BINOMIALA ETA NORMALA 1 PROBABILITATEA Maiztasu erlatiboa: fr i = f i haditze bada, maiztasuak egokortzera joko dira, p zebaki batera hurbilduz. Probabilitatea p zebakia da. Probabilitateak maiztasue idealizazioak dira. aldekoak dire kasuak Laplace- legea: p(a) = posibleak dire kasuak PROBABILITATE BANAKETAK Maiztasu erlatiboko baakete idealizazioak dira. ALDAGAI DISKRETUKO PROBABILITATE BANAKETA Aldagaiare balio bakoitzari bere probabilitatea egokitzea da. x i P[x i ]=p i x 1 x 2 x P 1 p 2 p 1 0 pi 1 Σ p i = 1 Barra diagrama bate bidez adierazte da. Adibideak: 1. Probabilitate baaketa dado bate jaurtiketa. 2. Bi txapo jaurtitze dira. Aurpegi kopuruare probabilitate baaketa. PROBABILITATE BANAKETA BATEN PARAMETROAK Baaketa estatistiko bateko parametroak f BATEZ BESTEKOA: x = i xi fi 2 2 DESBIDERATZE TIPIKOA: σ = xi x Probabilitate baaketa bateko parametroak BATEZ BESTEKOA: µ = p i x i 2 2 DESBIDERATZE TIPIKOA: σ = p ix i µ 2 x i p i p i x i p i x i x 1 x 2 x P 1 p 2 p 1 p i x i 2 p i x i
BINOMIALA ETA NORMALA 2 BANAKETA BINOMIALA ESPERIENTZIA DIKOTOMIKOA Ausazko esperietzia batea, A gertaera bat abarmetze badugu, eta arreta jartze badugu bakar bakarrik A edo bere aurkakoa A' gertatuko ote de, ordua esperietzia dikotomikoa dela esate dugu. A gertaerari arrakasta esate diogu, eta p, bere probabilitatea, hoako hau da: P[A] = p. Bere aurkakoare probabilitatea hoako hau da: P[A'] = 1-p = q BANAKETA BINOMIALA Esperietzia dikotomiko bat aldiz errepikatze da. Arrakasta kopurua, x, zei de galdetze dugu. x aldagai diskretua da, eta har ditzakee balioak 0, 1, 2,..., dira. x aldagaiare probabilitate baaketari B(,p) baaketa biomiala esate zaio. p = P[A] arrakastare probabilitatea da esperietzietako bakoitzea. esperietzia errepikatze de aldi kopurua da. Adibideak: 1. 10 txapo jaurtitze ditugu, eta aurpegi kopurua jaki ahi dugu. Baaketa biomiala da, = 10 eta p = 0,5 izaik B(10; 0,5) 2. 40 kartako multzo batetik karta bat ateratze dugu; IRUDIA de ikusi, eta berriro sartze dugu multzoa. Kartak ahasi eta beste karta bat ateratze dugu. Gauza bera egite dugu bost bider (itzulerareki). Baaketa biomiala da: = 5, p = 0,4 B(5; 0,4) 3. Makia batek torlojuak egite ditu, eta, batez beste, %2 akastuak dira. 100 torlojuko kutxeta sartze dira. Kutxa bakoitzea zebat torloju akastu egogo dire jaki ahi dugu. Baaketa biomiala da: = 100, p = 0,02 B(100; 0,02) PROBABILITATEEN KALKULUA BANAKETA BINOMIALEAN 1. 40 kartako multzo batetik karta bat 5 aldiz ateratze duguea (itzulerareki) ateraldi bakoitzea karta irudia (I) de ala ez de ( ) ikustea, zei da 3 irudi lortzeko probabilitatea? Hiru IRUDI eta bi IRUDI EZ lortzeko probabilitatea ordea jaki batea hau da: p[3 IRUDI ordea jaki batea] = 0,4 3. 0.6 2 5 Baia 5 modu daude lortzeko. Beraz: P[3 IRUDI eta 2 IRUDI EZ] = 3 0,4 3.0,6 2 3 5 adierazpe mota hauei ("bost hirure gaiea" edo bost gai hiru" irakurri) zebaki 3 kobiatorio esate zaie. ZENBAKI KONBINATORIOAK m zebaki kobiatorioak lor daitezke hoako formulare bidez: m m(m 1)(m + 1) = ( 1)321 543 Beraz, hau izago da: 5 = 3 =10 321 Edo kalkulagailuare bidez, _ C r_ tekla erabiliz.
Probabilitate baaketa hoako hau da: BINOMIALA ETA NORMALA 3 x i P i =P[x= x i ] 5 0 0,6 5 0 5 1 0,4.0,6 4 1 5 2 0,4 2.0,6 3 2 5 3 0,4 3.0,6 2 3 5 4 0,4 4.0,6 4 5 5 0,4 5 5 x aldagaiak B(,p) baaketare arabera jokatze badu, ordua k arrakasta lortzeko P[x=k] probabilitatea hau izago da: k, ALDAGAIA 0 1 k 1 P[x=k] q 0 p q -1 1 p k q -k k p Baaketa horre parametroak hauek dira: BATEZ BESTEKOA: µ = p DESBIDERATZE TIPIKOA: Adibidea: σ = p q 2. Makia batek torlojuak egite ditu. Batez beste, %2 akastuak dira. 100 torlojuko kutxata sartze dira. Kalkulatu zei probabilitate dagoe kutxa bakoitzea: a. Torloju akastuik ez egoteko. b. Akastue bat egoteko. c. 3 akastu egoteko. x = akastu kopurua = 100 Baaketa biomiala da p = 0,02 B(100; 0,02) q = 098 a. P[akastuik ez] = P[x=0] = 0,98 100 = 0,13 b. P[akastue bat] = P[x 0] = 1- P[x=0] = 1-0,13 = 0,87 100 c. P[hiru akastu] = P[x=3] = 0,023 0.98 97 1009998 = 0,02 3 0,98 97 = 0,182 3 321
BINOMIALA ETA NORMALA 4 3. Golf jokalari batek distatzia jaki batetik pilota jaurti eta zuloa, leheegoa, sartzeko probabilitatea 0,2 da. 5 aldiz saiatze bada, kalkulatu zei probabilitate due: a. Behi ere ez sartzeko. b. Behi behitzat sartzeko. c. Birrita sartzeko. d. Hiru edo gehiago sartzeko. e. 5 jaurtiketako txadak egite baditu, zei izago da igarritako kopuruare batez bestekoa? Eta desbideratze tipikoa? f. 1000 bider jaurtiko balu, eta pilota zuloa sartzeko gaitasua egokor mateduko balu (etreameduareki igoko ez balitz, edota ekeareki jaitsi), zei izago litzateke 220 aldiz baio gehiago igartzeko probabilitatea? = 5 p = 0,2 B(5; 0,2) baaketa biomiala da q = 0,8 a. P[0 IGARTZE] = P[x=0] = 0,8 5 = 0,32768 b. P[IGARTZEREN BAT] = 1- P[x=0] = 1-0,32768 = 0,67232 5 c. P[2 IGARTZE] = P[x=2] = 0,22 0,8 3 = 0,2048 2 d. P[3BEHINTZAT]=P[x=3]+P[x=4]+P[x=5]= 1 - (P[x=0]+P[x=1]+P[x=2]) = 0,0579 e. µ = p = 5 0,2 = 1 (1 igarriko du batez beste) σ = p q = 5 0,20, 8 = 0,8944 f. Kasu hoeta B(1000; 0,2) biomiala da. Beraz: P[x>220]=P[x=221] + P[x=222] + P[x=223] + + P[x=1000] Baia egi behar ditugu eragiketak luzeegiak dira. Beste metodoa beharko dugu! 4. Test erako azterketa batek 10 galdera ditu, galdera bakoitzak lau eratzu, eta eratzu zuzea bakarra da. Ikasle batek zoria eratzute badu: a. Zei probabilitate du 4 galderari odo eratzuteko? b. Eta bi galdera baio gehiagori odo eratzuteko? c. Kalkulatu galdera guztiei txarto eratzuteko due probabilitate. = 10 1 p = = 0,25 B(10; 0,25) baaketa biomiala da. 4 3 q = = 0,75 4 a. P[x=4] = 0,146 b. P[x>2] = 1 - P[x 2] = 1 - ( P[x=0] + P[x=1] + P[x=2]) = 0,474 c. P[x=0] = 0,056 5. Kutxa batea 3 bola gorri eta 7 berde daude. Bata atera, zei koloretakoa iza de idatzi eta berriro kutxa sartze dugu. Gauza bera 5 bider egiez, kalkulatu zei probabilitate dagoe: a. Hiru bola gorri ateratzeko. b. Hiru bola gorri baio gutxiago ateratzeko. c. Hiru bola gorri baio gehiago ateratzeko. d. Bola gorrire bat ateratzeko. = 5 Arrakasta="gorri atera" bada, p = 0,3 B(5; 0,3) = baaketa biomiala izago da. q = 0,7 a) 0,1323 b) 0,8369 c) 0,0308 d) 0,8319
BINOMIALA ETA NORMALA 5 ALDAGAI JARRAITUKO PROBABILITATE BANAKETA Aldagai jarraituko baaketa estatistikoe idealizazioak dira. Aldagai jarraituko probabilitate baaketak futzio bate bitartez defiitze dira eta probabilitate futzio esate zaio. Probabilitatea, kurba azpia dagoe azalerak adierazte du. Beraz: Kurbare azpia mugatuta dagoe azalera osoa 1 da. kurbare azpiko azalera [a,b] tartea P [a x b] = kurbare azpiko azalera osoa Gertaera putuale probabilitatea zero da: P[x=a]=0,P[x=b]=0,... Beraz, P[a x b] = P[a < x < b] PARAMETRO ESTATISTIKOAK µ batez bestekok eta σ desbideratze tipikoak baaketa estatistikoeta dute esaahi bera dute: BATEZ BESTEKOA, µ : baaketare grabitate zetroa. DESBIDERATZE TIPIKOA, σ : sakabaaketare eurria. GAUSS-EN KANPAIA: KURBA NORMALA Gauss-e kapaia, Gauss-e kurba edo kurba ormala, probabilitate jarraituko futzio bat da, simetrikoa da, eta bere maximoa batez bestekoareki, µ, bat dator. µ (batez bestekoa) eta σ -re (desbideratze tipikoa) balio bakoitzerako kurba ormal bat dago eta hoela adierazte da: N( µ, σ ). Probabilitatee baaketa berditsua da N( µ, σ ) kurba ormal guztieta; baia, µ eta σ parametroe mepe daude. PROBABILITATEEN KALKULUA BANAKETA NORMALEAN N(0, 1) kurba ormalare azpiko azalera-taula N(0, 1) Baaketa bate probabilitatee kalkulua N( µ, σ ) Baaketa bate probabilitatee kalkulua
BINOMIALA ETA NORMALA 6 1. Oposizio batzuk gaiditzeko, beharrezkoa da 100 putu edo gehiago lortzea froga batea. Aurrekoeta gertatu deez, azterketa-zuzetzaileek badakite aurkeztu diree batez bestekoa 110 putu dela eta desbideratze tipikoa 15. a. Zei probabilitate du oposiziora aurkeztu de batek gaiditzeko? b. 1000 pertsoa aurkeztu direla eta 300 leku baio ez daudela jakida, zebat putu eskatu beharko dira leku kopurua gaidituko dute azterketa egilee kopurua doitzeko? a) 0,7486 b) 118 putu 2. Ikastetxe bateko 200 ikaslere batez besteko altuera 165 cm da, eta desbideratze tipikoa 10cm. Altuerak modu ormalea baatze badira, kalkulatu zei probabilitate dagoe aukeratutako ikasle batek 180 cm baio gehiago izateko. Zebat ikasle eurtu ahal izago dute 180 cm baio gehiago? 0,0668 ; 13 ikasle 3. Batxilergo ikasturte bateko 200 ikaslere azterketa bate batez besteko ota 5,6 iza da, eta desbideratze tipikoa 1,9. Kalkulatu zei probabilitate dagoe ikasle bat 5era ez heltzeko. 0,3745 4. Lategi bateko 2000 pertsoe pisuek baaketa ormala eratze dute; batez bestekoa 65 kg da, eta desbideratze tipikoa 8 kg. kalkulatu zei probabilitate dagoe aukeratutako pertsoa batek iza deza: a. 61 kg-tik gora. b. 63 eta 69 kg artea. c. 70 kg-tik behera. d. 75 kg-tik gora. a) 0,6915 b) 0,2902 c) 0,7357 d) 0,1056 BINOMIAL B(, p) P[x = k] = p k q -k p < 5 eta q < 5 badira k BINOMIAL B(, p) NORMAL (p, p q ) p 5 eta q 5 badira P[x=k] = P[k - 0,5 < < k + 0,5] P[x<k] = P[x' < k - 0,5] P[x k] = P[x' < k + 0,5] 1. Golf jokalari batek distatzia jaki batetik pilota jaurti eta zuloa leheegoa sartzeko probabilitatea 0,2 da. 5 aldiz saiatze bada, kalkulatu zei probabilitate due: a. Behi ere ez sartzeko. b. Behi behitzat sartzeko. c. Birrita sartzeko. d. Hiru edo gehiago sartzeko. e. 5 jaurtiketako txadak egite baditu, zei izago da igarritako kopuruare batez bestekoa? Eta desbideratze tipikoa? f. 1000 bider jaurtiko balu, eta pilota zuloa sartzeko gaitasua egokor mateduko balu (etreameduareki igoko ez balitz edota ekeareki jaitsi), zei izago litzateke 220 aldiz baio gehiago igartzeko probabilitatea? a) 0,3228 b) 0,6723 c) 0,2048 d) µ =1, σ =0,8944 e) 0,0526