ θη P ι έρνπ έ θνηό ζεκείν, ηόηε ε ηνκή ηνπο είη θη πηή επίπεδν, κε δηάζηζε κ m(θ, ι) ) Ζ ηνκή ζπεπώο δύν επηπέδσ ηνπ ρώξνπ E (κε dme = ) είη δπηό είη είηε επίπεδν είηε επζεί ηνπ E Ζ ζρέζε dm( Lθ L ι ) = dm L θ dm L ι dm( Lθ L ι ) κο επηηξέπεη ππνινίδνπκε ηε δηάζηζε πηήο ηεο ηνκήο Έηζη η ηε πεξίπησζε πηή, είη θεξά, L L = E Ζ dm( L L ) είη ζπεπώο είηε είηε είηε Ζ δπηόηεη κ = έρεη πνθιεηζζεί πό ηε ξρή Απνκένπ ινηπό νη δπηόηεηεο είη κ = είηε κ = Α κ =, ηόηε έρνπκε όηη, η επίπεδ ηέκνηη θηά κί επζεί Α κ =, ηόηε η επίπεδ ηέκνηη θηά έ επίπεδν Σν επίπεδν όκσο πηό, δε είη δπηό είη δηθνξεηηθό θη πό η δύν ήδε ζεσξεζέη επίπεδ, κηά θη ηόηε ζ κπνξνύζκε ξνύκε ην νιηόηεξν ηέζζεξ ξκκηθά εμάξηεη δηύζκη κέζ ζην E, πξάκ δύην ) Α η δύν επίπεδ P θ θη P ι έρνπ ηνκή ην P κ, ππάξρεη ηόηε έ κνδηθό επίπεδν P, κε δηάζηζε ξ = θ ι κ, ην νπνίν πεξηέρεη κθόηεξ η επίπεδ P θ θη P ι Σν επίπεδν πηό, έρεη σο νδεό ρώξν ην L ξ = Lθ L ι ηε εηδηθή πεξίπησζε, πνπ ξ =, ην P ηπηίδεηη κε ην E 4) Α η δύν επίπεδ P θ θη P ι δε έρνπ έ θνηό ζεκείν, ηόηε ε ηνκή ηνπο ηπηίδεηη κε ην κεδεηθό ππόρσξν Δίη ηόηε, L ξ = θ ι L θ L ι ηε πεξίπησζε πηή, ιέκε όηη, η επίπεδ θείηη κέζ ζην ρώξν είηε ζε πξάιιειε ζέζε, είηε ζε ζηξειή ζέζε Πξάιιειε ζέζε έρνπ η επίπεδ, νη νδενί ππόρσξνί ηνπο ζπθξίνηη σο πξνο ηε δηάημε 5) ηε πεξίπησζε ηνπ Δ, δύν επίπεδ είη δπηό είηε ηπηίδνηη, είηε είη πξάιιει Γύν επζείεο όκσο, είη δπηό ξίζθνηη ζε ζηξειή ζέζε Εζωηεπικό ινόμενο ζηο επίπεδο κι ηον σώπο Μέζ ζην R ζεσξνύκε ην Κξηεζηό ζύζηεκ θνξάο Ο, πνπ πνηειείηη πό ην ζεκείν Ο (ξρή ηνπ ρώξνπ), θη ηε άζε {, j, }, όπνπ, όπσο είδκε, είη e = = (,,), e = j = (,,) θη e = = (,,) Α Α θη Β δύν ηπρόη ζεκεί ηνπ Δ, κε OA a j θη O b j, νξίδνπκε ηε πεηθόηζε θ: E E R, πό ηε ζρέζε, ( a, b ) Δίη ηόηε, θ e, e ) ( j = δ j,,j =,,

6 Σςμοιζμόρ Αηί ηνπ θ ( a, b ), ξάθνπ a b Γη ην δηάπζκ A O OA b a έρνπκε, E, έρνπκε ινηπό όηη, θ(, ) = ηνπ ζεκείνπ, πό ηε ζρέζε =, (dot product) ή θόκ θη a b, θ A, A = Γη θάζε Οξίδνπκε ην κέηξν ή ηε πόιπην ηηκή Ζ πεηθόηζε Q( A ) = θ ( ΑΒ, ΑΒ) είη κί ηεηξσηθή κνξθή Δίη ζπκκεηξηθή, [δειδή Q( A ) = Q( Α )], ζεηηθά νξηζκέε, [δειδή Q( A ) κε Q( A ) = A = ], θη ζπεπώο, κπνξνύκε ηε ρξεζηκνπνηήζνπκε, η νξίζνπκε ηε πόζηζε d(α,β) ησ ζεκείσ Α θη Β Ηζρύεη επηπιέν ε ηξησηθή ηζόηεο, d(a,) d(,γ) d(a,γ) όη ην Γ δε θείηη επί ηεο επζείο πνπ νξίδνπ η ζεκεί Α θη Β [Απόδειξη Απνδεηθύνπκε πξώη, ηε ηζόηεη ηνπ Cauch: Υξεζηκνπνηνύκε πξνο ηνύην, ηε ηπηόηεη ηνπ Lagrage: j j j Γη πνδείμνπκε ηε ηζόηεη πηή ζθεπηόκεζ σο εμήο: Σν κνξθήο ηόκεν πξέρεη όξνπο ηεο κνξθήο j Οη όξνη όκσο ηεο κεδείδνηη πό ηνπο ηίζηνηρνπο όξνπο ηνπ πηύκηνο ηνπ ηη πνκέεη ζπεπώο, είη ε ηπηόηεη ηνπ Lagrage Πρ η =, είη, ( )( ) ( ) ( ) Άκεζε ζπέπεη ηεο ηπηόηεηο ηνπ Lagrage είη ε ηζόηεη ηνπ Caush πέπεη πηήο, είη ε ηξησηθή ηζόηεη Πξάκηη, είη, (ιόσ Cauch) Δρνπκε ινηπό όηη, Q( A ) Q( A Γ ) = Q( ΒΓ ), πνπ είη ε ηξησηθή ηζόηεη] Ζ ηζόηεη ηνπ Cauch είη δπηό πξνθύςεη θη σο εμήο: Θεσξνύκε ηε f () (a b) Δίη, θεξά, f () Άξ, θη

(a a) (a b) (b b) Ζ δηθξίνπζ ζπεπώο ηνπ f () είη Δίη, ινηπό, (a b) (a a)(b b), πνπ είη θη ε ηζόηεη ηνπ Cauch Πξηεξνύκε όηη, ζηε πεξίπησζε πνπ (a b) (a a)(b b), είη θη Q( A ) Q( A Γ ) = Q( ΒΓ ), δειδή, η ζεκεί Α, Β, Γ, θείηη επ επζείο ξκκήο Ο E κδί κε ηε d θιείηη Επθιείδεηνο ρώξνο E Μέζ ζε έ Δπθιείδεην ρώξν, νξίδεηη ην ζπεκίηνν ηεο ωνίς ζ δύν δηπζκάησ a, b πό ηε ηζόηεη, a b cos( a, b) a a b b Πξηεξνύκε όηη, ην θιάζκ είη πάηνηε, θη = b ιa Σν cos( a, b ) είη ζπεπώο θιά νξηζκέν Απνδεηθύεηη, όηη, ην έηζη νξηζκέν cosζ, ζπκπίπηεη κε ην ζπεζηζκέν cosζ (είη, δειδή, πεξηνδηθή ζπάξηεζε, πεξηόδνπ π) Μέζ ζε έ Δπθιείδεην ρώξν, κπνξνύκε πάηνηε ηηθηζηήζνπκε ηε ηπρνύζ άζε ηνπ ρώξνπ, πό κί άζε, η ύζκη ηεο νπνίο είη κνηίσο θάζεη Ξεθηάκε πό ηε άζε { e, e, e ) Θέηνπκε b e b e e () b b e e e () e Θέινπκε έρνπκε b b ή b e, θη b b, b b, ή b b e, b e Πνιιπιζηe b άδνπκε ηε () εζσηεξηθά κε ην b θη ζέηνηο b b, ι- e e b ίνπκε, νπόηε b b e b θη b e e ηε ζπέρεη πνιιπιζηάδνπκε ηε () εζσηεξηθά πξώη κε ην b b b θη κεηά κε ην b, θη ιίνπκε ηηο ζρέζεηο, b b e b e b e b θη b b e b e b e b, ή θη ηηο e b e b, e b e b, e b e b π όπνπ είη, ηειηθά, b e e e Ο επσηθόο ηύπνο η ηε πεξίπησζε -δηζηάηνπ ρώξνπ είη, ινηπό, ν (ιόξηζκνο ησ Gram Schmdt) b b b b e b e b b e e e b b b b 7

8 4 Εμδόν Τπιώνος Σν εκδό ηνπ ηξηώνπ ΑΒΓ δίδεηη ζηε Δπθιείδεην εσκεηξί πό ην ηύπν: S = ( Α)( AΓ) sζ, όπνπ ζ ε σί ΒΑΓ Κινύκε θ θη θ ηηο σίεο ΒΑΥ θη ΓΑΥ ηίζηνηρ Δίη ηόηε, ζ = θ θ Άξ θη S = (ΑΒ) (ΑΓ) (s θ cos θ cos θ s θ ) ή S ( )( ) ( )( ) Ζ ζρέζε πηή, ξάθεηη θη ζε κνξθή νξίδνπζο, S Α Γ ή θόκ θη, S Λίνπκε πάη S = S O 5 Εςθείερ ζηο επίπεδο ηε πεξίπησζε, πνπ S =, η ζεκεί Α, Β, θη Γ, ξίζθνηη επ επζείο Έρνπκε ινηπό, η ηε εμίζσζε ηεο επζείο, πνπ νξίδεηη πό η ζεκεί Α θη Β ηνπ επηπέδνπ, θη ηε έθθξζε,, όπνπ εδώ ην Γ = (,) είη ην ηπρό ζεκείν ηεο επζείο Ζ πξνενύ- κεε ζρέζε, ξάθεηη θη, όπνπ l θη m Έρνπκε, ινηπό, l m θη ηε κνξθή Α( ) ( ) =, κε Α = m, = l Δπίζεο θη ηε A Γ =, κε Γ = A Πξηεξνύκε όηη, η ηε επζεί πηή, ην δηάπζκ θηεύζπζεο πηήο είη ην e = (Β, Α) εώ ην (A,) είη θάζεην ζηε επζεί, κηά θη e Φεξά, θάζε εμίζσζε ηεο κνξθήο A Γ = (), όπνπ είηε Α, είηε Β, πξηζηά θάπνη επζεί ξκκή ζην O επίπεδν Ζ () είη πξάιιεινο πξνο ην O άμν, θη κόν Β = Ζ () είη πξάιιεινο πξνο ην O άμν, Α = Ζ () δηέξρεηη πό ηε ξρή Ο ηνπ ζπζηήκηνο θνξάο, Γ = Οη επζείεο A Γ θη A Γ είη πξάιιειεο, e e, A Γ νπόηε θη, (ή Α Β ΑΒ ) Α ηε ίδη ηηκή είρε θη ν ιόνο A Γ ηόηε νη επζείεο ηπηίδνηη Θ ιέκε όηη, δύν επζείεο είη θάζεηεο νη δηεπζύζεηο ηνπο είη θάζεη δηύζκη Ηζρύεη δειδή όηη, e e = Οη πξνενύκεεο επζείεο είη ινηπό θάζεηεο, ( Β Α)( Β Α), ή Α Α ΒΒ Κάζεηνο ινηπό ηεο (), είη ε επζεί Β A Γ = Σε () όη Β ηε ξάθνπκε ζηε κνξθή = ι () όπνπ A θη ι Γ Οη πξάκεηξνη θη ι, πξηζηάνπ ηε κίση ηεο επζείο σο πξνο ην O άμν, θη ην κήθνο πνπ ε επζεί πνθόπηεη π ην O άμν Σν ενόο όηη ι = (ΟΤ), όπνπ Τ ην ζεκείν ηνκήο ηεο () κε ην Ο άμν, έπεηη πό ην ενόο όηη, ην Τ = (,ι) πιεξνί ηε () Ζ θιίζε ηεο () είη εμ νξηζκνύ, ε εθπηνκέε ηεο σίο, πνπ ε δηεύζπζή ηεο ζρεκηίδεη κε ην Ο άμν Α θ ε σί πηή, είη ηόηε

9 cosθ A e A taθ, cos A π θ A e A A, νπόηε θη ΠΡΟΒΛΖΜΑ Γσί ησ επζεηώ A Γ θη A Γ Οη ιέκε σί δύν επζεηώ, ννύκε ηε σί σ ησ ηηζηνίρσ δηεπζύζεώ ηνπο Δίη: e Β, ) θη e Β, ) Άξ θη, ( Α ( Α cos σ A A A Α ζέινπκε ππνινίζνπκε ηε taσ, ππνινίδνπκε θη ην O e ζ A Γ σ e A A Γ sσ cos π ω πνπ είη ην cos(, e) = cosζ, ( Α, Β ) είη ην θάζεην δηάπζκ ζηε επζεί A Γ Δίη cos (, e ) A A A A taσ A Γ A A A A νπόηε θη Ο ξ ζ M A A++ Γ = ΠΡΟΒΛΖΜΑ Κνηθή εμίζσζε επζείο Ν ξείηε ηε εμίζσζε ηεο επζείο A Γ = (), ζ ζπάξηεζε ησ πξκέηξσ ξ θη ζ, όπνπ ξ ην κήθνο ηεο θζέηνπ πνπ άεηη πό ην ζεκείν Ο, πξνο ηε επζεί (πόζηζε ηεο ξρήο πό ηε επζεί), θη ζ, ε θιίζε πηήο ηεο θζέηνπ πσο είδκε πξπάσ, ζηε () θάζεηνο είη ε A C = Δπεηδή ζέινπκε πηή ε θάζεηνο δηέξρεηη θη πό ηε ξρή, ε εμίζσζή ηεο είη ε A = Έ ζεκείν Μ = (,), ξίζθεηη θη ζηηο δύν πηέο επζείεο, ηηο πιεξνί θη ηηο δύν Έρνπκε ινηπό ην ζύζηεκ: A C =, A =

Λύζε ηνπ είη ε = ΑΓ κ θη = C κ, όπνπ, κ =, ν ζπηειεζηήο θνηθόηεηο ηεο επζείο Δίη ινηπό, ξ = (ΟΜ) = επζεί πνθόπηεη πό ηνπο άμνεο O, O, έρνπ ηηζηνίρσο κήθε A Γκ Σ ηκήκη, πνπ ε Γ θη A Γ Β Δίη ινηπό cosζ = ξ, sζ = ξ, ή cosζ = Ακ θη sζ = Βκ Πξηεξνύκε ηώξ, όηη, πνιιπιζηάζνπκε ηε () επί κ, ιίνπκε ηε (cosζ) (sζ) ξ = πνπ είη ε θνηθή εμίζσζε ηεο () ΠΡΟΒΛΖΜΑ Απόζηζε ζεκείνπ πό επζεί Έζησ Α Γ = () ε δνζκέε επζεί, θη Μ = (, ) ην δνζκέν ζεκείν Θεσξνύκε όηη, πό ην ζεκείν Μ δηέξρεηη κί επζεί πξάιιειε ηεο () Οη θνηθέο εμηζώζεηο ησ δύν πηώ πξάιιεισ επζεηώ, ζ είη ηίζηνηρ νη (cosζ) (sζ) ξ =, θη (cosζ) (sζ) ξ = Απόζηζε ησ δύν πηώ επζεηώ είη ε δ = ξ ξ Απηή είη θη ε δεηνπκέε πόζηζε Δπεηδή ην ζεκείν Μ είη πάσ ζηε δεύηεξε επζεί, νη ζπηεηκέεο ηνπ, πιεξνύ ηε εμίζσζή ηεο Δίη ινηπό, ξ = (cosζ) (sζ) νπόηε θη δ ξ ξ Γκ ( cosζ) ( sζ) A Γ = A Γ Άξ, δ κ κ κ A ΠΡΟΒΛΖΜΑ 4 Πξκεηξηθέο εμηζώζεηο ηεο επζείο Θεσξνύκε κί επζεί, πνπ δηέξρεηη πό ην ζεκείν (, ) θη έρεη θιίζε ζ Α t ε πόζηζε ηνπ ηπρόηνο ζεκείνπ (,) ηεο επζείο πό ην (, ), κεηξνύκεε έπ πηήο, είη ηόηε = tcosζ, = tsζ ΠΡΟΒΛΖΜΑ 5 Εμίζσζε δέζκεο επζεηώ Έζησ όηη, νη επζείεο a: A A A θη b:, ηέκνηη ζην ζεκείν Μ Σόηε, νηδήπνηε άιιε επζεί, πνπ δηέξρεηη πό ην ζεκείν πηό, ζ έρεη ηε κνξθή a ιb = Σξεηο επζείεο δηέξρνηη δη ηνπ πηνύ ζεκείνπ Γ(a,b,c), όπνπ a = A, A, ), b =,, ) θη c = Γ, Γ, ) ( A ( ( Γ ΠΡΟΒΛΖΜΑ 6 Ζ πξάζηζε, ιπζεί σο πξνο / δίδεη ( / ) ( / ), π όπνπ έρνπκε όηη, / { δ} /, κε ηε δηθξίνπζ δ Γη δ, ιίνπκε ην δεύνο ησ επζεηώ m θη m, κε m { δ} /, m { δ} / Πξηεξνύκε όηη, m m / θη m m / Ζ σί ζπεπώο ζ ηνπ δεύνπο, δίδεηη πό ηε ζρέζε, taθ m m m m δ 6 Ομοενείρ ζςνηεημένερ ζηο επίπεδο ε θάζε (,) R, ηηζηνηρνύκε ηε ηξηάδ (,, ) R έηζη ώζηε,,, Κάζε ηξηάδ ηεο κνξθήο (,, ), δίδεη εμ νξηζκνύ ην επ άπεηξν ζεκείν ηεο επζείο = ι, πνπ έρεη θιίζε = Σν όηη ν νξηζκόο πηόο είη θιόο, θίεηη πό ην εμήο ζπιινηζκό: Οη κε νκνεείο ζπηεηκέεο ηνπ ηπρόηνο ζεκείνπ Ρ ηεο επζείο = ι, είη, (, ι) Γη ην Ρ

κεηθηείηη πξνο ην άπεηξν, επί ηεο επζείο, θηά ηε κί θηεύζπζε εώ η ην κεηθηείηη πξνο ην άπεηξν, επί ηεο επζείο, θηά ηε άιιε θηεύζπζε Λίνπκε ι ηώξ, νκνεείο ζπηεηκέεο η ην Ρ, κε = Σόηε, είη, =, = η ινηπό ην Ρ ίεη ην επ άπεηξν ζεκείν ηεο επζείο, νη νκνεείο ζπηεηκέεο ηνπ, ζ ίνπ (,, ) ιεο νη ηξηάδεο ζπεπώο είη δεθηέο σο νκνεείο ζπηεηκέεο ζεκείσ, πιε ηεο ηξηάδο (,,) Ζ εμίζσζε ηεο επζείο a: A A A, ξάθεηη ηώξ, A A A Θεσξνύκε, ηώξ, ηε κνξθή θ(u,) = u u u Πξηεξνύκε ηόηε, όηη, όη ζεσξνύκε ζηζεξό ην u * = ( u, u, u ) θη ηo = (,, ) κεηιιόκεν, ε ζρέζε θ(u *,) = δίδεη ην ζύνιν ησ ζεκείσ, πνπ θείηη επη ηεο πηήο επζείο u * Α όκσο, ζεσξήζνπκε ην ζηζεξό θη ην u * κεηιιόκεν, ηόηε ε ζρέζε θ(u *,) = δίδεη ην ζύνιν ησ επζεηώ, πνπ δηέξρνηη πό ην πηό ζεκείν Σξί ζεκεί a, b, c ξίζθνηη επί ηεο πηήο επζείο abc = Σνύην έπεηη, πό ηε ζπζήθε ηεο πξξάθνπ 5 ζει 6, πνπ πξέπεη πιεξνύ η ζεκεί Α, Β θη Γ, η ξίζθνηη επί ηεο πηήο επζείο Μπνξνύκε ζπεπώο, ηε εμίζσζε ηεο επζείο, πνπ νξίδεηη πό η ζεκεί a θη b ηε ξάθνπκε, ab = Σξεηο επζείεο a *, b *, c * δηέξρνηη δη ηνπ πηνύ ζεκείνπ, a * b * c * = Σνύην έπεηη πό ηε ζπζήθε, πνπ δίδεη ηε δέζκε ησ επζεηώ, ζει 6 Ζ εμίζσζε ινηπό ηεο δέζκεο, πνπ νξίδεηη πό ηηο επζείεο a * θη b *, ξάθεηη θη * a * b * = Πξηεξνύκε ηώξ, όηη κέζ ζε κί πξόηζε, πνπ θνξά επζείεο θη ζεκεί ηνπ επηπέδνπ, ηηθηζηήζνπκε ηηο ένηεο ζεκείν θη θείηη επί πό ηηο ένηεο επζεί θη δηέξρεηη δη ζ πξνθύςεη θη πάιη πξόηζηο Απηό ιέεηη ρτή τοσ δπτζκνύ Κιζηθή πεξίπησζε εθξκνήο πηήο ηεο ξρήο, πνηειεί ην ζεώξεκ ηνπ Desargues O A Γ Β Γ Α Σςμοιζμόρ Με θεθιί ξάκκη, η ζεκεί ΑΑ, ΒΒ, θιπ Οη επζείεο πνπ ζπδένπ η ζεκεί Α, Α, Β, Β θιπ Με κηθξά ξάκκη νη επζείεο Ζ ηνκή ησ δύν επζεηώ,,, θιπ Με,, θιπ Με θ ι ζ ζπκνιίδνπκε ηε επζεί πνπ δηέξρεηη πό ηε ηνκή ησ επζεηώ θη Με θα ιβ ζ ζπκνιίδνπκε ην ζεκείν, πνπ θείηη επί ηεο επζείο ΑΒ ΘΔΧΡΖΜΑ ηνπ Desargues: Τπόζεζε: Σ ζεκεί,, θείηη επ επζείο πκπέξζκ Οη επζείεο ΑΑ, ΒΒ, ΓΓ, δηέξρνηη δη ηνπ πηνύ ζεκείνπ Αηηζηξόθσο Τπόζεζε: Οη επζείεο ΑΑ, ΒΒ, ΓΓ, δηέξρνηη δη ηνπ πηνύ ζεκείνπ

πκπέξζκ: Σ ζεκεί,, θείηη επ επζείο Απόδεημε Δζησ δ ε επζεί πνπ πεξηέρεη η ζεκεί,, θη Οη επζείεο, δ, ζρεκηίδνπ δέζκε, θη ζπεπώο, είη, δ = θ θ Γη ην ίδην ιόν, έρνπκε θη όηη δ = ι ι, θη δ = κ κ Από ηηο ζρέζεηο πηέο, έπνηη θη νη: ι κ = ι κ, κ θ = κ θ θη θ ι = θ ι Αιιά ι κ είη κί επζεί, πνπ δηέξρεηη πό ην ζεκείν = Α Δπίζεο, ι κ είη κί επζεί, πνπ δηέξρεηη πό ην ζεκείν = Α Ζ ζρέζε ινηπό ι κ = ι κ νξίδεη ηε επζεί ΑΑ κνη, νη άιιεο δύν ηζόηεηεο, νξίδνπ ηηο επζείεο ΒΒ θη ΓΓ Δίη όκσο, ΒΒ ΑΑ ΓΓ =, θη ζπεπώο, νη ηξεηο πηέο επζείεο, δηέξρνηη δη ηνπ πηνύ ζεκείνπ Αζκήζειρ ) Από ηηο θνξπθέο Α = (,), Β = (4,) θη Γ = ( 6,) ηνπ ηξηώνπ ΑΒΓ, θέξνπκε πξάιιεινπο πξνο ηηο πέηη πιεπξέο ) Πνηέο είη νη εμηζώζεηο ησ πξάιιεισ πηώ; ) Πνηέο είη νη ζπηεηκέεο ησ ζεκείσ ηνκήο ησ; ) Πνηέο είη νη εμηζώζεηο ησ πςώ ηνπ; δ) Πνηέο είη νη εμηζώζεηο ησ δηκέζσ ηνπ; ) Πνη είη ε εμίζσζε ηεο θζέηνπ, πνπ άεηη πό ην ζεκείν (, ) πξνο ηε επζεί = θ ι; ) Πνη είη ε πόζηζε ησ πξάιιεισ επζεηώ 4 = 7 θη 8 6 = 4) Ν ππνινίζεηε ηηο σίεο ηνπ ηξηώνπ, πνπ έρεη η πιεπξέο ηηο επζείεο: 4 = 7, = θη 6 8 = 5) Πνη είη ε εμίζσζε ηεο επζείο, πνπ δηέξρεηη πό ηε ηνκή ησ επζεηώ 5 = θη 7 = 8, θη είη θάζεηε ζηε επζεί = ; 5 6) Έζησ ην νξζνώην ηξίσν ΟΑΒ, όπνπ Α = (,) θη Β = (,) Θεσξνύκε η ζεκεί Γ = (, ) θη Δ = (,) Δζησ Γ ε πξννιή ηνπ Ο πάσ ζηε ΑΒ Ν δείμεηε όηη, ε επζείεο ΟΓ, ΑΔ θη ΒΓ, δηέξρνηη πό ην ίδην ζεκείν 7) Γίδεηη ην ζεκείν Μ = (,) Δθ ηνπ Μ θέξνπκε επζεί, ε νπνί ηέκεη ην άμν Ο ζην ζεκείν Γ, θη ην άμν O ζην ζεκείν Γ Ν πξνζδηνξίζεηε ηε επζεί, έηζη ώζηε, ην Μ είη κέζν ηνπ ηκήκηνο ΓΓ 4 8) Δζησ η ζεκεί: (,,, ), (4,,, ), (,,,), (,,,) R Ν πξνζδηνξίζεηε ην ππεξεπίπεδν, ην νπνίν δηέξρεηη πό η ζεκεί πηά Λύζε Από η ηέζζεξ πηά ζεκεί, πνπ ο η θιέζνπκε Α, Β, Γ θη Γ ηίζηνηρ, ιίνπκε η ηξί δηύζκη A ( 4,,, ), A Γ (,,, ), θη A Γ (,,, ) Σν ζύνιν { A, A Γ, ΑΓ } είη ξκκηθά εμάξηεην, θη άξ, dml{ A, A Γ, ΑΓ } = Σν δεηνύκεν ππεξεπίπεδν, έρεη ινηπό ην νδεό ρώξν L L ( A, A Γ, ΑΓ ), θη πάσ ζ πηό, ην ζύζηεκ θνξάο {Ο, A, A Γ, ΑΓ } Σν ηπρό ζεκείν Υ ηνπ ρώξνπ είη ζεκείν ηνπ ππεξεπηπέδνπ, 4 ι ΑΓ, όπνπ X AX OA OX Α είη Υ =,,, ) R, X = ι A ι AΓ έρνπκε ηόηε, θη = 4ι ι ι = ι = ι ι ι 4 = ι ι πνπ είη θη ην πξκεηξηθό ζύζηεκ ηνπ ππεξεπηπέδνπ ( 4

7 Εςθείερ κι επίπεδ ζηον σώπο Οη ιέκε ρώξν, εννύκε ην ρώξν Δ = R ηεο Αιπηηθήο Γεσκεηξίο ρεηηθά κε ην νξηζκό ησ επζεηώ θη ησ επηπέδσ, ιέπε ην εδάθην Γη ηηο ζρεηηθέο ζέζεηο πηώ κέζ ζην Δ, ιέπε ην εδάθην πνςίδνηο η όζ είπκε πξνενπκέσο, ζρεηηθά κε επζείεο θη επίπεδ ζην Δ, έρνπκε η εμήο ) Γύν επζείεο ηνπ Δ είη δπηό: ) Ν έρνπ έ θη κόν θνηό ζεκείν ) Ν είη πξάιιειεο ) Ν είη ζηξειέο ηε πεξίπησζε ) νη δύν επζείεο νξίδνπ ηε ζέζε εόο επηπέδνπ, πνπ ηηο πεξηέρεη ηε πεξίπησζε ) είη δπηό είηε ηπηίδνηη, είηε κε έρνπ θέ θνηό ζεκείν, νπόηε θη νξίδνπ έ επίπεδν, πνπ ηηο πεξηέρεη ηε πεξίπησζε ) δε έρνπ θνηό ζεκείν, νύηε ππάξρεη επίπεδν, πνπ ηηο πεξηέρεη ) Γύν επίπεδ ηνπ Δ, είη δπηό: ) Ν έρνπ κί θη κόν θνηή επζεί, ηε ηνκή ηνπο ) Ν είη πξάι-ιει, νπόηε θη ζ ηπηίδνηη, έρνπ έ θνηό ζεκείν Σν κννπξκεηξηθό ζύζηεκ ι( ), ι( ), ι( ) () πξηζηάεη ηε επζεί πνπ έρεη δηπζκηηθή εμίζσζε, ηε r a ιαβ, όπνπ r θη a νη δηπζκηηθέο θηίεο ηνπ ηπρόηνο ζεκείνπ Υ θη ηνπ δνζκένπ ζεκείνπ Α η ηεο επζείο, θη ΑΒ b a ην δηάπζκ, πνπ πξάεη ην νδεό ππόρσξν ηεο επζείο Δδώ, έρνπκε ιάεη r (,, ), a (,, ), b (,, ) Σν πξπάσ ζύζηεκ, ξάθεηη θη ζηε κνξθή ( ι) ι ( ι) ι ( ) ( ι) ι Ζ θπζηθή δηάημε πνπ έρνπ νη ξηζκνί ι R κεηθέξεηη πό ην ζύζηεκ () ζε κί δηάημε ησ ζεκείσ ηεο επζείο, πνπ ην ζύζηεκ πηό πξηζηάεη Από ην ( ) έρνπκε επίζεο όηη, η ηηκέο ι, ιίνπκε η ζεκεί ηεο επζείο, πνπ είη άκεζ ζη ζεκεί Α θη Β, ησ ζεκείσ πηώ, ζπκπεξηικνκέσ Α θάζε κί πό ηηο εμηζώζεηο ηνπ ζπζηήκηνο () ιπζεί σο πξνο ι, ιίνπκε ηόηε, ηηο ηζόηεηεο ησ ιόσ: Οη ιόνη πηνί έρνπ όεκ, θόκ θη κεξηθνί (όρη όκσο όινη) πξννκζηέο, κεδείδνηη Έηζη, ζηε πεξίπησζε, πνπ,,, ε επζεί είη πξάιιεινο ηνπ Ο επηπέδνπ ηε πεξίπησζε, πνπ, θη, ε επζεί είη πξάιιεινο πξνο ην άμν Ο Ζ δηεύζπζε κηάο επζείο ηνπ ρώξνπ, θζνξίδεηη πό η ζπεκίην θηεπζύζεσο ηεο επζείο ε e Α θιέζνπκε ε ηε επζεί κο, θη ηε σί πνπ ζρεκηίδεη ε ε κε ην άμν O, ηε σί πνπ j ζρεκηίδεη ε ε κε ην άμν O θη ηε σί πνπ ζρεκηίδεη ε ε κε O ην άμν O, έρνπκε ηόηε όηη, cos = e, cos = e j θη cos = e, όπνπ e έ κνδηίν δηάπζκ, νδεόο ηεο ε Γη η ηξί πηά ζπεκίην θηεπζύζεσο, θεξά, έρνπκε ηε ζρέζε: cos cos cos

4 (Απόδειξη Δζησ όηη, e ( ε, ε, ε) κε e ε ε ε Δίη, ινηπό, e ( ε, ε, ε) (,, ) ε κνη, e j ε θη e ε ) πσο είδκε ζηε ζει 57, έ επίπεδν ζην ρώξν Δ, εθθξάδεηη πό ην δηπάξκεηξηθό ζύζηεκ ι ) ι ( ) ( ι( ) ι( ι( ) ι( ) ) Ζ πινηθή ησ πξκέηξσ ι θη ι δίδεη ηε ζρέζε: ε νπνί ξάθεηη θη Α Γ Γ = κε A,, Γ θη Γ Α Β Γ ) ( Αζκήζειρ ) Ν ειέμεηε η ζεκεί Α = (,, ), Β = (,,), Γ = (,,) θη Γ = (,, ) είη ή όρη ζπεπίπεδ Λύζε Αξθεί ην { A, A Γ, ΑΓ } είη ξκκηθά εμξηεκέν Πξάκηη, είη A = (,,), A Γ = (,,) θη ΑΓ = (,, ) Ζ θ A θ AΓ θ ΑΓ =, ιεζεύεη η θ = θ, θ = θ θη θ νηνζδήπνηε πξκηηθόο ξηζκόο Σ δνζκέ ζεκεί, είη ινηπό ζπεπίπεδ ) Ν ξάςεηε ηε εμίζσζε ηνπ επηπέδνπ, πνπ νξίδεηη πό η ζεκεί Α = (,, ), Β = (,,) θη Γ = (,,4) Λύζε Πξηεξνύκε όηη, η A = (,,) θη A Γ = (,,5) δε είη ζπξκκηθά Άξ ε δηπζκηηθή εμίζσζε ηνπ δεηνπκένπ επηπέδνπ είη ε AR = ι A ι AΓ, ι, ι ή ζέζνπκε AR = r a, A = b a, A Γ = c ( ι ι ) a ι b ι c r ΠΆΡΑΣΖΡΖΖ Α ηε Κξηεζηή εμίζσζε ηνπ επηπέδνπ ηε ξάςνπκε ζηε κνξθή Γ Γ Γ, όπνπ,,, ηόηε,, είη η κήθε ησ επζπξάκκσ ηκεκάησ, πνπ ην επίπεδν πνθόπηεη πό ηνπο άμνεο Ο, O, O η ηνπ ζπζηήκηνο Α Β Γ θνξάο ηνπ ρώξνπ Πξάκηη, ην ζεκείν Ρ = (,,) πιεξνί ηε εμίζσζε Α Γ Γ = ηνπ επηπέδνπ, θείηη επί ηνπ άμν O, θη πέρεη πό ηε ξρή Ο, πόζηζε ίζε κε ΠΆΡΑΣΖΡΖΖ 4 Ζ Κξηεζηή εμίζσζε A Γ Γ =, ξάθεηη θη ζηε κνξθή A Γ (Α Β Γ) = ή Α( ) Β( ) Γ( ) = ή θόκ θη R a

5 (Α,Β,Γ) (( ),( ),( )) = Α ινηπό, ζέζνπκε = (Α,Β,Γ), ε πξνενύκεε ζρέζε δειώεη όηη, ην είη θάζεην ζην επίπεδν, κηά θη ην εζσηεξηθό ηόκεν ηνπ κε ην ηπρό δηάπζκ AR ηνπ επηπέδνπ είη κεδέ (ιέπε εδάθην ) ΠΆΡΑΣΖΡΖΖ 5 Σ επίπεδ A Γ Γ θη A Γ Γ είη πξάιιει, η θάζεη πξνο πηά δηύζκη θη είη ζπξκκηθά Α A Γ δειδή, είη ( Α, Β, Γ ) = ι ( Α, Β, Γ ), ή ηζνδύκ, Α ηε ίδη ηηκή A Γ έρεη θη ν ιόνο Γ, η επίπεδ ηπηίδνηη Γ ΠΆΡΑΣΖΡΖΖ 6 Ζ σί δύν επηπέδσ, είη ε σί ησ θζέησ πξνο πηά δηπζκάησ ΠΡΟΒΛΖΜΑ 6 Κνηθή εμίζσζε επηπέδνπ Α πνιιπιζηάζνπκε ηε εμίζσζε Α Γ Γ = επί ην ζπηειεζηή θνηθόηεηο κ πξηεξνύκε όηη, Α Β Γ νη ζπηειεζηέο Ακ, Βκ θη Γκ, είη νη ζπηεηκέεο ηνπ κνδηίνπ θζέηνπ πξνο ην επίπεδν δηύζκηνο Σ ζπεκίην θηεπζύζεσο ηεο κνδηίο θζέηνπ είη, cos = e = Ακ, cos = e j = Βκ, cos = e = Γκ Αο ππνινίζνπκε, ηώξ, ηε πόζηζε ηνπ ζεκείνπ Ο πό ην επίπεδν Πξνο ηνύην, πξνάινπκε ην Ο πάσ ζην επίπεδν, θη κεηξάκε ην κήθνο ηεο πξνιινύζεο θζέηνπ Α ην κήθνο πηό είη ξ, ηόηε ΟΚ ξ = ξκ(α,β,γ), όπνπ Κ είη ν πνύο ηεο θζέηνπ Σν ζεκείν Κ όκσο, πιεξνί ηε εμίζσζε ηνπ επηπέδνπ Άξ Γ Α(ξκΑ) Β(ξκΒ) Γ(ξκΓ) Γ =, ή ξ ή ξ = Γκ κ( Α Β Γ ) Ζ εμίζσζε Α Β Γ Γ =, ξάθεηη ζπεπώο, θη ζηε θνηθή ηεο κνξθή, πνπ είη ε (cas) (cos) (cos) ξ = ΠΡΟΒΛΖΜΑ 7 Απόζηζε δ ζεκείνπ Μ (,, ) πό επίπεδν Δξδόκενη όπσο θη ζην ηίζηνηρν πξόιεκ ηεο επζείο (Βιέπε Πξόιεκ, ζει6), έρνπκε όηη, Α Γ Γ δ Α Β Γ ΠΡΟΒΛΖΜΑ 8 Γίδνηη νη επζείεο θη Οη επζείεο πηέο είη πξάιιειεο,, (,, ) ι(,, ) Δζησ, ηώξ, όηη νη επζείεο δε είη πξάιιειεο, θη ζέινπκε δνύκε ηέκνηη ή όρη Θ πξέπεη ινηπό ειέμνπκε, θη θηά πόζν η δηύζκη a =,, ), b =,, ) θη M ( ( (,, ), είη ή όρη ζπεπίπεδ Ο έιερνο πηόο, ίεηη εύθνι, M ρξεζηκνπνηήζνπκε ηε νξίδνπζ ησ ζπηεηκέσ ησ a, b, θη M M ΠΡΟΒΛΖΜΑ 9 Α ζέινπκε ξνύκε ηηο ζπηεηκέεο ηνπ ζεκείνπ ηνκήο κηάο επζείο θη εόο επηπέδνπ, εξδόκζηε σο εμήο: Κινύκε,, ηηο ζπηεηκέεο ηνπ δεηνπκένπ

6 ζεκείνπ ηνκήο Δίη, ηόηε, ι, ι, θη ι κη θη ην δεηνύκεν ζεκείν, ήθεη ζηε επζεί r = r ι a θζώο επίζεο θη ζηε επζεί A( ι) Β( ι ) Γ( ι ) Γ (), κη θη ην δεηνύκεν ζεκείν, ήθεη θη ζην επίπεδν Α Γ Γ = Από ηε (), ππνινίδνπκε ηε ηηκή ηεο πξκέηξνπ ι, θη ζπεπώο ηηο ζπηεηκέεο ηνπ δεηνπκένπ ζεκείνπ ΠΡΟΒΛΖΜΑ Από ην ζεκείν Μ (,, ), ζέινπκε θέξνπκε επίπεδν θάζεην, (η πξάιιειν), πξνο ηε επζεί r = r t a Α Α Γ Γ = ε εμίζσζε ηνπ δεηνπκένπ επηπέδνπ, ηόηε ην δηάπζκ = (Α,Β,Γ) είη πξάιιειν, (η θάζεην) πξνο ηε δηεύζπζε a ηεο επζείο Δίη, ινηπό, = ι a (η a = ) ή Α = ι, Β = ι, Γ = ι (η Α Β Γ = ) Δμ άιινπ, ην δεηνύκεν επίπεδν δηέξρεηη θη πό ην ζεκείν Μ, θη ζπεπώο Α Γ Γ = Από ηηο ζρέζεηο πηέο, πξνζδηνξίδνπκε ηε ηηκή ηνπ ι Πξηεξνύκε όηη, ην ι πξνζδηνξίδεηη κννζήκη, κόν ζηε πεξίπησζε ηνπ επηπέδνπ, πνπ άεηη πό ζεκείν, θάζεη πξνο επζεί ε θάζε άιιε πεξίπησζε, έρνπκε πεηξί ιύζεσ ΠΡΟΒΛΖΜΑ Α ζέινπκε ξνύκε ηε πόζηζε ζεκείνπ Μ πό επζεί, ξίζθνπκε πξώη, ηε εμίζσζε ηνπ θζέηνπ πξνο ηε επζεί επηπέδνπ, πνπ άεηη πό ην δνζκέν ζεκείν Α Μ ην ζεκείν ηνκήο ηνπ επηπέδνπ πηνύ, κε ηε δνζκέε επζεί, ηόηε ε δεηνπκέε πόζηζε, είη ίζε πξνο MM ΠΡΟΒΛΖΜΑ Γη ξνύκε ηε πόζηζε δύν ζηξειώ επζεηώ r = r ι a θη r = r κ a, εδόκζηε σο εμήο: Θεσξνύκε ηε θνηή θάζεην πηώ, θη έζησ Μ Μ ην ζεκείν ηνκήο ηεο θζέηνπ πηήο κε ηε r, Μ ην ζεκείν ηνκήο ηεο θνηήο θζέηνπ κε ηε r Εεηάκε ξνύκε ην κήθνο ηνπ M M Γη θάπνηεο ζπθεθξηκέεο ηηκέο ησ πξκέηξσ ι θη κ, ιίνπκε η ζεκεί Μ, Μ Γη ηηο ηηκέο πηέο, ΟΜ r ιa, ΟΜ r ιa Σν ΜΜ ΟΜ ΟΜ είη θάζεην θη ζην a θη ζην a Άξ, ( r r ιa κa) a = ή ( r r ) a ιa a κa a θη ( r r ιa κa) a = ή ( r r ) a ιa a κa a Από ηηο πξπάσ δύν ζρέζεηο, πξνζδηνξίδνπκε ηηο ηηκέο ησ πξκέηξσ ι θη κ, άξ θη ηε ζέζε ησ ζεκείσ Μ θη Μ ΠΡΟΒΛΖΜΑ 4 Θέινπκε ξνύκε ηε πξννιή ηεο επζείο r = r ι a πάσ ζην επίπεδν Α Β Γ Γ = Σε πξννιή πηή, ηε πξνζδηνξίδνπκε, σο ηνκή δύν επηπέδσ: Σνπ Α Β Γ Γ = θη ηνπ θζέηνπ πξνο πηό, πνπ πεξηέρεη ηε επζεί r Σν επίπεδν πηό, πεξά πό ην ζεκείν r θη πεξηέρεη η δηύζκη a θη έρεη εμίζσζε ηε: Α Β Γ ΠΡΟΒΛΖΜΑ 5 Γέζκε επηπέδσ Δζησ η επίπεδ, Α: A A A A4 θη Β: 4 Γη θάζε ηηκή ηνπ ι R, ε ζρέζε Α ιβ =, όπνπ Α ιβ ην επίπεδν ( A ιβ ) ( A ιβ ) ( A ιβ ) ( A4 ιβ4 ), πξνζδηνξίδεη ηε εμίζσζε εόο επηπέδνπ, πνπ δηέξρεηη πό ηε ηνκή ησ επηπέδσ Α θη Β Γη ξνύκε ηε ηνκή ησ Α, Β, ξθεί ιύζνπκε ην ζύζηεκ ησ δύν εμηζώζεσ ησ επηπέδσ πηώ,

7 ζεσξώηο ηε κί ησ κεηιεηώ,,, έζησ ηε, σο πξάκεηξν Σόηε, {(,,)} πνηειεί ηε δεηνπκέε ηνκή, όπνπ R, ην A A 4 4, A A A 4 A A A4 A A Αζκήζειρ ) Ν ξάςεηε ηε εμίζσζε εόο επηπέδνπ ην νπνίν ) Δίη πξάιιειν ζην -επίπεδν, θη θείηη κνάδεο θάησ π πηό Λύζε Σν δεηνύκεν επίπεδν είη θάζεην ζην άμν O, θάζεην δειδή ζην δηάπζκ (,,) Άξ ε θξηεζηή ηνπ εμίζσζε είη ε ( ) ( ) ( ) o o o, όπνπ ( o, o, o) (,, ) Ζ εμίζσζε ηνπ δεηνπκένπ επηπέδνπ είη, ινηπό, ε ) Δίη πξάιιειν ζην -επίπεδν, θη πεξηέρεη ην ζεκείν (,-,-4) Λύζε ύκθσ κε ην () έρνπκε ηε ( ) ( ) ( 4) Ζ εμίζσζε ηνπ δεηνπκένπ επηπέδνπ είη, ινηπό, ε 4 ) Δίη πξάιιειν ζην Ο άμν, ηέκεη ην Ο άμν ζην ζεκείν θη ην Ο άμν ζην ζεκείν - Λύζε Σν δεηνύκεν επίπεδν είη πξάιιειν (πεξηέρεη) θάζε δηάπζκ ηεο κνξθήο OX Δμ άιινπ, πεξηέρεη η ζεκεί OA θη O j Μπνξνύκε πνύκε ινηπό, όηη ην επίπεδν νξίδεηη πό η ζεκεί OA, O θη, OΓ, νηηδήπνηε Έ ηπρό ζεκείν ηνπ επηπέδνπ, είη ην AX κa AΓ ή OX ( κ )OA κo OΓ ( κ ) κj Έρνπκε, ζπεπώο, ην δηπξκεηξηθό ζύζηεκ κ, -κ, Ζ πινηθή ησ πξκέηξσ θ, ι, δίδεη ηε θξηεζηή εμίζσζε ηνπ δεηνπκένπ επηπέδνπ, πνπ είη ε 6 δ) Δίη πξάιιειν ζην επίπεδν 5 6 θη πεξηέρεη ην ζεκείν (-,,4) Λύζε Σν δεηνύκεν επίπεδν ζ είη θη πηό θάζεην ζην (,, 5), πνπ είη ην θάζεην δηάπζκ ζην δνζέ επίπεδν Άξ ( ) ( )( ) ( 5)( 4) θη ζπεπώο ε δεηνύκεε εμίζσζε είη ε 5 8 ε) Γηέξρεηη πό ην ζεκείν (,-,4), θη είη θάζεην ζη επίπεδ 7 5, θη 4 9 Λύζε Σν δεηνύκεν επίπεδν ζ είη θάζεην ζηε ηνκή ησ δύν επηπέδσ πνπ κο δίδνπ Ζ ηνκή ηνπο, πνηειείηη πό ην ζύνιν ησ ζεκείσ (,, ), πνπ πιεξνύ ην ζύζηεκ ησ εμηζώζεσ 7 5 θη 4 9 Ζ ιύζε ηνπ ζπζηήκηνο πηνύ είη ε 5 4, 5 8 Γη θη ιίνπκε η ζεκεί ( /5, -8/5, ) θη ( 8/ 5, -7/5, ) Έ πζκηάθη, ζπεπώο, πάσ ζηε ηνκή, είη ην ( 4/5, /5, ) ή ην (4,, 5) Ζ εμίζσζε ηνπ δεηνπκένπ επηπέδνπ είη, ινηπό, ε 4 ( ) ( ) 5( 4) ή 4 5 ζη) Γηέξρεηη πό ηε ηνκή ησ επηπέδσ 6, 6 θη ηέκεη ην O άμν ζην ζεκείν 6 Λύζε Σν δεηνύκεν επίπεδν πνηειεί δέζκε κε η δνζκέ Πιεξνί ζπεπώο ηε ζρέζε κ ( 6) ( 6 ) ή ηε

8 ( κ ) ( κ 6) (6κ ) 6( κ ) Σν ζεκείν εμ άιινπ (6,, ) θείηη επί ηνπ επηπέδνπ Ηζρύεη, ζπεπώο όηη, ( κ )6 6( κ ) ή κ Γη κ θη ε εμίζσζε ηνπ δεηνπκένπ επηπέδνπ είη ε 5 6 δ) Πεξηέρεη ηηο επζείεο θη 4 5 4 Λύζε Σ δηύζκη e (4,, ) θη e (5, 4, ) νξίδνπ ην δεηνύκεν επίπεδν Ζ εμίζσζή ηνπ είη, ινηπό, ε AX κ e e ή OX OA κ e e όπνπ OA (, -, ) Σν ζύζηεκ 4κ 5, κ 4, κ έρεη σο πινίθνπζ ηε ) Ν ξεζεί πόζν πέρνπ κεημύ ηνπο η πξάιιει επίπεδ 6 7 θη 6 Σν δηάπζκ (, 6, ) είη θάζεην ζη επίπεδ Ζ επζεί πεξηέρεη ην (δηέξρεηη θη πό ηε ξρή ησ μόσ) Ζ επζεί πηή 6 ηέκεη η επίπεδ ζη ζεκεί 9 6 4 7 κι ηίζηνηρ ή 7 / 49 θη / 49 Αξθεί, ηώξ, ππνινίζνπκε ηε πόζηζε ησ ζεκείσ (, 6, ) θη (, 6, ) A Δίη (A) 9( ) 6( ) 5 5 5 4( ) 49 Άξ ( A) 49 49 7, 7 κε η επίπεδ ) Ν ξεζεί ην ζεκείν ηνκήο ηεο επζείο O, O, O Λύζε Ζ επζεί δίδεηη σο ηνκή δύν επηπέδσ Λύνπκε ζπεπώο ην ζύζηεκ θη 7, π όπνπ έρνπκε όηη ην ζύνιν ησ ζεκείσ ηεο ηνκήο είη ην 5,, Σ ζεκεί ηνπ επηπέδνπ O έρνπ Άξ ε επζεί κνπ ηέκεη ην 7 7 O επίπεδν ζην ζεκείν (,, ) Σν O ζην ζεκείν πνπ έρεη, πνπ είη ην 7 5 7 4 (7,, -7) θη, ηέινο ην Ο ζην ζεκείν πνπ έρεη θη είη ην, 7 5 5 4) Ν δείμεηε όηη ε επζεί είη πξάιιειε κε ην επίπεδν 4 6 7 5 8 Λύζε Σ δηύζκη (6, 7, 5) είη θάζεην ζην επίπεδν Σν δηάπζκ e (,, 4) θείηη επί ηεο επζείο Πξηεξνύκε όηη, e 5) ) Ν επξεζεί ε εμίζσζε ηεο επζείο πνπ δηέξρεηη πό ην ζεκείν Α = (, -, 4), θη είη θάζεηνο ζην επίπεδν 4 Λύζε Ζ εμίζσζε ηεο δεηνπκέεο επζείο έρεη ηε 4 κνξθή όπνπ ην e (, m, ) είη θάζεην ζην επίπεδν πνπ κο m δίδνπ Αξθεί ζπεπώο ιάνπκε e (,, ) ) Σν ζεκείν ηνκήο ηεο επζείο πηήο θη ηνπ επηπέδνπ κο, είη ην (, m -, 4) (, - -, 4) Ζ ηηκή ηεο πξκέηξνπ ι πξνζδηνξίδεηη πό ηε ζρέζε ( ) ( 4) 4 ή

9 Σν δεηνύκεν ζεκείν ηνκήο είη, ην (,, ) πνπ δε είη άιιν, πό ηε πξννιή ηνπ Α ζην επίπεδν 6) Ν ξεζεί ε πξννιή ηνπ δηύζκηνο A 4 j επί ηεο επζείο πνπ δηέξρεηη πό η ζεκεί (,, -) θη (-, -4, ) Λύζε Ζ δεηνύκεε πξννιή είη ην επζύξκκν ηκήκ ηεο δνζείζεο επζείο, ην νπνίν πξνζδηνξίδεηη πό ηηο ηνκέο ησ θζέησ επηπέδσ ζη άθξ ηνπ δνζέηνο δηύζκηνο Σ δνζέη ζεκεί, πξνζδηνξίδνπ ην 4 7 j 4 Σν u 4 7 j 4 9 είη έ κνδηίν δηάπζκ θηά κήθνο ηεο επζείο κνπ Σν κήθνο ηεο πξννιήο ηνπ A είη 6 4 ζπεπώο, (A) A u 9 7) Έζησ OP j θη OQ j 4 ) Ν ξεζεί ε εμίζσζε ηνπ επηπέδνπ πνπ δηέξρεηη πό ην ζεκείν Q θη είη θάζεην ζηε επζεί PQ ) Πνί είη ε πόζηζε ηνπ ζεκείνπ Α = (-,, ) πό ην επίπεδν πηό; Λύζε ) Δίη PQ j 6 Σν δηάπζκ πηό είη θάζεην ζην επίπεδν πνπ δηέξρεηη πό ην ζεκείν Q Άξ, ( ) ( ) 6( 4 ) ή 6 8 ) Μί επζεί πνπ πεξά πό ην ζεκείν (-,, ) θη είη θάζεηνο ζην επίπεδν πηό, είη ε Ζ επζεί πηή ηέκεη ην επίπεδν ζην ζεκείν εθείν, πνπ 6 πξνζδηνξίδεη ε πξάκεηξνο ι, ηε νπνί ππνινίδνπκε πό ηε ηζόηεη: ( ) ( ) 6(6 ) 8, ή 49, ή / 49 Δπί ηνπ επηπέδνπ έρνπκε, ινηπό, ην ζεκείν 4/ 49, 6/ 49, 6/ 49 Ζ πόζηζε ηνπ ζεκείνπ Α πό ην Υ = (,, ) είη, (AX) 9 ή ( AX) 8 Σηποθή ζηεπεού ζηο σώπο ηεξεό ζρήκ ηνπ ρώξνπ, είη, (η ηηο εδώ άθεο κο), έ ζύνιν ζεκείσ ηνπ ρώξνπ, ησ νπνίσ νη κνηίεο πνζηάζεηο πξκένπ ιινίσηεο Ζ ζέζηο εόο ζηεξενύ ζρήκηνο ζην ρώξν, πξνζδηνξίδεηη πό ηηο ζπηεηκέεο ησ ζεκείσ ηνπ, σο πξνο θάπνην ζύζηεκ θνξάο O Μί άιιε ζέζηο ηνπ ηδίνπ ζηεξενύ ζην ρώξν, πξνζδηνξίδεηη πό ηε ζέζε εόο ένπ ζπζηήκηνο θνξάο Ο, σο πξνο ην νπνίν, ην ζηεξεό έρεη ηε ίδη ζρεηηθή ζέζε, ηε νπνί είρε θη σο πξνο ην πιηό ζύζηεκ Σν πξόιεκ, ινηπό, ηεο επξέζεσο ηεο έο ζέζεσο ηνπ ζηεξενύ, άεηη ζην πξνζδηνξηζκό ηνπ Ο ζε ζρέζε κε ην O Πξνο ηνύην, πξνζδηνξίδνπκε πξώη ηε ζέζε ηνπ Ο, πξνζδηνξίδνπκε, δειδή, ην OO, θη ζηε ζπέρεη, πξνζδηνξίδνπκε ηηο δηεπζύζεηο ησ μόσ Ο, Ο, Ο σο πξνο ηνπο άμνεο Ο, O θη O Οη δηεπζύζεηο πηέο, δίδνηη πό η ζπεκίην ησ σηώ πνπ ζρεκηίδνπ νη άμνεο πηνί: όπνπ, O O O O O O cos(, ), cos(, j) j, cos(, ), cos( j, ) j, cos( j, j) j j, cos( j, ) j

cos(, ), cos(, j) j, cos(, ) Θεσξνύκε ηνπο πίθεο C θη T C Πξηεξνύκε όηη, CC T I (ζπζήθε νξζνσηώηεηνο) Πξάκηη, είη, j j j δj Γη πξάδεηκ,, j, έρνπκε ηε δ, πνπ ηζρύεη, κηά θη πό ηηο j ( j ) ( j j) j ( j ), ( ) ( j) j ( ) έρνπκε, θνύ η j θη είη κεημύ ηνπο θάζεη, όηη, j, δειδή, ( j ) ( j j) j ( j ) ( ) ( j) j ( ) ( j )( ) ( j j)( j) ( j )( ) πνπ είη ε πξνο πόδεημε ζρέζε Με ην ίδην ηξόπν ιέπνπκε όηη ηζρύεη θη ε C T T C I Άξ είη θη C C Οη εέ ινηπό πξάκεηξνη,, δε είη εμάξηεηνη πδένηη κε έμε ζρέζεηο j Απνκένπ ζπεπώο ηξεηο εμάξηεηεο πξάκεηξνη, νη νπνίεο κπνξνύ πξνζδηνξίζνπ ην πξνζηνιηζκό εόο ζηεξενύ ζην ρώξν Ζ ζέζηο ηνπ ζηεξενύ πηηεί έη έμε πξκέηξνπο η πξνζδηνξηζηεί πιήξσο, κη θη ζέινπκε ηξεηο πξκέηξνπο η ηε ζέζε ηνπ O, θη ηξεηο θόκ πξκέηξνπο η ην πξνζηνιηζκό ηνπ ζηεξενύ Σν ξόιν ησ ηξηώ πηώ πξκέηξσ, ην ικάνπ ζπήζσο, νη σίεο ηνπ Euler Σν ζύζηεκ Ο είη δπηό ιάεη νηνδήπνηε πξνζηνιηζκό O, εθηειέζνπκε ηηο πξθάησ ηξεηο πεξηζηξνθέο: ) Πεξηζηξνθή πεξί ην άμν Ο θηά σί θ πάσ ζην Ο επίπεδν, νπόηε, ε έ ζέζηο ηνπ ζπζηήκηνο ζ είη ε Ομε ) ηε ζπέρεη, πεξηζηξνθή πεξί ην άμν μ θηά σί ζ πάσ ζην επίπεδν Oε, θη ηέινο, ) Κηά σί ς πεξί ην άμν Ο πάσ ζην ε Ομε επίπεδν Ζ ηειηθή ζέζηο Ο ηνπ ζπζηήκηνο, πξνθύπηεη πό ηε ζύζεζε O ησ ηξηώ πξνενύκεσ πεξηζηξνθώ πσο είδκε, ν πίθο ηεο πεξηζηξνθήο ησ ζεκείσ ηνπ επηπέδνπ θηά σί θ είη (ιέπε ζει 9) ν: μ cosθ sθ sθ cosθ Κηά ηε πξώηε πηή πεξηζηξνθή είη, ινηπό, μ = cosθ sθ ε = sθ cosθ = Άξ ν πίθο ηεο ζηξνθήο πηήο, είη ν

Φ = cosθ sθ sθ cosθ μ = μ ε = εcosζ sζ = εsζ cosζ κε πίθ ηνπ κεηζρεκηηζκνύ ην Θ = Γη ηε ηξίηε πεξηζηξνθή είη, Κηά ηε δεύηεξε πεξηζηξνθή, έρνπκε όηη, cosζ sζ sζ cosζ = ε cosς μ sς = ε sς μ cosς = κε πίθ ηνπ κεηζρεκηηζκνύ ην Φ cosς sς sς cosς Ζ ηειηθή ζέζε ηνπ ζηεξενύ, ιίεηη, εθηειέζνπκε ην κεηζρεκηηζκό ΦΘΦ πάσ ζε όι η ζεκεί ηνπ 9 Εξωηεπικό ινόμενο Δζησ έο δηπζκηηθόο ρώξνο V(F), κε dmv = Θεσξνύκε ην {(a, b) V V a ιb} Σν ζύνιν πηό πνηειείηη πό η κε ζπξκκηθά δηύζκη ηνπ V, ικόκε ζε δηηεηκέ δεύε Οπιζμόρ Θ ιέκε όηη ην δεύνο (a, b) είη ηζνδύκν ηνπ a, ) () κε νξίδνπζ δ ηνπ πίθ Γ = θ κ a = θa ιb θη b = κa b ι, δ = θ ικ = ( b Ζ ζρέζηο (a, b) ( a, b) είη κί ζρέζε ηζνδπκίο Πξάκηη, ξθεί ην πξνενύκεν ζύζηεκ ην ξάςνπκε ζηε κνξθή: a Τπάξρεη, ηόηε, πό ππόζεζε ν πίθο Γ θη ζπεπώο, ην ζύζηεκ θ ι a ιύεηη σο πξνο a, b a, b Ηζρύεη ζπεπώο όηη, b κ b (a, b) a, ) ηόηε θη a, ) (a, b) Α Γ = ν κνδηίνο πίθο, ( b ( b ηόηε είη (a, b) (a, b) Σέινο, η ηε κεηηηθή ηδηόηεη έρνπκε όηη, ηζρύεη θη ε ( a, b ) ( a, b), ηόηε ζίνπξ είη θη ( a, b ) (a, b), όπσο πξνθύπηεη εθηειέζνπκε ην πνιιπιζηζκό ησ ηίζηνηρσ πηάθσ Γ, θη ιάνπκε ηε νξίδνπζ ηνπ ηνκένπ ησ, ε νπνί ζ είη ην ηόκεν ησ η νξηδνπζώ, πνπ είη = ΠΆΡΑΣΖΡΖΖ 7 Α ζεσξήζνπκε όηη, η κε ζπξκκηθά δηύζκη a, b Δ νξίδνπ ηηο πιεπξέο εόο πξιιειόξκκνπ επη ηνπ επηπέδνπ πνπ πηά νξίδνπ, ηόηε ε θιάζε ησ ηζνδπάκσ πξνο ην (a, b) δεπώ, πνηειείηη πό όι η πξιιειόξκκ, πνπ έρνπ ην ίδην εκδό

Πξάκηη, ην ηπρό πξιιειόξκκν πνπ ξάθεηη κε πιεπξέο η δηύζκη a θη b, έρεη θεξά, ην ίδην εκδό κε εθείν ην νξζνώην πξιιειόξκκν, πνπ έρεη ηε κί πιεπξά ηνπ, έζησ ηε a = a, θη ηε άιιε, ηε O a A b = AA = b ιa () Ζ νξίδνπζ δ ηνπ ζπζηήκηνο a = a b b = ιa b είη ε δ = Μί άιιε πεξίπησζε δύν πξιιειόξκκσ κε ην ίδην εκδό, είη ε a = ιa θη b = b ι ζηε πεξίπησζε πηή, δ = ηε πεξίπησζε, πνπ (a, b) V V, ε ζπζήθε () η έρνπκε ηε ηζνδπκί (a, b ) (a, b) έπεηη πό ην ενόο όηη, ην () είη ηζνδύκν ηνπ a = θ a ι b ιb = ικ a ι b π όπνπ θη a ιb = δ a Λίνπκε σο a = a ιb = δ a = a Χο b ιίνπκε ην ι a b Σν b δε πξέπεη είη ζπξκκηθό κε ην a Πξάκηη, ι a b = μa ηόηε θη ι a b = μ(a ιb) = μ(θ a ι b ικ a ι b ) = μ(θ ικ) a = μδ a = μ a, άηνπν Θεσξνύκε, ηώξ, ην ζύνιν πειίθν Φ = V V/ Έ ζηνηρείν ηνπ Φ, είη εθείε ε ηάμε ηζνδπκίο a Φ, πνπ πεξηέρεη η δεύε (a, b) V V, πνπ νξίδνπ πξιιειόξκκ, κε ην ίδην εκδό Κινύ ηε a δπάπζκ (bvector) Γξάθνπκε θη a = a b όπνπ (a, b) a θη Φ = V V ην ζύνιν Φ, επηζπάπηνπκε θη ην κεδεηθό bvector o, πνπ είη ε ηάμε όισ ησ δεπώ ηεο κνξθήο (a, ιa) Δίη δειδή (a, b) o, b = ιa Οπιζμόρ Οξίδνπκε ην κνόκεηξν ηόκεν ιa πό ηε ηζόηεη, ιa = ιa b = a ιb = ι(a b) Θ ιέκε όηη νη ηάμεηο a θη a είη άινεο, a = ιa Σν κνόκεηξν ηόκεν, είη θιά νξηζκέν Πξάκηη, (a,b ) a, ηόηε είη, a = θa ιb b = κa b, κε δ = Άξ θη (ιa,b ) = ι(a,b) = (a, ιb ) ΠΟΡΗΜΑ Ηζρύεη όηη, a b = b a Απόδεημε Δρνπκε δείμνπκε όηη, νη ηάμεηο πνπ νξίδνηη πό η δεύε (a,b) θη ( b,a) ηπηίδνηη Πξνο ηνύην, ξθεί δείμνπκε όηη έρνπ έ θνηό ζηνηρείν Δζησ, ινηπό, ην a, ) a Σόηε, ε ζρέζε (a,b) a, είη ηζνδύκε κε ην ζύζηεκ, ( b b A a = θ a ι b θη b = κ a b κε δ = θ ικ = Άξ θη, ( b, a) a κη θη είη, b = κ a b θη a = θ a ι b κε δ = κι θ = ΠΡΟΣΑΖ 4 Α a = θa ιb b = κa b, κε δ = θ ικ, ηόηε είη θη a b = δ(a b) Απόδεημε Ζ ηάμε ηζνδπκίο a πνπ νξίδνπ η a, b, πεξηέρεη όι η a, b νπνί ηζρύεη όηη, a = θ a ι b b = κ a b, κε δ = Άξ θη V, η η

a b θ κ ι a b = θ κ ι θ κ ι a b = δ δ(a b) = δ(a b) ΠΆΡΑΣΖΡΖΖ 8 Ζ πξνενύκεε πξόηζε, νπζηζηηθά κο ιεεη όηη, ην εκδό ηνπ πξιιεινξάκκνπ ΒΟΑ (ιέπε πξνενύκεν ζρήκ) είη ζπθξίζηκν κε ην εκδό ηνπ πξιιειόξκκνπ ΒΑ Σ πξιιειόξκκ πηά, πξέπεη έη, ξίζθνηη ζην ίδην επίπεδν Οπιζμόρ Θ ιέκε όηη, ην δηάπζκ e είη πξάιιειν πξνο ην bvector a = a b, θη ζ ξάθνπκε e a, e = θa ιb Α a = o, ηόηε εμ νξηζκνύ, e o η θάζε e V ΠΆΡΑΣΖΡΖΖ 9 ) Α e a b, ηόηε θη e a b, όπνπ (a, b ) a = a b ) Σν κεδεηθό δηάπζκ, είη πξάιιειν πξνο θάζε bvector ΠΡΟΣΑΖ 5 Α e a, e, ηόηε a V, ηέηνην ώζηε, (e, a ) a Απόδεημε Δζησ όηη, a = a b Θ πξέπεη ξνύκε έ a έηζη ώζηε, e = θa ιb θη a = θ a ι b κε δ = κσο, ην e πό ππόζεζε ηζνύηη κε θa ιb Αξθεί δηιέμνπκε, ινηπό, ηνπο θ, ι R, έηζη ώζηε θι θ ι = Α a = ξθεί ιάνπκε a = ιe Τπνζέηνπκε, ηώξ, όηη dmv ΠΡΟΣΑΖ 6 Γη θάζε δύν bvectors a, b Φ, e V, ηέηνην ώζηε, e a θη e b Απόδεημε Δζησ a = a b, b = a b Σν e ζ πξέπεη είη έ δηάπζκ ξκκηθά εμξηεκέν πό η a, b θη πό η a, b Ο V έρεη dmv = Άξ ην {a, b, a, b } είη ξκκηθά εμξηεκέν ) Έ πό η bvectors είη ην κεδεηθό bvector Σόηε εμ νξηζκνύ, θάζε e V είη πξάιιειν πξνο πηό Αξθεί ινηπό ιάνπκε σο e κη ξκκηθή έθθξζε ησ δύν άιισ ) Α δε έρνπκε κεδεηθό bvector Σν {a, b, a, b } είη έ ξκκηθά εμξηεκέν ζύνιν Άξ ηζρύεη όηη, θa ιb θ a ι b =, ή θa ιb = (θ a ι b ) Αξθεί ζπεπώο ιάνπκε, e = θa ιb = ( θa ι b ) ηε πεξίπησζε πηή, είη θη e, κη θη η {a, b}, { a, b } είη ξκκηθά εμάξηεη ζύνι ΠΆΡΑΣΖΡΖΖ Γη θάζε δύν bvectors a, b Φ, e V, κε e a θη e b, ηέηνην ώζηε, a = e a θη b = e b Αξθεί ιάνπκε ην e a θη e b νπόηε, ζύκθσ κε ηε πξόηζε 5, ππάξρνπ η a θη b V, έηζη ώζηε ηζρύεη ε πξηήξεζε κο Οπιζμόρ Γη νξίζνπκε ην άζξνηζκ δύν bvectors a θη b η ζέηνπκε πηά ππό ηε κνξθή a = e a θη b = e b, νπόηε a b = e ( a b ) Ζ πξόζζεζε πηή, πνδεηθύεηη όηη είη θιά νξηζκέε Σε πεηθόηζε πνπ νξίδεηη πό ηε ζρέζε V V (a, b) a b Φ, θινύκε εμσηεξηθό ηόκεν ησ δηπζκάησ a θη b Κηρξεζηηθά, εμσηεξηθό ηόκεν, θινύκε θη ηε εηθό a b ηνπ δεύνπο (a, b) Σν εμσηεξηθό ηόκεν, (η dmv = ), έρεη όπσο δείμκε ηηο ηδηόηεηεο: ) e (a b) = e a e b (Δπηκεξηζκόο σο πξνο ηε πξόζζεζε)

4 ) ι(a b) = ιa b = a ιb (Οκνέεη) ) a b = b a (Αηηζπκκεηξί) 4) a b = η a, b ξκκηθώο εμξηεκέ ΘΔΧΡΖΜΑ Ζ δνκή (Φ,, ) είη δνκή δηπζκηηθνύ ρώξνπ Απόδεημε Ζ κνδηθή ηδηόηεο πνπ δε είη πξνθήο θη ζέιεη πόδεημε είη ν πξνζεηηξηζκόο η ηε πξόζζεζε, a (b c) = (a b ) c, όη δε έρνπκε κεδεηθά bvectors Γξάθνπκε, a = e a θη b = e b, e ) Σν e c ηε πεξίπησζε πηή είη (a b) = e (a b) θη, πό ηε πξόηζε 5, (e, c) c Άξ, (a b) c = e (a b) e c = e (a b c) = e a e (b c) = a (b c) ) Σν e δε είη πξάιιειν ηνπ c Δζησ c = c c Σν {e, c, c } είη ηόηε ζύνιν ξκκηθά εμάξηεην Μπνξνύκε ζπεπώο, ην ρξεζηκνπνηήζνπκε σο άζε η ην V Δρνπκε, ινηπό, a = θe ιc κ c, θη b = e ξc μ c Άξ, (a b) c = {e (θe ιc κ c ) e (e ξc μ c )} c c = e (θe ιc κ c e ξc μ c ) c c = e {(θ )e (ι ξ)c (κ μ) c } c c = e (ι ξ)c e (κ μ) c c c Δπίζεο, a (b c) = e (θe ιc κ c ) {e (e ξc μ c ) c c } = e ιc e κ c e ξc e μ c c c = e ιc e ξc e κ c e μ c c c = e (ι ξ)c e (κ μ) c c c Αο ππνινίζνπκε, ηώξ, ηε δηάζηζε ηνπ ξκκηθνύ ρώξνπ V V ) Πεξίπησζε, πνπ dmv = ηε πεξίπησζε πηή, ν V V πεξηέρεη η δεύε (a, b), η η νπνί ηζρύεη πάη ε b = θa Ο V V πεξηέρεη ινηπό, κόν, ην κεδεηθό bvector Δίη ζπεπώο, dm(v V) = ) Πεξίπησζε, πνπ dmv = ηε πεξίπησζε πηή, ν V V πεξηέρεη η δεύε (a, b), η η νπνί ηζρύεη είηε όηη b = θa, είηε όηη ην {a, b} είη ξκκηθά εμάξηεην Α e, e κί άζε ηνπ V, ηόηε, η ην ηπρό (a, b) V V ηζρύεη όηη, a b = δ( e e ) κε δ = θ ικ (Βιέπε, πξόηζε 4) Δίη, ινηπό, dm(v V) = Σν ενόο πηό, ζηε εσκεηξηθή ιώζζ ζεκίεη όηη, όι η πξιιειόξκκ ηνπ επηπέδνπ, είη ζπθξίζηκ Α ζπεπώο ιάνπκε ην e e σο κνάδ ζύθξηζεο, ην δ είη ην κέηξν ζπθξίζεώο ησ Σν δ ην θινύκε εκδό ηνπ πξιιειόξκκνπ, πνπ ζρεκηίδεηη κε πιεπξέο η κε πξάιιει δηύζκη a θη b Ηζνδύκ είη εθεί η πξιιειόξκκ ηνπ επηπέδνπ, πνπ έρνπ ην ίδην εκδό ηε πεξίπησζε ηνπ R κε άζε ηε θνηθή, e = (, ), e = (, ), έρνπκε όηη, A O OA (, ) θη, όκνη, AΓ OΓ OA (, ) a Δίη ινηπό, ( ) ( b ( ( θη θ, ι ), κ ), ) δ (Βιέπε θη ζει 6) ) Πεξίπησζε, πνπ dmv = Δζησ { e,e,e} κί άζε ηνπ V Δίη ηόηε, a κ e κe κe θη b e e e Άξ θη, a b = κ κ )(e e ) κ κ )(e e ) κ κ )(e e ) ( ( (

5 Γξάθνπκε θη: = e e, j = e e, = e e νπόηε θη a b κ j κ κ () Θ δείμνπκε, ηώξ, όηη η = e e, j = e e, = e e πνηεινύ άζε ηνπ ξκκηθνύ ρώξνπ V V, δειδή όηη, dm(v V) = ) Σν όηη η, j, πξάνπ ην ρώξν, έπεηη πό ηε πξνενύκεε ηζόηεη () ) Γη ηε ξκκηθή εμξηεζί ηνπ ζπόινπ {, j, } ζεσξνύκε ηε ζρέζε, θ ιj κ = o (4), θη ζ δείμνπκε όηη πηή ηζρύεη κόν η θ = ι = κ = Πξάκηη, είρκε έζησ ην θ, ηόηε ζ είρκε όηη η δηύζκη a = ι e θ e, θη b = κ e θ e ζ ήη ξκκηθά εμάξηεη, κη θη η, μ, a μ b = e θ e μκ e μθ e = (ι μκ) e θ e θμ e =, νπόηε θη θ =, ηίζεη κε ηε ππόζεζή κο Σν ενόο όηη, η a θη b είη ξκκηθά εμάξηεη, ζεκίεη όηη, a b o Δίη όκσο, a b = ( ι e θ e ) ( κ e θ e ) = ιθ e e θκ e e θ e e = θ{κ( e e ) θ( e e ) ι( e e )} = o (ιόσ ηεο (4)) Ζ ηζόηεο πηή όκσο, έξρεηη ζε ηίθζε κε ηε a b o Άξ θθώο ππνζέζκε όηη θ Άξ θ =, νπόηε θη κ( e e ) ι( e e ) = o, ή e (κ e ι e ) = o, δειδή (κ e ι e ) = ξ e, ζρέζε πνπ ηζρύεη κόν η κ = ι = ξ = Γείμκε ινηπό όηη dm(v V) =, όη dmv = Οη ρώξνη ζπεπώο πηνί, είη ηζόκνξθνη Λόσ ηνπ ηζνκνξθηζκνύ πηνύ, ηπηίδνπκε η, j θη, ηηζηνίρσο, κε η, j, Γξάθνπκε επίζεο ηη ηνπ Θεσξνύκε ηώξ, ην ηπρό ΑΥ R, θη ην a b R Σν ΑΥ είη πξάιιειν πξνο ην a b ΑΥ = a b Ζ ζρέζε πηή, νξίδεη έη, ην ζύνιν ησ ζεκείσ Υ ηνπ ρώξνπ, πνπ ξίζθνηη πάσ ζην επίπεδν, πνπ νξίδνπ η a θη b (Βιέπε ζει 66) Ο πξνενύκενο ηζνκνξθηζκόο, επηάιεη ηηο ηζόηεηεο: ) j j ) j j j j ) j Α εθθξάζνπκε η δηύζκη a θη b ζην ζύζηεκ, j,, a j θη b j ηόηε θη a b = ( ) ( ) j ( ) Γξάθνπκε θη j a b (Βιέπε θη ())

6 Πξηεξνύκε όηη, ν ζπηειεζηήο ηνπ, εθθξάδεη ην εκδό ηνπ πξιιεινξάκκνπ κε πιεπξέο ΟΑ θη ΟΒ, πνπ θείηη ζην ( j, ) επίπεδν, θη έρεη Α = (,, ), Β = (,, ) Αάιν θη η ηνπο άιινπο δύν ζπηειεζηέο Σν κέηξν ηνπ a b ηζνύηη κε ην εκδό ηνπ πάξιιεινξάκκνπ, πνπ ζρεκηίδεηη πάσ ζηηο κε πξάιιειεο πιεπξέο a θη b θη ε θνξά ηνπ ιίεηη έηζη ώζηε ην ζύζηεκ a, b, a b είη δεμηόζηξνθν Δρνπκε ινηπό, θη όηη a b = a b e = s( a, b ) e, όπνπ = a, = b θη e κνδηίν δηάπζκ θάζεην ζην επίπεδν ησ a θη b Εθπμοέρ εζωηεπικού κι εξωηεπικού ινομένος Πεξηνξηδόκζηε ζην ρώξν Δ κε ην Ο ζύζηεκ θνξάο, πνπ πνηειείηη πό ην ζεκείν Ο θη ηε άζε {, j, } Θεσξνύκε ην πξιιειόξκκν ΑΒΓΓ Δίη c a b Δρνπκε, ηώξ, όηη: c = (a b) (a b) = a a a b b b Γ Γ = cos( a, b ) b κνη, d = ( a b ) ( a b ) = a a a b b b c = cos( a, b ) A Οη ζρέζεηο πηέο, δίδνπ ην κήθνο ηεο a ηξίηεο πιεπξάο ηξηώνπ, όη νη δύν άιιεο πιεπξέο πεξηθιείνπ νμεί, ή κιεί σί ηίζηνηρ Ζ πξννιή S ηνπ εκδνύ S = a b πάσ ζε έ επίπεδν, ηζνύηη κε S = ( )S όπνπ θη ηίζηνηρ, κνδηί θάζεη δηύζκη επί ησ επηπέδσ ησ S θη S Ηζρύεη όηη, a b c = b c a = c a a Γξάθνπκε θη [ a b c ] = a b c (ηξηπιό ηόκεν) Α,,, =,,, νη ζπηεηκέεο ησ a, b, c ζε νηδήπνηε άζε { l, m, }, ηζρύεη ηόηε όηη, [a b c] = [ l m ] 4 Δ έεη είη a ( b c ) ( a b ) c Σν a ( b c ) είη έ δηάπζκ θάζεην πξνο κθόηεξ η a θη b c Δίη ζπεπώο πξάιιειν πξνο ην επίπεδν ησ b θη c Ηζρύεη ζπεπώο όηη, a ( b c ) = b c Α ζην O ζύζηεκ έρνπκε a = (,, ), b = (,, ) θη c = (,, ), ηόηε, a ( b c ) = [ ( ) ( ) [ ( ) ( ) j [ ( ) ( ) = ( c a ) b ( b a ) c 5 Δζησ a ηξί κε ζπεπίπεδ δηύζκη Οξίδνπκε η a σο εμήο: a a a a a a a [ a a a ], a [ a a a ], a [ a a a ]

7 Σ a είη θη πηά κε ζπεπίπεδ, θη ζπεπώο, πνηεινύ άζε η ην Δ Σν ζύζηεκ θνξάο ( O, a, a, a ) θιείηη ηίζηξνθν ζύζηεκ ηνπ ζπζηήκηνο O, a, a, ) Ηζρύνπ νη ζρέζεηο: όπνπ δ ην δ ηνπ Kroecer: Σ a εθθξάδνηη ζπξηήζεη ησ a a δ () δ = η j, δ = η = j a πό ηηο ζρέζεηο: a a a a a a a, a a [ a a a ] [ a a a ] [ a a a ] Σν {Ο,, j, }, έρεη σο ηίζηξνθν ζύζηεκ θη πάιη ην {Ο,, j, } Σν ηξηπιό ηόκεν ησ δηπζκάησ a κε ηε ζρέζε: [ a a a ][ a a a ] ( a a ζπδέεηη κε ην ηξηπιό ηόκεν ησ δηπζκάησ Α κέζ ζην Δ έρνπκε θη η δύν πηά ηίζηξνθ ζπζηήκη, ην ηπρό v E ζ έρεη ηηο εθθξάζεηο, v v a v a v a θη v va va va Οη ζπηειεζηέο ππνινίδνηη σο εμήο: v a v θη v a v Μπνξνύκε ζπεπώο, ξάθνπκε, v = ( a v) a θη v = πήζσο ξάθνπκε, v ( a v) a ή νείηη όηη ζξνίδεηη ( a v) a v ( a v) a, όπνπ, ν επικόκενο δείθηεο Αζκήζειρ ) Α r θη q νη δηπζκηηθέο θηίεο ησ ζεκείσ R θη Q ηίζηνηρ, ξείηε ην εσκεηξηθό ηόπν ησ ζεκείσ Q, η η νπνί ηζρύεη όηη r q = θ (θ θη r ζηζεξά) ) Ν δείμεηε όηη, [ a b b c c a ] = [a b c] ) Α Α, Β, Γ, Γ νη θνξπθέο ηεηξέδξνπ, θη a j b j c j d 4 4 j 4 νη δηπζκηηθέο θηίεο ησ Α, Β, Γ, Γ ηίζηνηρ, δείμεηε όηη, ν όθνο V ηνπ ηεηξέδξνπ ηζνύηη κε 4 V 6 4) Ν δείμεηε όηη, a (b c) b (c a) c (a b) = 5) Δζησ όηη δίδνηη νη ζηξειέο επζείεο ε θη ε ηνπ ρώξνπ πξπιεύξσο ζρήκ 4 4 R, όπσο ζην

8 Γη ξνύκε ηε επζεί ΑΓ, πάσ ζηε νπνί κεηξάκε ηε πόζηζε d ησ δύν πηώ επζεηώ, ζθεπηόκεζ σο εμήο: Θεσξνύκε ηηο δηεπζύζεηο e θη e πηώ Σ e θη e νξίδνπ ηε ζέζε δύν πξάιιεισ επηπέδσ, π, π, ηνπ εόο δηεξρνκένπ εθ ηνπ ζεκείνπ Α θη πεξηέρν ηε επζεί ε, ηνπ άιινπ δηεξρνκένπ εθ ηνπ ζεκείνπ ε Β θη πεξηέρν ηε επζεί ε Ζ εθ ηνπ Α θνηή θάζεηνο ησ επηπέδσ πηώ, π ζην ζεκείν Γ Από ην Γ θέξνπκε επζεί κε έρεη δηεύζπζε e e, θη ηέκεη ην δηεύζπζε e Απηή ηέκεη ηε ε ζην ζεκείν Γ Σ ζεκεί Α θη Γ νξίδνπ ηε ζέζε ηεο δεηνπκέεο επζείο e ε Γ Α Ν δείμεηε όηη, A,, ) θη Β,, ), e θ, θ, ) θη ( ( ( θ ( ι, ι, ), ηόηε είη θη, d θ θ θ = πξννιή ηνπ ΑΒ ζην επίπεδν Α,Γ,Γ ι ι ι ι e e Γ e Β Κμπύερ ζηο επίπεδο η θεξόκεζ ζε κί θκπύιε ηνπ Κξηεζηνύ O επηπέδνπ, ννύκε έ ζύνιν ζεκείσ (, ) ηνπ επηπέδνπ, πνπ πιεξνύ κηά θζνξηζκέε ηδηόηεη, ε νπνί εθθξάδεηη είηε κέζσ ησ πξκεηξηθώ εμηζώζεσ (t), (t), είηε (κεηά πό πινηθή ηεο πξκέηξνπ t) πό ηε θξηεζηή εμίζσζε F (, ) ή ζηε ιπκέε ηεο κνξθή, f () Ζ θκπύιε f () θιείηη ιεί, ππάξρεη ε f () f ( ) Δf πξάσνο f ( ) lm lm d/ d ηε πεξίπησζε πηή, f ( ), Δ Δ e είη ε θιίζε ηεο επζείο πνπ νξίδεηη πό η ζεκεί (, ) θη (, ) ηεο θκπύιεο, ζην όξην, όη ην (, ) (, ) Ζ εμίζσζε ηεο επζείο, πνπ πεξά πό ην ζεκείν (, ) Y θη έρεη θιίζε f ( ), είη ε f ( ), όπνπ ( X,Y) ην ηπρό ζεκείν ηεο επζείο, X πνπ είη θη ε εθπηνκέε ηεο θκπύιεο ζην ζεκείν (, ) Ζ πξάζηζε εόο ζεκείνπ Υ ηνπ επηπέδνπ, κπνξεί ίεη θη κέζσ ησ πνιηθώ ζπηεηκέσ ξ θη ζ, όπνπ ξ ε πόζηζε ηνπ ζεκείνπ πό ηε ξρή ηνπ ζπζηήκηνο θνξάο, θη ζ ε θιίζε ηεο επζείο ΟΥ Οη ζρέζεηο πνπ ζπδένπ ηεο θξηεζηέο ζπηεηκέεο κε ηηο πνιηθέο είη νη, ρcosθ θη ρs θ () Πποζοσή, ιόσ ηεο πεξηνδεθόηεηνο ησ ζπξηήζεσ cos θη s, ην ζύζηεκ (), δε νξίδεη κεηζρεκηηζκό ( ρ,πθ) (, ) έ πξνο έ Γη ην ιόν πηό, ζέινπκε ιάνπκε ην κεηζρεκηηζκό (, ) ( ρ, θ), ζ πξέπεη πάη πξνζέρνπκε ηηο ηηκέο ηεο σίο ζ Δίη έη, ρ θη θ arcta Πνιηθέο ζπηεηκέεο ρξεζηκνπνηνύκε, όη ζέινπκε εθκεηιιεπηνύκε ηε θεηξηθή ζπκκεηξί ηνπ ζρήκηνο Ζ πινύζηεξε έθθξζε, πνπ κπνξεί ιάεη ε F, είη ε πνιπσπκηθή θη π πηή, πηή ηνπ πξσηνζκίνπ πνιπσύκνπ σο πξνο θη Με ηε πεξίπησζε πηή ζρνιεζήθκε ζηηο πξνενύκεεο πξξάθνπο Θ εμεηάζνπκε, ηώξ, ηε πεξίπησζε πνπ

9 ε F είη έ πνιπώπκν δεπηέξνπ ζκνύ σο πξνο θη Σςμοιζμόρ Σν ηπρό ζεκείν (, ) ηνπ θξηεζηνύ επηπέδνπ, ζ ην ζπκνιίδνπκε (, ) Θεσξνύκε, ινηπό, ηε ηεηξσηθή κνξθή:, ) () ( πηή δηθξίνπκε έ νκνεέο θη ζπκκεηξηθό δεπηεξνάζκην ηκήκ, πνπ είη ην, θη έ πξσηνάζκην ηκήκ, ην Με κί πξάιιειε κεηθνξά ησ μόσ O, O ζηε ζέζε (, ) είη δπηό, θνύ πξνζδηνξίζνπκε θηάιιει ην θέηξν K (, ), κεδείζνπκε ην πξσηνάζκην ηκήκ ηεο (, ) Πξάκηη, εθηειέζνπκε ηε πξάιιειε κεηθνξά ε (), κεηά πό κεξηθέο πξάμεηο, κεηζρεκηίδεηη ζηε (, ) ( ) ( ) Δ / δ κε δ det, θη Δ det,, Ππηήπηζη Οη πίθεο δ θη Γ είη ζπκκεηξηθνί Α Δ, ε (, ) πξηζηάεη, όπσο είδκε, δεύνο επζεηώ Ζ ιύζε ηνπ ζπζηήκηνο, όη είη δ, πνπ είη ε, δ δ Σε πεξίπησζε δ, ζ ηε ιύζνπκε πξθάησ Μεηά ην πξνζδηνξηζκό ηνπ θέηξνπ Κ, ε (, ) έρεη ιάεη ηε κνξθή (, ) Δ / δ Θ ηε κεηηξέςνπκε, θνύ ζηξέςνπκε ηνπο άμνεο O, O θηά σί ζ θη ιάνπ πηνί ηε ζέζε O, O, ζηε θνηθή ηεο έθθξζε, Δ / δ Ζ ζηξνθή πνπ ζ εθηειέζνπκε δίδεηη, όπσο είδκε πξπάσ ζηε εόηεη Πίθεο, Πξάδεηκ, δίδεηη πό ην ζύζηεκ cosθ s θ l m ην νπνίν ην ξάθνπκε θη σο εμήο: () s θ cosθ l m κε ηίζηξνθν ην ζύζηεκ l m l m, όπνπ, m / l taθ m / l ε θιίζε ηνπ άμν O (η O ) σο πξνο ην άμν O (η O ) Ζ () ξάθεηη, Δ / δ θη ζέινπκε ιάεη πηή ηε κνξθή Θέινπκε, ινηπό, έρνπκε εθ ηπηόηεηνο, ηε ηζόηεη: (l l) (m m) (l l) (m m) Δ / δ (l m ) (l m), ε νπνί ξάθεηη θη, ( l m ) ( l m) ( l m ) ( l m) Δ / δ l m l m

Ζ πξνενύκεε ηζόηεη ίεηη ηπηόηεη, όη η πξθάησ ζπζηήκη έρνπ ιύζε l m l l m l θη () l m m l m mm Οη ηηκέο ησ, πξνζδηνξίδνηη πό ηε ζπζήθε πνπ επηάιεη ζη πξπάσ ζπζηήκη έρνπ ιύζε δηθνξεηηθή ηεο κεδεηθήο Ζ ζπζήθε πηή είη ε det Οη δεηνύκεεο ηηκέο ησ ι πξνζδηνξίδνηη, ζπεπώο, σο ιύζεηο ηεο εμηζώζεσο ( ) ( ) (4) Ζ εμίζσζε πηή, θιείηη ρξθηεξηζηηθή εμίζσζε θη νη ξίδεο ηεο, ρξθηεξηζηηθέο ξίδεο ή ηδηνηηκέο (egevalues) ηεο () Από η ζπζηήκη (), η ηηο ηηκέο ηνπ ι ηηο ηδηνηηκέο ηνπ, πξνζδηνξίδνπκε η ρξθηεξηζηηθά ύζκη ή ηδηνύζκη (egevectors) ( l,m) θη ( l,m) Έρνπκε, ( ) ( ) 4( ), Πξηεξνύκε όηη, ε δηθξίνπζ ( ) 4, θη άξ, νη ηδηνηηκέο είη πξκηηθνί ξηζκνί Δπίζεο, όηη δ Διεπεύνηζη, η Δ, ) δ, Ζ () κεηζρεκηίδεηη, ηειηθά, ζηε Δ / δ θη η Δ /δ, ιίνπκε ηε θνηθή εμίζσζε έιιεηςεο θέηξνπ Κ Γη Δ /δ δε έρνπκε ζην πξκηηθό επίπεδν θκπύιε Οη άμνεο ηεο έιιεηςεο έρνπ ηηο δηεπζύζεηο ησ πζκάησ ( l,m) θη ( l,m), θη η κήθε ησ εκημόσ ηεο είη, δ / Δ θη δ / Δ ) δ, Ζ () κεηζρεκηίδεηη, ηειηθά, ζηε Δ / δ πνπ είη ε θνηθή εμίζσζε ηεο ππεξνιήο θέηξνπ Κ Οη άμνεο ηεο ππεξνιήο έρνπ ηηο δηεπζύζεηο ησ πζκάησ ( l,m) θη ( l,m) ) δ, Κάζε δηεύζπζε πό ην Κ είη ρξθηεξηζηηθή Ζ () είη θύθινο θέηξνπ Κ, Δ /δ Δξρόκζηε, ηώξ, ζηε πεξίπησζε πνπ έρνπκε η ηδηνηηκή ηε ηηκή κεδέ ηε πεξίπησζε πηή, δε πξνζδηνξίδεηη θέηξν ηεο θκπύιεο, κηά θη, ηόηε, δ Δθηεινύκε ζπεπώο ζηε () ηε ζηξνθή () η κεδείζνπκε ην όξν, νπόηε ε () ξάθεηη μ μ, (5), ππνζέηνηο έη όηη είη Σε (5) ηε ζέηνπκε ζηε κνξθή μ μ ν μ, μ, όπνπ ν πνπ είη ε θνηθή εμίζσζε ηεο πξνιήο μ Σέινο, εθηεινύκε ην κεηζρεκηηζκό ν, θη ιίνπκε ηε () ζηε κνξθή, μ K (, ) ΠΆΡΑΓΔΗΓΜΑΣΑ Ζ εμίζσζε 5 8 5 8 8 9, πξηζηάεη ηε έιιεηςε, πνπ εκθίδεηη ζην δηπιό ζρήκ Δδώ, έρνπκε, δ 9, Δ 8, 9, Α O

κεηθέξνπκε ηνπο άμνεο ζην θέηξν ηεο Κ, πηή ζ ιάεη ηε κνξθή 9 Ζ 5 8 5 8 8 9, πξηζηάεη ππεξνιή, εώ ε 4 4 4 7, πξηζηάεη πξνιή Οη ξθηθέο πξζηάζεηο πηώ, δίδνηη ζη πξθάησ ζρήκη Τπεξνιή Πξνιή Ζ θνηθή κνξθή ηεο πξνιήο, ξίζθεηη σο εμήο: 4 Τπνινίδνπκε πξώη ηε δ det ε νπνί δείρεη όηη δε έρεη θέηξν ζπκκεηξίο ε θκπύιε ηε ζπέρεη ππνινίδνπκε ηε σί πεξηζηξνθήο ησ μόσ 4 Δίη det, π όπνπ 5, έρνπκε, δειδή, ηδηνηηκέο θη Σ ρξθηεξηζηηθά δη πνπ ηηζηνηρνύ ζηηο ηδηνηηκέο πηέο, είη, η (, ) 5 θη (, /5) Άξ, έρνπκε ζηξνθή ηνπ Ο άμν θηά σί θ όπνπ tgφ, φ 6,4 θη ηνπ Ο άμν θηά σί cosφ s φ s φ cosφ νπόηε θη φ 5,4 Ζ ζηξνθή δίδεηη πό ηε ζρέζε 5 5 Μεηά ηε ηηθηάζηζε 5 5 4 7 κεηηξέπεηη ζηε (, ) (, ), ε εμίζσζή κο 4 4 5 6 5 5 7 Σε ζρέζε πηή ηε ξάθνπκε σο εμήο: ( 5 ) 6( 5 ) Σέινο, εθηεινύκε ηε κεηθνξά 5 5 θη 5 5 θη ε εμίζσζή κο ίεηη 5 6 5 6 5, ή θη, 5 Κηοπηπικέρ κι άερ ιδιόηηηερ ηων κωνικών ηομών Ο θύθινο, ε έιιεηςε, ε ππεξνιή θη ε πξνιή πξνθύπηνπ, όπσο ζ δνύκε, θη σο ηνκέο επηπέδνπ κε θών Απηό δηθηνινεί ηε ννκζί ηνπο θσηθέο ηνκέο Έο άιινο ηξόπνο ιάνπκε ηηο θκπύιεο πηέο, είη ηηο ζεσξήζνπκε εσκεηξηθνύο ηόπνπο ησ ζεκείσ ηνπ επηπέδνπ, κε ηηο ηδηόηεηεο, πνπ θέξνηη ζη πξθάησ πξνιήκη

ΠΡΟΒΛΖΜΑ Ν ξεζεί ν εσκεηξηθόο ηόπνο ησ ζεκείσ ηνπ επηπέδνπ, ησ νπνίσ ε πόζηζε πό επζεί θη ζεκείν είη ίζε Θέινπκε, δειδή, έρνπκε (MQ) = (MP) Δηζάνπκε έ ζύζηεκ ζπηεηκέσ ζην επίπεδν, έηζη ώζηε ην M ζεκείν Ρ είη πάσ ζην άμν O, θη ν άμνο Q O είη πξάιιεινο πξνο ηε επζεί (ε), θη ηέκεη ην άμν O ζην ζεκείν Ο, κέζν ηνπ ε επζπξάκνπ ηκήκηνο ΡΚ, κήθνπο p p Έρνπκε, ινηπό, P,, M (, ) Ζ εμίζσζε O P p p ηεο (ε) είη, ηόηε, ε Δίη ( MQ) θη p ( MP), άξ, ε εμίζσζε ηνπ ηόπνπ είη ε p, ή p p () Ζ εμίζσζε πηή, είη ε θνηθή εμίζσζε ηεο πξνιήο Ο δεηνύκενο εσκεηξηθόο ηόπνο, είη ζπεπώο, ε πξνιή () Κη ηίζηξνθ, θάζε πάξνιή () έρεη ηε ηδηόηεη η ζεκεί ηεο ηζπέρνπ πό ζηζεξό ζεκείν πνπ ννκάδεηη εζηί ηεο πξνιήο θη έρεη ζπηεηκέεο p p,, θη ζηζεξήο επζείο, κε εμίζσζε ηε, θη ε νπνί ννκάδεηη δηεπζεηνύζ ηεο πάξνιήο Ζ πξάκεηξνο, ηέινο, p, θιείηη εζηηθή πξάκεηξνο θη ν ξηζκόο p/ εζηηθή πόζηζηο ΠΡΟΒΛΖΜΑ Ν ξεζεί ν εσκεηξηθόο ηόπνο ησ ζεκείσ ηνπ επηπέδνπ, ησ νπνίσ ν ιόνο ησ πνζηάζεσ πό επζεί θη ζεκείν είη ζηζεξόο ( = e) Πξνιή: d d ινηπό, M Q Ο F P ( MF) ( c) θη a ( MQ) Άξ, θη e Δηζάνπκε ζην επίπεδν ζύζηεκ ζπηεηκέσ, έηζη ώζηε, ε επζεί θη ην ζεκείν ξίζθνηη a ζηηο ζέζεηο P, e F ( c,) κε c ea (Σ ζεκεί F θη P είη πό ηε ίδη πιεπξά ηνπ άμν O ην ζρήκ εκθίδνπκε κόν ηε + εθινή) Ζ ζπζήθε ηνπ ηόπνπ είη ε (MF) e Έρνπκε, (MQ) ( c) (e a),

ή ( e) a c ή θόκ θη () Γη e δίδεη ηε θνηθή a b εμίζσζε κηάο έιιεηςεο, εώ, η e ηε θνηθή εμίζσζε κηάο ππεξνιήο Γη e c έρνπκε, έη, πξνιή Ο ιόνο e θιείηη εθθεηξόηεο ηεο θκπύιεο Σ ζεκεί a F (c,) θη F ( c,) είη νη εζηίεο ηεο έιιεηςεο (η ππεξνιήο) c ε εζηηθή ηεο (AF) πόζηζε Γη ην ζεκείν Α πνπ ηέκεη ε έιιεηςε ην άμν O ζ έρνπκε όηη, e, (AP) c a π όπνπ είη, Άξ, A ( a,) θη a ην κήθνο ηνπ εκηάμν πηήο Σν ζεκείν e (,b), πνπ ηέκεη ε έιιεηςε ην άμν O, έρεη b εκηάμν πηήο Δίη, ινηπό, θη e a b a c, ην κήθνο ηνπ ΠΡΟΒΛΖΜΑ Ν ξεζεί ν εσκεηξηθόο ηόπνο ησ ζεκείσ ηνπ επηπέδνπ, ησ νπνίσ ην άζξνηζκ (η ε δηθνξά) ησ πνζηάζεσ πό δύν ζεκεί είη ζηζεξό ( = a) Έζησ F, F η δνζκέ ζεκεί ηνπ επηπέδνπ Απηά νξίδνπ θη ην άμν O ησ ζπηεηκέσ Σν άμν O ην θέξνπκε πεξά πό ην κέζν ηνπ επζπξάκκνπ ηκήκηνο F F Ζ εμίζσζε ηνπ ηόπνπ είη ε d d a (), όπνπ d θη ( c) d ( c) Ζ (), κεηά πό κεξηθνύο κεηζρεκηηζκνύο δίδεη ηε θνηθή εμίζσζε ηεο έιιεηςεο (η ππεξνιήο) Τπεξνιή: d d a Έιιεηςε: d d a O Μ F ΠΡΟΒΛΖΜΑ 4 Αθηίο θσηόο πξάιιεινο ηνπ άμν O θισκέε πό ηε πξνιή, δηέξρεηη πό ηε εζηί ηεο Ζ εμίζσζε ηεο εθπηνκέεο ηεο πξνιήο p ζην M (, ), είη ε Y (X ) θη επεηδή p, ε εμίζσζε ηεο εθπηνκέεο είη, Y Xp p ή px Y ( p) Έ θάζεην δηάπζκ ηεο εθπηνκέεο είη ην (p, ) Έ δηάπζκ πνπ έρεη ηε δηεύζπζε ηνπ άμν O είη ην (, ) Ζ

πξνζπίπηνπζ σί είη ινη-πό ε θ κε cosφ p p 4 Ίζε κε πηή είη θη ε σί θιάζεσο Άξ ε δηεύζπζε ηεο θισκέεο θηίο δίδεηη πό ην e, ην νπνίν ζρεκηίδεη κε ην σί θ Α e (e,e ), κε e, ηόηε είη θη p p e cosφ cos φ e p p Δμ άιινπ ην e ζρεκηίδεη κε ην e ep e p σί θ Άξ cosφ, ή e p p θη (p )p (p )p p e p p, ή e p p e Ζ εμίζσζε ηεο επζείο πνπ πεξά πό ην Μ θη έρεη δηεύζπζε e είη ε (X )(p (Y )(p ή p p ) ην άμν O ζην ζεκείν ( X,) Δίη, ινηπό, ) X ή p p X p Y p X e Y e Ζ επζεί πηή, ηέκεη, ή θη p p p p p p p p X, πνπ είη ε εζηηθή πόζηζε ηεο p p p πξνιήο ΠΡΟΒΛΖΜΑ 5 Μί θσηεηή θηίο πνπ μεθηά πό ηε κί εζηί ηεο έιιεηςεο, θισκέε επ πηήο, ζ δηέιζεη πό ηε άιιε εζηί Έζησ ε έιιεηςε θη M (, ) ην ζεκείν πξνζπηώζεσο ηεο θηίνο a b F M Ζ εμίζσζε ηεο εθπηνκέεο ηεο έιιεηςεο ζην ζεκείν Μ, είη ε M F F Y b f ( ) κε f ( ) X a Έρνπκε, ινηπό, εμίζσζε εθπηνκέεο ζην ζεκείν Μ ηε b X a Y (a b ) θη ζπεπώο, ην θάζεην ζ πηή δηάπζκ (b,a ) Αξθεί δείμνπκε όηη ην δηρνηνκεί ηε σί F MF Πξάκηη, ε επζεί F M έρεη Y εμίζσζε θη ε MF έρεη X c εμίζσζε ηε Y X Κηά κήθνο c

πηώ ξίζθνηη η δηύζκη e ( c, ) θη e ( c, ) Πξηεξνύκε όηη e b( c) a b( c) a e e ( c) ( c) e πξκεηξηθέο εμηζώζεηο ηεο έιιεηςεο, κπνξνύκε ιάνπκε ηηο a cosθ, bs θ όπνπ ζ ε σί ΜΟ Α ππνζέζνπκε όηη a b, ηόηε, ε έιιεηςή κο εθισίδεηη άκεζ ζε δύν θύθινπο κε θηίεο b θη a Α ην ζεκείν K (, ) είη ζεκείν ηνπ εμσηεξηθνύ θύθινπ a cosθ, a s θ ην ζεκείν M (,) b όπνπ είη ζεκείν ηεο έιιεηςεο a Ο ξκκηθόο κεηζρεκηηζκόο (, ) (,) ή έρεη νξίδνπζ, είη δειδή, έ πξνο έ, θη πεηθνίδεη ην εμσηεξηθό θύθιν πάσ ζηε έιιεηςε Ζ πξηήξεζε πηή, κο επηηξέπεη ππνινίζνπκε ην εκδό ηεο έιιεηςεο, κη θη πηό είη ην εκδό ηνπ θύθινπ πνιιπιζηζκέν κε ηε νξίδνπζ ηνπ κεηζρεκηηζκνύ πεπώο, ην εκδό ηεο έιιεηςεο είη, πa πa πab O P ξ ζ M(ξ,ζ) 5 Αο δνύκε, ηέινο, ηη κνξθή ιίνπ νη θνηθέο εμηζώζεηο ησ πξπάσ θσηθώ ηνκώ, ρξεζηκνπνηήζνπκε, όπσο ίεηη ζηε ζηξννκί επί πξδείκηη, πνιηθέο ζπηε-ηκέεο Γηά ηε πάξνιή p, σξίδνπκε όηη ε πόζηζε ηνπ ηπρόηνο ζεκείνπ Μ πηήο πό ηε εζηί ηεο είη, (ιέπε Πξόιεκ ) p p ρ (MP) Δμ άιινπ είη θη p ρcosθ p Άξ θη ρ () cosθ Αηίζηξνθ, ηζρύεη ε (), η ζεκεί ηνπ επηπέδνπ πνπ ηε πιεξνύ, ηζπέρνπ πό ζεκείν M(ξ,ζ) θη επζεί Άξ ν εσκεηξηθόο ηνπο ηόπνο είη πξνιή Ζ () είη, ινηπό, ε εμίζσζε ηεο πξνιήο ζε πνιηθέο ζπηεηκέεο ζ Γη ηε έιιεηςε F O F, a b έρνπκε όηη, a b (ιέπε Πξόιεκ ), c ρcosθ Δμ άιινπ είη, ( MF) e(mq) ή θη, ρ a e

6 Άξ θη ρ p ecosθ (), όπνπ έρνπκε ζέζεη p a ac Eξρόκζηε, ηέινο, ζηε ππεξνιή, a b a b Έρνπκε όηη, (ιέπε Πξόιεκ ), c ρcosθ θη ρ e a Άξ θη ρ p ecosθ () O Πξηεξνύκε όηη νη εμίζσζε () πξηζηά ππεξνιή, έιιεηςε ή πξνιή, ηίζηνηρ, είη e, e, e Οπιζμόρ Ο εσκεηξηθόο ηόπνο ησ κέζσ ησ πξιιήισ ρνξδώ νηζδήπνηε θσηθήο, θιείηη δηάκεηξνο ηεο θσηθήο X O X Γη ηε έιιεηςε, θιέζνπκε a b θ ηε θιίζε ηεο ρνξδήο ηεο X OX όπνπ Ο ην θέηξν ηεο έιιεηςεο θη X (, ), X (, ) η άθξ ηεο ρνξδήο, ε δέζκε ησ πξιιήισ πξνο πηή ρνξδώ δίδεηη πό ηε εμίζσζε ε: κ ( κ ) Σ ζεκεί ηνκήο ηεο ε: θη ηεο έιιεηςεο πιεξνύ ηε ζρέζε, ή θη a b b a ( κ ) a b ή (b a κ ) a κ a ( b ) Οη ξίδεο ηεο X O X εμηζώζεσο πηήο, δίδνπ η ζεκεί X θη X Σν κέζν ηεο ρνξδήο XX είη ην M (, μ ), Σν άζξνηζκ ησ ξηδώ μ a κ a κ b θη άξ, μ θη μ κ μ b a κ b a κ b a κ μ b Πξηεξνύκε όηη ν ιόνο εμξηάηη κόν πό ηε θιήζε θ ηεο ρνξδήο a κ μ b X OX ι ζπεπώο η ζεκεί Μ θείηη επί ηεο επζείο a κ

7 Γη ηε πξνιή ρνξδώ p, ε δηάκεηξνο έρεη εμίζσζε p κ, θ ε θιήζε ησ πξιιήισ b Γη ηε ππεξνιή, ε δηάκεηξνο έρεη εμίζσζε, θ ε θιήζε ησ a b a κ πξιιήισ ρνξδώ Ζ εμίζσζε ηεο ππεξνιήο δίδεηη ζπήζσο πό ηε έθθξζε a Γη ηε κεηηξέςνπκε ζηε θνηθή ηεο έθθξζε, εθηεινύκε ηε ζηξνθή,, νπόηε θη a Ονομηοοί κμπύων δεςηέπος θμού Ζ θκπύιε δεπηέξνπ ζκνύ F (, ) ζηε θνηθή ηεο έθθξζε, ιίεη ηε κνξθή: Πξκηηθή έιιεηςε: a b, a b Φηζηηθή έιιεηςε: a b, a b Εεύνο ηεκνκέσ θηζηηθώ επζεηώ:, a b θη a b a b 4 Τπεξνιή: a b, a b 5 Εεύνο ηεκνκέσ επζεηώ:, a b θη a b a b 6 Πξνιή: p, p 7 Εεύνο πξκηηθώ πξιιήισ επζεηώ: b, b 8 Εεύνο θηζηηθώ πξιιήισ επζεηώ: b 9 Γύν ηπηηδόκεεο επζείεο, b 4 Οι Νόμοι ηος Kepler Υξεζηκνπνηόηο ηηο κεζόδνπο ηνπ δηθνξηθνύ θη ηνπ νινθιεξσηηθνύ ινηζκνύ, ζ πάξνπκε ηνπο όκνπο ηνπ Kepler, πνπ θέξνηη ζηε θίεζε ησ πιεηώ, σο ζπέπεη ησ όκσ ηνπ Newto, ζηε θίεζε ησ ζσκάησ κέζ ζε έ ξπηηθό πεδίν δπκηθνύ U r Θεσξνύκε ζύζηεκ Κξηεζηώ ζπηεηκέσ κε ξρή ην ζεκείν Ο, πάσ ζην Ήιην, η ην νπνίν δερόκεζ όηη είη έ ζηζεξό πιηθό ζεκείν κε κάδ Μ Δζησ Ρ ε ζέζε ηε νπνί θηέρεη θάπνηνο πιήηεο κε κάδ m, ηε ρξνηθή ζηηκή t Από ηε έθθξζε ηνπ όκνπ ηεο Πθνζκίνπ Διμεσο ηνπ Newto, σξίδνπκε όηη ην ε δύκε F mm r, κε ηε νπνί ν πιήηεο έιθεηη πό ην ήιην είη, όπνπ F r OP, θη r (OP), ε πόζηζε ηνπ Ρ πό ην Ο Ζ F εθξκόδεηη ζην Ρ, έρεη Mm G θνξέ ηε επζεί ΟΡ, κέηξν F, G ζηζ,θη δηεύζπζε πάηνηε πξνο r r ην Ο (θεηξηθή δύκηο) Από ην ενόο πηό, έπεηη όηη ε θίεζε ίεηη πάσ ζε έ επίπεδν Πξάκηη, ν δεύηεξνο όκνο ηνπ Newto η ηε θίεζε ησ ζσκάησ r r

είη ν F ma, όπνπ F ε δύκηο πνπ εθξκόδεηη επί ηνπ ζώκηνο κάδεο m θη a G ε επηηάρπζε ηνπ πιηθνύ ζεκείνπ m Δίη, ινηπό, e a r όπνπ e r κνδηίν r δηάπζκ θηά κήθνο ηεο πζκηηθήο θηίο, Πξηεξνύκε όηη, d dr d r dr dr dr dr dr r r r a, δειδή, r ζηζ c θη, dt dt dt dt dt dt dt dt ζπεπώο, ε θίεζε ηνπ πιηθνύ ζεκείνπ ίεηη επί επηπέδνπ θζέηνπ πξνο ην ζηζεξό δηάπζκ c Μπνξνύκε ζπεπώο ππνζέζνπκε όηη νη άμνεο O, θη O ηνπ ζπζηήκηόο κο, ξίζθνηη πάσ ζην επίπεδν πηό Πεξάκε ζε πνιηθέο ζπηεηκέεο νπόηε νη πξννιέο 8 (t), (t) ηνπ Ρ είη, (t) r(t) cosθ (t), (t) r(t)s θ (t) θη νη πξννιέο ηεο F είη F (t) Fcosθ (t) θη F (t) Fs θ (t) Από ην δεύηεξν όκν ηνπ Newto πξνθύπηνπ νη εμηζώζεηο d d F m Fcosθ θη F m Fs θ, πνιιπιζηάδνπκε ηε πξώηε επί, dt dt ηε δεύηεξε επί, θη ζρεκηίδνπκε ηε δηθνξά ηνπο, νπόηε θη, O r+dr r dr F d d F m dt dt d m dt d dt d dt d Fcosθ Fs θ d Δίη, ινηπό, ζηζ Ζ έθθξζε πνπ dt dt εκθίδεηη ζην ξηζηεξό ζθέινο ηεο εμηζώζεσο πηήο, είη ε έθθξζηο ηνπ ζηνηρεηώδνπο εκδνύ da Πξάκηη, έρνπκε, da r dr (d d) (d d) (d d) j Ο κόνο όξνο πνπ δηζώδεηη είη ν πξώηνο, κη θη da d d Άξ, ζηζ h (), dt dt dt Από θξηεζηέο ζπηεηκέεο (, ), πεξάκε ζε πνιηθέο ( r, θ ) : d dθ dr d dθ dr rcosθ, rs θ, r s θ cosθ, r cosθ s θ θη ε () dt dt dt dt dt dt da dθ dr dθ dr ίεηη, r s θ r s θ cosθ r cos r cosθ s θ ή dt dt dt dt dt da d r θ ή dθ r v r h () dt dt dt Άξ, ην εκδό πνπ δηξάθεη ε επηηηθή θηί, είη άιννο ηνπ ρξόνπ Ζ πξόηζε πηή, πνηειεί ην πξώην όκν ηνπ Kepler Σ εκδά, πνπ δηξάθνηη πό ηε επηηηθή θηί ζε ίζνπο ρξόνπο, είη ίζ d d Ζ έθθξζε ηεο ηρύηεηο v j θη ηεο επηηάρπζεο dt dt πνιηθέο ζπηεηκέεο πξνθύπηεη σο εμήο: d dt d dt a j ζε

Δίη r j r(cosθ s θj) dr dr dθ Άξ θη (cosθ s θj) r( s θ cosθj) Πξηεξνύκε όηη η dt dt dt δηύζκη e r cosθ s θj θη eθ s θ cosθj είη κνδηί θάζεη dr dr dθ Έρνπκε, ινηπό er r e θ Σν κέηξν ηεο ηρύηεηο v ζε πνιηθέο dt dt dt dr dθ ζπηεηκέεο είη v r Γη ηε επηηάρπζε έρνπκε dt dt d r d r dr der dr dθ d θ dθ deθ er e r e r θ θ dt dt dt dt dt dt dt dt dt de d d Δίη r θ θ de d d θ θ θ s θ cosθ j θη cosθ s θ j dt dt dt dt dt dt de d Πξηεξνύκε όηη, e r θ deθ dθ θ θη er dt dt dt dt d r d r dr der dr der d θ dθ Άξ e r r e r e θ r dt dt dt dt dt dt dt dt ή d r d r dθ d θ dr dθ r er r e θ () dt dt dt dt dt dt Γη ξνύκε ηε ηξνρηά πνπ δηξάθεη ην πιηθό ζεκείν m ππό ηε επίδξζε ηεο d dθ dr dθ d θ θεηξηθήο δύκεο F, πό ηε () έρνπκε ηε r r r (4) dt dt dt dt dt d r d r dθ νπόηε ε () ίεηη, r e r, ή θη dt dt dt d r dt e θ d r dt r dθ dt e r e θ, κη θη η δηύζκη e r θη e θ είη θάζεη dθ dθ h Ζ (4) εμ άιινπ δίδεη ηε r ζηζ h ή Οη ζπηεηκέεο ζπεπώο dt dt r G ηεο δύκεο F ma, e a r, ξάθνηη, r d G cosθ dθ m F (t) Fcosθ (t) G cosθ θη dt r dt d G s θ dθ m F (t) Fs θ (t) G s θ dt r dt d d Οινθιεξώνπκε κί θνξά θη έρνπκε, G s θ A, θη G cosθ dt dt d d Αηηθζεζηνύκε ζηε ζηζ, (G cosθ ) (G s θ A) μ dt dt ή cosθ s θ μ A ή r μ r cosθ A rs θ 9

4 μ ή cosθ A s θ ή r r μ A cosθ s θ (4) Ζ (4) είη εμίζσζε θσηθήο ηνκήο Ζ εθθεηξόηεο e ππνινίδεηη πό ην ζύζηεκ μ ecosω A, esω Ζ (4) ηόηε ξάθεηη r (5), e(cos( ω θ)) κε e A Από ηε (5) η e, πξνθύπηεη ν δεύηεξνο όκνο ηνπ Kepler: Οη ηξνρηέο ησ πιεηώ είη ειιείςεηο, ηε κί εζηί ησ νπνίσ θηέρεη ν Ήιηνο Ο κεάινο εκηάμνο a ηεο έιιεηςεο πξνθύπηεη πό ηε (5) ζέζνπκε ω θ θη ω θ π θη ιάνπκε ην εκηάζξνηζκ ησ πξνθππηνπζώ ηηκώ Δίη μ μ μ a e e e Ο ηξίηνο όκνο ηνπ Kepler: : Σν ηεηξάσν ηνπ ρξόνπ πεξηθνξάο είη άινν κε ην θύν ηνπ κεάινπ άμν ηεο ηξνρηάο, έπεηη σο εμήο: Α Α ην εκδό ηεο έιιεηςεο, A πab θη πό ην πξώην όκν ηνπ Kepler είη, A T όπνπ Σ ν πab a μ ρξόνο πεξηθνξάο Άξ, T θη επεηδή b a ( e ), έρνπκε, ηειηθά, π T a, κε ηε ζηζεξά μ 5 Τεηπωνικέρ επιθάνειερ ζηον σώπο Έ ζύνιν ζεκείσ ηνπ επθιείδεηνπ ρώξνπ R, ιέκε όηη ζρεκηίδεη κί επηθάεη, η ζεκεί ηνπ ζπόινπ πιεξνύ ηε εμίζσζε F (,,) (Κξηεζηή κνξθή) ή ηε φ (, ) (κνξθή ηνπ Moge) ή ην δηπξκεηξηθό ζύζηεκ f(p,q), (κνξθή Gauss) Γη πξάδεηκ ε επηθάεη κηάο ζθίξο θέηξνπ Ο θη θηίο R, είη δπηό κειεηεζεί ζηε κνξθή R (θξηεζηή) ή R (Moge), ή R cosθcosφ, R cosθs φ θη Rs θ (Gauss) Πξηεξνύκε όηη, ε πιείθνπζ ηνπ ζπζηήκηνο (κνξθή Gauss) είη ε θξηεζηή έθθξζε ηεο επηθάεηο Ζ πινύζηεξε έθθξζε, πνπ κπνξεί ιάεη ε F, είη ε πνιπσπκηθή θη π πηή, πηή ηνπ πξσηνζκίνπ πνιπσύκνπ σο πξνο, θη Με ηε πεξίπησζε πηή ζρνιεζήθκε ζηηο πξνενύκεεο πξξάθνπο Θ εμεηάζνπκε, ηώξ, ηε πεξίπησζε πνπ ε F είη έ πνιπώπκν δεπηέξνπ ζκνύ σο πξνο,, Σςμοιζμόρ Σν ηπρό ζεκείν (,,) ηνπ ρώξνπ, ζ ην ζπκνιίδνπκε κε,, ) ( Θεσξνύκε, ινηπό, ηε ηεηξσηθή κνξθή: (,, ) 4 4 4 44 () πηή δηθξίνπκε έ νκνεέο θη ζπκκεηξηθό δεπηεξνάζκην ηκήκ, πνπ είη ην Σν ηκήκ πηό, κπνξνύκε ην ξάθνπκε θη σο (,, ) T

4 όπνπ ν A ( ) είη έο ζπκκεηξηθόο πίθο j Έ πξσηνάζκην ηκήκ, ην 4 4 4, θη ην ζηζεξό όξν 44 Με κί πξάιιειε κεηθνξά ησ μόσ O, O, O ζηε ζέζε (,, ) είη δπηό, θνύ πξνζδηνξίζνπκε θηάιιει ην θέηξν K (,, ) ηεο επηθάεηο, κεδείζνπκε ην πξσηνάζκην ηκήκ ηεο () Πξάκηη, εθηειέζνπκε ηε πξάιιειε κεηθνξά ε (), κεηά πό κεξηθέο πξάμεηο, κεηζρεκηίδεηη ζηε (,, ) όπνπ δ det ( ( (, θη 4 4 4 ) ) ) 4 Δ / δ 4 4 4 44 () 4 Δ det, κε j 4 j j, Ππηήπηζη Οη πίθεο δ θη Γ είη ζπκκεηξηθνί Α Δ, ε (,, ) πξηζηάεη θών κε θνξπθή ην Ο Ζ ιύζε (,, ) ηνπ ζπζηήκηνο, όη δ, δίδεη ην θέηξν Κ ηεο επηθάεηο ηε ζπέρεη, εθηεινύκε κί πεξηζηξνθή ηνπ ζπζηήκηνο ζπηεηκέσ K, έηζη ώζηε, όη πηό ιάεη ηε έ ζέζε K, ε εμίζσζε ηεο επηθάεηο () ιάεη ηε θνηθή ηεο έθθξζε (,, ) Δ / Σνύην δ επηηπράεηη σο εμήο : Κη ξρή, θιέζνπκε, j, η κνδηί δηύζκη πνπ δίδνπ ηηο δηεπζύζεηο ησ μόσ K,K, K θη, j, η κνδηί δηύζκη πνπ δίδνπ ηηο δηεπζύζεηο ησ μόσ K,K, K, ηηζηνίρσο, ηόηε, νη ζπηεηκέεο εόο ζεκείνπ Μ ηνπ ρώξνπ ζη ζπζηήκη K θη K πνπ είη νη (,, ) θη (,, ) ηίζηνηρ, ζ πιεξνύ ηε ηζόηεη j j (), κηά θη θάζε κέινο ηεο ηζόηεηο πηήο, εθθξάδεη ην δηάπζκ KM ηηζηνίρσο ζη ζπζηήκη K θη K Δίη, όκσο, ( ) ( j) j ( ), j ( j ) ( j j) j ( j ), 4 4 4

( ) ( j) j ( ) ή (ιέπε θη πξάξθν 8, ζει 7) j, j j, () j Σηο ηηκέο () ησ, j, ηηο ηηθζηζηνύκε ζηε ηζόηεη () θη ηειηθά ιίνπκε όηη, ή, ζπνπηηθά, C T Δπεηδή ν πίθο ησ ζπεκίηνσ C είη όπσο είδκε νξζνώηνο, ν ηίζηξνθνο κεηζρεκηηζκόο ηνπ () είη ν C, ή ιπηηθά, πηόο πνπ δίδεηη πό ην ζύζηεκ Πξηεξνύκε όηη, ε ζρέζε CC T I, δίδεη ηε det C, π όπνπ είη θη det C Σν πξόζεκν ηεο νξίδνπζο ηνπ πίθ C, ρξθηεξίδεη ην πξνζηνιηζκό ηνπ ρώξνπ Θ πξέπεη, ινηπό, πξνζέρνπκε, ώζηε κεηά ην κεηζρεκηηζκό κο, ν ρώξνο κε έρεη ιιάμεη πξνζηνιηζκό Θ πξέπεη δειδή, έρνπκε det C Δπεξρόκεζ, ηώξ, ζηε επηθάεηά κο, πνπ έρεη ιάεη ηε κνξθή,, ) Δ /, ( δ θη ηε νπνί ζέινπκε ηε κεηζρεκηίζνπκε ζηε (,,) Δ / δ ηπηόηεηνο, () 4 Θέινπκε, δειδή, έρνπκε εθ Δξδόκζηε, ηώξ, όπσο θξηώο ζηε πεξίπησζε ησ θσηθώ ηνκώ (ιέπε ζει 7) θη θηιήνπκε ζη ζπζηήκη (,, Γη έρνπκε ιύζε ), ζ πξέπεη είη det( C Ι) Οη ηξεηο ξίδεο ηηο εμηζώζεσο πηήο, δίδνπ ηηο ηξεηο ηηκέο, κε ηε νήζεη ησ νπνίσ ζηε ζπέρεη πξνζδηνξίδνπκε, (όη πηό είη δπηό), η ζπεκίην θηεπζύζεσο πνπ πνηεινύ ην πίθ C, ξίζθνπκε, δειδή, ηηο δηεπζύζεηο ησ μόσ K,K, K ζε ζρέζε κε ηνπο άμνεο K,K, K ΠΆΡΑΓΔΗΓΜΑ Ζ εμίζσζε 7 6 5 4 4 8 () ζηεξείηη πξσηνζκίνπ ηκήκηνο Μεδείδνπκε, ζπεπώο, ηνπο όξνπο 4 θη 4 Πξνο ηνύην, ζρεκηίδνπκε ηε ρξθηεξηζηηθή εμίζσζε 7 6 5

4 θη ξίζθνπκε ηηο ξίδεο ηεο, πνπ είη νη, 6, 9 Ζ () κεηζρεκηίδεηη ζπεπώο ζηε 6 9 8, πνπ ξάθεηη θη 6 πνπ είη θη ε θνηθή εμίζσζε ηεο () Πξόθεηηη, ινηπό, η έ ειιεηςνεηδέο κε εκηάμνεο a 6, b, c Α ζέινπκε ξνύκε ηηο δηεπζύζεηο ησ έσ (ηννύκεσ) μόσ ζε ζρέζε κε ηνπο ξρηθνύο, ζρεκηίδνπκε ην ζύζηεκ (7 ) (6 ) Γη,6, 9, όη είη,, ηίζηνηρ, ην πξπάσ ζύζηεκ δίδεη η εμήο ζπεκίην ησ σηώ, πνπ ζρεκηίδνπ νη ένη ηννύκενη άμνεο κε ηνπο ξρηθνύο: (5 ) O O O O / / / O / / / O / / / Ονομηοοί επιθ δεςηέπος θμού Μί επηθάεη δεπηέξνπ ζκνύ F (,,) έρεη θέηξν, ννκάδεηη ειιεηςνεηδέο, όινη νη ζπηειεζηέο είη νκόζεκνη (πρ ζεηηθνί) Α είη θη ίζνη, ηόηε θιείηη ζθίξ Ζ θνηθή εμίζσζε εόο ειιεηςνεηδνύο είη ε, όπνπ a b c a b c ηε πεξίπησζε, πνπ έρνπκε, ην a b c ειιεηςνεηδέο κο είη θηζηηθό Α έρνπκε κί κεηνιή ζην πξόζεκν ησ ζπηειεζηώ, ε επηθάεη θιείηη ππεξνινεηδέο πιό (κνόρσν) Ζ θνηθή ηνπ εμίζσζε είη πρ ε Α έρνπκε δύν a b c κεηνιέο ζην πξόζεκν ησ ζπηειεζηώ, ιίνπκε έ ππεξνινεηδέο δηπιό (δίρσν) Ζ θνηθή ηνπ εμίζσζε είη πρ ε a b c Κών έρνπκε όπσο είδκε, όινη νη ζπηειεζηέο είη κε κεδεηθνί θη ν ζηζεξόο όξνο είη κεδέ Α ε θνηθή ηνπ εμίζσζε ηνπ θώνπ έρεη ηε κνξθή, κε a b c θη a b c, ν θώνο εθθπιίδεηη ζηε θνξπθή ηνπ, a b c

44 ην ζεκείν (,,) Πξκηηθό θών έρνπκε κόν ζηε πεξίπησζε πνπ δε είη όινη νη ζπηειεζηέο νκόζεκνη, πρ είη ηε πεξίπησζε πνπ έο πό ηνπο a b c ζπηειεζηέο είη κεδεηθόο θη ν ζηζεξόο όξνο είη κε κεδεηθόο, ε επηθάεηά κο είη έο θύιηδξνο, ειιεηπηηθόο ή ππεξνιηθόο, άιν κε ην νη ζπηειεζηέο είη νκόζεκνη ή εηεξόζεκνη Α, ηέινο, δε ππάξρεη θέηξν, έρνπκε πξνινεηδέο ππεξνιηθό πξνινεηδέο ειιεηπηηθό πξνινεηδέο Σνύην είη δπηό είη ππεξνιηθό πξνινεηδέο, κε θνηθή εμίζσζε, ή ειιεηπηηθό πξνινεηδέο κε θνηθή εμίζσζε ηε p q p q Α, ηέινο, ε επηθάεηά κο ζε θάπνην θξηεζηό ζύζηεκ θνξάο έρεη ηε κνξθή, a b ή a b a b, a b, θιείηη ειιεηπηηθόο, ηηζηνίρνο ππεξνιηθόο θνίιπδξνο Διιεηπηηθόο θνίιπδξνο Τπεξνιηθόο θνίιπδξνο 6 Επιθάνειερ εκ πεπιζηποθήρ ε θάζε έ πό η πξθάησ πξνιήκη, δεηάκε ξνύκε κί ζρέζε ηεο κνξθήο F (,,) ή φ (, ) ηε νπνί πξέπεη πιεξνύ η ζεκεί M(,, ) ηεο δεηνπκέεο επηθάεηο ΠΡΟΒΛΖΜΑ Ν ξεζεί ε επηθάεη πνπ πξάεηη, όη ε έιιεηςεο 4 6 πεξηζηξθεί πεξί ην O άμν Λύζε Ζ έιιεηςε θείηη επί ηνπ O επηπέδνπ, κε θέηξν ην ζεκείν Ο Σν ηπρό