numerici pentru analiza circuitelor electrice rezistive neliniare Prof.dr.ing. Universitatea "Politehnica" Bucureşti, Facultatea de Inginerie Electrică, Departamentul de Electrotehnică Suport didactic pentru disciplina Metode numerice, Facultatea de Inginerie Electrică, 217-218 1/51
Cuprins Introducere 1 Introducere Elemente de circuit rezistive neliniare Formularea problemei Ecuaţii Exemple 2 3 Prin cod Prin date 4 2/51
Elemente ideale - rezistive, liniare Elemente de circuit rezistive neliniare Formularea problemei Ecuaţii Exemple γu ρi u i αu βi Liniare u i 3/51
Elemente de circuit rezistive neliniare Formularea problemei Ecuaţii Exemple Elemente ideale - rezistive, neliniare u i γ(u) u ρ(i) i i = g(u) α(u) β(i) Neliniare u i 4/51
Elemente reale - rezistive, neliniare Elemente de circuit rezistive neliniare Formularea problemei Ecuaţii Exemple u i i = g(u) Figura este preluată de la https://www.technologyuk.net/physics/ 5/51
Elemente reale - rezistive, neliniare Elemente de circuit rezistive neliniare Formularea problemei Ecuaţii Exemple u i i = g(u) Figura este preluată de la https://www.technologyuk.net/physics/ 6/51
Elemente de circuit rezistive neliniare Formularea problemei Ecuaţii Exemple (c.c.) Date: Topologia circuitului (graful circuitului) - poate fi descris: geometric; numeric (matrice topologice/ netlist); Pentru fiecare latură liniară k: tipul laturii (R,SUCU,SICI,SICU,SUCI, SIT,SIC); caracteristica constitutivă R k ; parametrul de transfer α k, β k, γ k, ρ k ; semnalul de comandă (curent/tensiune, latură/noduri); parametrii surselor: (e k, j k ) 7/51
Elemente de circuit rezistive neliniare Formularea problemei Ecuaţii Exemple (c.c.) Pentru fiecare latură neliniară k: tipul laturii (Rn,SUCUn,SICIn,SICUn,SUCIn); caracteristica constitutivă neliniaa f k (i) dacă controlul este în curent sau g k (u) dacă controlul este în tensiune; dependenţeleα k (u), β k (i), γ k (u), ρ k (i); semnalul de comandă (curent/tensiune, latură/noduri); Se cer: i k (t), u k (t), k = 1, 2,...,L. 8/51
Elemente de circuit rezistive neliniare Formularea problemei Ecuaţii Exemple Ca la c.c. - cazul elementelor liniare 1 Kirchhoff I 2 Kirchhoff II 3 Ecuaţii constitutive pentru elementele rezistive liniare: laturi de tip SRC, SRT; laturi de tip SIC, SIT; laturi de tip SUCU, SICI, SUCI, SICU - comandate liniar. DAR relaţii algebrice 9/51
Elementele rezistive neliniare Elemente de circuit rezistive neliniare Formularea problemei Ecuaţii Exemple Ecuaţii constitutive pentru elementele rezistive neliniare: rezistoare neliniare; surse comandate neliniar; relaţii algebrice neliniare Sistemul de rezolvat va fi un sistem algebric neliniar Ce se întâmplă dacă surselor independente sunt variabile în timp? 1/51
Exemplul 1 Introducere Elemente de circuit rezistive neliniare Formularea problemei Ecuaţii Exemple R u=? E i=? 11/51
Exemplul 1 Introducere Elemente de circuit rezistive neliniare Formularea problemei Ecuaţii Exemple R i i = g(u) = E u R u=? E i=? 11/51
Exemplul 1 Introducere Elemente de circuit rezistive neliniare Formularea problemei Ecuaţii Exemple R i i = g(u) = E u R E = 1.25V, R = 1.25mΩ u=? E i=? 11/51
Exemplul 1 Introducere Elemente de circuit rezistive neliniare Formularea problemei Ecuaţii Exemple R u=? i i = g(u) = E u R E = 1.25V, R = 1.25mΩ 4 35 3 25 E i=? i [A] 2 15 1 5-5 -1-15 -1.5-1 -.5.5 1 1.5 u [V] 11/51
Exemplul 2 Introducere Elemente de circuit rezistive neliniare Formularea problemei Ecuaţii Exemple R u=? i i = g(u) = E u R E = 1.25V, R = 1.25mΩ 4 35 3 25 E i=? i [A] 2 15 1 5-5 -1-15 -1.5-1 -.5.5 1 1.5 u [V] 12/51
Exemplul 3 a) Introducere Elemente de circuit rezistive neliniare Formularea problemei Ecuaţii Exemple R 15 i i = g(u) = E u R E = 1.25V, R = 1.25mΩ U=? 1 E I=? 5-5 -1-15 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 13/51
Exemplul 3 b) Introducere Elemente de circuit rezistive neliniare Formularea problemei Ecuaţii Exemple R 15 i i = g(u) = E u R E = 5 1.25V, R = 5 1.25mΩ U=? 1 E I=? 5-5 -1-15 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 14/51
Exemplul 4 Introducere Elemente de circuit rezistive neliniare Formularea problemei Ecuaţii Exemple D3 D4 R 2 u L =? D5 D6 E 1 R 1 15/51
Exemplul 4 Introducere Elemente de circuit rezistive neliniare Formularea problemei Ecuaţii Exemple D3 D4 D5 R 2 u L =? D6? E 1 R 1 15/51
Laturi controlate în tensiune Cazul liniar (SRC) G k i k (ni k ) (nf k ) j k Cazul neliniar i k (ni k ) (nf k ) u k i k = G k u k + j k u k i k = g k (u k ) i = Gu+j G = diag{g 1, G 2,..., G L } G IR L L u, j, i IR L 1 i = G(u) G = [g 1, g 2,...,g L ] T G : IR L IR L u, i IR L 1 16/51
Laturi controlate în tensiune Cazul liniar (SRC) G k i k (ni k ) (nf k ) j k Cazul neliniar i k (ni k ) (nf k ) u k i k = G k u k + j k u k i k = g k (u k ) i = Gu+j Ai = u = A T V A(GA T V+j) = i = G(u) Ai = u = A T V A(G(A T V)) = 17/51
Laturi controlate în tensiune Cazul liniar (SRC) G k i k (ni k ) (nf k ) j k Cazul neliniar i k (ni k ) (nf k ) u k i k = G k u k + j k u k i k = g k (u k ) i = Gu+j Ai = u = A T V AGA T V = Aj i = G(u) Ai = u = A T V AG(A T V) = 18/51
Laturi controlate în tensiune Cazul liniar (SRC) G k i k (ni k ) (nf k ) j k Cazul neliniar i k (ni k ) (nf k ) u k u k i k = g k (u k ) i k = G k u k + j k AGA T V = Aj Sistem algebric liniar AG(A T V) = Sistem algebric neliniar F(V) = unde F(V) = AG(A T V) F : IR (N 1) IR (N 1) 19/51
Dioda semiconductoare Prin cod Prin date Modelul exponenţial (de exemplu modelul cu parametrii I s şi u T ) ( ) i(u) = I s e u u T 1 unde I s 1 6 A, u T 25mV 2/51
Dioda semiconductoare Prin cod Prin date Modele liniare pe porţiuni (de exemplu - modelul cu parametrii u p, G d, G i ) definite prin cod { Gi u dacă u u i(u) = p G d (u u p )+G i u p dacă u > u p 21/51
Dioda semiconductoare Prin cod Prin date Modele liniare pe porţiuni - definite prin tabele de valori Exemplu - modelul lpp cu parametrii u p, G d, G i u u p 2u p i G i u p (G i + G d )u p 22/51
Newton Introducere Iteraţii Newton: Ecuaţie: f(x) = x (m+1) = x (m) f(x (m) )/f (x (m) ) sau z = f(x (m) )/f (x (m) ) (1) x (m+1) = x (m) + z (2) Sistem: F(x) = x (m+1) = x (m) (F (x (m) )) 1 F(x (m) ) sau F (x (m) )z = F(x (m) ) (3) x (m+1) = x (m) + z (4) 23/51
Newton Introducere În cazul circuitelor rezistive neliniare F(V) = unde F(V) = AG(A T V) Iteraţii Newton: F (V (m) )z = F(V (m) ) (5) V (m+1) = V (m) + z (6) F (V) = AG (A T V)A T 24/51
Newton Introducere În cazul circuitelor rezistive neliniare F(V) = unde F(V) = AG(A T V) Iteraţii Newton: F (V (m) )z = F(V (m) ) (5) V (m+1) = V (m) + z (6) F (V) = AG (A T V)A T Calculul Jacobianului necesită evaluarea conductanţelor dinamice! 24/51
Newton Introducere În cazul circuitelor rezistive neliniare F(V) = unde F(V) = AG(A T V) Iteraţii Newton: F (V (m) )z = F(V (m) ) (5) V (m+1) = V (m) + z (6) F (V) = AG (A T V)A T Calculul Jacobianului necesită evaluarea conductanţelor dinamice! Evaluarea conductanţelor dinamice depinde de modul în care au fost definite caracteristicile neliniare. 24/51
Semnificaţia iteraţiilor Newton Iteraţii Newton: F (V (m) )z = F(V (m) ) (7) V (m+1) = V (m) + z (8) F(V) = AG(A T V) F (V) = AG (A T V)A T Liniare (SRC) AG (A T V (m) )A T z = AG(A T V (m) ) (9) AGA T V = Aj 25/51
Semnificaţia iteraţiilor Newton Iteraţii Newton: F (V (m) )z = F(V (m) ) (7) V (m+1) = V (m) + z (8) F(V) = AG(A T V) F (V) = AG (A T V)A T AG (A T V (m) )A T z = AG(A T V (m) ) (9) Liniare (SRC) AGA T V = Aj Semnificaţia relaţiei (9): 25/51
Semnificaţia iteraţiilor Newton Iteraţii Newton: F (V (m) )z = F(V (m) ) (7) V (m+1) = V (m) + z (8) F(V) = AG(A T V) F (V) = AG (A T V)A T Liniare (SRC) AG (A T V (m) )A T z = AG(A T V (m) ) (9) AGA T V = Aj Semnificaţia relaţiei (9): La fiecare iteraţie se rezolvă un circuit liniar, poteţialele lui reprezintă corecţiile în iteraţiile Newton 25/51
Semnificaţia iteraţiilor Newton Iteraţii Newton: F (V (m) )z = F(V (m) ) (7) V (m+1) = V (m) + z (8) F(V) = AG(A T V) F (V) = AG (A T V)A T Liniare (SRC) AG (A T V (m) )A T z = AG(A T V (m) ) (9) AGA T V = Aj Semnificaţia relaţiei (9): La fiecare iteraţie se rezolvă un circuit liniar, poteţialele lui reprezintă corecţiile în iteraţiile Newton Circuit incremental 25/51
Circuite incrementale/liniarizate Neliniar Liniar AG (A T V (m) )A T z = AG(A T V (m) ) AGA T V = Aj G (m) k z nik z nf k z nik = V (m+1) ni k V (m) ni k i (m) k z nf k = V (m+1) nf k V (m) nf k 26/51
Circuite incrementale/liniarizate Neliniar Liniar V nik V (m) ni k z nik AG (A T V (m) )A T z = AG(A T V (m) ) AGA T V = Aj G (m) k z nf k V (m) nf k V nf k z nik = V (m+1) ni k V (m) ni k i (m) k z nf k = V (m+1) nf k V (m) nf k 26/51
Circuite incrementale/liniarizate Neliniar Liniar AG (A T V (m) )A T z = AG(A T V (m) ) AGA T V = Aj G (m) k V nik V nf k i (m) k G (m) k u (m) k Circuit liniarizat La fiecare iteraţie se rezolvă un circuit liniar, potenţialele lui reprezintă soluţiile noi în iteraţiile Newton 26/51
Algoritm - bazat pe asamblare de circuite Ideea (nr. 1): Se rezolvă o succesiune de circuite rezistive liniare (liniarizate). it = iniţializează soluţia V repetă it = it + 1 înlocuieşte elementele neliniare cu schemele lor liniarizate rezolvă circuitul rezistiv liniar şi calculează Vn actualizează soluţia V = Vn dacă it == itmaxscrie mesaj de eroare cât timp norma(v Vnou) > toleranţa impusăşi it < itmax 27/51
Algoritm - bazat pe rezolvare de circuite Ideea (nr. 2): Se rezolvă o succesiune de circuite rezistive liniare (incrementale). it = iniţializează soluţia V repetă it = it + 1 înlocuieşte elementele neliniare cu schemele lor incrementale rezolvă circuitul rezistiv liniar şi calculează corecţiile z actualizează soluţia V = V + z dacă it == itmaxscrie mesaj de eroare cât timp norma(z) > toleranţa impusăşi it < itmax 28/51
Algoritm - bazat pe operaţii cu matrice Ideea (nr. 3): Se rezolvă o succesiune de sisteme algebricce liniare. it = asamblează matricea A iniţializează soluţia V repetă it = it + 1 calculează conductanţele dinamice şi asamblează G rezolvă sistemul liniar AG A T z = Ai şi calculează corecţiile z actualizează soluţia V = V + z dacă it == itmaxscrie mesaj de eroare cât timp norma(z) > toleranţa impusăşi it < itmax 29/51
Cel mai simplu algoritm - pe ce ne bazăm Primul algoritm scris pentru circuite rezistive liniare (crl) - laturi SRT e R k k (ni k ) i k (nf k ) u k ; declaratii date - varianta A întreg N întreg L tablouîntreg ni[l] tablouîntreg nf[l] tablou real R[L] tablou real e[l] ; număr de noduri ; număr de laturi ; noduri iniţiale ale laturilor ; noduri finale ale laturilor ; rezistenţe ; tensiuni electromotoare 3/51
Cel mai simplu algoritm - pe ce ne bazăm Primul algoritm scris pentru circuite rezistive liniare (crl) - laturi SRT e R k k (ni k ) i k (nf k ) u k ; declaraţii date - varianta B înregistrare circuit întreg N ; număr de noduri întreg L ; număr de laturi tablou întreg ni[l] ; noduri iniţiale ale laturilor tablou întreg nf[l] ; noduri finale ale laturilor tablou real R[L] ; rezistenţe tablou real e[l] ; tensiuni electromotoare 3/51
Cel mai simplu algoritm - pe ce ne bazăm Să pp că avem la dispoziţie o procedură: procedură nodal_crl(circuit,v) ; rezolvă un circuit rezistiv liniar cu metoda nodală ; date de intrare: structura circuit ; ieşire: valorile potenţialelor v în noduri, ultimul nod este de referinţă retur Obs: procedura cuprinde atât asamblarea sistemului de ecuaţii cât şi rezolvarea lui. 31/51
Cel mai simplu algoritm - ce e nou Admitem acum în plus, laturi rezistive neliniare, controlate în tensiune; Vom presupune că există câte o procedură care poate, pentru orice latură neliniară, să întoarcă curentul prin latură pentru o tensiune dată (i k = g k (u k )); Dacă curbele neliniare sunt date tabelar - aceasta presupune o interpolare). conductanţa dinamică a laturii, pentru o tensiune dată (G k = g k (u k)). Dacă curbele neliniare sunt date tabelar - aceasta presupune o derivare numerică). 32/51
Cel mai simplu algoritm - etapa de preprocesare funcţie citire_date () ; declaraţii... citeşte circuit.n, circuit.l pentru k = 1,circuit.L citeşte circuit.ni k, circuit.nf k citeşte circuit.tip k ; tipul poate fi "R" sau "n" dacă circuit.tip k = "R" citeşte circuit.e k, circuit.r k citeşte tol ; toleranţă pentru procedura Newton citeşte itmax ; numărul maxim de iteraţii admis întoarce circuit 33/51
Cel mai simplu algoritm - etapa de preprocesare funcţie citire_date () ; declaraţii... citeşte circuit.n, circuit.l pentru k = 1,circuit.L citeşte circuit.ni k, circuit.nf k citeşte circuit.tip k ; tipul poate fi "R" sau "n" dacă circuit.tip k = "R" citeşte circuit.e k, circuit.r k citeşte tol ; toleranţă pentru procedura Newton citeşte itmax ; numărul maxim de iteraţii admis întoarce circuit Dar partea neliniară? 33/51
Cel mai simplu algoritm - etapa de preprocesare Variante - pentru partea neliniară: funcţie g(u) nd = 3 ; numărul de puncte de discontinuitate funcţie g(u) uval =... Is = 1e-12 ival =... Vt =.278 m = cauta(uval, ival, u) întoarce Is*(exp(u/Vt)-1) întoarce ival(m) + (ival(m+1) - ival(m))/(uval(m+1)-uval(m))*(u - uval(m)) funcţie gder(u) Is = 1e-12 Vt =.278 întoarce Is*exp(u/Vt)/Vt funcţie gder(u) nd = 3 ; numărul de puncte de discontinuitate uval =... ival =... m = cauta(uval, ival, u) întoarce (ival(m+1) - ival(m))/(uval(m+1)-uval(m)) Is, Vt, nd, uval, ival - pot fi citite în etapa de preprocesare (şi pot fi diferite pentru diferitele elemente neliniare). 34/51
Algoritm - v2 Introducere procedură solve_crnl_v2(circuit,tol,itmax,v) circuit - structură - parametru de intrare tol, itmax - parametri de intrare, specifici procedurii Newton V - vector - parametru de ieşire... iniţializare V = ; vector de dimensiune N err = 1 itk = cât timp err > tolşi itk < itmax kit = kit + 1 pentru k = 1:L dacă circuit.tip(k) == "n" tens = V(circuit.ni(k)) - V(circuit.nf(k)) cond_din = gder(tens) crt = g(tens) circuit.r(k) = 1/cond_din circuit.e(k) = circuit.r(k)*crt - tens nodal_crl(circuit,vn) err = norma(vn V) V = Vn retur 35/51
Algoritm - v1 Introducere procedură solve_crnl_v1(circuit,tol,itmax,v) circuit - structură - parametru de intrare tol, itmax - parametri de intrare, specifici procedurii Newton V - vector - parametru de ieşire... iniţializare V = ; vector de dimensiune N err = 1 itk = cât timp err > tolşi itk < itmax kit = kit + 1 pentru k = 1:L dacă circuit.tip(k) == "n" tens = V(circuit.ni(k)) - V(circuit.nf(k)) cond_din = gder(tens) crt = g(tens) circuit.r(k) = 1/cond_din circuit.e(k) = circuit.r(k)*crt nodal_crl(circuit,z) err = norma(z) V = V + z retur 36/51
Exemplul 1 - rezultate R u=? E i=? 37/51
Exemplul 1 - rezultate R i i = g(u) = E u R u=? E i=? 37/51
Exemplul 1 - rezultate R i i = g(u) = E u R E = 1.25V, R = 1.25mΩ u=? E i=? 37/51
Exemplul 1 - rezultate R u=? i i = g(u) = E u R E = 1.25V, R = 1.25mΩ 4 35 3 25 E i=? i [A] 2 15 1 5-5 -1-15 -1.5-1 -.5.5 1 1.5 u [V] 37/51
Exemplul 1 - rezultate 4 3 2 i [A] 1-1.8.85.9.95 1 1.5 1.1 u [V] 38/51
Exemplul 1 - rezultate 4 3 2 i [A] 1-1.8.85.9.95 1 1.5 1.1 u [V] 38/51
Exemplul 1 - rezultate 4 3 2 i [A] 1-1.8.85.9.95 1 1.5 1.1 u [V] 38/51
Exemplul 1 - rezultate 4 3 2 i [A] 1-1.8.85.9.95 1 1.5 1.1 u [V] 38/51
Exemplul 1 - rezultate 4 3 2 i [A] 1-1.8.85.9.95 1 1.5 1.1 u [V] 38/51
Exemplul 1 - rezultate 4 3 2 i [A] 1-1.8.85.9.95 1 1.5 1.1 u [V] 38/51
Exemplul 1 - rezultate 4 3 2 i [A] 1-1.8.85.9.95 1 1.5 1.1 u [V] 38/51
Exemplul 1 - rezultate 4 3 2 i [A] 1-1.8.85.9.95 1 1.5 1.1 u [V] 38/51
Exemplul 4 - rezultate D3 D4 R 2 u L =? D5 D6 E 1 R 1 39/51
Exemplul 4 - rezultate E 1 = 2V, R 1 = 1Ω, R 2 = 2Ω, 13 iteraţii pentru tol =.1 Numai iniţializarea şi ultimele patru sunt ilustrate. 2 D3 2 D4 1.5 1.5 1 1.5.5-1.5-1 -.5.5 1-1.5-1 -.5.5 1 2 D5 2 D6 1.5 1.5 1 1.5.5-1.5-1 -.5.5 1-1.5-1 -.5.5 1 4/51
Exemplul 4 - rezultate E 1 = 2V, R 1 = 1Ω, R 2 = 2Ω, 13 iteraţii pentru tol =.1 Numai iniţializarea şi ultimele patru sunt ilustrate. 2 D3 2 D4 1.5 1.5 1 1.5.5-1.5-1 -.5.5 1-1.5-1 -.5.5 1 2 D5 2 D6 1.5 1.5 1 1.5.5-1.5-1 -.5.5 1-1.5-1 -.5.5 1 4/51
Exemplul 4 - rezultate E 1 = 2V, R 1 = 1Ω, R 2 = 2Ω, 13 iteraţii pentru tol =.1 Numai iniţializarea şi ultimele patru sunt ilustrate. 2 D3 2 D4 1.5 1.5 1 1.5.5-1.5-1 -.5.5 1-1.5-1 -.5.5 1 2 D5 2 D6 1.5 1.5 1 1.5.5-1.5-1 -.5.5 1-1.5-1 -.5.5 1 4/51
Exemplul 4 - rezultate E 1 = 2V, R 1 = 1Ω, R 2 = 2Ω, 13 iteraţii pentru tol =.1 Numai iniţializarea şi ultimele patru sunt ilustrate. 2 D3 2 D4 1.5 1.5 1 1.5.5-1.5-1 -.5.5 1-1.5-1 -.5.5 1 2 D5 2 D6 1.5 1.5 1 1.5.5-1.5-1 -.5.5 1-1.5-1 -.5.5 1 4/51
Exemplul 4 - rezultate E 1 = 2V, R 1 = 1Ω, R 2 = 2Ω, 13 iteraţii pentru tol =.1 Numai iniţializarea şi ultimele patru sunt ilustrate. 2 D3 2 D4 1.5 1.5 1 1.5.5-1.5-1 -.5.5 1-1.5-1 -.5.5 1 2 D5 2 D6 1.5 1.5 1 1.5.5-1.5-1 -.5.5 1-1.5-1 -.5.5 1 4/51
Exemplul 4 - rezultate E 1 = 2V, R 1 = 1Ω, R 2 = 2Ω, 13 iteraţii pentru tol =.1 Numai iniţializarea şi ultimele patru sunt ilustrate. 2 D3 2 D4 1.5 1.5 1 1.5.5-1.5-1 -.5.5 1-1.5-1 -.5.5 1 2 D5 2 D6 1.5 1.5 1 1.5.5-1.5-1 -.5.5 1-1.5-1 -.5.5 1 41/51
Exemplul 4 - rezultate E 1 [ 2, 2]V, R 1 = 1Ω, R 2 = 2Ω, u R2 =?.4 Caracteristica de transfer.35.3.25 u R [V].2.15.1.5-2 -1.5-1 -.5.5 1 1.5 2 E [V] 42/51
Exemplul 4 - rezultate Sursa variabilă în timp? Timpul are un caracter convenţional. (Sistemul este algebric!) e 1 (t) = 2 sin(2πt)v, R 1 = 1Ω, R 2 = 2Ω, u R2 (t) =? 2 1.5 e 1 (t) u R2 (t) 1 Tensiune [V].5 -.5-1 -1.5-2.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 t [s] 43/51
Concluzii Introducere Analiza circuitelor rezistive neliniare se reduce la o succesiune de rezolvări de sisteme algebrice liniare (care pot fi privite ca rezolvări de circuite rezistive liniare - incrementale sau liniarizate). Convergenţa procedurii depinde de iniţializare. Numărul de iteraţii depinde de iniţializare şi de eroarea impusă soluţiei. 44/51
Cazul caracteristicilor lpp Aproximaţia lpp a caracteristicii diodei semiconductoare. R 4 35 3 u=? i [A] 25 2 15 1 E i=? 5-5 -1-15 -1.5-1 -.5.5 1 1.5 u [V] 45/51
Cazul caracteristicilor lpp Aproximaţia lpp a caracteristicii diodei semiconductoare. R 4 35 3 u=? i [A] 25 2 15 1 E i=? 5-5 -1-15 -1.5-1 -.5.5 1 1.5 u [V] 46/51
Cazul caracteristicilor lpp Iteraţii Newton - iniţializarea. 4 3 2 i [A] 1-1.8.85.9.95 1 1.5 1.1 u [V] 47/51
Cazul caracteristicilor lpp Iteraţii Newton - iteraţia 1. 4 3 2 i [A] 1-1.8.85.9.95 1 1.5 1.1 u [V] 47/51
Cazul caracteristicilor lpp D3 D4 R 2 u L =? D5 D6 E 1 R 1 48/51
Cazul caracteristicilor lpp Iteraţii Newton - iniţializarea. 6 D3 1 D4 4.8.6 2-1.5-1 -.5.5 1 1.5.4.2-1.5-1 -.5.5 1 1 D5 6 D6.8.6 4.4.2-1.5-1 -.5.5 1 2-1.5-1 -.5.5 1 1.5 49/51
Cazul caracteristicilor lpp Iteraţii Newton - iteraţia 1. 6 D3 1 D4 4.8.6 2-1.5-1 -.5.5 1 1.5.4.2-1.5-1 -.5.5 1 1 D5 6 D6.8.6 4.4.2-1.5-1 -.5.5 1 2-1.5-1 -.5.5 1 1.5 49/51
Cazul caracteristicilor lpp Iteraţii Newton - iteraţia 2. 6 D3 1 D4 4.8.6 2-1.5-1 -.5.5 1 1.5.4.2-1.5-1 -.5.5 1 1 D5 6 D6.8.6 4.4.2-1.5-1 -.5.5 1 2-1.5-1 -.5.5 1 1.5 49/51
Cazul caracteristicilor lpp Iteraţii Newton - iteraţia 2 - zoom in..1 D3 1 D4.8.8.6.6.4.4.2.2-1.5-1 -.5.5 1-1.5-1 -.5.5 1 1 D5.1 D6.8.8.6.6.4.4.2.2-1.5-1 -.5.5 1-1.5-1 -.5.5 1 49/51
Cazul caracteristicilor lpp Eroarea impusă nu influenţează prea mult numărul de iteraţii deoarece după determinarea corectă a segmentului în care se află PSF, eroarea impusă este satisfăcută la următoarea iteraţie. Dacă iniţializarea corespunde combinaţiei corecte de segmente, atunci se va face exact o singură iteraţie. Numărul maxim de iteraţii este egal cu numărul maxim de combinaţii de segmente. Există o variantă a metodei (cunoscută sub numele de metoda Katzenelson) în care la fiecare iteraţie se modifică un singur segment, cel corespunzător variaţiei maxime. Avantaj - convergenţa garantată. 5/51
Lectură Introducere Obligatoriu: Ioan98 D. Ioan et al., Metode numerice in ingineria electrica, Ed. Matrix Rom, Bucuresti, 1998. (Capitolul 17) Cartea se găseşte la biblioteca UPB, puteţi verifica accesând catalogul http://www.library.pub.ro/. Facultativ: Chua75 Leon Chua, Pen-Min Lin, Computer-Aided Analysis of Electronic Circuits, Prentice-Hall,1975. (Capitolele 5 si 7) 51/51