FGG geodezija UNI Matematika I, 2005/06 1. Definicija enakosti množic (funkcij, kompleksnih števil, urejenih n teric)? 2. Definicija kartezičnega produkta množic A in B. Definicija množice R n. 3. Popolna (matematična) indukcija. Uporabite jo na konkretnem primeru. 4. Razložite pojem natančne zgornje meje neprazne množice realnih števil! Kdaj obstaja? 5. Zapišite trikotniško neenakost za realna števila. Kdaj velja enakost? 6. Formulirajte binomski izrek o potenciranju binoma (razlaga koeficientov)! 7. Poiščite vse kompleksne rešitve enačbe z = z 3! 8. Kdaj natanko velja enakost x y = x + y, če sta: (a) x in y realni števili, (b) x in y kompleksni števili? 9. Formulirajte binomski izrek o potenciranju kompleksnega binoma (razlaga koeficientov)! 10. Formula de Moivre-a za potenciranje kompleksnih števil? 11. Definicija funkcije. Katero funkcijo imenujemo bijekektivno? 12. Kdaj sta dve funkciji enaki? 13. Za kakšno funkcijo obstaja inverzna funkcija? 14. Natančna definicija funkcij arcsin in arctg, (ki ju imamo na kalkulatorju). Kdaj za števili x in y velja y = arcsinx? 15. Brez kalkulatorja izračunajte arcsin(sin 5)! 16. V ravnini R 2 skicirajte množico {(x, arcsin(sin x)) : x 3}! 17. Katere od funkcij f k : D k R (k = 1, 2,..., 7), kjer je f 1 (x) = x, f 2 (x) = x 2, f 3 (x) = x, f 4 (x) = 1 2 ln(x2 ), f 5 (x) = lnx, f 6 (x) = arcsin(sinx), f 7 (x) = tg(arctgx) so med seboj enake, če so D 1,..., D 7 naravna definicijska območja funkcij f 1,..., f 7? 18. Kaj je kompozitum g f preslikav f : A B, g : C D? Kdaj ga lahko izračunamo? 19. Kaj je vektor? Kdaj sta dva vektorja enaka? 20. Kako je definirana vsota dveh vektorjev? 21. Definicija produkta vektorja s skalarjem! Zapišite nekaj lastnosti! 22. Kdaj sta dva vektorja vzporedna? 23. Kdaj so vektorji a 1, a 2,..., a n linearno neodvisni? 24. Kdaj so vektorji a 1, a 2, a 3 linearno neodvisni? (geometrijski opis) a 2 linearno neodvisna? (ge- 25. Kdaj sta vektorja a 1, ometrijski opis) 26. Ali so lahko vektorji 0, a, b linearno neodvisni? Odgovor utemeljite! 27. Kdaj napenjajo vektorji ( a, b, c ) bazo prostora? Če so vektorji ( a, b, c ) baza, ali lahko in na koliko načinov lahko zapišemo poljubni vektor d v obliki linearne kombinacije baznih vektorjev? 28. Definicija osnovnega triroba ( i, j, k )! 29. Natanko razložite definicijo skalarnega produkta! Kako ga izračunamo v bazi ( i, j, k )? 30. Kako s pomočjo skalarnega produkta izračunamo dolžino vektorja a? 31. Kaj lahko poveste o kotu med vektorjema a in b, če veste, da je njun skalarni produkt a b negativen? 32. Kaj pomeni izraz a b? Zapišite definicijo te operacije in lastnosti. Kako ga izračunamo v bazi ( i, j, k )? 33. Ali poznate vsaj eno lastnost, ki jo ima skalarni produkt, vektorski pa ne? Napiši konkreten primer! 34. Ali je vektorski produkt asociativen? Poiščite konkreten primer! 35. Kdaj je skalarni produkt enak 0? Kdaj je vektorski produkt enak 0? 36. Kako s pomočjo vektorskega produkta izračunamo ploščino trikotnika z ogljišči A, B in C? 37. Natančno razložite, kaj je mešani produkt treh vektorjev. Kakšen je njegov geometrijski pomen? Kako ga izračunamo v bazi ( i, j, k )? 38. Poiščite vsaj en pogoj, ki je potreben in zadosten za koplanarnost treh geometrijskih vektorjev a, b in c! 39. Kdaj je mešani produkt treh vektorjev enak 0? 40. Opišite vse možne situacije, v katerih je mešani produkt vektorjev a, b in a b enak 0? 41. Zapišite vektorsko enačbo premice, ki poteka skozi točki T 1 (x 1, y 1, z 1 ) in T 2 (x 2, y 2, z 2 )! 42. Različne oblike enačbe premice v prostoru! 1
43. Izpeljite formulo za oddaljenost koordinatnega izhodišča od ravnine Ax + By + Cz = D. 44. Kdaj sta premici vzporedni? 45. Kdaj sta ravnini x x 0 = y y 0 = z z 0, p 0 q 0 r 0 x x 1 = y y 1 = z z 1 p 1 q 1 r 1 A 0 x + B 0 y + C 0 z = D 0, A 1 x + B 1 y + C 1 z = D 1 vzporedni? 46. V prostoru je dana ravnina z enačbo Ax + By + Cz = D. Kakšnemu pogoju morajo zadoščati komponente vektorja s = (u, v, w), da bo vektor s vzporeden ravnini? Kakšnemu pogoju, da bo pravokoten na ravnino? 47. Definicija m n matrike. Kdaj sta matriki A in B enaki? 48. Kako množimo matrike? Zapišite primer produkta dveh konkretnih matrik. Ali lahko zračunamo produkt dveh poljubnih matrik? 49. Ali velja za kvadratni n n matriki A, B vedno enakost A 2 B 2 = (A B)(A + B)? Če ne velja, navedite potreben in zadosten pogoj, ki mu morata ustrezati matriki A in B, da velja ta enakost! Odgovor utemeljite! 50. Definicija inverzne matrike! Kdaj je matrika obrnljiva? 51. Če veste, da sta matriki A in B obrnljivi n n matriki reši matrično enačbo (AX) 1 = B in naredite preizkus! 52. Katera od identitet (AB) 1 = A 1 B 1, (AB) 1 = B 1 A 1 velja za poljubni obrnljivi n n matriki A, B. Dokažite jo! 53. Posebne vrste matrik. 54. Izrazite (AB) T s pomočjo A T in B T. Za kakšni matriki A in B formula velja? Dokažite jo! 55. Kaj je sistem linearenih enačb? Kaj je njegova rešitev? Zapišite ga v matrični obliki. 56. Opišite Gaussovo eliminacijsko metodo reševanja (diskusijo) sistema m linearnih enačb za n neznakami. 57. Rešite linearno enačbo ax = b, kjer sta a, b dana realna parametra! 58. Kdaj je sistem linearnih enačb homogen? Ali je homogen sistem vedno rešljiv? Odgovor utemeljite! 59. Struktura rešitev linearnega sistema. Ali ima lahko linearni sistem natanko dve rešitvi? 60. Ali ima lahko sistem treh linearnih enačb za dve neznanki neskončno rešitev? Odgor utemeljite! Geometrijski zgled? 61. Definicija determinante kvadratne matrike! 62. Zapišite nekaj lastnosti determinant s katerimi jih računamo! 63. Definicija linearnega vektorskega prostora. 64. Kdaj je neka podmnožica vektorskega prostora vektorski podprostor? Kateri vektor vsebuje vsak podprostor? Zakaj? 65. Dokažite, da je množica Y = { (x, y, z) R 3, x + 2y + 3z = 0 } linearen podprostor vektorskega prostora R 3. 66. Dokažite, da množica Y vseh matrik, ki komutirajo z dano matriko A linearen podprostor prostora vseh kvadratnih matrik dane dimenzije. (Y = {B, AB = BA}) 67. Pokažite, da je linearna ogrinjača množice S enaka preseku vseh podprostorov, ki vsebujejo to množico. 68. Za dve podmnožici U in V vektorskega prostora X definiramo njuno vsoto z U + V := {u + v, u U, v V }. Če sta U in V vektorska podprostora je taka tudi njuna vsota U + V. 69. Baza linearnega prostora. 70. Naj bo U vektorski prostor vseh 2 3 matrik. Določite njegovo dimenzijo. 71. Linearni operator. Dokažite, da je linearni operator enolično določen z vrednostmi na neki bazi! 72. Naj bo X prostor vseh kvadratnih matrik dane velikosti in M X. Pokažite, da je preslikava T : X X dana z T (A) := AM + MA linearna. 73. Dokažite, da sta jedro in zaloga vrednosti linearne preslikave linearna podprostora! 74. Karakterizacija injektivnosti linearne preslikave. Ali je operator odvajanja na prostoru vseh polinomov injektiven? 75. Izrek o strukturi splošne rešitve enačbe T x = y 0, če je T linearna preslikava. 76. Predstavitev linearne transformacije med končno dimenzionalnima linearnima prostoroma z danima bazama. 2
77. Dokažite [Ax] F = [A] EF [x] E, kjer je A linearna preslikava med linearnima prostoroma z bazama E in F. 78. Kaj je prehodna matrika? Kako sta povezani matriki iste linearne preslikave med različnimi bazami? 79. Dokažite, da je vsaka prehodna matrika obrnljiva. 80. Rang linearne preslikave in matrike. Kako ga izračunamo? 81. Unitarni prostor. Nekaj primerov. 82. Norma in Cauchy Schwartzova neenačba. Kako se zapiše ta neenačba v prostoru R n (običajni skalarni produkt)? 83. V unitarnem prostoru preveri veljavnost paralelogramskega pravila: x + y 2 + x y 2 = 2 x 2 + 2 y 2 84. Ortogonalna množica in ortogonalni komplement množice. 85. Razvoj po ortonormirani množici, Fourierovi koeficienti in posplošeni Pitagorov izrek. 86. Gramm-Schmidtova ortogonalizacija. 87. Vektor najboljše aproksimacije pravokotna projekcija. Naj bo P : X X preslikava, ki x X priredi najbljižji vektor y x iz danega podprostora. Preverite: P 2 = P. 88. Dokažite: M (M ), M M {0}. 89. Za meritve (x k, y k ), k = 1,..., m poiščite kvadratno parabolo najboljše aproksimacije po metodi najmanjših kvadratov. Zapišite pripadajočo normalno enačbo. 90. Če je A kompleksna m n matrika preverite, da velja za vse z C n in w C m (stolpca) w, Az = A w, z kjer je, običajni skalarni produkt v C m, oziroma v CC n. 91. Definicija lastnih vrednosti in pripadajočih lastnih vektorjev linearne preslikave A! 92. Kaj je karakteristični polinom linearne preslikave A? Ali je odvisen od izbire baze v kateri predstavimo linearno preslikavo? 93. Kaj so ničle karakterističnega polinoma linearne preslikave A? 94. Kaj je diagonalizacija linearne preslikave? Kdaj je možna? Ali se da simetrična matrika vedno diagonalizirati? 95. Ali je vektor [ 1 2 lastni vektor za matriko ]? Če je, kolikšna je pripadajoča lastna vred- 3 2 nost? [ 2 3 ] 96. Če so (f 1,..., f n ) linearno neodvisni lastni vektorji matrike A dimenzije n n, kako z njihovo pomočjo zračunamo potenco A m matrike A? 97. Navedite primer linearne preslikave brez realnih lastnih vektorjev. Zakaj ima realna 3 3 matrika vedno vsaj en realen lastni vektor? 98. Opišite metodo za izračun lastnih vektorjev linearne preslikave A : X X. 99. Ali sta lahko lastna vektorja linearne preslikave, ki pripadata različnima lastnima vrednostima vzporedna? Zakaj? 100. Za dano kvadratno matriko A opišite konstrukcijo matrike P, da bo P 1 AP diagonalna matrika. Kdaj, natančno, je naloga rešljiva? Ali je rešitev P enolična? 101. Definicija lastnega podprostora linearne preslikave A. Kaj sta geometrijska in algebraična večkratnost lastne vrednosti preslikave? 102. Konstrukcija adjungiranega operatorja A : X X k danemu linearnemu operatorju A : X X na končno dimenzionalnem vektorskem prostoru X s skalarnim produktom. Osnovna lastnost. 103. Kdaj je operator sebi adjungiran oziroma simetričen? 104. Kakšne so lastne vrednosti in lastni vektorji simetričnega operatorja? Opišite postopek diagonalizacije simetrične matrike A za katero je P T AP diagonalna matrika. 105. Naj bo A : X X sebi adjungiran operator in W X invarianten podprostor za A. Pokažite, da je potem ortogonalni komplement W tudi invarianten podprostor za A! 106. Kdaj je zaporedje (x n ) n N konvergentno? (kdaj ima limito?) 107. Ali je zaporedje, ki je konvergentno nujno navzgor omejeno? Odgovor utemeljite. 108. Ali je omejeno zaporedje nujno konvergentno? Če ni, navedite primer. 109. Ali je zaporedje z natanko enim stekališčem nujno konvergentno? Če ni, navedite primer. 110. Ali ima vsako omejeno zaporedje vsaj eno stekališče? 111. Navedite primer zaporedja realnih števil, ki je brez stekališča (ki ima vsaj eno stekališče, natanko dve stekališči)! 3
112. Ali je monotono, omejeno zaporedje konvergentno? Če ni, navedite primer. 113. Zapišite Cauchyjev kriterij konvergence številskega zaporedja. 114. Računska pravila za računanje z limitami zaporedij. 115. Katero številsko vrsto imenujemo konvergentno? Kaj je geometrijska vrsta? Kdaj je konvergentna? 116. Kaj je potreben pogoj za konvergenco številske vrste? 117. Zapišite kvocientni in korenski kriterij konvergence številske vrste. 118. Ali je vrsta ( k 1 ) k k=1 k konvergentna? Odgovor utemeljite! 119. Ali ima lahko konvergentna vrsta neskončno svojih členov med seboj enakih in hkrati različnih od 0? Odgovor utemeljite! 120. Katero vrsto imenujemo harmonično? Ali je konvergentna? 121. Ali je vrsta k=1 1 k konvergentna? (Odgovor obvezno utemeljite!) 122. Ali vrsta k=1 1 k zadošča Cauchyjevemu pogoju? (Odgovor obvezno utemeljite!) 123. Kakšne oblike je geometrijska vrsta (definicija) in kdaj natanko je konvergentna? 124. Izpeljite formulo za n-to delno vsoto s n geometrijske vrste! 125. Ali je pravilna naslednja implikacija: ( ) a n 0 za vsak n N, a n konvergira = n=1 a 2 n konvergira? n=1 126. Formulirajte Cauchy jev kriterij konvergence številske vrste! 127. Definicija limite funkcije f v točki a. 128. Definicija zveznosti funkcije f v točki α in na intervalu [a, b]. 129. Definicija lokalnega in globalnega minimuma (maksimuma) funkcije f : [a, b] R. 130. Navedite primer omejene zvezne funkcije f : [0, 1) R, ki ne zavzame svojih natančnih meja. 131. Navedite vsaj en zadostni pogoj, da ima zvezna funkcija f : [a, b] R na intervalu [a, b] vsaj eno ničlo. 132. Definicija odvoda funkcije f v točki a. Navedite primer funkcije, ki je zvezna v neki točki in v tej točki ni odvedljiva. 133. V katerih točkah svojega definicijskaga območja funkcija arcsin ni odvedljiva? Kakšen je odvod v vseh drugih točkah? 134. Zapiši računska pravila za odvod vsote, produkta, kvocienta in kompozita dveh funkcij. 135. Izpeljite formulo za odvod funkcije arctg (arcsin, x x)! 136. Navedite primer funkcije, ki je v neki točki odvedljiva z leve in z desne, toda v tej točki ni (dvostransko) odvedljiva! 137. Navedite primer funkcije f : [0, 1] R, ki : (a) je odvedljiva na intervalu (0, 1) in ni zvezna na intervalu [0, 1], (b) je zvezna na [0, 1] in ni odvedljiva na (0, 1) (c) je neomejena in zvezna na (0, 1)! 138. Ali ima funkcija f v točki a v kateri je odvod enak 0 nujno lokalni ekstrem? Zapišite vsaj en zadostni pogoj za to. 139. Računski postopek za iskanje globalnega ekstrema zvezne funkcije f : [a, b] R, ki je odvedljiva na (a, b). 140. Zapišite Rolleov in Lagrangeov izrek. Geometrijska skica. 141. S pomočjo Lagrangevega izreka o končnem prirastku preverite implikacijo: { } f : [a, b] R zvezna, f odvedljiva na (a, b), f = (x) > 0 za x (a, b) = f strogo raste na [a, b]. 142. Kdaj je odvedljiva funkcija f : (a, b) R padajoča? (zapišite zadosten pogoj) 143. Dokažite, da je x x3 6 < sin x < x za vsak pozitiven x! 144. Zapišite L Hospitalov izrek o računanju limit. 145. Definicija višjih odvodov. 146. Zapišite Taylorjevo formulo prvega reda s prirastkom h v okolici točke x 0 za dvakrat zvezno odvedljivo funkcijo f in z njeno pomočjo ocenite razliko med prirastkom funkcije f in njenim diferencialom. 147. Zapišite Taylorjevo formulo tretjega reda za funkcijo g : x e x2 /2 + cos x 2 (ali g(x) := x sin(x 2 ) x 2 sin(x)) z začetno točko x 0 = 0 in prirastkom h = x! Določite vsaj eno konstanto K, da bo g(x) Kx 4 za vsak x 1! 4
148. Definicija diferenciala funkcije, geometrijska skica. 149. Definicija konveksnosti in konkavnosti funkcije. Kako računsko preverimo ti dve lastnosti? 150. Definicija določenega integrala funkcije f : [a, b] R. 151. S pomočjo integrala izračunajte limito lim n [ 1 n n k=1 (1 + 3k n )2]! 152. Ali obstaja (delta) funkcija δ : [ 1, 1] R, da je δ(x) = 0 za vsak x 0 in da je (Riemannov 1 integral) 1 δ(x)dx 0? 153. Zapišite nekaj lastnosti določenega integrala. 154. Newton-Leibniz-ov izrek. 169. Kaj je a f(x)dx? 170. Definicija konvergenčnega polmera potenčne vrste? 171. Če ima potenčna vrsta k=1 c kz k kompleksne spremenljivke z s kompleksnimi koeficienti c 1, c 2,... konvergenčni polmer enak 2, kolikšen je potem konvergenčni polmer potenčne vrste k=1 (1 + i)2k c k z k? 172. Za realno potenčno vrsto k=1 c kx k je znano, da je konvergentna na intervalu (-2,2). Ali je potem kompleksna potenčna vrsta k=1 c kz k konvergentna v točki z = i? (Odgovor utemeljite!) 173. Odvajanje in integriranje potenčnih vrst. 155. Sistem enačb: 1 + sin(2x) dx = (sin x + cos x)2 dx = (sin x + cos x) dx = 0 je protisloven, saj je očitno prvi integral pozitiven (zakaj?). Kje je napaka? 156. Izračun določenega integrala. 157. Pod kakšnim kotom seka krivulja z enačbo y = abscisno os? x 0 dt ln(2+t 2 ) 158. S pomočjo odvoda (N-L teorem) funkcije F : x x 1 e t2 dt skicirajte krivuljo y = F (x) ( 2 x 2)! 159. Za funkcijo f : R R, kjer je f(x) = x 3 x 2 vsak x, določite odvod f (2)! e t 2 2 dt za 160. Zapišite izrek o uvedbi nove spremenljivke v določen integral. V integral 1 0 1 + 4x2 dx uvedite novo spremenljivko t = 2x. (Integrala ni potrebno izračunati.) 161. Pri kakšnih pogojih glede funkcij x f(x) in t x(t) gotovo velja enakost β α f(x(t)) ẋ(t) dt = x(β) x(α) f(x) dx? 162. Definicija logaritemske, eksponentne in potenčne funkcije. 163. Natančna definicija funkcije exp in potence π x pri poljubnem realnem številu x? 164. Kaj je nedoločeni integral? 165. Kako z določenim integralom izračunamo ploščino lika omejenega z grafoma dveh funkcij? 166. Prostornina rotacijskega telesa. 167. Ločna dolžina grafa funkcije f : [a, b] R. 168. Težišče homogenih likov. 5