ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΠΕΔΙΟ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΚΑΙ ΤΩΝ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ ΣΚΟΠΟΣ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ Σημαντική πληροφορία για τη συμπεριφορά και την ευστάθεια ενός γραμμικού συστήματος, παίρνεται, μελετώντας την απόκρισή του στο πεδίο των χρόνων και των συχνοτήτων. Η μελέτη στα πεδία αυτά γίνεται μέσω κάποιων χαρακτηριστικών διαγραμμάτων, τα οποία μας δείχνουν τη συμπεριφορά του συστήματος. Σε αυτήν την άσκηση, θα δούμε πώς μπορούμε να μελετήσουμε ένα σύστημα με το λογισμικό Matlab, εξάγοντας τα χαρακτηριστικά διαγράμματά τους. Ποιο συγκεκριμένα, θα δούμε τα εξής: Α. στο πεδίο των συχνοτήτων 1. Διαγράμματα Bode 2. Διαγράμματα Nichols 3. Διαγράμματα Nyquist Β. στο πεδίο των χρόνων 1. Βηματική απόκριση (Step Response) 2. Κρουστική απόκριση (Impulse Response) ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ Θα μελετήσουμε ένα ηλεκτρομηχανικό σύστημα, το οποίο χρησιμοποιείται για τον έλεγχο των στροφών ενός DC κινητήρα. Στην πράξη πρόκειται για έναν κινητήρα, η ταχύτητα περιστροφής του οποίου, ελέγχεται από μία τάση, όπως σχηματικά φαίνεται στο Σχήμα 1. Σχήμα 1. Η συνάρτηση μεταφοράς της ταχύτητας περιστροφής θα δίδεται από την K V JL s 2 JR bl s br K 2 όπου J η ροπή αδράνειας του κινητήρα, b ο ρυθμός απόσβεσης του μηχανικού συστήματος, Κ η σταθερά της ηλεκτροκινητήριας δύναμης, R η ηλεκτρική αντίσταση, L η αυτεπαγωγή του πηνίου, V η τάση ελέγχου (είσοδος του συστήματος) και θ' η ταχύτητα περιστροφής (έξοδος του συστήματος).
Για το σύστημά μας θεωρούμε ότι οι μεταβλητές έχουν τις εξής τιμές: J =.1 kg. m 2 /s 2 b =.1 Nms Κ =.1Nm/Amp R = 1Ω L =.5H 1. ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE Η ανάλυση στο πεδίο των συχνοτήτων μπορεί να παρασταθεί από δύο ξεχωριστά διαγράμματα, από τα οποία το πρώτο αναπαριστά το μέτρο και το δεύτερο τη γωνία φάσης ως συνάρτηση της συχνότητας για ημιτονικό σήμα εισόδου. Η χρήση των διαγραμμάτων Bode μας δίνει τη δυνατότητα λήψης των δύο αυτών γραφικών παραστάσεων, στις οποίες η πρώτη δίνει το μέτρο σε dβ (amplitude ratio, AR) μιας ημιτονοειδούς συνάρτησης. Η μετατροπή του μέτρου της συνάρτησης μεταφοράς G(s) σε db γίνεται από τη σχέση, AR(db) = 2 log1 G(s) Η δεύτερη γραφική παράσταση δίνει τη γωνία φάσης, ως συνάρτηση της συχνότητας σε λογαριθμική κλίμακα. Επομένως τα διαγράμματα Bode χαράσσονται σε ημιλογαριθμικό χαρτί. Η λογαριθμική (οριζόντια) κλίμακα συχνοτήτων μας δίνει καλύτερη δυνατότητα μελέτης των χαρακτηριστικών της συνάρτησης μεταφοράς, τόσο στις χαμηλές συχνότητες όσο και στις υψηλές. Η γραφική απεικόνιση των διαγραμμάτων Bode, με χρήση του λογισμικού Matlab, γίνεται με την εντολή [mag,phase]=bode(num,den,w) όπου mag είναι το μέτρο και phase η φάση της συνάρτησης μεταφοράς (μεταβλητές εξόδου) και w μία προαιρετική ποσότητα που ορίζεται από το χρήστη και δίνει το εύρος λογαριθμικών συχνοτήτων που γίνεται η απεικόνιση. Ομοίως, όταν το μαθηματικό μοντέλο αναπαράστασης είναι ο χώρος κατάστασης, μπορεί να χρησιμοποιηθεί και η εντολή [mag,phase]=bode(a,b,c,d,w) Για τη δημιουργία του διαγράμματος Bode για το σύστημά μας γράφουμε ένα m-file για το Matlab και παίρνουμε το αποτέλεσμα που φαίνεται στη συνέχεια. % Transfer function of a DC motor clear all, close all J =.1;
Phase (deg) Magnitude (db) b =.1; L =.5; K =.1; R = 1; num = K; den = [(J*L) (J*R)+(L*b) (b*r)+(k^2)]; % Bode Diagramms w = logspace(-1,2,1); [mag,phase] = bode(num,den,w); subplot(2,1,1),semilogx(w,2*log1(mag)); title('bode Diagramm'); ylabel('magnitude (db)'),grid; subplot(2,1,2),semilogx(w,phase); ylabel('phase (deg)'); xlabel('frequency (rad/sec)'),grid -2 Bode Diagramm -4-6 -8 1-1 1 1 1 1 2-5 -1-15 -2 1-1 1 1 1 1 2 Frequency (rad/sec) 2. ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ NICHOLS Διαγράμματα με ιδιαίτερη χρησιμότητα και πληροφορία, είναι και τα διαγράμματα Nichols, στα οποία απεικονίζεται το μέτρο σε dβ έναντι της γωνίας φάσης. Η γραφική τους απεικόνιση με τη χρήση του Matlab, γίνεται με όμοιο τρόπο με τα διαγράμματα Bode, αλλά εδώ χρησιμοποιούμε την εντολή plot(phase,2*log1(mag)) και παίρνουμε τα αποτελέσματα που φαίνονται στο σχήμα.
Magnitude (db) % Nickols Diagramm plot(phase,2*log1(mag)); title('nickols Diagramm'); xlabel('phase (deg)'); ylabel('magnitude (db)'),grid; -2 Nickols Diagramm -3-4 -5-6 -7-8 -18-16 -14-12 -1-8 -6-4 -2 Phase (deg) 3. ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ NYQUIST Το πολικό διάγραμμα μιας ημιτονοειδούς συνάρτησης μεταφοράς G(s), (όπου s=jω), είναι μια καμπύλη, κάθε σημείο της οποίας αποτελεί την κορυφή ενός διανύσματος το οποίο δίνει το μέτρο G(s) και τη γωνία φάσης argg(s) σε πολικές συντεταγμένες, όταν η συχνότητα μεταβάλλεται από το μηδέν έως το άπειρο. Στο πολικό διάγραμμα, θετική γωνία φάσης θεωρείται αυτή που έχει φορά αντίθετη από τη φορά του ρολογιού, μετρούμενη από το θετικό ημιάξονα, όπως φαίνεται και στο σχήμα 3.1. Im o 9 G(s) o 18 argg(s) O o 36 o Re 27 o Σχ. 3.1.
Το πολικό διάγραμμα της G(s) μπορεί να σχεδιαστεί στο μιγαδικό επίπεδο ως ο γεωμετρικός τόπος των σημείων, τα οποία αντιστοιχούν στην τιμή της G(s) για όλες τις δυνατές συχνότητες. Με αντίστοιχο τρόπο μπορούμε να πάρουμε το πολικό διάγραμμα G(s)H(s), μετά από πολλαπλασιασμό του G(s) με την H(s) και άθροιση των φάσεων argg(s) και argh(s) (σχήμα 3.2). Το πολικό αυτό διάγραμμα είναι γνωστό ως διάγραμμα Nyquist. Με το διάγραμμα Nyquist μπορούμε να δούμε την απόκριση ενός συστήματος ως προς τη συχνότητα ω, αλλά το σημαντικότερο είναι, ότι μπορούμε να βγάλουμε συμπεράσματα για την ευστάθειά του. Im o 9 G(s)H(s) o 18 arg[g(s)h(s)] O o 36 o Re 27 o Σχ. 3.2. Κριτήριο Ευστάθειας του Nyquist Θεωρούμε ένα κλειστό γραμμικό σύστημα, του οποίου η συνάρτηση μεταφοράς κλειστού βρόχου όπως αναφέρθηκε ισούται με: Y U 1 G s H s G s Θεωρούμε επίσης ότι, η συνάρτηση μεταφοράς ανοικτού βρόχου δεν έχει πόλους στο εξωτερικό τμήμα του μοναδιαίου κύκλου του z - επιπέδου. Το πολικό διάγραμμα GH(s) του συστήματος απεικονίζεται στο σχήμα 3.3.
Im +jω -1 Re -jω GH(s) - επίπεδο Σχ. 3.3. Πολικό διάγραμμα GH(s) του συστήματος Εάν ο τόπος διέρχεται από το σημείο (-1, j), τότε προκύπτει ότι 1 + G H = και το σύστημα θα είναι ασταθές. Το κριτήριο Nyquist δηλώνει ότι ένα κλειστό σύστημα είναι ευσταθές, όταν το διάγραμμα Nyquist αυτού, διαγραφόμμενο δεξιόστροφα σε συνάρτηση με την κυκλική συχνότητα ω, αφήνει πάντα το κρίσιμο σημείο (-1,j) στο αριστερό του. Για να πάρουμε τα διαγράμματα Nyquist με το Matlab δίνουμε την εντολή [re,im,w]=nyquist(num,den,w) όπου w το εύρος συχνοτήτων, που ο χρήστης επιθυμεί να μελετήσει. Παρακάτω παρουσιάζεται το διάγραμμα Nyquist του παραδείγματος του DC κινητήρα. % Nyquist Diagramm nyquist(num,den); title('nyquist plot'),grid
Imaginary Axis.1.8 Nyquist plot 2 db 1 db 6 db4 db 2 db db-2 db-4 db-6 db -1 db -2 db.6.4.2 -.2 -.4 -.6 -.8 -.1-1 -.8 -.6 -.4 -.2 Real Axis 4. ΒΗΜΑΤΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ (STEP RESPONSE) Βηματική απόκριση είναι η απόκριση του συστήματός μας στο πεδίο του χρόνου, όταν αυτό δεχθεί σε κάποια από τις εισόδους του τη βηματική συνάρτηση (step function). Θέτοντας τη βηματική συνάρτηση ως είσοδο σε κάποιο σύστημα, μπορεί να γίνει πολύ καλή αρχική εκτίμηση της συμπεριφοράς του, αφού μπορούμε να πάρουμε πληροφορία για την ευστάθεια του συστήματος, την απόσβεση του πλάτους ταλάντωσης και το εύρος λειτουργίας συχνοτήτων. Το Matlab διαθέτει μία εντολή για τη γραφική αναπαράσταση της βηματικής απόκρισης. Αυτό γίνεται δίνοντας, [y,x,t]=step(num,den,t) όπου t είναι ο χρόνος για τον οποίο γίνεται μελέτη της απόκρισης. Στη συνέχεια παρουσιάζεται η βηματική απόκριση του DC κινητήρα και βλέπουμε τα αποτελέσματα στο επόμενο σχήμα. % Step Response t = :.1:1; step(num,den,t); title('step Response'),grid;
Amplitude.1 Step Response.9.8.7.6.5.4.3.2.1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 Time (sec) 5. ΚΡΟΥΣΤΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ (IMPULSE RESPONSE) Κρουστική απόκριση είναι η απόκριση ενός συστήματος στο πεδίο του χρόνου, όταν στην είσοδό του εφαρμοσθεί η συνάρτηση μοναδιαίας κρούσης (impulse response) για μηδενικές αρχικές συνθήκες. Με αυτό τον τρόπο, μπορούμε να πάρουμε χρήσιμη πληροφορία για τα δυναμικά χαρακτηριστικά ενός συστήματος. Η γραφική παράσταση της κρουστικής απόκρισης με το Matlab γίνεται με την εντολή, impulse(num,den,t) όπου t το χρονικό εύρος μελέτης της απόκρισης. Στη συνέχεια παρουσιάζεται η βηματική απόκριση του DC κινητήρα. % Impulse Response t = :.1:1; impulse(num,den,t); title('impulse Response'),grid;
Amplitude 1 Impulse Response 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 Time (sec) ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΕΝΤΟΛΕΣ Εντολή [mag,phase]=bode(num,den,w) nyquist(num,den); step(num,den,t) impulse(num,den,t) Μετατροπή από... μέτρο και φάση συνάρτησης διάγραμμα Nyquist βηματική απόκριση κρουστική απόκριση ΑΣΚΗΣΗ Να μελετηθεί το σύστημα αν του δώσουμε ενίσχυση 7 και το μετατρέψουμε σε κλειστό και θεωρήσουμε ότι υπάρχει ανατροφοδότηση μεγέθους -1. Το σύστημα τότε θα είναι όπως φαίνεται στο σχήμα. Υπόδειξη: Για να δώσουμε ενίσχυση αρκεί να πολλαπλασιάσουμε τον αριθμητή επί 7. num = 7*num; Για τη μετατροπή ενός ανοικτού συστήματος σε κλειστό υπάρχει η εντολή του Matlab [numc,denc]=cloop(num, den, -1); Τώρα η μελέτη θα γίνει για την καινούρια συνάρτηση [numc,denc].
Amplitude Amplitude Imaginary Axis Phase (deg) Magnitude (db) Magnitude (db) Αποτελέσματα Bode Diagramm 1-1 -2-3 5-5 -1 Nickols Diagramm -4 1-1 1 1 1 1 2-5 -15-2 -25-1 -15-2 1-1 1 1 1 1 2 Frequency (rad/sec) -3-35 -4-18 -16-14 -12-1 -8-6 -4-2 Phase (deg) Nyquist plot 1.8 2 db 4 db.6 6 db db -2 db -6 db -4 db.4 1 db -1 db.2 2 db -2 db -.2 -.4 -.6 -.8-1 -1 -.8 -.6 -.4 -.2.2.4.6.8 Real Axis 1.4 Step Response 7 Impulse Response 1.2 6 5 1 4.8 3.6.4.2 2 1-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 Time (sec) -2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 Time (sec)