TEMA : APLICACIONS DAS DERIVADAS Monotonía: Crcmnto dcrcmnto Sa f:d RR unha función Dfinicións: Dirmos qu f é crcnt n a s ist unha vciñanza d a para a qu s cumpr: f(a < f( para todo punto d dita vciñanza con > a f(a > f( para todo punto d dita vciñanza con < a Dirmos qu f é dcrcnt n a s ist unha vciñanza d a para a qu s cumpr: f(a > f( para todo punto d dita vciñanza con > a f(a < f( para todo punto d dita vciñanza con < a
Dirmos qu f prsnta un máimo rlativo (ou local no punto a s ist unha vciñanza d a na qu f( < f(a para todo punto dsa vciñanza Dirmos qu f prsnta un mínimo rlativo (ou local no punto a s ist unha vciñanza d a na qu f( > f(a para todo punto dsa vciñanza É dicir, un máimo rlativo é un punto ond a función pasa d crcr a dcrcr, un mínimo é un punto ond a función pasa d dcrcr a crcr Rlación ntr a monotonía a drivada S f é unha función drivabl no punto a s cumpr qu: i S f (a > ntón f é crcnt no punto a ii S f (a < ntón f é dcrcnt no punto a iii S f tn un máimo ou mínimo rlativo n a ntón f (a Obsrvacións: Nos puntos ond a función non sa drivabl, non podmos utilizar sta propidad, nsts casos habrá qu facr un studio d qu ocorr nas proimidads ds punto. O punto iii non garantiza qu si f (a ntón a sa un trmo (máimo ou mínimo rlativo. Por mplo, a función f(, cumpr qu f ( pro o punto non é máimo nin mínimo rlativo. Para asgurar qu hai un trmo trmos qu comprobar s hai un cambio d dcrcr a crcr ou vicvrsa. Tamén podmos utilizar a sguint propidad:
Esquma para studiar o crcmnto dunha función Calculamos o dominio da función Calculamos a drivada da función Calculamos os puntos ond a drivada é cro, é dicir, rsolvmos a cuación f ( 4 Estudiamos o signo qu tn a drivada n cada un dos intrvalos n qu quda dividida a rcta ral ao considrar os puntos críticos (puntos con drivada cro os puntos ond a función non é drivabl ou non é continua Emplo: Estudiar o crcmnto da función f( 4 Dom f R {-, }, a función é continua drivabl no dominio por sr unha función racional f ( ( 4 ; f ( Intrvalo (, - (-, (, (,+ Pto d control f (- 6/5 f (- /9 f ( -/9 f ( -6/5 Signo d f + + - - Comportamnto d f Crc Crc Dcrc Crc Por tanto : A función é crcnt n (, - (-, A función é dcrcnt n (, (, + A función tn un máimo rlativo no punto (, f( (, -/4
Curvatura dunha función. Puntos d inflión Dfinicións:Tmos unha curva y f(, trazamos a rcta tannt a la nun punto P, qu chamarmos t(, ntón: S nas proimidads d P é f( > t( ntón a curva é conva n P S nas proimidads d P é f( < t( ntón a curva é cóncava n P S a tannt atravsa a curva n P, é dicir, s á squrda d P é f( < t( á drita é f( > t( ou vicvrsa, ntón P é un punto d inflión. Un punto d inflión é un punto ond hai un cambio d cóncava a conva ou vicvrsa. Rlación ntr a curvatura a drivada S f é unha función dfinida n a tal qu ist f (a ntón: i S f (a > ntón f é conva n a ii S f (a < ntón f é cóncava n a iii S f tn un punto d inflión n a ntón f (a Esquma para studiar a curvatura dunha función Calculamos o dominio da función Calculamos a drivada sgunda da función Calculamos os puntos ond a drivada sgunda é cro, é dicir, rsolvmos a cuación f ( 4 Estudiamos o signo qu tn a drivada sgunda n cada un dos intrvalos n qu quda dividida a rcta ral ao considrar os puntos con drivada sgunda cro os puntos ond a función non é drivabl ou non é continua Emplo: f( + Dom f R ; f ( + 6 ; f ( 6 + 6 ; 6 + 6 - Intrvalo (, (-, + Pto d control f (- -6 f ( 6 Signo d f - + Comportamnto d f Cóncava Conva Por tanto: f é cóncava n (, f é conva n (-, f tn un punto d inflión no punto (-, f(- (-,
Problmas d optimización Con moita frcuncia aparcn problmas físicos, ométricos, conómicos, biolóicos, nos qu s trata d optimizar (ncontrar o valor máimo ou mínimo unha función (facr máimo un volum, uns bnficios, unha poboación; facr mínimos uns costos, unha ára,. Nst tipo d problmas intrsa calcular o máimo ou mínimo absoluto nun crto conunto. Os pasos máis razoabls para rsolvr problmas dst tipo srían: S noman as variabls corrspondnts s scrib a función qu hai qu optimizar Esta función, normalmnt, dpndrá d máis dunha variabl. S busca unha rlación ntr las, dspando a máis aitada i scribindo a función a optimizar n trmos dunha soa variabl S stablc o conunto no qu, polo contto do problma, s movrá a variabl lida. Normalmnt srá un intrvalo do tipo [a, b], polo qu s a función é continua tmos garantizado qu istn máimo mínimo absoluto. 4 S busca o máimo ou o mínimo d f n [a, b]. Para lo s pod procdr: a S f é drivabl n [a, b], o máimo mínimo absoluto s alcanzará nun máimo ou mínimo rlativo ou nun punto dos trmos do intrvalo. Polo tanto, s calculan os trmos rlativos comprndidos ntr a b,,,, n s calculan f(a, f(, f(,, f( n, f(b ; o maior srá o máimo absoluto o mnor srá o mínimo absoluto b S hai algún punto d [a, b] no qu f non sa drivabl pro si continua, calcularmos admais o valor d f ns punto, pois podría sr un trmo absoluto c S f non é continua nalgún punto d [a, b] s studiará o comportamnto da función nas proimidads ds punto Emplo: Nun ardín con forma d smicírculo d raio m vais instalar un partrr rctangular, un d cuos lados stá sobr o diámtro o oposto tn os trmos na part curva. Calcula as dimnsións do partrr para qu a súa ára sa máima. S P(,y é un punto da circunfrncia a ára do partrr srá: A y P(,y Como P(,y prtnc á circunfrncia s cumpr qu: + y ntón y, logo: A trmos qu buscar o máimo dsa función no intrvalo [, ] Sol: 5
Rgra d L Hopital S as funcions f ( y g( son drivabls nun ntorno d a tals qu f '( f ( a g( a, ntón, s ist s vrifica qu a g'( f ( f '( a g( a g'( A rgra d L'Hôpital tamén s pod aplicar cando, pois facndo o cambio d variabl staríamos no caso antrior. y É válida a msma rgra cando f ( g( tndn a cando a. Polo tanto, srv para rsolvr as indtrminacións, admais, mdiant dtrminadas transformacións tamén podrmos rsolvr as indtrminacións:,,,, Emplos: + 6 Aplicamos L Hôpital: + 6 6 + 6. +. 4 A vcs é ncsario aplicar máis dunha vz a rgra d L Hôpital para quitar a indtrminación: ( ( ( Entón: ( + ( { aplicando L'Hôpital } Novamnt aplicaríamos a rgra d L Hôpital: 6 6 Aplicamos, outra vz, a rgra d L Hôpital:. 6 6 6 6
Para as outras indtrminacións tríamos: Límits da forma Supoñndo qu f y g, s fctúa o cambio qu pasaríamos á indtrminación L'Hôpital. Tamén s pod facr Emplo:. L. L. f g g f f g f g co, ntón, aplicaríamos a rgra d nos qudaría a indtrminación. Efctuando calqura das transformacións antriors, nos quda: L. L Aplicando L Hôpital: L. L Límit da forma. Si supoñmos qu f g tndn a para studiar o it d f g podmos facr o cambio: f g f ( g qu posiblmnt srá un f it máis fácil d calcular. Emplo: sn Nst caso, nos rsulta máis cómodo fctuar a difrncia para pasar á indtrminación aplicar a rgra d L Hôpital: sn sn.sn sn sn.sn cos sn + cos cos + sn cos sn sn.cos.sn.
Límits d la forma.,, Para quitar st tipo d indtrminación s pod utilizar a prsión: g Lf g f pasando así a algunha das indtrminacións antriors. Emplo: (cos 6 6.( tg 6.( 6 tg cos sn (cos. (cos. (cos + + L L tg. cos sn sn sn ctg tg ( tg tg tg L L L L EXERCICIOS. tg 4 sn sn L L ( Ln(tg cos π cos (tg π ( Ln + + L. ( a + sn sn π π tg 4 cos
Torma d Roll S f é unha función continua no intrvalo [a, b] drivabl no intrvalo (a, b admais f(a f(b ntón ist un punto c do intrvalo (a, b tal qu f (c Intrprtación ométrica Qu f (c qur dicir qu a pndnt da rcta tannt á curva ns punto val cro, por tanto, s s cumprn as hipótss do torma d Roll ntón podmos asgurar qu polo mnos ist un punto ntr a b ond a rcta tannt á curva ns punto é horizontal. Torma do valor mdio do cálculo difrncial S f é unha función continua no intrvalo [a, b] drivabl no intrvalo (a, b f(b f(a ntón ist un punto c do intrvalo (a, b tal qu f (c b a Intrprtación ométrica Por un lado, a rcta qu un os puntos A(a, f(a B(b, f(b tn por pndnt f(b f(a, por outro lado f (c é a pndnt da rcta tannt á curva no punto b a (c,f(c. Polo tanto s s cumprn as hipótss do torma do valor mdio, podmos garantizar qu polo mnos ist un punto ond a rcta tannt é paralla á rcta qu un os puntos A(a, f(a B(b, f(b.
Ercicios S considra unha caia sn tapadra (consta d catro caras latrais i o fondo. Sabndo qu o fondo é un cadrado i coñcndo qu a ára total (das cinco caras é d cm, calcular as súas dimnsións para qu tña a maior capacidad posibl. S considra unha vntá como a qu s indica na figura (A part infrior é rctangular, a suprior unha smicircunfrncia. O prímtro da vntá mid 6 m. Calcular as dimnsións y para qu a suprfici da vntá sa máima. Eprsar os rsultados n función d π X A gráfica da figura corrspond á primira drivada dunha función f(. Qué pod dcirs sobr os posibls máimos mínimos rlativos da función f(? Razoar a rsposta. f ( 4 Calcular lim sn( sn π cos lim cos lim ( lim ( lim lim ln( + sn lim cos tg ( ( lim lim +
5 S considra a función + n si < f ( + m si a Dtrminar m n para qu s cumpran as hipótss do torma do valor mdio no intrvalo [ - 4, ]. b Achar os puntos do intrvalo cuia istncia garantiza dito torma. 6 S considra a función + si > f ( si Contstar, razoadamnt, ás sguints prguntas: a É continua no punto? b É drivabl no punto? c Alcanza algún trmo? 7 Sa f(a +b +c+d un polinomio qu cumpr f(, f '(, tn dous trmos rlativos para. a Dtrminar a,b,c d. b Son máimos ou mínimos os trmos rlativos? 8 a Si é posibl, dbuar d forma clara a gráfica dunha función continua no intrvalo [, 4] qu tña ó mnos un máimo rlativo no punto (, un mínimo rlativo no punto(,4 b Si a función fora polinómica, cal ha d sr como mínimo o grao? 9 Sa a función f( + sn. Estudiar a monotonía i a istncia d trmos rlativos. Dados trs númros rais calsqura r, r y r, achar o númro ral qu minimiza a función: D( (r - + (r - + (r - S considra a función f ( 4 a Indicar o dominio d dfinición da función f i achar as asíntotas. b Calcular os trmos rlativos da función f i os intrvalos d concavidad i convidad. c Achar su máimo i su mínimo absolutos no intrvalo [-, ]. S considran as funcions f( - +, g( a + b a Calcular a i b para qu as gráficas d f i g san tannts no punto d abscisa b Para os valors d a i b calculados no apartado antrior, dbuar as gráficas d ambas funcións i achar a cuación da rcta tannt común.
a Dtrminar os trmos rlativos da función f( - 4 +. Dbuar súa gráfica. b Achar as cuacións das dúas rctas tannts á gráfica d f qu pasan polo punto P(, - 5. 4 S considra a función ral d variabl ral dfinida por: f ( + Calcular a cuación cartsiana da rcta tannt no punto d inflión d abscisa positiva da gráfica d f. 5 Dada f( + m dfinida n [-, ] a Dtrminar m para qu f( cumpra as condicións do torma d Roll b Para os valors obtidos, ist algún punto d (-, no qu a rcta tannt sa horizontal? 6 Comproba s as sguints funcións cumprn o torma d Roll a f( - n [,4] b f( tg n [,π] a + 7 Sábs qu f( dfinida n [,5] por f( c + drivabl n (,5 f( f(5. Calcular a,b,c b,, < 5 é 8 Calcular os valors d a tals qu as rctas tannts á gráfica da función f( a + + nos puntos - san prpndiculars ntr si. 9 Dtrminar a,b,c,d para qu a curva corrspondnt a f( a + b + c + d pas pola ori tña no punto (, un punto d inflión con tannt horizontal. Calcular os trmos rlativos d f( Dada f( + a + 5, dtrminar o valor d a para qu tña un trmo rlativo n. Estudiar a monotonía curvatura. Calcular os trmos rlativos d f( + + Dmostrar qu a cuación + - admit unha solución so unha no intrvalo (,. 4 Dmostrar qu a función drivada do polinomio P( ( - ( + ( + tn todas as súas raícs rais. 5 Dmostrar qu no intrvalo [6, 7] a cuación -6 4 tn unha única solución.