ŠOLSKI CENTER NOVO MESTO

Transcript

1 ŠOLSKI CENTER NOVO MESTO Srednja elektro šola in tehniška gimnazija M A T E M A T I K A USTNA VPRAŠANJA S PRIMERI ZA POKLICNO MATURO 006/007

2 NARAVNA ŠTEVILA Katera števila imenujemo naravna števila? Naštejte osnovne računske operacije, ki so definirane v množici naravnih števil, in opišite njihove lastnosti Izračunajte: a) ( + )( + ) ( ) b) + ( + ( + ) + )( + ) Zapišite osnovni izrek o deljenju naravnih števil Kaj je delitelj in kaj večkratnik danega naravnega števila? a) Katero naravno število moramo deliti s številom, da dobimo količnik in ostanek 9? b) Zapišite množico večkratnikov števila 7 c) Zapišite množico naravnih števil, ki dajejo pri deljenju s številom 5 ostanek Opišite kriterije za deljivost naravnih števil s števili,, 4, 5, 9 in 0 a) Katera števila med števili, 5, 46, 8, 95, 4 so deljiva z (, 4, 5, 9, 0) b) Določite a tako, da bo število 45a deljivo s številom c) Določite a tako, da bo število 45a deljivo s številom 4 4 Definirajte pojma praštevilo in sestavljeno število Ali so vsa praštevila liha števila? Kako razcepimo sestavljeno število na produkt praštevilskih potenc? a) Zapišite vsa praštevila in vsa sestavljena števila do 0 b) Zapišite števila, 96 in 40 kot produkt praštevilskih potenc 5 Definirajte največji skupni delitelj in najmanjši skupni večkratnik dveh naravnih števil Kako ju izračunamo? Kdaj sta si števili tuji? CELA ŠTEVILA a) Izračunajte D (56,6) in v (56,6) Ali sta si števili 56 in 6 tuji? b) Izračunajte D (75,5) in v (75,5) c) Določite največji skupni delitelj in najmanjši skupni večkratnik izrazov 5 4 in x 6x + 9x 6 Opišite razloge za vpeljavo celih števil, naštejte osnovne računske operacije za računanje s celimi števili in opišite njihove lastnosti Izračunajte: a) ( ) + ( ) ( ) b) + ( ( ( ) + ) )( 4) x 9x 4

3 7 Definirajte potenco z naravnim eksponentom Zapišite pravila za računanje s potencami z naravnimi eksponenti a) Izračunajte ( ) 7 ( ) ab ( ab ) b) Izračunajte ( ) ( ) ( ) c) Izračunajte ab ab ( ) ( ) 9 x+ x+ x+ x+ 8 Zapišite pravila za kvadrat in kub dvočlenikov ( a + b), ( a b), ( a + b), ( a b) a) ( ) ( ) ( )( 4) b) ( x )( x ) ( x ) x( x ) x x+ x x+ + x x c) ( x ) ( x+ ) + 9 Zapišite pravila za razcep razlike kvadratov a b kubov a + b a) x 4 b) x 50y, razlike kubov a in vsote c) a 4 8 e) x 7 d) a + 8 f) 8x y b 0 Razložite, kako razcepimo tričlenike z uporabo Vietovega pravila in kako izpostavimo skupni faktor veččlenika a) x x 8 b) x x x RACIONALNA ŠTEVILA c) x x 4x + d) x + x 6x 6 4 e) x 5x f) a + 8a 9 Kaj je ulomek? Kdaj sta dva ulomka enaka? Opišite računske operacije z ulomki a) ( 4 ):( + ) 5 x x+ x 8x 8 b) : x+ x x + x 6 x 8 x x 8 x + 4x c) + + x 4x 4x+ 6 x 6 x d) 4 x x 7 : 9x x 4 + x 8 Katera števila imenujemo racionalna števila? Kakšen decimalni zapis imajo racionalna števila? Kdaj je decimalen zapis končen? a) Zapišite ulomke 7 4, 4,, 5 v obliki decimalnih števil Kateri izmed ulomkov imajo končni decimalni zapis in kateri neskončni periodični decimalni zapis? b) Zapišite decimalna števila 4,, 05, 4, 45 v obliki okrajšanega ulomka

4 Kako so urejena racionalna števila? Opišite, kako predstavimo racionalno število na številski premici Predstavite na številski premici števila, 4, 0, 0 4 Definirajte potenco s celim eksponentom in zapišite pravila za računanje z njimi n+ n n a) a 6 a + 9 a n n a 9a b) ( ) ( ) :( ) x+ x x x+ x x 4 c) x y z x : y z d) ( x x y ) : ( y x ) 5 Kaj je procent? Kaj je promil? Kakšna je zveza med procentom, deležem in celoto? a) Cena zvezka je,5 EUR Podražijo ga za 0 % Izračunajte novo ceno zvezka b) Cena blaga je po 5 % podražitvi 0 EUR Koliko je stalo blago pred podražitvijo? c) Blago so najprej pocenili za 0 %, nato pa še za 5 EUR Cena blaga po obeh pocenitvah je 500 EUR Kolikšna je bila cena pred obema pocenitvama? 6 Opišite, kdaj sta dve količini v premem in kdaj v obratnem sorazmerju REALNA ŠTEVILA a) Iz 7 kg jabolk naredimo 80 litrov jabolčnega soka Koliko jabolk potrebujemo za 70 l soka? Koliko soka lahko naredimo iz 00 kg jabolk? b) 8 zidarjev izdela fasado v osmih dneh V kolikšnem času izdela isto fasado 6 zidarjev? Koliko zidarjev bi potrebovali, da bi bila fasada končana v šestih dneh? 7 Opišite množico realnih števil Naštejte osnovne računske operacije v množici realnih števil in opišite njihove lastnosti Izračunajte brez uporabe žepnega računala 0, 5, + 65, : 5 8 Katera realna števila imenujemo iracionalna števila? Kakšen decimalni zapis imajo iracionalna števila? a) Katera števila med števili 0, e, π,, 8 so iracionalna števila? b) Predstavite na številski premici število 9 Definirajte odprti, zaprti, polodprti interval in poltrak ter jih predstavite na številski premici Predstavite na številski premici intervale A=, 4, B=, 5, C =, 0, D=, [ ] [ ) ( ] ( ) 4 4

5 0 Zapišite definicijo absolutne vrednosti realnega števila Kakšen je njen geometrijski pomen? a) Izračunajte 4+ 5 b) Poenostavite izraz x + x + c) Rešite enačbo x 6 = 4 d) Rešite neenačbi x + 4 < 6 in + x 0 Naštejte pravila za računanje s koreni Zakaj je pomembno, ali je korenski eksponent sodo ali liho število? 4 5 a) b) x x x x 4 x y y c) a 5 4 a a : a a ab b ab d) ( ) Kaj je delno korenjenje in kaj je racionalizacija imenovalca? a) b) 6 c) d) 5 5 Definirajte potenco s pozitivno osnovo in racionalnim eksponentom ter zapišite pravila za računanje s takimi potencami a) 0, 008 : 0, b) a a b b : c) Katere enačbe imenujemo iracionalne enačbe? Na primeru razložite, kako jih rešujemo a) x = x b) x+ = x 5 OSNOVE GEOMETRIJE V RAVNINI IN PROSTORU 5 Naštejte nekaj osnovnih zakonov, ki povezujejo osnovne geometrijske elemente točko, premico in ravnino Kdaj sta dve premici v ravnini vzporedni? Narišite paralelogram in poiščite pare vzporednih premic 6 Definirajte daljico in simetralo daljice v ravnini Kako konstruiramo simetralo daljice? Narišite poljubno daljico in konstruirajte množico točk, ki so enako oddaljene od obeh oglišč daljice 7 Definirajte kot in pojasnite pojma vrh in krak kota Kaj je simetrala kota in kako jo konstruiramo? a) Narišite poljubni kot in konstruirajte njegovo simetralo Opišite lastnosti simetrale b) S šestilom in ravnilom konstruirajte kote 60, 0, 5, 90 5

6 8 Definirajte kot in pojasnite pojma vrh in krak kota Definirajte ničelni, pravi, iztegnjeni, polni, ostri in topi kot Narišite primere za ničelni, pravi, iztegnjeni, polni, ostri in topi kot 9 Definirajte pojme sosedna kota, sokota, sovršna kota, komplementarna in suplementarna kota TRIKOTNIK Narišite kvadrat s stranico cm in mu narišite obe diagonali Poiščite na sliki pare sosednih, sovršnih, komplementarnih in suplementarnih kotov ter sokotov 0 Opišite trikotnik Definirajte pojma notranji in zunanji kot trikotnika Kolikšna je vsota notranjih kotov trikotnika? Kolikšna je vsota zunanjih kotov trikotnika? a) V trikotniku merita kota α = 47 in β = 5 Izračunajte preostale notranje in zunanje kote trikotnika b) V trikotniku merita kota γ = 47 in β = 0 Izračunajte preostale notranje in zunanje kote trikotnika Kaj je težiščnica trikotnika? Kaj je težišče trikotnika? Kakšen je geometrijski pomen težišča? Narišite poljubni trikotnik ter mu konstruirajte težišče Opišite pojem višina trikotnika Kaj je višinska točka trikotnika? Kako jo konstruiramo? Narišite poljubni trikotnik ter mu konstruirajte višinsko točko Opišite pojma simetrala stranice in simetrala kota trikotnika Kako konstruiramo središče trikotniku očrtane krožnice? Narišite poljubni trikotnik in mu konstruirajte očrtano krožnico 4 Opišite pojma simetrala stranice in simetrala kota trikotnika Kako konstruiramo središče trikotniku včrtane krožnice? Narišite poljubni trikotnik in mu konstruirajte včrtano krožnico 5 Zapišite nekaj obrazcev, s katerimi lahko izračunamo ploščino trikotnika a) Izračunajte ploščino trikotnika s podatki c = 8 cm in vc = 5cm b) Izračunajte ploščino trikotnika s podatki a = 0 cm, b = 6 cm in c = 8 cm c) Izračunajte ploščino trikotnika s podatki a = 4 cm, b = 0 cm in γ = 75 d) Izračunajte ploščino trikotnika s podatki α = 67, β = 4, v c = 0 cm 6

7 6 Kako izračunamo polmera trikotniku včrtanega in očrtanega kroga? a) Izračunajte polmera trikotniku včrtanega in očrtanega kroga, če je trikotnik podan s podatki a = 8 cm, b = 4 cm, c = 9 cm b) Izračunajte polmera trikotniku včrtanega in očrtanega kroga, če je trikotnik podan s podatki a = 4 cm, b = 6 cm, γ = 50 c) Izračunajte polmera očrtanega in včrtanega kroga enakostraničnemu trikotniku s stranico a = 4 cm Rezultata zaokrožite na tri mesta natančno 7 Zapišite kosinusni izrek Kdaj ga uporabljamo? a) V trikotniku poznamo stranici a = cm in c =,4 dm ter kot β = 60 Izračunajte dolžino stranice b ter kot α b) Trikotnik ima stranice a = 8 cm, b = cm in c = cm Izračunajte notranje kote trikotnika Rezultate zapišite na minuto natančno 8 Zapišite sinusni izrek Kdaj ga uporabljamo? a) V trikotniku poznamo kota β = 8, γ = 4 ter dolžino stranice b = 4 dm 8 cm Izračunajte dolžini stranic a in c Rezultata zaokrožite na milimeter natančno b) Trikotnik ima polmer očrtane krožnice R = 0 cm ter kota β = 4 5 in α = Izračunajte stranice trikotnika Rezultate zaokrožite na stotinko natančno 9 Definirajte pravokotni trikotnik in zapišite Pitagorov, višinski in Evklidov izrek Kako izračunamo ploščino pravokotnega trikotnika? a) Prva kateta pravokotnega trikotnika je za 9 cm krajša od hipotenuze, druga za 8 cm Koliko merijo stranice tega trikotnika? b) V pravokotnem trikotniku s hipotenuzo c poznamo a = 4, a = Izračunajte manjkajoče podatke b,c,v c, b, S Rezultati naj bodo točni c) Konstruirajte pravokotni trikotnik s podatkoma c = 5cm, v = 5mm 40 Definirajte enakostranični trikotnik Opišite njegove lastnosti Zapišite formuli za obseg in ploščino enakostraničnega trikotnika a) Stranica enakostraničnega trikotnika meri 5 cm Izračunajte obseg, ploščino in višino trikotnika Rezultate zaokrožite na stotinko natančno b) Višina enakostraničnega trikotnika meri 4 Izračunajte dolžino stranice in ploščino trikotnika Rezultata naj bosta točna 4 Definirajte enakokraki trikotnik Opišite njegove lastnosti Kako izračunamo ploščino enakokrakega trikotnika? a) V enakokrakem trikotniku meri kot ob vrhu 78, višina na osnovnico pa 5 mm Izračunajte ploščino trikotnika b) Enakokraki trikotnik ima osnovnico c = 5 cm in krak a = 8 cm Izračunajte stranico enakostraničnega trikotnika, ki ima enako ploščino kot dani enakokraki trikotnik 4 Povejte izreke o skladnosti trikotnikov Kaj lahko povemo o obsegih in ploščinah skladnih trikotnikov? 7 c

8 a) Konstruirajte trikotnik s podatki: b = 6 cm, α = 4, γ = 5 b) Konstruirajte trikotnik s podatki: a = 5 cm, t a = 4 cm, va = cm c) Konstruirajte trikotnik s podatki: va = cm, vc = 4 cm, β = 8 d) Konstruirajte trikotnik s podatki: R = cm, b = 4 cm, γ = 45 4 Povejte izreke o podobnosti trikotnikov Kaj lahko povemo o obsegih in ploščinah podobnih trikotnikov? ŠTIRIKOTNIKI a) Trikotnik ima stranice,4 dm, dm,,6 dm Koliko merijo stranice podobnega trikotnika, če je koeficient podobnosti? b) Stranice trikotnika so v razmerju 4 : 5 : 6 Razlika med najdaljšo in najkrajšo stranico podobnega trikotnika meri 8 cm Koliko merijo stranice podobnega trikotnika? c) Stranice trikotnika merijo 4 cm, 8 cm in 0 cm Obseg podobnega trikotnika pa meri 55 cm Koliko merijo stranice podobnega trikotnika? 44 Narišite paralelogram in opišite njegove lastnosti Kako izračunamo ploščino paralelograma? a) Konstruirajte paralelogram s podatki a = 5 cm, b = cm, β = 05 b) Konstruirajte paralelogram s podatki a = 4 cm, e = 6 cm, va = cm c) V paralelogramu poznamo stranici a = 5 cm in b = 4 cm ter kot α = 70 Izračunajte dolžino diagonale f, višino na stranico a ter ploščino paralelograma d) Paralelogram ima stranici a = 8 cm in b = 0,6 dm ter diagonalo f=bd=50 mm Izračunaj ploščino paralelograma 45 Narišite romb in opišite njegove lastnosti Kako izračunamo ploščino romba? a) Konstruirajte romb s podatkoma e = 8 cm in f = 6 cm b) Diagonali romba sta v razmerju e : f = :, njegova ploščina meri cm Izračunajte dolžini obeh diagonal, dolžino stranice a ter kot α c) Romb ima stranico a = 0 m in kot β = Izračunajte ploščino lika, višino in dolžini obeh diagonal 46 Narišite trapez in opišite njegove lastnosti Kako izračunamo ploščino trapeza? Kdaj je trapez enakokrak? a) Konstruirajte trapez s podatki a = 6 cm, b= cm, c = 4 cm in d = cm b) Konstruirajte trapez s podatki a = 5 cm, d = cm, v = cm in e = 6 cm c) V enakokrakem trapezu merita osnovnici a = 0 cm in c = 5 cm ter krak b = d = cm Izračunajte ploščino trapeza Rezultat zaokrožite na celo število 8

9 47 Narišite deltoid in opišite njegove lastnosti Kako izračunamo ploščino deltoida? KROG IN KROŽNICA a) Konstruirajte deltoid ABCD (AB=AD) s podatki a = cm, e = 7 cm in f = 4 cm b) Diagonali deltoida ABCD (AB=AD) merita e = 6, f = in stranica a = 8 Izračunajte stranico b ter velikosti vseh notranjih kotov 48 Povejte geometrijski definiciji kroga in krožnice Razložite pojme polmer, premer, tetiva kroga Kako izračunamo ploščino in obseg kroga? Izračunajte ploščino in obseg kroga, ki ga očrtamo kvadratu s stranico 5 cm 49 Definirajte krožni lok, krožni izsek in krožni odsek Zapišite obrazce, po katerih izračunamo dolžino krožnega loka ter ploščini krožnega izseka in odseka a) Izračunajte dolžino krožnega loka ter ploščini krožnega izseka in odseka, ki pripadajo središčnemu kotu α = 7 v krogu s polmerom cm b) Izračunajte dolžino krožnega loka ter ploščini krožnega izseka in odseka, ki pripadajo tetivi z dolžino 4 cm v krogu s polmerom 6 cm 50 Definirajte središčni in obodni kot v krogu V kakšni zvezi sta, če ležita oba nad istim lokom? Koliko meri obodni kot v polkrogu? a) Središčni kot v krogu meri 96 Koliko meri obodni kot nad istim lokom? b) Konstruirajte pravokotni trikotnik s hipotenuzo c = 7 cm in v c = cm 5 V kakšni medsebojni legi sta lahko premica in krožnica? Kako konstruiramo tangento na krožnico, če točka leži na krožnici in kako, če točka leži zunaj kroga? a) Narišite krožnico s polmerom cm, na njej izberite poljubno točko in skozi njo konstruirajte tangento na krožnico b) Narišite krog s polmerom cm, izven kroga izberite poljubno točko in skozi njo konstruirajte tangento na krožnico GEOMETRIJSKA TELESA 5 Opišite prizmo Zapišite formuli za površino in prostornino pokončne prizme Navedite posebne primere prizem a) Pokončna tristrana prizma ima višino dm ter robove osnovne ploskve cm, 0 cm in 5 cm Izračunajte površino in prostornino prizme b) Pokončna prizma ima za osnovno ploskev paralelogram s stranicama a = 6 cm in b = 40 mm ter kotom med njima 60 Višina prizme meri dm Izračunajte prostornino in površino prizme 9

10 5 Opišite pokončni valj Kaj je osni presek valja? Kdaj je valj enakostraničen? Zapišite formuli za površino in prostornino valja a) Polmer osnovne ploskve valja meri 6 cm, višina valja pa 0 cm Izračunajte površino in prostornino valja b) Medeninasta cev ima zunanji premer 8 cm, notranji premer pa 6 cm Dolžina cevi je,5 m Koliko tehta cev, če je gostota medenine 89, g/ cm? c) Papir v obliki kvadrata s stranico 5 cm zvijemo v valj Izračunajte prostornino valja d) Površina plašča valja je za 9π cm večja od ploščine osnovne ploskve Izračunajte površino in prostornino valja, če je višina valja 8 cm 54 Opišite pokončno piramido Zapišite formuli za površino in prostornino piramide Kdaj je piramida enakorobna? a) Pravilna štiristrana piramida ima osnovni rob 0 cm in višino cm Izračunajte površino in prostornino piramide b) Pravilna štiristrana piramida z osnovnim robom 5 cm ima stransko višino 6 cm Koliko merita površina in prostornina piramide? Izračunajte tudi kot med osnovno in stransko ploskvijo in kot med stranskim robom in osnovno ploskvijo c) Skiciraj pravilno tristrano piramido Zapišite število ploskev in robov 55 Opišite pokončni stožec Kdaj je stožec enakostraničen? Zapišite formuli za površino in prostornino stožca a) Stožec ima polmer osnovne ploskve 8 cm in višino 0 cm Izračunajte površino in prostornino stožca b) Na 0 cm visokem valju s polmerom osnovne ploskve 4 cm stoji stožec z isto osnovno ploskvijo in z višino 6 cm Izračunajte površino in prostornino tega telesa 56 Opišite kroglo Zapišite formuli za površino in prostornino krogle a) Izračunajte površino in prostornino krogle s premerom 4 dm b) Krogla ima polmer R = 0 cm Kroglo prerežemo z ravnino, ki je oddaljena od središča krogle za cm Izračunajte ploščino kroga, ki ga dobimo pri preseku krogle z ravnino PRAVOKOTNI KOORDINATNI SISTEM V RAVNINI 57 Opišite pravokotni koordinatni sistem v ravnini Zapišite formulo za razdaljo med dvema točkama Kako določimo koordinati središča daljice? a) Narišite v pravokotnem koordinatnem sistemu v ravnini množico točk, ki ustreza pogoju ( x < 6) ( y< ) b) Izračunajte dolžino daljice s krajiščema A(, 5) in B(, ) ter določite njeno središče 0

11 58 Kako izračunamo ploščino trikotnika podanega s koordinatami oglišč? Kaj je orientacija trikotnika? a) Izračunajte ploščino in obseg trikotnika z oglišči A(, 4), B(5, ), C(7, 5) b) Določite neznano koordinato točke A tako, da bo imel trikotnik z oglišči A(x, 4), B(, 5), C(4, 4) negativno orientacijo in ploščino LINEARNA FUNKCIJA, ENAČBA, NEENAČBA 59 Zapišite definicijo linearne funkcije in opišite pomen konstant k in n Kaj je graf linearne funkcije? Ali je linearna funkcija f ( x) = x naraščajoča ali padajoča? Kje seka graf funkcije ordinatno os? 60 Kaj je graf linearne funkcije? Kakšna sta grafa dveh linearnih funkcij z enakima smernima koeficientoma? a) Ali sta premici x 4y + 5= 0 in x y + 4 = vzporedni? b) Zapišite enačbo premice, ki poteka skozi točko A(, ) in je vzporedna s premico y = x+ 5 6 Kako zapišemo enačbo premice, ki poteka skozi dano točko in ima znan smerni koeficient? a) Zapišite enačbo premice, ki poteka skozi točko A(, ) in ima smerni koeficient k = b) Zapišite enačbo premice, ki je vzporedna s premico x y + 5 = 0 in seka ordinatno os v točki 6 Kako zapišemo enačbo premice skozi dve znani točki? a) Zapišite enačbo premice, ki poteka skozi točki A(, ) in B(, ) b) Zapišite enačbo premice, ki poteka skozi presečišče premic x 5y + 8 = 0 in 4x + y 4 = 0 in skozi točko A( 4, 5) 6 Kaj je ničla linearne funkcije in kaj njena začetna vrednost? Kako narišemo graf linearne funkcije? Narišite graf dane linearne funkcije ter izračunajte njeno ničlo in začetno vrednost: a) f ( x) = x b) f ( x) = x Zapišite eksplicitno, implicitno in odsekovno (segmentno) obliko enačbe premice a) Zapišite enačbo premice, ki seka os x v točki in y os v točki Enačbo premice zapišite v vseh treh značilnih oblikah b) Preoblikuje enačbo premice x y + 6= 0 v eksplicitno in odsekovno obliko c) Preoblikujte enačbo premice y = x+ v implicitno in odsekovno obliko

12 65 Kako izračunamo kot med premico in abscisno osjo? Kako izračunamo kot med premicama v pravokotnem koordinatnem sistemu? a) Izračunajte kot med premico x y + = 0 in abscisno osjo b) Izračunajte kot med premicama y = x + 5 in x 4y + = 0 66 Kaj je linearna enačba? Na primerih razložite postopke reševanja linearnih enačb a) ( x ) ( x) = x ( x+ ) x ( x+ )( x ) 4 x ( x )( x ) b) + = + 4 c) ( x+ ) + ( x 5) ( x+ )( x ) = 4( x ) 67 Opišite sistem dveh linearnih enačb z dvema neznankama Razložite njegov geometrijski pomen Na primeru razložite, kako rešujemo sisteme dveh linearnih enačb z dvema neznankama 4x + y = 4 a) Rešite sistem x+ y = b) Izračunajte presečišče premic x + y 0= 0 in x + 5y 7 = 0 c) Izračunajte skupno točko premic y = x + in x y + = 68 Opišite sistem treh linearnih enačb s tremi neznankami Na primeru razložite, kako ga rešujemo Rešite sistem: x y z = x + y + 5z = 9 x + y 4z = 69 Na primerih razložite, kako rešujemo linearne neenačbe z eno neznanko a) ( x ) < 4 b) ( x ) ( x ) ( x) x 4 x + 4 c) ( ) KVADRATNA FUNKCIJA, ENAČBA, NEENAČBA 8 70 Zapišite enačbo kvadratne funkcije v splošni obliki Kaj je graf kvadratne funkcije? Kako izračunamo ničli in teme kvadratne funkcije? a) Narišite grafe kvadratnih funkcij f ( x) = x 5x, f ( x) = x + 4 in f ( x) = ( x ) + b) Zapišite kvadratno funkcijo, katere graf poteka skozi točke A(, ), B(, 8) in C(, )

13 7 Opišite pomen vodilnega koeficienta, konstantnega člena in diskriminante za graf kvadratne funkcije Kako izračunamo njeni ničli in teme? a) Izračunajte ničli, teme in začetno vrednost kvadratne funkcije f ( x) = x x Narišite njen graf b) Določite točko, v kateri zavzame graf funkcije f ( x) = 4 x + x+ največjo vrednost c) Določite m tako, da bo imela kvadratna funkcija f ( x) = x + ( m ) x+ m eno samo realno ničlo 7 Zapišite temensko in ničelno (korensko) obliko enačbe kvadratne funkcije a) Preoblikujte enačbo kvadratne funkcije f ( x) = x 4x 6 v temensko in ničelno obliko b) Zapišite enačbo parabole, ki ima isto teme kot parabola y = x 4x in poteka skozi točko A(4, 4) c) Zapišite kvadratno funkcijo, ki ima ničli v točkah in 4, njen graf pa poteka skozi točko A(, 4) 7 Zapišite kvadratno enačbo Kako izračunamo njeni rešitvi (korena) s pomočjo obrazca in kako z Vietovim pravilom? Kako vpliva diskriminanta na število rešitev enačbe? a) x + 7x + = 0 b) x + x = 0 c) x + 4x = 0 d) ( x+ ) ( x )( x+ 4) x = ( x+ )( x ) + x( x+ ) ( ) ( ) e) z z+ = z 74 Opišite vse mogoče medsebojne lege premice in parabole Koliko skupnih točk lahko imata? Kako jih izračunamo? Računsko in grafično določi skupne točke premice y = x in parabole y = x 5x Opišite vse mogoče medsebojne lege dveh parabol Koliko skupnih točk lahko imata? Kako jih izračunamo? Izračunajte skupne točke parabol y = x x in y = x + 5x Nalogo rešite tudi grafično 76 Na primeru razložite, kako rešujemo kvadratne neenačbe a) x > x + b) x 4x 0 c) Določite interval, na katerem je funkcija f ( x) = x + x+ negativna POLINOMI IN RACIONALNE FUNKCIJE 77 Zapišite potenčno funkcijo z naravnim eksponentom Narišite grafa funkcij f ( x) = x in g( x) = x Opišite njune skupne in različne lastnosti Izračunajte skupne točke grafov funkcij ( ) f x = x in gx ( ) = x

14 78 Zapišite potenčno funkcijo z negativnim celim eksponentom Narišite grafa funkcij f x = x in g x = x Opišite njune skupne in različne lastnosti ( ) ( ) Izračunajte skupne točke grafov funkcij ( ) f x = x in gx ( ) = x Narišite sliko 79 Definirajte polinom in opišite osnovne računske operacije s polinomi Kdaj sta dva polinoma enaka? a) Dana sta polinoma px ( ) = x 4x, qx ( ) = x + x Izračunajte pxqx ( ) ( ) px ( ) in px: ( ) qx ( ) b) Določite A, B in C tako, da bosta polinoma px ( ) = x + x 4 in qx ( ) = Ax ( )( x+ ) Bx ( ) + Cenaka 80 Zapišite osnovni izrek o deljenju polinomov in na primeru opišite postopek deljenja dveh polinomov a) Dana sta polinoma px ( ) = x + 4x in qx ( ) = x + x Delite polinom px ( ) s polinomom qx ( ) S pomočjo osnovnega izreka o deljenju polinomov napravite preizkus deljenja x 4 x + x 4 : x x b) Izračunajte: ( ) ( ) 8 Kaj je ničla polinoma? Kdaj je ničla večkratna? Koliko ničel ima polinom n te stopnje? Kako zapišemo polinom, če poznamo vse njegove ničle? a) Razcepite dana polinoma px ( ) = x x 5x+ 75, qx ( ) = x + 4x + 4x+ v množici realnih števil b) Zapišite polinom četrte stopnje z realnimi koeficienti, ki ima enojni ničli v točkah in, v točki dvojno ničlo in začetno vrednost Narišite graf polinoma 8 Na primeru opišite Hornerjev algoritem in pojasnite njegovo uporabnost a) Dan je polinom px ( ) = x 4x 4x+ 5 S pomočjo Hornerjevega algoritma izračunajte p( ) in preverite, ali je število ničla danega polinoma Dani polinom delite z linearnim polinomom x in zapišite količnik ter ostanek pri deljenju b) Določite a in b tako, da bo imel polinom px ( ) = x 4x + ax+ bničli v točkah in 4 Izračunajte tretjo ničlo polinoma 8 Kako poiščemo cele in racionalne ničle polinoma z racionalnimi koeficienti? Poiščite ničle polinoma in določite njihove stopnje: a) px ( ) = x + 45x + 6x b) px ( ) = x 5x + x+ 8 c) px ( ) = x 6x 4 + x 8x 4

15 84 Razložite postopek risanja grafa polinoma Kako vodilni člen in prosti člen vplivata na potek grafa? Kako se polinom obnaša v okolici ničel lihe stopnje in kako v okolici ničel sode stopnje? Narišite grafe polinomov: a) f ( x) = x x 9x+ 8 4 ( ) b) f x = x x 4x 85 Na primeru razložite, kako rešujemo enačbe višjih stopenj c) d) f ( x) = 4x + 8x + x f ( x) = ( x ) ( x+ ) ( x ) 4 a) x x + 6 = 0 4 b) x x x = 0 c) x + x x + 6= 0 4 d) x 6x + 8x + 6x 64 = 0 86 Na primeru razložite, kako rešujemo neenačbe višjih stopenj a) x x 5x < 4, b) x 4 x 4x + x 0 c) Določite definicijsko območje izraza x x x+6 d) Določite interval, na katerem je polinom px ( ) = x x+ negativen 87 Definirajte racionalno funkcijo Kje je definirana? Razložite pojme ničla, pol, asimptota in začetna vrednost racionalne funkcije Kako se graf racionalne funkcije obnaša v okolici ničel in kako v okolici polov? Narišite grafe racionalnih funkcij in zapišite njihova definicijska območja: x a) f ( x) = x + x x b ) f ( x) = c) f ( x) = x + x 4x + x + x 88 Katere enačbe imenujemo racionalne enačbe? Na primeru razložite, kako jih rešujemo a) x + 5 x x x x x x + x = 0 b) 89 Na primeru razložite, kako rešujemo neenačbe višjih stopenj a) x x + < 0 b) x x x + x + 7x x 7 x = + x + x 6 + x + EKSPONENTNA IN LOGARITEMSKA FUNKCIJA, ENAČBA 90 Definirajte eksponentno funkcijo, narišite njen graf in opišite njene lastnosti Kaj je definicijsko območje eksponentne funkcije? a) Narišite grafa funkcij ( ) f x x = in gx ( ) = x b) Določite a tako, da bo graf eksponentne funkcije f ( x) = a x potekal skozi točko A(, 4 9) 5

16 9 Katere enačbe imenujemo eksponentne enačbe? Na primerih opišite metode njihovega reševanja a) ( ) ( ) x+ x x x x 4 : = 8 b) x x + 4 x = x x c) 4 = x d) = x e) Izračunajte skupne točke grafov funkcij f ( x) = x+ + in gx ( ) = 9 Zapišite definicijo logaritma Katere logaritme imenujemo desetiške in katere naravne logaritme? Rešite enačbe a) log x = b) log x 7 = / c) log 6 = x 9 Narišite graf logaritemske funkcije z osnovo a > 0, a, in opišite njene lastnosti Kaj je definicijsko območje logaritemske funkcije? a) Narišite grafa funkcij ( ) f x b) Določite a tako, da bo graf funkcije f ( x) = log x in g( x) = log x+ = log a x potekal skozi točko A( 7, 4 ) 94 Zapišite pravila za logaritmiranje in formulo za prehod k novi osnovi logaritma a) Logaritmirajte izraz: A a = b c log A = log a log b + log c log a log b b) Antilogaritmirajte izraz: ( ) c) Izračunajte log 5 log5 log50 + log54 95 Na primeru razložite, kako rešujemo logaritemske enačbe a) ln( x+ ) + ln( x+ 4) = ln( x ) b) log( x+ ) log( x+ ) = log( x ) log( x 4 ) c) log ( x) = log ( x + ) KOTNE FUNKCIJE 96 Definirajte ločno stopinjo in radian Zapišite pretvornik med omenjenima enotama a) Pretvorite kote 0, 45, 60, 0, 5, 690 v radiane b) Pretvorite kote π 5 π π π,,,, π v stopinje Definirajte kotne funkcije v pravokotnem trikotniku s katetama a in b ter hipotenuzo c Zapišite osnovne zveze med njimi a) V pravokotnem trikotniku s hipotenuzo c poznamo stranici a = cm in b = 9 cm S pomočjo kotnih funkcij izračunajte kot α in višino na stranico c b) Izračunajte sin x, tgx, sinx, če je cos x = in je kot x oster 6

17 98 Definirajte kotne funkcije v enotski krožnici in zapišite osnovne zveze med njimi a) Izračunajte sin( 90 ) + cos750 tg5 tg( 600 ) b) Izračunajte sin x, če je cos x = 06 in π < x < π c) Izračunajte tgx, če je sin x = in 70 x 60 sin x cos x cos x d) Poenostavite + + tg x tgx 99 Narišite graf funkcije sinus in opišite njene lastnosti Narišite grafe funkcij: a) f ( x) = sin x b) f ( x) = sin x c) f ( x) x = sin 00 Narišite graf funkcije kosinus in opišite njene lastnosti Narišite grafe funkcij: a) f ( x) = cos x b) f ( x) = cos x c) f ( x) 0 Narišite graf funkcije tangens in opišite njene lastnosti x = cos a) Katere funkcije med funkcijami sin x, cos x, tgx so lihe in katere sode? b) Izračunajte 0, tg 90, tg ( 0 ) tg 0 V isti koordinatni sistem narišite grafa funkcij sinus in kosinus ter opišite njune skupne in različne lastnosti Dana je funkcija f ( x) = x x Izračunajte π sin cos f ( ) 0 Zapišite adicijske izreke za funkciji sinus in kosinus π π a) Poenostavite ( x) cos( x) b) Poenostavite cos cos x cos sin ( x 0 ) + cos( x+ 0 ) ( x 0 ) sin( x+ 0 ) c) Izračunajte vrednost izraza ( ) d) Izračunajte sin ( α β), če je 04 Zapišite formuli za sinus in kosinus dvojnega kota cos x + 0, če je cos x = 5 in 80 x 70 sinα = 5 in cos β = 08 ter 90 < α, β < 80 a) Izračunajte sin x in cosx, če je sin x = 4 5 in je 70 < x < 60 b) Poenostavite sin x cos x+ sin x c) Poenostavite sin x+ sin x cos x+ sin x 7

18 ZAPOREDJA 05 Kaj je zaporedje? Naštejte in opišite lastnosti zaporedij n Dano je zaporedje s splošnim členom an = + n + a) Izračunajte prvih pet členov zaporedja b) Narišite graf zaporedja c) Ali je število 7 9 člen tega zaporedja? d) Dokažite, da je zaporedje naraščajoče 06 Kdaj je zaporedje aritmetično? Zapišite splošni člen in obrazec za vsoto prvih n členov zaporedja Kaj je aritmetična sredina dveh števil? a) Zapiši prve tri člene aritmetičnega zaporedja, če je a 7 = 6 in a = 64 b) Koliko začetnih členov aritmetičnega zaporedja z drugim členom in petim členom je treba sešteti, da dobimo vsoto 475? c) Določi x tako, da bodo števila x +, x + 6, 5x tvorila aritmetično zaporedje d) Izračunajte, koliko števil je treba vriniti med števili 0 in, da bi dobili aritmetično zaporedje z vsoto Kdaj je zaporedje geometrijsko? Zapišite splošni člen in obrazec za vsoto prvih n členov zaporedja x+ x a) Rešitev enačbe = 6 je prvi, rešitev enačbe x 5 x+ : = pa drugi člen geometrijskega zaporedja Koliko členov zaporedja je treba sešteti, da dobimo vsoto 78? b) Prvi člen geometrijskega zaporedja je 5 in količnik Koliko členov zaporedja je treba sešteti, da dobimo vsoto 6400? x x 7 c) Določite x tako, da bodo števila 5 x+, 5, 5 4 tvorila geometrijsko zaporedje 08 Kakšna je razlika med navadnim in obrestnim obrestovanjem? Kako izračunamo končno vrednost glavnice pri navadnem in kako pri obrestnem obrestovanju? STATISTIKA a) Kolikšna je vrednost glavnice 0000 de po petih letih pri 6 % letni obrestni meri, če je obrestovanje navadno in kolikšna, če je obrestovanje obrestno? b) V banko vlagamo deset let zapored na začetku vsakega leta po 0000 SIT Letna obrestna mera je 4 % Koliko denarja bomo imeli privarčevanega na koncu desetega leta, če je obrestovanje navadno in koliko, če je obrestovanje obrestno? 09 Kaj je statistika? Razložite pojme populacija, statistična enota, statistični znak in statistični parameter Opazujte množico avtomobilov in sicer glede na tip, ceno, barvo in moč Kaj je v tem primeru populacija, statistična enota, statistični znak in kaj bi lahko bili statistični parametri? 8

19 0 Kako urejamo statistične podatke v razrede? Kaj je frekvenčna porazdelitev? Razložite pojma absolutna in relativna frekvenca V četrtem letniku je prvo šolsko nalogo 5 dijakov pisalo nezadostno, 9 zadostno, 9 dobro, 6 prav dobro in odlično Oblikujte frekvenčno porazdelitev ter določite absolutno in relativno frekvenco posameznega razreda Razložite, kako narišemo histogram, frekvenčni poligon in frekvenčni kolač? Pri metu dveh igralnih kock je vsota pik nastopila enkrat, vsota pik trikrat, vsota pik 4 petkrat, vsota pik 5 sedemkrat, vsota pik 6 osemkrat, vsota pik 7 osemkrat, vsota pik 9 petkrat, vsota pik 0 petkrat, vsota pik trikrat in vsota pik 8 ali ni nastopila Za dani primer narišite histogram in frekvenčni poligon Definirajte aritmetično sredino, varianco in standardni odklon Zapišite obrazce za izračun teh količin Razložite njihov pomen Za devet voznikov osebnih avtomobilov so izmerili čas, ki ga potrebujejo, da prepeljejo pot Novega mesta do Ljubljane in dobili naslednje rezultate v minutah: 45, 50, 40, 4, 48, 4, 55, 4, 45 Izračunajte povprečni čas, ki so ga potrebovali vozniki, ter varianco in standardni odklon za te podatke 9

20 REŠITVE NARAVNA ŠTEVILA a) 56, b)7, a) 4, b) {7n; n Ν }, c) {5n+; n Ν }, a) (, 46, 8, 4); 5; 4 (, 4); 5 95, b) a =, 4, 7, c) a = 0, 4, 8, 4a) praštevila:,, 5, 7,,, 7, 9; sestavljena števila: 4, 6, 8, 9, 0,, 4, 5, 6, 8, 0, b) = ; 96= 5 ; 40= 5 5a) D(56,6) = 4, v(56,6) = 504, nista tuji števili, b) D(75,5) = 5, v(75,5) = 6675 c) D(x 4 9x, x 5 6x 4 + 9x ) = x (x ), v(x 4 9x, x 5 6x 4 + 9x ) = x (x ) (x+) CELA ŠTEVILA 6a) 5, b) 0, 7a) a 0 b 0, b) 4a 0 b 8 + 9x+, c), 8a) (x + ), b) (x )(x + 4), c) 4x 9a) (x )(x + ), b) (x 5y)(x + 5y), c) (a )(a + )(a + 9), d) (a + )(a a + 4), e) (x )(x + x + 9), f) (x y)(4x + x y + y ), 0a) (x 4)(x + ), b) x(x )(x + ), c) (x )(x )(x + ), d) (x + )(x 4)(x + 4), e) (x )(x + )(x )(x + ), f) (a )(a + )(a + 9) RACIONALNA ŠTEVILA x a) 65 / 68, b) x, c) x + x, d) x x, x a) 0 6, 75, 0 6, 6, števili 06 in 06 imata neskončen periodičen decimalni zapis in števili 75in 6 končen decimalni zapis b) 5, 0, 7 45, 74, 7 0, a( a ) x + x 8 x y 4a), b) 5, c) a +, d), 64z (x+ y)y 5a),8 EUR, b) 786 EUR, c) 656,5 EUR, 6a) 06,7 kg,,87 lit, b) 9 dni, 4 zidarjev, 7 ¾, 8a) e, π,, 0a), b) x +, če x ali x 4, če x <, c) x =, x = 5, d) 0 < x <, (x 8) (x ), a) 4, b) 5 x y, c) 9 60 a, d) 6 a 9 b, a) b) 4, c), d) 5 + 5, a), b) 6 6 a b, c) 7, 4a) x = (x = 5 ni rešitev), b) x = TRIKOTNIK 0a) γ = 8, α =, β = 55, γ = 7, b) α = 56 0, α = 40, β = 76 8, γ = 48 5a) S = 0 cm, b) S = 79,60 cm, c) S =,8 cm, d) S = 76,75 cm, 6a) r =,5 cm, R = 4,5 cm, b) r =,6 cm, R =,00 cm, c) r =,5 cm, R =, cm, 7a) b = 0, 78 cm,α = 0, b) α = 7,05 = 7, β = 64,67 = 64 40, γ = 78,8 = a) a = 4,6 cm, c = 7, cm, b) a = 8,67 cm, b =,86 cm, c = 8,49 cm, 9a) a = 0 cm, b = cm, c = 9 cm, b) v = cm, S = 8 cm, b = 6 cm, b= 4 cm, c = 8 cm, c 40a) o = 5 cm, S = 0,8 cm, v = 4, cm, b) a = 8, S = 6, 4a) c = 56,68 mm, S = 99,9 mm, b) S = 9 cm, a = 6,6 cm, 4a) 4,8 dm, 4 dm,, dm, b) a = 6cm, b = 0cm, c = 4cm, c) a = 0cm, b = 0cm, c = 5cm 0

21 ŠTIRIKOTNIKI 44c) f = 5, cm, v a =,76 cm, S = 8,79 cm, d) S = 9,96 cm, 45b) a = 6, cm, α = 67, 59 = 67 5,e= 6 cm,f = 4 cm, c) S = 84, 8 m,v = 8, 48 m, e = 7, 49 m, f = 97, m, 46c) S, 47 b) b =, 8, α = 97, 8, β = δ = 0, 5, γ = 58, 5, KROG IN KROŽNICA 48 o = 5 π,s = 5π /, 49 a) l = 48, π cm,s = 88, π cm,s = cm, b) l = 408, cm,s =, cm, S = 09, cm, 50 a) 48 i od GEOMETRIJSKA TELESA 5a) P = 489,6 cm, V = 598, cm, b) P = 4,56 cm, V = 07,85 cm, 5a) V = 60π c m, P= 9π cm, b) m = 74,7 g, c) r = 0,796, V = 995 cm, d) dve rešitvi: I r =,V = 7π, P= 66π in II r =,V = 5π, P= 546π, 54a) V = 400 cm, P = 60 cm, b) V = 45,4 cm, P = 85 cm, α = 65, 8, β = 57, 0, c) 6 robov in 4 ploskve, 55a) V = 40,4 cm, P = 74,4 cm, b) P = 9, cm, V = 9π c m, 56a) P= 576π cm,v = 04π cm, b) S = 56π cm, PRAVOKOTNI KOORDINATNI SISTEM V RAVNINI d A,B = 74 = 8, 6, S /, /, 57b) ( ) ( ) 58a) ( ) ( ) ( ) d A,B = 58,d A,C = 6,d B,C = 68, S = 9,o = 0, 96, b) x = 0/, LINEARNA FUNKCIJA, ENAČBA, NEENAČBA 59a) k =/, naraščajoča funkcija, ker k > 0, N(0, ), 60a) k = ½ in k =, zato nista vzporedni, b) y = x + 4, 6a) y = x +, b) y = / x, 6a) y = / x + 5/, b) P(4, 4), y = x/8 + 9/, 6a) A(0, ), B(/, 0), slika 6a, b) A(0, 4), B( 8, 0), slika 6b slika 6a slika 6b i od 64a) A(, 0), B(0, ), k = /, y = x/, x y 6 = 0, x/ + y/( ) =, b) x/( ) + y/ =, y = x/ +, c) 9x + 6y = 0, x/(/9) + y/ (/) =, 65a) ϕ = arctg =, 69, b) ϕ = arctg = 79,7, 66a) x = 4/5, b) x =, c) x = 4, 67a) x= /, y =, b) P(,4), c) P( /,4), 68 x=, y =, z =, 69a) ( 4, ), b) x x [ /5, ), c) [, ) x,

22 KVADRATNA FUNKCIJA, ENAČBA, NEENAČBA 70a) slika 70, b) y = x x slika 70 a) f ( x) = x 5x b) f ( x) = x + 4 c) ( ) ( ) f x = x + 7 a) x = /, x =, T( /4, 5/8 ), N( 0, ), slika 7a, b) (, 9 / 4) slika 7a) slika 74 slika 75 T, c) m =, m = 9 7a) f( x) = ( x ) 8, f( x) = ( x 4)( x+ ), b) f ( x) = x x 4, c) f( x) = x x+ 4, 7a) x = /, x =, b) x =, x =, c) x = 6, x =, d) x = /, x =, e) ni realnih rešitev, 74 dotikališče D (, 0), slika 74, ( 0, ), P ( 4,0) x (, /) (, ) x (, ] [ 6, ), c) x (, ) (, ) 75 P, slika 75, 76a), b) POLINOMI IN RACIONALNE FUNKCIJE 77 0,0,,, slika 77, 78 P,, slika 78, P ( ) P ( ) ( ), slika 77 slika 78 slika a) p( xqx ) ( ) px ( ) x 6x 0x 9x 6x = + + +, ( ) 6, ( ) 8 b) A=, B=, C =, k x = x o x = x,

23 ( ) 80a) kx ( ) = xox, =, px ( ) = xx ( + x), b) kx ( ) = x xox, ( ) = 4, 8a) px ( ) = ( x )( x+ 5)( x 5), qx ( ) = ( x+ )( x + x+ ), b) graf je na sliki 8, px ( ) = x + x x 0x+, 4 5 8a) p( ) =, p() = 6, število ni ničla polinoma, kx ( ) = x x 7, ox ( ) =, b) a=, b= 64, x = 4, 8a) x, = ničla druge stopnje, x = /4 ničla prve stopnje, b) x =, x = 4, x = vse ničle prve stopnje, c) x = ničla druge stopnje, x,4,5 = ničla tretje stopnje, 0 84a) ničle:,,, N(0, 8), slika 84a, b) ničle:, 4, 0 (dvojna), N(0, 0), slika 84b, c) ničle: /,, /, N(0, ), slika 84c, d) ničle:, (dv), (troj), N(0, 4) slika 84d 85a) x =, x =, x =,x4 =, b) x, = 0, x =, x4 =, c) x =,x =,x = /, d) dve realni rešitvi x =, x = 4, 86a) x < 4/, b) x (, ] [ 0, ] [,, ) c) x, [, ), d) x <, D =, slika 87a, 87a) ničla x =, pol x =, N(0, /), asimptota y =, f { } b) ničla x =, pola x = in x =, N(0, /), asimptota y = 0, D f = { } c) ničli x = in x =, pola x = in x =, N(0, /), as y =, D = { } 88a) x = 9, ( ni rešitev), b) ni rešitve ( in nista rešitvi), 89a) < x <, b) < x <, slika 84a slika 84 b slika 84 c f,, slika 87b,,, slika 87c, slika 84d slika 87a slika 87b

24 slika 87c EKSPONENTNA IN LOGARITEMSKA FUNKCIJA, ENAČBA 90a) slika 90a, b) a = /, 9a) x = 7, b) x =, c) x =, d) x = log/log+, 585, e) P(, 6), 9a) x = 9, b) x = /9, c) x = 5/4, 9a) slika 9a, b) a = 8, 94a) log A log a / log b log c, b) ( ) = + A ( a c )/ b( a/b ) 95a) x = 7/8 ni rešitev, b) x = / ni rešitev, c) x = slika 90a f ( x ) = x f ( x) = x =, c) 0, slika 9a f ( x) = log x f ( x) = log x KOTNE FUNKCIJE 7 96a),,,,, π π π π π π , 00, 5, 660, 0, b), 97a) α = 5 8,v = 7, cm, b) sin x = 5 /, tgx = 5 /, sin x = 4 5 / 9, 98a) ( ) c + / 6, b) sin x = 08,, c) tgx = / 4, d) /sinx, 99a) slika 99a, b) slika 99b, c) slika 99c, 4

25 00a) slika 00a, b) slika 00b, c) slika 00c slika 99a slika 99b slika 99c slika 00a slika 00b slika 00c 0a)lihe: sin x, tg x; soda: cos x, b) tg 0, tg 90, tg ( 0 ) 0 f ( π / ) =, 0a) 0, b) /, c) ( ) + 7 / 0, d) 0, = = = 04a) sin x = 4/5, cos x = 7/5, b) tg x, c) tg x ZAPOREDJA 05a) 4/, /, 8/ 5, 5/, / 7, b) Graf zaporedja predstavljajo diskretne točke c) n = 6, število 7/9 je člen zaporedja d) an+ an = ( n + 4) /( n+ ) ( n + ) /( n + ) = / ( n+ )( n+ ) >0, narašč zapor, ( ) 06a) a = 4, d = ; 4, 6, 8, b) a = 5,d =,n= 5, c) x = 4, x =, d) števil, 07a) a =,a = 6,q =,n=6, b) n = 8, c) x =, 08a) navadno: G 5 = de, obrestno: G 5 = 40 46, 77 de, b) navadno: G 0 = de, obrestno: G 0 = 49 77, 04 de STATISTIKA 09 populacija: množica avtomobilov; statistična enota: en avtomobil; statistični znak: tip, cena, barva, moč; parametri: povprečna cena, povprečna moč 5

26 frekvenca ŠOLSKI CENTER Novo mesto, Srednja elektro šola in tehniška gimnazija 0 frekvenčna porazdelitev: razred ocena število dijakov f i 0 f i 5 0,56 9 0,8 9 0, , ,094 N slika slika : histogram frekvenčni poligon frekvenca W W W W W W W W W W W vsota pik vsota pik µ =,, σ =,, σ =,