32 Prelucrarea numercă nelnară a semnalelor Captolul 3 - Fltre de medere modfcate 33 CAPITOLUL 3 FILTRE DE MEDIERE MODIFICATE Ieşrea fltrulu de medere cu prag (r,s) este: s TrMean ( X, X2, K, X ; r, s) = X( ) (3.) r s Un exemplu este prezentat în Fgura 3. = r+ 3-. FILTRE DE MEDIERE CU PRAG Am văzut în subcaptolele anteroare că fltrul medan elmnă mpulsurle, dar are performanţe ma slabe în prezenţa zgomotulu gaussan. Fltrul de medere reduce foarte mult zgomotul gaussan. În cazul zgomotulu de mpulsur, fltrul de medere nu are rezultate satsfăcătoare. De aceea, un comproms între fltrul de medere ş cel medan ar putea conduce la fltre care au performanţe bune în stuaţle în care exstă atât zgomot gaussan cât ş zgomot de mpulsur. Cel ma smplu mod de a obţne acest comproms este folosrea mederlor cu prag. Prncpul mederlor cu prag este următorul: se elmnă câteva dn eşantoanelor cu valor extreme ş apo se medază eşantoanele rămase.. Ordonarea eşantoanelor ferestre 2. Elmnarea eşantoanelor extreme Fereastra fltrulu Fereastra ordonată Defnţa 3.. Fltrul de medere cu prag (r,s) Fltrul de medere cu prag (r,s) (în engleză: (r,s)-fold Trmmed Mean Flter) se obţne astfel: a) se elmnă eşantoanele: X( ), X ( 2), K, X( r) ş X( ), X ( 2), K X + s + s ( ) 3. Mederea eşantoanelor rămase Fgura 3.. Fltrul de medere cu prag (r,s) (=9, r=2, s=3) fltrat b) se medază eşantoanele rămase.
34 Prelucrarea numercă nelnară a semnalelor Captolul 3 - Fltre de medere modfcate 35 Fltrul de medere cu prag (r,s) are dezavantajul de a nu lua în calcul numărul eşantoanelor elmnate, cu efecte evdente în momentul în care între parametr r ş s exstă o mare dferenţă. În acest caz, magnea obţnută va avea în plus faţă de magnea orgnală o componentă contnuă (dacă r > s componenta contnuă va f poztvă, dec magnea va f ma lumnoasă). O modfcare medată, în sensul celor prezentate ma sus, se obţne dacă: înlocum cele ma mc r eşantoane elmnate cu eşantonul X + ş ( r ) X ( s). înlocum cele ma mar s eşantoane elmnate cu eşantonul În acest fel ntroducem numărul eşantoanelor elmnate dn fereastra ordonată. Imagnea obţnută va conţne o componentă contnuă mult ma mcă decât cea rezultată după fltrarea cu fltrul de medere cu prag (r,s).. Ordonarea eşantoanelor ferestre 2. Înlocurea eşantoanelor extreme 3. Mederea eşantoanelor rămase Fereastra fltrulu Fereastra ordonată fltrat Defnţa 3.2. Fltrul de medere cu prag (r,s) îmbunătăţt Ieşrea fltrulu de medere cu prag (r,s) îmbunătăţt (în engleză: (r,s)-fold Wnsored Mean Flter) se calculează conform relaţe de ma jos: s Wnmean ( X, X2, K, X ; r, s) = r X( r ) X( ) s X + ( s) + + (3.2) = r+ Un exemplu pentru fltrul de medere cu prag îmbunătăţt este prezentat în Fgura 3.2. Fgura 3.2. Funcţonarea fltrulu de medere cu prag (r,s) îmbunătăţt (=9, r=2, s=3) r s Dacă r = s, se defneşte parametrul α = =, ar fltrul obţnut este numt: fltrul de medere cu prag α (în engleză: α -trmmed mean flter), respectv fltrul de medere cu prag α îmbunătăţt (în engleză: α - trmmed mean flter). Formulele de calcul ale eşrlor sunt:
36 Prelucrarea numercă nelnară a semnalelor Captolul 3 - Fltre de medere modfcate 37 α Trmean ( X, X2, K, X ; α ) = X( ) (3.3) 2α = α + ( X( ) + X ( ) ) α α+ α Wnmean ( X, X2, K, X ; α ) = + X( ) (3.4) α = α + Fltrele de medere ş fltrele medane sunt cazur partculare ale fltrelor de medere cu prag. Se observă că, pentru r = s= 0, orcare dn fltrele de ma sus devne fltru de medere ar pentru r = s= k se obţne un fltru medan. Răspunsul la mpuls al fltrelor de medere cu prag este o secvenţă de zerour, dacă rs,, α 0, dec pot elmna zgomotul de mpulsur. Obţnem performanţe destul de bune ş în prezenţa zgomotulu gaussan, datortă operaţe de medere prezente în relaţle de defnţe ale fltrelor. La aplcarea semnalulu treaptă, fltrele de medere cu prag fe îl transformă într-un semnal rampă, fe î schmbă pozţa. Fltrele de medere îmbunătăţte produc mc saltur înante ş după treaptă. Fltrul medan este sngurul fltru de medere cu prag care conservă semnalele treaptă. Putem ofer o regulă generală: cu cât se elmnă ma multe eşantoane, cu atât ma bne sunt conservate treptele. Fracţunea crtcă a fltrelor de medere cu prag (r,s) este ( rs) mn, + B =. Dec fltrele de medere cu prag (r,s) sunt cu atât ma robuste cu cât parametr r ş s tnd spre valoarea k. Fltrul de medere cu prag realzează un comproms între fltrele de medere ş fltrele medane. Se observă că fltrul de medere cu prag atenuează margnle ma puţn decât fltrul de medere. În acelaş tmp, fltrul elmnă zgomotul de mpulsur. Imagnle au o caltate ma slabă decât cele rezultate după fltrarea medană. 3-2. ALTE FILTRE DE MEDIERE CU PRAG La fltrele de medere cu prag prezentate anteror eşrea se calcula prn mederea eşantoanelor aflate în gama X( ) q, X k ( k ) + q + + 2 unde q ş q 2 depnd de valorle eşantoanelor dn fereastra de ntrare. Acest mod de calcul este nefcent atunc când semnalul este afectat de un zgomot de mpulsur cu o probabltate de aparţe mare. Dn această cauză vom ntroduce fltre la care parametr să nu depndă de semnalul de la ntrare. Defnţa 3.3. Fltrul de medere cu prag modfcat Ieşrea fltrulu de medere cu prag modfcat (în engleză: modfed trmmed mean flter), de lungme, se calculează conform relaţe: unde = ( X X2 X q) = ax MTM,, K, ; (3.5) a =, dacă X X( k ) q + a = 0, în rest (3.6)
38 Prelucrarea numercă nelnară a semnalelor Captolul 3 - Fltre de medere modfcate 39 Un exemplu pentru fltrul de medere cu prag (r,s) modfcat, pentru =9, q=2 este prezentat în Fgura 3.3. număr poztv fxat a pror ş este folost pentru selecţa eşantoanelor care vor f medate. umărul eşantoanelor foloste pentru medere nu ma este constant, c va depnde de forma semnalulu de la ntrarea fltrulu. Sunt medate numa eşantoanele care au valor în gama:. Ordonarea eşantoanelor ferestre Fereastra fltrulu X( ) q; X k ( k ) + q + +. ( k ) Fracţunea crtcă a fltrulu de medere cu prag modfcat este + (pentru valor rezonable ale parametrulu q). În funcţe de valoarea parametrulu q, se pot dstnge două cazur partculare ale fltrulu de medere cu prag modfcat: Fltrul medan, când q = 0 ; 2. Elmnarea eşantoanelor extreme 3. Mederea eşantoanelor rămase Fereastra ordonată fltrat Fgura 3.3. Fltrul de medere cu prag (r,s) modfcat (=9, q=2) Acest fltru elmnă dn fereastră eşantoanele care au valor sufcent de îndepărtate de valoarea medanulu. Parametrul q este un Fltrul de medere, când q. În stuaţle practce este sufcent ca valoarea parametrulu q să fe ma mare decât numărul de nvele de gr ale magn (de exemplu: 255). Pornnd de la fltrul de medere cu prag modfcat, se poate obţne un alt fltru, dacă se mpun următoarele: ma întâ să se afle medanul une ferestre ma mc (de dmensune ); apo să se calculeze meda eşantoanelor aflate într-o fereastră ma mare (de dmensune M) ş care au valor sufcent de apropate de valoarea medanulu ferestre mc. Această apropere se aprecază, la fel ca la fltrul de medere cu prag modfcat, prn parametrul q. Fltrul astfel obţnut este:
40 Prelucrarea numercă nelnară a semnalelor Captolul 3 - Fltre de medere modfcate 4 Defnţa 3.4. Fltrul de medere cu prag cu dublă fereastră Ieşrea fltrul de medere cu prag cu dublă fereastră (în engleză: double wndow modfed trmmed mean flter) se calculează conform relaţe: Fereastra mare Fereastra mcă unde = ( X X2 XM q) = M ax DWMT,, K, ; (3.7) a *, dacă X X( k ) q + + a =, k =, < M (3.8) 0, în rest 2 * ( k ) X + este medanul ferestre mc. M =. Ordonarea eşantoanelor ferestrelor Fereastra ordonată 2. Elmnarea eşantoanelor extreme Un exemplu pentru funcţonarea fltrulu de medere cu prag cu dublă fereastră, având ferestrele de lungme =3, M=9 ş parametrul q=3 este prezentat în Fgura 3.4. Datortă mederlor făcute în fereastra mcă, valorle eşantoanelor de la eşre varază uşor în jurul valorlor eşantoanelor medane ale ferestrelor mar. Astfel se evtă aparţa zonelor întnse cu pxel de aceeaş valoare (efectul de umbrre ). Fracţunea crtcă a fltrulu de medere cu dublă fereastră este ( k ) +. 3. Mederea eşantoanelor rămase fltrat Fgura 3.4. Exemplu pentru fltrul de medere cu prag cu dublă fereastră (=3, M=9, q=3) Un alt fltru dn clasa fltrelor de medere cu prag este fltrul cu ce ma apropaţ K vecn. Acest fltru a fost creat dn dornţa de a conserva margnle de tp treaptă. Pentru aceasta, se folosesc pentru medere doar eşantoanele care aparţn aceleaş regun ca ş * X.
42 Prelucrarea numercă nelnară a semnalelor Captolul 3 - Fltre de medere modfcate 43 Defnţa 3.5. Fltrul cu ce ma apropaţ K vecn Ieşrea fltrulu cu ce ma apropaţ K vecn (în engleză: K-nearest neghbor flter) este meda celor K eşantoane cu valor aflate cel ma aproape de valoarea eşantonulu central * X al ferestre. Un exemplu pentru fltrul cu ce ma apropaţ vecn, de lungme =9 ş având parametrul q=3 este prezentat în Fgura 3.5. Crterul după care se face alegerea eşantoanelor medate este * dstanţa faţă de eşantonul central. Eşantonul central X este întotdeauna unul dntre aceste eşantoane, deoarece dstanţa faţă de el însuş este zero, cea ma mcă cu putnţă. Defnţa 3.6. Dstanţa dntre două eşantoane Dstanţa D dntre două eşantoane X ş X j este defntă astfel: (, ) D X X = X X (3.9) j j Uneor se întâmplă să exste ma multe eşantoane dferte ale căror dstanţe faţă de eşantonul central sunt egale. În acest caz nu se pot meda toate aceste eşantoane deoarece s-ar depăş numărul K de eşantoane prelucrate. Trebue aplcată o regulă de departajare. Fltrul cu ce ma apropaţ K vecn nu poate elmna zgomotul de tp mpuls (dacă eşantonul central are o valoare extremă atunc la eşre se va obţne tot o valoare extremă).. Reţnerea vecnlor 2. Mederea eşantoanelor rămase Fereastra fltrulu Ce ma apropaţ 3 vecn fltrat Fgura 3.5. Exemplu pentru fltrul cu ce ma apropaţ vecn (=9, q=3) Defnţa 3.7. Fltrul cu ce ma apropaţ vecn modfcat Fltrul cu ce ma apropaţ vecn modfcat (în engleză: modfed nearest neghbor flter) este defnt prn relaţa:
44 Prelucrarea numercă nelnară a semnalelor Captolul 3 - Fltre de medere modfcate 45 unde: = (, 2,, ; ) = ax M X X K X q (3.0) a, dacă a = 0, în rest = * X X q (3.) detallor magn. Ambele fltre atenuează cu succes ş zgomotul gaussan. Fltrul cu ce ma apropaţ K vecn nu elmnă zgomotul de mpulsur, în schmb atenuează foarte bne zgomotul gaussan ş nu afectează foarte mult detalle magn. Parametrul q este folost pentru a elmna eşantoanele pentru care exstă o mare probabltate să provnă dntr-o regune dfertă de cea a eşantonulu central. Dacă valoarea parametrulu q este aleasă egală cu dspersa zgomotulu (σ ), atunc acest fltru se numeşte fltru sgma. Fltrul de medere cu prag modfcat ş fltrul de medere cu dublă fereastră au răspunsul la mpuls format dntr-o succesune de zerour. Fltrele cu ce ma apropaţ vecn au ca răspuns la mpuls tot un mpuls (când K < sau q este ma mc decât ampltudnea mpulsulu). Toate fltrele de medere cu prag dn acest captol lasă semnalul treaptă neschmbat numa dacă sunt îndeplnte anumte condţ. Pentru fltrele de medere cu prag modfcate ş pentru fltrul cu ce ma apropaţ vecn modfcat, parametrul q trebue să abă o valoare ma mcă decât înălţmea H a trepte: q< H. În caz contrar semnalul va f transformat în semnal rampă. Fltrele cu ce ma apropaţ K vecn trebue să satsfacă relaţa K k+. Fltrul de medere cu prag modfcat ş fltrul de medere cu prag cu dublă fereastră au propretăţ asemănătoare cu fltrul medan: zgomotul de mpulsur este elmnat cu preţul une atenuăr pronunţate a 3-3. FILTRE CU MEDIERE ELIIARĂ Fltrele cu medere nelnară sunt generalzăr ale fltrelor de medere. Ele folosesc în locul mede artmetce alte tpur de meder, cum ar f: meder armonce, geometrce, logartmce, etc.. relaţa: Defnţa 3.8. Meda nelnară Meda nelnară a eşantoanelor X, X2, K, X este defntă de unde ( ) y = g = = ( ) ag X a (3.2) g x este o funcţe g : ar a sunt coefcenţ de ponderare. O varantă ma generală a fltrelor cu medere nelnară se poate obţne dacă, după aplcarea transformăr g (), se foloseşte, în loc de medere, o altă operaţe (de exemplu: o fltrare nelnară).
46 Prelucrarea numercă nelnară a semnalelor Captolul 3 - Fltre de medere modfcate 47 O sub-clasă specală a fltrelor cu medere nelnară se obţne în cazul în care coefcenţ de ponderare a au valor egale a = a,, j =,. j Defnţa 3.9. Fltre cu medere nelnară În funcţe de tpul funcţe g( x ) se obţn următoarele fltre cu medere nelnară: Fltrul de medere: g( x) = x. Inversare Fereastra fltrulu Mean ( X, X2, K, X) = X (3.3) Fltrul de mede armoncă: g( x) = x = Harm ( X, X2, K, X ) = (3.4) X Fltrul de mede geometrcă: g( x) = ln Geom ( X, X2, K, X ) = exp ln x (3.5) = u este oblgatoru ca logartmul folost la fltrul cu mede geometrcă să fe natural. Fltrul de mede p = L : g( x) = x p, p {,0,} p L p( X, X2, K, X; p) = log X (3.6) = x 2. Medere ş nversare fltrat Fgura 3.6. Funcţonarea fltrulu armonc cu fereastra de lungme =9 Defnţa 3.0. Fltrul contra-armonc Fltrul contra-armonc (în engleză: contraharmonc flter) se obţne conform relaţe (2.46), în care g( x) = x ar coefcenţ de ponderare depnd în mod drect de eşantoanele dn fereastra de ntrare, astfel: a = X, =,2, K, (3.7) p
48 Prelucrarea numercă nelnară a semnalelor Captolul 3 - Fltre de medere modfcate 49 Deoarece folosesc operaţ de medere, fltrele cu mede nelnară nu pot elmna complet un mpuls. Ele atenuează foarte mult ampltudnea mpulsulu ş îl împrăşte pe o are ma mare. Fltrele cu mede nelnară tratează în mod dfert mpulsurle poztve ş cele negatve. Pentru un fltru care atenuează un tp de mpulsur, valoarea mpulsurlor de celălalt tp are un efect foarte puternc asupra fltrulu. performanţe ceva ma bune, dar modfcă pozţa trepte. Pentru fltrul L p ş fltrul contra-armonc se observă că, pe măsură ce valoarea parametrulu p creşte, se obţne o îmbunătăţre a conservăr detallor. EXEMPLUL 3.. Să consderăm un fltru cu mede geometrcă pentru care baza logartmulu este 0, în fereastra de ntrare exstă eşantoane, dntre care 0 au valoarea egală cu 00 ar unul are valoarea a [ 0,255]. Acest exemplu este tpc pentru magnle în tonur de gr foloste în aplcaţle pe calculator, unde exstă 256 de tonur de gr, codate pe opt bţ: de la 0 la 255. În acest caz valorle apropate de 0 corespund unor mpulsur negatve ar valorle apropate de 255 corespund unor mpulsur poztve. Prn defnţe, eşrea fltrulu este: (( 20+ lg a) /) y = 0 = 00 a/00 Dacă a ; 0, atunc eşrea fltrulu va f y ; 0. Dacă a ; 255 eşrea fltrulu va f y ; 08. Fltrul cu mede geometrcă este ma efcent la elmnarea mpulsurlor poztve decât a celor negatve. Fltrul cu mede geometrcă atenuează semnalul treaptă într-un mod smlar cu fltrul de medere. Celelalte fltre cu mede nelnară au Fgura 3.7. Imagnea fltrată cu fltrul de medere cu prag (r,s) având fereastra de dmensune 7x7 ş r=2, s=25 Deoarece fltrele cu mede nelnară nu atenuează mpulsurle poztve cât ş negatve, am folost pentru expermente magn peste care am suprapus zgomot cu mpulsur poztve. Fltrele cu mede nelnară foloste au rezultate bune în prvnţa elmnăr zgomotulu, dar au ca efect o atenuare evdentă a detallor dn magn.
50 Prelucrarea numercă nelnară a semnalelor Imagnle obţnute apar înceţoşate, ar unele fltre ntroduc o mportantă componentă contnuă. Fgura 3.8. Imagnea fltrată cu fltrul de medere cu prag modfcat având ferestrele de dmensune 7x7 ş 3x3, ş parametrul q=30