ΛΥΜΕΝΕΣ ΣΚΗΣΕΙΣ ΆΣΚΗΣΗ 1 Η διάμεσος τιμή της ηλικίας των Ελλήνων το 1990 ήταν 30 έτη. Το 2001, η διάμεσος τιμή ήταν 33,1 (Πηγή:Ε.Σ.Υ.Ε.). a. Τι μπορεί να συνέβη όταν η διάμεσος αυξήθηκε; Το γεγονός ότι η διάμεσος αυξήθηκε από το 1991 ως το 2001 σημαίνει ότι προστέθηκαν επιπλέον τιμές στα δεξιά της αρχικής διαμέσου (υψηλές τιμές) ή ότι αφαιρέθηκαν τιμές από τα αριστερά της διαμέσου (χαμηλές τιμές). b. Δώστε δύο πιθανούς λόγους αύξησης της διαμέσου. - Ένας πιθανός λόγος για την αύξηση της διαμέσου η μείωση των γεννήσεων (υπογεννητικότητα). - Ένας άλλος λόγος θα μπορούσε να είναι η αύξηση του προσδόκιμου ζωής. c. Ένας φοιτητής ισχυρίζεται επίμονα ότι λόγω της αύξησης της διαμέσου, ο πληθυσμός των παιδιών είναι μικρότερος το 2001 απ ότι ήταν το 1991. Έχει δίκιο; ιτιολογήστε την απάντησή σας. Κάτι τέτοιο θα μπορούσε να ισχύει αν η αύξηση της διαμέσου ήταν αποκλειστικό αποτέλεσμα π.χ. της μείωσης των γεννήσεων, αλλά αυτό δεν συμβαίνει κατ ανάγκη, διότι οι γεννήσεις μπορεί να μειώνονται αλλά ταυτόχρονα μπορεί να αυξάνεται και το προσδόκιμο ζωής, να εισέρχονται μετανάστες στη χώρα κλπ. ΆΣΚΗΣΗ 2 Οι δύο ερωτήσεις που ακολουθούν αναφέρονται στον παρακάτω πίνακα, ο οποίος περιγράφει τα χρόνια που ζουν στην λεξανδρούπολη οι 20 εκπαιδευτικοί ενός σχολείου. Έτη Συχνότητες 7 1 14 3 15 1 18 1 19 4 20 3 22 1 23 1 26 1 40 2 42 2 [1]
α. Ποια είναι η τιμή του ενδοτεταρτημοριακού εύρους; a. 8 b. 11 c. 15 d. 35 β. Ποιά είναι η επικρατούσα τιμή; a. 19 b. 19,5 c. 14 και 20 d. 22,65 ΆΣΚΗΣΗ 3 Η ανάρρωση ενός μαθητή από τη γρίπη κατανέμεται κανονικά με μέσο όρο 5,3 μέρες και τυπική απόκλιση 2,1 μέρες. Ποια είναι η διάμεσος του χρόνου ανάρρωσης; α. 2,7 β. 5,3 γ. 7,4 δ. 2,1 Ποια είναι η τυπική () τιμή για έναν ασθενή μαθητή που θα αναρρώσει μετά από 10 μέρες; α. 1,5 β. 0,2 γ. 2,2 δ. 7,3 Επεξήγηση: α. Στην περίπτωση της Κανονικής Κατανομής ισχύει η σχέση Χ =Μ= Τ λόγω συμμετρίας, οπότε η διάμεσος θα είναι ίση με τη μέση τιμή. β. Χρησιμοποιήθηκε ο τύπος μετατροπής ενός βαθμού σε τυπικό (-βαθμό). ΆΣΚΗΣΗ 4 Έστω ότι είστε μέλος μιας επιτροπής που καλείται να αξιολογήσει σύμφωνα με την τελική τους επίδοση τρεις μαθητές που αποφοίτησαν από τρία σχολεία με διαφορετικό σύστημα βαθμολόγησης. Δίνεται η τελική επίδοση κάθε μαθητή, και η μέση τιμή και η τυπική απόκλιση της επίδοσης των μαθητών του σχολείου όπου φοιτούσε. Μαθητής Τελική Επίδοση Μαθητή Μέση Επίδοση Σχολείου Τυπική απόκλιση Επίδοσης Σχολείου Γιώργος 2,7 3,2 0,8 Πέτρος 87 75 20 ννούλα 8,6 8 0,4 α) Σε ποιό σχολείο ήταν πιο διεσπαρμένη η κατανομή βαθμολογίας; Έστω, Β, Γ τα τρία σχολεία. Για να συγκριθεί η διασπορά των τριών κατανομών βαθμολογίας θα υπολογιστεί ο συντελεστής μεταβλητότητας (Coefficient of Variation-CV) για τις τρεις κατανομές. [2]
σ 0,8 CV A = = = 0,25, σ 20 CV B = Β = = 0, 26, σγ 0,4 CV Γ = = = 0, 05 Χ 3,2 Χ 75 Χ 8 Συμπερασματικά, πιο διεσπαρμένη είναι η κατανομή βαθμολογίας του σχολείου B. Β β) Ποιός μαθητής είχε την καλύτερη επίδοση λαμβάνοντας υπόψη την μέση επίδοση στο σχολείο όπου φοιτούσε; Εξηγήστε την απάντησή σας αριθμητικά. Για να βρούμε τον μαθητή με την καλύτερη επίδοση πρέπει πρώτα να μετατρέψουμε τους αρχικούς βαθμούς σε τυπικούς βαθμούς. Οι τυπικοί () βαθμοί για κάθε μαθητή υπολογίζονται ως εξής: Γιώργος = X Γιώργος σ Χ 2,7 3,2 0,5 = = = 0,62, ο βαθμός του Γιώργου είναι 0,62 τυπικές 0,8 0,8 αποκλίσεις μικρότερος από το μέσο βαθμό του σχολείου του. Χ X Πέτρος Β 87 75 12 Πέτρος = = = = σβ 20 20 μεγαλύτερος από το μέσο βαθμό του σχολείου του. Χ 8,6 8 0,6 = = 0,4 0,4 X ννούλα Γ ννούλα = = σγ μεγαλύτερος από το μέσο βαθμό του σχολείου της. Άρα η ννούλα είχε την καλύτερη επίδοση. 0,6, ο βαθμός του Πέτρου είναι 0,6 τυπικές αποκλίσεις 1,5, ο βαθμός της ννούλας είναι 1,5 τυπικές αποκλίσεις ΆΣΚΗΣΗ 5 Η τάξη ενός δημοτικού σχολείου έτρεξε 1km σε 11 λεπτά κατά μέσο όρο με τυπική απόκλιση 3 λεπτά. Ο Κωστάκης, ένας μαθητής της τάξης, έτρεξε 1km σε 8 λεπτά. Η τάξη ενός γυμνασίου έτρεξε 1km σε 9 λεπτά κατά μέσο όρο, με τυπική απόκλιση 2 λεπτών. Ο Γιωργάκης, ένας μαθητής της τάξης, έτρεξε 1Km σε 8,5 λεπτά. Μια τάξη λυκείου έτρεξε 1km σε 7 λεπτά κατά μέσο όρο με τυπική απόκλιση 4 λεπτά. Η λέκα, μιας μαθήτρια της τάξης έτρεξε 1Km σε 8 λεπτά. a. Γιατί ο Γιωργάκης θεωρείται ταχύτερος από την λέκα, παρόλο που η λέκα έτρεξε το χιλιόμετρο πιο γρήγορα απ αυτόν; Παρατηρούμε ότι ο Γιωργάκης έτρεξε 0,5 λεπτό ταχύτερα από τον μέσο όρο της τάξης του (9 λεπτά), ενώ η λέκα έτρεξε 1 λεπτό αργότερα από τον μέσο όρο της τάξης της (7 λεπτά). Κατά συνέπεια, ο Γιωργάκης μπορεί να θεωρηθεί ταχύτερος από την λέκα υπό την προϋπόθεση ότι θα ληφθούν υπόψη οι επιδόσεις της τάξης όπου ανήκει ο καθένας. b. Ποιός από τους τρεις είναι ο ταχύτερος μαθητής αν ληφθεί υπόψη η επίδοση της τάξης. ιτιολογήστε την απάντησή σας. Γ [3]
Έστω, Β, Γ οι τρεις τάξεις. Για να βρούμε τον ταχύτερο μαθητή πρέπει πρώτα να μετατρέψουμε τους αρχικούς χρόνους σε τυπικούς. Οι τυπικοί () χρόνοι για κάθε μαθητή υπολογίζονται ως εξής: Κωστάκης = X Κωστάκης σ Χ 8 11 3 = = = 1, ο βαθμός του Κωστάκη είναι 1 τυπική 3 3 απόκλιση μικρότερος από το μέσο χρόνο της τάξης του. X Γιωργάκης ΧΒ 8,5 9 0,5 Γιωργάκης = = = = 0,25, ο βαθμός του Γιωργάκη είναι 0,25 σ 2 2 Β τυπικές αποκλίσεις μικρότερος από το μέσο χρόνο της τάξης του. ΣΚΗΣΗ 6 X λέκα ΧΓ 8 7 1 λέκα = = = = σγ 4 4 αποκλίσεις μεγαλύτερος από το μέσο χρόνο της τάξης της. 0,25, ο βαθμός της λέκας είναι 0,25 τυπικές Άρα ο Κωστάκης είναι ο ταχύτερος αν ληφθεί υπόψη η επίδοση της τάξης. Ένας ερευνητής θέλησε να μελετήσει την ικανότητα επίλυσης προβλημάτων των μαθητών της ΣΤ Δημοτικού. Έπειτα από μελέτη της σχετικής βιβλιογραφίας, κατασκεύασε ο ίδιος ένα τεστ μέτρησης της ικανότητας επίλυσης προβλημάτων σε μια κλίμακα από το 0 έως το 100 (χαμηλή προς υψηλή ικανότητα). Στη συνέχεια, από μια λίστα με όλες τις περιφέρειες και τα σχολεία της χώρας, επέλεξε τυχαία 10 περιφέρειες, 30 σχολικές μονάδες από τις περιφέρειες αυτές και τελικά 300 μαθητές της ΣΤ Δημοτικού από τις σχολικές μονάδες. φού εξασφάλισε τη συναίνεση των γονέων των μαθητών, χορήγησε μία φορά το τεστ και βρήκε ότι ο μέσος όρος ήταν 71 και η τυπική απόκλιση 15. (α) Ποια μέθοδο δειγματοληψίας χρησιμοποίησε ο ερευνητής; Την τυχαία δειγματοληψία κατά επίπεδα ή στάδια. (β) Ποια τεστ αξιοπιστίας θα θεωρούσατε ότι ενδείκνυνται για τον έλεγχο αξιοπιστίας του ερευνητικού του εργαλείου; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Με δεδομένο ότι ο ερευνητής χορήγησε μία μόνο φορά το τεστ, για τον έλεγχο της αξιοπιστίας του θα μπορούσε να χρησιμοποιήσει την τεχνική των δύο τμημάτων. Σύμφωνα με την τεχνική αυτή, ο ερευνητής χωρίζει το τεστ σε δύο τμήματα και υπολογίζει τον βαθμό συνοχής των δύο τμημάτων. Εναλλακτικά, θα μπορούσε να χρησιμοποιήσει το δείκτη εσωτερικής συνέπειας α του Cronbach ο οποίος αντιστοιχεί στον μέσο όρο των συσχετίσεων όλων των δυνατών τρόπων χωρισμού ενός εργαλείου σε δύο τμήματα. (γ) Να κατασκευάσετε ένα 95% διάστημα εμπιστοσύνης για τον αντίστοιχο πληθυσμιακό μέσο όρο. (με ακρίβεια τριών δεκαδικών ψηφίων) [4]
Έχουμε n = 300, Χ= 71 και s= 15. Το 95% διάστημα εμπιστοσύνης του πληθυσμιακού μέσου όρου μ θα είναι: s s Χ 1,96 < µ <Χ+ 1,96 n n 15 15 71 1,96 < µ < 71+ 1,96 300 300 71 1,697 < µ < 71+ 1,697 69,303 < µ < 72, 697 Άρα ο αντίστοιχος πληθυσμιακός μέσος όρος θα βρίσκεται στο διάστημα (69,303, 72,697) ΕΜ Άσκηση 7. Να χαρακτηρίσετε με Σωστό ή Λάθος τις παρακάτω προτάσεις. 1. ν αυξήσουμε το μέγεθος του δείγματος, το σφάλμα δειγματοληψίας αναμένεται να μειωθεί. 2. Η σύνθεση ενός δείγματος κατά στρώματα συνήθως δεν αντιπροσωπεύει την σύνθεση του πληθυσμού από τον οποίο προέρχεται. 3. Ένα πρόβλημα κατά τη δειγματοληψία είναι ότι ο στατιστικός πληθυσμός μπορεί να μην είναι αντιπροσωπευτικός του πληθυσμού-στόχου. 4. Όταν ο ερευνητής δεν γνωρίζει τον ακριβή αριθμό μελών του πληθυσμού, είναι απαραίτητο να χρησιμοποιήσει μια μέθοδο μη τυχαίας δειγματοληψίας. 5. Σφάλμα δειγματοληψίας είναι η διαφορά ανάμεσα σε ένα στατιστικό του δείγματος και σε μια παράμετρο του πληθυσμού, η οποία οφείλεται σε τυχαίους παράγοντες και σε ατομικές διαφορές ανάμεσα στα υποκείμενα που αποτελούν κάθε φορά το δείγμα μας. 6. Κατά την εγκυρότητα ενός ψυχομετρικού τεστ που μετρά το δείκτη ευφυΐας, το ζήτημα που τίθεται δεν είναι αν η συγκεκριμένη τιμή του δείκτη αντανακλά τον πραγματικό δείκτη ευφυΐας των υποκειμένων, αλλά αν το τεστ τείνει να δίνει γενικά μετρήσεις πολύ κοντά στον πραγματικό δείκτη ευφυΐας των υποκειμένων. 7. Η πιο συχνά χρησιμοποιούμενη μέθοδος στην εκπαιδευτική έρευνα είναι η μέθοδος της απλής τυχαίας δειγματοληψίας. 8. Η ποσοστιαία δειγματοληψία επιτρέπει στον ερευνητή να βελτιώσει τη σύνθεση ενός δείγματος ευκολίας. 9. Η αξιοπιστία αφορά στο κατά πόσο μια δοκιμασία αναδεικνύει το πραγματικό μέγεθος του υπό μέτρηση χαρακτηριστικού. 10. Ένας από τους πιο διαδεδομένους δείκτες αξιοπιστίας είναι ο δείκτης εσωτερικής συνέπειας του Cronbach. 11. Μια προϋπόθεση της αξιοπιστίας ισοδύναμων ή παράλληλων μορφών είναι οι ισοδύναμες μορφές να μετρούν το ίδιο χαρακτηριστικό. 12. Το συστηματικό σφάλμα της μέτρησης οφείλεται σε απροσδιόριστα αίτια. 13. Ο όρος τυχαίο σφάλμα αναφέρεται σε όλα τα λάθη του σχεδιασμού μιας μελέτης από τον ερευνητή. 14. Ο καλός σχεδιασμός μιας μελέτης μπορεί να προφυλάξει από την εμφάνιση συστηματικού σφάλματος. 15. Ένας ερευνητής κατά την επιλογή των υποκειμένων της έρευνας βασίστηκε μόνο σε εθελοντές συμμετέχοντες. υτό είναι ένα είδος συστηματικού σφάλματος. [5]
παντήσεις 1. Σ, 2. Λ, 3.Σ, 4. Σ, 5.Σ, 6.Λ, 7.Λ, 8.Σ, 9.Σ, 10.Σ, 11.Σ, 12.Λ, 13.Λ, 14.Σ, 15.Σ Άσκηση 8. 1) Ποιά είναι η διαφορά ανάμεσα στη Τυχαία Δειγματοληψία Κατά Στρώματα και στη Δειγματοληψία κατά Συστάδες; 2) Σε μια δειγματοληπτική έρευνα εκείνο που μας ενδιαφέρει περισσότερο είναι (Σημειώστε με Χ το κατάλληλο ): α.να συλλέξουμε όσο το δυνατόν μεγαλύτερο σε μέγεθος δείγμα από τον υπό εξέταση Πληθυσμό β.να συλλέξουμε ένα αντιπροσωπευτικό δείγμα του υπό εξέταση Πληθυσμού γ.να συλλέξουμε ένα δείγμα εφαρμόζοντας αυστηρά κάποια από τις μεθόδους της Τυχαίας Δειγματοληψίας 3) Σε ποιά περίπτωση μπορούμε να κάνουμε γενικεύσεις με τη βοήθεια των δεικτών της Περιγραφικής Στατιστικής; (Σημειώστε με Χ το κατάλληλο ): α.πάντοτε β.όταν το μέγεθος του δείγματος είναι πολύ μεγάλο γ.όταν έχουμε κάνει απογραφή του Πληθυσμού δ.όταν τα χαρακτηριστικά του Πληθυσμού είναι καλά καθορισμένα ε.σε καμία περίπτωση 4) Σε ένα «όργανο μέτρησης» τι είναι πιο επιθυμητό, να είναι έγκυρο ή να είναι αξιόπιστο; (Σημειώστε με Χ το κατάλληλο ): α.να είναι έγκυρο β.να είναι αξιόπιστο γ.και τα δύο είναι επιθυμητά αλλά περισσότερο η αξιοπιστία δ.και τα δύο είναι επιθυμητά αλλά περισσότερο η εγκυρότητα παντήσεις: 1) βλέπε Διαφάνειες #6 2) β 3) γ 4) δ Άσκηση 9. Εννέα ποντικάκια τρέχουν μέσα σε ένα λαβύρινθο. Ο χρόνος σε λεπτά που έκανε το κάθε ποντικάκι για να βγει από το λαβύρινθο δίνεται στον παρακάτω πίνακα: Π1 Π2 Π3 Π4 Π5 Π6 Π7 Π8 Π9 1 2,5 3 1,5 2 1,25 1 0,9 30 Ποιο από τα τρία μέτρα κεντρικής τάσης είναι το καταλληλότερο για την περίπτωση αυτή; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. πάντηση [6]
Υπολογίζουμε τον μέσο όρο, τη διάμεσο και την επικρατούσα τιμή της κατανομής. 1+ 2, 5+ 3+ 1,5+ 2+ 1, 25+ 1+ 0,9+ 30 X= = 4, 79 9 Τοποθετούμε τις παρατηρήσεις σε αύξουσα διάταξη. 0,9 1 1 1,25 1,5 2 2,5 3 30 Άρα Μ=1,5 και Τ=1. Διαπιστώνουμε ότι ο μέσος όρος επηρεάζεται από την ακραία τιμή 30 και υπερεκτιμά την κεντρική τάση της κατανομής, κάτι που δεν συμβαίνει στην περίπτωση της διαμέσου και της επικρατούσας τιμής. Λόγω του μικρού αριθμού των παρατηρήσεων, θα προτιμήσουμε τη διάμεσο από την επικρατούσα τιμή διότι η τελευταία θα μπορούσε να επηρεαστεί σημαντικά με την προσθήκη ή την τροποποίηση μιας και μόνο παρατήρησης (π.χ. αν προσθέσουμε την τιμή 3 μπορούμε να αναφέρουμε το 3 ως επικρατούσα τιμή). Άσκηση 10. Σε πρόσφατη έρευνα ρωτήθηκαν κάποια άτομα σχετικά με το ποιο θεωρούν ως το σημαντικότερο πρόβλημα σήμερα. Οι απαντήσεις στην ερώτηση αυτή διασταυρώθηκαν με τις διάφορες ηλικιακές κατηγορίες των ατόμων που συμμετείχαν στην έρευνα. Μέρος των αποτελεσμάτων δίνεται στον παρακάτω πίνακα: Πίνακας Συνάφειας "Ηλικιακής Κατηγορίας" με "Σημαντικότερο Πρόβλημα" πόλυτες Συχνότητες Τζόγος Στεγαστικό Σπουδές Οικονομικό Υγεία Σύνολα 18-24 24 4 23 82 12 145 25-34 42 2 20 146 13 223 35-44? 0 12 136 18 220 45-54 40 1 6? 9 177 55-64 37 1 7 68 15? 65+ 20 5 3 61 13? Σύνολα 217? 71 614 80 Ερωτήσεις ) Να συμπληρωθούν τα στοιχεία που λείπουν (δηλώνονται με?). Β) Πόσα άτομα συμμετείχαν στο δείγμα; Γ) Ποιο είναι το ποσοστό % των ατόμων ηλικίας 35-44 ετών που θεωρούν ως σημαντικότερο πρόβλημα το τζόγο; Δ) πό τα άτομα που θεωρούν ως σημαντικότερο πρόβλημα το Οικονομικό πόσο τοις εκατό ανήκει στην ηλικιακή κατηγορία 45-54 ετών; Ε) Ποιο είναι το ποσοστό % των ατόμων ηλικίας 45-64 ετών που θεωρούν ως σημαντικότερο πρόβλημα την υγεία; [7]
ΣΤ) Στο σύνολο του δείγματος, ποιο είναι το ποσοστό των ατόμων που ανήκουν στην ηλικιακή κατηγορία 18-24 και ταυτόχρονα θεωρούν τις σπουδές ως το σημαντικότερο πρόβλημα; πάντηση. Ο συμπληρωμένος πίνακας Τζόγος Στεγαστικό Σπουδές Οικονομικό Υγεία Σύνολα 18-24 24 4 23 82 12 145 25-34 42 2 20 146 13 223 35-44 54 0 12 136 18 220 45-54 40 1 6 121 9 177 55-64 37 1 7 68 15 128 65+ 20 5 3 61 13 102 Σύνολα 217 13 71 614 80 995 Β. 995 άτομα Γ. 54 / 220 = 0,245 ή 24,5% Δ. 121 / 614 = 0,197 ή 19,7% Ε. (9+15)/(177+128)= 24/305 = 0,078 ή 7,8% ΣΤ. 23 / 995 = 0,023 ή 2,3% Άσκηση 11. Οι ετήσιες πωλήσεις σε εκατ. ευρώ ( ) 50 Εμπορικών Επιχειρήσεων ήταν: Διαστήματα Πωλήσεων ριθμός Εμπορικών Επιχειρήσεων (Συχνότητα) Κέντρο Διαστήματος 51-100 5 75,5 101-150 10 125,5 151-200 20 175,5 201-250 10 225,5 251-300 5 275,5 α) φού υπολογίσετε τα κέντρα των διαστημάτων, να κατασκευάσετε το ιστόγραμμα και το πολύγωνο συχνοτήτων. Τι παρατηρείτε; β) Να υπολογιστούν η μέση τιμή, η διάμεσος και η επικρατούσα τιμή (να υποθέσετε ότι οι παρατηρήσεις συγκεντρώνονται στο μέσο κάθε διαστήματος). [8]
πάντηση Διαστήματα Πωλήσεων ριθμός Εμπορικών Επιχειρήσεων (Συχνότητα) Κέντρο Διαστήματος 51-100 5 75,5 101-150 10 125,5 151-200 20 175,5 201-250 10 225,5 251-300 5 275,5 Παρατηρούμε ότι κατανομή της μεταβλητής είναι κανονική. β) πό το (α) γνωρίζουμε ότι η μέση τιμή, η διάμεσος και η επικρατούσα τιμή θα ταυτίζονται. Άρα μέση τιμή = διάμεσος = επικρατούσα τιμή = 175,5 εκατομμύρια ευρώ. Άσκηση 12. Δίνεται ότι η ηλικία 1000 εκπαιδευτικών της πρωτοβάθμιας εκπαίδευσης ακολουθεί την κανονική κατανομή με μέσο Χ = 41 και τυπική απόκλιση σ = 4,5. Να προσδιοριστεί το 99% διάστημα εμπιστοσύνης της μέσης ηλικίας όλων των εκπαιδευτικών πρωτοβάθμιας εκπαίδευσης. σ 4,5 4,5 Υπολογίζουμε το τυπικό σφάλμα = = = 0,142 n 1000 31,62 Το 99% διάστημα εμπιστοσύνης του μέσου όρου είναι σ σ Χ < µ < Χ + n n 41 2,58 0,142 < µ < 41 + 2,58 0,142 41 0,366 < µ < 41+ 0,366 40, 634 < µ < 41,366 [9]