Matematinė logika. 1 skyrius Propozicinės formulės. žodį, Graikiškas žodis logos (λóγoς) reiškia

1 skyrius Matematinė logika Graikiškas žodis logos (λóγoς) reiškia mintį, žodį, protą, sąvoką. Logika arba formalioji logika nagrinėja teisingo mąstymo dėsnius ir formas, kai samprotavimų turinys nėra svarbus. Matematinė logika, dar vadinama simboline logika, taiko matematinius metodus ir susiformavo kaip matematikos skyrius. Jos objektą sudaro matematinių teoremų įrodymai ir matematinės teorijos. Matematinė logika yra matematikos pagrindų tyrimų įrankis. Šis matematikos skyrius vadinamas įrodymų teorija arba metamatematika. Kompiuterinės technikos plėtra paskatino naujų logikos taikymų atsiradimą: duomenų ir žinių bazių, ekspertinių sistemų, kitų dirbtinio intelekto kūrimo proceso elementų. 1.1. Propozicinės formulės Norėdami pabrėžti, kad logika negrinėja nepriklausančias nuo turinio samprotavimų schemas, mes pradedame šį skyrių apibrėždami visiškai abstrakčias matematines struktūras, kurių turinys gali būti labai įvairus. Pirma, parodysime kaip galima formaliai apibrėžti gerai žinomą matematikoje formulę. Konkreti formulė gali būti tam tikra taisyklė atlikti ir aritmetinius veiksmus, ir algebrinius pertvarkius, ir logines operacijas, tačiau jos formalus apibrėžimas yra bendras ir visiškai nepriklauso nuo bet kokio turinio. Mes panagrinėjame kiek daugiau sąvokų negu tiesiogiai reikia kitiems matematinės logikos klausimams išdėstyti, kadangi tai leidžia iš karto paaiškinti kelias svarbias diskrečiosios matematikos problemas. Todėl į šį vadovėlio skyrių reikia žiūrėti kaip į įvadą į diskrečiąją matematiką. 1

2 1 SKYRIUS. MATEMATINĖ LOGIKA 1.1.1. Formulės apibrėžimas 1.1 apibrėžimas. Formaliosios teorijos abėcėle A vadinami šie simboliai propozicinės raidės: x, y, z, u,, v, w; propozicinės jungtys:, ; skliaustai: (, ). Bet kuri apibrėžtos abėcėlės A simbolių seka vadinama žodžiu. Pavyzdžiui, z 1 = x(y) uw ir z 2 = ( (x z)) yra žodžiai. Kaip ir natūralioje kalboje ne visi užrašyti raidėmis žodžiai turi prasmę. Formalioje teorijoje išskiriami žodžiai, sudaryti pagal apibrėžiamas taisykles. Tokie žodžiai vadinami formulėmis. 1.2 apibrėžimas. Formulėmis vadinami tokie žodžiai (1) propozicinės raidės x, y, z. u, v, w yra formulės; (2 ) jei F yra formulė, tai ( F) irgi yra formulė; (2 ) jei F 1 ir F 2 yra formulės, tai (F 1 F 2 ) irgi yra formulė; (3) nėra formulių, gautų ne pagal (1), (2 ) arba (2 ) taisyklę. Taigi z 1 = x(y) uw yra žodis, bet nėra formulė, o žodis z 2 = ( (x z)) yra formulė. Pastebėkime, kad žodis z 3 = (x z) irgi nėra formulė, kadangi taisyklė (2 ) reikalauja rašyti skliaustus. Tačiau patogu susitarti nerašyti išorinių skliaustų, kadangi jie neteikia jokios informacijos. Todėl susitarkime, kad žodis z 3 irgi yra formulė. 1.1 pastaba. Propozininės formulės 1.2 apibrėžime galima pakeisti raidžių ir jungčių kiekį bei žymenis. 1.1 pavyzdys. Paimkime tokias propozines jungtis +,,, : ir gausime gerai žinomas aritmetines operacijas: x+y z u v w 2 = (((x + y) : (z u)) : (v : (w w)))).

1.1. PROPOZICINĖS FORMULĖS 3 Pažymėkime vienvietes (t.y. atliekamas su vienu operandu) aritmetines operacijas: z 2 = 2z, z 3 = 3z, z 4 = 4z. Tada aritmetinį reiškinį galima perrašyti taip: x 2 y 3 w 4 = (((2x) (3y)) (4w)). 1.1.2. Formulės gylis 1.3 apibrėžimas. Formulės dalis, kuri irgi yra formulė, vadinama poformuliu. Formulė F = ( (x y)) turi tris poformulius: F 1 = x, F 2 = y propozicinės raidės yra formulės pagal (1) formulės 1.2 apibrėžimo taisyklę; F 3 = (F 1 F 2 ) (2 ) taisyklė; F = ( F 3 ) (2 ) taisyklė. Įrodykime, kad žodis z = ((x y) ( (u v))) yra formulė. Išskiriame formulės z poformulius: F 1 = x, F 2 = y, F 3 = u, F 4 = v, F 5 = (F 1 F 2 ), F 6 = (F 3 F 4 ), F 7 = ( F 6 ), z = (F 5 F 7 ). Taigi formulė z gauta pagal (1), (2 ) ir (2 ) taisykles. Matome, kad analizuodami formulę, galime išskirti tokius poformulius (F 0 ) propozicinės raidės; (F 1 ) formulės, gautos iš propozicinių raidžių, vieną kartą pritaikius (2 ) arba (2 ) taisyklę; (F 2 ) formulės, gautos iš propozicinių raidžių arba iš gautų pagal (F 1 ), vieną kartą pritaikius (2 ) arba (2 ) taisyklę; (F n ) formulės, gautos iš visų anksčiau gautų (F 0 ) (F n 1 ) formulių, vieną kartą pritaikius (2 ) arba (2 ) taisyklę. Taigi bet kurią formulę gausime atlikus tam tikrą žingsnių skaičių n: (F 0 ), (F 1 ),..., (F n ). 1.4 apibrėžimas. Formulės F gyliu vadinamas mažiausias skaičius n, kai atlikus žingsnius (F 0 ), (F 1 ),..., (F n ) gaunama formulė F.

4 1 SKYRIUS. MATEMATINĖ LOGIKA Raskime formulės F = ( ( (x y) ) ( (u v) ) ) gylį. Užrašykime visus formulės F poformulius, kai viršutinis indeksas reiškia poformulio gylį: (F 0 ) F 0 1 = x, F 0 2 = y, F 0 3 = u, F 0 4 = v; (F 1 ) F 1 5 = (F 0 1 F 0 2 ), F 1 6 = (F 0 3 F 0 4 ); (F 2 ) F 2 7 = ( F 1 5 ), F 2 8 = ( F 1 6 ); (F 3 ) F 3 9 = (F 2 7 F 2 8 ); (F 4 ) F = ( F 3 9 ). Taigi formulės F gylis lygus keturiems. 1.2 pastaba. Ištirtos formulės F gylis atsitiktinai sutapo su raidžių x, y, u, v skaičiumi 4. Tai nesunku patikrinti tokiais pavyzdžiais (nerašome išorinių skliaustų). Visų sių formulių gylis lygus trims. ( (x 1 x 2 )) ( (x 3 x 4 ) ); ( (x 1 x 2 )) ( (x 1 x 2 ) ); ( ( (x 1 x 2 )) (x 1 x 2 ) ). 1.1.3. Rekursinis formulės apibrėžimas Apibrėžkime formulę algoritmiškai, kai turime propozicines raides, kurias pažymėkime x 1, x 2,..., ir dvi propozicines jungtis:,. Visas galimas formules F gauname teoriškai be galo daug kartų taikydami taisykles ( X) ir (Y Z). Čia X, Y, Z bet kurios jau sukonstruotos formulės. Taigi turime nulinio gylio formules F 0 = {x 1,x 2,...}, o visų aukštesnių gylių formules gauname taip: imame visas jau gautas formules ir taikome taisykles ( X), (Y Z). Jei gauname naują formulę, tai jos gylis bus vienetu didesnis negu iki šiol turimas maksimalus gylis. Užrašykime šį apibrėžimą formaliai. 1.5 apibrėžimas. F 0 = {x 1,x 2,...}; F n+1 = F n {( X), X F n } {(Y Z, Y,Z F n };

1.1. PROPOZICINĖS FORMULĖS 5 F = n=0,1,... F n ; Formulės F F gyliu vadinamas skaičius n 0 = min F F n n. Tarkime, kad turime dešimt propozicinių raidžių x 1, x 2,..., x 10 ir dvi propocines jungtis: vienvietę (unariąją) ir dvivietę (binariąją). Tada turime dešimt nulinio gylio formulių F 0 = {x 1,x 2,...,x 10 }. Rašome F 0 = 10. Pirmojo ir nulinio gylio formulių turėsime jau 120: F 1 = {( x 1 ),...,( x 10 ),(x 1 x 1 ),(x 1 x 2 ),...,(x 10 x 10 )} F 0. Taigi turime F 1 = 120 ir kartodami samprotavimus gauname F 2 1,4 10 4. Akivaizdu, kad F 3 2,0 10 8, F 4 4,0 10 16. Matome, kad formulių skaičius labai greitai auga ir jau penktojo arba šeštojo gylio formulių skaičius yra milziniškas, nors ir baigtinis. Todėl praktiškai neįmanoma nustatyti formulės gylį visų pagamintų formulių F 0, F 2, F 3,, F n,... tiesioginiu perrinkimu, nors teoriškai taip galima išspręsti uždavinį. Dar pastebėkime, kad neįmanoma ir patalpinti tiek formulių į bet kokių kompiuterių atmintį. Tai tipinė diskrečiosios matematikos problema, kai uždavinys teoriškai išsprendžiamas perrinkus visus galimus variantus, kurių yra baigtinis skiačius, tačiau praktikoje toks sprendimo būdas beprasmis, kadangi šių variantų labai daug. Dėl neaprėpiamo variantų skaičiaus spręsti panašius uždavinius tiesioginiu perrinkimu nepadės ir informacinių technologijų plėtra. Todėl vienintelė išeitis konstruoti efektyvesnius uždavinių sprendimo algoritmus. 1.1.4. Prefiksinis ir postfiksinis formulės pavidalas Kaip jau buvo pastebėta (žr. 2 psl.), galime susitarti nerašyti išorinių skliaustų. Parodykime, kaip galime rašyti formules visai be skliaustų. Tarkime, kad x 1, x 2,... propozicinės raidės,, vienvietės propozicinės jungtys,,, dvivietės. Tada formules užrašome prefiksiniu pavidalu: ( X) = X, ( X) = X; (Y Z) = Y Z, (Y Z) = Y Z, (Y Z) = Y Z.

6 1 SKYRIUS. MATEMATINĖ LOGIKA Lygybės ženklas (=) reiškia kitą tos pačios formulės žymėjimą. Taigi galime taip perrašyti užrašytus įprastiniu (infiksiniu) pavidalu formules: ( x 1 ) ( x 2 ) = x 1 x 2 ; ( x 3 ) ( x 4 ) = x 3 x 4 ; (( x 1 ) ( x 2 )) = x 1 x 2 ; (( x 3 ) ( x 4 )) = x 3 x 4 ; ( ( (( x 1 ) ( x 2 ))) ( ( ( x 3 ) ( x 4 ))) ) = 1.2 pavyzdys. Perrašykime formulę = x 1 x 2 x 3 x 4. : + xy z wu infiksiniu pavidalu. Atliekamus pertvarkius rodome skliaustais: : + xy zv wu =: + xy zv ( wu) =: + xy zv (w u) = : + xy ( zv) (w u) =: + xy (z v) (w u) = : (+xy) (z v) (w u) =: (x + y) (z v) (w u) = : ((x + y) (z v) ) (w u) = ((x + y) (z v) ) : (w u) Panašiai apibrėžiamas postfiksinis formulių pavidalas: ( X) = X, ( X) = X ; (Y Z) = Y Z, (Y Z) = Y Z, (Y Z) = Y Z. Taigi bet kurią formulę galime parrašyti infiksiniu (operacijos tarp operandų; reikia skliaustų), prefiksiniu (operacijos prieš operandus; skiaustų nereikia) arba postfiksiniu pavidalu (operacijos po operandu; skliaustų nereikia). Pavyzdžiui, (x + y) z = + xyz = xy + z Pastebėkime dar, kad xyz + = x (y + z) = x + yz, xyz + = x + (y z) = +x yz Atkreipkime dėmesį, kad propozicinių (t. y. turinčių formulėje savo vietas pozicijas) raidžių eilės tvarka visais atvejais nesikeičia.

1.2. TEIGINIŲ ALGEBRA 7 1.2. Teiginių algebra 1.2.1. Teiginio sąvoka Logika nagrinėja mąstymo dėsnius, užtikrinančius jo taisyklingumą, t. y. apibrėžtumą, neprieštaringumą, nuoseklumą, pagrįstumą. Viena pagrindinių, bazinių, pirminių logikos sąvokų yra teiginys toks sakinys, tvirtinimas, reiškimas, kuris visada yra arba teisingas, arba klaidingas. Pavyzdžiui, sakinys 2>5 klaidingas ir todėl yra teiginys. Sakiniai mokykis arba nerūkyk nėra teiginiai. Sakinys α = β irgi nėra teiginys, kadangi jis gali būti ir teisingas, ir klaidingas, priklausomai nuo α ir β reikšmių 1. Pateiksime kitų teiginių pavyzdžius: T 1 : Kaunas nėra Lietuvos sostinė. T 2 : Vasaris yra žiemos mėnuo. T 3 : π yra iracionalusis skaičius. T 4 : Jonas Petraitis nėra technikos universiteto studentas. Nagrinėjamų logikoje samprotavimų turinys nėra svarbus: logika domisi teisingų samprotavimų sudarymo formomis. Todėl svarbios yra tik teiginių reikšmės: tiesingas arba klaidingas, kurios žymimos TRUE, FALSE, T, F, t, k, 1, 0,... ir vadinamos loginėmis konstantomis. Abstraktieji teiginiai žymimi raidėmis su indeksais arba bejų: A, B,..., c,d,e,..., f 1,h 2,... ir vadinami loginiais kintamaisiais. Taigi teiginių T 1, T 2, T 3 reikšmė yra tiesa, o teiginio T 4 reikšmės mes galime ir nežinoti ir gali būti patogiau jį laikyti loginiu kintamuoju. 1.2.2. Loginės operacijos Matematinė logika nagrinėja matematinių samprotavimų formas ir plačiai naudoja simbolius bei formules. Iš teiginių, kuriuos galima pavadinti pirminiais, elementariais arba loginiais kintamaisiais, sudaromi nauji, sudėtiniai teiginiai. Naujiems teiginiams sudaryti apibrėžiamos loginės operacijos, kurios formalizuoja matematinių teoremų įrodymus. Tarkime, kad x ir y yra teiginiai (loginiai kintamieji). Atliekant su x ir y logines operacijas (veiksmus), gaunami nauji teiginiai. 1.6 apibrėžimas. Teiginio T neigimu vadinamas naujas teiginys, kurį žymime T arba T ir skaitome ne T, netiesa, kad T. Kai loginio kintamojo T reikšmė yra tiesa, tai kintamojo T reikšmė yra klaida, ir atvirkščiai, kai T klaida T tiesa. 1 Tokio pavidalo sakiniai vadinami predikatais ir bus nagrinėjami vėliau (žr. 1.5.1.).

8 1 SKYRIUS. MATEMATINĖ LOGIKA Šį neigimo operacijos apirėžimą patogu užrašyti tokia lentele T k t Pavyždžiui, teiginys T 1 skaitomas netiesa, kad Kaunas nėra Lietuvos sostinė ir yra klaidingas. Neigimo operacija atliekama su vienu kintamuoju ir vadinama unariąja arba vienviete. Kitos loginės operacijos atliekamos su dviem kintamaisiais ir vadinamos binariosiomis arba dvivietėmis. T t k Apibrėžimai (binariosios loginės operacijos): disjunkcija žymima (skaitoma x arba y ): teiginys x y yra teisingas, kai teisingas bent vienas iš teiginių x, y (t. y. teisingas yra bent kuris nors iš x, y, tačiau jie gali būti teisingi ir abu); konjunkcija žymima & (skaitoma x ir y ): teiginys x & y yra teisingas, kai teisingi abu teiginiai x, y (t. y. teisingas ir x, ir y); implikacija žymima ( skaitoma jei x, tai y arba iš x išplaukia y ): teiginys x y yra klaidingas tik tuo atveju, kai teiginys x yra teisingas, o y klaidingas (t. y. implikacija klaidinga kai iš tiesos išplaukia melas, o visais kitais avejais implikacija yra teisinga 2 ); 2 Paaiškinkime implikacijos reikšmes tokiu pavyzdžiu. Tėvas pažadėjo sūnui studentui: Jei išlakysi diskrečiosios matematikos egzaminą, padovanosiu tau naują kompiuterį. Šį pažadą (P ) galime užrašyti implikcijos pavidalu: P = E K. Galimi tik tokie keturi atvejai. (1) E = k, K = k: sūnus neišlaikė egzamino; tėvas jam nenupirko kompiuterio; (2) E = k, K = t: sūnus neišlaikė egzamino; tėvas jam vis dėlto nupirko kompiuterį; (3) E = t, K = t: sūnus išlaikė egzaminą; tėvas, nors ir žadėjo, tačiau nenupirko jam kompiuterio; (4) E = t, K = t sūnus išlaikė egzaminą; tėvas, kaip ir žadėjo, nupirko jam kompiuterį. Matome, kad trečiuoju (3) atveju tėvas sakė netiesą ir P = k. Akivaizdu, kad ketvirtuoju (4) atveju jis sakė tiesą ir P = t. Pirmuoju (1) atveju tėvo pažadas irgi buvo tiesa (P = t), kadangi jis žadėjo nupirkti kompiuterį, jei sūnus išlaikys egzaminą, bet tas neišlaikė. Todėl jis kompiuterio ir nenupirko ir jo pažadas nebuvo melas. Svarbu pastebėti, kad tėvo pažadas nėra melas ir antruoju (2) atveju, kadangi jis nupirko kompiuterį, nežiūrėdamas į sūnaus nesėkmę egzamine. Juk jis gi žadėjo nupirkti kompiuterį, jei sūnus išlaikys egzaminą, bet nesakė, kad nepirks kompiuterio, jei tas neišlaikys. Taigi antruoju (2) atveju P = t.

1.2. TEIGINIŲ ALGEBRA 9 ekvivalentumas žymima (skaitoma x tada ir tik tada, kai y ): teiginys x y yra teisingas, kai abu teiginiai x, y yra teisingi arba abu klaidingi (dar sakome, kad sąlyga x yra būtina ir pakankama sąlygai y 3. Surašykime apibrėžtas logines operacijas į lentelę. x y x y x & y x y y x x y k k k k t t t k t t k t k k t k t k k t k t t t t t t t Taigi, jei raide J pažymėtas teiginys Jonas yra studentas, P Petras yra studentas, tai teiginys J P skaitomas Jonas arba Petras yra studentas ir reiškia, kad kuris nors iš jų, arba jie abu (t. y. bent vienas iš jų) yra studentas. Teiginys J&P skaitomas Jonas ir Petras yra studentai ir reiškia, kad jie abu (t. y. ir vienas, ir kitas) yra studentai. Teiginys J P skaitomas jei Jonas yra studentas, tai ir Petras studentas, t. y. iš prielaidos, kad Jonas yra studentas galima padaryti išvadą, kad ir Petras yra studentas. Teiginio J P prasmė: Jonas ir Petras arba abu yra, arba abu nėra studentai. Dar kartą pastebėkime, kad teiginių turinys visai nesvarbus ir gali neturėti prasmės. Pavyzdžiui, teiginys jei Kaunas Lietuvos sostinė, tai visi skaičiai yra neigiami užrašomas matematinės logikos simboliais k k ir yra teisingas. 1.3 pastaba. Disjunkcija kartais yra vadinama logine suma, o konjunkcija logine sandauga. Jei logines konstantas k ir t pažymėti 0 ir 1 bei į simbolius 0 ir 1 žiūrėti kaip į skaičius, tai x&y = x y, x y = x y x y. Operacija vadinama sudėtimi moduliu du: 0 0 = 0, 1 1 = 0, 0 1 = 1 0 = 1. Sudėtis moduliu du kartais vaidinama griežtąja disjunkcija ir žymima. 1.4 pastaba. Implikaciją galima apibrėžti šiomis išvedimų taisyklėmis: 3 Jei turime implikaciją x y, tai sakome, kad sąlyga y yra būtina sąlygai x (kitaip x negali būti teisinga), o sąlyga x yra pakankama sąlygai y (jos pakanka, kad teiginys y būtų teisingas).

10 1 SKYRIUS. MATEMATINĖ LOGIKA a) iš teisingos prielaidos (antecedento) išplaukia tik teisinga išvada (konsekventas); b) klaidinga išvada išplaukia tik iš klaidingos prielaidos. 1.5 pastaba. Loginės operacijos literatūroje gali būti pažymėtos ir kitaip:, (neigimas), (konjunkcija),, (implikacija),,, = (ekvivalentumas). 1.2.3. Teiginių algebros formulės 1.7 apibrėžimas. Teiginių algebros abėcėle vadinama aibė A = {a,b,...,a,b,...,x 1,,Y 2,,, &,,,, (, ) }. Aibės A elementai loginiai kintamieji, loginės operacijos bei skliaustai vadinami raidėmis. Formulės apibrėžiamos jų sudarymo taisyklėmis: (1) a,b,...,a,b,...,x 1,,Y 2, yra formulės; (2) jei A yra formulė, tai ( A) formulė; (3) jei A ir B yra formulės, tai (A&B), (A B), (A B), (A B) formulės; (4) kitų formulių nėra. Žodis z 1 = A& B nėra sudarytas pagal (1)-(4) taisykles ir todėl nėra formulė. Norėdami jį pataisyti, turime rašyti papildomus skliaustus: z 1 = (A&( B)). Tačiau šių skliaustų prasmė akivaizdi ir jie yra praktiškai nereikalingi. Galima susitarti nerašyti išorinių skliaustų. Tada z 1 = A&( B) yra formulė. Dar svarbesnis yra susitarimas dėl operacijų prioriteto. Operacijos, &,,, surašytos prioriteto mažėjimo tvarka, t. y. neigimas ( ) turi aukščiausią prioritetą, o ekvivalentumas ( ) žemiausią. Tada, jei A&( B) yra formulė, tai ir A& B yra ta pati formulė. Jei (A&B) C yra formulė, tai A&B C irgi yra ta pati formulė. Atkreipkime dėmesį, kad operacijų prioritetų nustatymas neleidžia visai atsisakyti skliaustų. Pavyzdžiui, formulė A B&C reiškia tik antrą iš dviejų

1.3. LOGIKOS FORMULIŲ SEMANTIKA 11 iš esmės skirtingų formulių: x = (A B)&C arba y = A (B&C). Formulių užrašymas be skliaustų pavidalu "operacija operandai" vadinamas prefiksiniu, o kitas pavidalas "operandai operacija" postfiksiniu (tradicinis pavidalas su skliaustais infiksinis). Prefiksinis bei postfiksinis formulių pavidalai leidžia visai nerašyti skliaustų. Pavyzdžiui, prefiksiniu pavidalu užrašytą formulę x = & ABC galima perrašyti taip: x = &wc = w&c. Čia pažymėta w = AB = A B. Taigi perrašome formulę infiksiniu pavidalu: x = (A B)&C. Tą pačią formulę užrašome postfiksiniu pavidalu: x = w&c = wc& = AB C&. (Čia buvo pažymėta w = A B). Panašiai užrašome formules y = A&BC = ABC& ir F = p&(x y z) = & p xyz. Pastebėkime, kad lygybės ženklas (=) reiškia tik kitą tos pačios formulės pavidalą ir nėra teiginių algebros abėcėlės elementas. Kitame paragrafe mes apibrėšime loginių formulių lygiavertiškumo arba ekvivalentumo ( =) sąvoką. 1.3. Logikos formulių semantika 1.3.1. Tautologijos Tarkime, kad X = (x 1,x 2,...,x n ) yra loginių kintamųjų rinkinys, F(X) loginė formulė. Apibrėžimai Loginių kintamųjų x j reikšmių {t,k} rinkinį ν = (ν 1,ν 2,...,ν n ) vadiname loginių kintamųjų interpretacija. Pavyzdžiui, ν (1) = (k,t,k) ir ν (2) = (t,k,t) yra dvi kintamųjų (x,y,z) interpretacijos Formulė F vadinama įvykdoma su interpretacija ν, jei F(ν) = t. Pavyzdžiui, formulė x&y yra įvykdoma su interpretacija ν = (t, t). Formulė F vadinama tautologija (tapačiai teisinga), jei ji yra įvykdoma su bet kuria interpretacija. Tautologijas žymime ženklu =. Formulė F vadinama prieštara (tapačiai klaidinga), jei su bet kuria interpretacija ν: F(ν) = k. Pastebėkime, kad F yra prieštara tada ir tik tada, kai F yra tautologija. Formulės F ir G vadinamos ekvivalenčiomis, jei su bet kuria interpretacija ν: F(ν) = G(ν). Ekvivalenčias formules žymime ženklu =.

12 1 SKYRIUS. MATEMATINĖ LOGIKA Pastebėkime, kad ekvivalenčiosios formulės turi tris savybes 4 : refleksyvumo (F = F); simetriškumo (jei F 1 = F2, tai F 2 = F1 ); tranzityvumo (jei F 1 = F2 ir F 2 = F3, tai F 1 = F3 ). Formulės F ir G yra ekvivalenčios tada ir tik tada, kai formulė (F G) yra tautologija. Arba trumpiau, F 1 = F2 tada, ir tik tada, kai = F 1 F 2. 1.6 pastaba. Vietoje žodžių tada ir tik tada, kai būtų galima rašyti kurį nors ekvivalentumo ženklą (,, ). Tada pastarasis teiginys užrašomas taip: F 1 = F2 = F 1 F 2. Tokiu atveju reikia susitarti, kad ( ) reiškia predikatų kalbos ekvivalentumo operaciją, o ženklas ( ) mūsų paaiškinimų kalbos metateorijos ekvivalentumą, t. y. teiginį tada ir tik tada, kai. Pateiksime ekvivalenčiųjų formulių pavyzdžius. F = F; F G = G F; F G = F G; F F = F; F&F = F; F G = F G; F G = (F& G); F t = t; F&t = F; F k = F; F&k = k. Visas formules galima įrodyti paprasčiausiu patikrinimu. Pavyzdžiui, formulės F ir F & t visada įgyja tą pačią reikšmę: kai F = t, turime F & t = t & t = t; kai F = k, turime F & t = k & t = k. Taigi įrodyta, kad F & t = F. 4 žr.

1.3. LOGIKOS FORMULIŲ SEMANTIKA 13 1.3.2. Teisingumo lentelės Žinodami įeinančių į loginę formulę loginių kintamųjų reikšmes, atliekame logines operacijas (žr.??) ir surandame loginių formulių reikšmes, kurias įrašome į teisingumo reikšmių lentelę. 1.3 pavyzdys. Formulės f(x 1,x 2,x 3 ) = (x 1 x 2 ) & (x 1 x 3 ) reikšmes bei jų skaičiavimo eigą nusako ši teisingumo reikšmių lentelė. x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 3 f(x 1,x 2,x 3 ) k k k t t t k k k k t t t t t t k t k t k t k k k t t t k t t t t k k k t t t t t k t k t t t t t t k k k k t k t t t k k k t k 1.3.3. Logikos dėsniai Tapačiai teisingos formulės tautologijos dar vadinamos logikos dėsniais. Surašykime svarbiausius iš jų į lentelę 5. 5 Atkreipkime dėmesį, kad ekvivalentumo ženklas yra loginė operacija. Visų lentelės formulių reikšmė lygi t, t. y. jos visos yra tautologijos.

14 1 SKYRIUS. MATEMATINĖ LOGIKA Pavadinimas negalimo trečiojo dėsnis dvigubas neigimas Formulė x x x x prieštaravimas x & x tapatybės dėsnis x x "modus ponens" x & (x y) y "modus tollens" (x y)& y x silogizmas (x y) & (y z) (x z) kontrapozicija x y y x de Morgano dėsniai x & y x y x y x & y Visas formules galima įrodyti, sudarant jų teisingumo reikšmių lenteles. Įrodykime, pavyzdžiui, pirmąjį de Morgano 6 dėsnį: x y x y x & y x & y x y x & y x y k k t t k t t t k t t k k t t t t k k t k t t t t t k k t k k t 1.3.4. Konjunkcijos ir disjunkcijos savybės Kaip ir anksčiau, visos pateikiamos tautologijos įrodomos tiesioginiu patikrinimu. Taigi visų formulių teisingumo lentelės dešinysis stulpelis bus užpildytas logine konstanta t. 6 Augustus de Morgan (1806 1871) škotų matematikas ir logikas.

1.3. LOGIKOS FORMULIŲ SEMANTIKA 15 Pavadinimas idempotentumas konjunkcijos komutatyvumas (perstatomumas) disjunkcijos komutatyvumas (perstatomumas) konjunkcijos asociatyvumas (jungiamumas) disjunkcijos asociatyvumas (jungiamumas) distributyvumas (skirstomumas) absorbcijios (sugerties) dėsniai Formulė x x x x & x x x & y y & x x y y x (x & y) & z x & (y & z) (x y) z x (y z) x & (y z) x & y x & z x y & z (x y) & (x z) x & (x y) x x x & y x 1.3.5. Implikacijos savybės Surašykime į lentelę dar kelias nesunkiai patikrinamas tautologijas. Pavadinimas įvedimo ir pašalinimo schemos distributyvumo (skirstomumo) dėsniai Formulė x (y x) (x y) ((x (y z)) (x z)) x (y x y) x & y x (x y) (x y) x (y z) x y x z x y & z (x y) & (x z) x y z (x y) (x z) x (y z) (x y x z)

16 1 SKYRIUS. MATEMATINĖ LOGIKA 1.3.6. Tautologijų nustatymo taisyklės Teisingumo reikšmių lentelės metodas yra universalus, bet reikalauja daug darbo. Kartais įrodyti, kad formulė yra tautologija galima greičiau, taikant atskyrimo (modus ponens) taisyklę. 1.1 teorema. Tarkime, kad formulės F ir F G yra tautologijos. Tada formulė G irgi yra tautologija, t. y. iš F ir F G išplaukia = G. Įrodymas. Jei šis teiginys nėra teisingas, t. y. G nėra tautologija, egzistuoja tokia loginių kintamųjų interpretacija (rinkinys) su kuria formulė G įgyja reikšmę k klaida. Kadangi F yra tautologija, gauname t k = k ir formulė F G nėra tautologija. Tai prieštarauja padarytai prielaidai. Taigi, jei turime tautologiją X Y, įstatę vietoje X bet kurią tautologiją, gauname naują tautologiją. 1.4 pavyzdys. Iš = X Y X ir = X Y gauname = (X X) Y (X X). 1.5 pavyzdys. Iš = X Y X ir = X & Y Y gauname = (X & Y Y ) Y (X & Y Y ). Suformuluokime dar vieną tautologijų įrodymo taisyklę. Tarkime, kad x yra formulės F poformulis. Jei formulėje F poformulį x pakeisime formule H, gausime naują formulę, kurią žymėsime S H x F. Jei formulė F buvo tautologija, jos visos reikšmės yra t ir nepriklauso nuo x. Todėl jos nepasikeis ir formulė liks tautologija. Trumpiau, iš = F išplaukia = S H x F. 1.6 pavyzdys. Iš = x x gauname = x y x y; = z & w y z & w y; = (x z) & w y (x z) & w y. Kartais tautologijai įrodyti patogu taikyti prieštaros bei ekvivalenčiųjų pertvarkių metodus. 1.7 pavyzdys. Įrodykime prieštaros metodu, kad formulė F = (A (B A)) yra tautologija. Sprendžiame lygtį F = k. Implikacija įgyja klaidingą reikšmę tik kai t k. Taigi turi būti A = t,

1.3. LOGIKOS FORMULIŲ SEMANTIKA 17 (B A) = k. Gauname, kad (B t) = k, o tokių reikšmių B nėra. Todėl lygtis F = k neturi sprendinių ir visais atvejais gauname F = t, t. y. formulė F yra tautologija. 1.8 pavyzdys. Ekvivalenčiųjų pertvarkių metodu įrodykime, kad formulė A & B (A B) yra tautologija. Taikome dvigubo neigimo dėsnį: A & B = A & B. Reiškiniui A & B taikome de Morgano dėsnį: A & B = A B. Taigi taikydami negalimo trečiojo dėsnį, gauname A B (A B) = t. 1.3.7. Loginis išvedamumas 1.9 pavyzdys. Formulė H(x 1,x 2,...,x n ) vadinama loginių formulių F 1 (x 1,x 2,...,x n ), F 2 (x 1,x 2,...,x n ),..., F m (x 1,x 2,...,x n ) išvada, kai H įgyja reikšmę t, jei visos formulės F j įgijo reikšmę t. Taigi teisingumo lentelėje x 1 x 2 x n F 1 F 2 F m H negali būti tokių eilučių x 0 1 x 0 2 x 0 n t t t k Iš čia gauname, kad loginė išvada H yra tautologija, kai F 1, F 2,..., F m tautologijos. Formulių F 1,...,F m loginę išvadą žymėsime taip: F 1,F 2,...,F m = H. 1.2 teorema. (Loginės išvados požymis.) Formulė H yra formulės F loginė išvada tada ir tik tada, kai implikacija F H yra tautologija. Kitaip sakant sąlyga F = H yra būtina ir pakankama, kad būtų = F H). Įrodymas. Būtinumas. Iš F = H pagal išvados apibėžimą turime t t = t (negalimas atvejis t k = k). Kai F = k, pagal implikacijos apibrėžimą, k H = t. Taigi F H = t visais atvejais ir yra tautologija. Pakankamumas. Kai implikacija F H yra tautologija, teisingumo lentelėje (F,H,F H) negali būti eilutės t,k,t. Todėl lentelėje (F,H) nėra elutės (t,k) ir H yra formulės F išvada.

18 1 SKYRIUS. MATEMATINĖ LOGIKA Panašiai galima įrodyti ir kitus loginės išvados požymius: F 1,F 2,...,F m = H tada ir tik tada, kai F 1 & F 2 & & F m = H; F 1,F 2,...,F m = H tada ir tik tada, kai = F 1 & F 2 & & F m H. 1.4. Teiginių skaičiavimas 1.4.1. Teisingų samprotavimų taisyklės Kai kurios tautologijos leidžia išskirti teisingų samprotavimų struktūrą, t. y. atsakyti į klausimą kas iš ko išplaukia. Išnagrinėkime tautologiją = F & (F G) G. Pagal loginės išvados požymio teoremą (17 p.) gauname F, F G = G. Ši samprotavimų schema išvedimo taisyklė vadinama modus ponens taisykle ir užrašoma taip F, F G G Ši taisyklė reiškia, kad jei turime teisingą prielaidą F ir įrodėme, kad prielaida F G irgi yra teisinga, tai galime padaryti teisingą išvadą G. Taigi modus ponens yra išvados atskyrimo nuo prielaidos taisyklė. Kita teisingų samprotavimų taisyklė pagrįsta tautologija ((F G) & G) F ir vadinama modus tollens: F G, G F Surašykime į lentelę dar kelias išvedimo taisykles. Tautologija (1) x x y (2) x & y x (3) ((x y) & (z w)) & (x z) y w Išvedimo taisyklė x x y x & y x (x y)&(z w), x z y w

1.4. TEIGINIŲ SKAIČIAVIMAS 19 (4) (x y) (y x) x y y x (5) (x y) & (y z) x y, y z x z (x z) (6) x (y z) y (x z) (7) x (y z) x & y z (8) (x & y z) (x (y z)) x (y z) y (x z) x (y z) x & y z x & y z x (y z) Šios taisyklės vadinamos: (1) disjunkcijos įvedimo; (2) konjunkcijos pašalinimo; (3) konstrukcinė dilema; (4) kontrapozicija; (5) silogizmas; (6) prielaidų perstata; (7) prielaidų sujungimas; (8) prielaidų atskyrimas. 1.4.2. Aksiominis metodas Nagrinėsime kitą logikos dėsnių įrodymo metodą. Pirma pasirinksime kelis pradinius dėsnius aksiomas, leidžiančias gauti kitus logikos dėsnius. Toliau suformuluosime taisykles, pagal kurias galima įrodyti logikos dėsnius teoremas. Visų šių aksiomų, taisyklių ir teoremų aibė sudaro formaliąją arba aksiominę teoriją. Kaip tokios teorijos pavyzdį, mes išnagrinėsime formalizuotą teiginių skaičiavimą L. (S) Teorijos L simboliai yra dvi loginės operacijos ir (kitos operacijos bus apibrėžtos vėliau), loginiai kintamieji x, y, A 1, A 2,... ir pagalbiniai simboliai (, ) (skliaustai ir kablelis). (F) Teorijos L formulės sudaromos pagal tokias taisykles: (a) kintamieji yra formulės; (b) jei X yra formulė, tai ir ( X) formulė; (c) jei X ir Y yra formulės, tai (X Y ) irgi yra formulė; (d) nėra kitaip (ne pagal (a) (c)) sudarytų formulių. Kaip ir anksčiau susitarkime nerašyti išorinių skliaustų.

20 1 SKYRIUS. MATEMATINĖ LOGIKA (A) Kokios bebūtų formulės A, B, C, formulės (A1) (A2) (A3) A (B A); (A (B C)) ((A B) (A C)); ( B A) (( B A) B). yra teorijos L aksiomos. (MP) Teorijos L išvedimo taisyklė yra modus ponens: formulė B yra tiesioginė išvada iš A ir A B (trumpiau rašysime MP(A, A B). Pastebėkime, kad reiškiniai (A1) (A3) yra aksiomos, kai vietoje A, B, C rašomos konkrečios formulės, pavyzdžiui, propoziciniai kintamieji. Todėl kiekvienas iš šių reiškinių apibrėžia be galo daug formulių ir jos visos vadinamos aksiomomis, o reiškiniai (A1) (A3) vadinami aksiomų schema. 1.8 apibrėžimas. Formulės F išvedimu iš formulių aibės (rinkinio) Γ (rašome Γ F) vadinama tokia baigtinė formulių seka F 1, F 2,..., F s, kad kiekviena formulė F j yra arba aksioma, arba formulė iš Γ, arba gauta iš ankstesniųjų formulių F k, F l (k, l taisyklę; < j), pritaikius MP paskutinioji išvedimo formulė F s sutampa su F. Rinkinio Γ formulės vadinamos hipotezėmis arba išvedimo prielaidomis. Kai tokių prielaidų nėra, t. y. aibė Γ yra tuščioji Γ =, formulė F vadinama teorijos L teorema ir žymima F. Kai reikia pabrėžti, kad kalbama apie teoriją L rašoma Γ L F 1.3 teorema. A A. Įrodymas. Įstatome į (A2) B = (A A) ir C = A. Trumpiau rašome S A,A A,A A,B,C (A2). Taigi : (F 1 ) (A ((A A) A)) ((A (A A)) (A A)). Rašydami (A1) formulėje A A vietoje B (t. y. S A,A A A,B (A1)), gauname (F 2 ) A ((A A) A). Taikome gautoms formulėms išvedimo taisyklę MP(F 1,F 2 ):

1.4. TEIGINIŲ SKAIČIAVIMAS 21 (F 3 ) ((A (A A)) (A A). Vėl taikome aksiomą S A,A A,B (A1): (F 4 ) A (A A). Galutinai pagal MP(F 3,F 4 ) taisyklę gauname (F 5 ) A A. 1.4 teorema. (Dedukcijos teorema; Erbranas 7, 1930) Jei Γ yra formulių rinkinys, A formulė ir Γ, A F, tai Γ A F. Įrodymas. Tarkime, kad F 1, F 2,..., F s yra formulės F išvedimas iš hipotezių Γ ir formulės A. Taigi F s = F. Pirma išnagrinėkime atvejį s = 1. Tada F 1 yra arba aksioma, arba formulė iš Γ, arba F 1 = A = F. Pastaruoju atveju jau įrodyta kad F F. Pirmaisiais dviem atvejais turime aksiomą S F 1,A A,B (A1): F 1 (A F 1 ) (A1 ) ir taikome taisyklę MP(F 1,A F 1 ). Bendruoju atveju (s > 1) taikome matematinės indukcijos principą. Darome prielaidą, kad Γ A F k, kai k < i s. Reikia įrodyti teiginį Γ A F i. Formulė F i atitinka vieną iš šių keturių atvejų: 1) F i yra aksioma, arba 2) F i yra formulė iš Γ, arba 3) F i sutampa su A arba 4) F i gauta pritaikius taisyklę MP(F j, F j F i ), (j < i). Pirmieji trys atvejai nagrinėjami, kaip jau išnagrinėtas atvejis s = 1. Ketvirtuoju atveju turime indukcinę prielaidą Γ A F j ; (P 1 ) Γ A (F j F i ). (P 2 ) Taikome S A,F j,f i A,B,C (A2): (A (F j F i )) ((A F j ) (A F i )). (A2 ). Pagal MP(P 2, A2 ): (A F j ) (A F i ). (R). Ir vėl taikome MP(P 1,R). Taigi gavome A F i ir, pagal indukciją, teiginys Γ A F i teisingas su visais i. Todėl jis teisingas, kai i = s ir turime F s = F arba Γ A F. Teorema įrodyta. Pastebėkime, kad formulių aibė gali būti tuščioji (Γ = ). Tada iš dedukcijos teoremos gauname, kad iš A F išplaukia A F, t. y. išvesta implikacija A F yra teorijos L teorema. Įrodykime dar, kad su bet kuriomis formulėmis A, B, C galioja išvedimas: 7 Jacques Herbrand (1908 1931) prancūzų matematikas.

22 1 SKYRIUS. MATEMATINĖ LOGIKA A B, B F A F. Sukonstruokime tokį formulės F išvedimą: A B, B F, A, B, F. Čia pirmosios trys formulės yra hipotezės, formulę B gauname pagal MP(A,A B), o formulę F pagal MP(B, B F). Taigi turime A B, B F, A F ir taikome dedukcijos teoremą. Gautą rezultatą galima užrašyti implikacijos įvedimo taisyklės pavidalu: Γ, A F Γ A F 1.7 pastaba. Aksiomose (A1) (A3) panaudotos tik dvi loginės operacijos: neigimas ( ) bei implikacija ( ). Todėl teiginių algebros formules galima apibrėžti nenaudojant kitų operacijų. Konjunkcijos, disjunkcijos bei ekvivalentumo operacijos apibrėžiamos taip: (D1) (D2) (D3) (A & B) pažymėta ( (A B)); (A B) pažymėta (( A) B)); (A B) pažymėta ((A B) & (B A)). Galima įrodyti tokias loginių operacijų įvedimo ir pašalinimo taisykles: Γ F, Γ G Γ F & G Γ F Γ F G Γ,G F, Γ,H F Γ,G H F Γ F & G Γ F 1.4.3. Formaliosios teorijos savybės Teorijai L apibrėžti nebuvo jokių reikalavimų operacijoms ir. Tarkime, kad jos apibrėžtos taip, kaip ir ankščiau. Teiginių algebros operacijos A B A B A B B A k k t t t t k t t k t k t k k t k t t t k k t t Su taip apibrėžtomis operacijomis visos aksiomos formulės gautos pagal (A1) (A3) schemą įgyja reikšmę t, todėl yra tautologijos (žymime =). Kai

1.4. TEIGINIŲ SKAIČIAVIMAS 23 A ir A F yra tautologijos, F irgi tautologija. Taigi pagal MP(A, A F) taisyklę iš tautologijų gauname tik tautologijas. Tarkime, kad F yra teorijos L teorema ( F). Tai reiškia, kad egzistuoja išvedimas F 1, F 2,..., F s F ir visos formulės F j yra arba aksiomos arba gautos pagal MP(F k,f k F j ), (k < j) taisyklę. Matome, kad visos formulės F j yra tautologijos. Todėl įrodyta Teorema. Jei F, tai = F. Teisingas ir atvirkštinis teiginys: jei = F, tai F. Taigi teorijos L formulė yra teorema tada ir tik tada, kai ji yra teiginių algebros tautologija. Ši teorijos savybė vadinama pilnumu. Kita svarbi formaliosios teorijos savybė jos neprieštaringumas: neegzistuoja tokia teorijos formulė A, kad ir A, ir A yra teoremos. Iš tautologijos apibrėžimo išplaukia, kad teorija L neprieštaringa. Pateiktos lentelėje loginių operacijų reikšmės gali būti ir kitos. Tai jau nebus teiginių skaičiavimas, bet visos teorijos L formulės gali būti apskačiuotos. Išnagrinėkime daugiareikšmės logikos pavyzdį. A B A A B B (A B) k k n k k k n n t k k t n t k n k n t t n n n t k n t n k k t k k k k t n k k t t t k k k Pastebėkime, kad dešinysis teisingumo lentelės stulpelis yra aksioma (A1). Jei suskaičiuoti formulių (A2) ir (A3) reikšmes, gausime vieną konstantą k. Tokios, įgyjančios tą pačią reikšmę k, formulės vadinamos išskirtosiomis. Taigi visos (A2), (A3) aksiomos yra išskirtosios, o (A1) nėra. Pagal taisyklę MP(A, A F) iš išskirtųjų formulių A ir A F gauname išskirtąją formulę F. Iš čia išplaukia, kad formulė (A1) negali būti išvesta iš formulių (A2) ir (A3) pagal MP taisyklę. Todėl aksioma (A1) nepriklauso nuo kitų aksiomų.

24 1 SKYRIUS. MATEMATINĖ LOGIKA 1.5. Predikatų logika 1.5.1. Kvantoriai ir predikatai Kai kurių loginių samprotavimų nepavyksta išreikšti teiginiaias. Pavyzdžiui, sakiniai Realusis skaičius x > π, α = β nėra teiginiai, kadangi jie gali būti ir teisingi, ir klaidingi, priklausomai nuo x, α, β. Išnagrinėkime šiuos samprotavimus: Visi Jono draugai yra studentai. Petras yra Jono draugas. Todėl Petras yra studentas. Kai kurių šalių sostinės yra miestai. Todėl yra sostinės, kurios yra kaimai. Jų teisingumui nustatyti reikia ne tik žinoti ar teisingi atskiri šių sudėtinių samprotavimų teiginiai, bet ir teisingai suprasti tokius reiškinius, kaip visi, kai kurie, kiekvienas ir pan. Apibrėžkime dar dvi logines operacijas, kurios vadinamos egzistavimo (žymimas ) ir bendrumo ( ) kvantoriais. 8 Egzistavimo kvantorius nurodo, kad yra, galima rasti, egzistuoja tam tikras objektas: α p(α) skaitoma yra tokia (tokios) α, kurios turi savybę p. Bendrumo kvantorius nurodo, kad savybę p turi visi objektai α: α p(α) skaitoma su visomis (kokia bebūtų) α, galioja sąlyga p. Norėdami nagrinėti tokius sakinius, kaip α = β turime pasitikslinti kintamųjų α, β prigimtį: tai gali būti skaičiai, matricos, funkcijos ir t. t. Tokius kintamuosius vadiname dalykiniais kintamaisiais arba tiesiog kintamaisiais ir žymime x,y,z,...,x 1,y 2,... Dalykinių kintamųjų reikšmes vadiname konstantomis ir žymime α,β,...,α 1,β 2,... Funkcija P(x 1,x 2,...,x n ) vadinama predikatu, jei esant bet kuriai dalykinių kintamųjų x 1,x 2,...,x n realizacijai α 1,α 2,...,α n, P(α 1,α 2,...,α n ) yra teiginys. Pavyzdžiui, kai x ir y yra realieji skaičiai, galime nagrinėti tokius predikatus: P(x,y) = x 2 > y, 8 Egzistavimo kavantoriaus žymėjimas angliško žodžio Exist (egzistuoti, būti) pirmosios raidės veidrodinis atvaizdas. Bendrumo kvanroriaus žymėjimas angliško žodžio Any (bet koks, bet kuris) apversta pirmoji raidė.

1.5. PREDIKATŲ LOGIKA 25 G(x) = sin x > cos x, R(y) = y 2 = e y. Tada P(1, 0) yra teisingas teiginys, G(0) klaidingas. Teiginys R(α) įgyja teisingą reikšmę (t), kai y = α yra lygties y 2 e y = 1 šaknis. Taikydami kvantorius ir predikatus, galime sudaryti teiginius: x yp(x, y), xg(x) teisingi teiginiai; yr(y) klaidingas teiginys. Pažymėkime D(x,y) sakinį x ir y yra draugai. Sakinį y yra studentas pažymėkime S(y), J Jonas, P Petras. Tada samprotavimus, kad, jei visi Jono draugai yra studentai, o Petras yra Jono draugas, tai ir Petras yra studentas galime užrašyti taip y (D(J,y) S(y)),D(J,P) S(P) Taigi čia D(x, y) ir S(y) yra predikaitai, x, y dalykiniai kintamieji, J, P dalykinės konstantos. 1.5.2. Operacijos su predikatais Predikatas P(x 1,x 2,...,x n ) įgyja reikšmes t ir k, priklausomai nuo kintamųjų x 1,x 2,...,x n reikšmių. Kiekvienas kintamasis x j priklauso tam tikrai aibei M j ir (x 1,x 2,...,x n ) M 1 M 2 M n. Šią aibę vadiname predikato apibrėžimo sritimi. Priklausomai, nuo apibrėžimo srities, predikato savybės gali iš esmės pasikeisti. Pavyzdžiui, predikatas x 2 +y 2 = 1 įgyja reikšmę k, kai (x,y) R R = R 2. Tačiau, šio predikato reikšmė gali būti ir t, jei x ir y yra kompleksiniai skaičiai. 1.9 apibrėžimas. Predikato P(x 1,x 2,...,x n ), apibrėžto srityje M 1 M 2 M n, teisingumo aibe vadinama aibė P + M 1 M n, jei predikatas P įgyja reikšmę t su visais x 1,..., x n iš aibės P + ir įgyja reikšmę k, kai (x 1,...,x n ) / P +, t. y. { P(x) = t, kai x P + P(x) = k, kai x / P +. Pavyzdžiui, predikato P(x,y) = x 2 + y 2 = 1 apibrėžimo sritis yra R 2, jo teisingumo aibė P + apskritimas su centru koordinačių pradžioje ir spinduliu 1. 1.10 apibrėžimas. Predikatas P(x 1,...,x n ) vadinamas tautologija (tapačiai teisingu), kai P + = M 1 M n ;

26 1 SKYRIUS. MATEMATINĖ LOGIKA prieštara (tapačiai klaidingu), kai P + = ; įvykdomuoju, kai P + ; paneigiamuoju, kai P + M 1 M n. 1.11 apibrėžimas. Du predikatai P(x 1,x 2,...,x n ) ir Q(x 1,x 2,...,x n ) vadinami lygiaverčiais (ekvivalenčiais, rašome P = Q ), kai 1) jie apibrėžti toje pačioje srityje M 1 M 2 M n ; 2) jų teisingumo aibės sutampa: P + = Q +. Pavyzdžiui, predikatai x y = 9 ir x y = 9 yra ekvivalentūs, jei x > 0 ir y > 0, tačiau jie nėra lygiaverčiai, jei pirmąjį nagrinėti, kai x y > 0. Pastebėkime, kad jei fiksuotas taškas (x 0 1,x0 2,...,x0 n ) priklauso abiejų predikatų P ir Q apibrėžimo sričiai,tai P 0 = P(x 0 1,x0 2,...,x0 n), Q 0 = Q(x 0 1,x0 2,...,x0 n) yra teiginaiai ir todėl jiems apibrėžtos visos loginės operacijos: P 0, Q 0, P 0 Q 0, Q 0 R 0, P 0 Q 0, P 0 & Q 0, P 0 Q 0. Taigi P = Q tada ir tik tada, kai naujas predikatas (P Q) yra tautologija. 1.12 apibrėžimas. Predikatas Q(x 1,...,x n ) vadinamas predikato P(x 1,...,x n ) logine išvada (rašome P = Q), jei predikato P reikšmė lygi t su visais tais x 1,...,x n, kai Q įgyja reikšmę t. Loginę išvadą galima apibrėžti ir kitaip: P + Q +. Pavyzdžiui, natūraliųjų skaičių aibėje apibrėžti predikatai D 3 (n) = n dalus iš 3 ir D 6 (n) = n dalus iš 6. Tada D 6 (n) D 3 (n) ir D + 6 = {6,12,18,...} D+ 3 = {3,6,9,12,15,18,...}. Pastebėkime, kad P = Q tada ir tik tada, kai P Q yra tautologija. Iš čia gauname, kad du predikatai P ir Q yra lygiaverčiai (P = Q ), tada ir tik tada, kai P Q ir Q P yra tautologijos. (Predikatas P R irgi bus tautologija.) Dar pastebėkime, kad šiuo atveju kad predikatų teisingumo sritys lygios: P + = Q +. Tarkime, kad predikatai P ir Q apibrėžti toje pačioje aibėje M 1 M 2 M n ir predikatas Q yra tautologija. Tada koks bebūtų predikatas P, turime P Q.

1.5. PREDIKATŲ LOGIKA 27 Tarkime, kad P Q ir P yra tautologijos. Tada predikatas Q irgi yra tautologija. 1.13 apibrėžimas. Predikatas P vadinamas predikato P neiginiu, jei 1) jis turi tą pačią apibrėžimo sritį; 2) įgyja reikšmę k, kai P lygus t ir įgyja reikšmę t, priešingu atveju. 1.10 pavyzdys. P(x) = x 0, P(x) = x < 0. 1.11 pavyzdys. L(f) = f(x) yra lyginė realiojo kintamojo x funkcija, L(f) = f(x) nėra lyginė realiojo kintamojo x funkcija. Pastebėkime, kad L(f) nėra predikatas N(f) = f(x) yra nelyginė realiojo kintamojo x funkcija. 1.14 apibrėžimas. Predikatų P(x 1,x 2,...,x n ) ir Q(y 1,y 2,...,y m ), apibrėžtų aibėse M 1 M n ir K 1 K m, konjunkcija, vadinamas predikatas P(x 1,x 2,...,x n ) & Q(y 1,y 2,...,y m ), apibrėžtas srityje M 1 M n K 1 K m ir įgyjantis reikšmę t tik ir tik tuo atveju, kai abu predikatai P ir Q lygūs t. Predikatų P ir Q disjunkcija, vadinamas predikatas P(x 1,x 2,...,x n ) Q(y 1,y 2,...,y m ), apibrėžtas srityje M 1 M n K 1 K m ir įgyjantis reikšmę t tik ir tik tuo atveju, kai bent vienas predikatas P ir Q lygus t. 1.12 pavyzdys. Tarkime, kad atkarpoje [ 1, 1] R apibrėžti predikatai: P(x) = x < 1, Q(x) = x 0. 1. (P&Q) + = ( 1,0) (0,1); 2. (P Q) + = [ 1,1];

28 1 SKYRIUS. MATEMATINĖ LOGIKA 1.5.3. Aibių reiškimas predikatais Aibės A ir B, apibrėžtos universaliosios aibės U elementų savybėmis a(x) ir b(x), ir operacijos su aibėmios predikatų kalba išreiškiamos taip: 1) predikatai a(x) ir b(x) apibrėžti aibėje U; 2) aibė A yra predikato a(x) teisingumo aibė: A = a + = {x U : a(x) = t}; 3) aibė B yra predikato b(x) teisingumo aibė: B = b + = {x U : b(x) = t}; 4) aibių A ir B sąjunga ir sankirta apibrėžiamos predikatų a(x) ir b(x) disjunkcija ir konjunkcija: A B = {x U : a(x) b(x) = t} = (a b) +, A B = {x U : a(x) & b(x) = t} = (a & b) + ; 5) aibių A ir B papildiniai apibrėžiami predikatų a(x) ir b(x) neigimais: A = {x U : a(x) = t}, B = {x U : b(x) = t}; 6) aibių A ir B skirtumai apibrėžiami taip: A \ B = {x U : a(x) & b(x) = t}, B \ A = {x U : b(x) & a(x) = t}. Taigi aibių A ir B sąjungą sudaro tie universaliosios aibės elementai, kurie turi savybę a(x) arba b(x) (a(x) b(x)). Šių aibių sankirta sudaryta iš elementų, turinčių abi savybes a(x) ir b(x) (a(x) & b(x)). Iš disjunkcijos ir konjunkcijos komutatyvumo ir asociatyvumo savybių išplaukia aibių sąjungos ir sankirtos komutatyvumas ir asociatyvumas: A B = B A, A B = B A, (A B) C = A (B C), (A B) C = A (B C). Visos aibių teorijos formulės (žr.??,?? p.) išplaukia iš logikos dėsnių (t. y. iš operacijų, &,,,. Įrodykime, pavyzdžiui, de Morgano formulę: A B = {x : a(x) & b(x) = t} = {x : a(x) b(x) = t} = {x : a(x) = t} {x : b(x) = t} = A B

1.5. PREDIKATŲ LOGIKA 29 1.5.4. Termai ir formulės Predikatų logika formalizuojama pagal tą pačią schemą kaip ir teiginių logika: apibrėžiama abėcėlė, formulių sudarymo taisyklės, aksiomos bei išvedimo taisyklės. Veiksmams su dalykiniais kintamaisiais pažymėti naudojamos funkcinės raidės. Pavyzdžiui, dviejų skaičių x 1, x 2 sumą x 1 + x 2 galima išreikšti funkcine raide p 2 1 (x 1,x 2 ). Taigi žymime visus leistinus dalykinių kintamųjų bei konstantų reiškinius f,g,...,f 1,g 2,... ir vadiname juos funkcinėmis raidėmis. Tai gali būti, pavyzdžiui, aritmetinės operacijos arba trigonometrinės funkcijos. Toliau nagrinėjame visus reiškinius, kuriuos galima sudaryti, taikant tas operacijas arba funkcijas. 1.15 apibrėžimas. Termais vadiname reiškinius, kuriuos galima gauti pagal šias taisykles: (a) kiekviena konstanta arba kintamasis yra termas; (b) jei f yra funkcinė raidė ir t 1,t 2,...,t n termai, tai f(t 1,t 2,...,t n ) yra termas; (c) nėra termų, gautų ne pagal (a), (b) taisykles. Predikatų kalbos abėcėlė apibrėžiama kaip šių elementų aibė: 1) loginių operacijų:, &,,, ; 2) pagalbinių simbolių: skliaustų (, ) bei kablelio, ; 3) kvantorių:, ; 4) kintamųjų; 5) konstantų; 6) funkcinių raidžių; 7) predikatinių raidžių (predikatų). Jei t 1,t 2,...,t n yra termai, o P yra predikatas, tai P(t 1,t 2,...,t n ) vadiname elementariąja formule (atomine formule). Predikatų skaičiavimo formulės apibrėžiamos šiomis taisyklėmis: (a) elementariosios formulės yra formulės; (b) jei A ir B yra formulės, x kintamasis, tai ( A), (A&B), (A B), (A B), (A B), ( xa), ( xa) yra formulės; (c) nėra formulių, gautų ne pagal (a), (b) taisykles. 1.5.5. Suvaržytieji ir laisvieji kintamieji

30 1 SKYRIUS. MATEMATINĖ LOGIKA 1.16 apibrėžimas. Kintamojo įeitis į formulę nusakoma šio kintamojo simboliu bei jo vietos formulėje numeriu. Vietos, kur prieš kintamąjį yra kvantorius, neskaičiuojamos. 1.13 pavyzdys. Formulėje P(x,z) ( z(q(y,z) (y z))) yra viena kintamojo x įeitis; dvi kintamojo y įeitys; trys kintamojo z įeitys. Kaip ir teiginių algebros formulėse (žr.??) galima išskirti predikatų skaičiavimo formulių poformulius. Išnagrinėto pavyzdžio formulėje turime poformulius y z, Q(y,z), Q(y,z) y z ir t. t. Kintamojo x įeitis į formulę F vadinama laisvąja, jei ji nepriklauso jokiai formulės F daliai (poformuliui), prasidedančiai x arba x. Priešingu atveju kintamojo x įeitis vadinama suvaržytąja formulėje F. Kintamasis vadinamas laisvuoju formulėje F, jei jis turi bent vieną laisvąją įeitį. Formulė vadinama uždarąja, jei ji neturi laisvųjų kintamųjų. Kai visi formulės F kintamieji x 1,x 2,...,x n yra laisvieji, rašome F(x 1,x 2,...,x n ). Susitarkime, kad formulės F, xf ir xf yra ekvivalenčios, kai F nepriklauso nuo x. 1.5.6. Predikatų skaičiavimo dėsniai Egzistavimo ir bendrumo kvantorių reiškimas vienas kitu xp(x) xp(x) xp(x) xp(x) Šios formulės dar vadinamos de Morgano dėsniais predikatams. Įrodykime pirmąją formulę. Tarkime, kad x 0 tokia dalykinio kintamojo reikšmė, kad P(x 0 ) = t. Tada xp(x) = t ir šio teiginio neiginys lygus k. Galimi du atvejai: 1) egzistuoja kitas x 1, kad P(x 1 ) = k, tada P(x 1 ) = t ir teiginys xp(x) yra klaidingas, t. y. gauname k = k; arba 2) tokio x 1 nėra ir P(x) = t arba P(x) = k su visais x: ( xp(x)) = k, t. y. vėl gauname k = k. Dabar tarkime, kad tokio x 0, kad P(x 0 ) = t pasirinkti negalima. Tada xp(x) = xk = t. Iš kitos pusės, teiginys xp(x) nuo x nepriklauso (yra tapačiai klaidingas), o jo neiginys lygus t. Taigi gauname t = t.

1.5. PREDIKATŲ LOGIKA 31 Kvantorių sąveika su konjunkcija ir disjunkcija x(p(x)&y ) ( xp(x))&y x(p(x) Y ) ( xp(x)) Y x(p(x)&y ) ( xp(x))&y x(p(x) Y ) ( xp(x)) Y x(p 1 (x)&p 2 (x)) ( xp 1 (x)) & ( xp 2 (x)) x(p 1 (x) P 2 (x)) ( xp 1 (x)) ( xp 2 (x)) (( xp 1 (x)) (xp 2 (x))) x(p 1 (x) P 2 (x)) (( xp 1 (x)) & (xp 2 (x))) x(p 1 (x) & P 2 (x)) Pastebėkime, kad bendrumo kvantorius neturi distributyvumo savybės disjunkcijos atžvilgiu: bendru atveju nėra ekvivalenčios formulės x(p 1 (x) P 2 (x)) ir ( xp 1 (x)) ( xp 2 (x)). Egzistavimo kvantorius neturi distributyvumo savybės konjunkcijos atžvilgiu: nėra ekvivalenčios formulės x(p 1 (x)&p 2 (x)) ir ( xp 1 (x)) & ( xp 2 (x)). Kvantorių sąveika su implikacija x(p(x) Q) ( xp(x)) Q x(p(x) Q) ( xp(x)) Q x(q P(x)) Q ( xp(x)) x(q P(x)) Q ( xp(x)) Įrodykime, pavyzdžiui, pirmąją formulę. Ji nebus tautologija, jei ekvivalentumo operandai įgyja skirtingas reikšmes, t. y. turime du atvejus: x(p(x) Q) = k, ( xp(x)) Q = t, (1) x(p(x) Q) = t, ( xp(x)) Q = k. (2) Pirmuoju atveju turi būti P(x) = t ir Q = k. Todėl xp(x) = t ir ( xp(x)) Q = t k = k. Taigi atvejis (1) neįmanomas. Antruoju atveju turi būti xp(x) = t ir Q = k. Tada kairėje (2) formulės pusėje turi būti P(x) Q = k k = t su visais x. Bet tai prieštarauja, kad xp(x) = t. Taigi atvejis (2) irgi yra negalimas ir pirmoji formulė įrodyta.

32 1 SKYRIUS. MATEMATINĖ LOGIKA Kvantorių pašalinimo ir įvedimo dėsniai Kvantorių komutatyvumas xp(x) P(y) P(y) xp(x) x yp(x,y) y xp(x,y) x yp(x,y) y xp(x,y) x yp(x,y) y xp(x,y) 1.5.7. Aksiominės teorijos sąvoka Teorijos K simboliai yra loginės operacijos, kvantoriai, pagalbiniai simboliai, dalykiniai kintamieji ir predikatinės raidės. Dar teorija gali turėti funkcinių raidžių ir dalykinių konstantų. Taigi skirtingos teorijos skiriasi simbolių abėcėlėmis, tačiau pagrindinė abėcėlės dalis yra būtina. Teorijos K aksiomas sudaro dvi aksiomų grupės: loginės aksiomos ir tikrinės teorijos aksiomos (neloginės). Šios formulės yra teorijos K loginės aksiomos: (A1) A (B A); (A2) (A (B C)) ((A B) (A C)); (A3) ( B A) (( B A) B); (A4) ( xf(x)) F(y); (A5) F(x) ( xf(x)). Kaip ir teiginių skaičiavimas, teorija K turi išvedimo taisykles: (MP) modus ponens taisyklė: A, A B ; B ( taisyklė) A B(x) A ( xb(x)) ; ( taisyklė) A(x) B ( xa(x)) B.

1.5. PREDIKATŲ LOGIKA 33 Tikrinės teorijos K aksiomos apibrėžia konkrečią teoriją. Jei teorija K apibrėžta tik loginėmis aksiomomis bei išvedimo taisyklėmis, turime formalizuotą predikatų skaičiavimą. Parodykime, kaip įrodomos predikatų skaičiavimo teoremos. 1.14 pavyzdys. x(a B(x)) A ( xb(x)): (a) x(a B(x)) hipotezė; (b) x(a B(x)) (A B(x)) (A4); (c) A B(x) (a), (b) ir (MP); (d) A ( xb(x)) (c) ir ( taisyklė); Parodykime, kaip gali būti apibrėžtos teorijos tikrinės aksiomos. Tarkime, kad teorija neturi funkcinių raidžių bei dalykinių konstantų ir turi tik vieną predikatinę raidę P. Teorija apibrėžiamia dviem tikrinėmis aksiomomis (a) x( P(x,x)); (b) x y z(p(x,y) & P(y,z) P(x,z)). Tarkime, kad predikatas P(x,y) turi tokią prasmę x < y. Tada predikato P(x,x) prasmė yra x x ir aksiomos (a), (b) vadinamos antirefleksyvumu bei tranzityvumu. Taigi turime aksiominę dalinės tvarkos teoriją. Kitas aksiominės teorijos pavyzdys yra grupių teorija. Turime vieną predikatinę raidę P(x, y), vieną dalykinę konstantą c ir vieną funkcinę raidę f(x, y). Teorijos tikrinės aksiomos yra šios: (a) x y zp(f(x,f(y,z)),f(f(x,y),z)); (b) xp(f(c,x),x); (c) x yp(f(x,y),c); (d) xp(x,x); (e) x yp(x,y) P(y,x); (f) x y zp(x,y) & P(y,z) P(x,z); (g) x y zp(y,z) P(f(x,z),f(y,z))&P(f(y,x),f(z,x)).

34 1 SKYRIUS. MATEMATINĖ LOGIKA Pastebėkime, kad čia c yra grupės neutralusis elementas, predikatas P(x, y) reiškia lygybę x = y, funkcine raide f(x,y) pažymėta grupės operacija x y. Taigi, pavyzdžiui, aksiomas (a), (b) ir (c) galima užrašyti ir taip: (a) x y z(x (y z)) = ((x y) z); (b) x(c x) = x; (c) x y(x y) = c. Panašiai galima perrašyti ir kitas aksiomas. Komutatyvioji grupė reikalauja dar vienos aksiomos: x yp(f(x,y),f(y,x)) arba x y x y = y x. Pastebėkime, kad lygybės predikatas (=) apibrėžiamas tokiomis savybėmis: (refleksyvumas) x x = x; (keitinys) (x = y) (A(x,x) A(x,y)), A(x,y) bet kuri teorijos formulė. Jei šios savybės yra teorijos aksiomos K arba teoremos, K vadinama teorija su lygybe. 1.5.8. Formalioji aritmetika Formalioji aritmetika apibrėžiama viena predikatine raide P(x, y), viena konstanta c ir trimis funkcinėmis raidėmis f(x), g(x,y) ir h(x,y). Teorijos tikrinės aksiomos: (A1) P(x,y) (P(x,z) P(y,z)); (A2) P(x,y) P(f(x),f(y)); (A3) P(c,f(x)); (A4) P(f(x),f(y)) P(x,y); (A5) P(g(x,c),x); (A6) P(g(x,f(y)),f(g(x,y)); (A7) P(h(x,c),c); (A8) P(h(x,f(y)),g(h(x,y),x));

1.5. PREDIKATŲ LOGIKA 35 (A9) (A(0) ( x(a(x) A(f(x))) xa(x)), A(x) bet kuri teorijos formulė. Taigi čia predikatas P(x, y) reiškia lygybę, konstanta c yra 0, funkcinėmis raidėmis g(x, y) ir h(x, y) pažymėtos sudėties ir daugybos operacijos, raidė f(x) reiškia skaičių x+1. Pastebėkime, kad iš (A3) išplaukia, kad čia visi x yra natūralieji. Aksioma (A9) vadinama matematinės indukcijos principu. Natūraliųjų skaičių formaliųjų apibrėžimų yra daug. Pateiksime dar vieną formaliosios aritmetikos aksiomų sistemą. Predikatų skaičiavimas turi 1) dalykinę konstantą 0; 2) dvivietes funkcijas + ir, vienvietę (paskesniojo nario) funkciją ; 3) dvivietį predikatą =; 4) aksiomų schemas (P bet kuri formulė, t, t 1, t 2 bet kurie termai): (A 1 ) (P(0) & x(p(x) P(x )) xp(x); (A 2 ) t 1 = t 2 t 1 = t 2 ; (A 3 ) (t = 0); (A 4 ) t 1 = t 2 (t 1 = t 3 t 2 = t 3 ); (A 5 ) t 1 = t 2 t 1 = t 2 ; (A 6 ) t + 0 = t; (A 7 ) t 1 + t 2 = (t 1 + t 2 ) ; (A 8 ) t 0 = 0; (A 9 ) t 1 t 2 = t 1 t 2 + t 1. 1.5.9. Matematinės indukcijos principas Kai reikia įrodyti kurį nors teiginį P(n), teisingą visiems sveikiesiems arba natūraliesiems skaičiamas, turime įrodyti, kad teiginys np(n) yra tautologija. Kadangi šio teiginio neigimas ( np(n)) yra n( P(n)), įrodyti, kad P(n) negalioja visiems n, galima vienu kontrapavyzdžiu, t. y. rasti tokį skaičių n 0, kad P(n 0 ) = t. Tačiau įrodyti, kad tokio n 0 nėra ir P(n) galioja visada gali būti sunku. Dažnai tokiems įrodymams taikomas Matematinės indukcijos principas: Tarkime, kad P(n) yra toks predikatas, kad 1) P(1) = t; 2) (( k)(p(k) P(k + 1))) = t. Tada (( n)p(n)) = t, t. y. P(n) teisingas su visais natūraliaisias skaičiais n.