ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α Γυμνασίου Ενότητα 1β: Ισότητα - Εξίσωση ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α Γυμνασίου Ενότητα 1β: Ισότητα - Εξίσωση Συγγραφή: Ομάδα Υποστήριξης Μαθηματικών Συντονισμός έκδοσης: Χρίστος Παρπούνας, Συντονιστής Υπηρεσίας Ανάπτυξης Προγραμμάτων Έκδοση 2011 ISBN 978-9963-0-4581-5 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΚΥΠΡΟΥ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ
ΙΣΟΤΗΤΑ - ΕΞΙΣΩΣΗ Ιςότητα - Ιδιότητεσ Ιςοτήτων Εξερεφνηςη Πόςα βαρίδια αντιςτοιχοφν ςε κάκε ςακί, αν θ ηυγαριά ιςορροπεί; Να επεξθγιςετε τον τρόπο που εργαςτικατε. i. ii. Να τοποκετιςετε βαρίδια ςτα δφο μζλθ τθσ ηυγαριάσ, ϊςτε κάκε φορά να ιςορροπεί. 1 Ιςότθτα - Εξίςωςθ Τι πρζπει να ξζρετε Ιςότητα ονομάηεται ζνα οποιοδιποτε ηεφγοσ μακθματικϊν παραςτάςεων που ςυνδζονται με το ςφμβολο. Η ζκφραςθ είναι μια ιςότθτα. Το είναι μία παράςταςθ και ονομάηεται πρϊτο μζλοσ τθσ ιςότθτασ και μια παράςταςθ και ονομάηεται δεφτερο μζλοσ τθσ ιςότθτασ. Μια ιςότθτα χαρακτθρίηεται ωσ: ΑΛΗΘΗΣ αν θ αξία του πρϊτου μζλουσ είναι θ ίδια με τθν αξία του δεφτερου μζλουσ. ΨΕΥΔΗΣ αν θ αξία του πρϊτου μζλουσ δεν είναι θ ίδια με τθν αξία του δεφτερου μζλουσ.
Ιδιότητεσ Ιςοτήτων: Ανακλαςτική Ιδιότητα: Κάκε αρικμόσ, είναι ίςοσ με τον εαυτό του. Συμμετρική Ιδιότητα: Αν ζνασ αρικμόσ είναι ίςοσ με ζναν άλλο αρικμό, τότε και ο είναι ίςοσ με τον. Μεταβατική Ιδιότητα: Αν ζνασ αρικμόσ είναι ίςοσ με ζναν άλλο αρικμό και ο είναι ίςοσ με ζναν τρίτο αρικμό, τότε και ο είναι ίςοσ με τον. Αν προςκζςουμε και ςτα δφο μζλθ μιασ ιςότθτασ τον ίδιο αρικμό προκφπτει μια νζα ιςότθτα. Ιςχφει και το αντίςτροφο, δθλαδι: Το ςφμβολο το γράφουμε, για να δθλϊςουμε ότι από τθν πρϊτθ ςχζςθ προκφπτει θ δεφτερθ ςχζςθ και το διαβάηουμε «ςυμπεραίνουμε» ι «ςυνεπάγεται». Οι ςυνεπαγωγζσ και γράφονται: Το ςφμβολο το διαβάηουμε «ιςοδυναμεί με» και ςθμαίνει ότι: Όταν είναι αλθκισ θ πρϊτθ ςχζςθ είναι αλθκισ και θ δεφτερθ και αντίςτροφα, δθλαδι, όταν είναι αλθκισ θ δεφτερθ ςχζςθ είναι αλθκισ και θ πρϊτθ ςχζςθ. Αν αφαιρζςουμε και από τα δφο μζλθ μιασ ιςότθτασ τον ίδιο αρικμό προκφπτει μια νζα ιςότθτα. Ιςχφει και το αντίςτροφο, δθλαδι: Οι ςυνεπαγωγζσ και γράφονται: Αν πολλαπλαςιάςουμε και τα δφο μζλθ μιασ ιςότθτασ με τον ίδιο αρικμό προκφπτει μια νζα ιςότθτα. Ιςχφει όμωσ και το αντίςτροφο, δθλαδι: Οι ςυνεπαγωγζσ και γράφονται: 2 Ιςότθτα - Εξίςωςθ
Αν διαιρζςουμε και τα δφο μζλθ μιασ ιςότθτασ με τον ίδιο αρικμό (εκτόσ από το μθδζν), προκφπτει μια νζα ιςότθτα. Ιςχφει όμωσ και το αντίςτροφο, δθλαδι: Οι ςυνεπαγωγζσ και γράφονται: Δραςτηριότητεσ Παραδείγματα Να χρθςιμοποιιςετε τισ ιδιότθτεσ των ιςοτιτων για να ςυμπλθρϊςετε τα κενά ςτισ πιο κάτω ιςοδυναμίεσ (όπου φυςικοί αρικμοί): i. ii. iii. Λφςη: i. Γράφουμε το ωσ και διαγράφουμε τον προςκετζο και από τα δφο μζλθ: ii. Γράφουμε το ωσ και διαγράφουμε τον παράγοντα και από τα δφο μζλθ: και ζχουμε: Διαγράφουμε και από τα δφο μζλθ το διαιρζτθ Να αποδείξετε ότι ιςχφει θ πιο κάτω πρόταςθ (όπου,, είναι φυςικοί αρικμοί). Αν, τότε. Λφςη: 3 3 3 Ιςότθτα - Εξίςωςθ
1. Να χαρακτθρίςετε ΣΩΣΤΟ ι ΛΑΘΟΣ τισ πιο κάτω ιςοδυναμίεσ, βάηοντασ ςε κφκλο τον αντίςτοιχο χαρακτθριςμό. i. Αν ΣΩΣΤΟ / ΛΑΘΟΣ ii. Αν ΣΩΣΤΟ / ΛΑΘΟΣ iii. Αν ΣΩΣΤΟ / ΛΑΘΟΣ iv. Αν ΣΩΣΤΟ / ΛΑΘΟΣ v. Αν ΣΩΣΤΟ / ΛΑΘΟΣ vi. Αν και ΣΩΣΤΟ / ΛΑΘΟΣ 2. Να βάλετε ςε κφκλο τθ ςωςτι απάντθςθ: i. Αν Α. Β. Γ. Δ. ii. Αν Α. Β. Γ. Δ. 3. Να χρθςιμοποιιςετε τισ ιδιότθτεσ των ιςοτιτων, για να ςυμπλθρϊςετε τα κενά ςτισ πιο κάτω ιςοδυναμίεσ (όπου i. ii. iii. iv. v. είναι φυςικοί αρικμοί): 4. Να αποδείξετε ότι ιςχφουν οι πιο κάτω προτάςεισ (όπου,, είναι φυςικοί αρικμοί). i. Αν, τότε. ii. Αν, τότε. iii. Αν, τότε. 4 Ιςότθτα - Εξίςωςθ
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Εξερεφνηςη Να μελετιςετε και να εξθγιςετε πϊσ επιλφουμε εξιςϊςεισ με βάςθ τα πιο κάτω μοντζλα. Λφςθ τθσ εξίςωςθσ 5 Ιςότθτα - Εξίςωςθ
Λφςθ τθσ εξίςωςθσ 6 Ιςότθτα - Εξίςωςθ
Πιο κάτω φαίνεται θ λφςθ μιασ εξίςωςθσ με βάςθ το πιο πάνω μοντζλο. Ποια είναι θ εξίςωςθ; Τι πρζπει να ξζρετε Εξίςωςη είναι μια ιςότθτα που περιζχει τουλάχιςτον μία μεταβλθτι. Οι τιμζσ των μεταβλθτϊν που επαληθεφουν τθν εξίςωςθ λζγονται λφςεισ τθσ εξίςωςθσ. Για παράδειγμα είναι λφςθ τθσ εξίςωςθσ επειδι. Επίλυςη εξιςώςεων είναι θ διαδικαςία που εφαρμόηουμε, για να βροφμε τισ τιμζσ των μεταβλθτϊν που επαλθκεφουν τθν εξίςωςθ. Στθν Α Γυμναςίου κα αςχολθκοφμε μόνο με εξιςϊςεισ που περιζχουν μία μεταβλθτι. 7 Ιςότθτα - Εξίςωςθ
Διερεφνηςη Πιο κάτω ςασ δίνονται τρεισ διαφορετικζσ μζκοδοι λφςθσ τθσ εξίςωςθσ από αυτζσ τισ μεκόδουσ.. Να ςυηθτιςετε τθ διαδικαςία που ακολουκείται ςε κακεμιά Μζθοδοσ 1 Μζθοδοσ 2 Μζθοδοσ 3 Να βρείτε τθν τιμι που επαλθκεφει τισ πιο κάτω εξιςϊςεισ, χωρίσ να τισ λφςετε: i. ii. Δραςτηριότητεσ Παραδείγματα Να εξετάςετε κατά πόςο ο αρικμόσ είναι λφςθ τθσ εξίςωςθσ. Λφςη: Εξίςωςθ Αντικακιςτοφμε τo με τον αρικμό ςτο πρϊτο μζλοσ τθσ εξίςωςθσ. Παρατθροφμε ότι θ ιςότθτα είναι ψευδισ, δθλαδι θ εξίςωςθ δεν επαλθκεφεται. Συμπεραίνουμε ότι ο αρικμόσ δεν είναι λφςθ τθσ εξίςωςθσ. 8 Ιςότθτα - Εξίςωςθ
Να εξετάςετε κατά πόςο ο αρικμόσ 5 είναι λφςθ τθσ εξίςωςθσ. Λφςη: Εξίςωςθ Αντικακιςτοφμε το με τον αρικμό. Παρατθροφμε ότι θ ιςότθτα είναι αλθκισ, δθλαδι θ εξίςωςθ επαλθκεφεται. Συμπεραίνουμε ότι ο αρικμόσ είναι λφςθ τθσ εξίςωςθσ. Να λφςετε τθν εξίςωςθ. Λφςη: Άγνωςτοσ είναι ο Αφαιροφμε και από τα δφο μζλθ το 8 8 Γράφουμε το ωσ γινόμενο Διαγράφουμε το και από τα δφο μζλθ. Ο αρικμόσ είναι θ λφςθ τθσ εξίςωςθσ. Αν αφαιρζςουμε από το πενταπλάςιο ενόσ αρικμοφ, βρίςκουμε. Ποιοσ είναι ο αρικμόσ; Λφςη: Αν ο αρικμόσ είναι ο, τότε το πενταπλάςιο του είναι. Σχθματίηουμε τθν εξίςωςθ Λφουμε τθν εξίςωςθ: 5 5 Ο ηθτοφμενοσ αρικμόσ είναι το. 1. Να εξετάςετε κατά πόςο ο αρικμόσ 15 είναι λφςθ τθσ εξίςωςθσ. 2. Να εξετάςετε κατά πόςο ο αρικμόσ 28 είναι λφςθ τθσ εξίςωςθσ. 3. Να εξετάςετε ποιοσ από τουσ αρικμοφσ, είναι λφςθ τθσ εξίςωςθσ 4. Να γράψετε πζντε διαφορετικζσ εξιςϊςεισ που να ζχουν ωσ λφςθ τον αρικμό 10. 9 Ιςότθτα - Εξίςωςθ
5. Αν ο αρικμόσ είναι λφςθ τθσ εξίςωςθσ με άγνωςτο το, να βρείτε τθν τιμι του. 6. Να βρείτε ποιασ εξίςωςθσ είναι λφςθ το : i. ii. 7. Να λφςετε τισ εξιςϊςεισ: i. ii. iii. iv. v. vi. vii. viii. ix. x. xi. xii. xiii. xiv. 8. Να βρείτε το λάκοσ που ζγινε ςτθ λφςθ των πιο κάτω εξιςϊςεων: i. ii. 9. Να μετατρζψετε τισ πιο κάτω προτάςεισ ςε μακθματικζσ εκφράςεισ (με τθ βοικεια αρικμϊν και γραμμάτων): i. Ο επόμενοσ ενόσ φυςικοφ αρικμοφ. ii. Ο προθγοφμενοσ ενόσ φυςικοφ αρικμοφ. iii. Ζνασ άρτιοσ φυςικόσ αρικμόσ. iv. Ζνασ περιττόσ φυςικόσ αρικμόσ. v. Το διπλάςιο ενόσ αρικμοφ. vi. Ζνασ αρικμόσ αυξθμζνοσ κατά 8. vii. Ζνασ αρικμόσ ελαττωμζνοσ κατά 3. viii. Αν ςε ζνα αρικμό προςκζςουμε, το άκροιςμα γίνεται. ix. Αν ελαττϊςουμε κατά ζναν αρικμό, βρίςκουμε. x. Το εξαπλάςιο ενόσ αρικμοφ είναι. xi. Το ενόσ αρικμοφ είναι. xii. Το τετραπλάςιο ενόσ αρικμοφ αυξθμζνο κατά, μασ δίνει. xiii. Το ενόσ αρικμοφ ελαττωμζνο κατά, μασ δίνει 32. 10 Ιςότθτα - Εξίςωςθ
Να γράψετε τθν εξίςωςθ επίλυςθσ των πιο κάτω προβλθμάτων. Στθ ςυνζχεια να λφςετε τθν εξίςωςθ. 10. Ο Μιχάλθσ, κατά τον ελεφκερο του χρόνο, εργάηεται ςτο περίπτερο τθσ γειτονιάσ του και αμείβεται με τθν ϊρα τισ κακθμερινζσ και τα ςαββατοκφριακα. Θζλει να αγοράςει ζνα καινοφριο πατίνι που κοςτίηει και υπολογίηει ότι μπορεί να δουλζψει μόνο ϊρεσ το ςαββατοκφριακο. Πόςεσ ϊρεσ πρζπει να δουλεφει τθν εβδομάδα, για να μαηζψει τα χριματα που χρειάηεται; 11. Η αποςτολι του διαςτθμοπλοίου «ΑΠΟΛΛΩΝ 11» διιρκθςε ςυνολικά ϊρεσ. Η πτιςθ από τθ Γθ ςτο Φεγγάρι διιρκθςε περίπου ϊρεσ και θ πτιςθ από το Φεγγάρι ςτθ Γθ ϊρεσ. Να βρείτε πόςεσ περίπου ϊρεσ παρζμειναν ςτο Φεγγάρι οι αςτροναφτεσ του «ΑΠΟΛΛΩΝ 11»; 12. Ο Απόςτολοσ και δφο φίλοι του πιγαν ςτο παγοδρόμιο. Η είςοδοσ ςτο παγοδρόμιο είναι το άτομο. Ο Απόςτολοσ πιρε μαηί του τα δικά του πατίνια και οι φίλοι του ενοικίαςαν πατίνια από το παγοδρόμιο. Αν πλιρωςαν ςυνολικά, πόςο είναι το ενοίκιο για κάκε ηευγάρι πατίνια; 13. Η θλικία τθσ Φωτεινισ είναι τριπλάςια από τθν θλικία τθσ Ελζνθσ. Το άκροιςμα των θλικιϊν τουσ είναι 48. Ποια είναι θ θλικία τθσ κακεμιάσ; 14. Ζνα τραπζηι και τζςςερισ καρζκλεσ κοςτίηουν. Αν το τραπζηι κοςτίηει όςο 3 καρζκλεσ, να βρείτε πόςα κα πλθρϊςουμε, αν αγοράςουμε το τραπζηι με 6 καρζκλεσ. 11 Ιςότθτα - Εξίςωςθ
Δραςτηριότητεσ εμπλουτιςμοφ 1. Να λφςετε τισ εξιςϊςεισ: i. ii. iii. iv. v. vi. vii. viii. ix. x. 2. Να εξετάςετε κατά πόςο θ εξίςωςθ ζχει λφςθ τον αρικμό. 3. Να βάλετε ςε κφκλο τθ ςωςτι απάντθςθ: Αν ο αρικμόσ είναι λφςθ τθσ εξίςωςθσ, τότε: Α. Β. Γ. Δ. 4. Να αντιςτοιχίςετε: Η φράςθ 1. Το τριπλάςιο ενόσ αρικμοφ Α. 2. Το διπλάςιο ενόσ αρικμοφ αυξθμζνο κατά 3. Το μιςό ενόσ αρικμοφ ελαττωμζνο κατά 4. Η διαφορά ενόσ αρικμοφ από το Δ. 5. Η διαφορά του από ζνα αρικμό Ε. 6. Το τριπλάςιο ενόσ αρικμοφ αυξθμζνο κατά το μιςό του αρικμοφ ςυμβολίηεται μακθματικά με 5. Αν ο είναι άρτιοσ φυςικόσ αρικμόσ, τότε: i. Ο επόμενοσ φυςικόσ αρικμόσ είναι: Α. Β. Γ. Δ. ii. Ο προθγοφμενοσ περιττόσ αρικμόσ είναι: Α. Β. Γ. Δ. iii. Ο επόμενοσ άρτιοσ φυςικόσ αρικμόσ είναι: Α. Β. Γ. Δ. iv. Ο προθγοφμενοσ άρτιοσ φυςικόσ αρικμόσ είναι: Α. Β. Γ. Δ. 6. Στθν εξίςωςθ, οι αρικμοί και είναι φυςικοί. Να αιτιολογιςετε γιατί ο δεν μπορεί να πάρει περιςςότερεσ από τζςςερισ τιμζσ. B. Γ. Στ. Ζ. Η. 12 Ιςότθτα - Εξίςωςθ
7. Αν οι εξιςϊςεισ και ζχουν τθν ίδια λφςθ, να προςδιορίςετε τθν τιμι του. 8. Το άκροιςμα δφο διαδοχικϊν άρτιων αρικμϊν είναι. Ποιο είναι οι αρικμοί αυτοί; 9. Ζνα κουτί μαηί με το περιεχόμενο του ηυγίηει. Το περιεχόμενο είναι βαρφτερο κατά από το κουτί. Να βρείτε πόςο ηυγίηει το κουτί και πόςο το περιεχόμενό του. 10. Ανοίγουμε ςτθν τφχθ ζνα βιβλίο και το άκροιςμα των αρικμϊν των δφο ςελίδων που βλζπουμε είναι 389. Να βρείτε ςε ποιεσ ςελίδεσ ανοίξαμε το βιβλίο. 11. Να γράψετε ζνα λεκτικό πρόβλθμα το οποίο να αντιςτοιχεί ςτθν εξίςωςθ. 12. Να βρείτε τισ τιμζσ του φυςικοφ αρικμοφ, ϊςτε ο να είναι φυςικόσ αρικμόσ: i. ii. iii. 13 Ιςότθτα - Εξίςωςθ