LÍ THUYẾT MỞ RỘNG TRƯỜNG VÀ GALOIS

Σχετικά έγγραφα
1. Ma trận A = Ký hiệu tắt A = [a ij ] m n hoặc A = (a ij ) m n

Năm Chứng minh Y N

Năm Chứng minh. Cách 1. Y H b. H c. BH c BM = P M. CM = Y H b

Suy ra EA. EN = ED hay EI EJ = EN ED. Mặt khác, EID = BCD = ENM = ENJ. Suy ra EID ENJ. Ta thu được EI. EJ Suy ra EA EB = EN ED hay EA

Năm 2017 Q 1 Q 2 P 2 P P 1

Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí

Năm 2014 B 1 A 1 C C 1. Ta có A 1, B 1, C 1 thẳng hàng khi và chỉ khi BA 1 C 1 = B 1 A 1 C.

M c. E M b F I. M a. Chứng minh. M b M c. trong thứ hai của (O 1 ) và (O 2 ).

Kinh tế học vĩ mô Bài đọc

Q B Y A P O 4 O 6 Z O 5 O 1 O 2 O 3

O 2 I = 1 suy ra II 2 O 1 B.

I 2 Z I 1 Y O 2 I A O 1 T Q Z N

Năm Pascal xem tại [2]. A B C A B C. 2 Chứng minh. chứng minh sau. Cách 1 (Jan van Yzeren).

Ch : HÀM S LIÊN TC. Ch bám sát (lp 11 ban CB) Biên son: THANH HÂN A/ MC TIÊU:

Batigoal_mathscope.org ñược tính theo công thức

THỂ TÍCH KHỐI CHÓP (Phần 04) Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG

A. ĐẶT VẤN ĐỀ B. HƯỚNG DẪN HỌC SINH SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP VECTƠ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

Tuyển chọn Đề và đáp án : Luyện thi thử Đại Học của các trường trong nước năm 2012.

L P I J C B D. Do GI 2 = GJ.GH nên GIH = IJG = IKJ = 90 GJB = 90 GLH. Mà GIH + GIQ = 90 nên QIG = ILG = IQG, suy ra GI = GQ hay Q (BIC).

Tôi có thể tìm mẫu đơn đăng kí ở đâu? Tôi có thể tìm mẫu đơn đăng kí ở đâu? Για να ρωτήσετε που μπορείτε να βρείτε μια φόρμα

Bài Tập Môn: NGÔN NGỮ LẬP TRÌNH

CÁC CÔNG THỨC CỰC TRỊ ĐIỆN XOAY CHIỀU

Các ph n ng peri hóa

5. Phương trình vi phân

Chương 1: VECTOR KHÔNG GIAN VÀ BỘ NGHỊCH LƯU BA PHA

CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA HÌNH HỌC PHẲNG

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 NĂM HỌC NGÀY THI : 19/06/2009 Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

O C I O. I a. I b P P. 2 Chứng minh

Môn: Toán Năm học Thời gian làm bài: 90 phút; 50 câu trắc nghiệm khách quan Mã đề thi 116. (Thí sinh không được sử dụng tài liệu)

SỞ GD & ĐT ĐỒNG THÁP ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2014 LẦN 1

ĐỀ 56

Dữ liệu bảng (Panel Data)

A 2 B 1 C 1 C 2 B B 2 A 1

CƠ HỌC LÝ THUYẾT: TĨNH HỌC

Tính: AB = 5 ( AOB tại O) * S tp = S xq + S đáy = 2 π a 2 + πa 2 = 23 π a 2. b) V = 3 π = 1.OA. (vì SO là đường cao của SAB đều cạnh 2a)

ĐỀ BÀI TẬP LỚN MÔN XỬ LÝ SONG SONG HỆ PHÂN BỐ (501047)

Μετανάστευση Σπουδές. Σπουδές - Πανεπιστήμιο. Για να δηλώσετε ότι θέλετε να εγγραφείτε

HÀM NHIỀU BIẾN Lân cận tại một điểm. 1. Định nghĩa Hàm 2 biến. Miền xác định của hàm f(x,y) là miền VD:

Tứ giác BLHN là nội tiếp. Từ đó suy ra AL.AH = AB. AN = AW.AZ. Như thế LHZW nội tiếp. Suy ra HZW = HLM = 1v. Vì vậy điểm H cũng nằm trên

x y y

Chương 12: Chu trình máy lạnh và bơm nhiệt

HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ. đến va chạm với vật M. Gọi vv, là vận tốc của m và M ngay. đến va chạm vào nó.

VÀ CÔNG TY TÀI CHÍNH QU C T

PHÂN TÍCH ẢNH HƢỞNG CỦA SÓNG HÀI TRONG TRẠM BÙ CÔNG SUẤT PHẢN KHÁNG KIỂU SVC VÀ NHỮNG GIẢI PHÁP KHẮC PHỤC

* Môn thi: VẬT LÝ (Bảng A) * Ngày thi: 27/01/2013 * Thời gian làm bài: 180 phút (Không kể thời gian giao đề) ĐỀ:

Phụ thuộc hàm. và Chuẩn hóa cơ sở dữ liệu. Nội dung trình bày. Chương 7. Nguyên tắc thiết kế. Ngữ nghĩa của các thuộc tính (1) Phụ thuộc hàm

KỸ THUẬT ĐIỆN CHƯƠNG IV

N NH KINH T V MÔ, DUY TRÌ TI M N NG T NG TR NG. C p nh t Báo cáo Quan h i tác

ĐỀ SỐ 1. ĐỀ SỐ 2 Bài 1 : (3 điểm) Thu gọn các biểu thức sau : Trần Thanh Phong ĐỀ THI HỌC KÌ 1 MÔN TOÁN LỚP O a a 2a

Chứng minh. Cách 1. EO EB = EA. hay OC = AE

Lecture-11. Ch-6: Phân tích hệ thống liên tục dùng biếnđổi Laplace

- Toán học Việt Nam

Ngày 26 tháng 12 năm 2015

MALE = 1 nếu là nam, MALE = 0 nếu là nữ. 1) Nêu ý nghĩa của các hệ số hồi quy trong hàm hồi quy mẫu trên?

KỸ THUẬT ĐIỆN CHƯƠNG II

Sử dụngụ Minitab trong thống kê môi trường

Μπορείτε να με βοηθήσετε να γεμίσω αυτή τη φόρμα; Για να ρωτήσετε αν κάποιος μπορεί να σας βοηθήσει να γεμίσετε μια φόρμα

có thể biểu diễn được như là một kiểu đạo hàm của một phiếm hàm năng lượng I[]

x i x k = e = x j x k x i = x j (luật giản ước).

Nội dung. 1. Một số khái niệm. 2. Dung dịch chất điện ly. 3. Cân bằng trong dung dịch chất điện ly khó tan

+ = k+l thuộc H 2= ( ) = (7 2) (7 5) (7 1) 2) 2 = ( ) ( ) = (1 2) (5 7)

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

Đường tròn : cung dây tiếp tuyến (V1) Đường tròn cung dây tiếp tuyến. Giải.

PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG

Vn 1: NHC LI MT S KIN TH C LP 10

Bài Giảng Môn học: OTOMAT VÀ NGÔN NGỮ HÌNH THỨC

Tối ưu tuyến tính. f(z) < inf. Khi đó tồn tại y X sao cho (i) d(z, y) 1. (ii) f(y) + εd(z, y) f(z). (iii) f(x) + εd(x, y) f(y), x X.

Tự tương quan (Autocorrelation)

BÀI TẬP. 1-5: Dòng phân cực thuận trong chuyển tiếp PN là 1.5mA ở 27oC. Nếu Is = 2.4x10-14A và m = 1, tìm điện áp phân cực thuận.

Tự tương quan (Autoregression)

Бизнес Заказ. Заказ - Размещение. Официально, проба

BÀI TẬP LỚN MÔN THIẾT KẾ HỆ THỐNG CƠ KHÍ THEO ĐỘ TIN CẬY

ĐỀ CƯƠNG CHI TIẾT HỌC PHẦN (Chương trình đào tạo tín chỉ, từ Khóa 2011)

ĐỀ SỐ 16 ĐỀ THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN 2017 Thời gian làm bài: 90 phút; không kể thời gian giao đề (50 câu trắc nghiệm)

Vectơ và các phép toán

Chương 2: Đại cương về transistor

A E. A c I O. A b. O a. M a. Chứng minh. Do XA b giao CI tại F nằm trên (O) nên BXA b = F CB = 1 2 ACB = BIA 90 = A b IB.

ĐỀ PEN-CUP SỐ 01. Môn: Vật Lí. Câu 1. Một chất điểm có khối lượng m, dao động điều hòa với biên độ A và tần số góc. Cơ năng dao động của chất điểm là.

& KHU T TR H I NINH. H i Quân Cán Chính H i Ninh phát hành

QCVN 28:2010/BTNMT. National Technical Regulation on Health Care Wastewater

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI MINH HỌA - KỲ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2015 Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút.

BÀI TOÁN HỘP ĐEN. Câu 1(ID : 74834) Cho mạch điện như hình vẽ. u AB = 200cos100πt(V);R= 50Ω, Z C = 100Ω; Z L =

TRANSISTOR MỐI NỐI LƯỠNG CỰC

ĐỀ 83.

Ταξίδι Υγεία. Υγεία - Έκτακτο περιστατικό. Υγεία - Στο γιατρό. Cho tôi đi bệnh viện. Παράκληση για μεταφορά στο νοσοκομείο

MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU...

BÀI TẬP CHƯƠNG 1 Đ/S: a) 4,1419 triệu b) 3,2523 triệu Đ/S: nên đầu tư, NPV=499,3 $

7. Phương trình bậc hi. Xét phương trình bậc hi x + bx + c 0 ( 0) Công thức nghiệm b - 4c Nếu > 0 : Phương trình có hi nghiệm phân biệt: b+ b x ; x Nế

TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄN TẤT THÀNH NIÊN KHÓA: * * CHUYÊN ĐỀ

Bài giảng Giải tích 3: Tích phân bội và Giải tích vectơ HUỲNH QUANG VŨ. Hồ Chí Minh.

gặp của Học viên Học viên sử dụng khái niệm tích phân để tính.

HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG

TUYỂN TẬP ĐỀ THI MÔN TOÁN THCS TỈNH HẢI DƯƠNG

ỨNG DỤNG PHƯƠNG TÍCH, TRỤC ĐẲNG PHƯƠNG TRONG BÀI TOÁN YẾU TỐ CỐ ĐỊNH

Chương 11 HỒI QUY VÀ TƯƠNG QUAN ĐƠN BIẾN

(CH4 - PHÂN TÍCH PHƯƠNG SAI, SO SÁNH VÀ KIỂM ĐỊNH) Ch4 - Phân tích phương sai, so sánh và kiểm định 1

c) y = c) y = arctan(sin x) d) y = arctan(e x ).

ABBYY FineReader 14. Hướng dẫn sử dụng ABBYY Production LLC. Mọi quyền được bảo lưu.

Xác định nguyên nhân và giải pháp hạn chế nứt ống bê tông dự ứng lực D2400mm

@misc{milneft, title={lý thuyết trường và lý thuyết Galois (v.4.53)} year={2017}, note={xem \url{ pages={178} }

Transcript:

NGUYỄN CHÁNH TÚ Khoa Toán, Đại Học Sư Phạm Huế Giáo trình điện tử LÍ THUYẾT MỞ RỘNG TRƯỜNG VÀ GALOIS Huế 12-2006

D C TÍNH KỸ T Ă THUÂ Có thê tra cú u d ê n tù ng phần cu a giáo trình bằng cách click vào Bookmarks bên lề trái cu a Acrobat Reader. Có siêu kiên kê t tham kha o chéo và tham chiê u d ê n các tài liê u tham kha o (305). Có siêu liên kê t d ê tra cú u các thuâ t ngũ hoă c nô i dung thê cu bằng Chı c mu (307) o cuô i giáo trình. Có thê liên kê t vó i trang web chı ra. Có siêu liên kê t d ê tham kha o nhanh hu ó ng dâ n gia i cu a tù ng bài tâ p (250). Có thê d ȯc trên mȧng, download hoă c nhanh chóng in thành giáo trình d ȯc. Có thê dùng d ê trình chiê u vó i chú c năng View Full Screen. ii

MU C LU C LÒ I NÓI D ẦU HU Ó NG DÂ N SU DU NG ix xiii VÀI NÉT VỀ LİCH SU 1 a) Li ch su gia i phu o ng trình d a thú c................... 1 b) Cuô c d ò i cu a Evariste Galois...................... 10 Chu o ng 0 KIÊ N THÚ C CHUÂ N Bİ 21 0.1 Tru ò ng. D ă c sô cu a tru ò ng................... 22 0.2 Vành d a thú c......................... 25 iii

0.3 Mô t sô nhóm hũ u hȧn.................... 30 0.4 Hàm Euler.......................... 37 Bài tâ p................................ 39 Chu o ng 1 MO NG TRU Ò NG 45 RÔ 1 Mo rô ng tru ò ng. Bâ c cu a mo rô ng tru ò ng............. 45 1.1 Mo rô ng tru ò ng........................ 45 1.2 Bâ c cu a mo rô ng tru ò ng................... 48 Bài tâ p................................ 50 2 Mo rô ng d o n............................ 53 2.1 Vành con và tru ò ng con sinh ra bo i mô t tâ p......... 53 2.2 Câ u trúc cu a mo rô ng d o n.................. 55 Bài tâ p................................ 61 3 Mo rô ng hũ u hȧn và mo rô ng d ȧi sô................ 69 3.1 Tính châ t cu a mo rô ng hũ u hȧn và mo rô ng d ȧi sô..... 69 iv

3.2 Tru ò ng con các phần tu d ȧi sô. Tru ò ng d óng d ȧi sô. Bao d óng d ȧi sô.............................. 71 Bài tâ p................................ 74 4 Du ng hình bằng thu ó c ke và compa................ 77 4.1 Ba bài toán du ng hình cô d iê n................ 77 4.2 D iều kiê n cần d ê d a giác d ều p cȧnh du ng d u ȯ c bằng thu ó c ke và compa.......................... 81 Bài tâ p................................ 86 5 Tru ò ng phân rã cu a mô t d a thú c. D a thú c tách d u ȯ c....... 91 5.1 Tru ò ng phân rã cu a mô t d a thú c............... 91 5.2 D a thú c tách d u ȯ c....................... 98 Bài tâ p................................ 103 Chu o ng 2 LÍ THUYÊ T GALOIS 109 6 Tu d ă ng câ u và tru ò ng trung gian cu a mo rô ng tru ò ng...... 109 6.1 Nhóm các tu d ă ng câ u cu a mo rô ng tru ò ng......... 110 v

6.2 Tru ò ng trung gian cu a mo rô ng tru ò ng........... 114 Bài tâ p................................ 120 7 Mo rô ng tách d u ȯ c, chuâ n tă c và Galois.............. 124 7.1 Mo rô ng tách d u ȯ c và d i nh lí phần tu nguyên thu y..... 124 7.2 Tiêu chuâ n cu a mo rô ng Galois và chuâ n tă c........ 127 Bài tâ p................................ 133 8 D i nh lí co ba n cu a Lí thuyê t Galois................ 137 Bài tâ p................................ 151 9 Mô t sô ú ng ng cu a Lí thuyê t Galois............... 156 du 9.1 Tru ò ng hũ u hȧn....................... 156 9.2 Tru ò ng và d a thú c chia d u ò ng tròn.............. 160 9.3 D a giác d ều du ng d u ȯ c bằng thu ó c ke và compa....... 169 9.4 D i nh lí co ba n cu a d ȧi sô................... 171 Bài tâ p................................ 173 10 Nhóm Galois cu a d a thú c...................... 179 10.1 Biê t thú c........................... 179 vi

10.2 Nhóm Galois cu a d a thú c bâ c 3................ 181 10.3 D a thú c bâ c 4......................... 184 10.4 D a thú c tô ng quát...................... 191 Bài tâ p................................ 197 11 Tiêu chuâ n gia i d u ȯ c bằng căn thú c cu a d a thú c......... 201 11.1 Mo rô ng căn và tiêu chuâ n gia i d u ȯ c............. 201 11.2 Tính không gia i d u ȯ c cu a d a thú c có bâ c ló n ho n bô n.... 211 11.3 Nghiê m căn thú c cu a các d a thú c tô ng quát có bâ c không quá 4213 Bài tâ p................................ 220 C 223 PHU LU A Nhóm gia i d u ȯ c và nhóm d o n................. 223 B D i nh lí Sylow và D i nh lí Cauchy............... 239 C Bao d óng d ȧi sô cu a mô t tru ò ng............... 242 D So lu ȯ c về Maple....................... 245 HU Ó NG DÂ N GIA I BÀI P 250 TÂ vii

BA NG KÍ HIÊ U VÀ QUY U Ó C 302 TÀI LIÊ U THAM KHA O 305 CHI MU C 307 viii

LÒ I NÓI D ẦU Lí thuyê t Galois là mô t trong nhũ ng lí thuyê t d ėp d ẽ nhâ t cu a d ȧi sô, tâ p hȯ p nhiều kiê n thú c và phu o ng pháp cu a các lĩnh vu c toán hȯc khác nhau, nhằm gia i quyê t các bài toán cô d iê n và nhũ ng vâ n d ề quan trȯng khác cu a d ȧi sô hiê n d ȧi. Mô t trong nhũ ng ú ng du ng chu yê u cu a Lí thuyê t Galois là gia i quyê t bài toán tìm nghiê m căn thú c cu a phu o ng trình d a thú c, d ă c biê t chı ra rằng phu o ng trình bâ c ló n ho n bô n không thê gia i d u ȯ c bằng căn thú c. Mă t khác, Lí thuyê t Galois cho phép xác d i nh d a giác d ều n cȧnh du ng d u ȯ c bằng thu ó c ke và compa. Bên cȧnh d ó, chúng ta nhâ n d u ȯ c tù Lí thuyê t Galois lò i gia i cho ba bài toán du ng hình cô d iê n, d ó là không thê (bằng thu ó c ke và compa) chia ba mô t góc, gâ p d ôi hình lâ p phu o ng hoă c cầu phu o ng d u ò ng tròn. Do tầm quan trȯng cu a Lí thuyê t Tru ò ng và Galois mà tù năm 1986, môn hȯc này d ã d u ȯ c Bô Giáo du c và d ào tȧo d u a vào trong chu o ng trình chính thú c cu a khoa Toán các tru ò ng D ȧi hȯc và Cao d ă ng, d ă c biê t là cho khoa Toán các Tru ò ng Su phȧm. Ho n thê, Lí thuyê t Galois cũng d u ȯ c gia ng dȧy cho các ló p Cao Hȯc, xem nhu kiê n thú c co ba n d ê tù d ó mo rô ng cho nhũ ng nghiên cú u lí thuyê t và ú ng du ng sâu să c ho n. ix

Giáo trình này ra d ò i trên co so bài gia ng cu a tác gia cho sinh viên Khoa Toán, Tru ò ng D ȧi hȯc su phȧm Huê suô t ho n 10 năm tru c tiê p gia ng dȧy môn hȯc này. Trong quá trình d ó, ba n tha o d u ȯ c chı nh su a và bô sung sao cho vù a phù hȯ p vó i chu o ng trình cu a Bô Giáo du c và D ào tȧo, vù a d áp ú ng nhu cầu su du ng các công cu mó i cu a d ȧi sô tính toán, vù a bô sung nhũ ng kiê n thú c liên quan khó có thê tìm d u trong mô t vài quyê n sách tham kha o. Vì thê, giáo trình ra d ò i, tru ó c hê t, nhằm d áp ú ng nhu cầu su du ng cu a sinh viên d ȧi hȯc, cao d ă ng và hȯc viên cao hȯc ngành toán. Bên cȧnh d ó, giáo trình có thê là mô t tài liê u tham kha o bô ích cho giáo viên phô thông trung hȯc và hȯc sinh gio i. Hȯ có thê tìm thâ y trong giáo trình này co so toán hȯc chă t chẽ cho viê c tìm nghiê m căn thú c cu a phu o ng trình d a thú c, cu a các bài toán du ng hình bằng thu ó c ke và compa, nhũ ng kiê n thú c về li ch su toán hȯc liên quan. Ngoài ra, giáo trình so lu ȯ c gió i thiê u về Maple, mô t trong nhũ ng hê thô ng tính toán d ȧi sô mȧnh mẽ và phô biê n nhâ t hiê n nay. Thông qua nhũ ng ví du minh hȯa, giáo trình chı ra kha năng tính toán mȧnh mẽ cu a Maple cũng nhu viê c hô trȯ d ă c lu c cu a phần mềm này cho các giáo viên phô thông, cho sinh viên và hȯc sinh trong hoȧt d ô ng gia ng dȧy, nghiên cú u và hȯc tâ p toán. x

Giáo trình d u ȯ c biên soȧn trên nguyên tă c d a m ba o d ầy d u và chă t chẽ cu a kiê n thú c. D ê làm viê c vó i giáo trình này, d ô c gia chı cần mô t sô kiê n thú c co so cu a d ȧi sô tuyê n tính, lôgic, d ȧi sô d ȧi cu o ng nhu d ã hȯc trong năm thú nhâ t và thú hai cu a D ȧi hȯc hoă c Cao d ă ng. Ngoài nhũ ng kiê n thú c d ó, nhũ ng khái niê m mó i d u ȯ c d i nh nghĩa và nhũ ng kê t qua mó i d ều d u ȯ c chú ng minh d ầy d u. Phần kiê n thú c bô sung, nê u chu a d u ȯ c hȯc trong nhũ ng năm d ầu tiên cu a chu o ng trình D ȧi hȯc, Cao d ă ng, sẽ d u ȯ c gió i thiê u chi tiê t trong c. Cuô i mô i tiê t ( ), giáo trình Phu lu cung câ p mô t thô ng phong phú các bài tâ p tù dê d ê n khó, bă t d ầu tù bài tră c hê nghiê m lí thuyê t nhằm giúp d ô c gia nă m mô t cách chă c chă n nhũ ng khái niê m và kê t qua chu yê u. Gần 150 bài tâ p trong giáo trình d ều có phần hu ó ng dâ n gia i d ầy d u trong nô lu c giúp d ô c gia có thê tu hȯc. Qua thu c tê gia ng dȧy, tác gia cho rằng viê c dȧy-hȯc toán hiê n nay nói chung, o d ȧi hȯc nói riêng, ngu ò i dȧy và ngu ò i hȯc cần khai thác su hô trȯ hiê u qua cu a các phần mềm toán hȯc. Có su hô trȯ này, viê c dȧy-hȯc có nhũ ng thay d ô i tích cu c và châ t lu ȯ ng giáo c d u ȯ c ca i thiê n rõ du rê t. Cùng vó i viê c nă m vũ ng kiê n thú c lí thuyê t, có kha năng gia i quyê t các bài toán ú ng ng, ngu ò i hȯc cần biê t su ng các phần mềm hô trȯ cho các c d ích du du mu xi

tính toán cu thê. Có nhiều tính toán râ t khó và phú c tȧp tru ó c d ây nay tro nên vô cùng d o n gia n vó i su trȯ giúp cu a các phần mềm toán hȯc. Trên tinh thần d ó, o nhũ ng vi trí thích hȯ p, tác gia bô sung các lê nh và ví du minh hȯa cho viê c su du ng Maple. D ê hoàn thành giáo trình này, tác gia d ã nhâ n d u ȯ c su hô trȯ cu a nhiều thê hê sinh viên và hȯc viên cao hȯc trong viê c phát hiê n, su a chũ a sai sót trong giáo trình. Nhiều thầy cô, d ồng nghiê p và bȧn bè cũng d ã d óng góp nhiều ý kiê n quý báu trong quá trình biên soȧn. Nhân di p giáo trình này ra d ò i, tác gia, mô t lần nũ a, go i lò i ca m o n sâu să c d ê n các thầy cô, d ồng nghiê p, bȧn bè và sinh viên về nhũ ng giúp d õ vô giá trên. Mă c dù d ã cô gă ng, giáo trình này không thê tránh kho i nhũ ng thiê u sót. Tác gia vô cùng biê t o n nê u nhâ n d u ȯ c nhũ ng ý kiê n d óng góp, bình luâ n và nhũ ng phát hiê n lô i trong giáo trình này cu a d ô c gia gần xa. Mȯi ý kiê n d óng góp, trao d ô i xin gu i về d i a chı : TS. Nguyê n Chánh Tú, Khoa Toán, Tru ò ng D ȧi hȯc su phȧm Huê, 32 Lê Lȯ i, Thành phô Huê, email: nctu2000@yahoo.com. Huê ngày 25 tháng 4 năm 2007. xii

HU Ó NG DÂ N SU DU NG Lí thuyê t Galois có nhiều cách tiê p câ n khác nhau. Mô t cách tiê p câ n có nhiều u u d iê m là trình bày Lí thuyê t Galois trên co so Lí thuyê t mo rô ng tru ò ng. Quan d iê m d ó cu a Bô Giáo du c và d ào tȧo d u ȯ c chúng tôi thô ng nhâ t trong viê c biên soȧn giáo trình này. Giáo trình có 2 chu o ng, ú ng vó i Lí thuyê t mo rô ng tru ò ng và Lí thuyê t Galois. Mô i chu o ng d u ȯ c chia ra thành các tiê t ( ) tu o ng ú ng vó i 4-5 giò hȯc tâ p trên ló p. Ngoài ra, giáo trình có bô sung phần Kiê n thú c chuâ n bi (Chu o ng 0), nhằm nhă c lȧi nhũ ng kiê n thú c cũ chu yê u có liên quan sau này. Giáo trình cô gă ng trình bày theo thú tu hȯ p lí nhâ t cu a viê c gia ng dȧy-hȯc tâ p môn hȯc. Tuy nhiên tùy theo mu c d ích mà d ô c gia có thê su du ng theo mô t thú tu phù hȯ p khác. Sau khi d ȯc xong phần lí thuyê t cu a tiê t, d ô c gia cần tu mình gia i quyê t các bài tâ p cuô i tiê t và tra lò i bài tâ p tră c nghiê m (có thê tham kha o phần hu ó ng dâ n, nê u cần). Các bài tâ p d u ȯ c să p xê p tù dê d ê n khó ; nhũ ng bài tâ p (*) d òi ho i su tu duy cao ho n. Nhu d ã trình bày, nê u có d iều kiê n, d ô c gia nên khai thác su du ng Maple thông qua các ví du và nô i dung cu thê trong giáo trình. Tù ( 8), giáo trình su du ng thêm các kiê n thú c sâu să c ho n cu a d ȧi sô d ȧi cu o ng. xiii

Nhũ ng kiê n thú c này d u ȯ c trình bày chi tiê t trong c. Phu lu Các d i nh lí, mê nh d ề, qua, bô hê d ề d u ȯ c d ánh sô theo tù ng tiê t, ví Mê nh d ề du 2.3 nằm trong 2 và d u ȯ c trích dâ n là Mê nh d ề 2.3 hoă c gȯn ho n là 2.3. Các công thú c hoă c phu o ng trình d u ȯ c d ánh sô tù d ầu d ê n cuô i giáo trình về bên pha i, ví du D f = 4p 3 27q 2 (1) d u ȯ c trích dâ n là (1). Riêng phần c, mȯi d i nh lí, mê nh d ề,...d u ȯ c d ánh sô Phu lu vó i mô t chũ cái d ú ng tru ó c, ví Mê nh d ề A.2. d u ȯ c trích dâ n là Mê nh d ề A.2. du hay d o n gia n là A.2.. Giáo trình có ba ng các kí hiê u su ng trong giáo trình và du phần Chı c (307) (Index) nhằm giúp d ô c gia dê dàng tra cú u d u ȯ c nô i dung khái Mu niê m hoă c kiê n thú c cần thiê t. xiv

VÀI NÉT VỀ LİCH SU 1 A) LİCH SU GIA I PHU O NG TRÌNH D A THÚ C Ngày nay, ngu ò i ta tin rằng, viê c gia i phu o ng trình d a thú c bâ c hai d ã d u ȯ c các nhà toán hȯc cô d ȧi Babilon quan tâm cách d ây gần 4000 năm. Nhũ ng tâ m d â t sét có niên d ȧi 1600 BC d u ȯ c tìm thâ y cu a nền văn minh Babilon còn ghi lȧi viê c tìm nghiê m cu a nhũ ng phu o ng trình bâ c hai thê cu. Tuy nhiên, nhũ ng lò i gia i trên d u ȯ c mô ta bằng phu o ng pháp hình hȯc và do d ó chı liên quan d ê n nhũ ng phu o ng trình bâ c hai có sô ló n ho n 0. hê Nhũ ng phu o ng pháp hình hȯc d ê gia i phu o ng trình bâ c hai tiê p c d u ȯ c nhà tu toán hȯc vĩ d ȧi Hy Lȧp Euclid (325 BC-265 BC) d ề câ p d ê n. Mãi d ê n thê kı thú 7, nhà toán hȯc  n D Brahmagupta (598-665), mó i trình bày mô t cách gia i phu o ng ô trình bâ c hai có su ng sô âm và các kí hiê u, d ánh dâ u su phát triê du n cu a d ȧi sô. Viê c xét mô t cách d ầy d u nghiê m cu a phu o ng trình bâ c hai bằng phu o ng pháp d ȧi sô chı d u ȯ c thu c hiê n bo i các nhà toán hȯc Arab, tiêu biê u là al-khwarizmi 1 Thông tin trong phần này d u ȯ c tham kha o chu yê u tù [5] và [7].

2 Vài nét về li ch su (780-880). Tuy nhiên, các nhà toán hȯc Arab lȧi chu a biê t d ê n sô âm, do d ó trong cuô n sách cu a mình có tên Hisabal-jabrw al-muqaba, al-khwarizmi d ã phân thành 6 loȧi phu o ng trình bâ c hai, ú ng vó i 6 chu o ng trong cuô n sách và trình bày cách gia i cho tù ng loȧi. D ây d uȯ c xem là cuô n sách d ầu tiên về d ȧi sô và tù Algebra (d ȧi sô ) ra d ò i tù tên cu a cuô n sách này. D ê n năm 1145, cuô n sách nô i tiê ng cu a nhà toán hȯc Tây Ban Nha, Abraham bar Hiyya Ha-Nasi (1070-1136) d u ȯ c xuâ t ba n o châu Âu có tên Latinh là Liber ambadorum cũng trình bày d ầy d u nghiê m cu a các phu o ng trình bâ c hai. Tru ò ng phái toán hȯc Italy kho i d ầu khoa ng năm 1500 vó i cuô n sách cu a Luca Pacioli (1445-1517) xuâ t ba n năm 1494, d u ȯ c biê t d ê n vó i tên viê t tă t là Suma, trong d ó lò i gia i cu a phu o ng trình bâ c hai d u ȯ c trình bày chi tiê t bằng ngôn ngũ d ȧi sô hiê n d ȧi. Pacioli không d ề câ p d ê n viê c gia i phu o ng trình d a thú c bâ c ba nhu ng ông lȧi nhă c d ê n viê c gia i phu o ng trình d a thú c bâ c bô n. Ông viê t, theo ngôn ngũ cu a d ȧi sô ngày nay, phu o ng trình bâ c bô n x 4 = a + bx 2 gia i d u ȯ c bằng phu o ng pháp nhu d ô i vó i phu o ng trình bâ c hai, nhu ng các phu o ng trình x 4 + ax 2 = b và x 4 + a = bx 2 thì không thê gia i d u ȯ c.

Vài nét về li ch su 3 Ngu ò i d ầu tiên tìm d u ȯ c nghiê m cu a phu o ng trình d a thú c bâ c ba là Scipione del Ferro (1465-1526), mô t giáo su nô i tiê ng cu a D ȧi hȯc Bologna, Italy. Ferro tìm d u ȯ c nghiê m căn thú c cu a phu o ng trình x 3 + mx = n. Tâ t nhiên, nê u biê t su du ng khái niê m sô âm cu a các nhà toán hȯc  n D ô, thì công thú c nghiê m d ó là d u d ê gia i tâ t ca các dȧng cu a phu o ng trình bâ c ba. Tuy nhiên, lúc bâ y giò, Ferro không biê t d iều d ó. Ferro gia i d u ȯ c phu o ng trình bâ c ba nêu trên vào năm 1515, nhu ng giũ bí mâ t cho d ê n tru ó c lúc qua d ò i năm 1526 mó i tiê t lô cho mô t ngu ò i hȯc trò cu a mình là Antonio Fior. Fior là mô t ngu ò i hȯc toán bình thu ò ng và ngay lâ p tú c làm rò rı lò i gia i cu a thầy mình ra ngoài. Tin d ồn về lò i gia i cu a phu o ng trình bâ c ba lan rô ng khă p Bologna và các vùng lân câ n, kích thích nhà toán hȯc nghiê p du Niccolo Fontana(1499-1557) tìm ra lò i gia i cu a phu o ng trình x 3 + mx 2 = n không lâu sau d ó. N. Fontana (d u ȯ c biê t d ê n vó i tên Tartaglia) quyê t d i nh công bô thành công cu a mình. Mô t cuô c thách d ô khoa hȯc nô ra giũ a Tartaglia và Fior năm 1535. Luâ t cu a cuô c thi d o n gia n là mô i ngu ò i sẽ d u a ra 30 phu o ng trình bâ c ba cho d ô i thu, hėn trong 50 ngày, ai gia i d u ȯ c nhiều ho n thì thă ng. Tâ t ca các phu o ng trình mà Fior d u a ra cho Tartaglia d ều có dȧng x 3 + mx = b và Fior tin

4 Vài nét về li ch su Hình 1: Chân dung Tartaglia chă c là Tartaglia không thê gia i d u ȯ c. Tru ó c thò i hȧn cuô i cùng 8 ngày, Tatarlia d ã tìm d u ȯ c phu o ng pháp tô ng quát gia i tâ t ca phu o ng trình bâ c ba. Tru ó c công chúng, Tartaglia d u a ra lò i gia i cu a 30 bài toán trong vòng 2 giò và d u ȯ c công nhâ n là ngu ò i thă ng cuô c. Tuy nhiên, ông không công bô lò i gia i chi tiê t. Chiê n thă ng cu a Tartaglia lan d ê n Milan, kích thích mô t nhà toán hȯc nghiê p du khác, bác sĩ Girolamo Cardano (1501-1576). Cardano lâ p tú c mò i Tartaglia

Vài nét về li ch su 5 d ê n thăm Milan vào năm 1539 và tìm cách thuyê t phu c Tartaglia tiê t lô lò i gia i phu o ng trình bâ c ba cho mình. Tartaglia d ồng ý vó i giao u ó c Cardano pha i giũ bí mâ t về lò i gia i cho d ê n khi Tartaglia tu mình xuâ t ba n công trình d ó. Nhu ng Cardano không giũ giao u ó c, lò i gia i cu a phu o ng trình bâ c ba và bâ c bô n d ã d u ȯ c xuâ t hiê n chi tiê t trong quyê n sách Ars Magna nô i tiê ng cu a Cardano, xuâ t ba n năm 1545. Tartaglia vô cùng tú c giâ n và trong mô t bài báo cu a mình xuâ t ba n sau d ó, Tartaglia khă ng d i nh lȧi công lao cu a mình và lên án su pha n bô i cu a Cardano. Trong Ars Magna, cuô n sách tiê ng Latinh d ầu tiên trên thê gió i về d ȧi sô, Cardano có d ề câ p d ê n công lao cu a Tartaglia chính là tác gia cu a công thú c nghiê m cu a phu o ng trình bâ c ba, nhu ng ông cũng gia i thích thêm rằng viê c chú ng minh công thú c cũng nhu trình bày lò i gia i chi tiê t là cu a ông cùng các hȯc trò cu a mình. D ă c biê t, cuô n sách cu a Cardano lần d ầu tiên trình bày lò i gia i cho 20 loȧi phu o ng trình d a thú c bâ c bô n. Các lò i gia i này d ều có chung phu o ng pháp là tìm nghiê m cu a mô t phu o ng trình bâ c ba (ngày nay ta gȯi là gia i thú c c ba), phu bâ rồi su ng nó d ê du gia i phu o ng trình bâ c bô n d ã cho. Tác gia cu a kê t qua này là

6 Vài nét về li ch su Hình 2: Chân dung G. Cardano Lodovico Ferari (1522-1565), mô t trong nhũ ng hȯc trò xuâ t să c nhâ t cu a Cardano. Mô t lí do nũ a d ê gia i thích cho quyê t d i nh cu a Cardano là ông phát hiê n ra rằng Ferro là ngu ò i d ã gia i d u ȯ c các phu o ng trình bâ c ba tru ó c d ó 30 năm. Su ra d ò i cu a Ars Magna truyền ca m hú ng cho nhiều nhà toán hȯc trên thê gió i tiê p c nghiên cú u về phu o ng trình d a thú c nhu Bombelli (1526-1572, Italy), tu Viéte (1540-1603, Pháp), Descartes (1596-1650, Pháp), Harriot (1560-1621, Anh),

Vài nét về li ch su 7 Hình 3: Chân dung N. Abel Tschirnhaus (1651-1708, D ú c), Euler (1707-1783, y Sĩ), Bezout (1730-1783, Thu Pháp). Sau khi gia i d u ȯ c phu o ng trình d a thú c bâ c ba và bô n, vâ n d ề tìm nghiê m căn thú c cho phu o ng trình d a thú c bâ c năm d u ȯ c d ă t ra mô t cách tu nhiên và thu hút su quan tâm cu a nhiều nhà toán hȯc trong mô t thò i gian dài. Euler thâ t bȧi trong nô lu c cu a mình nhu ng d ȧt d u ȯ c mô t phu o ng pháp mó i gia i phu o ng trình bâ c bô n. Lagrange (1736-1813), mô t nhà toán hȯc Italy-Pháp, d ã d ȧt d u ȯ c bu ó c

8 Vài nét về li ch su tiê n quan trȯng trong viê c nghiên cú u ba n châ t quá trình tìm nghiê m cu a phu o ng trình bâ c nho ho n năm ; quá trình d ó phu thuô c vào viê c xác d i nh các hàm nghiê m mà chúng không d ô i du ó i tác d ô ng cu a các hoán vi d ă c biê t trên tâ p nghiê m cu a d a thú c ; ông cũng d ã chı ra rằng quá trình d ó không thê thu c hiê n d u ȯ c d ô i vó i d a thú c bâ c năm. Tù d ó, gia thuyê t về viê c không thê gia i d u ȯ c phu o ng trình bâ c năm bằng căn thú c tro thành mô t thách thú c cho các nhà toán hȯc. Năm 1813, Ruffini (1765-1822, Italy) d ã cô gă ng d u a ra mô t chú ng minh cho gia thuyê t trên, râ t tiê c chú ng minh cu a ông còn nhiều d iê m không chính xác. Vâ n d ề chı d u ȯ c gia i quyê t trȯn vėn bo i thần d ồng toán hȯc ngu ò i Na Uy, Niels Henrik Abel (1802-1829) vào năm 1824. Abel chu a ki p gia i quyê t bài toán tô ng quát ho n là khi nào mô t phu o ng trình d a thú c bâ c n có thê gia i d u ȯ c bằng căn thú c thì ông qua d ò i lúc chu a tròn 27 tuô i. Công trình cu a Abel chı d u ȯ c công nhâ n và xuâ t ba n sau d ó, năm 1830. Ba năm sau, mô t bi ki ch tu o ng tu cũng xa y ra vó i Evariste Galois (1811-1832), mô t thần d ồng toán hȯc khác. Su ra d i d ô t ngô t cu a ông d ã không ki p cho thê gió i toán hȯc nhâ n ra mô t trong nhũ ng lí thuyê t d ėp d ẽ nhâ t cu a d ȧi sô, mà tù d ó dê dàng có câu tra lò i cho bài toán tô ng quát trên. Pha i d ȯ i d ê n năm 1843, mu ò i mô t

Vài nét về li ch su 9 Hình 4: Chân dung Galois lúc 15 tuô i năm sau ngày ông qua d ò i, nhũ ng tuyên bô sau cu a nhà toán hȯc Pháp Joseph Liouville (1809-1882) trong bú c thu gu i cho Viê n Hàn Lâm Khoa Hȯc Pháp mó i d ánh dâ u su thù a nhâ n chính thú c cu a cô ng d ồng toán hȯc dành cho E. Galois. Liouville viê t : Hy vȯng tôi sẽ mang d ê n cho n Hàn Lâm t su quan tâm c t bằng Viê mô d ă biê c công bô rằng tôi d ã phát n d u ȯ c trong các công trình cu a Evariste viê hiê

10 Vài nét về li ch su Galois lò i gia i hoàn ha o và sâu să c cho bài toán nô i tiê ng: khi nào thì phu o ng trình d a thú c gia i d u ȯ c bằng căn thú c. Abel và Galois, hai sô phâ n bâ t hȧnh vó i nhiều d iê m tu o ng d ồng kì lȧ, xuâ t hiê n và biê n mâ t nhu hai vê t sao băng sáng chói trên bầu trò i toán hȯc. Su tồn tȧi ngă n ngu i cu a hȯ d ã d ê lȧi nhũ ng di sa n vĩ d ȧi cho văn hóa nhân loȧi. Công trình cu a Abel và Galois khép lȧi mô t chu o ng cu a li ch su gia i phu o ng trình d a thú c và mo ra nhiều chu o ng mó i cu a d ȧi sô hiê n d ȧi, kho i nguồn cho nhũ ng lí thuyê t d ėp d ẽ cùng nhiều ú ng du ng quan trȯng khác. B) C D Ò I CU CUÔ A EVARISTE GALOIS Evariste Galois sinh ngày 25 tháng 10 năm 1811 tȧi Bourg-la-Reine, mô t vùng ngoȧi ô cu athu d ô Paris nu ó c Pháp, trong mô t gia d ình trí thú c. Bô Galois là mô t ngu ò i nô i tiê ng, nhiều năm là tru o ng cu a Bourg-la-Reine. Mė ông am hiê thi u nhiều lĩnh vu c nhu triê t hȯc, ngôn ngũ, thần hȯc. Galois d u ȯ c mė dȧy tiê ng Hy lȧp, Latinh, thần hȯc cho d ê n năm 12 tuô i. Tháng 10 năm 1823, Galois bă t d ầu d ê n tru ò ng và vào hȯc ló p 4, Tru ò ng Louis-

Vài nét về li ch su 11 le-grand. Tȧi d ây, Galois só m chú ng kiê n su nô i dâ y cu a hȯc sinh hu o ng ú ng cuô c cách mȧng chô ng lȧi vua Louis XVIII và sau d ó là vua Charles X. Gần 40 hȯc sinh cu a tru ò ng d uô bi i hȯc trong năm hȯc d ầu tiên cu a Galois. Viê c hȯc cu a Galois trong năm hȯc d ầu tiên diê n ra thuâ n lȯ i. Galois d ȧt d iê m sô tô t và nhâ n d u ȯ c hȯc bô ng. Tuy nhiên, viê c hȯc trên ló p ngày càng tro nên kém hâ p dâ n và Galois pha i lu u ban vào năm 1826 do thiê u d iê m môn tu tù hȯc. Năm 1827, Galois tham gia khóa hȯc toán d ầu tiên vó i giáo su M. Vernier, và só m say mê môn hȯc này. Năm 1828, Galois thi vào tru ò ng École Polytechnique, tru ò ng d ȧi hȯc danh giá hàng d ầu cu a Pháp nhu ng không d ô. Quay tro về Louisle-Grand, anh tham gia khóa hȯc toán vó i giáo su Louis Richard (1795-1849) và bă t d ầu nghiên cú u nhũ ng d ề tài riêng biê t cu a mình. Galois tìm d ȯc các giáo trình toán cao câ p nhu Hình hȯc cu a Legendre, lí thuyê t Langrange...Richard viê t về Galois Sinh viên này chı quan tâm d ê n nhũ ng lĩnh vu c khó nhâ t cu a toán hȯc. Sú c hút cu a toán hȯc làm anh chê nh ma ng ho n vó i viê c hȯc trên ló p. Phiê u nhâ n xét về Galois nhũ ng năm d ó d ều mô ta anh là mô t hȯc sinh khác thu ò ng, p lâ di, c d áo và khép kín. Tháng 4 năm 1829, Galois có công trình toán d ầu tiên d ô

12 Vài nét về li ch su Hình 5: Chân dung Galois d u ȯ c anh trai vẽ lȧi năm 1848 xuâ t ba n trên tȧp chí Annales de Mathématiques về liên phân sô. Cuô i tháng 5 và d ầu tháng 6, Galois gu i cho Viê n hàn lâm khoa hȯc Pháp các kê t qua nghiên cú u về nghiê m cu a phu o ng trình d ȧi sô. Cauchy (1789-1857) là ngu ò i d u ȯ c phân công pha n biê n và ông d ã bác bo các kê t qua này. Tha m ki ch bă t d ầu xa y ra vó i Galois khi cha anh tu tu tù mô t su vu cáo ác hiê m cu a thầy tê vùng Bourg-la-Reine. Cha cu a Galois là mô t chính khách theo phái vi

Vài nét về li ch su 13 cô ng hòa. Nhũ ng xung d ô t chính phú c tȧp thò i bâ y giò giũ a phái cô ng hòa và tri ba o hoàng d ã lôi cuô n và góp phần d â y d ê n nhũ ng bi ki ch liên tiê p cho Galois và gia d ình anh. Cái chê t cu a cha gây sô c mȧnh mẽ và tác d ô ng ló n d ê n cuô c d ò i Galois sau này. Chı vài tuần sau cái chê t cu a cha, Galois pha i tra i qua lần thi thú hai vào Tru ò ng École Polytechnique. Và Galois lȧi ró t! Không na n chí, tháng 12 năm 1829, Galois thi và d ô vào tru ò ng École Normal. Trong kì thi d ó, giám kha o môn toán d ã có vi nhâ n xét về Galois nhu sau : Hȯc sinh này nhiều khi diê n ta t cách rô i ră m ý tu o ng cu a mình nhu ng mô là t hȯc sinh thông minh và có kha năng c t trong nghiên cú u. mô d ă biê Còn nhũ ng nhâ n xét cu a giám kha o môn văn hȯc là : vi D ây là hȯc sinh duy nhâ t tra lò i râ t tồi câu ho i cu a tôi và to ra không biê t gì ca. Tru ó c d ây, nhiều ngu ò i nói vó i tôi rằng hȯc sinh này có năng khiê u c t về toán hȯc. Tôi t su ngȧc nhiên về d ánh giá d ó vì sau kì thi d ă biê thâ này, tôi cho rằng anh ta không thông minh lă m.

14 Vài nét về li ch su Cuô i năm 1829, Galois lȧi gu i mô t công trình khác về lí thuyê t phu o ng trình cho Cauchy. Mô t lần nũ a Cauchy không thù a nhâ n kê t qua cu a Galois. Tháng 2 năm 1830, Galois gu i công trình Về d iều n t phu o ng trình gia i d u ȯ c bằng căn kiê mô thú c cho Viê n hàn lâm khoa hȯc Pháp d ê tham du gia i thu o ng toán hȯc cu a Viê n. Thu kí Viê n, giáo su nô i tiê ng J. Fourier (1768-1830), là ngu ò i pha n biê n công trình cu a Galois. Nhu ng Fourier qua d ò i d ô t ngô t vào tháng 4 năm 1830. Và công trình cu a Galois không bao giò d u ȯ c tìm thâ y nũ a. Khoa ng thò i gian này, Galois biê t rằng mô t bài báo cu a nhà toán hȯc quá cô Abel d u ȯ c xuâ t ba n trên Bulletin de Férussac có mô t phần kê t qua giô ng cu a mình. Sau khi tìm d ȯc các bài báo cu a Abel và Jacobi (1804-1851, D ú c), Galois d ã hoàn thành các nghiên cú u về các hàm elliptic và tích phân aben. Galois d ã d ăng 3 công trình trên Bulletin de Férussac trong tháng 4 năm 1830. Trong tháng 6, Galois biê t tin gia i thu o ng toán hȯc cu a Viê n hàn lâm d ã d u ȯ c trao d ồng thò i cho Abel và Jacobi. Tháng 6 năm 1830, nu ó c Pháp c sôi vó i nhũ ng xung d ô t giũ a phe cô ng hòa su và ba o hoàng. Vua Charles X c xuâ t kho i Pháp, nhu ò ng ngai vàng cho vua bi tru Louis-Phillipe. Các cuô c biê u tình, bȧo loȧn, d àn áp tiê p c xa y ra thu ò ng xuyên tu

Vài nét về li ch su 15 trên các d u ò ng phô Paris. Hiê u tru o ng tru ò ng École Normal, GS. M. Guigniault, nhô t hȯc sinh trong tru ò ng d ê tránh không cho hȯc sinh tham gia xuô ng d u ò ng. Trèo tu ò ng ra ngoài không thành, Galois viê t mô t bài báo d ăng trên Gazette des Écoles d ê pha n d ô i viê c khóa cu a nhô t hȯc sinh trong tru ò ng cu a hiê u tru o ng. Galois d uô bi i hȯc và tham gia vào pháo binh, mô t binh chu ng trong quân d ô i hoàng gia. Tuy nhiên, d ê n tháng 12 năm 1830, pháo binh gia i tán bo i să c lê nh bi cu a nhà vua do lo sȯ binh chu ng này là mô i d e dȯa cho ngai vàng. Galois cô gă ng quay tro lȧi làm toán. Anh mo mô t ló p hȯc về d ȧi sô cao câ p thu hút khoa ng 40 sinh viên. Nhu ng sau buô i hȯc d ầu tiên, sô sinh viên gia m mô t cách nhanh chóng và cuô i cùng ló p hȯc tan rã. Nhũ ng công trình cuô i cùng trong d ò i Galois là 2 bài báo nho d ăng trên Annales de Gergonne (tháng 12 năm 1830) và trên Gazette des Écoles (tháng 1 năm 1831). Tháng 1 năm 1831, theo gȯ i ý cu a viê n sĩ Viê n hàm lâm khoa hȯc Pháp Poisson (1781-1840), lần thú ba, Galois gu i công trình nghiên cú u về phu o ng trình cu a mình cho Viê n hàn lâm. Chính su nu ó c Pháp lȧi lôi cuô n Galois, ngu ò i d ang mang tâm trȧng nă ng nề

16 Vài nét về li ch su khi pha i d ô i mă t vó i nhũ ng bâ t hȧnh dồn dâ p. Ngu ò i thanh niên này liên tiê p ro i vào vòng xoáy cu a nhũ ng ý nghĩ và hành d ô ng tiêu cu c. Cuô i năm 1830, mu ò i chín sĩ quan pháo binh bă t về tô i âm lu u lâ t d ô bi ngai vàng, nhu ng d u ȯ c tha bô ng sau d ó. Ngày 9 tháng 5 năm 1831, nhũ ng ngu ò i cô ng hòa tô chú c mô t bũ a tiê c chào mù ng su kiê n này và phô tru o ng thanh thê. Phâ n khích tù không khí cu a bũ a tiê c, Galois d eo kính, tay cầm dao găm kêu gȯi mȯi ngu ò i chô ng lȧi nhà vua. Sau bũ a tiê c, Galois bă t giam o nhà tù Sainte-Pélagie. Ra tòa, Galois d u ȯ c tha bô bi ng vào ngày 15 tháng 6 năm 1831. Ngày 14 tháng 7, kı niê m su kiê n c Bastille, ngu Galois lȧi xuâ t hiê n o hàng d ầu trong cuô c biê u tình rầm cu a nhũ ng ngu ò i cô ng rô hòa, vó i trang c pháo binh, tay cầm súng và kiê m. Galois lȧi tô ng giam vào phu bi Sainte-Pélagie. Lần này Galois kê t án 6 tháng tù giam. Trong tù, Galois nhâ n bi d u ȯ c tin về sô phâ n hâ m hiu cu a công trình khoa hȯc mà anh gu i lần thú 3 cho Viê n hàn lâm khoa hȯc Pháp. Poisson nhâ n xét về công trình cu a Galois : Chúng tôi d ã cô gă ng d ê hiê u chú ng minh cu a Galois. Râ t tiê c, p n lâ luâ cu a tác gia không rõ ràng và nhũ ng kê t qua d ȧt d u ȯ c chu a d u d ê chúng tôi khă ng d i nh d u ȯ c tính d úng d ă n cu a công trình...tôi cho rằng tác gia nên

Vài nét về li ch su 17 biên soȧn lȧi toàn kê t qua cu a mình trong t công trình thô ng nhâ t d ê bô mô có tính thuyê t c ló n ho n. phu Tháng 3 năm 1832, di ch ta hoành hành o Paris. Galois cùng các tù nhân d u ȯ c chuyê n d ê n nhà an du õ ng Sieur Faultrier. Tȧi d ây, mô t co n gió mát tu o ng chù ng có thê làm di u d i nhũ ng d au buồn vô tâ n trong lòng ngu ò i tù tre. Galois d em lòng yêu Stephanie-Felice du Motel, con gái cu a mô t nhà vâ t lí trong vùng. Bâ t hȧnh thay, d â y là mô t mô i tình d o n phu o ng và lȧi là kho i d ầu cho bi ki ch ló n nhâ t cu a Galois. Sau khi d u ȯ c tu do vào ngày 29 tháng 4 năm 1832, Galois tiê p c theo tu d uô i cô gái nȯ, nhu ng cô luôn tìm cách tù chô i tình ca m cu a anh. Trong thò i gian này, nghe theo lò i khuyên cu a Poisson, Galois lă ng lẽ xâu chuô i lȧi nhũ ng phát minh cu a mình bằng nhũ ng trang viê t vô i vàng (Hình 6). Thê rồi, Galois lôi vào cuô c d â u súng d i nh mê nh vào ngày 30 tháng 5 năm bi 1832 vó i Perscheux d Herbinville. Nguyên nhân cu a cuô c d â u súng vâ n chu a thu c su rõ ràng nhu ng chă c chă n là có liên quan tru c tiê p d ê n Stephanie-Felice du Motel. Nhu tiên d oán d u ȯ c kê t c, d êm 29 tháng 5, Galois thú c trȯn d ê cu viê t bú c thu cuô i cùng cho ngu ò i bȧn Auguste Chevalier, tóm tă t lȧi toàn phát minh bô

18 Vài nét về li ch su Hình 6: Mô t trang ba n tha o cu a Galois cu a mình. Râ t nhiều d oȧn trong bú c thu bôi xóa nhiều lần vó i chú thích tôi bi không có d u thò i gian. Sáng hôm sau, Galois bu ó c chân d ê n d â u tru ò ng và kê t c cu tiên liê u d ã xa y ra. Cuô i ngày, mô t ngu ò i nông dân trong vùng phát hiê n Galois trȯng thu o ng nằm trên cánh d ồng và d u a anh vào bê nh viê n. Ngày 31 tháng 5 bi năm 1832, Galois trút ho i tho cuô i cùng tȧi bê nh viê n Cochin và d u ȯ c an táng tȧi

Vài nét về li ch su 19 Montparnasse 2 ngày sau d ó. Anh cu a Galois và Chavalier gu i bú c thu cùng toàn nhũ ng ba n tha o dang bô do cu a Galois cho Gauss (1777-1855, D ú c) và Jacobi nhu di chúc cu a anh. Không hiê u vì lí do gì, không có mô t pha n ú ng hoă c ý kiê n nào tù Gauss và Jacobi. May mă n là sau d ó, công trình cu a Galois d ê n d u ȯ c tay Liouville. Mu ò i mô t năm sau, Liouville d ã viê t thu thông báo cho Viê n hàn lâm Pháp về su d úng d ă n và sâu să c trong kê t qua cu a Galois ; ông d ã cho xuâ t ba n nhũ ng phát minh cu a Galois trên tȧp chí Revue Encyclopédia cu a mình vào năm 1846. Galois kê t thúc bú c thu d i nh mê nh cu a mình bằng nhũ ng dòng : Xin gu i cho Gauss và Jacobi d ê hȯ d ánh giá công khai, không pha i về tính d úng d ă n mà là tầm quan trȯng cu a nhũ ng d i nh lí này. Tôi hi vȯng u hâ thê sẽ có ngu ò i thâ y d u ȯ c su sâu să c cu a chúng cũng nhu gia i mã d u ȯ c tâ t ca nhũ ng bí â n n thò i. hiê Phát minh mà Galois d em lȧi cho khoa hȯc d ê tù d ó hâ u thê d ã, d ang và sẽ tiê p c gia i mã là lí thuyê t mang tên ông : Lí thuyê t Galois. tu

20 Chu o ng 0. KIÊ N THÚ C CHUÂ N Bİ

Chu o ng 0 KIÊ N THÚ C CHUÂ N Bİ Trong phần Kiê n thú c chuâ n bi, ta nhă c lȧi các kiê n thú c co ba n nhâ t cu a d ȧi sô d ȧi cu o ng sẽ d u ȯ c su du ng trong cuô n sách này. Chú ng minh cu a các kê t qua này dê dàng tìm thâ y trong các giáo trình d ȧi sô o Cao d ă ng và D ȧi hȯc. Các kiê n thú c sâu să c ho n về Lí thuyê t nhóm cần thiê t sẽ d u ȯ c trình bày chi tiê t trong Phần Phu lu c. D ă c biê t, viê c gia i quyê t các bài tâ p cuô i tiê t này tȧo d iều kiê n cho d ô c gia nă m tô t ho n các tính châ t và phu o ng pháp co ba n su du ng trong Lí thuyê t tru ò ng và vành d a thú c. 21

22 Chu o ng 0. KIÊ N THÚ C CHUÂ N Bİ 0.1 TRU Ò NG. D Ă C SÔ CU A TRU Ò NG. D i nh nghĩa. Tru ò ng là mô t vành giao hoán có d o n vi khác 0 và mȯi phần tu khác 0 d ều kha nghi ch. Nhâ n xét 0.1. Tru ò ng là mô t miền nguyên, d ă c biê t tru ò ng không có u ó c cu a 0. Ví du 1. Q là tru ò ng các sô hũ u tı vó i các phép toán cô ng và nhân thông thu ò ng. Tu o ng tu, ta có tru ò ng R các sô thu c và tru ò ng các sô phú c C. Ví 2. Vành thu o ng Z n = Z/nZ là mô t tru ò ng khi và chı khi n nguyên tô. du Tru ò ng Z p vó i p nguyên tô là tru ò ng hũ u hȧn có p phần tu. D i nh nghĩa. Mô t d ồng câ u tru ò ng là mô t d ồng câ u vành biê n d o n vi thành d o n vi. Tu o ng tu nhu vành, ta có khái niê m d o n câ u, toàn câ u và d ă ng câ u tru ò ng. Cho F là mô t tru ò ng. Mô t d ồng câ u (d ă ng câ u) tru ò ng tù F vào F gȯi là mô t tu d ồng câ u (tu d ă ng câ u) tru ò ng. Tâ p tâ t ca các tu d ă ng câ u tru ò ng vó i phép toán tích các ánh xȧ tȧo thành mô t nhóm, ký hiê u Aut(F ). Nhâ n xét 0.2. Mȯi d ồng câ u tru ò ng d ều là d o n câ u.

Chu o ng 0. KIÊ N THÚ C CHUÂ N Bİ 23 D i nh nghĩa. Nhâ n xét 0.3. Mô t vành con A chú a phần tu 1 cu a tru ò ng F d u ȯ c gȯi là tru ò ng con nê u A ô n d i nh vó i phép lâ y phần tu nghi ch d a o. (i) Mô t tru ò ng con cu a F là mô t tru ò ng vó i các phép toán ca m sinh. (ii) Giao cu a mô t hȯ khác rô ng các tru ò ng con là mô t tru ò ng con. Cho F là mô t tru ò ng. Xét ánh xȧ ϕ : Z F m m 1 F. Dê dàng chú ng minh rằng ϕ là mô t d ồng câ u vành. Xét Ker(ϕ), ta có các tru ò ng hȯ p sau: Ker(ϕ) 0. Do Z là miền nguyên chính, ta có Ker(ϕ) = (p) vó i p > 0 là sô nguyên du o ng nho nhâ t tho a p 1 F = 0. Rõ ràng p là mô t sô nguyên tô. Suy ra ϕ ca m sinh mô t d o n câ u tù Z p vào F, do d ó F chú a mô t tru ò ng con d ă ng câ u vó i Z p. Tru ò ng con này chú a trong tâ t ca các tru ò ng con cu a F. Sô nguyên tô p d u ȯ c gȯi là d ă c sô cu a tru ò ng F.

24 Chu o ng 0. KIÊ N THÚ C CHUÂ N Bİ Ker(ϕ) = 0, tú c là 0 là sô nguyên duy nhâ t d ê m 1 F = 0. Khi d ó ϕ mo rô ng duy nhâ t thành mô t d ồng câ u tru ò ng tù Q vào F d i nh bo i m/n ϕ(m)ϕ(n) 1. Do d ó F chú a mô t tru ò ng con d ă ng câ u vó i Q và tru ò ng con này chú a trong tâ t ca các tru ò ng con cu a F. Khi d ó ta nói F là tru ò ng có d ă c sô 0. D i nh nghĩa. Tù kê t qua trên, ta có: Cho F là mô t tru ò ng. Giao cu a tâ t ca các tru ò ng con cu a F gȯi là tru ò ng con nguyên tô cu a F. Mê nh d ề 0.4. Mô t tru ò ng d ă c sô p có tru ò ng con nguyên tô d ă ng câ u vó i Z p xác d i nh bo i m m1 F. Mô t tru ò ng d ă c sô 0 có tru ò ng con nguyên tô d ă ng câ u vó i Q xác d i nh bo i m n (m1 F )(n1 F ) 1. Nhâ n xét 0.5. Chú ý rằng chı có duy nhâ t mô t d ồng câ u tù Q hay Z p vào mô t tru ò ng cho tru ó c F và d ồng câ u d ó xác d i nh nhu trong mê nh d ề trên. Thâ t vâ y, gia su F có d ă c sô 0 và φ : Q F là mô t d ồng câ u tru ò ng. Khi d ó m N, φ(m) = φ(1 + + 1) = mφ(1) = m1 F.

Chu o ng 0. KIÊ N THÚ C CHUÂ N Bİ 25 Ho n nũ a, φ( m) = φ(m) = (m1 F ) = ( m)1 F. Hay φ(m) = m1 F, m Z. Do d ó φ(m/n) = (m1 F )(n1 F ) 1 vó i mȯi m/n Q. Tu o ng tu vó i tru ò ng hȯ p F có d ă c sô p và φ : Z p F là mô t d ồng câ u, ta luôn có φ(m) = m1 F. 0.2 VÀNH D A THÚ C Cho A là mô t vành giao hoán có d o n 1 0. Ký hiê u A[x] là vành các d a thú c vi biê n x siêu viê t có tu trong A. Mô t d a thú c hê f = a 0 + a 1 x + + a n x n A[x], a n 0 gȯi là có bâ c n, kí hiê u deg(f). Khi d ó vành A chú a trong A[x] nhu mô t vành con. Mê nh d ề 0.6 (Tính phô ng cu a vành d a thú c). Cho vành d a thú c A[x] và du R là t vành giao hoán và α R. Khi d ó mȯi d ồng câ u vành τ : A R mo mô

26 Chu o ng 0. KIÊ N THÚ C CHUÂ N Bİ ng duy nhâ t thành d ồng câ u vành ϕ tù A[x] vào R tho a rô ϕ(x) = α và ϕ(a) = τ (a), a A. Mê nh d ề 0.7. Cho f, g A[x] và g 0 có tu dâ n d ầu kha nghi ch. Khi d ó, tồn hê tȧi duy nhâ t q, r D[x] sao cho f = gq + r vó i r = 0 hay deg(r) < deg(g). D a thú c q (tu o ng ú ng r) gȯi là thu o ng (tu o ng ú ng du ) cu a phép chia (Euclide) f cho g. Vành d a thú c trên tru ò ng d óng mô t vai trò d ă c biê t quan trȯng trong Lí thuyê t mo rô ng tru ò ng và Galois. Suô t trong cuô n sách này, ta kí hiê u F là mô t tru ò ng nê u không có gia i thích khác. qua 0.8. Mȯi id êan cu a F [x] d ều là id êan chính. Ho n thê id êan (f) F [x] là Hê tô i d ȧi khi và chı khi f bâ t kha quy. Thuâ t toán Euclide cho phép ta tìm u ó c chung ló n nhâ t cu a 2 d a thú c cho tru ó c và ho n thê, cho phép ta tìm các d a thú c s, t trong qua sau: hê qua 0.9. Cho f, g F [x]. Ký u d = (f, g). Khi d ó tồn tȧi các d a thú c Hê hiê s, t F [x] sao cho sf + tg = d.

Chu o ng 0. KIÊ N THÚ C CHUÂ N Bİ 27 Vó i Maple, các thuâ t toán trên trong Q[x] d u ȯ c cho bo i các lê nh thê hiê n trong ví sau: du Su ng Maple 1. D ê du tính du và thu o ng cu a phép chia d a thú c f = x 5 + 2 x 4 + x 3 + x 1 cho g = x 3 x + 3, ta có thê dùng lê nh rem hoă c quo: > rem(x^5+2*x^4+x^3+x-1,x^3-x+3,x, q ); 7 3 x x 2 > q; x 2 + 2 x + 2 Nhu thê khi chia f cho g ta d u ȯ c thu o ng là x 2 + 2x + 2 và du là 7 3x x 2. D ê tính u ó c chung ló n nhâ t trong Q[x], ta dùng lê nh > gcdex(x^5+2*x^4+x^3+x-1,x^3-x+3,x); 1

28 Chu o ng 0. KIÊ N THÚ C CHUÂ N Bİ Lê nh trên cũng cho ta tính d u ȯ c d a thú c s, t sao cho sf + tg = d nhu ví sau du d ây. > gcdex(x^5+2*x^4+x^3+x-1,x^3-x+3,x, s, t ); 1 > s,t; 64 511 + 24 511 x 1 511 x2, 149 511 + 18 511 x2 + 79 511 x 22 511 x3 + 1 511 x4 Tính toán trong vành Z p [x], ta dùng lê nh Rem và Gcdex tu o ng ú ng. Mê nh d ề 0.10. Cho f Z[x] bâ t kha quy trên Z. Khi d ó f bâ t kha quy trên Q. D i nh nghĩa. Cho D là mô t miền nguyên Gauss. Mô t d a thú c thuô c vành D[x] gȯi là chuâ n tă c nê u hê tu dâ n d ầu cu a f bằng 1. Mê nh d ề 0.11. Cho f Z[x] là mô t d a thú c chuâ n tă c. Nê u g Q[x] là mô t u ó c chuâ n tă c cu a f trong Q[x] thì g Z[x]. Chú ng minh. Xem BT 0. 14.

Chu o ng 0. KIÊ N THÚ C CHUÂ N Bİ 29 Mê nh d ề 0.12 (Tiêu chuâ n bâ t kha quy cu a Eisenstein). Cho f = a n x n + + a 0 Z[x]. Nê u tồn tȧi mô t sô nguyên tô p sao cho: p a n, p a i, i = 0,..., n 1 và p 2 a 0 thì f bâ t kha quy trong Q[x]. Mê nh d ề 0.13. Cho f = a 0 + + a n x n (r, s) = 1, là nghiê m cu a f thì r a 0 và s a n. Q[x]. Nê u phần tu r s Q, vó i Su du ng Maple 2. Maple có thê tìm dȧng nhân tu hóa cu a mô t d a thú c khác 0 bâ t kỳ trong Q[x] hay Z p [x] bằng lê nh factor hay Factor. > factor(2*x^4+4*x^3+11*x^2+2*x+5); (2 x 2 + 1) (x 2 + 2 x + 5) > Factor(2*x^4+4*x^3+11*x^2+2*x+5) mod 13; 2 (x + 4) (x 2 + 7) (x + 11) Xét vành thu o ng Z m. Toàn câ u chính tă c Z Z m mo rô ng tầm thu ò ng thành toàn câ u vành Z[x] Z m [x] biê n f = a n x n + +a 0 thành f := a n x n + +a 0.

30 Chu o ng 0. KIÊ N THÚ C CHUÂ N Bİ Mê nh d ề 0.14. Cho f Z[x]. Nê u tồn tȧi mô t sô nguyên tô p không chia hê t hê tu cao nhâ t cu a f và f bâ t kha quy trong Z p [x] thì f bâ t kha quy trong Q[x]. Chú ng minh. Xem Bài tâ p 0. 8. Chú ý rằng, mê nh d ề trên chı cho mô t d iều kiê n d u. Có nhũ ng d a thú c bâ t kha quy trong Q[x] nhu ng a nh cu a nó trong Z p [x] là kha quy vó i mȯi sô nguyên tô p, xem Bài tâ p 0. 6. 0.3 T SÔ NHÓM HŨ U HȦN MÔ Câ p cu a mô t nhóm (nhân) hũ u hȧn G là sô phần tu cu a nhóm, kí hiê u (G : 1) hay G. Câ p cu a mô t phần tu a G là câ p cu a nhóm con cyclic sinh ra bo i a. Ta gió i thiê u mô t sô nhóm hũ u hȧn quan trȯng sẽ gă p trong nô i dung cu a cuô n sách này. a) Nhóm dihedral D 2n Nhóm dihedral D 2n còn gȯi là nhóm các phép d ô i xú ng cu a d a giác d ều n cȧnh P n, tú c là nhóm các phép biê n d ô i d ă ng cu cu a mă t phă ng biê n P n thành chính nó. Gȯi σ là phép quay có tâm là tâm cu a P n và góc quay là 2π/n (góc d i nh hu ó ng).

Chu o ng 0. KIÊ N THÚ C CHUÂ N Bİ 31 Rõ ràng σ có câ p n. Gȯi τ là phép d ô i xú ng c vó i c d ô i xú ng d i qua mô t d ı nh tru tru chȯn tru ó c cu a P n. Câ p cu a τ bằng 2. Khi d ó D 2n = {τ i σ j i = 0, 1 ; j = 1,..., n} có câ p bằng 2n. Dê dàng chı ra rằng D 2n =< σ, τ σ n = τ 2 = 1, στ = τ σ 1 >. b) Nhóm d ô i xú ng S n Nhóm d ô i xú ng S n là nhóm các phép hoán n phần tu cu a tâ p vi Ω = {1,..., n}, có câ p bằng n!. Mô i phần tu cu a S n gȯi là mô t phép thê. Nhóm d ô i xú ng S n vó i n 3 là mô t nhóm không giao hoán. Mô t vòng xích σ = (a 1 a 2... a m ) gồm các sô tu nhiên phân biê t cu a Ω biê u diê n mô t phép thê cu a S n d i nh bo i σ(a i ) = a i+1 vó i 1 i m 1, σ(a m ) = a 1 và giũ nguyên các phần tu còn lȧi cu a Ω. Vòng xích σ gȯi là có dài m nê u nó chú a m phần tu. Hai vòng xích gȯi là d ô c d ô lâ p nê u chúng không có phần tu chung. Tích cu a 2 vòng xích d ô c lâ p có tính giao

32 Chu o ng 0. KIÊ N THÚ C CHUÂ N Bİ hoán. Có thê chú ng minh dê dàng kê t qua sau. Mê nh d ề 0.15. Mȯi phép thê d ều có thê biê u diê n mô t cách duy nhâ t (sai khác thú tu ) du ó i dȧng tích cu a các vòng xích d ô c lâ p. Biê u diê n này d u ȯ c gȯi là biê u diê n vòng xích cu a phép thê. Ví du 3. Trong S 12, cho phép thê σ d i nh bo i: Ta có σ = (1 12 8 10 4)(5 11 7)(6 9). σ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12 2 3 1 11 9 5 10 6 4 7 8 Khi d u ȯ c biê u diê n bằng tích cu a các vòng xích d ô c lâ p, nghi ch d a o cu a phép thê d u ȯ c xác d i nh mô t cách dê dàng bằng cách viê t d a o ngu ȯ c các phần tu trong các vòng xích d ô c lâ p cu a nó. Ví du, vó i phép thê σ o trên, ta có σ 1 = (4 10 8 12 1)(7 11 5)(6 9). Ta cũng dê dàng chú ng minh d u ȯ c kê t qua sau. Mê nh d ề 0.16. Câ p cu a phép thê σ bằng bô i chung nho nhâ t cu a d ô dài cu a các vòng xích trong biê u diê n vòng xích cu a σ.

Chu o ng 0. KIÊ N THÚ C CHUÂ N Bİ 33 Chú ng minh. Xem Bài tâ p 0. 16. Mô t vòng xích có dài bằng 2 gȯi là mô t phép chuyê d ô n trí. Mȯi vòng xích d ều d u ȯ c biê u diê n (không duy nhâ t) bằng tích cu a các phép chuyê n trí, chă ng hȧn : σ = (a 1 a 2... a m ) = (a 1 a m ) (a 1 a 3 )(a 1 a 2 ). (1) Tù d ó suy ra : Mê nh d ề 0.17. Mȯi phép thê d ều biê u diê n d u ȯ c du ó i dȧng tích cu a các phép chuyê n trí. Nhu thê tâ p hȯ p T tâ t ca các phép chuyê n trí cu a S n sinh ra S n. Kê t qua sau cũng d u ȯ c su ng sau này. du Mê nh d ề 0.18. Nhóm d ô i xú ng S n d u ȯ c sinh bo i vòng xích (1 2... n) và phép chuyê n trí (1 2). Chú ng minh. Cho c = (1 2... n) và t = (1 2). Gȯi G là nhóm con sinh bo i t và c. Khi d ó G chú a phần tu c tc 1 = (2 3), nên chú a c(2 3)c 1 = (3 4),...

34 Chu o ng 0. KIÊ N THÚ C CHUÂ N Bİ và do d ó chú a các phép chuyê n trí dȧng (m m + 1). Suy ra G chú a các phần tu (1 2)(2 3)(1 2) = (1 3) ; (1 3)(3 4)(1 3) = (1 4) ;... nhu thê G chú a các phép chuyê n trí dȧng (1 m). Do d ó G chú a các phần tu dȧng (1 m)(1 r)(1 m) = (m r) vó i mȯi m, r {1,..., n}. Tâ t ca các phép chuyê n trí sinh ra S n nhu d ã thâ y o mê nh d ề trên. Do d ó G = S n. Ta nhă c lȧi khái niê m dâ u cu a phép thê và gió i thiê u nhóm thay phiên A n. D ă t n = 1 i<j n (x i x j ). Vó i σ S n, tác d ô ng cu a σ trên n d i nh bo i: σ( n ) = ( ) xσ(i) x σ(j). 1 i<j n Do σ là mô t song ánh, mô i nhân tu (x i x j ) cu a n xuâ t hiê n d úng mô t lần vó i dâ u + hay trong σ( n ). Nhu thê, ta có σ( n ) = ± n.

Chu o ng 0. KIÊ N THÚ C CHUÂ N Bİ 35 D ă t sign(σ) = σ( n) {±1} n gȯi là dâ u cu a phép thê σ. Phép thê σ gȯi là phép thê chă n nê u sign(σ) = 1, là phép thê le D i nh nghĩa. nê u sign(σ) = 1. Mê nh d ề 0.19. Ánh xȧ sign : S n {±1} là mô t toàn câ u nhóm. Chú ng minh. Ta có ( xτ σ(i) x τ σ(j) ) ( xσ(i) x σ(j) ) sign(τ σ) = 1 i<j n 1 i<j n ( xσ(i) σ(j) ) = sign(τ ) sign(σ). 1 i<j n 1 i<j n (x i x i ) Dê thâ y rằng sign là mô t toàn ánh vì a nh cu a phép chuyê n trí (1 2) bằng 1. Nhu thê sign là mô t toàn câ u nhóm. qua 0.20. p hȯ p tâ t ca các phép thê chă n trong S n là t nhóm con chuâ Hê Tâ mô n tă c cu a S n có chı sô bằng 2, gȯi là nhóm thay phiên (trên n phần tu ), kí u A n. hiê

36 Chu o ng 0. KIÊ N THÚ C CHUÂ N Bİ Ví 4. Ta tính dâ u cu a phép chuyê du n trí tùy ý (i j). Ta d ã biê t phép chuyê n trí (1 2) là mô t phép thê le. Gȯi τ = (1 i)(2 j) là phép thê hoán 1 cho i và 2 cho j. vi Khi d ó ta có (i j) = τ (1 2)τ. Vì sign là d ồng câ u nhóm, ta có sign(i j) = ( 1) sign(τ ) 2 = 1. Vâ y phép chuyê n trí là phép thê le. Mê nh d ề 0.21. t vòng xích dài m là phép thê le khi và chı khi m là sô chă n. Mô d ô Suy ra, t phép thê σ là le khi và chı khi sô các vòng xích dài chă n trong biê mô d ô u diê n vòng xích cu a σ là t sô le. mô Chú ng minh. Mô t vòng xích dài m có thê d ô biê u diê n nhu tích cu a m 1 phép chuyê n trí (xem (1)). Do mô i phép chuyê n trí là le, suy ra d iều pha i chú ng minh. c) Nhóm quaternion Nhóm quaternion Q 8 là nhóm có 8 phần tu, xác d i nh nhu sau. Cho Q 8 = {1, 1, i, i, j, j, k, k}, vó i phép nhân d i nh bo i:

Chu o ng 0. KIÊ N THÚ C CHUÂ N Bİ 37 1a = a1 = a vó i mȯi a Q 8 ; ( 1)( 1) = 1 ; ( 1)a = a( 1) = a vó i mȯi a Q 8 ; ii = jj = kk = 1 ; ij = k ; ji = k ; jk = i ; kj = i ; ki = j ; ik = j. Dê dàng kiê m tra tâ t ca các tiên d ề cu a nhóm d ều tho a mãn. 0.4 HÀM EULER Ta nhă c lȧi khái niê m hàm Euler và mô t sô tính châ t quan trȯng cu a nó. Phần chú ng minh các tính châ t này d u ȯ c thu c hiê n trong phần Bài tâ p.

38 Chu o ng 0. KIÊ N THÚ C CHUÂ N Bİ Hàm Euler ϕ là mô t ánh xȧ tù N vào N d i nh bo i D i nh nghĩa. ϕ(n) = #{m N m n, (m, n) = 1}. Nghĩa là ϕ(n) là sô các sô tu nhiên không ló n ho n n và nguyên tô cùng nhau vó i n. Mô t sô tính châ t cu a hàm Euler d u ȯ c phát biê u trong mê nh d ề sau. Mê nh d ề 0.22. Kí u ϕ là hàm Euler. Khi d ó: hiê (i) ϕ(p) = p 1 vó i p là sô nguyên tô ; (ii) ϕ(p m ) = (p 1)p m 1 ; (iii) ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b) vó i mȯi (a, b) = 1 ; (iv) Nê u a = p m 1 1 p m r r thì ϕ(a) = a(1 1 p 1 ) (1 1 p r ) ; (v) d nϕ(d) = n.

Chu o ng 0. KIÊ N THÚ C CHUÂ N Bİ 39 Chú ng minh. Xem Bài tâ p 0. 17. Bài p tâ 0. 1. Chȯn d úng (D ), sai (S) cho các mê nh d ề sau: a) Hai d a thú c bâ t kỳ cu a F [x] d ều tồn tȧi u ó c chung ló n nhâ t. b) Tu o ng ú ng tù F [x] vào Z cho bo i f deg(f) là mô t d ồng câ u vành. c) Mȯi tru ò ng d ều d ă ng câ u vó i tru ò ng các thu o ng cu a nó. d) Vành Z n là mô t miền nguyên khi và chı khi nó là mô t tru ò ng. e) Mȯi d a thú c trên tru ò ng F d ều có mô t nghiê m trong F. f) Mȯi d a thú c bâ t kha quy trên Q d ều bâ t kha quy trên Z. g) Mȯi d a thú c bâ t kha quy trên Q thì bâ t kha quy trên R. h) Có vô hȧn các d a thú c bâ t kha quy bâ c n trên Q (trên R, trên C). i) Nhũ ng d a thú c nguyên tô cùng nhau thì có bâ c khác nhau. (Xem HD 250)

40 Chu o ng 0. KIÊ N THÚ C CHUÂ N Bİ 0. 2. Cho F là tru ò ng có d ă c sô p > 0. Xét ánh xȧ ϕ : F F a a p. gȯi là ánh xȧ Frobenius. Chú ng minh rằng ϕ là mô t d ồng câ u tru ò ng. Suy ra nê u F là tru ò ng hũ u hȧn thì ϕ là mô t tu d ă ng câ u. (Xem HD 250) 0. 3. Cho D là miền nguyên và F D là tru ò ng các thu o ng cu a nó. Cho K là mô t tru ò ng và τ : D K là mô t d o n câ u vành. Chú ng minh rằng tồn tȧi duy nhâ t mô t d ồng câ u tru ò ng ϕ : F D K sao cho ϕ(a) = τ (a), a D. Suy ra tính duy nhâ t cu a tru ò ng các thu o ng cu a D. (Xem HD 250) 0. 4. Xác d i nh các tu d ồng câ u cu a tru ò ng các sô hũ u ty. Tu o ng tu, xác d i nh các tu d ồng câ u cu a Z p ; suy ra công thú c Fermat a p a mod p vói mȯi a Z. (Xem HD 251) 0. 5. Chú ng minh rằng mô t tru ò ng F có d ă c sô 0 (tu o ng ú ng p nguyên tô ) khi và chı khi tồn tȧi mô t d ồng câ u (d o n câ u) tru ò ng tù Q (tu o ng ú ng Z p ) vào F. Ho n nũ a, d ồng câ u tru ò ng d ó là duy nhâ t.

Chu o ng 0. KIÊ N THÚ C CHUÂ N Bİ 41 (Xem HD 252) 0. 6. Cho f = x 4 10x 2 + 1 Z[x]. Chú ng minh rằng f bâ t kha quy trên Z nhu ng kha quy khi xét nhu mô t d a thú c trong Z p [x] vó i mȯi p nguyên tô. (Xem HD 252) 0. 7. Chú ng minh qua 0.8. (Xem HD 252) Hê 0. 8. Chú ng minh Mê nh d ề 0.14. (Xem HD 253) 0. 9. Tìm d = (f, g) vó i f, g Z 11 [x] cho bo i f = x 5 +2x 4 +3x 3 +3x 2 5x+2, g = 2x 3 + 7x 2 + 5x 2. Tìm s, t Z 11 [x] sao cho sf + tg = d. Nên su ng Maple. du (Xem HD 253) 0. 10. Chú ng minh dȧng tô ng quát cu a MD. 0.10: cho D là miền nguyên Gauss và F D là tru ò ng các thu o ng cu a D. Nê u f D[x] bâ t kha quy trên D thì bâ t kha quy trên F D. (Xem HD 253) 0. 11. Xác d i nh tính bâ t kha quy cu a các d a thú c sau d ây. Trong tru ò ng hȯ p kha quy, tìm dȧng nhân tu hóa cu a d a thú c trên tru ò ng chı ra.

42 Chu o ng 0. KIÊ N THÚ C CHUÂ N Bİ a) x 4 + 1 trên Q. b) x 4 + 1 trên R. c) x 7 + 11x 3 33x + 22 trên Q. d) x 4 + x 3 + x 2 + x + 1 trên Q. e) x 3 7x 2 + 3x + 3 trên Q. f) x 4 + 15x 3 + 7 trên Q. g) x 4 + 7 trên Z 17. h) x 3 5 trên Z 11. (Xem HD 253) 0. 12. Tìm nghiê m cu a các d a thú c sau d ây (tru ó c tiên trong Q sau d ó trong R, C). a) x 3 + 1. b) x 3 6x 2 + 11x 6. c) x 5 + x + 1. d) x 2 + 1. e) x 4 + x 3 + x 2 + x + 1. f) x 4 6x 2 + 11. (Xem HD 254) 0. 13. Tìm tâ t ca các d a thú c chuâ n tă c x 2 + bx + c Z 5 [x]. D a thú c nào bâ t kha quy? Trong mô i tru ò ng hȯ p, tính := b 2 4c. Du d oán và chú ng minh tiêu chuâ n bâ t kha quy theo. (Xem HD 254) 0. 14. Chú ng minh Mê nh d ề 0.11. (Xem HD 254)

Chu o ng 0. KIÊ N THÚ C CHUÂ N Bİ 43 0. 15. Cho p là mô t sô nguyên tô. Chú ng minh rằng trong Z p [x] có d úng p2 p d a 2 thú c chuâ n tă c bâ t kha quy bâ c 2. (Xem HD 255) 0. 16. Chú ng minh Mê nh d ề 0.16 bằng cách chú ng minh các khă ng d i nh sau. Nê u σ = (a 1 a 2... a m ) thì vó i mȯi i {1, 2,..., m}, ta có σ i (a k ) = a k+i vó i k + i d u ȯ c lâ y thă ng du theo modulo m. Trong mô t nhóm nhân G, cho a, b là 2 phần tu giao hoán d u ȯ c, khi d ó (ab) n = a n b n vó i mȯi n Z. 0. 17. Cho ϕ là hàm Euler. Chú ng minh rằng a) nê u q n thì ϕ(qn) = qϕ(n) ; b) nê u (p, n) = 1 và p nguyên tô thì ϕ(pn) = (p 1)ϕ(n) ; c) suy ra nê u p nguyên tô và (p, n) = 1 thì ϕ(p m n) = (p 1)p m 1 ϕ(n) ; d) suy ra ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b), (a, b) = 1 ;

44 Chu o ng 0. KIÊ N THÚ C CHUÂ N Bİ e) d nϕ(d) = n. (Xem HD 255) * 0. 18. Cho F là mô t tru ò ng. Chú ng minh rằng mȯi nhóm con hũ u hȧn cu a nhóm nhân F = F {0} là mô t nhóm cyclic. Suy ra nê u F là tru ò ng hũ u hȧn thì F là nhóm cyclic. (Xem HD 256) * 0. 19. Xác d i nh tâ p các tu d ồng câ u cu a tru ò ng R. (Xem HD 257)

Chu o ng 1 MO RÔ NG TRU Ò NG 1 MO RÔ NG TRU Ò NG. BÂ C CU A MO RÔ NG TRU Ò NG 1.1 MO RÔ NG TRU Ò NG D i nh nghĩa. Cho tru ò ng K và F là mô t tru ò ng con cu a K. Khi d ó F K gȯi là mô t mo rô ng tru ò ng và K d u ȯ c gȯi là mô t mo rô ng (tru ò ng) cu a F. Mô t mo rô ng tru ò ng F K còn d u ȯ c kí hiê u là K : F hay K/F. 45

46 Chu o ng 1. MO RÔ NG TRU Ò NG Nhâ n xét 1.1. (i) Mȯi tru ò ng d ều là mo rô ng cu a tru ò ng con nguyên tô cu a nó. (ii) Cho K : F là mô t mo rô ng tru ò ng. Khi d ó tru ò ng con nguyên tô cu a chúng trùng nhau. Ví 5. Q R, Q C, R C là các mo rô ng tru ò ng. du Ví 6. Cho F là mô t tru ò ng và F (x) là tru ò ng các phân thú c hũ u ty biê n x siêu du viê t trên F. D ồng nhâ t F vó i các phân thú c hằng, ta có F F (x) là mô t mo rô ng tru ò ng. D i nh nghĩa. Cho K : F và L : F là các mo rô ng tru ò ng cu a F. Mô t d ồng câ u (d ă ng câ u) tru ò ng ϕ : K L tho a ϕ(a) = a, a F gȯi là F -d ồng câ u (F -d ă ng câ u). Mo rô ng K : F d u ȯ c gȯi là F -d ă ng câ u vó i mo rô ng L : F nê u tồn tȧi mô t F -d ă ng câ u tù K vào L, kí hiê u K = F L. Nê u K = L thì các F -d ồng câ u (F -d ă ng câ u) gȯi là F -tu d ồng câ u (F -tu d ă ng câ u). Tô ng quát ho n, ta có:

1. Mo rô ng tru ò ng. Bâ c cu a mo rô ng tru ò ng 47 D i nh nghĩa. D i nh nghĩa. Cho F K và E L là các mo rô ng tru ò ng, cho τ : F E là mô t d ồng câ u (d ă ng câ u) tru ò ng. D ồng câ u (d ă ng câ u) ϕ : K L gȯi là mô t mo rô ng cu a τ nê u ϕ(a) = τ (a), a F. Mo rô ng F K gȯi là d ă ng câ u vó i mo rô ng E L nê u tồn tȧi các d ă ng câ u i : F E và mô t mo rô ng cu a nó j : K L, nghĩa là j(a) = i(a), a F. n xét 1.2. Quan d ă Nhâ hê ng câ u cu a các mo rô ng tru ò ng là mô t quan tu o ng hê d u o ng. D ă c biê t, quan hê = F là mô t quan tu o ng d u o ng. hê Mê nh d ề 1.3. Cho K : F và L : F là các mo ng tru ò ng, cho ϕ : K L là t rô mô F -d ồng câ u. Cho α K là t m cu a f F [x]. Khi d ó ϕ(α) L là t mô nghiê mô m cu a f. nghiê Chú ng minh. Gȯi f = a n x n + + a 0. Ta có f(α) = a n α n + + a 0 = 0.

48 Chu o ng 1. MO RÔ NG TRU Ò NG Suy ra 0 = ϕ(f(α)) = a n ϕ(α) n + + a 0 = f(ϕ(α)). Nghĩa là ϕ(α) là mô t nghiê m cu a f. Ta có dȧng tô ng quát cu a mê nh d ề trên, xem Bài tâ p 1. 8. 1.2 BÂ C CU A MO RÔ NG TRU Ò NG Cho K : F là mô t mo rô ngtru ò ng. Khi d ó K có câ u trúc cu a mô t không gian véc to trên F vó i phép nhân vô hu ó ng là phép nhân trên K. Mô t co so cu a F không gian véc to K cũng d u ȯ c gȯi là co so cu a mo rô ng tru ò ng K : F. Bâ c cu a mo rô ng tru ò ng K : F là chiều cu a F không gian véc to K, kí hiê u [K : F ]. Nê u [K : F ] hũ u hȧn thì ta gȯi K : F là mô t D i nh nghĩa. mo rô ng hũ u hȧn. Nê u mo rô ng K : F không hũ u hȧn thì gȯi là mo rô ng vô hȧn. Ví du 7. Xét mo rô ng tru ò ng C : R. Ta biê t mȯi phần tu cu a C d u ȯ c viê t mô t cách duy nhâ t du ó i dȧng a + bi vó i a, b R. Do d ó {1, i} là mô t co so cu a C : R. Suy ra [C : R] = 2.

1. Mo rô ng tru ò ng. Bâ c cu a mo rô ng tru ò ng 49 Ví 8. Các mo rô ng tru ò ng R/Q, C/Q, K(x)/K là các mo rô ng vô hȧn. du n xét 1.4. Bâ c cu a mo rô ng F K bằng 1 khi và chı khi F = K. Nói cách Nhâ khác bâ c cu a mo rô ng tru ò ng bằng 1 khi và chı khi mo rô ng là tầm thu ò ng. Thâ t vâ y, nê u K = F.α thì 1 = aα, kéo theo α = a 1 F. Do d ó F = K. D i nh lí 1.5. Cho K : F và L : K là các mo ng tru ò ng. Khi d ó L : F là t mo rô mô ng tru ò ng và rô [L : F ] = [L : K][K : F ]. Ho n thê nê u {e i } i I và {f j } j J lần lu ȯ t là co so cu a K : F và L : K thì {e i f j } i I,j J là t co so cu a L : F. mô Chú ng minh. Kí hiê u E = {e i } i I, S = {f j } j J và ES = {e i f j } i I,j J. Cho u L. Khi d ó u = a j f j vó i a j K. Do a j biê u tuyê n tính qua E nên thay a j trong biê thi u diê n cu a u bo i các tô hȯ p tuyê n tính cu a S, ta có biê u diê n tuyê n tính cu a u qua ES. Do d ó ES là sinh cu a không gian véc to L trên F. hê Ta chú ng minh rằng ES d ô c lâ p tuyê n tính. Xét mô t tô hȯ p tuyê n tính trong L cho bo i i,j a ije i f j = 0 vó i a ij F. Ta viê t j ( i a ije i )f j = 0 nhu mô t quan hê

50 Chu o ng 1. MO RÔ NG TRU Ò NG tuyê n tính tầm thu ò ng cu a S. Do S d ô c lâ p tuyê n tính, ta có i a ije i = 0 vó i mȯi j. Mă t khác, do E d ô c lâ p tuyê n tính, ta có a ij = 0 vó i mȯi i, j. Vâ y ES d ô c lâ p tuyê n tính. n xét 1.6. D i nh lý trên cho thâ y rằng L : F là mo rô ng hũ u hȧn khi và chı Nhâ khi L : K và K : F là các mo rô ng hũ u hȧn. Bài p tâ 1. 1. Trong các tru ò ng hȯ p sau, d âu là mo rô ng tru ò ng? a) Q A := {a + b 2 a, b Q} ; b) Q B := {a + b α a, b Q} vó i α N ; c) Q C := {a + b 3 2 a, b Q} ; d) Q D := {a + bi a, b Q}? (Xem HD 257) 1. 2. Xác d i nh bâ c cu a các mo rô ng tru ò ng tìm d u ȯ c trong bài tâ p trên. 257) (Xem HD

1. Mo rô ng tru ò ng. Bâ c cu a mo rô ng tru ò ng 51 1. 3. Chú ng minh rằng Q[ 3] := {a + b 3 a, b Q} và Q[ 5] := {a + b 5 a, b Q} d ều là các mo rô ng tru ò ng bâ c 2 cu a Q nhu ng không d ă ng câ u vó i nhau. (Xem HD 257) 1. 4. Chú ng minh rằng mo rô ng R : Q là vô hȧn. (Xem HD 258) 1. 5. Chú ng minh rằng mȯi tu d ồng câ u tru ò ng ϕ : K K d ều là P tu d ồng câ u vó i P là tru ò ng con nguyên tô cu a K. (Xem HD 258) 1. 6. Chú ng minh rằng quan hê d ă ng câ u cu a các mo rô ng tru ò ng là mô t quan hê tu o ng d u o ng. 1. 7. Cho F K là mô t mo rô ng tru ò ng. Mô t tru ò ng E tho a F E K d u ȯ c gȯi là tru ò ng trung gian cu a mo rô ng F K. Chú ng minh rằng mȯi mo rô ng tru ò ng bâ c nguyên tô không có tru ò ng trung gian nào khác F và K. (Xem HD 258) 1. 8. a) Cho τ : F E là mô t d ồng câ u tru ò ng. Khi d ó τ mo rô ng thành mô t d o n

52 Chu o ng 1. MO RÔ NG TRU Ò NG câ u vành τ : F [x] E[x] d i nh bo i: τ (a 0 + + a n x n ) = τ (a 0 ) + + τ (a n )x n. D ă c biê t, chı ra rằng nê u τ là d ă ng câ u tru ò ng thì τ là d ă ng câ u vành và khi d ó, nê u f F [x] bâ t kha quy trên F thì τ (f) bâ t kha quy trên E. D ê d o n gia n, ta thu ò ng viê t τ f thay cho τ (f). b) Cho F K và E L là các mo rô ng tru ò ng; cho τ : F E là mô t d ồng câ u tru ò ng và ϕ : K L là mô t mo rô ng cu a τ. Chú ng minh rằng nê u α K là nghiê m cu a f F [x] thì ϕ(α) L là nghiê m cu a τ f. (Xem HD 258)

2. Mo rô ng d o n 53 2 MO NG D O N RÔ 2.1 VÀNH CON VÀ TRU Ò NG CON SINH RA BO I T P MÔ TÂ Cho K là mô t tru ò ng và S là mô t tâ p con cu a K. Giao cu a tâ t ca các vành con (tru ò ng con) cu a K chú a S là mô t vành con (tru ò ng D i nh nghĩa. con) cu a K, gȯi là vành con (tru ò ng con) sinh ra bo i S. Vành con (tru ò ng con) sinh ra bo i S là vành con (tru ò ng con) nho nhâ t cu a K chú a S. Cho F K là mô t mo rô ng tru ò ng, cho S là mô t tâ p con cu a K. Vành con (tru ò ng con) sinh ra bo i F S trong K d u ȯ c gȯi là vành D i nh nghĩa. con (tru ò ng con) sinh ra bo i S trên F, kí hiê u F [S] ( tu o ng ú ng F (S) ). Nê u S = {s 1,..., s n } thì ta kí hiê u F [s 1,..., s n ] cho F [S]. Tu o ng tu kí hiê u F (s 1,..., s n ) cho F (S). n xét 2.1. Nhâ (i) Ta có F (s 1,..., s n ) = F (s 1,..., s n 1 )(s n ), n 2.

54 Chu o ng 1. MO RÔ NG TRU Ò NG (ii) Nê u S F, d ă c biê t khi S = thì F [S] = F (S) = F. Trong tru ò ng hȯ p S ta có kê t qua sau: Mê nh d ề 2.2. Cho mo ng tru ò ng F K và = S là t p con cu a K. Khi d ó { rô mô tâ } (i) F [S] = a i1 i n s i 1 1 s i n n a i1 i n F, s j S, n N vó i quy u ó c hũ u hȧn s 0 = 1, s S ; { f (ii) F (S) = g := fg 1 f, g F [S], g 0}. Nói cách khác, p F (S) là tâ tru ò ng các thu o ng cu a F [S]. Chú ng minh. (i) D ă t { E = hũ u hȧn a i1 i n s i 1 1 s i n n } a i1 i n F, s j S, n N. Ta chú ng minh rằng E là vành con nho nhâ t chú a F S. Rõ ràng F E do quy u ó c trên. Tâ p E là mô t vành con vì nó là mô t nhóm con và d óng kín vó i phép nhân. Cuô i cùng mȯi vành con cu a K chú a F S d ều chú a các phần tu cu a E.

2. Mo rô ng d o n 55 (ii) Hiê n nhiên do tính nho nhâ t cu a tru ò ng các thu o ng. Ví du 9. C = R[i] = R(i). Tu o ng tu, ta có Q[ 2] = Q( 2). 2.2 CÂ U TRÚC CU A MO NG D O N RÔ Mo rô ng tru ò ng F K gȯi là mo rô ng d o n nê u tồn tȧi α K sao cho K = F (α). Phần tu α gȯi là phần tu nguyên thu y cu a D i nh nghĩa. mo rô ng d o n. Chú ý rằng mô t mo rô ng d o n có thê có nhiều phần tu nguyên thu y khác nhau. Ví 10. Các mo rô ng R C, Q Q(π), Q Q(i), F F (x) là các mo rô ng du d o n. Cho K : F là mo rô ng tru ò ng. Phần tu u K d u ȯ c gȯi là d ȧi sô trên F nê u nó là nghiê m cu a mô t d a thú c f khác 0 trong F [x]. D i nh nghĩa. Mô t phần tu u K không d ȧi sô trên F d u ȯ c gȯi là siêu viê t trên F.

56 Chu o ng 1. MO RÔ NG TRU Ò NG D i nh nghĩa. Mo rô ng K : F d u ȯ c gȯi là mo rô ng d ȧi sô nê u mȯi phần tu cu a K d ều d ȧi sô trên F. Ví du 11. Các phần tu i, 2, 2 + 3 5 d ều d ȧi sô trên Q. Nhâ n xét 2.3. Năm 1844, Liouville (1809-1882, Pháp) chú ng minh su tồn tȧi cu a sô siêu viê t (trên Q). Năm 1873, Hermite (1822-1901, Pháp) chú ng minh sô e siêu viê t. Sau d ó, sô π siêu viê t d u ȯ c Lindemann (1852-1939, D ú c) chú ng minh năm 1882. Năm 1874, Cantor (1845-1918, Pháp) chú ng minh rằng tâ p các sô d ȧi sô trên Q là d ê m d u ȯ c và tâ p các sô thu c R là không d ê m d u ȯ c. Nhu thê, sô các sô thu c siêu viê t là nhiều ho n sô các sô thu c d ȧi sô. Tuy nhiên, nói chung, râ t khó d ê chú ng minh mô t sô thu c cu thê là siêu viê t. Năm 1934, Gel fond (1906-1968, Nga) và Schneider d ô c lâ p chú ng minh bài toán thú 7 nô i tiê ng cu a Hilbert (1862-1943), rằng các sô α β là siêu viê t, trong d ó α, β d ȧi sô trên Q, α 0, 1 và β / Q. Bây giò, chúng ta sẽ phân tích sâu ho n về câ u trúc cu a các mo rô ng d o n F (u) ú ng vó i các tru ò ng hȯ p u d ȧi sô hoă c siêu viê t trên F.

2. Mo rô ng d o n 57 Cho K : F là mô t mo rô ng tru ò ng và u K. Xét d ồng câ u vành : ϕ : F [x] F [u] f f(u). Rõ ràng ϕ là mô t toàn câ u. Xét Ker(ϕ), có 2 tru ò ng hȯ p nhu sau : Ker(ϕ) = 0. Nghĩa là u siêu viê t trên F. Khi d ó ϕ là mô t d ă ng câ u, do d ó F (x) = F (u). Ker(ϕ) 0. Nghĩa là u d ȧi sô trên F. Do F [x] là miền nguyên chính nên Ker(ϕ) = (f), vó i 0 f F [x]. Khi d ó f chính là d a thú c có bâ c nho nhâ t nhâ n u làm nghiê m. Suy ra f bâ t kha quy và do d ó Ker(ϕ) là id êan tô i d ȧi (xem 0.8). Theo d i nh lý d ồng câ u vành, ta có F [x]/ker(ϕ) = F [u]. Do F [x]/ker(ϕ) là mô t tru ò ng nên F [u] = F (u). Nhu thê, ta d ã chú ng minh kê t qua sau d ây : Mê nh d ề 2.4. Cho K : F là mô t mo rô ng tru ò ng và u K. (i) Nê u u siêu viê t trên F thì F (u) = F F (x), tru ò ng các phân thú c hũ u ty trên F.

58 Chu o ng 1. MO RÔ NG TRU Ò NG (ii) Nê u u d ȧi sô trên F thì F (u) = F [u] = F F [x]/(f) vó i f 0 là t d a thú c có c nho nhâ t n u làm m. mô bâ nhâ nghiê n xét 2.5. Cho K : F là mo rô ng tru ò ng và u K d ȧi sô trên F. Khi d ó : Nhâ (i) D a thú c 0 f F [x] có bâ c nho nhâ t nhâ n u làm nghiê m khi và chı khi f bâ t kha quy nhâ n u làm nghiê m. D iều d ó tu o ng d u o ng vó i f(u) = 0 và f chia hê t mȯi d a thú c nhâ n u làm nghiê m. (ii) Nê u f và g là 2 d a thú c cu a F [x] có bâ c nho nhâ t nhâ n u làm nghiê m thì deg(f) = deg(g) và hó n thê f g. Trong các d a thú c có bâ c nho nhâ t nhâ n u làm nghiê m, tồn tȧi duy nhâ t mô t d a thú c có tu dâ n d ầu bằng 1, d a thú c hê d ó d u ȯ c gȯi là d a thú c tô i tiê u cu a u. Bâ c cu a f d u ȯ c gȯi là c cu a u (trên F ). bâ qua 2.6. Cho K : F là t mo ng tru ò ng và u K d ȧi sô trên F có c n. Hê mô rô bâ Khi d ó mȯi phần tu cu a F (u) d u ȯ c viê t duy nhâ t du ó i dȧng a 0 + a 1 u + + a n 1 u n 1, a i F

2. Mo rô ng d o n 59 vó i mȯi i = 0,..., n 1. Nói cách khác p {1, u,, u tâ n 1 } là t co so cu a mô F (u) : F. Suy ra mo ng d o n F (u) : F là t mo ng hũ u hȧn. rô mô rô Chú ng minh. Gȯi f là d a thú c tô i tiê u cu a u. Cho α F (u). Gȯi α = b 0 + b 1 u + + b m u m. Xét g = b 0 + b 1 x + + b m x m. Tồn tȧi q, r F [x] sao cho g = fq + r vó i r = a 0 + a 1 x + + a t x t, vó i t < n. Rõ ràng α = g(u) = r(u) = a 0 + a 1 u + + a t u t. Ho n nũ a, nê u có 2 biê u diê n α = a 0 + a 1 u + + a n 1 u n 1 = c 0 + c 1 u + + c n 1 u n 1, thì chúng trùng nhau, nghĩa là a i = c i, i = 0,..., n 1. Thâ t vâ y, nê u không thì 0 = (a 0 c 0 ) + + (a n 1 c n 1 )u n 1 trái vó i gia thiê t u có bâ c n. Mȯi mo rô ng d o n d ȧi sô d ều là mo rô ng hũ u hȧn. D iều ngu ȯ c lȧi nói chung không d úng. Sau này, ta sẽ xác d i nh d iều kiê n d ê mô t mo rô ng hũ u hȧn là mo rô ng d o n d ȧi sô.

60 Chu o ng 1. MO RÔ NG TRU Ò NG qua 2.7. Cho K : F là t mo ng tru ò ng và u, v K d ȧi sô trên F. Nê u Hê mô rô u và v có cùng t d a thú c tô i tiê mô u thì tồn tȧi duy nhâ t t F -d ă mô ng câ u tru ò ng ϕ : F (u) F (v) sao cho ϕ(u) = v. Chú ng minh. Thâ t vâ y các mo rô ng d o n F (u) và F (v) d ều d ă ng câ u vó i F [x]/(f) vó i f là d a thú c tô i tiê u cu a u và v. Ta thâ y rằng, ú ng vó i mô t mo rô ng d o n d ȧi sô trên F có mô t ló p các d a thú c bâ t kha quy liên kê t vó i nhau trên F nhâ n u làm nghiê m. Ngu ȯ c lȧi, ta chú ng minh rằng : Mê nh d ề 2.8. Cho F là t tru ò ng và f F [x] là t d a thú c bâ t kha quy. Khi mô mô d ó tồn tȧi t mo ng d o n d ȧi sô F (α) : F sao cho α là t m cu a f. mô rô mô nghiê Chú ng minh. D ă t K := F [x]/(f). Theo (0.8), nhâ t a F vó i a K, ta có K : F là mô t mo rô ng tru ò ng. D ă t α = x. Rõ ràng f(α) = f = 0 và K = F (α).

2. Mo rô ng d o n 61 Bài p tâ 2. 1. Xác d i nh tính d úng, sai cho các mê nh d ề sau : a) Mȯi tru ò ng d ều có mô t mo rô ng không tầm thu ò ng. b) Mȯi tru ò ng d ều có mô t mo rô ng d ȧi sô không tầm thu ò ng. c) Mȯi mo rô ng d o n d ều là mo rô ng d ȧi sô. d) Mȯi mo rô ng tru ò ng d ều là mo rô ng d o n. e) Mȯi mo rô ng d o n d ȧi sô d ều d ă ng câ u. f) Mȯi mo rô ng d o n siêu viê t cu a mô t tru ò ng cho tru ó c d ều d ă ng câ u. g) Mȯi d a thú c tô i tiê u d ều bâ t kha quy. h) Mȯi d a thú c bâ t kha quy thuô c F [x] nhâ n u K F làm nghiê m d ều có cùng bâ c. i) Mȯi d a thú c bâ t kha quy thuô c F [x] nhâ n u K F làm nghiê m d ều là d a thú c tô i tiê u cu a u.

62 Chu o ng 1. MO RÔ NG TRU Ò NG j) Bâ c cu a d a thú c bâ t kha quy thuô c F [x] nhâ n u K F làm nghiê m gȯi là bâ c cu a u. (Xem HD 258) 2. 2. Cho K = Q[α] vó i α C là nghiê m cu a d a thú c x 3 x 2 + x + 2. Biê u diê n các phần tu (α 2 + α + 1)(α 2 α) và (α 1) 1 cu a K nhu các d a thú c theo α có bâ c không quá 2. (Xem HD 258) 2. 3. Mô ta các mo rô ng d o n F (α) vó i α là mô t nghiê m cu a các d a thú c sau trên tru ò ng chı ra : a) x 2 5 Q[x] ; b) x 4 + x 3 + x 2 + x + 1 Q[x] ; c) x 2 + x + 1 Z 2 [x] ; d) x 3 + 2 Q[x]. (Xem HD 259) 2. 4. Cho K : F là mô t mo rô ng hũ u hȧn và f F [x] là mô t d a thú c bâ t kha quy có deg(f) > 1. Chú ng minh rằng nê u [K : F ] và deg(f) nguyên tô cùng nhau thì f không có nghiê m trong K. (Xem HD 259)

2. Mo rô ng d o n 63 2. 5. Cho K : F là mô t mo rô ng tru ò ng và [K : F ] = n. Cho f F [x] là d a thú c bâ t kha quy bâ c m tho a (m, n) = 1. Chú ng minh rằng f bâ t kha quy trên K. (Xem HD 259) 2. 6. Xác d i nh bâ c và chı ra mô t co so cu a các mo rô ng tru ò ng : a) Q Q( 2, i) ; b) Q Q( 3 5, 2) ; c) Q Q( 18, 3 2) ; d) Q Q( 27, 3 + 12) ; e) Q Q( 18, 4 2) ; f) Q Q(u, 3 2) vó i u là nghiê m cu a x 4 + 6x 2 + 3. (Xem HD 260) 2. 7. Xác d i nh tâ t ca tu d ồng câ u cu a các tru ò ng Q(i), Q( 3 2). (Xem HD 260) 2. 8. Chú ng minh rằng Q( a, b) = Q( a + b), a, b N. (Xem HD 260) 2. 9. Biê u diê n các tru ò ng con sau cu a Z 2 (x) : a) Z 2 (x 2 ) ; b) Z 2 (x + 1). (Xem HD 260)

64 Chu o ng 1. MO RÔ NG TRU Ò NG 2. 10. Tìm d a thú c tô i tiê u cu a các phần tu sau d ây trên tru ò ng chı ra : 5 + 1 a) trên Q ; 2 b) i 3 1 trên Q ; 2 c) α Z 3 (t)(α) vó i α tho a α 2 = t + 1 trên Z 3 (t) ; d) 4 5 + 5 trên Q ; e) 3 2 + 3 4 trên Q ; f) u 2 + u vó i u là nghiê m cu a x 3 + 3x 2 3 ; g) ξ + ξ 6 vó i ξ = e 2πi/7 trên Q ; h) ξ + ξ 2 + ξ 4 vó i ξ = e 2πi/7 trên Q ; i) ξ 2 + ξ 5 vó i ξ = e 2πi/7 trên Q. (Xem HD 260) 2. 11. Cho α và β lần lu ȯ t là nghiê m cu a x 2 2 và x 2 4x + 2 thuô c Q[x]. Chú ng minh rằng Q(α) = Q Q(β). (Xem HD 261) 2. 12. Cho F là tru ò ng có d ă c sô khác 2 và f là mô t d a thú c bâ c 2 có tu trong hê

2. Mo rô ng d o n 65 F. Chú ng minh rằng ca 2 nghiê m cu a f d ều thuô c mô t mo rô ng d o n F (u) vó i u 2 F. Suy ra tính châ t mȯi d a thú c bâ c 2 d ều gia i d u ȯ c trên mo rô ng tru ò ng cu a F nhâ n d u ȯ c bằng cách ghép vào các căn bâ c 2 cu a các phần tu cu a F. Chú ng to rằng tính châ t d ó không d úng vó i tru ò ng có d ă c sô 2. (Xem HD 261) 2. 13. a) Chú ng minh rằng mȯi mo rô ng bâ c 2 trên Q d ều d ă ng câ u vó i Q( d) vó i d Z là mô t sô không chính phu o ng. b) Chú ng minh rằng mȯi mo rô ng bâ c 2 trên R d ều d ă ng câ u vó i C. (Xem HD 262) 2. 14. Cho K : F là mô t mo rô ng tru ò ng và [K : F ] = n. Chú ng minh rằng bâ c cu a phần tu u K là mô t u ó c cu a n. Suy ra nê u n nguyên tô thì K = F (u) vó i mȯi u K \ F. (Xem HD 262) 2. 15. Tìm tâ t ca các d a thú c bâ t kha quy bâ c 2 trên Z 3. Mô ta các mo rô ng d o n bâ c 2 trên Z 3. Chú ng minh tâ t ca các mo rô ng d o n d ó là d ă ng câ u vó i nhau. (Xem HD 262)

66 Chu o ng 1. MO RÔ NG TRU Ò NG 2. 16. Cho E = F (α) là mô t mo rô ng thu c su cu a F vó i α là nghiê m chung cu a x 3 1 và x 4 + x 2 + 1. Xác d i nh d a thú c tô i tiê u cu a α. (Xem HD 262) 2. 17. Cho i : F E là mô t d ă ng câ u tru ò ng. Gȯi α là nghiê m cu a mô t d a thú c f = a 0 + a 1 x + + a n x n F [x] bâ t kha quy. Gȯi β là mô t nghiê m cu a d a thú c i f := i(a 0 ) + i(a 1 )x + + i(a n )x n E[x]. Chú ng minh tồn tȧi mô t mo rô ng j : F (α) E(β) cu a i sao cho j(α) = β. Kê t qua trên mo rô ng cho Hê qua 2.7. (Xem HD 262) 2. 18. Cho mo rô ng d o n d ȧi sô F (α) vó i f F [x] là d a thú c tô i tiê u cu a α. Cho K : F là mô t mo rô ng tru ò ng. Chú ng minh rằng a) Nê u ϕ : F (α) K là mô t F -d ồng câ u thì ϕ(α) là mô t nghiê m cu a f. b) Ánh xȧ ϕ ϕ(α) xác d i nh mô t song ánh giũ a tâ p các F -d ồng câ u tù F (α) vào K và tâ p các nghiê m cu a f trong K. Suy ra sô các F -d ồng câ u bằng sô nghiê m phân biê t cu a f trong K. (Xem HD 262) 2. 19. Cho mo rô ng d o n d ȧi sô F (α) vó i f F [x] là d a thú c tô i tiê u cu a α. Cho

2. Mo rô ng d o n 67 τ : F K là mô t d ồng câ u tru ò ng. Chú ng minh: a) Nê u ϕ : F (α) K là mô t mo rô ng cu a τ thì ϕ(α) là mô t nghiê m cu a τ f trong K. Xem Bài tâ p 1. 8 về d i nh nghĩa cu a τ f. b) Ánh xȧ ϕ ϕ(α) là mô t song ánh giũ a tâ p các mo rô ng cu a τ vó i tâ p các nghiê m phân biê t cu a τ f trong K. Bài tâ p này là dȧng tô ng quát cu a bài tâ p trên. (Xem HD 263) * 2. 20. Chú ng minh các mo rô ng Q R và Q C d ều không pha i là các mo rô ng d o n. (Xem HD 263) * 2. 21. Cho F là tru ò ng có d ă c sô khác 2 và cho E : F là mô t mo rô ng tru ò ng có bâ c bằng 2. D ă t S(E) = {a F a = b 2, vó i b E}. Chú ng minh rằng: a) S(E) là mô t nhóm con cu a F chú a (F ) 2 ;

68 Chu o ng 1. MO RÔ NG TRU Ò NG b) Hai mo rô ng bâ c hai E, E cu a F là F -d ă ng câ u khi và chı khi S(E) = S(E ); c) Tồn tȧi vô hȧn các mo rô ng bâ c hai E 1, E 2... cu a Q sao cho E i E j, i j. d) Tồn tȧi duy nhâ t (sai khác d ă ng câ u) mô t tru ò ng có d úng p 2 phần tu. (Xem HD 264)

3. Mo rô ng hũ u hȧn và mo rô ng d ȧi sô 69 3 MO NG HŨ U HȦN VÀ MO RÔ NG D ȦI SÔ RÔ 3.1 TÍNH CHÂ T CU A MO NG HŨ U HȦN VÀ MO RÔ NG D ȦI SÔ RÔ Ta biê t rằng mô t mo rô ng d o n d ȧi sô là mo rô ng hũ u hȧn. Ta có kê t qua tô ng quát ho n sau d ây : Mê nh d ề 3.1. Cho K : F là t mo ng tru ò ng và u 1,..., u n K sao cho u 1 d ȧi mô rô sô trên F và u j d ȧi sô trên F (u 1,..., u j 1 ), j = 2,..., n. Khi d ó F (u 1,..., u n ) là mo ng hũ u hȧn trên F. rô Chú ng minh. Ta chú ng minh bằng quy nȧp trên n. Vó i n = 1 ta có mo rô ng d o n d ȧi sô nên là mo rô ng hũ u hȧn. Gia thiê t kê t qua d úng cho k. D ă t E = F (u 1,..., u k ). Ta có [F (u 1,..., u k+1 ) : F ] = [F (u 1,..., u k+1 ) : E][E : F ]. Theo gia thiê t quy nȧp, ta có [E : F ] hũ u hȧn. Mă t khác, ta có mo rô ng F (u 1,..., u k+1 ) : E = E(u k+1 ) : E có u k+1 d ȧi sô trên E nên là mo rô ng hũ u hȧn. Suy ra F (u 1,..., u k+1 ) : F là mo rô ng hũ u hȧn.

70 Chu o ng 1. MO RÔ NG TRU Ò NG Mê nh d ề 3.2. Mȯi phần tu cu a t mo ng hũ u hȧn c n d ều d ȧi sô và có c mô rô bâ bâ là t u ó c cu a n. mô Chú ng minh. Cho K : F là mo rô ng hũ u hȧn và d ă t n = [K : F ]. Xét u K. Tâ p hȯ p {1, u,..., u n } là mô t tâ p gồm n+1 phần tu trong K nên thuô c tuyê n phu tính. Do d ó tồn tȧi quan tuyê n tính không tầm thu ò ng a 0 +a 1 u+ +a n u hê n = 0. Nói cách khác u là nghiê m cu a d a thú c f = a 0 + a 1 x + + a n x n F [x] khác 0. Do d ó u d ȧi sô trên F. Mă t khác, ta có [K : F ] = [K : F (u)][f (u) : F ] = n. Do d ó [F (u) : F ] n. Vâ y bâ c cu a u là u ó c cu a n. Sau này (xem 3.6) ta sẽ chı ra rằng tồn tȧi các mo rô ng d ȧi sô không hũ u hȧn. qua 3.3. t mo ng K : F là mo ng hũ u hȧn khi và chı khi tồn tȧi Hê Mô rô rô u 1,..., u n K d ȧi sô trên F sao cho K = F (u 1,..., u n ). Chú ng minh. Gia su [K : F ] = n. Gȯi {u 1,..., u n } là mô t co so cu a mo rô ng K : F. Theo mê nh d ề trên u 1,..., u n d ȧi sô trên F. Rõ ràng K = F (u 1,..., u n ). D iều kiê n d u có d u ȯ c do Mê nh d ề 3.1.

3. Mo rô ng hũ u hȧn và mo rô ng d ȧi sô 71 Mê nh d ề 3.4. Cho F K L là các mo ng tru ò ng. Khi d ó L : F là mo ng rô rô d ȧi sô khi và chı khi L : K và K : F là các mo ng d ȧi sô. rô Chú ng minh. Nê u L : F d ȧi sô thì rõ ràng các mo rô ng L : K và K : F d ȧi sô. Ngu ȯ c lȧi, gia su L : K và K : F d ȧi sô. Xét u L. Do u d ȧi sô trên K nên ta có b 0 + b 1 u + + b n u n = 0 vó i b i K không d ồng thò i bằng 0. Xét mo rô ng F (b 0,..., b n, u) : F, theo Mê nh d ề 3.1, d ó là mô t mo rô ng hũ u hȧn. Do d ó u d ȧi sô trên F. 3.2 TRU Ò NG CON CÁC PHẦN TU D ȦI SÔ. TRU Ò NG D ÓNG D ȦI SÔ. BAO D ÓNG D ȦI SÔ. Mê nh d ề 3.5. Cho K : F là t mo ng tru ò ng. p hȯ p mô rô Tâ E = {u K u d ȧi sô trên F } là t tru ò ng con cu a K chú a F, gȯi là tru ò ng con các phần tu d ȧi sô cu a K trên mô F. Suy ra E : F là t mo ng d ȧi sô. mô rô Chú ng minh. Vì mȯi phần tu thuô c F d ều d ȧi sô trên F nên F E. Cho

72 Chu o ng 1. MO RÔ NG TRU Ò NG u, v E. Xét mo rô ng F (u, v) : F. Theo (3.1) và (3.2), ta có F (u, v) là d ȧi sô trên F. Suy ra F (u, v) E. Suy ra u v, uv F (u, v) E và nê u u 0 ta có u 1 F (u, v) E. Vâ y E là tru ò ng. n xét 3.6. Tru ò ng con E các phần tu d ȧi sô cu a R trên Q là mô t mo rô ng vô Nhâ hȧn trên Q. Thâ t vâ y, nê u [E : Q] = n thì dê dàng chı ra mô t phần tu d ȧi sô thuô c R có bâ c ló n ho n n. D iều này mâu thuâ n vó i Mê nh d ề 3.2. Mô t tru ò ng K d u ȯ c gȯi là d óng d ȧi sô nê u mȯi d a thú c bâ c ló n D i nh nghĩa. ho n 0 d ều có ít nhâ t mô t nghiê m trong K. Ví 12. Tru ò ng các sô phú c C là mô t tru ò ng d óng d ȧi sô. D ây là mô t kê t qua cô du d iê n thu ò ng d u ȯ c gȯi là D i nh lí co ba n cu a d ȧi sô. Ta sẽ d u a ra mô t chú ng minh cu a d i nh lí này trong 9. n xét 3.7. Cho K là mô t tru ò ng. Các mê nh d ề sau là tu o ng d u o ng : Nhâ (i) K d óng d ȧi sô ; (ii) mȯi d a thú c thuô c K[x] có bâ c ló n ho n không d ều phân tích thành tích các nhân tu bâ c nhâ t ;

3. Mo rô ng hũ u hȧn và mo rô ng d ȧi sô 73 (iii) mȯi d a thú c bâ t kha quy trong K[x] d ều là d a thú c bâ c nhâ t ; (iv) mȯi mo rô ng d ȧi sô cu a K d ều trùng vó i K. Cho mo rô ng tru ò ng K : F. Tru ò ng K d u ȯ c gȯi là bao d óng d ȧi D i nh nghĩa. sô cu a F nê u K d óng d ȧi sô và K : F là mo rô ng d ȧi sô. Ví 13. Tru ò ng C là bao d óng d ȧi sô cu a R nhu ng không pha i là bao d óng d ȧi sô du cu a Q. Mê nh d ề 3.8. Cho K : F là mo ng tru ò ng, trong d ó K d óng d ȧi sô. Kí u E là rô hiê tru ò ng con các phần tu d ȧi sô cu a K : F. Khi d ó E là t bao d óng d ȧi sô cu a F. mô Chú ng minh. Ta d ã biê t F E là mo rô ng d ȧi sô. Cho f = a 0 + a 1 x + + a n x n E[x] là mô t d a thú c bâ c ló n ho n 0. Do K d óng d ȧi sô, d a thú c f có nghiê m u K. Rõ ràng F (a 0,..., a n, u) : F là mô t mo rô ng d ȧi sô (Mê nh d ề 3.1) nên u d ȧi sô trên F. Suy ra u E. Vâ y E d óng d ȧi sô. n xét 3.9. Mȯi tru ò ng con cu a C d ều tồn tȧi mô t bao d óng d ȧi sô.sau này ta sẽ Nhâ chı ra rằng mȯi tru ò ng d ều tồn tȧi mô t bao d óng d ȧi sô, xem (C.1) trong c. Phu lu

74 Chu o ng 1. MO RÔ NG TRU Ò NG Bài p tâ 3. 1. Chȯn d úng, sai cho các mê nh d ề sau : a) Mȯi mo rô ng hũ u hȧn cùng bâ c d ều d ă ng câ u. b) Các mo rô ng trên cùng mô t tru ò ng F và F -d ă ng câ u vó i nhau thì có cùng bâ c. c) Mȯi mo rô ng d ȧi sô d ều là mo rô ng hũ u hȧn. d) Mȯi mo rô ng siêu viê t d ều là mo rô ng vô hȧn. e) Mȯi phần tu cu a C d ều d ȧi sô trên R. f) Mȯi mo rô ng cu a R d ều là mo rô ng hũ u hȧn. g) Mȯi mo rô ng d ȧi sô cu a Q d ều là mo rô ng hũ u hȧn. h) Tru ò ng con A các phần tu d ȧi sô cu a C trên Q là tru ò ng con ló n nhâ t cu a C sao cho nó là mo rô ng d ȧi sô cu a Q. (Xem HD 264) 3. 2. Chú ng minh rằng mȯi mo rô ng d ȧi sô cu a R d ều d ă ng câ u vó i R hoă c vó i C. (Xem HD 265)

3. Mo rô ng hũ u hȧn và mo rô ng d ȧi sô 75 3. 3. Xét mo rô ng tru ò ng F F (x) vó i biê n x siêu viê t trên F. Cho mo rô ng M F (x) vó i M chú a F nhu mô t tru ò ng con thu c su. Chú ng minh rằng M F (x) là mô t mo rô ng d ȧi sô. (Xem HD 265) 3. 4. Xét tính bâ t kha quy các d a thú c sau trên tru ò ng d u ȯ c chı ra : a) x 3 + 4 trên Q( 11) ; b) x 2 + 1 trên Q( 2) ; c) x 5 + 5x 2 25x 5 trên Q( 2, 3, 1 i). (Xem HD 265) 3. 5. Trong mô i tru ò ng hȯ p sau, xét xem u có sinh ra mo rô ng d u ȯ c chı ra cu a tru ò ng Q hay không? a) u = 2 + 5 trong Q( 2, 5) ; b) u = 2 3 + 3 3 trong Q( 3 3) ; 2 1 c) u = 1 + 2 trong Q( 2) ; d) u = v 2 + v + 1 trong Q(v), vó i v là nghiê m cu a f = x 3 + 5x 5. (Xem HD 265)

76 Chu o ng 1. MO RÔ NG TRU Ò NG 3. 6. Cho F K là mo rô ng d ȧi sô và f K[x] là mô t d a thú c khác 0. Chú ng minh rằng tồn tȧi g F [x] khác 0 sao cho f là u ó c cu a g. (Xem HD 265) 3. 7. Cho E : F là mô t mo rô ng d ȧi sô. Chú ng minh rằng E là bao d óng d ȧi sô cu a F nê u mȯi d a thú c f F [x] có bâ c ló n ho n 0 d ều phân rã trong E. (Xem HD 266) * 3. 8. Cho K : F là mô t mo rô ng hũ u hȧn vó i F là tru ò ng vô hȧn. Chú ng minh rằng K : F là mo rô ng d o n khi và chı khi K chı có hũ u hȧn các tru ò ng con chú a F. (Xem HD 266)

4. Du ng hình bằng thu ó c ke và compa 77 4 DU NG HÌNH BẰNG THU Ó C KE VÀ COMPA Ta sẽ ú ng ng lí thuyê t về mo rô ng tru ò ng d ê du tìm câu tra lò i cho 3 bài toán du ng hình xuâ t hiê n thò i Hy Lȧp cô d ȧi và xét bài toán du ngd a giác d ều n-cȧnh bằng thu ó c ke và compa. 4.1 BA BÀI TOÁN DU NG HÌNH CÔ D IÊ N Ba bài toán du ng hình cô d iê n là: dùng thu ó c ke và compa d ê chia 3 mô t góc cho tru ó c ; gâ p d ôi mô t hình lâ p phu o ng, tú c là du ng mô t hình lâ p phu o ng có thê tích gâ p d ôi thê tích mô t hình lâ p phu o ng cho tru ó c ; cầu phu o ng d u ò ng tròn, tú c là du ng mô t hình vuông có diê n tích bằng diê n tích cu a mô t hình tròn cho tru ó c. Ta xây du ng các khái niê m co ba n về d iê m và sô du ng d u ȯ c.

78 Chu o ng 1. MO RÔ NG TRU Ò NG Trong mă t phă ng R 2, cho 2 d iê m P 0 = (0, 0), P 1 = (1, 0). Mô t d iê m P R 2 d u ȯ c gȯi là du ng d u ȯ c (bằng thu ó c ke và compa) nê u tồn tȧi dãy hũ u hȧn P 0, P 1,..., P n sao cho P = P n và vó i mȯi j 2, d iê m P j xác d i nh tù S j 1 := {P 0, P 1,..., P j 1 } bo i mô t trong 3 phép du ng sau : D i nh nghĩa. giao cu a 2 d u ò ng thă ng phân biê t, trong d ó mô i d u ò ng thă ng d i qua 2 d iê m bâ t kỳ cu a S j 1 ; giao cu a mô t d u ò ng thă ng qua 2 d iê m cu a S j 1 và mô t d u ò ng tròn có tâm tȧi mô t d iê m cu a S j 1 và có bán kính bằng khoa ng cách giũ a 2 d iê m trong S j 1 ; giao cu a 2 d u ò ng tròn phân biê t, trong d ó mô i d u ò ng tròn có tâm tȧi mô t d iê m cu a S j 1 và có bán kính bằng khoa ng cách giũ a 2 d iê m trong S j 1.

4. Du ng hình bằng thu ó c ke và compa 79 D i nh nghĩa. D i nh nghĩa. D i nh nghĩa. Mô t d u ò ng thă ng gȯi là du ng d u ȯ c nê u nó d i qua 2 d iê m du ng d u ȯ c. Mô t d oȧn thă ng gȯi là du ng d u ȯ c nê u 2 d iê m mút du ng d u ȯ c. Mô t d u ò ng tròn gȯi là du ng d u ȯ c nê u có tâm là mô t d iê m du ng d u ȯ c và có bán kính bằng khoa ng cách giũ a 2 d iê m du ng d u ȯ c. Mô t sô thu c x d u ȯ c gȯi là du ng d u ȯ c (bằng thu ó c ke và compa) nê u d iê m (x, 0) R 2 du ng d u ȯ c. Rõ ràng, dài cu a mô t d oȧn d ô thă ng du ng d u ȯ c là mô t sô thu c du ng d u ȯ c. Mô t góc β gȯi là du ng d u ȯ c nê u cos β (tu o ng d u o ng sin β) là sô thu c du ng d u ȯ c. D i nh lí 4.1. Cho P = (α, β) R 2 là t d iê mô m du ng d u ȯ c. Khi d ó [Q(α, β) : Q] = 2 r vó i r N. Chú ng minh. Cho P 0, P 1,..., P n = P là mô t dãy hũ u hȧn nhu trong d i nh nghĩa cu a d iê m du ng d u ȯ c. D ă t K 0 = K 1 = Q và K j = K j 1 (α j, β j ) vó i 2 j n và P j = (α j, β j ). Dê dàng thâ y rằng các sô thu c α j, β j là nghiê m cu a mô t d a thú c

80 Chu o ng 1. MO RÔ NG TRU Ò NG bâ c 1 hoă c bâ c 2 có tu trong K j 1. Do d ó [K j : K j 1 ] = 2 hê t vó i t N. Suy ra [K n : Q] = [K n : Q(α, β)][q(α, β) : Q] = 2 m vó i m N. Do d ó [Q(α, β) : Q] = 2 r vó i r N. qua 4.2. Không thê Hê chia ba góc π/3 bằng thu ó c ke và compa. Chú ng minh. D iê m ( 1/2, 3/2) = ( cos(π/3), sin(π/3) ) là du ng d u ȯ c. D ă t u = cos(π/9), v = sin(π/9). Chia ba góc π/3 tu o ng d u o ng vó i viê c d iê m (u, v) du ng d u ȯ c. Ta có cos(π/3) = cos(3.π/9) = 4 cos 3 (π/9) 3 cos(π/9). Hay 1/2 = 4u 3 3u. Suy ra 8u 3 6u 1 = 0. D a thú c 8x 3 6x 1 bâ t kha quy trên Q nên [Q(u) : Q] = 3. Tù D i nh lí 4.1, suy ra (u, v) không du ng d u ȯ c. Nói cách khác không thê chia ba góc π/3 bằng thu ó c ke và compa. Dùng phu o ng pháp tu o ng tu, ta có các kê t qua sau d ây : qua 4.3. Không thê Hê du ng d u ȯ c d iê m ( 3 2, 0). Nói cách khác không thê gâ p d ôi hình p phu o ng có cȧnh bằng 1. lâ

4. Du ng hình bằng thu ó c ke và compa 81 Chú ng minh. Xem Bài tâ p 4. 4. qua 4.4. Không thê Hê du ng d u ȯ c d iê m ( π, 0). Nói cách khác không thê du ng d u ȯ c hình vuông có n tích bằng n tích hình tròn bán kính 1. diê diê Chú ng minh. Xem Bài tâ p 4. 5. 4.2 D IỀU N CẦN D Ê KIÊ D A GIÁC D ỀU P CȦNH DU NG D U Ȯ C BẰNG THU Ó C KE VÀ COMPA Ta nhă c lȧi các kê t qua so câ p quen thuô c trong du ng hình. Bô d ề 4.5. (i) Trung d iê m cu a d oȧn thă ng du ng d u ȯ c là du ng d u ȯ c. (ii) Nê u 3 d ı nh cu a t hình bình hành du ng d u ȯ c thì d ı nh còn lȧi du ng d u ȯ c mô (tu o ng d u o ng vó i phép du ng d u ò ng thă ng song song vó i t d u ò ng thă mô ng cho tru ó c qua t d iê mô m cho tru ó c). Chú ng minh. Xem Bài tâ p 4. 6

82 Chu o ng 1. MO RÔ NG TRU Ò NG Bô d ề 4.6. Nê u (a, 0) là d iê m du ng d u ȯ c thì (0, a) và ( a, 0) là d iê m du ng d u ȯ c. Chú ng minh. Tru ó c tiên ta du ng c tung. tru D iê m ( 1, 0) du ng d u ȯ c vì nó là giao cu a c hoành vó i d u ò ng tròn tâm (0, 0) và d i qua (1, 0). c tung là d u ò ng tru Tru thă ng d i qua giao d iê m cu a 2 d u ò ng tròn lần lu ȯ t có tâm (1, 0) và ( 1, 0) bán kính bằng 2. D iê m (0, a) du ng d u ȯ c vì nó là mô t trong 2 giao d iê m cu a c tung vó i d u ò ng tru tròn tâm (0, 0) d i qua (a, 0). Ngoài ra d u ò ng tròn này că t c hoành tȧi d iê tru m ( a, 0) nên d iê m ( a, 0) du ng d u ȯ c. Mê nh d ề 4.7. D iê m (a, b) du ng d u ȯ c khi và chı khi a và b du ng d u ȯ c. Chú ng minh. Nê u a và b du ng d u ȯ c, tú c là các d iê m (a, 0) và (b, 0) du ng d u ȯ c. Suy ra d iê m (0, b) du ng d u ȯ c. D iê m (a, b) du ng d u ȯ c vì nó là d iê m thú tu cu a hình bình hành có 3 d iê m (0, 0), (a, 0) và (0, b) du ng d u ȯ c. Ngu ȯ c lȧi, nê u (a, b) là d iê m du ng d u ȯ c. Xét 2 d u ò ng tròn tâm (0, 0) và (1, 0) d i qua (a, b). Giao d iê m cu a chúng là (a, b) và (a, b). D u ò ng thă ng d i qua 2 d iê m này că t c hoành tȧi (a, 0) nên (a, 0) du ng d u ȯ c. tru D iê m (0, b) du ng d u ȯ c vì nó

4. Du ng hình bằng thu ó c ke và compa 83 là d iê m thú tu cu a hình bình hành có 3 d iê m (0, 0), (a, 0) và (a, b) du ng d u ȯ c. D ê n lu ȯ t d iê m (b, 0) du ng d u ȯ c vì nó là mô t trong các giao d iê m cu a tru c hoành và d u ò ng tròn tâm (0, 0) d i qua (b, 0). D i nh lí 4.8. Tâ p tâ t ca các sô du ng d u ȯ c là mô t tru ò ng con cu a R. Ho n nũ a, nê u c du ng d u ȯ c và c > 0 thì c du ng d u ȯ c. Chú ng minh. Gȯi E là tâ p tâ t ca các sô du ng d u ȯ c. Cho a, b E. Ta d ã chú ng minh a E. Do (a, 0) và (b, 0) du ng d u ȯ c, d iê m giũ a Q = ( a+b 2, 0) du ng d u ȯ c. Giao d iê m cu a tru c hoành và d u ò ng tròn tâm Q qua (0, 0) là (a + b, 0). Do d ó a + b du ng d u ȯ c. D ê chú ng minh ab E, ta chı cần xét tru ò ng hȯ p ab 0 và b 1. Do (b 1) du ng d u ȯ c nên d iê m (0, b 1) du ng d u ȯ c. Theo Bô d ề 4.5, d iê m (a, b 1) du ng d u ȯ c. Giao d iê m cu a d u ò ng thă ng qua (0, b) và (a, b 1) vó i tru c hoành là d iê m (ab, 0). Vâ y ab du ng d u o c. Ta chú ng minh rằng a 1 E nê u a 0. Do a E, ta có 1 a E, hay d iê m (0, 1 a) du ng d u ȯ c. Theo Bô d ề 4.5, d iê m (1, 1 a) du ng d u ȯ c. D u ò ng thă ng qua (0, 1) và (1, 1 a) că t tru c hoành tȧi (a 1, 0). Vâ y a 1 E.

84 Chu o ng 1. MO RÔ NG TRU Ò NG Cho c E và c > 0. Do 1 2 (1 c) du ng d u ȯ c, d iê m Q = (0, 1 c 2 ) du ng d u ȯ c. D u ò ng tròn tâm Q qua d iê m (0, 1) că t tru c hoành tȧi 2 d iê m có tȯa d ô (u, 0) và ( u, 0) vó i u > 0. Theo D i nh lí Pythagore, ta có u 2 + 1 4 (1 c)2 = 1 4 (1 + c)2. Suy ra u 2 = c, do d ó u = c. Vâ y c du ng d u ȯ c. Ta xét bài toán du ng d a giác d ều n cȧnh. Rõ ràng d a giác d ều n cȧnh du ng d u ȯ c nghĩa là d iê m ( cos( 2π n ), sin(2π n )) du ng d u ȯ c. D iều d ó tu o ng d u o ng vó i cos( 2π n ) là mô t sô du ng d u ȯ c. Trong phần này ta chı d u a ra d iều kiê n cần cu a bài toán cho tru ò ng hȯ p n = p nguyên tô. Kê t qua d ầy d u sẽ d u ȯ c xét trong phần sau (xem 9). Ta biê t rằng vó i p nguyên tô, d a thú c x p 1 + + x + 1 bâ t kha quy trên Q. Do d ó nó là d a thú c tô i tiê u cu a e 2πi/p = cos( 2π p ) + i sin(2π p ). Xét các mo rô ng tru ò ng Q Q ( cos( 2π p )) Q(e 2πi/p ). Ta có [Q(e 2πi/p ) : Q ( cos(2π/p) ) ].[Q ( cos(2π/p) ) : Q] = [Q(e 2πi/p ) : Q] Do cos( 2π p ) = 1 2 (e2πi/p + e 2πi/p ), ta có 2 cos(2π/p)e 2πi/p = (e 2πi/p ) 2 + 1. = p 1.

4. Du ng hình bằng thu ó c ke và compa 85 Nghĩa là bâ c cu a e 2πi/p trên Q ( cos( 2π p )) bằng 2. Do d ó [Q(e 2πi p ) : Q ( cos(2π/p) ) ] = 2. Suy ra [Q ( cos( 2π p )) : Q] = p 1 2. Do cos(2π p ) du ng d u ȯ c, ta có p = 2 t + 1. Ho n thê, nê u t có mô t u ó c le r > 1 thì p = 2 t + 1 = 2 rt 1 + 1 = (2 t 1 + 1)(2 t 1(r 1) 2 t 1(r 2) + + 1). Do d ó t có dȧng 2 m. Vâ y p = 2 2m + 1 vó i m N. Sô nguyên tô có dȧng này gȯi là sô nguyên tô Fermat 1. Nhu thê ta d ã chú ng minh kê t qua sau: Mê nh d ề 4.9. Nê u d a giác d ều p cȧnh (p nguyên tô ) du ng d u ȯ c thì p là sô nguyên tô Fermat. Nhâ n xét 4.10. Năm 19 tuô i, Gauss (1777-1855) chú ng minh rằng d a giác d ều 17 1 Năm 1640, Fermat (1601-1665) cho rằng tâ t ca nhũ ng sô có dȧng F m := 2 2m + 1 vó i m N d ều nguyên tô. Tuy nhiên ho n 100 năm sau, Euler (1707-1783) chı ra rằng F 5 = 2 32 + 1 = 641.6700417. Có thê dê dàng kiê m tra kê t qua d ó vó i Maple. Thu c ra tâ t ca nhũ ng sô F m vó i 5 m 16 d ều là hȯ p sô. Các sô F 20, F 22, F 24 cũng là các hȯ p sô (F 24 là hȯ p sô d u ȯ c chú ng minh bo i Crandall năm 1999). Cho d ê n nay, chúng ta vâ n chu a biê t nhũ ng sô nguyên tô Fermat nào ú ng vó i m > 4.

86 Chu o ng 1. MO RÔ NG TRU Ò NG cȧnh du ng d u ȯ c bằng cách chı ra công thú c: cos ( 2π) 1 = 17 16 + 1 1 17 + 16 16 1 8 34 2 17 + 17 + 3 17 34 2 17 2 34 + 2 17. Bài p tâ 4. 1. Chȯn d úng, sai cho các mê nh d ề sau : a) Sô π không thê du ng d u ȯ c bằng thu ó c ke và compa; b) Góc π không thê chia 3 bằng thu ó c ke và compa; c) Không thê gâ p 3 mô t hình lâ p phu o ng bằng thu ó c ke và compa. d) Nê u d iê m (0, α) R 2 không thê du ng d u ȯ c bằng thu ó c ke và compa thì α siêu viê t trên Q. e) Tȯa cu a mô t d iê d ô m du ng d u ȯ c nằm trong tru ò ng con cu a R và có bâ c trên Q là mô t lũy thù a cu a 2.

4. Du ng hình bằng thu ó c ke và compa 87 f) Mô t d oȧn thă ng d ô dài π không thê du ng d u ȯ c bằng thu ó c ke và compa. g) Nê u d a giác d ều n cȧnh du ng d u ȯ c bằng thu ó c ke và compa thì n là sô nguyên tô. h) Nê u d a giác d ều p (nguyên tô ) cȧnh du ng d u ȯ c bằng thu ó c ke và compa thì p là sô nguyên tô Fermat. i) D a giác d ều 65537 cȧnh du ng d u ȯ c bằng thu ó c ke và compa. (Xem HD 267) 4. 2. Chú ng to rằng trong chú ng minh D i nh lý 4.1, ta có [K j : K j 1 ] 2. Suy ra nê u (α, β) là d iê m du ng d u ȯ c thì α, β Q( γ 1,..., γ n 1 ) vó i γ j Q( γ 1,..., γ j 1 ), j = 1,..., n 1. (Xem HD 267) 4. 3. Dùng D i nh lý 4.8 d ê chú ng minh chiều ngu ȯ c lȧi cu a phát biê u trên: nê u α, β Q( γ 1,..., γ n 1 ) trong d ó γ j Q( γ 1,..., γ j 1 ), vó i mȯi 1 j n 1 thì (α, β) là d iê m du ng d u ȯ c. (Xem HD 269) 4. 4. Chú ng minh Bô d ề 4.3. (Xem HD 269)

88 Chu o ng 1. MO RÔ NG TRU Ò NG 4. 5. Chú ng minh Bô d ề 4.4. (Xem HD 269) 4. 6. Chú ng minh Bô d ề 4.5. (Xem HD 269) 4. 7. Chú ng minh rằng tru ò ng các sô du ng d u ȯ c là mô t mo rô ng d ȧi sô trên Q nhu ng không pha i là mo rô ng hũ u hȧn. (Xem HD 269) 4. 8. Chú ng minh rằng d a giác d ều năm cȧnh du ng d u ȯ c bằng thu ó c ke và compa. (Xem HD 270) 4. 9. Chú ng minh rằng có thê chia 3 góc 2π 5 bằng thu ó c ke và compa. (Xem HD 270) 4. 10. Chú ng minh rằng không thê du ng d a giác d ều 18 cȧnh bằng thu ó c ke và compa. 4. 11. Chú ng minh rằng không thê du ng d a giác d ều 9 cȧnh bằng thu ó c ke và compa. 4. 12. Cho β là mô t góc du ng d u ȯ c. Chú ng minh rằng góc β có thê chia 3 bằng thu ó c ke và compa khi và chı khi d a thú c 4x 3 3x cos β kha quy trên tru ò ng Q(cos β). (Xem HD 270)

4. Du ng hình bằng thu ó c ke và compa 89 4. 13. Chú ng minh rằng ta có thê chia 3 mô t góc cho tru ó c bằng compa và mô t thu ó c d ánh dâ u nhu sau (xem Hình 1). A B M β O N β/3 D Hình 1: Chia 3 mô t góc bằng compa và thu ó c d ánh dâ u Gia su trên thu ó c, ta d ánh dâ u 2 d iê m N, D có d ô dài bằng r. Du ng góc ÂOB bằng β. Du ng d u ò ng tròn tâm O bán kính bằng r, că t OA tȧi M.

90 Chu o ng 1. MO RÔ NG TRU Ò NG D ă t thu ó c ke d i qua M, sao cho 1 d iê m d ánh dâ u D nằm trên BO, d iê m d ánh dâ u còn lȧi N nằm trên d u ò ng tròn. Góc ÔDN chính là góc cần du ng. (Xem HD 271)

5. Tru ò ng phân rã cu a mô t d a thú c. D a thú c tách d u ȯ c 91 5 TRU Ò NG PHÂN RÃ CU A MÔ T D A THÚ C. D A THÚ C TÁCH D U Ȯ C 5.1 TRU Ò NG PHÂN RÃ CU A MÔ T D A THÚ C D i nh nghĩa. Cho f F [x] và K là mô t mo rô ng tru ò ng cu a F. Ta nói f phân rã trong K hay K phân rã f nê u f có thê viê t d u ȯ c du ó i dȧng f = a(x u 1 ) (x u n ) vó i a, u i K, i = 1,..., n. Ví du F [x]. 14. Nê u K là mô t bao d óng d ȧi sô cu a F thì K phân rã mȯi d a thú c cu a Ví du 15. Cho f = x 3 2 Q[x]. Ba nghiê m cu a f trong C là 3 2, ξ 3 2 và ξ 2 3 2 vó i ξ = e 2π 3 = 1 2 + i 3 2 (chú ý rằng ξ3 = 1). Rõ ràng tâ t ca các tru ò ng con cu a C chú a 3 nghiê m cu a f d ều phân rã f. D ă c biê t Q( 3 2, ξ 3 2, ξ 2 3 2) = Q( 3 2, ξ) là tru ò ng nho nhâ t phân rã f. Ta có d i nh nghĩa :

92 Chu o ng 1. MO RÔ NG TRU Ò NG D i nh nghĩa. K. Nhâ n xét 5.1. Cho 0 f F [x]. Mô t mo rô ng tru ò ng K cu a F d u ȯ c gȯi là tru ò ng phân rã (hay tru ò ng nghiê m) cu a f trên F nê u K phân rã f và f không phân rã trong bâ t kỳ tru ò ng con thu c su nào cu a (i) Cho f = a(x u 1 ) (x u n ) vó i a, u i K. Khi d ó K là tru ò ng phân rã cu a f nê u K = F (u 1,..., u n ). (ii) Tru ò ng phân rã E f cu a d a thú c f trên F là mô t mo rô ng hũ u hȧn cu a F. Nói riêng, mȯi phần tu cu a E f d ều d ȧi sô trên F. Ví du 16. Ta xây du ng tru ò ng phân rã cu a f = x 2 +x+1 trên Z 2. Trong tru ò ng hȯ p này ta không thê dùng nghiê m trong C nhu trong Ví du 15. Rõ ràng f bâ t kha quy trên Z 2. Gȯi Z 2 (α) là mo rô ng d o n sao cho α là mô t nghiê m cu a f. Khi d ó Z 2 (α) có 4 phần tu 0, 1, α và 1 + α. Ta có α 2 + α + 1 = 0. Rõ ràng (1 + α) 2 + (1 + α) + 1 = 0, nên f có 2 nghiê m trong Z 2 (α), do d ó f phân rã trong Z 2 (α). Suy ra Z 2 (α) là tru ò ng phân rã cu a f trên Z 2.

5. Tru ò ng phân rã cu a mô t d a thú c. D a thú c tách d u ȯ c 93 Ví 17. Nhiều d a thú c khác nhau có thê du có cùng mô t tru ò ng phân rã. Cho f = (x 2 3)(x 3 + 1) Q[x]. Tâ p nghiê m cu a f trong C là { 1, ± 3, ξ, ξ 2 }, vó i ξ = (1 + 3i)/2. Do d ó mô t tru ò ng phân rã cu a f trên Q là Q( 3, i). Dê dàng thâ y rằng Q( 3, i) cũng là tru ò ng phân rã cu a g = (x 2 2x 2)(x 2 + 1) trên Q. Mê nh d ề 5.2. Cho d a thú c f F [x] bâ c n. Tồn tȧi mô t tru ò ng phân rã E f cu a f trên F sao cho [E f : F ] là u ó c cu a n!. Chú ng minh. Ta chú ng minh bằng quy nȧp theo n. Vó i n = 1, kê t qua là hiê n nhiên. Gia su kê t qua d úng vó i mȯi d a thú c có bâ c nho ho n n. Nê u f không bâ t kha quy, ta viê t f = gh vó i deg(g) = m < n và deg(h) = n m. Theo gia thiê t quy nȧp, ta có [E g : F ] m!, vó i E g là tru ò ng phân rã cu a g trên F. Gȯi E h là tru ò ng phân rã cu a h trên E g và có [E h : E g ] (n m)!. Khi d ó E h cũng là tru ò ng phân rã cu a f = gh trên F. Ho n thê [E h : F ] = [E g : F ][E h : E g ] là u ó c cu a m!(n m)!, do d ó [E h : F ] là u ó c cu a n!. Xét tru ò ng hȯ p f bâ t kha quy. Gȯi α là mô t nghiê m cu a f. D ă t F 1 = F (α). Ta viê t f = (x α)f 1 vó i f 1 F 1 [x]. Do deg(f 1 ) = n 1 nên theo gia thiê t quy nȧp, tồn tȧi tru ò ng phân rã E f1 cu a f 1 trên F 1 và [E f1 : F 1 ] (n 1)!. Rõ ràng E f1

94 Chu o ng 1. MO RÔ NG TRU Ò NG là tru ò ng phân rã cu a f trên F. Ho n nũ a, [E f1 : F ] = [E f1 : F 1 ][F 1 : F ] (n 1)!n = n!. Su ng Maple 3. Maple cho phép phân tích mô t d a thú c trên mô t mo rô ng hũ u du hȧn cu a Q hay Z p. Do d ó, có thê tìm d u ȯ c tru ò ng phân rã cu a mô t d a thú c trên Q hay Z p. Ví 18. Cho d a thú c f = x du 3 + 3x 2 + 3x + 4 Q[x]. > f:=x^3+3*x^2+3*x+4; f := x 3 + 3 x 2 + 3 x + 4 Ta xác d i nh dȧng nhân tu hóa cu a f trên Q. > factor(f); x 3 + 3 x 2 + 3 x + 4 Nhu thê f bâ t kha quy. Gȯi α là mô t nghiê m cu a f. Phân tích f trong vành Q(α)[x] nhu trong chú ng minh cu a mê nh d ề trên. > alias(alpha=rootof(f,x)):

5. Tru ò ng phân rã cu a mô t d a thú c. D a thú c tách d u ȯ c 95 > factor(f,alpha); (x α) (x 2 + 3 x + x α + 3 + 3 α + α 2 ) D ó là dȧng nhân tu hóa cu a f trong Q(α)[x], tiê p c gȯi β là mô t nghiê m cu a tu nhân tu thú hai trong biê u diê n trên. Sau d ó phân tích f trong Q(α, β)[x]. > g:=factor(f/(x-alpha)); g := x 2 + 3 x + x α + 3 + 3 α + α 2 > alias(beta=rootof(g,x)): > factor(f,{alpha,beta}); (x β) (x + 3 + α + β) (x α) Ví 19. Xét d a thú c h = x du 4 + x 2 + 2 Z 3 [x]. > h:=x^4+x^2+2; h := x 4 + x 2 + 2 Ta xác d i nh dȧng nhân tu hóa cu a h trong Z 3 [x]. > Factor(h) mod 3; x 4 + x 2 + 2

96 Chu o ng 1. MO RÔ NG TRU Ò NG Nhu thê h bâ t kha quy trên Z 3. Gȯi γ là mô t nghiê m cu a h và tìm dȧng nhân tu hóa cu a h trog Z 3 (γ)[x] > alias(gamma=rootof(h,x) mod 3): > Factor(h,gamma)mod 3; (x + 2 γ) (x + γ) (x + γ 3 ) (x + 2 γ 3 ) Vâ y h phân rã trong Z 3 (γ), nên tru ò ng phân rã cu a h trên Z 3 là Z 3 (γ). Tru ò ng phân rã cu a mô t d a thú c trên mô t tru ò ng là duy nhâ t, sai khác d ă ng câ u, nhu d u ȯ c thê hiê n sau d ây. Mê nh d ề 5.3. Cho τ : F 1 F 2 là t d ă mô ng câ u tru ò ng và f F 1 [x]. Gȯi K 1 và K 2 tu o ng ú ng là tru ò ng phân rã cu a f trên F 1 và cu a τ f = τ (a n )x n + + τ (a 0 ) F 2 [x] trên F 2. Khi d ó τ mo ng thành t rô mô d ă ng câ u ϕ : K 1 K 2, nghĩa là ϕ(a) = τ (a), a F 1. Chú ng minh. Ta chú ng minh quy nȧp theo bâ c cu a f. Kê t qua là hiê n nhiên nê u deg(f) = 1. Gia thiê t deg(f) = n và mê nh d ề d úng vó i d a thú c có bâ c nho ho n n. Gȯi α K 1 là mô t nghiê m cu a f và kí hiê u m F 1 [x] là d a thú c tô i tiê u cu a α.

5. Tru ò ng phân rã cu a mô t d a thú c. D a thú c tách d u ȯ c 97 Rõ ràng τ m bâ t kha quy trên F 2 [x]. Gȯi β K 2 là mô t nghiê m cu a τ m. D ă ng câ u F 1 [x] F 2 [x], theo d i nh lí phân tích d ồng câ u, mo rô ng thành d ă ng câ u ψ : F 1 (α) = F 1 [x]/(m) F 2 [x]/(τ m) = F 2 (β) tho a ψ(a) = τ (a), a F 1. Gȯi f = (x α 1 )f 1 vó i f 1 F 1 (α)[x] có bâ c n 1. Ta có K 1, K 2 lần lu ȯ t là tru ò ng phân rã cu a f 1 và τ f 1 trên các tru ò ng tu o ng ú ng F 1 (α) và F 2 (β). Theo gia thiê t quy nȧp, tồn tȧi d ă ng câ u ϕ : K 1 K 2 tho a ϕ(b) = ψ(b), b F 1 (α). D ă c biê t ϕ(a) = ψ(a) = τ (a), a F 1. n xét 5.4. Nê u F 1 = F 2 và τ là phép d ồng nhâ t thì mê nh d ề trên có nghĩa là Nhâ tru ò ng phân rã cu a mô t d a thú c trên F 1 là duy nhâ t sai khác bo i F 1 -d ă ng câ u. qua 5.5. Cho f F [x] và K là tru ò ng phân rã cu a f trên F. Cho α, β K. Hê Tồn tȧi t F -tu d ă mô ng câ u cu a K biê n α thành β khi và chı khi α và β có cùng t d a thú c tô i tiê mô u trên F. Chú ng minh. Nê u có ϕ : K K là F -tu d ă ng câ u. Gȯi g F [x] là d a thú c tô i tiê u cu a α. Khi d ó ϕ(α) = β cũng là nghiê m cu a g nên g cũng chính là d a thú c

98 Chu o ng 1. MO RÔ NG TRU Ò NG tô i tiê u cu a β. Ngu ȯ c lȧi nê u α và β d ều có chung d a thú c tô i tiê u g F [x]. Khi d ó tồn tȧi F -d ă ng câ u ψ tù F (α) vào F (β) tho a ψ(α) = ψ(β). Khi d ó K chính là tru ò ng phân rã cu a f trên F (α) và F (β). Theo mê nh d ề trên, d ă ng câ u ψ mo rô ng thành F -tu d ă ng câ u cu a K, biê n α thành β. 5.2 D A THÚ C TÁCH D U Ȯ C Bô d ề 5.6. Cho F K là t mo ng tru ò ng và f, g F [x]. Gȯi d 1 = (f, g) mô rô trong F [x] và d 2 = (f, g) trong K[x]. Khi d ód 1 d 2 trong K[x], tú c là d 1 = ad 2 vó i a K. Suy ra nê u f và g nguyên tô cùng nhau trong F [x] thì chúng không có m chung trong bâ t cú t mo ng tru ò ng nào cu a F. nghiê mô rô Chú ng minh. Rõ ràng d 1 d 2 trong K[x]. Mă t khác, tồn tȧi k, h F [x] sao cho fh + gk = d 1. Suy ra d 2 d 1 trong K[x].

5. Tru ò ng phân rã cu a mô t d a thú c. D a thú c tách d u ȯ c 99 D i nh nghĩa. Cho f F [x] và f = aπ n i=1 (x u i) m i vó i u i u j, m i 1 trong mô t tru ò ng phân rã cu a f trên F. Do các tru ò ng phân rã cu a f trên F là d ă ng câ u, tâ p các sô mũ {m 1,..., m n } không thuô c vào tru ò ng phân rã. Sô mũ m i d u ȯ c gȯi là sô bô i cu a phu nghiê m u i. D i nh nghĩa. D a thú c f gȯi là có nghiê m bô i nê u tồn tȧi m i > 1. Nghiê m u i ú ng vó i m i > 1 gȯi là nghiê m bô i cu a f. Nghiê m ú ng vó i m i = 1 gȯi là nghiê m d o n. Ví 20. Cho F là tru ò ng có d ă c sô p và a F tho a d iều kiê n không có căn bâ c du p trong F (ví a = t trong tru ò ng các phân thú c hũ u tı Z p (t)). Ta có d a thú c du f = x p a bâ t kha quy (Bài tâ p 5. 10) trong F [x]. Gȯi b là mô t nghiê m cu a f. Khi d ó, x p a = x p b p = (x b) p trong tru ò ng phân rã cu a f trên F. Nhu thê mô t d a thú c bâ t kha quy có thê có nghiê m bô i.

100 Chu o ng 1. MO RÔ NG TRU Ò NG D i nh nghĩa. Cho f = a n x n + + a 1 x + a 0 F [x]. D ȧo hàm hình thú c cu a f, kí hiê u f, là d a thú c d i nh bo i f = na n x n 1 + + a 1 F [x]. Chú ý rằng tù d i nh nghĩa trên, dê dàng suy ra các công thú c tính d ȧo hàm cu a d a thú c tô ng và tích quen thuô c (f + g) = f + g ; (fg) = f g + fg. Bô d ề 5.7. D a thú c f có nghiê m bô i khi và chı khi (f, f ) 1. Chú ng minh. Nê u f có nghiê m bô i α trong tru ò ng phân rã K cu a nó, thì dê dàng thâ y rằng α cũng là nghiê m cu a f. Do d ó (f, f ) 1 (xem 5.6). Ngu ȯ c lȧi, nê u (f, f ) 1 thì f và f có nghiê m chung α trong tru ò ng phân rã cu a f. Nê u α là nghiê m d o n thì dê dàng chú ng minh rằng α không pha i là nghiê m cu a f. Vô lí.

5. Tru ò ng phân rã cu a mô t d a thú c. D a thú c tách d u ȯ c 101 Mê nh d ề 5.8. Cho f F [x] là t d a thú c bâ t kha quy. Các phát biê mô u sau là tu o ng d u o ng : (i) f có m i ; nghiê bô (ii) (f, f ) 1 ; (iii) F có c sô p > 0 và f là t d a thú c cu a x d ă mô p ; (iv) mȯi m cu a f d ều là m i. nghiê nghiê bô Chú ng minh. (i) = (ii) Xem (5.7). (ii) = (iii) Vì f bâ t kha quy và (f, f ) 1 ta có f = 0. Do d ó F có d ă c sô p > 0 và f là mô t d a thú c cu a x p. (iii) = (iv) Ta có f(x) = g(x p ) vó i g(x) F [x]. D ă t g(x) = Π(x u i ) m i, m i 1. Khi d ó f(x) = g(x p ) = Π(x p u i ) m i = Π(x α i ) pm i,

102 Chu o ng 1. MO RÔ NG TRU Ò NG vó i α p i = u i. Do pm i > 1 nên tâ t ca các nghiê m cu a f d ều là nghiê m bô i. (iv) = (i) Hiê n nhiên. D i nh nghĩa. Mô t d a thú c f F [x] gȯi là tách d u ȯ c trên F nê u mȯi nhân tu bâ t kha quy cu a f d ều không có nghiê m bô i. Mô t tru ò ng F gȯi là hoàn chı nh nê u mȯi d a thú c có hê tu trong F d ều tách d u ȯ c. Mê nh d ề 5.9. t tru ò ng có c sô 0 là hoàn chı nh. t tru ò ng có c sô p là Mô d ă Mô d ă hoàn chı nh khi và chı khi mȯi phần tu cu a F d ều có căn c p trong F. bâ Chú ng minh. Kê t qua hiê n nhiên cho tru ò ng có d ă c sô 0 (xem 5.8). Xét tru ò ng hȯ p F có d ă c sô p. Nê u tồn tȧi mô t phần tu a F không có căn bâ c p trong F. Khi d ó d a thú c x p a không tách d u ȯ c. Ngu ȯ c lȧi, gia thiê t mȯi phần tu cu a F d ều có căn bâ c p. Nê u tồn tȧi mô t d a thú c bâ t kha quy f không tách d u ȯ c thì f = a i (x p ) i = b p i (xp ) i = ( b i x i ) p. Nhu vâ y f không bâ t kha quy. Mâu thuâ n này kéo theo F hoàn chı nh.

5. Tru ò ng phân rã cu a mô t d a thú c. D a thú c tách d u ȯ c 103 Ví 21. Mȯi tru ò ng hũ u hȧn d ều là tru ò ng hoàn chı nh. Thâ t vâ y, tu d ồng câ u du Frobenius: ϕ : F F a a p là mô t d ă ng câ u vì nó là mô t d o n câ u. Do d ó mȯi phần tu cu a F d ều có căn bâ c p trong F. Ví 22. Mȯi tru ò ng d óng d ȧi sô d ều hoàn chı nh. du Bài p tâ 5. 1. Chȯn d úng, sai cho các mê nh d ề sau : a) Mȯi d a thú c d ều phân rã trong mô t mo rô ng nào d ó. b) Mȯi d a thú c có tu thuô c mô t trong các tru ò ng Q, R, C d ều tách d u ȯ c. hê c) Mȯi d a thú c có tu thuô c Z p d ều tách d u ȯ c. hê d) Mô t d a thú c có nghiê m bô i thì không tách d u ȯ c.

104 Chu o ng 1. MO RÔ NG TRU Ò NG e) Mȯi d a thú c trên tru ò ng có d ă c sô p d ều không tách d u ȯ c. f) Mȯi d a thú c bâ t kha quy d ều tách d u ȯ c. g) Mô t d a thú c bâ t kha quy f F [x] không tách d u ȯ c thì F có d ă c sô p. h) Mô t d a thú c bâ t kha quy f F [x] không tách d u ȯ c khi và chı khi F có d ă c sô p và f là mô t d a thú c cu a x p. i) Mȯi nghiê m cu a mô t d a thú c trên mô t tru ò ng cho tru ó c d ều có cùng sô bô i. j) Mȯi nghiê m cu a mô t d a thú c bâ t kha quy trên mô t tru ò ng cho tru ó c d ều có cùng sô bô i. k) D a thú c (x 3 + 5) 2 tách d u ȯ c trên Z 7. l) Tru ò ng phân rã xác d i nh duy nhâ t sai khác d ă ng câ u. (Xem HD 271) 5. 2. Cho f F [x] có deg(f) = n > 0 và E = F (α 1,..., α r ) vó i α 1,..., α r là nghiê m cu a f vó i r n. Cho K là mô t tru ò ng phân rã f. Chú ng minh rằng : a) Tồn tȧi mô t F -d ồng câ u tù E vào K.

5. Tru ò ng phân rã cu a mô t d a thú c. D a thú c tách d u ȯ c 105 b) Sô các F -d ồng câ u tù E vào K không vu ȯ t quá [E : F ] và bằng vó i [E : F ] nê u f có n nghiê m phân biê t trong K. c) Suy ra tính duy nhâ t cu a tru ò ng phân rã cu a f F [x] trên F. (Xem HD 271) 5. 3. Chú ng minh rằng nê u mô t tru ò ng viê t d u ȯ c nhu hȯ p cu a các tru ò ng hoàn chı nh là mô t tru ò ng hoàn chı nh. Suy ra mȯi mo rô ng d ȧi sô trên Z p là mô t tru ò ng hoàn chı nh. (Xem HD 272) 5. 4. Xây du ng tru ò ng phân rã cu a các d a thú c x 3 1, x 4 + 5x 2 + 6, x 6 8, x 5 2 trên Q và tính bâ c cu a các mo rô ng tu o ng ú ng trên Q. 5. 5. Xây du ng tru ò ng phân rã cu a các d a thú c x 3 + 2x + 1 và x 3 + x 2 + x + 2 trên Z 3. Chúng có d ă ng câ u vó i nhau không? (Xem HD 272) 5. 6. Cho F K L trong d ó L là tru ò ng phân rã cu a f F [x] trên F. Chú ng minh rằng L cũng là tru ò ng phân rã cu a f trên K.

106 Chu o ng 1. MO RÔ NG TRU Ò NG 5. 7. a) Cho F là tru ò ng có d ă c sô p và a F. Chú ng minh rằng nê u d a thú c x p x a kha quy trong F [x] thì phân rã trong F. b) Vó i mȯi sô nguyên tô p, chú ng minh rằng d a thú c x p x 1 bâ t kha quy trên Q. (Xem HD 272) 5. 8. Cho F là tru ò ng có d ă c sô 0, cho f, g F [x] và d = (f, g). Chú ng minh rằng tâ p nghiê m cu a f và h = f/d là trùng nhau. (Xem HD 273) 5. 9. Cho F là tru ò ng có d ă c sô p và f F [x] bâ t kha quy. Chú ng minh rằng f = g(x pe ) vó i e 0 và g F [x] là d a thú c bâ t kha quy, tách d u ȯ c. Suy ra, mȯi nghiê m cu a f d ều có chung sô bô i trong tru ò ng phân rã cu a f. (Xem HD 273) 5. 10. Cho F là tru ò ng có d ă c sô p và a F không có căn bâ c p trong F. Chú ng minh rằng f = x p a bâ t kha quy trên F. (Xem HD 274) * 5. 11. (Tô ng quát cu a Bài tâ p 5. 2) Cho τ : F K là mô t d ồng câ u tru ò ng. Cho E = F (α 1,..., α r ) vó i α 1,..., α r là các nghiê m cu a f F [x] có bâ c n r.

5. Tru ò ng phân rã cu a mô t d a thú c. D a thú c tách d u ȯ c 107 Chú ng minh rằng : {ϕ : E K ϕ là F -d ồng câ u, ϕ F = τ } [E : F ] và d ă ng thú c xa y ra khi K chú a n nghiê m phân biê t cu aτ f. (Xem HD 274)

108 Chu o ng 1. MO RÔ NG TRU Ò NG

Chu o ng 2 LÍ THUYÊ T GALOIS 6 TU D Ă NG CÂ U VÀ TRU Ò NG TRUNG GIAN CU A MO NG TRU Ò NG RÔ Trong bài này, ta nghiên cú u nhóm Aut(E/F ) các tu d ă ng câ u cu a mo rô ng tru ò ng E : F, d ă c biê t vó i tru ò ng hȯ p cu a tru ò ng phân rã cu a mô t d a thú c trên F. D ồng thò i, ta nghiên cú u tu o ng ú ng giũ a tâ p các nhóm con cu a Aut(E/F ) và tâ p các tru ò ng con cu a E chú a F, gȯi là các tru ò ng trung gian cu a mo rô ng E : F. 109

110 Chu o ng 2. LÍ THUYÊ T GALOIS 6.1 NHÓM CÁC TU D Ă NG CÂ U CU A MO NG TRU Ò NG RÔ Ta bă t d ầu bằng mô t sô bô d ề d o n gia n sau d ây : Bô d ề 6.1. Cho E : F là t mo ng tru ò ng. p tâ t ca các F -tu d ă mô rô Tâ ng câ u cu a E là nhóm con cu a nhóm Aut(E), gȯi là nhóm các F -tu d ă ng câ u cu a E : F, kí u hiê Aut(E/F ). Chú ng minh. Tâ p Aut(E/F ) do chú a phép d ồng nhâ t. Tích cu a hai F -d ă ng câ u và nghi ch d a o cu a F -d ă ng câ u là F -d ă ng câ u. Do d ó Aut(E/F ) là nhóm con cu a Aut(E). Bô d ề 6.2. Cho E : F là t mo ng tru ò ng và u E d ȧi sô trên F. Gȯi m F [x] mô rô là d a thú c tô i tiê u cu a u. Cho ϕ : E E là t F d ồng câ u. Khi d ó ϕ(u) cũng mô là m cu a m. nghiê Chú ng minh. D ây chı là tru ò ng hȯ p d ă c biê t cu a Mê nh d ề 1.3. Bô d ề 6.3. Cho f F [x] có deg(f) = n > 0 và E = F (α 1,..., α r ) vó i α 1,..., α r là các nghiê m cu a f. Cho K là mô t tru ò ng phân rã f. Khi d ó tồn tȧi mô t F -d ồng

6. Tu d ă ng câ u và tru ò ng trung gian cu a mo rô ng tru ò ng 111 câ u tù E vào K ; sô các F -d ồng câ u tù E vào K không vu ȯ t quá [E : F ] và bằng vó i [E : F ] nê u f có n m phân t trong K. nghiê biê Chú ng minh. Xem Bài tâ p 5. 2. Ta mo rô ng kê t qua trên bằng bô d ề sau d ây. Bô d ề 6.4. Cho τ : F K là t d ồng câ u tru ò ng. Cho E = F (α 1,..., α r ) vó i mô α 1,..., α r là các m cu a f F [x] có c n r. Khi d ó nghiê bâ {ϕ : E K ϕ là F -d ồng câ u, ϕ F = τ } [E : F ] và d ă ng thú c xa y ra khi K chú a n m phân t cu a τ f. nghiê biê Chú ng minh. Xem Bài tâ p 5. 11. Ví 23. Cho G = Aut(Q( du 2)/Q). Nê u ϕ G thì ϕ( 2) = 2 hay ϕ( 2) = 2. Tru ò ng hȯ p thú nhâ t kéo theo ϕ(a + b 2) = a + b 2 hay ϕ = id. Tru ò ng hȯ p thú 2 tồn tȧi do ± 2 d ều có cùng mô t d a thú c tô i tiê u và các mo rô ng d o n cu a chúng trên Q chính là Q( 2).

112 Chu o ng 2. LÍ THUYÊ T GALOIS Ví du 24. Cho G = Aut(Q( 3 2)/Q). D a thú c tô i tiê u cu a 3 2 là f = x 3 2. Các nghiê m còn lȧi cu a f là ξ 3 2 và ξ 2 3 2, vó i ξ = e 2πi 3, d ều không thuô c Q( 3 2). Do d ó G = 1. Nhâ n xét 6.5. (i) Cho E = F (u 1,..., u r ) vó i u i d ȧi sô trên F. Khi d ó mô i F -tu d ồng câ u ϕ biê n u i thành mô t nghiê m cu a d a thú c tô i tiê u cu a u i. D ă c biê t, Aut(E/F ) là mô t nhóm hũ u hȧn. Ho n thê, mô t F -tu d ồng câ u ϕ hoàn toàn xác d i nh khi biê t tâ p a nh cu a u 1,..., u r. (ii) D ă c biê t, khi E là tru ò ng phân rã cu a mô t d a thú c f F [x] có deg(f) = n thì mô i F -tu d ồng câ u ϕ sẽ ca m sinh mô t hoán vi cu a các nghiê m cu a f. Do d ó Aut(E/F ) là mô t nhóm con cu a nhóm d ô i xú ng S n. Mê nh d ề 6.6. Cho E f là tru ò ng phân rã cu a f F [x]. Khi d ó Dâ u = xa y ra khi f tách d u ȯ c. (Aut(E f /F ) : 1) [E f : F ]. Chú ý, ta kí hiê u (G : 1) hay G cho câ p cu a mô t nhóm nhân hũ u hȧn G.

6. Tu D ă ng câ u và tru ò ng trung gian cu a mo rô ng tru ò ng 113 Chú ng minh. Chú ý rằng mô i F -tu d ồng câ u ϕ cu a E f cũng là F -tu d ă ng câ u vì ϕ hoán vi các nghiê m cu a f trong K nên ϕ biê n co so cu a E f : F thành co so. Mă t khác, nê u f = f m 1 1 f m r r là dȧng nhân tu hóa cu a f thì tru ò ng phân rã cu a f trên F cũng chính là tru ò ng phân rã cu a g := f 1 f r trên F. Do d ó, tù Bô d ề 6.3, ta có (Aut(E f /F ) : 1) [E f : F ] và dâ u = xa y ra khi f tách d u ȯ c. Mê nh d ề 6.7. Cho E : F và L : F là các mo rô ng tru ò ng vó i E hũ u hȧn trên F. Khi d ó (i) Sô F -d ồng câ u tù E vào L không vu ȯ t quá [E : F ]. D ă c biê t (Aut(E/F ) : 1) [E : F ]. (ii) Tồn tȧi mô t mo rô ng hũ u hȧn K trên L và mô t F -d ồng câ u tù E vào K. Chú ng minh. Gȯi E = F (u 1,..., u n ) vó i u 1,..., u n d ȧi sô trên F. Gȯi m 1,..., m n F [x] tu o ng ú ng là các d a thú c tô i tiê u cu a u 1,..., u n. D ă t f = m 1 m n và gȯi K là tru ò ng phân rã cu a f trên L. Theo Bô d ề 6.3, tồn tȧi mô t F -d ồng câ u tù E vào K và sô F -d ồng câ u tù E vào K không quá [E : F ]. D ă c biê t, sô các F -d ồng câ u tù E vào L K không quá [E : F ].

114 Chu o ng 2. LÍ THUYÊ T GALOIS 6.2 TRU Ò NG TRUNG GIAN CU A MO NG TRU Ò NG RÔ Cho E : F là mo rô ng tru ò ng. Các tru ò ng con cu a E chú a F gȯi D i nh nghĩa. là các tru ò ng trung gian cu a mo rô ng E : F. Kí hiê u F là tâ p tâ t ca các tru ò ng trung gian cu a E : F. Bô d ề 6.8. Cho = H Aut(E/F ). p Tâ T (H) = {b E ϕ(b) = b, ϕ H} là t tru ò ng trung gian cu a E : F, gȯi là tru ò ng trung gian cô d i nh bo i H. mô Chú ng minh. Rõ ràng F T (H). Nê u a, b T (H) và ϕ H, ta có ϕ(a + b) = a + b, ϕ(ab) = ab. Mă t khác, nê u 0 a T (H) thì ϕ(a 1 ) = a 1. Do d ó T (H) là mô t tru ò ng trung gian cu a E : F. Bô d ề 6.9. Cho K là tru ò ng trung gian cu a mo ng E : F. Khi d ó Aut(E/K) là rô t nhóm con cu a Aut(E/F ), gȯi là nhóm con cô d i nh K, kí u N (K). mô hiê Chú ng minh. Su ng Bô du d ề 6.1 và Aut(E/K) Aut(E/F ). Kí hiê u H là tâ p tâ t ca các nhóm con cu a Aut(E/F ). Hai ánh xȧ sau :

6. Tu d ă ng câ u và tru ò ng trung gian cu a mo rô ng tru ò ng 115 N : F K H N (K) và T : H H F T (H) gȯi là các tu o ng ú ng Galois cu a mo rô ng E : F. n xét 6.10. Ta dê dàng kiê Nhâ m tra các tính châ t sau d ây : (i) N (F ) = Aut(E/F ), N (E) = {1} và T ({1}) = E. (ii) Các ánh xȧ N và T d a o ngu ȯ c thú tu bao hàm. Nghĩa là: Nê u F K 1 K 2 E thì N (K 1 ) N (K 2 ). Nê u H 1 H 2 là 2 nhóm con cu a Aut(E/F ) thì T (H 1 ) T (H 2 ). (iii) H N (T (H)), H H ; tu o ng tu K T (N (K)), K F. Ví 25. Trong mo rô ng Q Q( du 3 2), ta biê t rằng Aut(Q( 3 2)/Q) = 1. Suy ra T (N (Q)) = Q( 3 2). Do d ó Q T (N (Q)). Tuy nhiên, ta sẽ thâ y rằng H = N (T (H)), vó i mȯi H hũ u hȧn.

116 Chu o ng 2. LÍ THUYÊ T GALOIS D i nh lí 6.11 (Artin). Cho E : F là mo rô ng tru ò ng và H Aut(E/F ) là mô t nhóm con hũ u hȧn. Khi d ó : [E : T (H)] (H : 1). Chú ng minh. Gȯi H = {ϕ 1,..., ϕ m } vó i ϕ 1 = 1. Cho α 1,..., α n vó i n > m là n phần tu tùy ý cu a E. Ta chú ng minh rằng α 1,..., α n phu thuô c tuyê n tính trên T (H). Xét phu o ng trình tuyê n tính thuần nhâ t: hê ϕ 1 (α 1 )x 1 + + ϕ 1 (α n )x n = 0. ϕ m (α 1 )x 1 + + ϕ m (α n )x n = 0. Do n > m, hê phu o ng trình trên có nghiê m không tầm thu ò ng trong E. Gȯi v = (c 1,..., c n ) là mô t nghiê m cu a (2) có sô phần tu khác 0 nho nhâ t. Sau khi hoán vi các c i nê u cần, ta có thê gia thiê t c 1 0. Ta có thê gia thiê t c 1 = 1 T (H) bằng cách nhân v vó i mô t vô hu ó ng thích hȯ p. Chú ý rằng do ϕ 1 = 1, nên phu o ng trình d ầu cu a (2) cho ta c 1 α 1 + + c n α n = 0. Ta cần chú ng minh rằng tâ t ca thành phần c j cu a v thuô c T (H). (2)

6. Tu d ă ng câ u và tru ò ng trung gian cu a mo rô ng tru ò ng 117 Nê u tồn tȧi c i / T (H) thì có ϕ k H sao cho ϕ k (c i ) c i. Tác d ô ng ϕ k vào tâ t ca các phu o ng trình cu a (2) vó i chú ý rằng hê {ϕ k ϕ 1,..., ϕ k ϕ m } = {ϕ 1,..., ϕ m }, ta có v := (c 1, ϕ k (c 2 ),..., ϕ k (c n )) cũng là nghiê m cu a (2). Suy ra v v = (0,..., c i ϕ k (c i ),..., c n ϕ k (c n )) cũng là nghiê m cu a (2). Rõ ràng nghiê m v v không tầm thu ò ng do c i ϕ k (c i ) 0 và có sô phần tu khác 0 ít ho n sô phần tu khác 0 cu a v. Vô lí! Nhu thê tâ t ca các c i thuô c T (H), ta có d iều pha i chú ng minh. qua 6.12. Cho H Aut(E/F ) là t nhóm con hũ u hȧn. Khi d ó Hê mô [E : T (H)] = (H : 1) và H = N (T (H)). Chú ng minh. Ta có [E : T (H)] (H : 1) do d i nh lí Artin. Mă t khác (N (T (H)) : 1) [E : T (H)] do Mê nh d ề 6.7. Suy ra [E : T (H)] (H : 1) (N (T (H)) : 1) [E : T (H)]. Do d ó [E : T (H)] = (H : 1) và H = N (T (H)).

118 Chu o ng 2. LÍ THUYÊ T GALOIS Tù kê t qua trên, ta suy ra, nê u E : F hũ u hȧn thì T là d o n ánh và N là toàn ánh. Ta sẽ xét mô t mo rô ng tru ò ng trong d ó các ánh xȧ T và N d ều là song ánh và do d ó là nghi ch d a o cu a nhau. Ví du 26. Xét Q( 2, 3), là tru ò ng phân rã cu a d a thú c f = (x 2 2)(x 2 3). Cho ϕ G = Aut(Q( 2, 3)/Q) thì ta có ϕ( 2) = ± 2, ϕ( 3) = ± 3. Nhu thê có 4 tru ò ng hȯ p nhu sau : { 2 2 ; 3 3 { 2 2 ; 3 3 { 2 2 3 3 ; { 2 2 3 3. Theo Mê nh d ề 6.6, ta có (Aut(Q( 2, 3)/Q) : 1) = [Q( 2, 3) : Q] = 4. Nhu thê 4 phần tu cu a G tu o ng ú ng vó i 4 tru ò ng hȯ p nêu trên. D ă t σ : { 2 2 3 3 ; τ { 2 2 3 3.

6. Tu d ă ng câ u và tru ò ng trung gian cu a mo rô ng tru ò ng 119 Ta có σ 2 = τ 2 = 1 và G =< σ, τ >. Suy ra G = Z 2 Z 2 (gȯi là nhóm Klein). Ta liê t kê các nhóm con và tru ò ng trung gian tu o ng ú ng cùng so d ồ bao hàm cu a chúng nhu trong Hình 7. Ngoài ra, bằng cách chú ng minh rằng nê u mô t tru ò ng trung G 6 Q < σ > < στ > < τ > Q( Q( Q( 3) 6) 2) 1 Q( 2, 3) Hình 7: Tu o ng ú ng Galois cu a mo rô ng Q( 2, 3). gian K có bâ c 2 trên Q, thì K là mô t trong các tru ò ng Q( 2), Q( 3), Q( 6). Do d ó các ánh xȧ N và T là song ánh và là nghi ch d a o cu a nhau.

120 Chu o ng 2. LÍ THUYÊ T GALOIS Bài p tâ 6. 1. Xác d i nh tính d úng, sai cu a các mê nh d ề sau : a) Mȯi F -tu d ă ng câ u cu a mo rô ng E : F d ều là mô t tu d ă ng câ u cu a E. b) Mȯi tu d ă ng câ u cu a E d ều là F -tu d ă ng câ u cu a mo rô ng E : F. c) Mȯi F -tu d ă ng câ u cu a F d ều là ánh xȧ d ồng nhâ t. d) Nhóm Aut(E/F ) luôn là nhóm aben. e) Nhóm Aut(C/R) là nhóm cyclic. f) Các tu o ng ú ng Galois luôn là song ánh. g) Các tu o ng ú ng Galois ba o toàn thú tu bao hàm. h) Nê u Aut(E/F ) = 1 thì E = F. i) Nê u E = F thì Aut(E/F ) = 1. j) Tru ò ng K(x) chı có mô t K-tu d ă ng câ u. k) Nhóm Aut(K(x)/K(x 2 )), vó i K có d ă c sô khác 2, d ă ng câ u vó i Aut(C/R).

6. Tu d ă ng câ u và tru ò ng trung gian cu a mo rô ng tru ò ng 121 l) H = N (T (H)) vó i mȯi nhóm con hũ u hȧn H cu a Aut(E/F ). m) Cho mo rô ng tru ò ng E : F thì T (N (F )) = F. n) Cho mo rô ng tru ò ng E : F thì T (N (E)) = E. (Xem HD 276) 6. 2. Vẽ so d ồ bao hàm các nhóm tu d ă ng câ u cu a các mo rô ng tru ò ng sau d ây và xét xem các tu o ng ú ng Galois N và T có pha i là các song ánh không. a) C : R ; b) Q(ω) : Q vó i ω = e 2πi/5 ; c) E f : Q vó i E f là tru ò ng phân rã cu a f = x 4 2 ; d) E f : Q(θ) vó i θ = e 2πi 3 và E f là tru ò ng phân rã cu a f = x 3 2 trên Q(θ) ; e) Q( 2, 3, 5) : Q ; f) Tru ò ng phân rã cu a d a thú c (x 3 5)(x 3 7) trên Q ; g) Tru ò ng phân rã cu a d a thú c (x 6 5) trên Q và trên R. (Xem HD 276) 6. 3. Cho G là nhóm Galois cu a d a thú c x 5 2 trên Q. Xác d i nh câ p cu a G và xét xem G có pha i là nhóm aben hay không? (Xem HD 280)

122 Chu o ng 2. LÍ THUYÊ T GALOIS 6. 4. Xác d i nh câ p cu a nhóm Galois cu a d a thú c (x 3 5)(x 3 2) trên Q và R. 6. 5. Chú ng minh rằng Aut(Q(ξ)/Q) là nhóm aben vó i ξ = e 2πi n và n N. (Xem HD 281) (Xem HD 281) 6. 6. Cho f = x p a F [x] và gȯi E f là tru ò ng phân rã cu a f trên F. Xác d i nh tru ò ng phân rã cu a f trên F trong các tru ò ng hȯ p : a) F = Q ; b) F = Z p. (Xem HD 281) 6. 7. Chú ng minh hoă c bác bo các mê nh d ề sau d ây : a) Nê u E : F là mô t mo rô ng bâ c 2 thì tồn tȧi σ Aut(E) sao cho σ(a) = a, a F. b) Giô ng nhu trên vó i gia thuyê t thêm là tru ò ng E hũ u hȧn. (Xem HD 281) 6. 8. Cho K là tru ò ng phân rã cu a x 5 1 trên Q. Mô ta nhóm Aut(K/Q) và chı ra rằng K : Q chı có mô t tru ò ng trung gian thu c su là Q(ξ + ξ 4 ) vó i ξ = e 2πi/5.

6. Tu d ă ng câ u và tru ò ng trung gian cu a mo rô ng tru ò ng 123 Xác d i nh d a thú c tô i tiê u cu a ξ + ξ 4. Xác d i nh các tru ò ng phân rã cu a các d a thú c sau trên Q : a) (x 2 5)(x 5 1) ; b) (x 2 + 3)(x 5 1). (Xem HD 281) 6. 9. Cho K là tru ò ng phân rã cu a d a thú c x 3 5 trên Q( 7). Chú ng minh rằng Aut(K/Q( 7)) = S 3. (Xem HD 282)

124 Chu o ng 2. LÍ THUYÊ T GALOIS 7 MO NG TÁCH D U Ȯ C, CHUÂ RÔ N TĂ C VÀ GALOIS Trong bài này, ta xét các mo rô ng tru ò ng d ă c biê t ho n nhằm tìm d iều kiê n d ê các tu o ng ú ng Galois là các song ánh. 7.1 MO NG TÁCH D U Ȯ C VÀ D İNH LÍ PHẦN TU RÔ NGUYÊN THU Y Mô t D i nh nghĩa. mo rô ng d ȧi sô E : F gȯi là tách d u ȯ c nê u d a thú c tô i tiê u cu a mȯi phần tu thuô c E d ều tách d u ȯ c. Nhu thê, mo rô ng E : F là không tách d u ȯ c nê u các tru ò ng có d ă c sô p và d a thú c tô i tiê u cu a mô t phần tu nào d ó cu a E có dȧng g(x p ) vó i g F [x]. Ví 27. Mo rô ng Z 2 (t du 2 ) Z 2 (t) là không tách d u ȯ c vì d a thú c tô i tiê u x 2 t 2 cu a t là không tách d u ȯ c. Mê nh d ề 7.1. Cho F M E là các mo ng tru ò ng. Nê u F E là mo ng rô rô tách d u ȯ c thì F M và M E là các mo ng tách d u ȯ c. rô Chú ng minh. Rõ ràng F M là mo rô ng tách d u ȯ c. Cho α E. Gȯi f F [x]

7. Mo rô ng tách d u ȯ c, chuâ n tă c và Galois 125 và g M[x] tu o ng ú ng là các d a thú c tô i tiê u cu a α trên F và M. Rõ ràng g f. Do F E tách d u ȯ c, d a thú c f là tách d u ȯ c. Suy ra g là tách d u ȯ c. Mo rô ng tách d u ȯ c có mô t tính châ t râ t d ă c biê t d u ȯ c thê hiê n sau d ây. D i nh lí 7.2 (Phần tu nguyên thu y). Cho E = F (α 1,, α n ) là t mo ng mô rô hũ u hȧn cu a F sao cho α 2,, α n tách d u ȯ c trên F. Khi d ó tồn tȧi γ E sao cho E = F (γ). Chú ng minh. Nê u F là tru ò ng hũ u hȧn thì E hũ u hȧn và do d ó nhóm nhân E các phần tu khác 0 là nhóm cyclic (xem Bài tâ p 0. 18). Gȯi u là mô t phần tu sinh cu a E. Rõ ràng E = F (u). Ta chı cần xét tru ò ng hȯ p F vô hȧn. Ta chú ng minh quy nȧp trên n. Nê u n = 1, kê t qua là hiê n nhiên. Nê u kê t qua d úng vó i n = 2 thì tù gia thiê t quy nȧp, ta có F (α 1,... α n ) = F (α 1,... α n 1 )(α n ) = F (t, α n ) và suy ra d iều pha i chú ng minh. Do d ó bài toán quy về viê c chú ng minh kê t qua cho n = 2.

126 Chu o ng 2. LÍ THUYÊ T GALOIS Xét E = F (v, w) vó i w tách d u ȯ c trên F. Gȯi f, g F [x] lần lu ȯ t là d a thú c tô i tiê u cu a v, w. Gȯi K là tru ò ng phân rã cu a fg. Khi d ó f có các nghiê m trong K là v, v 1,..., v r ; d a thú c g có các nghiê m phân biê t trong K là w, w 1,..., w s. Do F vô hȧn, tồn tȧi c F sao cho c v i v w w j, i = 1,..., r, j = 1,..., s. D ă t u = v + cw. Ta sẽ chı ra rằng v, w F (u), do d ó F (v, w) = F (u). D ă t h = f(u cx) F (u)[x]. Ta có h(w) = f(u cw) = f(v) = 0. Nê u có w j vó i 1 j s nào d ó là nghiê m cu a h thì h(w j ) = f(u cw j ) = 0. Nhu thê tồn tȧi i tho a 1 i r sao cho u cw j = v i. Hay c(w w j ) = v i v. Vô lý do cách chȯn c. Vâ y h chı có w là nghiê m duy nhâ t trong tâ p {w, w 1,..., w s }. Suy ra (h, g) = x w trong K[x]. Suy ra x w F (u)[x] (xem Bô d ề 5.6), d ă c biê t w F (u). Ta có d iều pha i chú ng minh.

7. Mo rô ng tách d u ȯ c, chuâ n tă c và Galois 127 Hê qua 7.3. Mȯi mo rô ng hũ u hȧn, tách d u ȯ c là mo rô ng d o n. D ă c biê t mȯi mo rô ng hũ u hȧn trên tru ò ng có d ă c sô 0 hoă c tru ò ng hũ u hȧn d ều là mo rô ng d o n. 7.2 TIÊU CHUÂ N CU A MO NG GALOIS VÀ CHUÂ RÔ N TĂ C Mô t D i nh nghĩa. mo rô ng d ȧi sô E : F gȯi là chuâ n tă c nê u d a thú c tô i tiê u cu a mȯi phần tu thuô c E phân rã trong E. n xét 7.4. Cho E : F là mô t mo rô ng chuâ Nhâ n tă c và tách d u ȯ c. Cho f F [x] là mô t d a thú c bâ t kha quy bâ c m. Nê u f có nghiê m trong E thì f có d úng m nghiê m phân biê t trong E. Ta d ã biê t rằng vó i mô t mo rô ng tru ò ng E : F thì nói chung F T (N (F )) = T (Aut(E/F )). Ta xét nhũ ng mo rô ng tru ò ng mà dâ u d ă ng thú c xa y ra. Mô t mo rô ng hũ u hȧn E : F d u ȯ c gȯi là mo rô ng Galois nê u D i nh nghĩa. F = T (N (F )). Khi d ó Aut(E/F ) gȯi là nhóm Galois cu a mo rô ng tru ò ng và d u ȯ c kí hiê u là Gal(E/F ).

128 Chu o ng 2. LÍ THUYÊ T GALOIS D i nh lí 7.5 (Tiêu chuâ n cu a mo ng Galois). Cho mo ng tru ò ng E : F. Các rô rô nh d ề sau là tu o ng d u o ng : mê (i) E là tru ò ng phân rã cu a t d a thú c tách d u ȯ c trên F ; mô (ii) [E : F ] = (Aut(E/F ) : 1) < ; (iii) E : F là mo ng Galois ; rô (iv) F = T (G) vó i G là t nhóm con hũ u hȧn cu a Aut(E/F ) ; mô (v) E : F là mo ng chuâ rô n tă c, tách d u ȯ c và hũ u hȧn trên F. Chú ng minh. (i) = (ii) Xem Mê nh d ề 6.6. (ii) = (iii) Theo D i nh lí Artin, ta có [E : T (N (F ))] = (N (F ) : 1) = Aut(E/F ). Suy ra [E : T (N (F ))] = [E : F ]. Do d ó F = T (N (F )), hay E : F là mo rô ng Galois.

7. Mo rô ng tách d u ȯ c, chuâ n tă c và Galois 129 (iii) = (iv) Lâ y G = Aut(E/F ). (iv) = (v) Theo D i nh lí Artin (6.11), ta có [E : F ] [G : 1]. Suy ra E : F hũ u hȧn. Lâ y α E. Gȯi f F [x] là d a thú c tô i tiê u cu a α. Ta chú ng minh rằng f phân rã trong E thành các nhân tu phân biê t. D ă t N = {σα σ G} = {α 1,..., α m }. Xét d a thú c m g = (x α i ) = x m + a 1 x m 1 + + a m E[x]. i=1 Vó i mȯi τ G, ánh xȧ τ hoán các phần tu trong N. Do các tu a i cu a g vi hê d ều là các d a thú c d ô i xú ng cu a α 1,..., α m, ta có τ (a i ) = a i, i = 1,..., m. Suy ra a i F hay g F [x]. Vì f là d a thú c tô i tiê u cu a α, ta có f g. Mă t khác, các phần tu α i d ều là nghiê m cu a f nên g f. Vâ y g = f, do d ó f phân rã thành các nhân tu phân biê t. (v) = (i) Vì E : F là mo rô ng hũ u hȧn, ta có E = F (α 1,..., α n ) vó i α i d ȧi sô trên F. Gȯi m i là d a thú c tô i tiê u cu a α i vó i mȯi i = 1,..., n. Do E : F chuâ n tă c, các d a thú c m i phân rã trong E, do d ó E là tru ò ng phân rã cu a f = m i

130 Chu o ng 2. LÍ THUYÊ T GALOIS trên F. Ho n thê, do mo rô ng E : F là tách d u ȯ c, d a thú c f là tách d u ȯ c. D i nh nghĩa. Nhóm Galois cu a mô t d a thú c tách d u ȯ c f F [x] là nhóm Galois cu a tru ò ng phân rã cu a f. qua 7.6. Mȯi mo ng hũ u hȧn, tách d u ȯ c d ều chú a trong t mo ng Galois. Hê rô mô rô Chú ng minh. Cho F E là mo rô ng hũ u hȧn và tách d u ȯ c, ta có E = F (α 1,..., α n ) vó i α i d ȧi sô trên F. Gȯi m i là d a thú c tô i tiê u cu a α i vó i mȯi i = 1,..., n. Do m i tách d u ȯ c, d a thú c f = m i là tách d u ȯ c. Tru ò ng E chú a trong tru ò ng phân rã cu a f F [x]. qua 7.7. Cho F M E là các mo ng tru ò ng. Nê u F E là mo ng Hê rô rô Galois thì M E là mo ng Galois. rô Chú ng minh. E là tru ò ng phân rã cu a d a thú c f F [x]. Rõ ràng E cũng là tru ò ng phân rã cu a f trên M. Ho n thê M E là mo rô ng tách d u ȯ c (xem Mê nh d ề 7.1). Do d ó M E là mo rô ng Galois.

7. Mo rô ng tách d u ȯ c, chuâ n tă c và Galois 131 D i nh lí 7.5 cho ta tiêu chuâ n cu a mô t mo rô ng Galois. Kê t qua sau cho ta tiêu chuâ n cu a mo rô ng chuâ n tă c. Mê nh d ề 7.8. Mô t mo rô ng E : F là hũ u hȧn và chuâ n tă c khi và chı khi E là tru ò ng phân rã cu a mô t d a thú c trên F. Chú ng minh. D iều kiê n cần cu a mê nh d ề d u ȯ c chú ng minh tu o ng tu nhu trong D i nh lí 7.5. Ta chú ng minh d iều kiê n d u. Cho E là tru ò ng phân rã cu a d a thú c f F [x] trên F. Gȯi g F [x] là d a thú c tô i tiê u cu a α E. Ta chú ng minh rằng mȯi nghiê m cu a g d ều thuô c E. Gȯi K là tru ò ng phân rã cu a g trên E và β là mô t nghiê m cu a g trong K. Xét so d ồ nhu trong Hình 8. Ta sẽ chı ra rằng [E(α) : E] = [E(β) : E] và do [E(α) : E] = 1, ta có [E(β) : E] = 1, nên β E. Do α và β d ều là nghiê m cu a g bâ t kha quy trên F nên tồn tȧi F d ă ng câ u F (α) F (β). Rõ ràng E(α) và E(β) lần lu ȯ t là tru ò ng phân rã cu a f trên F (α) và F (β) nên ϕ mo rô ng thành F d ă ng câ u

132 Chu o ng 2. LÍ THUYÊ T GALOIS E(α) 6 K E(β) E F (α) F (β) F Hình 8: So d ồ chı ra E(α) d ă ng câ u vó i E(β). ϕ : E(α) E(β). Nhu thê [E(α) : F ] = [E(β) : F ]. Suy ra [E(α) : E] = [E(β) : E]. Ta có d iều cần chú ng minh.

7. Mo rô ng tách d u ȯ c, chuâ n tă c và Galois 133 Bài p tâ 7. 1. Chȯn d úng, sai cho các mê nh d ề sau : a) Mȯi mo rô ng hũ u hȧn d ều là mo rô ng chuâ n tă c. b) Mȯi mo rô ng chuâ n tă c d ều là mo rô ng Galois. c) Mȯi mo rô ng tách d u ȯ c d ều là mo rô ng hũ u hȧn. d) Mȯi mo rô ng Galois d ều là mo rô ng chuâ n tă c và tách d u ȯ c. e) Mȯi mo rô ng tách d u ȯ c d ều là mo rô ng chuâ n tă c. f) Mȯi mo rô ng chuâ n tă c và hũ u hȧn d ều là mo rô ng Galois. g) Mȯi mo rô ng chuâ n tă c d ều là tru ò ng phân rã cu a mô t d a thú c. h) Mȯi mo rô ng Galois d ều là tru ò ng phân rã cu a mô t d a thú c. i) Mô t mo rô ng hũ u hȧn là Galois khi và chı khi nó là tru ò ng phân rã cu a mô t d a thú c tách d u ȯ c. j) Mȯi mo rô ng Galois d ều là mo rô ng d o n. k) Mȯi mo rô ng hũ u hȧn d ều là mo rô ng d o n.

134 Chu o ng 2. LÍ THUYÊ T GALOIS l) Nê u F M E có F E là mo rô ng tách d u ȯ c thì F M và M E tách d u ȯ c. m) Nê u F M E có F E là mo rô ng chuâ n tă c thì F M và M E chuâ n tă c. n) Nê u F M E có F E là mo rô ng Galois thì F M và M E Galois. (Xem HD 283) 7. 2. Cho F E K là các mo rô ng tru ò ng. Nê u F E và E K là các mo rô ng Galois thì F K có pha i là mo rô ng Galois không? (Xem HD 283) 7. 3. Chú ng to rằng mȯi mo rô ng bâ c 2 trên tru ò ng có d ă c sô khác 2 d ều là các mo rô ng Galois. Khă ng d i nh trên có d úng cho tru ò ng có d ă c sô 2 không? (Xem HD 283) 7. 4. Cho F là tru ò ng có d ă c sô p và f = x p x a F [x]. Xác d i nh tru ò ng phân rã E f cu a f trên F và xét xem nó có pha i là mo rô ng Galois trên F không? Xác d i nh các phần tu cu a nhóm Aut(E f /F ). (Xem HD 283)

7. Mo rô ng tách d u ȯ c, chuâ n tă c và Galois 135 7. 5. Cho f = x pn x Z p [x] và E f là tru ò ng phân rã cu a f trên Z p. Xác d i nh nhóm Aut(E f /Z p ) và vẽ so d ồ bao hàm cu a các nhóm con cu a nó. (Xem HD 283) 7. 6. Tìm các mo rô ng tru ò ng Q F 1 F 2 F 3 vó i F 1, F 3 Galois trên Q nhu ng F 2 không Galois trên Q. (Xem HD 284) 7. 7. Chú ng minh rằng Q Q( 2 + 2) là mo rô ng Galois và xác d i nh nhóm Galois cu a mo rô ng d ó. (Xem HD 284) 7. 8. Trong các mo rô ng o Bài tâ p 6. 2, mo rô ng nào là mo rô ng Galois, chuâ n tă c? 7. 9. Mô ta nhóm Galois cu a các d a thú c sau trên Q. a) f = (x 2 2)(x 2 3)(x 2 5) ; b) g == x p 2 vó i p nguyên tô ; c) h = x 4 14x 2 + 9. (Xem HD 284) 7. 10. Chú ng minh rằng nhóm Galois cu a x p 2 trên Q d ă ng câ u vó i nhóm nhân các

136 Chu o ng 2. LÍ THUYÊ T GALOIS ( ) a b ma trâ n vó i a, b Z p và a 0. (Xem HD 285) 0 1 7. 11. Chú ng minh rằng nê u nhóm Galois cu a mô t d a thú c bâ c 3 là mô t nhóm cyclic câ p 3 thì tâ t ca các nghiê m cu a f d ều là nghiê m thu c. (Xem HD 285)

8. D i nh lí co ba n cu a Lí thuyê t Galois 137 8 D İNH LÍ CO BA N CU A LÍ THUYÊ T GALOIS Nhă c lȧi, vó i mô t mo rô ng F E cho tru ó c, kí hiê u F là tâ p các tru ò ng trung gian cu a mo rô ng và H là tâ pcác nhóm con cu a Aut(E/F ). Giũ a F và H có các ánh xȧ N và T, gȯi là các tu o ng ú ng Galois. D i nh lí 8.1. Cho F E là mo ng Galois vó i G = Gal(E/F ). Khi d ó các tu o ng rô ú ng Galois N : F H và T : H F là các song ánh và là nghi ch d a o cu a nhau. Ho n thê : (i) H 1 H 2 T (H 1 ) T (H 2 ), H 1, H 2 H ; (ii) chı sô cu a nhóm bằng c cu a mo ng tru ò ng, nghĩa là vó i mȯi H 1, H 2 H, bâ rô H 1 H 2 = (H 2 : H 1 ) = [T (H 1 ) : T (H 2 )] ; (iii) T (σhσ 1 ) = σ T (H) và N (σm) = σ N (M)σ 1, σ G, H H, M F ;

138 Chu o ng 2. LÍ THUYÊ T GALOIS (iv) H G khi và chı khi T (H) : F là mo ng chuâ rô n tă c (do d ó Galois) và Gal(T (H)/F ) = G/H. Chú ng minh. Do E : F là mo rô ng hũ u hȧn nên G hũ u hȧn. Khi d ó H H, ta có N (T (H)) = H. Mă t khác M F, ta có E : M là mo rô ng Galois, do d ó T (N (M)) = M. Suy ra N và T là các song ánh và là nghi ch d a o cu a nhau. (i) Ta có T (H 1 ) T (H 2 ) = H 1 = N (T (H 1 )) N (T (H 2 )) = H 2. (ii) Vó i H H, ta có E : T (H) là mo rô ng Galois. Do d ó [E : T (H)] = (H : 1). Cho H 1 H 2 là các nhóm con cu a G. Suy ra F T (H 2 ) T (H 1 ) E. Ta có(h 2 : 1) = (H 2 : H 1 )(H 1 : 1). Suy ra [E : T (H 2 )] = (H 2 : H 1 )[E : T (H 1 )] = [E : T (H 1 )][T (H 1 ) : T (H 2 )].

8. D i nh lí co ba n cu a Lí thuyê t Galois 139 Do d ó (H 2 : H 1 ) = [T (H 1 ) : T (H 2 )]. (iii) Cho y = σx σ T (H). Vó i mȯi σϕσ 1 σhσ 1, ta có σϕσ 1 (y) = σϕ(x) = σx = y. Suy ra y T (σhσ 1 ). Do d ó σ T (H) T (σhσ 1 ). Ngu ȯ c lȧi, cho y T (σhσ 1 ). Khi d ó, vó i mȯi ϕ H, ta có (σϕσ 1 )(y) = y. D ă t x = σ 1 (y), ta có (σϕσ 1 )(y) = σϕ(x) = y = σx. Nhu thê ϕ(x) = x, ϕ H. Suy ra x T (H), do d ó y = σx σ T (H). Vâ y T (σhσ 1 ) = σ T (H). Ta chú ng minh σ N (M)σ 1 = N (σm). Vó i mȯi σϕσ 1 σ N (M)σ 1, cho y = σx σm, ta có σϕσ 1 (y) = σϕσ 1 (σx) = σϕ(x) = σx = y. Suy ra σϕσ 1 N (σm).

140 Chu o ng 2. LÍ THUYÊ T GALOIS Ngu ȯ c lȧi, vó i mȯi ψ N (σm), d ă t ϕ = σ 1 ψσ. Ta chú ng minh ϕ N (M). Thâ t vâ y, vó i mȯi x M, ta có ϕ(x) = σ 1 ψσ(x) = σ 1 ψ(σx) = σ 1 σ(x) = x. Do d ó ϕ N (M). Vâ y ψ = σϕσ 1 σ N (M)σ 1. (iv) Gia thiê t F T (H) là mo rô ng chuâ n tă c. Gȯi T (H) = F (α 1,..., α m ). Vó i mȯi σ G, ta có σ(α i ) cũng là nghiê m cu a d a thú c tô i tiê u cu a α j, nên σ(α i ) T (H). Do d ó σ T (H) T (H). Do σ là d ă ng câ u, ta có σ T (H) = T (H). Suy ra σ N (T (H))σ 1 = N (σ T (H)) = N (T (H)) = H. Hay σhσ 1 = H, nghĩa là H G. Ngu ȯ c lȧi, gia thiê t H G. Do σhσ 1 = H, σ G, suy ra σ T (H) = T (σhσ 1 ) = T (H).

8. D i nh lí co ba n cu a Lí thuyê t Galois 141 Ta có d ồng câ u nhóm : g : G Aut(T (H)/F ) σ σ T (H). Ta có Ker(g) = {σ G σ T (H) = id} = N (T (H)) = H. D ă t H = Im(g) Aut(T (H)/F ). Kí hiê u T và N là các tu o ng ú ng Galois cu a mo rô ng F T (H). Ta có T (H ) = T (G) = F do g : G H là toàn câ u. Vì H hũ u hȧn, theo tiêu chuâ n cu a mo rô ng Galois, ta có T (H) : F là mo rô ng Galois. Mă t khác, tu o ng ú ng Galois ú ng vó i mo rô ng Galois T (H) : F cho ta H F Gal(T (H)/F ) = H. Nhu thê, Gal(T (H)/F ) = G/H. Ví du 28. Xét nhóm Galois cu a d a thú c f = x 4 2 Q[x]. Các nghiê m cu a f là 4 2, 4 2, i 4 2 và i 4 2. Tru ò ng phân rã cu a f trên Q là Q(i, 4 2).

142 Chu o ng 2. LÍ THUYÊ T GALOIS 1) Dê dàng kiê m tra [Q(i, 4 2) : Q] = 8. 2) D ă t G = Gal(Q(i, 4 2)/Q). Ta có (G : 1) = 8. 3) Tồn tȧi các phần tu σ, τ trong G xác d i nh bo i σ : { 4 2 i 4 2 i i và τ : { 4 2 4 2 i i. Dê dàng thâ y rằng σ 4 = τ 2 = 1. Ngoài phần tu d o n vi 1 và σ, τ, các phần tu còn lȧi cu a G là : σ 2 : { 4 2 4 2 i i ; σ 3 : { 4 2 i 4 2 i i ; στ : { 4 2 i 4 2 i i ; σ 2 τ : { 4 2 4 2 i i ; và σ 3 τ : { 4 2 i 4 2 i i.

8. D i nh lí co ba n cu a Lí thuyê t Galois 143 4) So d ồ bao hàm các nhóm con cu a G nhu trong Hình 9. G (σ 2, τ ) (σ) (σ 2, στ ) (σ 2 τ ) (τ ) (σ 2 ) (στ ) (σ 3 τ ) 6 1 Hình 9: So d ồ các nhóm con cu a Aut(Q( 4 2, i)/q). 5) Do các tu o ng ú ng Galois là song ánh, ta có so d ồ tâ t ca các tru ò ng trung gian cu a mo rô ng nhu trong Hình 10. 6) Trong so d ồ bao hàm các tru ò ng trung gian, dê thâ y rằng các mo rô ng bâ c 2

144 Chu o ng 2. LÍ THUYÊ T GALOIS Q Q( 2) Q(i) Q(i 2) 7 Q(i 4 2) Q( 4 2) Q(i, 2) Q((1 + i) 4 2) Q((1 i) 4 2) 7 Q(i, 4 2) Hình 10: So d ồ các tru ò ng trung gian tu o ng ú ng. cu a Q là các mo rô ng Galois. Các nhóm con câ p 4 tu o ng ú ng (σ 2, τ ), (σ) và (σ 2, στ ) là các nhóm con chuâ n tă c. Mă t khác, mo rô ng Q Q(i, 2) là mo rô ng Galois nên nhóm con tu o ng ú ng (σ 2 ) cũng là mô t nhóm con chuâ n tă c cu a G. Các mo rô ng còn lȧi d ều không pha i là mo rô ng Galois do các nhóm con

8. D i nh lí co ba n cu a Lí thuyê t Galois 145 tu o ng ú ng cu a nó không pha i là nhóm con chuâ n tă c. D i nh nghĩa. Cho M 1,..., M r là các tru ò ng trung gian cu a mo rô ng tru ò ng E : F. Tru ò ng hȯ p thành cu a M 1,..., M r, kí hiê u M 1 M r hay r 1 M i, là tru ò ng con nho nhâ t cu a E chú a M 1,..., M r (nói cách khác nó là tru ò ng con cu a E sinh ra bo i r 1 M i). Nhâ n xét 8.2. Các tu o ng ú ng Galois cu a mô t mo rô ng Galois E : F cho ta các tính châ t sau : (i) Cho M 1,..., M r là các tru ò ng trung gian. Khi d ó tru ò ng hȯ p thành M 1 M r ú ng vó i nhóm con ló n nhâ t chú a trong các N (M i ), tú c là ú ng vó i nhóm r 1 N (M i). (ii) Cho H là mô t nhóm con cu a G = Gal(E/F ). Gȯi M = T (H). Khi d ó nhóm con chuâ n tă c ló n nhâ t cu a G chú a trong H là N = σhσ 1. Tru ò ng trung σ G gian tu o ng ú ng vó i N là mo rô ng Galois nho nhâ t cu a F chú a tâ t ca σm, vó i σ G, tú c là σm. Sau này, (xem D i nh nghĩa 11.1) ta thâ y rằng σm σ G σ G

146 Chu o ng 2. LÍ THUYÊ T GALOIS chính là bao d óng chuâ n tă c cu a M. Các kê t qua sau cho ta tính châ t cu a các tru ò ng hȯ p thành. Mê nh d ề 8.3. Cho M, N là các tru ò ng trung gian cu a E : F. Nê u M : F là mo rô ng Galois thì các mo rô ng MN : N và M : (M N) cũng Galois. Ho n thê, ánh xȧ là mô t d ă ng câ u nhóm. Gal(M N/N) Gal(M/M N) σ σ M Chú ng minh. Xét so d ồ nhu Hình 11. Vì M : F là mo rô ng Galois, ta có M là tru ò ng phân rã cu a mô t d a thú c f tách d u ȯ c trên F. Do d ó MN là tru ò ng phân rã cu a d a thú c f trên N. Tu o ng tu M là tru ò ng phân rã cu a f trên M N. Vì thê, MN : N và M : M N là các mo rô ng Galois. Mȯi d ồng câ u σ Gal(MN/N) biê n nghiê m cu a f thành nghiê m cu a f, vì thê

8. D i nh lí co ba n cu a Lí thuyê t Galois 147 MN = M = N M N F Hình 11: σm = M. Do d ó, ta có d ồng câ u nhóm : ψ : Gal(M N/N) Gal(M/F ) σ σ M. Xét σ Gal(MN/N) tho a σ M = 1. Khi d ó σ cô d i nh mȯi phần tu cu a M và N nên cô d i nh mȯi phần tu cu a MN. Do d ó d ồng câ u ψ là mô t d o n câ u. Kí hiê u H là a nh cu a ψ. Gȯi M H là tru ò ng con cu a M cô d i nh bo i H. Rõ ràng M N M H. Theo tu o ng ú ng Galois, tru ò ng hȯ p thành M H N ú ng vó i nhóm

148 Chu o ng 2. LÍ THUYÊ T GALOIS Galois Gal(MN/N). Do d ó M H N = N. Hay M H N. Do d ó M H = M N. Tu o ng ú ng Galois trong M : F cho ta H = Gal(M/M N). Ta có d iều pha i chú ng minh. Hê qua 8.4. Vó i gia thiê t nhu mê nh d ề trên và N : F là mo rô ng hũ u hȧn. Khi d ó : Chú ng minh. Ta có [MN : F ] = [M : F ][N : F ] [(M N) : F ]. [MN : F ] = [MN : N][N : F ] = [M : (M N)][N : F ]. Thay [M : (M N)] = [M : F ] [M N : F ], ta có d iều pha i chú ng minh. Mê nh d ề 8.5. Cho M, N là các tru ò ng trung gian cu a mo rô ng tru ò ng trên F tho a M : F và N : F là các mo rô ng Galois. Khi d ó MN và M N là các mo rô ng Galois cu a F. Ho n thê : Gal(M N/F ) Gal(M/F ) Gal(N/F ) σ (σ M, σ N )

8. D i nh lí co ba n cu a Lí thuyê t Galois 149 là t d ă mô ng câ u tù Gal(MN/F ) vào nhóm con H = {(σ 1, σ 2 ) σ 1 M N = σ 2 M N } cu a nhóm Gal(M/F ) Gal(N/F ). Chú ng minh. Cho α M N, gȯi f F [x] là d a thú c tô i tiê u cu a α. Gȯi n = deg(f). Vì M và N Galois trên F, d a thú c f có d úng n nghiê m phân biê t trong M và N. Trong tru ò ng hȯ p thành MN, d a thú c f có tô i d a n nghiê m, do d ó f có d úng n nghiê m phân biê t trong M N. Nhu thê M N Galois trên F. Mă t khác, tru ò ng M (tu o ng ú ng N) là tru ò ng phân rã cu a mô t d a thú c g (tu o ng ú ng h) tách d u ȯ c trên F. Khi d ó MN là tru ò ng phân rã cu a gh trên F. Do d ó MN Galois trên F. Xét d ồng câ u φ : Gal(M N/F ) Gal(M/F ) Gal(N/F ) σ (σ M, σ N ). Nê u σ Gal(MN/F ) cô d i nh mȯi phần tu cu a M và N thì cô d i nh mȯi phần tu cu a MN. Do d ó φ là d o n ánh.

150 Chu o ng 2. LÍ THUYÊ T GALOIS Rõ ràng Im(φ) H, vó i H = {(σ 1, σ 2 ) σ 1 M N = σ 2 M N }. Ta chú ng minh chúng trùng nhau bằng cách chı ra rằng sô phần tu cu a chúng bằng nhau. Ta có theo d i nh lí co ba n: Gal(N/F ) = Gal(M N/F ). Gal(N/(M N)) Suy ra, vó i mô t d ồng câ u σ Gal(M/F ) cho tru ó c, d ồng câ u hȧn chê σ M N có d úng [N : (M N)] mo rô ng trong Gal(N/F ). Do d ó (H : 1) = [M : F ][N : (M N)]. Mă t khác, theo hê qua trên, ta có [M : F ][N : (M N)] = [M : F ][N : F ] [M N : F ] = [MN : F ] = Gal(MN/F ). Hê qua 8.6. (i) Cho M, N nhu trong hê qua trên. Nê u M N = F thì Gal(MN/F ) = Gal(M/F ) Gal(N/F.

8. D i nh lí co ba n cu a Lí thuyê t Galois 151 (ii) Ngu ȯ c lȧi, cho t mo ng E : F có Gal(E/F ) = G 1 G 2 vó i G 1, G 2 là mô rô 2 nhóm con cu a Gal(E/F ). Khi d ó tồn tȧi các tru ò ng trung gian M, N cu a E : F sao cho M, N là các mo ng Galois trên F và E = MN. rô Chú ng minh. Phần thú nhâ t suy ra ngay tù qua trên. Gȯi M và N tu o ng hê ú ng là các tru ò ng trung gian cô d i nh bo i G 1 và G 2. Khi d ó tru ò ng trung gian M N ú ng vó i nhóm con nho nhâ t chú a G 1 và G 2. Nhóm d ó chính là G. Do d ó M N = F. Theo qua trên, ta có MN Galois trên F và có nhóm Galois d ă hê ng câ u vó i G 1 G 2 = Gal(E/F ). Suy ra MN = E. Bài p tâ 8. 1. Chȯn d úng, sai cho các mê nh d ề sau : a) Nê u mo rô ng là Galois thì các tu o ng ú ng Galois là các song ánh, ba o toàn quan bao hàm. hê b) Mô t mo rô ng hũ u hȧn là Galois khi và chı khi các tu o ng ú ng Galois là song ánh.

152 Chu o ng 2. LÍ THUYÊ T GALOIS c) Trong mô t mo rô ng Galois F E, tru ò ng cô d i nh bo i mô t nhóm con cu a nhóm Galois là mô t mo rô ng Galois trên F. d) Trong mô t mo rô ng Galois F E, tru ò ng cô d i nh bo i mô t nhóm con chuâ n tă c cu a nhóm Galois là mô t mo rô ng Galois trên F. e) Trong mô t mo rô ng Galois F E có nhóm Galois G, tru ò ng trung gian M ú ng vó i nhóm con H cu a G có bâ c trên F là (H : 1). f) Trong mô t mo rô ng Galois F E có nhóm Galois G, tru ò ng trung gian M ú ng vó i nhóm con H cu a G có bâ c trên F là (G : H). g) Trong mô t mo rô ng Galois F E có nhóm Galois G, gȯi M là tru ò ng trung gian ú ng vó i nhóm con H cu a G. Khi d ó [E : M] = (H : 1). h) Nhóm Galois cu a mô t d a thú c bâ c 3 luôn là nhóm aben. i) Nhóm Galois cu a mô t mo rô ng Galois bâ c 4 luôn là nhóm aben. j) Tru ò ng hȯ p thành cu a 2 tru ò ng trung gian là tru ò ng con nho nhâ t chú a chúng. (Xem HD 285) 8. 2. Chı ra các tu o ng ú ng Galois cu a mo rô ng tru ò ng Q(ξ) : Q vó i ξ = e 2πi/7. Chı

8. D i nh lí co ba n cu a Lí thuyê t Galois 153 ra các tru ò ng trung gian nào là Galois trên Q. Trong tru ò ng hȯ p tru ò ng trung gian M là Galois trên Q, tìm d a thú c tu o ng ú ng g Q[x] sao cho M là tru ò ng phân rã cu a g trên Q (Xem HD 285) 8. 3. Chú ng minh các kê t luâ n o Nhâ n xét 8.2. (Xem HD 286) 8. 4. Phân tích các tu o ng ú ng Galois cu a tru ò ng phân rã cu a d a thú c x 3 2 trên Q và chı ra các tru ò ng trung gian là mo rô ng Galois trên Q. (Xem HD 287) 8. 5. Phân tích tu o ng ú ng Galois cu a mo rô ng o các Bài tâ p 6. 2, 7. 7 và 7. 9. (Xem HD 287) 8. 6. Cho K là tru ò ng phân rã cu a d a thú c x 3 5 trên Q( 7). Chú ng minh rằng tồn tȧi tru ò ng con M cu a K chú a Q( 7), sao cho Gal(K/M) = Z 3. (xem bài tâ p 6. 9 ) (Xem HD 288) 8. 7. Xác d i nh nhóm Galois cu a d a thú c f = x 5 6x 4 + 3 trên F vó i a) F = Q ; b) F = Z 2.

154 Chu o ng 2. LÍ THUYÊ T GALOIS Trong mô i tru ò ng hȯ p, gȯi K là tru ò ng phân rã cu a f, xác d i nh có bao nhiêu tru ò ng trung gian M cu a F K sao cho [M : F ] = 2. (Xem HD 288) 8. 8. Cho K = Q( 5, 7) và L là tru ò ng phân rã cu a f = x 3 2. a) Xác d i nh nhóm Galois cu a K : Q và L : Q. b) Tru ò ng K có chú a nghiê m nào cu a f hay không? c) Xác d i nh bâ c cu a mo rô ng Q K L. (Xem HD 288) 8. 9. Cho F là tru ò ng có d ă c sô khác 2. a) Cho a, b F sao cho a, b và ab không có căn bâ c 2 trong F. Chú ng minh rằng tru ò ng F ( a, b) là mô t mo rô ng Galois trên F và Gal(K/F ) = Z 2 Z 2. b) D a o lȧi, cho F K là mô t mo rô ng bâ c 4 có Aut(K/F ) = Z 2 Z 2. Chú ng minh rằng K = F ( a, b) vó i a, b và ab không có căn bâ c 2 trong F. (Xem HD 289)

8. D i nh lí co ba n cu a Lí thuyê t Galois 155 8. 10. Cho E = Q( 8 2, i), M 1 = Q(i), M 2 = Q( 2), M 3 = Q( 2). Xác d i nh các nhóm Aut(E/M i ) vó i 1 i 3. (Xem HD 289) 8. 11. Cho f = x 4 2x 2 2 Q[x]. a) Chú ng to f bâ t kha quy trên Q. b) D ă t α = 1 + 3 và β = 1 3. Chú ng to α và β d ều là nghiê m cu a f. Tìm các nghiê m còn lȧi cu a f. c) D ă t K 1 = Q(α), K 2 = Q(β). Chú ng to K 1 K 2 và K 1 K 2 = Q( 3) = F. d) Chú ng minh rằng K 1, K 2 và K 1 K 2 là các mo rô ng Galois trên F. Mô ta nhóm Galois Gal(K 1 K 2 /F ), vẽ so d ồ bao hàm các nhóm con và các tru ò ng trung gian tu o ng ú ng. e) Chú ng minh rằng nhóm Galois cu a f d ă ng câ u vó i nhóm các phép d ô i xú ng cu a hình vuông. (Xem HD 290)

156 Chu o ng 2. LÍ THUYÊ T GALOIS 9 T SÔ Ú NG NG CU MÔ DU A LÍ THUYÊ T GALOIS 9.1 TRU Ò NG HŨ U HȦN D i nh nghĩa. Mô t tru ò ng có hũ u hȧn phần tu thì gȯi là tru ò ng hũ u hȧn. n xét 9.1. Nhâ (i) Tru ò ng hũ u hȧn E có d ă c sô p nguyên tô. Do d ó tru ò ng con nguyên tô cu a E, kí hiê u F p, d ă ng câ u vó i Z p. (ii) Tru ò ng hũ u hȧn E có d ă c sô p thì có q = p n phần tu, vó i n = [E : F p ]. Mê nh d ề 9.2. Mȯi tru ò ng hũ u hȧn d ều là mo ng d o n trên tru ò ng con nguyên tô rô cu a nó. Chú ng minh. Cho E là mô t tru ò ng hũ u hȧn có tru ò ng con nguyên tô F p. Ta biê t rằng nhóm nhân E = E\{0} là mô t nhóm cyclic. Gȯi α là phần tu sinh. Rõ ràng E = F p (α). Mê nh d ề 9.3. t tru ò ng hũ u hȧn E có p Mô n phần tu (p nguyên tô ) d ă ng câ u vó i tru ò ng phân rã cu a x pn x trên F p, có nhóm Galois là nhóm cyclic câ p n sinh bo i

9. Mô t sô ú ng du ng cu a Lí thuyê t Galois 157 ánh xȧ Frobenius σ : a a p. Suy ra vó i mȯi n N, tồn tȧi duy nhâ t (sai khác d ă ng câ u) mô t tru ò ng hũ u hȧn có p n phần tu, kí hiê u F p n. Chú ng minh. Do E = E\{0} là nhóm nhân câ p p n 1 nên a pn 1 = 1, vó i mȯi a E. Suy ra, mȯi phần tu cu a E d ều là nghiê m cu a d a thú c x pn x. Ho n nũ a, d a thú c x pn x không thê có quá p n nghiê m, do d ó E là tru ò ng phân rã cua x pn x trên F p.vì d a thú c x pn x tách d u ȯ c trên F p nên E là mo rô ng Galois trên F p và nhóm Galois G cu a nó có câ p n. Gȯi α E là phần tu có câ p p n 1 trong nhóm cyclic E. Do σ i (α) = α pi α i < n và σ n (α) = α nên σ có câ p là n. Do d ó G là nhóm cyclic sinh ra bo i σ. qua 9.4. Cho F p n là tru ò ng có p Hê n phần tu. Mȯi tru ò ng trung gian cu a F p n : F p d ều là mo ng Galois cu a F p và tu o ng ú ng 1-1 vó i p các u ó c cu a n. rô tâ Chú ng minh. Vì mo rô ng là Galois, các tru ò ng trung gian cu a F p n : F p tu o ng ú ng 1-1 vó i các nhóm con cu a nhóm cyclic (σ) câ p n. Do d ó chúng tu o ng ú ng 1-1 vó i các u ó c cu a n. Vó i d n, tru ò ng trung gian duy nhâ t bâ c d trên F p (d ă ng câ u vó i F p d) là tru ò ng cô d i nh bo i nhóm cyclic (σ d ).

158 Chu o ng 2. LÍ THUYÊ T GALOIS Hê qua 9.5. Cho f F p [x] bâ t kha quy bâ c d n. Khi d ó f là mô t nhân tu cu a x pn x khi và chı khi d n. Chú ng minh. Gȯi α là mô t nghiê m cu a f. Vì f là nhân tu cu a x pn x nên α nằm trong tru ò ng phân rã cu a x pn x. Do d ó d = [F p (α) : F p ] là mô t u ó c cu a n. Ngu ȯ c lȧi, ta có F p (α) d ă ng câ u vó i F p d là tru ò ng phân rã cu a x pd x trên F p. Suy ra α là nghiê m cu a x pd x. Do d ó f là u ó c cu a x pd x nên là u ó c cu a x pn x. Su ng Maple 4. qua trên cho ta xác d i nh tâ t ca các d a thú c chuâ du Hê n tă c, bâ t kha quy bâ c d (và bâ c d d) trên Z p bằng cách tìm dȧng nhân tu hóa cu a x pd x. Vó i Maple, ta dê dàng thu c hiê n d iều d ó. Ví sau tìm tâ t ca các d a thú c bâ t kha quy chuâ du n tă c bâ c 1, bâ c 2 và 4 trên tru ò ng Z 3. > Factor(x^(3^4)-x)mod 3 ;

9. Mô t sô ú ng du ng cu a Lí thuyê t Galois 159 (x 4 + x 2 + x + 1) x (x 4 + x 3 + x 2 + x + 1) (x + 1) (x 2 + 1) (x 4 + 2 x 3 + x 2 + 1) (x 4 + 2 x + 2) (x 4 + 2 x 3 + x 2 + x + 2) (x 4 + 2 x 3 + 2) (x 4 + x 3 + 2 x + 1) (x 4 + 2 x 2 + 2) (x 4 + 2 x 3 + x + 1) (x 4 + x 2 + 2) (x 4 + x 3 + x 2 + 2 x + 2) (x 4 + 2 x 3 + 2 x 2 + x + 2) (x 2 + x + 2) (x 4 + x 3 + 2) (x + 2) (x 4 + x 2 + 2 x + 1) (x 4 + x + 2) (x 4 + x 3 + 2 x 2 + 2 x + 2) (x 2 + 2 x + 2) (x 4 + x 3 + x 2 + 1) (x 4 + 2 x 3 + x 2 + 2 x + 1) Hê qua 9.6. Mȯi d a thú c bâ t kha quy f trên tru ò ng hũ u hȧn E d ều phân rã trong mo rô ng E(α) vó i α là mô t nghiê m cu a f. Chú ng minh. Tru ò ng E(α) là mo rô ng Galois trên F p nên là mo rô ng Galois trên E. Suy ra d a thú c tô i tiê u cu a α (do d ó f) phân rã trong E(α). Mê nh d ề 9.7. Cho E là mô t tru ò ng hũ u hȧn. Tồn tȧi bao d óng d ȧi sô cu a E. Chú ng minh. Gȯi p là d ă c sô cu a E. Khi d ó E d ă ng câ u vó i F p n. D ă t F p = F p r. Khi d ó F p là mô t tru ò ng. Dê thâ y rằng nó là mô t mo rô ng d ȧi sô r 1 cu a F p, và do d ó là mo rô ng d ȧi sô cu a E. Cuô i cùng nó là mô t tru ò ng d óng d ȧi sô

160 Chu o ng 2. LÍ THUYÊ T GALOIS vì vó i mȯi f F p [x], tồn tȧi l d ê f F p l[x]. Tru ò ng phân rã cu a f trên F p l là mo rô ng hũ u hȧn cu a F p do d ó có dȧng F p m nên chú a trong F p. Viê c tồn tȧi bao d óng d ȧi sô cu a mô t tru ò ng bâ t kì, xem D i nh lí C.1 trong Phu c. lu 9.2 TRU Ò NG VÀ D A THÚ C CHIA D U Ò NG TRÒN Cho F là mô t tru ò ng và n N không chia hê t cho d ă c sô cu a D i nh nghĩa. F. Tru ò ng phân rã E n cu a x n 1 trên F d u ȯ c gȯi là tru ò ng chia d u ò ng tròn bâ c n (trên F ). n xét 9.8. Mô t nghiê m cu a x Nhâ n 1 gȯi là căn bâ c n cu a d o n vi. Tâ p tâ t ca các căn bâ c n cu a d o n tȧo thành mô t nhóm nhân C n trong tru ò ng chia d u ò ng tròn vi bâ c E n. Nhóm C n có n phần tu do x n 1 tách d u ȯ c. Nhu thê nhóm C n là nhóm cyclic (xem Bài tâ p 0. 18). Mô t phần tu sinh cu a C n gȯi là căn nguyên thu y c bâ n cu a d o n vi. Sô các căn nguyên thu y bâ c n cu a d o n bằng ϕ(n) vó i ϕ là hàm vi Euler. Mê nh d ề 9.9. Tru ò ng chia d u ò ng tròn E n là mo ng d o n Galois trên F. rô

9. Mô t sô ú ng du ng cu a Lí thuyê t Galois 161 Chú ng minh. Gȯi ξ n là mô t căn nguyên thu y bâ c n cu a d o n vi. Khi d ó E n = F (ξ n ). D a thú c x n 1 tách d u ȯ c trên F nên E n Galois trên F. Cho σ Gal(E n /F ). Khi d ó σ ca m sinh mô t tu d ă ng câ u cu a nhóm C n. Do d ó σ(ξ n ) cũng là mô t phần tu sinh cu a C n. Suy ra, tồn tȧi duy nhâ t i {1,..., n 1}, tho a (i, n) = 1 d ê σ(ξ n ) = ξn i. Nhu thê, ta có mô t ánh xȧ tù Gal(F (ξ n )/F ) vào Z n, nhóm nhân các phần tu kha nghi ch cu a Z n, xác d i nh bo i σ i. Dê dàng thâ y rằng ánh xȧ này là mô t d o n câ u nhóm. Do d ó ta có kê t qua sau. Mê nh d ề 9.10. Ánh xȧ tù Gal(F (ξ n )/F ) vào Z n xác d i nh bo i σ i là t d o n mô câ u nhóm. Suy ra nhóm Galois Gal(F (ξ n )/F ) d ă ng câ u vó i t nhóm con cu a mô Z n. n xét 9.11. D o n câ u nhóm Gal(F (ξ n )/F ) Z Nhâ n nêu trên không nhâ t thiê t pha i là mô t toàn câ u. Ví nê u F = R, nhóm Gal(R(ξ n )/R) hoă c là nhóm tầm du thu ò ng hoă c chı có 2 phần tu. Mă t khác, nê u F = Q và n = p, nhóm Gal(Q(ξ p )/F ) có p 1 phần tu, bằng vó i câ p cu a Z p, nên d o n câ u trên là mô t d ă ng câ u. Ta sẽ thâ y rằng d iều d ó d úng vó i mȯi n khi F = Q.

162 Chu o ng 2. LÍ THUYÊ T GALOIS Cho ξ 1,..., ξ ϕ(n) là ϕ(n) căn nguyên thu y bâ c n cu a d o n trong vi tru ò ng chia d u ò ng tròn bâ c n trên F. D a thú c chia d u ò ng tròn D i nh nghĩa. thú n là d a thú c d i nh bo i Φ n (x) = ϕ(n) (x ξ i ). Ta có các tính châ t d o n gia n sau d ây liên quan d ê n Φ(n) : Mê nh d ề 9.12. (i) x n 1 = d nφ d (x). i=1 (ii) Nê u F có c sô 0 và d ồng nhâ t Z vó i a nh cu a nó trong F qua d o n câ u d i nh d ă bo i n n.1 F thì Φ n (x) Z[x]. (iii) Nê u F có c sô p và d ồng nhâ t Z p vó i tru ò ng con nguyên tô cu a F thì d ă Φ n (x) Z p [x], bằng vó i d a thú c n d u ȯ c o (ii) modulo p. nhâ Chú ng minh. (i) Hiê n nhiên.

9. Mô t sô ú ng du ng cu a Lí thuyê t Galois 163 (ii) Ta chú ng minh bằng quy nȧp theo n. Nê u n = 1 kê t qua là hiê n nhiên. Ta có x n 1 = Φ d (x) = Φ n (x) d (x). d n d nφ Theo gia thiê t quy nȧp Φ d (x) Z[x], d n (nghĩa là d là u ó c cu a n và d < n). D ă t Ta có G = d nφ d (x) Z[x]. Φ n (x) = xn 1 G là thu o ng cu a hai d a thú c có hê tu thuô c Z nên Φ n (x) Z[x]. (iii) Hiê n nhiên tù chú ng minh cu a (ii). Ví du 29. (i) Vó i mȯi p nguyên tô, ta có Φ p (x) = x p 1 + + x + 1.

164 Chu o ng 2. LÍ THUYÊ T GALOIS (ii) Tù mê nh d ề trên, ta dê dàng tính d u ȯ c Φ(n), chă ng hȧn : Φ 1 (x) = x 1 ; Φ 2 (x) = x2 1 x 1 = x + 1 ; Φ 3 (x) = x3 1 x 1 = x2 + x + 1 ; Φ 4 (x) = Φ 6 (x) = Φ 8 (x) = Φ 9 (x) = Φ 10 (x) = x 4 1 (x 1)(x + 1) = x2 + 1 ; x 6 1 (x 1)(x + 1)(x 2 + x + 1) = x2 x + 1 ; x 8 1 (x 1)(x + 1)(x 2 + 1) = x4 + 1 ; x 9 1 (x 1)(x 2 + x + 1) = x6 + x 3 + 1 ; x 10 1 (x 1)(x + 1)Φ 5 (n) = x4 x 3 + x 2 x + 1 ;

9. Mô t sô ú ng du ng cu a Lí thuyê t Galois 165 Φ 12 (x) = x 12 1 Φ 1 (x)φ 2 (x)φ 3 (x)φ 4 (x)φ 6 (x) = x4 x 2 + 1 ; Nhâ n xét 9.13. D ê tính d a thú c chia d u ò ng tròn, ta có thê dùng công thú c d a o ngu ȯ c Möbius sau d ây. Gȯi µ : N N là hàm Möbius d i nh bo i : 1 nê u n = 1, µ(n) = 0 nê u n chú a mô t u ó c chính phu o ng, ( 1) r nê u n = p 1 p r, p i p j nguyên tô. D ă t f là hàm xác d i nh trên N và lâ y giá tri trong 1 nhóm nhân aben. Cho F (n) = d nf(d). Khi d ó công thú c d a o ngu ȯ c Möbius cho bo i : f(n) = d nf (d) µ(n d ). Áp ng cho hàm f(n) = Φ n (x) có giá trong nhóm nhân F (x) du tri và F (n) = x n 1. Ta có Φ n (x) = d n(x d 1) µ(n d ). Su ng Maple 5. Maple cung câ p cho ta lê nh d ê du tính d a thú c chia d u ò ng tròn nhu sau :

166 Chu o ng 2. LÍ THUYÊ T GALOIS > with(numtheory): > cyclotomic(n,x); vó i n là mô t sô tu nhiên xác d i nh. Ví, Maple cho lȧi ta các d a thú c chia d u ò ng tròn d ã biê t: du > for i to 12 do Phi[i]:=cyclotomic(i,x) od; Φ 1 := x 1 Φ 2 := x + 1 Φ 3 := x 2 + x + 1 Φ 4 := x 2 + 1 Φ 5 := x 4 + x 3 + x 2 + x + 1 Φ 6 := x 2 x + 1 Φ 7 := x 6 + x 5 + x 4 + x 3 + x 2 + x + 1 Φ 8 := x 4 + 1 Φ 9 := x 6 + x 3 + 1 Φ 10 := x 4 x 3 + x 2 x + 1 Φ 11 := x 10 + x 9 + x 8 + x 7 + x 6 + x 5 + x 4 + x 3 + x 2 + x + 1

9. Mô t sô ú ng du ng cu a Lí thuyê t Galois 167 Ta có kê t qua d o n gia n sau d ây : Φ 12 := x 4 x 2 + 1 Mê nh d ề 9.14. Cho F là tru ò ng có d ă c sô 0 hoă c không chia hê t n. Gȯi F (ξ n ) là tru ò ng chia d u ò ng tròn bâ c n trên F, vó i ξ n là mô t căn nguyên thu y bâ c n cu a d o n vi. Các mê nh d ề sau là tu o ng d u o ng : (i) d a thú c chia d u ò ng tròn Φ n (x) bâ t kha quy trên F ; (ii) [F (ξ n ) : F ] = ϕ(n) ; (iii) d o n câ u Gal(F (ξ n )/F ) Z n xác d i nh nhu trong (9.10) là mô t d ă ng câ u. Chú ng minh. D a thú c tô i tiê u cu a ξ n trên F là u ó c cu a Φ n (x), và Φ n (x) có bâ c là ϕ(n). Do d ó Φ n (x) bâ t kha quy khi và chı khi [F (ξ n ) : F ] = ϕ(n). Chú ý rằng câ p cu a Gal(F (ξ n )/F ) bằng vó i [F (ξ n ) : F ], nên [F (ξ n ) : F ] = ϕ(n) khi và chı khi d o n câ u Gal(F (ξ n )/F ) Z n là d ă ng câ u. D i nh lí 9.15. D a thú c chia d u ò ng tròn Φ n (x) bâ t kha quy trên Q.

168 Chu o ng 2. LÍ THUYÊ T GALOIS Chú ng minh. Gȯi f Z[x] là mô t u ó c bâ t kha quy cu a Φ n (x). Ta có Φ n (x) = fg, vó i g Z[x]. Gȯi ξ n là mô t nghiê m cu a f. Rõ ràng ξ n là mô t căn nguyên thu y bâ c n cu a d o n vi. Ta chú ng minh Φ n (x) = f bằng cách chı ra rằng vó i mȯi m nguyên tô cùng nhau vó i n thì ξn m cũng là mô t nghiê m cu a f. Thu c ra, ta chı cần chı ra rằng vó i mȯi p nguyên tô không chia hê t n, phần tu ξn p cũng là mô t nghiê m cu a f. Gia su có p nguyên tô không chia hê t n sao cho ξn p không pha i là nghiê m cu a f. Suy ra ξn p là nghiê m cu a g. Nói cách khác ξ n là nghiê m cu a g(x p ). Nhu vâ y ξ n là nghiê m chung cu a f và g(x p ). Nhu thê (f, g(x p )) 1 trong Q[x]. Gȯi f, g(x p ) là a nh cu a f và g(x p ) trong vành Z p [x]. Suy ra (f, g(x p )) 1 trong Z p [x]. Trong Z p [x], ta có g(x p ) = g(x) p. Nhu thê (f, g) 1 trong Z p [x]. Nói cách khác, Φ n (x) có nghiê m bô i trong tru ò ng phân rã cu a nó trên Z p. D iều này vô lí. Nhâ n xét 9.16. Trên tru ò ng có d ă c sô ló n ho n 0, d a thú c Φ n (x) không nhâ t thiê t bâ t kha quy. Ví du Φ 12 (x) = x 4 x 2 + 1 = (x 2 + 6x + 1)(x 2 + 5x + 1)

9. Mô t sô ú ng du ng cu a Lí thuyê t Galois 169 trong Z 11 [x]. 9.3 D A GIÁC D ỀU DU NG D U Ȯ C BẰNG THU Ó C KE VÀ COMPA Trong Bài 4, ta d ã chú ng minh rằng nê u α R du ng d u ȯ c bằng thu ó c ke và compa thì [Q(α) : Q] = 2 r vó i r N. Ngu ȯ c lȧi, ta có : Bô d ề 9.17. Cho α E R vó i E là t mo ng Galois cu a Q. Nê u mô rô [E : Q] = 2 r thì α du ng d u ȯ c bằng thu ó c ke và compa. Chú ng minh. Gia su ta có [E : Q] = 2 r. Gȯi G = Gal(E/Q). Ta có (G : 1) = 2 r. Tồn tȧi dây chuyền các nhóm con (A.17) {1} = G 0 G 1 G r = G tho a (G i : G i 1 ) = 2, vó i mȯi i = 1,..., r. Ta có dây chuyền các tru ò ng trung gian tu o ng ú ng: E = T (G 0 ) T (G 1 ) T (G r ) = Q vó i [T (G i 1 ) : T (G i )] = 2, vó i mȯi i = 1,..., r. Suy ra T (G i 1 ) = T (G i )( d),

170 Chu o ng 2. LÍ THUYÊ T GALOIS vó i d T (G i ). Do d ó nê u mȯi phần tu cu a T (G i ) du ng d u ȯ c thì mȯi phần tu cu a T (G i 1 ) cũng du ng d u ȯ c, vó i mȯi i = 1,..., r. Suy ra α du ng d u ȯ c. D i nh lí 9.18. D a giác d ều n cȧnh du ng d u ȯ c khi và chı khi n = 2 r p 1 p s vó i p 1,, p s là các sô nguyên tô Fermat khác nhau. Chú ng minh. D a giác d ều du ng d u ȯ c khi và chı khi ξ n = e 2πi/n C = R 2 là mô t d iê m du ng d u ȯ c. Tu o ng d u o ng vó i sô α = cos( 2π n ) du ng d u ȯ c. Ta có α = (ξ n + ξ 1 n )/2. Suy ra ξ2 n 2αξ n + 1 = 0. Do d ó [Q(ξ n ) : Q(α)] = 2. Mă t khác ta biê t rằng Q(ξ n ) : Q là mo rô ng Galois có nhóm Galois G d ă ng câ u vó i Z n. Tru ò ng trung gian Q(α) cũng là mô t mo rô ng Galois trên Q. Do d ó α du ng d u ȯ c khi và chı khi [Q(α) : Q] = ϕ(n) 2 là mô t lũy thù a cu a 2. Tu o ng d u o ng ϕ(n) là mô t lũy thù a cu a 2. D iều d ó xa y ra khi và chı khi n có dȧng nhu d ã chı ra (xem Mê nh d ề 0.22).

9. Mô t sô ú ng du ng cu a Lí thuyê t Galois 171 9.4 D İNH LÍ CO BA N CU A D ȦI SÔ Ta sẽ áp ng Lí thuyê t Galois d ê du d u a ra mô t chú ng minh cho D i nh lí co ba n cu a d ȧi sô. D i nh lí 9.19 (D i nh lí co ba n cu a d ȧi sô ). Mȯi d a thú c c ló n ho n 0 trên tru ò ng bâ sô phú c C có t m trong C. mô nghiê Chú ng minh. Ta dùng 2 tính châ t co ba n sau về tru ò ng sô thu c và phú c. Tính châ t 1. Mȯi d a thú c sô thu c có c le d ều có t m thu c. Suy ra R hê bâ mô nghiê không có t mo ng thu c su c le. Tính châ t này suy ra dê dàng tù mô rô bâ D i nh lí giá trung bình. Mô t d a thú c f(x) trên R chuâ tri n tă c bâ c le thì có giá âm vó i x tri d u bé và có giá du o ng vó i x d u ló n. Vì thê f có ít nhâ t mô t nghiê m thu c. Vó i tri mô t mo rô ng E : R bâ c le, do E là mo rô ng d o n cu a R nên E = R(α). Gȯi f là d a thú c tô i tiê u cu a α thì f bâ t kha quy và có nghiê m trong R, nên f có bâ c 1. Suy ra E = R. Tính châ t 2. Mȯi d a thú c c 2 trên C có m trong C. Tính châ t này d u ȯ c suy bâ nghiê ra nê u ta chı ra rằng mȯi sô phú c d ều có mô t căn bâ c 2. Thâ t vâ y, nê u z = re α vó i

172 Chu o ng 2. LÍ THUYÊ T GALOIS 0 r R. Khi d ó sô phú c a = re α/2 tho a a 2 = z. Bây giò ta chú ng minh d i nh lí. Gȯi τ Aut(C) là phép lâ y liên hȯ p. Cho f C[x] có bâ c n ló n ho n 0. Gȯi f là d a thú c nhâ n d u ȯ c bằng tác d ô ng τ lên các hê sô cu a f. D a thú c ff có các hê sô bâ t biê n bo i τ nên thuô c vào R[x]. Do d ó, d ê chú ng minh f có nghiê m phú c, ta chı cần chú ng minh cho f R[x]. Xét n = 2 m k vó i k le và m 0. Ta chú ng minh bằng quy nȧp trên m. Nê u m = 0 thì n le, nên d i nh lí d u ȯ c chú ng minh. Xét m > 0. Gȯi α 1,..., α n là các nghiê m cu a f và d ă t K = R(α 1,..., α n, i). Khi d ó K là mo rô ng Galois cu a R và C K. Vó i mȯi t R, xét d a thú c : L t = 1 i<j n [x (α i + α j + tα i α j )]. Rõ ràng, vó i mȯi σ Gal(K/R), khi tác d ô ng σ lên f, các nhân tu cu a L hoán vi cho nhau nên σ (L t ) = L t. Nói cách khác L t R[x]. Bâ c cu a L t là n(n 1) 2 = 2 m 1 k(2 m k 1) = 2 m 1 k vó i k le. Do sô mũ cu a 2 nho ho n m nên theo gia thuyê t quy nȧp, d a thú c L t có

9. Mô t sô ú ng du ng cu a Lí thuyê t Galois 173 nghiê m phú c. Nhu thê vó i mô i t R, tồn tȧi i, j tho a 0 i < j n sao cho α i + α j + tα i α j C. Do t có thê lâ y vô hȧn trong khi sô că p (i, j) hũ u hȧn, nên tồn tȧi s r trong R và că p i, j d ê α i + α j + tα i α j, α i + α j + sα i α j C. Suy ra (s t)α i α j C. Nên α i α j và do d ó ca α i + α j thuô c C. Nhu thê α i và α j là 2 nghiê m cu a cùng mô t d a thú c bâ c 2 trên C do d ó thuô c C. Ta có d iều pha i chú ng minh. Bài p tâ 9. 1. Chȯn d úng, sai cho các mê nh d ề sau : a) Mȯi tru ò ng hũ u hȧn d ều là mo rô ng Galois trên tru ò ng nguyên tô cu a nó. b) Có duy nhâ t (sai khác d ă ng câ u) mô t tru ò ng hũ u hȧn có n phần tu. c) Có duy nhâ t (sai khác d ă ng câ u) mô t tru ò ng hũ u hȧn có p n phần tu vó i p

174 Chu o ng 2. LÍ THUYÊ T GALOIS nguyên tô. d) Mȯi d a thú c bâ t kha quy bâ c d trên Z p d ều là u ó c cu a x pn x. e) Có hũ u hȧn d a thú c bâ t kha quy bâ c n trên mô t tru ò ng hũ u hȧn cho tru ó c. f) Có tru ò ng hũ u hȧn gồm 124 phần tu. g) Có tru ò ng hũ u hȧn mà nhóm nhân các phần tu khác 0 gồm 124 phần tu. h) Mȯi tru ò ng có 121 phần tu d ều d ă ng câ u. i) Mȯi tu d ồng câ u cu a tru ò ng hũ u hȧn d ều là tu d ă ng câ u. j) Nhóm cô ng các phần tu trong tru ò ng hũ u hȧn là nhóm cyclic. k) Nhóm con hũ u hȧn cu a nhóm nhân các phần tu khác 0 cu a mô t tru ò ng hũ u hȧn là mô t nhóm cyclic. l) Mȯi tru ò ng chia d u ò ng tròn d ều là mo rô ng Galois. m) Nhóm Galois cu a tru ò ng chia d u ò ng tròn là nhóm cyclic. n) Nhóm Galois cu a tru ò ng chia d u ò ng tròn là nhóm aben. o) Có d úng ϕ(n) căn nguyên thu y bâ c n > 0 cu a d o n trên tru ò ng F có d ă c vi sô không chia hê t n.

9. Mô t sô ú ng du ng cu a Lí thuyê t Galois 175 p) D a thú c chia d u ò ng tròn luôn luôn bâ t kha quy trên tru ò ng nguyên tô cu a nó. q) D a thú c chia d u ò ng tròn luôn tách d u ȯ c. r) D a giác d ều có 2 2006.3.5.17.257.65537 cȧnh du ng d u ȯ c bằng thu ó c ke và compa. s) D a giác d ều có 30 cȧnh du ng d u ȯ c bằng thu ó c ke và compa. t) D a giác d ều có 18 cȧnh du ng d u ȯ c bằng thu ó c ke và compa. u) D a giác d ều có 14 cȧnh du ng d u ȯ c bằng thu ó c ke và compa. (Xem HD 291) 9. 2. Tìm tâ t ca d a thú c bâ t kha quy bâ c 2, 3, 4, 5 trên tru ò ng Z 2, Z 3, Z 5 (có thê su du ng Maple). (Xem HD 291) 9. 3. Cho f, g là 2 d a thú c bâ t kha quy cùng bâ c trên tru ò ng hũ u hȧn E. Gȯi α, β lần lu ȯ t là nghiê m cu a f và g. Chú ng minh rằng các tru ò ng E(α) và E(β) d ă ng câ u vó i nhau. (Xem HD 291)

176 Chu o ng 2. LÍ THUYÊ T GALOIS 9. 4. Chú ng minh rằng vó i mȯi sô nguyên du o ng n, tồn tȧi mô t d a thú c bâ t kha quy bâ c n trên F p. (Xem HD 292) 9. 5. Chú ng minh rằng d a thú c x 4 + 1 là kha quy trên Z p vó i mȯi p nguyên tô. (Xem HD 292) 9. 6. Xác d i nh các tu o ng ú ng Galois cu a tru ò ng chia d u ò ng tròn Q(ξ 12 ) trên Q. (Xem HD 292) 9. 7. Làm tu o ng tu cho Q(ξ 13 ). (Xem HD 293) 9. 8. Cho E : F là mô t mo rô ng hũ u hȧn. Chú ng minh rằng E = F (γ) khi và chı khi E : F chı có hũ u hȧn các tru ò ng trung gian. Suy ra mȯi mo rô ng hũ u hȧn và tách d u ȯ c d ều là mo rô ng d o n. (xem Bài tâ p 3. 8) (Xem HD 293) 9. 9. Ký hiê u F p là bao d óng d ȧi sô cu a F p. Chú ng minh rằng mo rô ng F p (x, y) không pha i là mo rô ng d o n cu a F p (x p, y p ) bằng cách chı ra rằng có vô hȧn tru ò ng trung gian, (xem bài tâ p 9. 8). (Xem HD 293)

9. Mô t sô ú ng du ng cu a Lí thuyê t Galois 177 9. 10. Cho F là tru ò ng có 16 phần tu. Xác d i nh sô nghiê m trong F cu a các d a thú c sau d ây : a) x 3 1 ; b) x 4 1 ; c) x 15 1 ; d) x 17 1. (Xem HD 294) 9. 11. Cho F là tru ò ng có d ă c sô khác 2. Chú ng minh rằng phu o ng trình x 2 = 1 có nghiê m trong F khi và chı khi F = 4k + 1 vó i k N. (Xem HD 294) 9. 12. Gȯi ζ là mô t căn nguyên thu y bâ c 12 cu a d o n trên Q. Có bao nhiêu tru ò ng vi trung gian thu c su cu a mo rô ng Q(ζ 3 ) Q(ζ)? (Xem HD 294) 9. 13. Cho F là tru ò ng có 81 phần tu. Xác d i nh sô nghiê m trong F cu a các d a thú c sau : a) x 80 1 ; b) x 81 1 ;

178 Chu o ng 2. LÍ THUYÊ T GALOIS c) x 88 1. (Xem HD 294) 9. 14. Tìm dȧng nhân tu hóa cu a d a thú c f = x 4 + 1 trên F 5, F 25 và F 125. Xác d i nh tru ò ng phân rã cu a f trong các tru ò ng hȯ p trên. (Xem HD 294)

10. Nhóm Galois cu a d a thú c 179 10 NHÓM GALOIS CU A D A THÚ C Trong bài này, ta sẽ tính toán nhóm Galois cu a mô t sô ló p d a thú c d ă c biê t trên mô t tru ò ng F tùy ý. 10.1 BIÊ T THÚ C Cho f = x n + a 1 x n 1 + + a 0 F [x] là mô t d a thú c tách d u ȯ c. Gȯi α 1,..., α n là tâ t ca các nghiê m cu a f. D ă t : D f = gȯi là biê t thú c cu a f. Kí hiê u Df = 1 i<j n 1 i<j n (α i α j ) 2 (α i α j ). Chú ý rằng D f 0 khi và chı khi f không có nghiê m bô i. Gȯi G f là nhóm Galois cu a f trên F và xem G f là nhóm con cu a nhóm d ô i xú ng S n. Bô d ề 10.1. Cho f xác d i nh nhu trên và không có nghiê m bô i. Vó i mȯi σ G f,

180 Chu o ng 2. LÍ THUYÊ T GALOIS (i) σ( D f ) = sign(σ) D f ; (ii) σ(d f ) = D f. Chú ng minh. Suy ra tru c tiê p tù d i nh nghĩa cu a d ồng câ u sign. Mê nh d ề 10.2. Cho f nhu trong bô d ề trên. Gȯi E f là tru ò ng phân rã cu a f trên F. Khi d ó : (i) Biê t thú c D f là mô t phần tu cu a F ; (ii) Tru ò ng con cu a E f cô d i nh bo i G f A n là F ( D f ), trong d ó A n là nhóm thay phiên. Suy ra G f A n D f F D f chính phu o ng trong F. Chú ng minh. (i) Do D f cô d i nh bo i mȯi phần tu cu a G f và E f : F Galois nên D f F. (ii) Do f chı có nghiê m d o n nên D f 0. Tù bô d ề trên, ta có σ G f cô d i nh Df khi và chı khi σ A n. Do d ó G f A n chính là nhóm cô d i nh F ( D f ).

10. Nhóm Galois cu a d a thú c 181 Ví 30. Cho d a thú c bâ c hai f = x du 2 + bx + c F [x] tách d u ȯ c. Gȯi α 1, α 2 là 2 nghiê m cu a f. Ta có D f = (α 1 α 2 ) 2 = (α 1 α 2 ) 2 4α 1 α 2 = b 2 4c. Biê t thú c D f = 0 khi và chı khi f có nghiê m kép. Nhóm Galois G f d ă ng câ u vó i nhóm con cu a S 2. Nê u D f chính phu o ng trong F thì G f = 1 = A 2 và G f = S 2 nê u D f không chính phu o ng trong F. 10.2 NHÓM GALOIS CU A D A THÚ C C 3 BÂ Trong c này và c (10.3) sau, d ê mu mu d o n gia n trong biê n luâ n, ta gia thiê t F có d ă c sô khác 2, 3. Khi d ó mȯi d a thú c bâ c 2, 3, 4 trên F d ều tách d u ȯ c. Cho f = x 3 + ax 2 + bx + c F [x]. Thay x = y a/3, ta có d a thú c theo y g = y 3 + py + q F [y] (3) vó i p = 1 3 (3b a2 ), q = 1 27 (2a3 9ab + 27c).

182 Chu o ng 2. LÍ THUYÊ T GALOIS Rõ ràng tru ò ng phân rã cu a f và g trên F là nhu nhau và biê t thú c cu a chúng cũng trùng nhau. Gȯi α 1, α 2, α 3 là 3 nghiê m cu a g. Ta có g = (y α 1 )(y α 2 )(y α 3 ). D ȧo hàm hình thú c cu a g là : g = (y α 1 )(y α 2 ) + (y α 2 )(y α 3 ) + (y α 1 )(y α 3 ). Do d ó g (α 1 ) = (α 1 α 2 )(α 1 α 3 ) g (α 2 ) = (α 2 α 1 )(α 2 α 3 ) g (α 3 ) = (α 3 α 1 )(α 3 α 2 ). Nhu thê D g = [(α 1 α 2 )(α 1 α 3 )(α 2 α 3 ] 2 = g (α 1 )g (α 2 )g (α 3 ).

10. Nhóm Galois cu a d a thú c 183 Mă t khác, tù (3), ta có g = 3y 2 + p. Do d ó D g = (3α 2 1 + p)(3α2 2 + p)(3α2 3 + p) = 27α 2 1 α2 2 α2 3 + 9p(α2 1 α2 2 + α2 1 α2 3 + α2 2 α2 3 ) +3p 2 (α 2 1 + α2 2 + α2 3 ) + p3. Biê u diê n D g qua các d a thú c d ô i xú ng so câ p s 1, s 2, s 3 cu a α 1, α 2, α 3 vó i chú ý rằng s 1 = 0, s 2 = p, s 3 = q, ta có D g = 4p 3 27q 2. Do D g cũng là biê t thú c cu a f, biê u diê n D g theo các tu cu a f, ta có hê D f = a 2 b 2 4b 3 4a 3 c 27c 2 + 18abc. (4) Nê u f kha quy trên F thì nhóm Galois G f cu a nó trùng vó i nhóm Galois cu a mô t d a thú c bâ c 2 trên F. Ta chı cần xét khi f bâ t kha quy trên F. Khi d ó (G f : 1) 3 do d ó G f d ă ng câ u vó i A 3 hoă c vó i S 3. Nê u D f chính phu o ng trong F thì do G f A 3, suy ra G f = A 3. Khi d ó tru ò ng phân rã E g = F (α i ) vó i i {1, 2, 3}. Nê u D f không chính phu o ng trong F thì G f = S 3 và E f = F (α i, D f ) vó i i {1, 2, 3}.

184 Chu o ng 2. LÍ THUYÊ T GALOIS Ví 31. Cho d a thú c g = x du 3 4x + 2 Q[x]. Rõ ràng g bâ t kha quy và biê t thú c D g = 4.4 3 27.2 2 = 4.37 không chính phu o ng trong Q. Do d ó nhóm Galois cu a g là S 3. Tru ò ng phân rã cu a g trên Q là Q( 37, α) vó i α là mô t nghiê m cu a g. Ví 32. Cho f = x du 3 6x 2 + 9x 1 Q[x]. Dê dàng kiê m tra f bâ t kha quy trên Q. Biê t thú c D f = 81 = 9 2. Do d ó nhóm Galois cu a f là A 3. Tru ò ng phân rã cu a f là Q(α) vó i α là mô t nghiê m cu a f. Su ng Maple, ta dê dàng tìm d u ȯ c du dȧng nhân tu hóa cu a f trong Q(α) là f = (x 4 + 4α α 2 )(x 2 3α + α 2 )(x α). 10.3 D A THÚ C C 4 BÂ Cho d a thú c f = x 4 + ax 3 + bx 2 + cx + d F [x]. Bằng cách thay x = y a/4, ta có d a thú c theo y g = y 4 + py 2 + qy + r F [y],

10. Nhóm Galois cu a d a thú c 185 vó i p = 1 8 ( 3a2 + 8b) ; q = 1 8 (a3 4ab + 8c) ; r = 1 256 ( 3a4 + 16a 2 b 64ac + 256d). Gȯi các nghiê m cu a g là α 1, α 2, α 3 và α 4. Gȯi G là nhóm Galois cu a g (cũng là cu a f). Nê u g là tích cu a mô t d a thú c bâ c 1 và bâ c 3 trên F thì nhóm G d ă ng câ u vó i nhóm Galois cu a mô t d a thú c bâ c 3 d ã xác d i nh o trên. Nê u g là tích cu a 2 d a thú c bâ t kha quy bâ c 2 trên F thì tru ò ng phân rã E g cu a g trên F là F ( d 1, d 2 ) vó i d 1, d 2 F. Nê u d 1 = a 2 d 2 vó i a F thì E g là mo rô ng bâ c 2 trên F và G = Z 2. Nê u không thì G = Z 2 Z 2. Bây giò, ta xét tru ò ng hȯ p g bâ t kha quy trên F. Khi d ó, ta biê t rằng, vó i 2 nghiê m tùy ý α i, α j cho tru ó c cu a g, tồn tȧi mô t phần tu σ G biê n α i thành α j

186 Chu o ng 2. LÍ THUYÊ T GALOIS (xem 5.5). Nhũ ng nhóm con cu a S 4 tho a mãn tính châ t d ó là : S 4 ; A 4 ; D 8 = {1, (1324), (12)(34), (1423), (13)(24), (14)(23), (12), (34)} và các nhóm con liên hȯ p σ 1 D 8 σ cu a D 8 (xem c A) ; Phu lu V = {1, (12)(34), (13)(24), (14)(23)} ; C 4 = {1, (1234), (13)(24), (1432)} và các nhóm con liên hȯ p σ 1 C 4 σ cu a C 4. Nhóm Galois G sẽ d ă ng câ u vó i mô t trong các nhóm trên. D ă t θ 1 = (α 1 + α 2 )(α 3 + α 4 ) θ 2 = (α 1 + α 3 )(α 2 + α 4 ) θ 3 = (α 1 + α 4 )(α 2 + α 3 ). Ta có θ 1 + θ 2 + θ 3 = 2p θ 1 θ 2 + θ 1 θ 3 + θ 2 θ 3 = p 2 4r θ 1 θ 2 θ 3 = q 2.

10. Nhóm Galois cu a d a thú c 187 Suy ra θ 1, θ 2 và θ 3 là 3 nghiê m cu a h(x) = X 3 2pX 2 + (p 2 4r)X + q 2. (5) D a thú c (5) gȯi là gia i thú c c 3 cu a g. Chú ý rằng bâ θ 1 θ 2 = α 1 α 3 + α 2 α 4 α 1 α 2 α 3 α 4 = (α 1 α 4 )(α 2 α 3 ). Tu o ng tu ta có : θ 1 θ 3 = (α 1 α 3 )(α 2 α 4 ) θ 2 θ 3 = (α 1 α 2 )(α 3 α 4 ). Suy ra biê t thú c cu a gia i thú c (5) trùng vó i biê t thú c cu a g (do d ó trùng vó i biê t thú c cu a f). Tù công thú c tính biê t thú c (4), ta có biê t thú c cu a gia i thú c (5) là : D h = 16p 4 r 128p 2 r 2 + 256r 3 4p 3 q 2 27q 4 + 144pq 2 r. (6) Thay các giá cu a p, q, r trong (6), ta có tri D f = 6a 2 c 2 d + b 2 a 2 c 2 + 144a 2 bd 2 4a 2 b 3 d + 144bdc 2 +18abc 3 192acd 2 + 16b 4 d 128b 2 d 2 80b 2 acd +18a 3 bcd 27a 4 d 2 + 256d 3 4a 3 c 3 4b 3 c 2 27c 4.

188 Chu o ng 2. LÍ THUYÊ T GALOIS Su ng Maple 6. Trong Maple, ta dê dàng tính d u ȯ c biê t thú c cu a mô t d a thú c du tùy ý vó i lê nh : >discrim(f,x); Ví, biê t thú c cu a f = x du 4 + ax 3 + bx 2 + cx + d có thê tính tru c tiê p bằng lê nh : >discrim(x^4+a*x^3+b*x^2+c*x+d,x)}; 6a 2 c 2 d + b 2 a 2 c 2 + 144a 2 bd 2 4a 2 b 3 d + 144bdc 2 +18abc 3 192acd 2 + 16b 4 d 128b 2 d 2 80b 2 acd +18a 3 bcd 27a 4 d 2 + 256d 3 4a 3 c 3 4b 3 c 2 27c 4 Tru ò ng phân rã cu a gia i thú c h(x) chú a trong tru ò ng phân rã cu a f. Do d ó nhóm Galois cu a h là nhóm thu o ng cu a G. Ta có các tru ò ng hȯ p nhu sau : Nê u h bâ t kha quy và D f không chính phu o ng trong F. Khi d ó G không chú a trong A 4 và nhóm Galois cu a h d ă ng câ u vó i S 3. Do d ó câ p cu a G chia hê t cho 6. Suy ra G = S 4. Nê u h bâ t kha quy và D f chính phu o ng trong F. Khi d ó G A 4 và nhóm Galois cu a h d ă ng câ u vó i A 3. Suy ra G có câ p chia hê t cho 3. Suy ra G = A 4.

10. Nhóm Galois cu a d a thú c 189 Nê u h kha quy và phân rã thành 3 nhân tu tuyê n tính trong F [X]. Khi d ó θ 1, θ 2 và θ 3 thuô c F. Do d ó mȯi phần tu G pha i cô d i nh chúng. Suy ra G V. Vì g bâ t kha quy nên G = V. Nê u h phân tích thành 1 d a thú c bâ c 2 và mô t d a thú c bâ c nhâ t trong F [X]. Khi d ó có d úng 1 phần tu trong {θ 1, θ 2, θ 3 } thuô c F. Ta có thê gia thiê t θ 1 F. Nhu thê mȯi phần tu cu a G cô d i nh θ 1 nhu ng không cô d i nh θ 2 và θ 3. Suy ra G D 8 và G V. Nhu thê G = D 8 hay G = C 4. Chú ý rằng F ( D f ) là tru ò ng cô d i nh bo i G A 4. Ta có D 8 A 4 = V và C 4 A 4 = {1, (13)(24)}. Chú ý rằng G A 4 là nhóm Galois cu a g trên F ( D f ). Do d ó nê u g bâ t kha quy trên F ( D f ) thì G A 4 có câ p không nho ho n 4, do d ó G = D 8. Ngu ȯ c lȧi, nê u g kha quy trên F ( D f ) thì G = C 4. Ví du 33. Cho d a thú c f = x 4 + 5x 2 + 5x 5. Rõ ràng f bâ t kha quy trên Q. Gia i thú c cu a f là h = x 3 10x 2 + 45x + 25 bâ t kha quy trên Q. Ho n thê biê t thú c cu a f là 281375 không chính phu o ng. Do d ó nhóm Galois cu a f là S 4. Ví du 34. Cho d a thú c f = x 4 5x 2 4 Q[x]. Kiê m tra f bâ t kha quy trên Q.

190 ChU O ng 2. LÍ THUYÊ T GALOIS Gia i thú c cu a f là h(x) = x 3 + 10x 2 + 41x = x(x 2 + 10x + 41) kha quy trên Q. Mă t khác biê t thú c cu a f là 107584 = 328 2 không chính phu o ng. Có thê tính tru c tiê p nghiê m cu a f và thâ y rằng f không kha quy trên Q(i). Do d ó nhóm Galois cu a f d ă ng câ u vó i D 8. Su ng Maple 7. Trong Maple, ta có thê du tính tru c tiê p nhóm Galois cu a mô t d a thú c bâ t kha quy có bâ c không quá 9 trên Q. Cú pháp nhu ví sau d ây : du > restart; > f:=x^4-5*x^2-4; f := x 4 5 x 2 4 > galois(f); 4T3, { D(4) }, -, 8, { (1 3), (1 2 3 4) } Kê t qua tính toán cu a Maple cho thâ y nhóm Galois cu a x 4 5x 2 4 d ă ng câ u vó i nhóm D 8, có 8 phần tu và sinh bo i các phép thê (1 3) và (1 2 3 4) nhu nhóm con cu a nhóm S 4 (trong Maple kí hiê u D(n) cho nhóm d ô i xú ng cu a n giác d ều).

10. Nhóm Galois cu a d a thú c 191 10.4 D A THÚ C TÔ NG QUÁT Trong mu c này, ta sẽ xét ló p d ă c biê t các d a thú c gȯi là d a thú c tô ng quát và chú ng minh rằng nhóm Galois cu a chúng d ă ng câ u vó i nhóm d ô i xú ng. Mô t mo rô ng E cu a F gȯi là hũ u hȧn sinh nê u D i nh nghĩa. E = F (α 1,..., α n ). D i nh nghĩa. Cho E : F là mô t mo rô ng tru ò ng và t 1,..., t n E. Các phần tu t 1,..., t n gȯi là d ô c lâ p d ȧi sô trên F nê u không tồn tȧi d a thú c f F [x 1,..., x n ] khác 0 sao cho f(t 1,..., t n ) = 0. Chú ý rằng, khi d ó các phần tu t 1,..., t n là siêu viê t trên F. Ví 35. Trong mo rô ng Q(x, y) : Q các phần tu siêu viê t x, y là d ô c lâ p d ȧi sô du trên Q, trong khi x và x 2 không d ô c lâ p d ȧi sô. Bô d ề 10.3. Cho E : F là mô t mo rô ng hũ u hȧn sinh. Khi d ó tồn tȧi mô t tru ò ng trung gian M sao cho : (i) M = F (α 1,..., α r ) vó i α 1,..., α r d ô c lâ p d ȧi sô trên F, (ii) E : M là mo rô ng hũ u hȧn.

192 Chu o ng 2. LÍ THUYÊ T GALOIS Chú ng minh. Gȯi E = F (β 1,..., β n ). Nê u tâ t ca β 1,..., β n d ȧi sô trên F thì lâ y M = F. Nê u tồn tȧi β i siêu viê t trên F thì ký hiê u nó là α 1. Nê u E : F (α 1 ) không hũ u hȧn thì tồn tȧi β j siêu viê t trên F (α 1 ). D ă t α 2 = β j. Tiê p tu c nhu vâ y cho d ê n khi tìm d u ȯ c F (α 1,..., α r ) E là mo rô ng hũ u hȧn. Khi d ó d ă t M = F (α 1,..., α r ). Bô d ề 10.4 (Stienitz). Vó i các kí hiê u nhu trong bô d ề trên, nê u tồn tȧi mô t tru ò ng trung gian N = F (γ 1,..., γ s ) khác sao cho γ 1,..., γ s d ô c lâ p d ȧi sô trên F và E : N hũ u hȧn thì r = s. Sô r xác d i nh nhu thê d u ȯ c gȯi là bâ c siêu viê t cu a mo rô ng tru ò ng. Chú ng minh. Do E : M là mo rô ng hũ u hȧn, ta có γ 1 d ȧi sô trên M = F (α 1,..., α r ). Do d ó tồn tȧi d a thú c f F [x 0,..., x r ] khác 0 sao cho f(γ 1, α 1,..., α r ) = 0. (7) Không mâ t tính tô ng quát, gia su α 1 xuâ t hiê n trong biê u diê n (7). Nhu thê α 1 d ȧi sô trên F (γ 1, α 2,..., α r ) và E : F (γ 1, α 2,..., α r ) là mo rô ng hũ u hȧn. Nê u s > r thì tiê p c quá trình trên, các α i d u ȯ c thay bo i γ i và mo rô ng E : F (γ 1,..., γ r ) tu

10. Nhóm Galois cu a d a thú c 193 hũ u hȧn. Tuy nhiên d iều d ó kéo theo γ r+1 d ȧi sô trên F (γ 1,..., γ r ), vô lí. Vâ y s r. Tu o ng tu, thay d ô i vai trò cu a s và r, ta có r s. Vâ y r = s. Nhâ n xét 10.5. Bằng qui nȧp ta dê dàng chú ng minh rằng nê u t 1,..., t n d ô c lâ p d ȧi sô trên F thì F (t 1,..., t n ) d ă ng câ u vó i tru ò ng các phân thú c hũ u ty r biê n F (x 1,..., x n ). Cho F là mô t tru ò ng và t 1,..., t n là các phần tu d ô c lâ p d ȧi sô trên F. Xét E := F { (t 1,..., t n ) } = P (t1,...,t n ) Q(t 1,...,t n ) P, Q F [t 1,..., t n ], Q 0. Mô i σ S r xác d i nh mô t F -tu d ă ng câ u cu a E d i nh bo i : P (t 1,..., t n ) Q(t 1,..., t n ) P ( σ(t1 ),..., σ(t n ) ) Q ( σ(t 1 ),..., σ(t n ) ). Tu o ng ú ng trên là mô t d o n câ u tù S n vào Aut(E/F ). Xem S n nhu mô t nhóm con cu a Aut(E/F ). Ký hiê u N là tru ò ng con cô d i nh bo i S n. Rõ ràng N chú a các d a thú c d ô i xú ng, d ă c biê t chú a các d a thú c d ô i xú ng so câ p s 1,..., s n. Nhă c lȧi,

194 Chu o ng 2. LÍ THUYÊ T GALOIS các d a thú c d ô i xú ng so câ p d u ȯ c d i nh nghĩa nhu sau : s 1 = t 1 + + t n ; s 2 = t i t j = t 1 t 2 + + t n 1 t n ; s 3 = 1 i<j n 1 i<j<k n t i t j t k ; s n = t 1 t n. Ta có kê t qua sau : D i nh lí 10.6. N = F (s 1,..., s n ). Chú ng minh. Ta có [F (t 1,, t n ) : N] = (S n : 1) = n! theo D i nh lí Artin. Ta chú ng minh rằng [F (t 1,, t n ) : F (s 1,, s n )] n! và tù nhâ n xét F (s 1,, s n ) N, suy ra d iều pha i chú ng minh. Xét các mo rô ng: F (s 1,, s n ) F (s 1,, s n, t n ) F (t 1,, t n ).

10. Nhóm Galois cu a d a thú c 195 Ta có t n là nghiê m cu a X n s 1 X n 1 + + ( 1) n s n F (s 1,, s n )[X]. Do d ó [F (s 1,, s n, t n ) : F (s 1,, s n )] n. Gȯi s 1,..., s n 1 là các d a thú c d ô i xú ng so câ p cu a các biê n t 1,..., t n 1. Rõ ràng s j = s j 1 t n + s j vó i mȯi 1 j n. Do d ó Bằng quy nȧp, ta có [F (t 1,..., t n ) : F (s 1,..., s n, t n )] và suy ra d iều pha i chú ng minh. F (s 1,..., s n, t n ) = F (s 1,..., s n 1, t n). = [F (t n )(t 1,..., t n 1 ) : F (t n )(s 1,..., s n 1 )] (n 1)! Mê nh d ề 10.7. Vó i các kí hiê u nhu trên, các phần tu s 1,..., s n là d ô c lâ p d ȧi sô trên F. Chú ng minh. Do [F (t 1,..., t n ) : F (s 1,..., s n )] = n! nên bâ c siêu viê t cu a chúng trên F là nhu nhau. Do d ó s 1,..., s n d ô c lâ p d ȧi sô trên F.

196 Chu o ng 2. LÍ THUYÊ T GALOIS D i nh nghĩa. Cho F là mô t tru ò ng và s 1,..., s n là các phần tu d ô c lâ p d ȧi sô trên F. D a thú c g = t n s 1 t n 1 + + ( 1) n s n F (s 1,..., s n )[t] (8) gȯi là d a thú c tô ng quát bâ c n trên F. D i nh lí 10.8. Cho F là mô t tru ò ng và g là d a thú c tô ng quát (8) trên F. Gȯi E g là tru ò ng phân rã cu a g trên F (s 1,..., s n ). Khi d ó các nghiê m t 1,..., t n cu a g d ô c lâ p d ȧi sô trên F và nhóm Galois cu a E g : F (s 1,..., s n ) là S n. Chú ng minh. Ta có E g = F (t 1,..., t n ). Do E g : F (s 1,..., s n ) là mo rô ng hũ u hȧn nên bâ c siêu viê t cu a E g trên F bằng vó i bâ c siêu viê t cu a F (s 1,..., s n ) trên F, tú c bằng n. Suy ra d a thú c (8) tách d u ȯ c nên mo rô ng E g : F (s 1,..., s n ) là mo rô ng Galois. Mă t khác, các phần tu t 1,..., t n là d ô c lâ p d ȧi sô và s 1,..., s n là các d a thú c d ô i xú ng so câ p cu a chúng. Theo D i nh lí 10.6 và tu o ng ú ng Galois, nhóm Galois cu a mo rô ng E g : F (s 1,..., s n ) chính là S n.

10. Nhóm Galois cu a d a thú c 197 Bài p tâ 10. 1. Chȯn d úng, sai cho các mê nh d ề sau : a) Biê t thú c cu a mô t d a thú c f F [x] là mô t phần tu cu a F. b) Nhóm Galois cu a mô t d a thú c bâ c n > 0 là mô t nhóm con cu a S n. c) Nhóm Galois cu a mô t d a thú c bâ c 2 tách d u ȯ c trên F là mô t nhóm cyclic. d) Nhóm Galois cu a d a thú c bâ c 3 kha quy, tách d u ȯ c trên F là mô t nhóm cyclic. e) Nhóm Galois cu a mô t d a thú c bâ c 3 tách d u ȯ c có biê t thú c chính phu o ng là mô t nhóm cyclic. f) Nhóm Galois cu a mô t d a thú c bâ c 3 tách d u ȯ c có biê t thú c không chính phu o ng d ă ng câ u vó i S 3. g) Nhóm Galois cu a mô t d a thú c bâ c 3 bâ t kha quy, tách d u ȯ c có biê t thú c không chính phu o ng d ă ng câ u vó i S 3.

198 Chu o ng 2. LÍ THUYÊ T GALOIS h) Tồn tȧi d a thú c bâ c 4 trên Q có nhóm Galois d ă ng câ u vó i mô t nhóm con cu a S 4. i) Tồn tȧi mô t d a thú c bâ c 3 bâ t kha quy trên Q có 3 nghiê m thu c. j) Mô t d a thú c bâ c 3 trên Q có nhóm Galois d ă ng câ u vó i A 3 thì có 3 nghiê m thu c. k) Biê t thú c cu a d a thú c bâ c 4 và cu a gia i thú c bâ c 3 cu a nó là nhu nhau. l) D a thú c tô ng quát bâ c n trên F có các tu thuô c F. hê m) Mȯi mo rô ng hũ u hȧn sinh d ều là mo rô ng hũ u hȧn. n) Mȯi mo rô ng d ȧi sô, hũ u hȧn sinh d ều là mo rô ng hũ u hȧn. o) Mȯi mo rô ng hũ u hȧn sinh d ều là mo rô ng d ȧi sô. p) Các phần tu d ô c lâ p d ȧi sô trên F thì siêu viê t trên F. q) Các phần tu siêu viê t trên F thì d ô c lâ p d ȧi sô. (Xem HD 295) 10. 2. Hãy tìm dȧng nhân tu hóa cu a d a thú c f = x 3 4x + 2 Q[x] (xem Ví du 31) trong Q(α, 37) bằng Maple, vó i α là mô t nghiê m cu a f. (Xem HD 295)

10. Nhóm Galois cu a d a thú c 199 10. 3. Xác d i nh nhóm Galois cu a các d a thú c sau d ây trên tru ò ng Q : a) x 3 3x 2 + 4x 1 ; b) x 3 + 2x 2 2x 2 ; c) 7x 3 + 10x 2 + 5x + 1 ; d) x 3 + x 1 ; e) x 3 2x 2 ; f) 3x 3 3x + 1 ; g) x 3 3x + 1 ; h) x 3 + 2x 2 2x 2. (Xem HD 295) 10. 4. Xác d i nh nhóm Galois cu a các d a thú c sau d ây trên tru ò ng Q. a) x 4 x 2 + 4x + 5 ; b) x 4 + x 2 + 3x + 5 ; c) x 4 + 3x + 1 ; d) x 4 4x 2 4x 2 ; e) x 4 4x 2 ; f) x 4 + 2x 2 4 ; g) x 4 x 3 3x + 4 ; h) x 4 + 2x 3 + 2x 2 4x + 2 ; i) x 4 4x 3 + 5x 2 2x + 1 ; j) x 4 + 2x 2 + 4. (Xem HD 296) 10. 5. Có thê nói gì về nhóm Galois cu a d a thú c f = x 4 + ax 2 + b F [x] bâ t kha quy và F có d ă c sô khác 2, 3? (Xem HD 298) 10. 6. Cho f F [x] bâ t kha quy và F là tru ò ng có d ă c sô khác 2,3. Gȯi h là gia i thú c bâ c 3 cu a f và M là tru ò ng phân rã cu a h trên F. Kí hiê u D f là biê t thú c cu a

200 Chu o ng 2. LÍ THUYÊ T GALOIS f và G f là nhóm Galois cu a f. Chú ng minh rằng : a) G f = S 4 khi và chı khi h bâ t kha quy trên F và D f không chính phu o ng trong F ; b) G f = A 4 khi và chı khi h bâ t kha quy trên F và D f chính phu o ng trong F ; c) G f = D 8 khi và chı khi h kha quy trên F, D f không chính phu o ng trong F và f bâ t kha quy trên M ; d) G f = V khi và chı khi h kha quy và D f chính phu o ng trong F ; e) G f = C 4 khi và chı khi h kha quy trên F, D f không chính phu o ng trong F và f kha quy trên M. (Xem HD 298) 10. 7. Cho F là tru ò ng hũ u hȧn và f = x 3 + ax + b F [x]. Chú ng minh rằng nê u f bâ t kha quy trên F thì 4a 3 27b 2 chính phu o ng trong F. (Xem HD 298)

11. Tiêu chuâ n gia i d u ȯ c bằng căn thú c cu a d a thú c 201 11 TIÊU CHUÂ N GIA I D U Ȯ C BẰNG CĂN THÚ C CU A D A THÚ C 11.1 MO RÔ NG CĂN VÀ TIÊU CHUÂ N GIA I D U Ȯ C Ta biê t rằng các nghiê m cu a d a thú c f = x 2 + px + q Q[x] là p ± p 2 4q 2 nằm trong mo rô ng tru ò ng Q( ) vó i = p 2 4q. Cho d a thú c bâ c ba g = x 3 + px + q Q[x]. Nghiê m cu a g cho bo i công thú c Cardano. (Ta sẽ kiê m chú ng công thú c Cardano o phần cuô i cu a tiê t này). α = 3 q (q ) 2 ( p ) 3 2 + 3 + + q (q ) 2 ( p ) 3. 2 3 2 + 2 3 Xét các mo rô ng Q = E 0 E 1 E 2 E 3, trong d ó: ( q ) 2 ( p ) 3 E 1 := E 0 (α 1 ) vó i α 2 1 = + E0 ; 2 3 E 2 := E 1 (α 2 ) vó i α 3 2 = q 2 + α 1 E 1 ; E 3 := E 2 (α 3 ) = E(α 1, α 2, α 3 ) vó i α 3 3 = α3 2 q K 2.

202 Chu o ng 2. LÍ THUYÊ T GALOIS Khi d ó α = α 2 + α 3 E 3. Ta nói rằng E 3 : Q là mô t mo rô ng căn. Ta có d i nh nghĩa sau d ây : Mô t mo rô ng F E gȯi là mô t mo rô ng căn nê u D i nh nghĩa. D i nh nghĩa. E = F (α 1,..., α m ) sao cho vó i mȯi i = 1,..., m tồn tȧi n i tho a α n i i F (α 1,..., α i 1 ). Khi d ó ta cũng nói E là mô t mo rô ng căn cu a F. Ta nói các phần tu α i tȧo ra mô t chuô i căn cho mo rô ng F E. Mô t phần tu α thuô c vào mô t mo rô ng căn E : F thì gȯi là biê u diê n d u ȯ c bằng căn thú c (trên F ). Mô t d a thú c f trên F d u ȯ c gȯi là gia i d u ȯ c bằng căn thú c (trên D i nh nghĩa. F ) nê u tru ò ng phân rã cu a f nằm trong mô t mo rô ng căn cu a F. Nhu thê, mô t d a thú c gia i d u ȯ c bằng căn thú c trên F nê u mȯi nghiê m cu a nó d u ȯ c biê u diê n qua hũ u hȧn các phép toán cô ng, trù, nhân, chia và lâ y căn các phần tu cu a F. Khi d ó ta cũng nói các nghiê m cu a f là nghiê m căn thú c trên F. Ta nhă c lȧi kê t qua d ã biê t trong 9.

11. Tiêu chuâ n gia i d u ȯ c bằng căn thú c cu a d a thú c 203 Bô d ề 11.1. Cho f = x n 1 F [x] vó i n không chia hê t cho c sô cu a F. Gȯi E f d ă là tru ò ng phân rã cu a f trên F. Khi d ó E f : F là mo ng Galois và Gal(E f /F ) rô là t nhóm aben. mô Chú ng minh. Xem Mê nh d ề 9.10 D i nh nghĩa. Mô t mo rô ng Galois E : F gȯi là mo rô ng aben (cyclic) nê u nhóm Gal(E/F ) là nhóm aben (cyclic). Kê t qua trên cho thâ y rằng mȯi tru ò ng chia d u ò ng tròn là mô t mo rô ng aben. Bô d ề 11.2. Cho 0 n N, cho F là tru ò ng có c sô không chia hê t n và F chú a d ă t căn nguyên thu y c n cu a d o n vi. Cho a F và E là tru ò ng phân rã cu a d a mô bâ thú c x n a trên F. Khi d ó nhóm Galois cu a E : F là t nhóm cyclic có câ p là mô u ó c cu a n. Chú ng minh. Gȯi ξ n F là mô t căn nguyên thu y bâ c n cu a d o n vi. Gȯi α là mô t nghiê m cu a x n a. Khi d ó tâ t ca các nghiê m cu a x n a là ξn i α vó i i = 1,..., n. Nhu thê tru ò ng phân rã cu a x n a trên F là E = F (α). Gȯi C n E là nhóm

204 Chu o ng 2. LÍ THUYÊ T GALOIS cyclic các căn bâ c n cu a d o n vi. Xét d ồng câ u ψ : Gal(F (α)/f ) C n σ σ(α) α. Dê dàng thâ y rằng ψ là d o n câ u, do d ó Gal(E/F ) là nhóm cyclic có câ p là u ó c cu a n. D i nh nghĩa. Cho E : F là mô t mo rô ng d ȧi sô. Mô t bao d óng chuâ n tă c cu a E : F là mô t mo rô ng N cu a E sao cho : N : F là mo rô ng chuâ n tă c; Nê u E M N và M : F chuâ n tă c thì M = N. Có thê nói bao d óng chuâ n tă c N chính là mo rô ng chuâ n tă c nho nhâ t cu a F chú a E. Bô d ề 11.3. Mȯi mo ng hũ u hȧn d ều tồn tȧi duy nhâ t (sai khác d ă rô ng câ u) t mô bao d óng chuâ n tă c.

11. Tiêu chuâ n gia i d u ȯ c bằng căn thú c cu a d a thú c 205 Chú ng minh. Gȯi {α 1,..., α r } là mô t co so cu a E : F. Lâ y N là tru ò ng phân rã cu a r 1 m i trên F vó i m i là d a thú c tô i tiê u cu a α i vó i i = 1,..., r. Rõ ràng N : F là mo rô ng chuâ n tă c và E N. Nê u có E M sao cho M : F chuâ n tă c, khi d ó r 1 m i phân rã trong M nên N M. Suy ra nê u M là mô t bao d óng chuâ n tă c cu a E : F thì M = N. Ví du 36. Bao d óng chuâ n tă c cu a mô t mo rô ng hũ u hȧn, tách d u ȯ c là mô t mo rô ng Galois. Ví 37. Cho E : F là mô t mo rô ng Galois và M là mô t tru ò ng trung gian cu a du mo rô ng. Khi d ó bao d óng chuâ n tă c cu a M là tru ò ng hȯ p thành cu a σm, vó i mȯi σ G, tú c là σm (xem Nhâ n xét 8.2). σ G D i nh lí 11.4. Nê u d a thú c f gia i d u ȯ c bằng căn thú c trên tru ò ng F có d ă c sô 0 thì nhóm Galois cu a f là nhóm gia i d u ȯ c. Chú ng minh. Do f gia i d u ȯ c bằng căn thú c trên F nên tồn tȧi chuô i các mo rô ng F = E 0 E 1 E m

206 Chu o ng 2. LÍ THUYÊ T GALOIS sao cho E i = E i 1 (α i ) tho a α n i i E i 1, i = 1,..., m và E m chú a tru ò ng phân rã cu a f. D ă t n = n 1 n m. Gȯi Ω là mô t mo rô ng Galois cu a F chú a E m và chú a mô t căn nguyên thu y ξ n cu a d o n vi. (Mô t mo rô ng Ω nhu thê tồn tȧi. Chă ng hȧn, biê u diê n E m = phân rã cu a g(x n 1) trên F ). F (γ), gȯi g F [x] là d a thú c tô i tiê u cu a γ. Lâ y Ω là tru ò ng Gȯi G = {σ 1,..., σ r } là nhóm Galois cu a Ω : F và K Ω là bao d óng chuâ n tă c cu a E m (ξ n ) : F. Khi d ó (xem Ví du 37), ta có K là tru ò ng hȯ p thành cu a σ i E m (ξ n ) vó i mȯi σ i G. Nhu thê K là tru ò ng sinh bo i ξ n, α 1,..., α m, σ 1 α 1,..., σ 2 α 1,..., σ r α 1,... trên F. Ghép thêm các phần tu cu a dãy trên vào F theo thú tu, ta có chuô i các mo rô ng tru ò ng F F (ξ n ) F (ξ n, α 1 )... L L K. Ta nhâ n thâ y rằng mô i mo rô ng L L cu a chuô i trên tho a mãn L d u ȯ c sinh ra trên L bo i mô t phần tu β i tho a β r i L, vó ir {n 1,..., n m, n}. Do d ó theo (11.1) và (11.2), chúng là các mo rô ng aben. Theo tu o ng ú ng Galois, chuô i các mo rô ng

11. Tiêu chuâ n gia i d u ȯ c bằng căn thú c cu a d a thú c 207 trên ú ng vó i chuô i các nhóm con cu a nhóm Galois G = Gal(K/F ) 1 = G 0 G 1... G t = G sao cho G i G i+1 và G i+1 /G i aben. Do d ó G là nhóm gia i d u ȯ c. Xét các mo rô ng F E f K vó i E f là tru ò ng phân rã cu a f trên F. Vì nhóm Galois cu a f là nhóm thu o ng cu a G, theo tính châ t cu a nhóm gia i d u ȯ c (A.4), nhóm G f cũng gia i d u ȯ c. D ê chú ng minh d iều ngu ȯ c lȧi cu a d i nh lí trên, ta cần mô t sô bô d ề nhu sau : Bô d ề 11.5. Cho f F tách d u ȯ c và F E là mo ng tru ò ng. Khi d ó nhóm rô Galois cu a f trên E là nhóm con cu a nhóm Galois cu a f trên F. Chú ng minh. Gȯi R = {α 1,..., α n } là tâ p các nghiê m cu a f. Kí hiê u K = F (α 1,..., α n ) và L = E(α 1,..., α n ) lần lu ȯ t là tru ò ng phân rã cu a f trên F và trên E. Rõ ràng K L. Mô i σ Gal(L/E) hoán các phần tu trong vi R, do d ó biê n K thành K. Nói cách khác, phép hȧn chê σ σ K là mô t d ồng câ u tù Gal(L/E) vào Gal(K/F ). Rõ ràng phép hȧn chê d ó là mô t d o n câ u nên Gal(L/E) là mô t nhóm con cu a Gal(K/F ).

208 Chu o ng 2. LÍ THUYÊ T GALOIS Bô d ề sau chı ra mô t phần tính d a o ngu ȯ c cu a (11.2) : Bô d ề 11.6. Cho p là mô t sô nguyên tô, cho F là tru ò ng có d ă c sô khác p và F chú a mô t căn nguyên thu y bâ c p cu a d o n vi. Nê u E : F là mo rô ng cyclic bâ c p thì E = F (α) vó i α p F. Chú ng minh. Gȯi z 1,..., z p F là các căn bâ c p phân biê t cu a d o n vi. Lâ y β E\F, ta có E = F (β). Gȯi σ là phần tu sinh cu a nhóm cyclic G = Gal(E/F ). D ă t β i = σ i 1 (β), vó i i = 1,..., p. Ta có β i β j vó i mȯi i j. Khi d ó β 1 = β, β i+1 = σ(β i ) nê u i = 1,..., p 1 và σ(β p ) = β 1. D ă t d i (β) = β 1 + z i β 2 + + z p 1 i β p, i = 1,..., p. gȯi là gia i thú c Lagrange. Khi d ó σ(d i ) = β 2 + z i β 3 + + z p 1 i β 1 = z 1 i d i. Do d ó σ(d p i ) = σ(d i) p = d p i. Suy ra dp i F. Mă t khác, xét hê phu o ng trình tuyê n tính d i = x 1 + z i x 2 + + z p 1 i x p, i = 1,..., p.

11. Tiêu chuâ n gia i d u ȯ c bằng căn thú c cu a d a thú c 209 Ma trâ n hê sô có d i nh thú c 0<i<j p 1 z 1 z p 1 1... 1 z p zp p 1 (z j z i ) 0, do d ó β i, vó i 1 i p, là mô t tô hȯ p tuyê n tính cu a d 1,..., d p vó i hê tu trong F (chú ý rằng F chú a z 1,..., z p ). Suy ra E = F (β) = F (d 1,..., d p ). Rõ ràng tồn tȧi d i E\F. Khi d ó E = F (d i ) và d p i F. Bây giò ta chú ng minh kê t qua ngu ȯ c lȧi cu a (11.4). D i nh lí 11.7. Nê u nhóm Galois cu a d a thú c f trên tru ò ng có d ă c sô 0 gia i d u ȯ c thì f gia i d u ȯ c bằng căn thú c trên F. Chú ng minh. Gȯi G f là nhóm Galois cu a f trên F. Gȯi n = deg(f) và kí hiê u E = F (ξ n ) vó i ξ n là mô t căn nguyên thu y bâ c n cu a d o n vi. Theo (11.5), nhóm Galois G cu a f trên E là nhóm con cu a G f, do d ó G gia i d u ȯ c.

210 ChU O ng 2. LÍ THUYÊ T GALOIS Theo (A.7), tồn tȧi chuô i các nhóm con G = G m... G 0 = 1 (9) sao cho G i G i+1 và G i+1 /G i cyclic có câ p nguyên tô p i, vó i mȯi i = 0,..., m 1. Gȯi K là tru ò ng phân rã cu a f trên E. Khi d ó K chú a tru ò ng phân rã cu a f trên F. Chuô i các nhóm con (9) cho ta chuô i các mo rô ng F F (ξ n ) = E = E 0 E 1... E m = K vó i E i : E i 1 cyclic bâ c p i, vó i mȯi i = 0,..., m. Theo Bô d ề 11.6, ta có E i = E i 1 (α i ) vó i α p i i E i 1, vó i mȯi i = 0,..., m. Nhu thê K : F là mô t mo rô ng căn chú a tru ò ng phân rã cu a f trên F, nên f gia i d u ȯ c bằng căn thú c trên F. Hê qua 11.8. Cho F là tru ò ng có d ă c sô 0. Mô t d a thú c trên F gia i d u ȯ c bằng căn thú c khi và chı khi nhóm Galois cu a nó là gia i d u ȯ c. Hê qua 11.9. Cho F là tru ò ng có d ă c sô 0. D a thú c tô ng quát (8) không gia i d u ȯ c bằng căn thú c trên F (s 1,..., s n ) khi và chı khi n 5.

11. Tiêu chuâ n gia i d u ȯ c bằng căn thú c cu a d a thú c 211 11.2 TÍNH KHÔNG GIA I D U Ȯ C CU A D A THÚ C CÓ C LÓ N HO N BÔ N BÂ Ta cần mô t kê t qua cu a nhóm d ô i xú ng, tu o ng tu nhu (0.18). Bô d ề 11.10. Nê u t nhóm con cu a nhóm d ô i xú ng S p vó i p nguyên tô chú a t mô mô vòng xích dài p và t phép chuyê d ô mô n trí thì trùng vó i S p. Chú ng minh. Gȯi G là nhóm con cu a S p sinh bo i σ = (a 1 a p ) là mô t vòng xích có dài p và τ = (i j) là mô t phép chuyê d ô n trí. Bằng cách d ánh sô lȧi nê u cần thiê t, ta có thê gia thiê t τ = (1 2). Viê t lȧi σ du ó i dȧng σ = (1 a 2... a p ). Lâ y lũy thù a thích hȯ p cu a σ, ta có d u ȯ c kê t qua là (1 2 b 3 b p ), d ó cũng là mô t vòng xích dài p do p nguyên tô. Giũ nguyên 1 và 2, d ánh sô lȧi các phần tu cu a tâ p d ô {3, 4,..., p}, suy ra nhóm con G chú a τ = (1 2) và vòng xích (1 2 p). Theo (0.18), ta có G = S p. Mê nh d ề 11.11. Cho t d a thú c f Q[x] bâ t kha quy có c p nguyên tô. Nê u f mô bâ có d úng 2 m không thu c trong C thì nhóm Galois cu a f là nhóm d ô i xú ng S p. nghiê Chú ng minh. Gȯi E f là tru ò ng phân rã cu a f trên Q và G = Gal(E f : Q) xem nhu nhóm con cu a S p. Gȯi α E f là mô t nghiê m cu a f. Do Q Q(α) E f và

212 ChU O ng 2. LÍ THUYÊ T GALOIS [Q(α) : Q] = p, ta có p là u ó c cu a [E f : Q] = (G : 1). Suy ra G chú a mô t phần tu câ p p, xem (B.2). Trong S p chı có các vòng xích d ô dài p có câ p p, (xem 0.16). Nhu thê G chú a mô t vòng xích d ô dài p. Mă t khác E f là mô t tru ò ng con cu a C. Trong Aut(C/Q), xét phép liên hȯ p a + bi a bi. Vì f có d úng 2 nghiê m không thu c r 1, r 2, chúng là các sô phú c liên hȯ p. Khi d ó phép liên hȯ p hoán vi 2 nghiê m r 1, r 2 và cô d i nh các nghiê m còn lȧi cu a f. Do d ó hȧn chê cu a phép liên hȯ p trên E f xác d i nh mô t phép chuyê n trí cu a G. Theo (11.10), ta có G = S p. Hê qua 11.12. D a thú c f = x 5 4x 2 + 2 Q[x] không gia i d u ȯ c bằng căn thú c. Chú ng minh. D a thú c f bâ t kha quy trên Q do tiêu chuâ n Eisenstein cho p = 2. Ta có f( 1) = 3 ; f(0) = 2 ; f(1) = 1 ; f(2) = 18. Do d ó f có ít nhâ t 3 nghiê m thu c nằm trong ( 1, 0),(0, 1) và (1, 2). Mă t khác, do f = 5x 4 8x = x(5x 3 8), có d úng 2 nghiê m thu c là x = 0 và x = 3 8/5. Do d ó f có d úng 3 nghiê m thu c. Theo (11.11), d a thú c f có nhóm Galois d ă ng câ u vó i S 5 là mô t nhóm không gia i d u ȯ c (A.9). Do d ó f không gia i d u ȯ c bằng căn thú c trên Q.

11. Tiêu chuâ n gia i d u ȯ c bằng căn thú c cu a d a thú c 213 11.3 NGHIÊ M CĂN THÚ C CU A CÁC D A THÚ C TÔ NG QUÁT CÓ BÂ C KHÔNG QUÁ 4 Trong phần này, ta trình bày nghiê m căn thú c cu a d a thú c tô ng quát (8) (xem trang 196) vó i n 4. Hiê n nhiên, khi s 1,..., s n lâ y giá tri trong F thì ta sẽ có nghiê m căn thú c cu a các d a thú c trên F. D ê d o n gia n, ta gia thiê t F có d ă c sô 0. D a thú c tô ng quát bâ c 2 Cho g = t 2 s 1 t + s 2 có nhóm Galois trên F (s 1, s 2 ) là S 2 = {1, (12)}. Phần tu (1, 2) hoán vi t 1, t 2 nên cô d i nh (t 1 t 2 ) 2. Do d ó (t 1 t 2 ) 2 F (s 1, s 2 ). Cu thê (t 1 t 2 ) 2 = s 2 1 4s 2. Kí hiê u s 2 1 4s 2 là mô t nghiê m cu a x 2 (s 2 1 4s 2), ta có t 1 t 2 = s 2 1 4s 2 và t 1 + t 2 = s 1. Suy ra công thú c nghiê m quen thuô c: { t 1 = 1 ( s1 + s 2 2 1 ) 4s2 t 2 = 1 2( s1 s 2 1 ) 4s2. D a thú c tô ng quát bâ c 3 Cho g = t 3 s 1 t 2 + s 2 t s 3 có nhóm Galois trên F (s 1, s 2, s 3 ) là S 3. Ta có dãy các nhóm con chuâ n tă c 1 A 3 S 3 có thu o ng là các nhóm cyclic. D ă t ω = e 2πi/3

214 Chu o ng 2. LÍ THUYÊ T GALOIS và y = t 1 + ωt 2 + ω 2 t 3, vó i t 1, t 2, t 3 là các nghiê m cu a g. Vó i mȯi σ A 3, tồn tȧi 0 i 2 sao cho σ(y) = ω i y. Nên σ(y 3 ) = y 3. Tu o ng tu, d ă t z = t 1 +ω 2 t 2 +ωt 3 thì ta có σ(z 3 ) = z 3, σ A 3. Mă t khác, vó i σ là mô t phép thê le thì σ(y 3 ) = z 3. Nói cách khác các phần tu y 3 + z 3 và y 3 z 3 bâ t biê n vó i S 3. Do d ó y 3 + z 3 và y 3 z 3 thuô c F (s 1, s 2, s 3 ). Nhu thê y 3 và z 3 là nghiê m cu a cùng mô t d a thú c bâ c 2 trên F (s 1, s 2, s 3 ). Mă t khác, dê dàng thâ y rằng: t 1 = 1 3 (s 1 + y + z) t 2 = 1 3 (s 1 + ω 2 y + ωz) t 3 = 1 3 (s 1 + ωy + ω 2 z). Do d ó, khi d ã gia i d u ȯ c y 3 và z 3, ta có nghiê m cu a g. Thu c ra, ta có thê tính toán tru c tiê p yz = s 2 1 3s 2 và y 3 + z 3 = 2s 3 1 9s 1s 2 + 27s 3. Trong thu c hành, ta thu ò ng gia i bằng cách d ă t u = t 1 3 s 1. Khi d ó ta có d a thú c bâ c 3 theo u là f = u 3 + pu + q vó i p = s 2 1 3 s2 1, q = 2 27 s3 1 + 1 3 s 1s 2 s 3 F (s 1, s 2, s 3 ). Do d ó y 3 + z 3 = 27q và y 3 z 3 = 27p 3. Khi d ó y 3 và z 3 là 2 nghiê m cu a

11. Tiêu chuâ n gia i d u ȯ c bằng căn thú c cu a d a thú c 215 X 2 + 27qX 27p 3 = 0. Tù d ó, y = 3 3 q (q ) 2 ( p ) 3, 2 + 3 + z = 3 q (q ) 2 ( p 3 2 3 2 + 2 3) sao cho yz = 3p. Ta nhâ n lȧi công thú c nghiê m Cardano u = 3 q (q ) 2 ( p ) 3 2 + 3 + + q (q ) 2 ( p ) 3 2 3 2 + (10) 2 3 và 3 nghiê m cu a f cho bo i u 1 = 1 (y + z) 3 u 2 = 1 3 (ω2 y + ωz) u 3 = 1 3 (ωy + ω2 z). Nhâ n xét 11.13. Trong công thú c (10), thay D = 4p 3 27q 2 là biê t thú c cu a f = u 3 + pu + q, ta có công thú c nghiê m cho bo i u = 3 q D 2 + 27 + 3 q D 2 27. (11)

216 Chu o ng 2. LÍ THUYÊ T GALOIS Ví du 38. Tìm nghiê m căn thú c cu a f = x 3 x + 1 Q[x]. Ta có D = 23. Do d ó mô t nghiê m cu a f là 3 1 2 + 1 18 Hai nghiê m còn lȧi là 2 sô phú c liên hȯ p. 3 69 + 1 2 18 1 69. Ví du 39. Cho d a thú c f = x 3 6x 2 + 9x 1. Thay x = u + 2, ta có d a thú c theo u là g = u 3 3u + 1. Biê t thú c cu a nó là D = 81. Mô t nghiê m biê u diê n bằng căn thú c cu a g là 3 1 2 + 1 2 3 3 + 1 2 1 3. 2 Chú ý rằng trong tru ò ng hȯ p này, d a thú c g cũng nhu f d ều có 3 nghiê m thu c. Tuy nhiên d ê biê u diê n bằng căn thú c, các biê u diê n nghiê m cần pha i dùng d ê n các căn cu a sô phú c. Su du ng Maple 8. Maple cho chúng ta nghiê m căn thú c cu a mô t d a thú c bâ c 3 tùy ý bằng lê nh >solve(f); vó i f là mô t d a thú c bâ c 3.

11. Tiêu chuâ n gia i d u ȯ c bằng căn thú c cu a d a thú c 217 D a thú c tô ng quát c 4 bâ Cho g = t 4 s 1 t 3 + s 2 t 2 s 3 t + s 4. Nhóm Galois S 4 cu a g có dãy các nhóm con chuâ n tă c 1 V A 4 S 4 vó i V = {1, (12)(34), (13)(24, (14)(23)}. D ă t y 1 = (t 1 + t 2 )(t 3 + t 4 ), y 2 = (t 1 + t 3 )(t 2 + t 4 ), y 3 = (t 1 + t 4 )(t 2 + t 3 ). Vì các d a thú c d ô i xú ng so câ p cu a y 1, y 2, y 3 thuô c F (s 1, s 2, s 3, s 4 ) nên y 1, y 2, y 3 là nghiê m cu a mô t d a thú c bâ c 3 trên F (s 1, s 2, s 3, s 4 ), gȯi là gia i thú c bâ c 3 cu a g. Khi d ã gia i d u ȯ c y 1, y 2, y 3, cùng vó i t 1 + t 2 + t 3 + t 4 = s 1, suy ra các că p (t 1 + t 2, t 3 + t 4 ); (t 1 + t 3, t 2 + t 4 ); (t 1 + t 4, t 2 + t 3 ) là nghiê m cu a các d a thú c bâ c 2 có tu trong F (s 1, s 2, s 3, s 4, y 1, y 2, y 3 ). Tù d ó gia i d u ȯ c t 1, t 2, t 3, t 4. hê Trong thu c hành, ta d ă t u = t 1 4 s 1 thì ta có mô t d a thú c bâ c 4 theo u :

218 Chu o ng 2. LÍ THUYÊ T GALOIS Tù d ó tính d u ȯ c : y 1 + y 2 + y 3 = 2p ; y 1 y 2 + y 1 y 3 + y 2 y 3 = p 2 4r ; y 1 y 2 y 3 = q 2. Suy ra gia i thú c cu a f(u) là X 3 2pX 2 + (p 2 4r)X + q 2. Các nghiê m cu a f cho bo i : u 1 = 1 2 ( y 1 + y 2 + y 3 ) u 2 = 1 2 ( y 1 y 2 y 3 ) u 3 = 1 2 ( y 1 + y 2 y 3 ) u 4 = 1 2 ( y 1 y 2 y 3 ) vó i các căn thú c d u ȯ c chȯn sao cho y 1. y 2. y 3 = q. Su ng Maple 9. Trong Maple, nghiê m căn thú c cu a mô t d a thú c bâ c 4, theo du ngầm d i nh, không d u ȯ c hiê n trên màn hình, do tính phú c tȧp cu a công thú c thi nghiê m.

11. Tiêu chuâ n gia i d u ȯ c bằng căn thú c cu a d a thú c 219 > restart; > solve(x^4+x^3-9); Maple hiê n nghiê m du ó i dȧng RootOf và dê dàng nhâ n d u ȯ c nghiê m gần thi d úng. > evalf(%); 1.527117219,.2396103081 + 1.679403718 I, 2.047896603,.2396103081 1.679403718 I Nhu thê d a thú c x 4 + x 3 9 có 2 nghiê m thu c và 2 nghiê m phú c liên hȯ p. Muô n hiê n nghiê m căn thú c cu a d a thú c bâ c 4, cần dùng nhu sau : thi > _EnvExplicit:=true: > solve(x^4+x^3-9); Sau khi nhâ n Enter d ê thu c hiê n lê nh cuô i cùng, 4 nghiê m căn thú c cu a f sẽ d u ȯ c hiê n thi.

220 Chu o ng 2. LÍ THUYÊ T GALOIS Bài p tâ 11. 1. Xác d i nh tính d úng, sai cho các mê nh d ề sau : a) Nhóm Galois cu a d a thú c tô ng quát bâ c n là gia i d u ȯ c. b) Nhóm S 3 chı có hai nhóm con thu c su là 1 và A 3. c) D a thú c tô ng quát bâ c n trên F là mô t d a thú c có mô t biê n siêu viê t trên F. d) Bâ c siêu viê t cu a tru ò ng phân thú c Q(t) trên Q bằng 1. e) Mô t d a thú c bâ c nho ho n 5 trên Q luôn luôn gia i d u ȯ c bằng căn thú c trên Q. f) Tồn tȧi d a thú c bâ c ló n ho n 4 trên R không gia i d u ȯ c bằng căn thú c trên R. g) Mȯi d a thú c bâ c 2 trên tru ò ng d ă c sô 0 gia i d u ȯ c bằng căn thú c. h) Mȯi mo rô ng căn thú c d ều hũ u hȧn. i) Mȯi mo rô ng hũ u hȧn d ều là mo rô ng căn thú c. j) Câ p cu a nhóm Galois cu a mô t d a thú c câ p n chia hê t n!. k) Tồn tȧi mô t d a thú c bâ c 4 có nhóm Galois là S 4.

11. Tiêu chuâ n gia i d u ȯ c bằng căn thú c cu a d a thú c 221 l) Mô t d a thú c bâ t kha qui trên Q bâ c 11 có d úng 2 nghiê m không thu c thì không gia i d u ȯ c bằng căn thú c. m) Nhóm A 5 có 60 phần tu. (Xem HD 299) 11. 2. Tìm nghiê m căn thú c cu a các d a thú c sau : a) t 3 3t + 5 ; b) t 3 7t + 6 ; c) x 3 + x 2 2. Suy ra 3 26 + 15 3 + 3 26 15 3 = 4. d) x 3 5x 2 + 4x + 5 ; e) t 4 t 3 2t 1 ; f) t 4 + 4t + 2 ; g) t 6 + 2t 5 5t 4 + 9t 3 5t 2 + 2t + 1. (Xem HD 299) 11. 3. Chú ng minh rằng C : Q và R : Q không pha i là mo rô ng hũ u hȧn sinh. (Xem HD 300) 11. 4. Tính bâ c siêu viê t cu a các mo rô ng sau :

222 Chu o ng 2. LÍ THUYÊ T GALOIS a) Q(t, u, v, w) : Q vó i t 2 = 2, u siêu viê t trên Q(t) ; v 3 = t + 5 và w siêu viê t trên Q(t, u, w). b) Q(t, u, v) : Q vó i t 2 = u 3 = v 4 = 7. (Xem HD 300) 11. 5. Cho f = x 3 3x + 1 F [x]. Chú ng minh rằng f hoă c là bâ t kha qui hoă c phân rã trong F. (Xem HD 300) 11. 6. Chú ng minh các d a thú c sau không gia i d u ȯ c bằng căn thú c trên Q : a) t 5 4t + 2 ; c) t 5 6t 2 + 3 ; b) t 5 6t + 3 ; d) t 7 10t 5 + 15t + 5. (Xem HD 301)

PHU LU C 223 PHU LU C A NHÓM GIA I D U Ȯ C VÀ NHÓM D O N Mu c này trình bày các kiê n thú c co ba n về nhóm gia i d u ȯ c và nhóm d o n. Các kê t qua chính trong phần này là A.4, A.7, A.9 và A.17. 1. Nhóm gia i d u ȯ c Cho G là mô t nhóm nhân. Chuô i chuâ n tă c cu a G là mô t chuô i hũ u hȧn các nhóm con phân biê t D i nh nghĩa. 1 = G 0 G 1 G n = G, (12) nghĩa là G i là nhóm con chuâ n tă c cu a G i+1 vó i mȯi i = 0,..., n 1. Các nhóm thu o ng G i+1 /G i, vó i i = 0,..., n 1, gȯi là các thành phần cu a chuô i chuâ n tă c (12).

224 PHU LU C D i nh nghĩa. Chuô i (12) gȯi là chuô i hȯ p thành cu a G nê u G i là nhóm con chuâ n tă c tô i d ȧi cu a G i+1, nghĩa là nê u có N G i+1 và N chú a G i thì G i = N hay N = G i+1, vó i mȯi i = 0,..., n 1. n xét A.1. Chú ý rằng, trong chuô i chuâ Nhâ n tă c (12), không kéo theo G i G ngoȧi trù i = n 1. Mô t nhóm G gȯi là gia i d u ȯ c nê u tồn tȧi chuô i chuâ D i nh nghĩa. n tă c (12) sao cho G i+1 /G i là nhóm aben, vó i mȯi i = 0,..., n 1. Ví A.2. (i) Mȯi nhóm aben d ều gia i d u ȯ c. du (ii) Nhóm d ô i xú ng S 3 gia i d u ȯ c vì có chuô i 1 A 3 S 3, trong d ó A 3 là nhóm cyclic và S 3 /A 3 là nhóm cyclic câ p 2. (iii) Nhóm d ô i xú ng S 4 gia i d u ȯ c vì có chuô i chuâ n tă c 1 V A 4 S 4, trong d ó V = {1, (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3)}. Ta nhă c lȧi kê t qua d o n gia n sau cu a lí thuyê t nhóm.

PHU LU C 225 Bô d ề A.3. Cho G là mô t nhóm nhân. (i) Nê u H G và A là nhóm con cu a G thì H A A và A H A = HA H. (ii) Nê u H G và H A G thì H A, A/H G/H và G/H A/H = G A. Các kê t qua trong bô d ề trên tu o ng ú ng gȯi là d i nh lí d ă ng câ u thú nhâ t và d i nh lí d ă ng câ u thú hai. Ta có kê t qua quan trȯng d ầu tiên về nhóm gia i d u ȯ c. Mê nh d ề A.4. Cho G là t nhóm. mô (i) Nê u G gia i d u ȯ c thì mȯi nhóm con H cu a G gia i d u ȯ c. (ii) Nê u N G và G gia i d u ȯ c thì G/N gia i d u ȯ c.

226 PHU LU C (iii) Nê u tồn tȧi nhóm con chuâ n tă c N G sao cho N và G/N gia i d u ȯ c thì G gia i d u ȯ c. Chú ng minh. (i) Cho chuô i chuâ n tă c 1 = G 0 G 1 G n = G sao cho G i+1 /G i aben, vó i mȯi i = 0,..., n 1. D ă t H i = G i H. Khi d ó ta có chuô i chuâ n tă c : 1 = H 0 H 1 H n = H. Ta chú ng minh các thành phần H i+1 /H i là aben. Ta có H i+1 H i = G i+1 H G i H = G i+1 H G i (G i+1 H) = G i (G i+1 H) G i. Nhóm cuô i cùng là nhóm aben vì nó là nhóm con cu a nhóm aben G i+1 /G i. Vì thê H là nhóm gia i d u ȯ c.

PHU LU C 227 (ii) Tù chuô i hȯ p thành cu a G nhu trên, nhóm thu o ng G/N có chuô i các nhóm con sau 1 = G 0 N/N G 1 N/N G n N/N = G/N. Ta có G i+1n/n G i+1 N = G i N/N G i N theo d i nh lí d ă ng câ u thú hai. Mă t khác G i+1 N G i N = G i+1 (G i N) G i N G i+1 = G i+1 (G i N) G i+1 /G i =. (G i+1 (G i N))/G i Nhóm cuô i cùng là nhóm thu o ng cu a G i+1 /G i nên là nhóm aben. Vâ y G/N gia i d u ȯ c. (iii) Tồn tȧi 2 chuô i chuâ n tă c 1 = N 0 N 1 N r = N 1 = G 0 /N G 1 /N G s /N = G/N vó i các thành phần aben. Xét chuô i 1 = N 0 N 1 N r = N = G 0 G 1 G s = G/N

228 PHU LU C có các thành phần d ă ng câ u vó i N i+1 /N i hay d ă ng câ u vó i G i+1 /G i = (Gi+1 /N)/(G i /N), chúng d ều là nhóm aben. Vâ y G gia i d u ȯ c. 2. Nhóm d o n Mô t nhóm G 1 gȯi là nhóm d o n nê u G không có nhóm con D i nh nghĩa. chuâ n tă c nào khác 1 và chính nó. Nhu thê chuô i (12) là chuô i hȯ p thành cu a G khi và chı khi mȯi thành phần G i+1 /G i là các nhóm d o n. n xét A.5. Nê u G là nhóm hũ u hȧn thì trong G = G 1 có nhóm con chuâ Nhâ n tă c tô i d ȧi G 2, nhóm G 2 chú a mô t nhóm con chuâ n tă c tô i d ȧi G 3,...Tiê p c quá trình tu này, ta thâ y rằng mȯi nhóm hũ u hȧn d ều có mô t chuô i hȯ p thành. Mê nh d ề A.6. Mȯi nhóm d o n gia i d u ȯ c d ều là nhóm cyclic có câ p nguyên tô. Chú ng minh. Gȯi G là nhóm d o n gia i d u ȯ c. Khi d ó có chuô i chuâ n tă c 1 = G 0 G r = G

PHU LU C 229 vó i các thành phần aben. Vì G d o n nên r = 1 và G = G/G 0 aben. Trong nhóm aben, mȯi nhóm con d ều là nhóm con chuâ n tă c, do d ó d ê G d o n, nó trùng vó i nhóm con cyclic sinh ra bo i mô t phần tu bâ t kì khác 1 cu a G. Do d ó G là nhóm cyclic có câ p nguyên tô. Hê qua A.7. Mô t nhóm hũ u hȧn G là gia i d u ȯ c khi và chı khi tồn tȧi chuô i hȯ p thành 1 = G 0 G 1 G n = G sao cho vó i mȯi 1 i n, ta có G i /G i 1 cyclic có câ p nguyên tô. Chú ng minh. Gȯi 1 = G 0 G 1 G n = G là chuô i hȯ p thành cu a nhóm gia i d u ȯ c G. Khi d ó nhóm con G i+1 gia i d u ȯ c nên nhóm thu o ng G i+1 /G i gia i d u ȯ c, vó i mȯi i = 0,..., n 1. Do chuô i trên là chuô i hȯ p thành nên G i+1 /G i là nhóm d o n.tù (A.6), ta có các thành phần G i+1 /G i là các nhóm cyclic câ p nguyên tô. Chiều ngu ȯ c lȧi là hiê n nhiên vì mȯi nhóm cyclic d ều aben. Bô d ề A.8. Cho G là nhóm nhân và H G sao cho G/H aben. Khi d ó a, b G, ta có a 1 b 1 ab H.

230 PHU LU C Chú ng minh. Vó i mȯi a, b G, ta có ab = ab = ba = ba. Suy ra (ba) 1 (ab) = a 1 b 1 ab H. D i nh lí A.9. Nhóm d ô i xú ng S n vó i n 5 không gia i d u ȯ c. Chú ng minh. Gia su ngu ȯ c lȧi, nhóm S n vó i n 5 gia i d u ȯ c. Khi d ó tồn tȧi chuô i chuâ n tă c 1 = G 0 G 1 G r = S n, sao cho G i /G i 1 aben vó i mȯi i = 1,..., r. Gȯi (a b c) là mô t vòng xích bâ c 3 bâ t kì cu a S n. Lâ y u, v {1,..., n}\{a, b, c} sao cho u v (chú ý u, v tồn tȧi do n 5). Bô d ề trên kéo theo: (u b a) 1 (v c a) 1 (u b a)(v c a) = (a b c) G r 1, do S n /G r 1 aben. Vâ y G r 1 chú a tâ t ca các vòng xích dài 3. Tiê p c lí luâ n d ô tu nhu trên, do G i 1 /G i 2 aben, nhóm G r 2 chú a tâ t ca các vòng xích dài 3. Bằng d ô

PHU LU C 231 quy nȧp, nhóm G 0 chú a tâ t ca các vòng xích d ô dài 3. Vô lí! Vâ y S n không gia i d u ȯ c. Mê nh d ề A.10. Vó i mȯi n 5, nhóm thay phiên A n là nhóm d o n. Chú ng minh. Gia su có 1 N A n. Ta cần chı ra N = A n. Tru ó c hê t ta chú ng to rằng nê u N chú a mô t vòng xích d ô dài 3 thì N = A n. Ta có thê gia thiê t N chú a vòng xích (1 2 3). Khi d ó vó i mȯi k > 3, ta có (3 2 k) A n. Do d ó (3 2 k)(1 2 3)(3 2 k) 1 = (1 k 2) N. Nhu thê N chú a các phần tu (1 k 2) 2 = (1 2 k) vó i mȯi k 3. Chú ý rằng (m r) = (1 m)(1 r)(1 m) vó i mȯi m, r. Do d ó S n d u ȯ c sinh bo i các chuyê n trí (1 i) vó i i = 2..., n. Suy ra, mȯi phép thê chă n d ều là tích cu a mô t sô chă n các chuyê n trí loȧi này. Nên A n d u ȯ c sinh bo i các phần tu (1 j)(1 i) = (1 i j), vó i i, j = 2,..., n. Ta có (1 i j) = (1 2 j) 1 (1 2 i)(1 2, j), vó i i, j 2. Nhu thê A n d u ȯ c sinh bo i các phần tu (1 2 k). Do d ó N = A n.

232 PHU LU C Ta còn pha i chú ng minh N chú a mô t vòng xích bâ c 3. Ta chia ra các tru ò ng hȯ p nhu sau : Nhóm con N chú a mô t phần tu x = a b c... vó i a, b, c,... là các vòng xích d ô c lâ p và a = (a 1 a 2... a m ) vó i m 4. D ă t t = (a 1 a 2 a 3 ). Khi d ó N chú a phần tu z := t 1 xt. Chú ý rằng t giao hoán vó i các vòng xích a, b,..., nên z = t 1 xt = (t 1 at)bc.... Cuô i cùng, ta thâ y rằng N chú a phần tu zx 1 = t 1 ata 1 = (a 1 a 2 a 4 ). Xét N chú a 1 phần tu có phân tích vòng xích d ô c lâ p chú a 2 vòng xích dài d ô 3. Không mâ t tính tô ng quát, gia su N chú a x = (123)(456)y. D ă t t = (234). Khi d ó N chú a x 1 (txt 1 ) = (12436).

PHU LU C 233 Tù tru ò ng hȯ p d ầu tiên, ta suy ra N chú a mô t vòng xích dài 3. d ô Nê u N chú a mô t phần tu x có dȧng phân tích vòng xích là (ijk)σ vó i σ là tích cu a các phép chuyê n trí d ô c lâ p. Khi d ó N chú a x 2 = (ijk). Tru ò ng hȯ p còn lȧi là mȯi phần tu cu a N d ều là tích cu a các phép chuyê n trí d ô c lâ p. Vì n 5, ta có thê gia thiê t N chú a phần tu x vó i phân tích vòng xích x = (12)(34)σ trong d ó σ là tích các phép chuyê n trí d ô c lâ p. D ă t t = (234). Khi d ó N chú a phần tu x 1 (txt 1 ) = (23)(14). Lâ y u = (145), khi d ó N chú a ux 1 (txt 1 )u 1 = (23)(45). Nhu thê N chú a (23)(14)(23)(45) = (145). Mâu thuâ n!

234 PHU LU C Vâ y A n là nhóm d o n vó i mȯi n 5. Kê t qua này cũng kéo theo D i nh lí A.9. Thâ t vâ y, nê u S n gia i d u ȯ c thì A n gia i d u ȯ c. Ho n nũ a, tù d i nh lí trên, ta có A n là nhóm d o n. Tù Mê nh d ề A.6, suy ra A n có câ p nguyên tô. Vô lí vì câ p cu a A n là n! 2, không nguyên tô khi n 5. 3. Các p nhóm Trong mu c này, ta xét ló p các nhóm gia i d u ȯ c d ă c biê t gȯi là p nhóm. Bên cȧnh d ó, ta chú ng minh mô t sô kê t qua sâu să c cu a lí thuyê t nhóm, d ă c biê t là tính châ t cu a p nhóm thông qua chuô i chuâ n tă c cu a nó (A.17). Cho G là mô t nhóm nhân. Phần tu a G gȯi là liên hȯ p vó i D i nh nghĩa. b G nê u tồn tȧi g G sao cho a = g 1 bg. Quan hê liên hȯ p là mô t quan hê tu o ng d u o ng trên G. Các ló p tu o ng d u o ng theo quan hê liên hȯ p gȯi là các ló p liên hȯ p. Nê u G hũ u hȧn, gȯi các ló p liên hȯ p là C 1, C 2,..., C r vó i C 1 = {1}. Kí hiê u S là sô phần tu cu a mô t tâ p hũ u hȧn S. Ta có d ă ng thú c : G = 1 + C 2 + + C r, (13)

PHU LU C 235 gȯi là phu o ng trình ló p cu a G. Ta có mô t quan tu o ng d u o ng tu o ng tu trên tâ p các nhóm con cu a G. hê Hai nhóm con H, K cu a nhóm nhân G gȯi là liên hȯ p vó i nhau D i nh nghĩa. nê u tồn tȧi g G sao cho K = g 1 Hg. Dê dàng kiê m tra d ây là mô t quan tu o ng d u o ng. hê Cho G là nhóm nhân và x G. Kí hiê u D i nh nghĩa. C G (x) = {g G gx = xg}. Khi d ó C G (x) là mô t nhóm con cu a G gȯi là nhóm con trung tâm cu a x trong G. Bô d ề A.11. Cho G là nhóm hũ u hȧn. Sô phần tu trong ló p liên hȯ p cu a x G bằng vó i chı sô cu a C G (x) trong G. Chú ng minh. Lâ y 2 phần tu g 1 xg và h 1 xh bâ t kì trong ló p tu o ng d u o ng cu a x. Ta có g 1 xg = h 1 xh hg 1 x = xhg 1 hg 1 C G (x).

236 PHU LU C Nhu thê h và g nằm trong cùng ló p ghép cu a C G (x). Suy ra sô phần tu trong ló p liên hȯ p cu a x bằng vó i chı sô cu a C G (x) trong G. Bô d ề kéo theo : qua A.12. Sô phần tu trong t ló p liên hȯ p tùy ý chia hê t câ p cu a nhóm G. Hê mô Mô t nhóm hũ u hȧn G gȯi là mô t p nhóm nê u câ p cu a G là lũy D i nh nghĩa. thù a cu a mô t sô nguyên tô p. Ví A.13. Nhóm dihedral D 8 (xem tr. 30) là 2 nhóm. Nhóm S n vó i n 3 không du pha i là p nhóm vó i mȯi p nguyên tô. Tâm cu a nhóm G là tâ p D i nh nghĩa. Z(G) = {x G gx = xg, g G}. Dê dàng kiê m tra Z(G) là mô t nhóm con chuâ n tă c cu a G. Ví A.14. a) Tâm cu a nhóm aben là chính nó. du b) Tâm cu a nhóm S 3 là nhóm tầm thu ò ng. c) Z(D 8 ) = {1, σ 2 } vó i σ D 8 là phần tu có câ p 4 trong D 8.

PHU LU C 237 Ta có kê t qua tô ng quát sau d ây : D i nh lí A.15. Mȯi p nhóm khác 1 d ều có tâm không tầm thu ò ng. Chú ng minh. Tù phu o ng trình ló p, ta có p n = G = 1 + C 2 + + C r. Vì sô phần tu cu a mȯi ló p liên hȯ p chia hê t p n, ta gȯi C i = p n i vó i n i 0. Vì vê pha i chia hê t cho p, sô ló p có 1 phần tu pha i là mô t bô i sô cu a p. Mă t khác, nê u x thuô c vào ló p có 1 phần tu thì ta có g 1 xg = x vó i mȯi g G. Nghĩa là x Z(G). Nhu thê Z(G) có nhiều ho n 1 phần tu. Bô d ề A.16. Nê u A là t nhóm aben hũ u hȧn có câ p chia hê t cho t sô nguyên mô mô tô p thì chú a t phần tu câ p p. mô Chú ng minh. Ta chú ng minh bằng quy nȧp trên A. Nê u A = p, thì kê t qua là hiê n nhiên. Gȯi M là mô t nhóm con thu c su có câ p tô i d ȧi trong A. Nê u p chia hê t M thì bô d ề d u ȯ c chú ng minh theo nguyên lí quy nȧp. Xét tru ò ng hȯ p p không chia hê t

238 PHU LU C M. Gȯi b A\M, xét B =< b > là nhóm cyclic sinh ra bo i b. Khi d ó MB là mô t nhóm con (chú ý G aben) chú a M thu c su nên MB = A. Ta có d ă ng câ u nhóm (A.3) Suy ra M/(M B) = MB/B. MB = M B M B. Do d ó p chia hê t câ p r cu a B =< b >. Khi d ó phần tu b r/p có câ p p. Ta có mô t tính châ t d ă c biê t cu a p nhóm. Mê nh d ề A.17. Cho G là mô t p nhóm có câ p p n. Khi d ó G có chuô i các nhóm con chuâ n tă c 1 = G 0 G 1 G n = G sao cho (G i : 1) = p i vó i mȯi i = 0,..., n. Chú ng minh. Ta chú ng minh bằng quy nȧp trên n. Nê u n = 0 thì kê t qua là hiê n nhiên. Xét n > 0. Do Z(G) là mô t nhóm aben khác 1 có câ p chia hê t cho p

PHU LU C 239 nên theo (A.16), tồn tȧi mô t phần tu x Z(G) có câ p p. Nhóm cyclic K =< x > là nhóm con chuâ n tă c cu a G vì x Z(G). Nhóm thu o ng G/K có câ p p n 1, theo gia thuyê t quy nȧp, tồn tȧi chuô i các nhóm con chuâ n tă c cu a G/K tho a K/K = G 1 /K G 2 /K G n /K = G/K vó i G i /K = p i 1 và G i G vó i mȯi i = 1,..., n. Nhu thê G i = G 0 = 1, ta có d iều pha i chú ng minh. p i. D ă t Hê qua A.18. Mȯi p nhóm d ều gia i d u ȯ c. Chú ng minh. Tù chuô i các nhóm con chuâ n tă c cu a G cho trong mê nh d ề trên, ta có các thành phần G i /G i 1 có câ p là p nên là nhóm cyclic. Suy ra G gia i d u ȯ c. B D İNH LÍ SYLOW VÀ D İNH LÍ CAUCHY Ta gió i thiê u khái niê m nhóm con Sylow và chú ng minh mô t phần kê t qua cu a D i nh lí Sylow, kê t qua d ó d u d ê chú ng minh D i nh lí Cauchy. D i nh lí B.1 (Sylow). Cho G là t nhóm nhân hũ u hȧn có p mô α m phần tu, trong d ó p nguyên tô không chia hê t m. Khi d ó

240 PHU LU C (i) G chú a mô t nhóm con có câ p p α ; (ii) mȯi nhóm con câ p p α d ều liên hȯ p vó i nhau ; (iii) mȯi p nhóm con cu a G d ều chú a trong mô t nhóm con câ p p α ; (iv) sô các nhóm con câ p p α bằng 1 + kp vó i k N. Mô t nhóm con có câ p p α gȯi là p nhóm Sylow cu a G. Chú ng minh. Ta chı chú ng minh phần i) cu a d i nh lí trên. Bȧn d ȯc có thê tham kha o chú ng minh d ầy d u cu a d i nh lí trong các sách về D ȧi sô, ví du [1], tr. 141. Ta chú ng minh bằng quy nȧp trên G. Kê t qua hiê n nhiên nê u G = 1, 2. Gȯi C 1,..., C r là các ló p liên hȯ p cu a G và gȯi c i = C i. Khi d ó, phu o ng trình ló p cho ta p α m = c 1 + + c r. (14) Gȯi Z i là nhóm con trung tâm cu a mô t phần tu x i C i và n i = Z i vó i i = 1,..., r. Tù (A.11), ta có n i = pα m c i. (15)

PHU LU C 241 Gia su tồn tȧi c i ló n ho n 1 và không chia hê t cho p. Khi d ó, tù (15), ta có n i < p α m và n i chia hê t cho p α. Theo gia thuyê t quy nȧp, tồn tȧi mô t nhóm con câ p p α trong Z i. Ta có d iều cần chú ng minh. Xét tru ò ng hȯ p vó i mȯi i = 1,..., r, ta có c i = 1 hay c i không chia hê t cho p. Gȯi z = Z(G). Nhu trong chú ng minh cu a (A.15), sô các c i = 1 bằng vó i z. Nhu thê ta có p α m = z + kp vó i k N. Suy ra p chia hê t z = Z(G). Theo (A.16), tồn tȧi mô t phần tu x Z(G) có câ p p. Gȯi P =< x > là nhóm cyclic sinh ra bo i x. Do P Z(G), ta có P G. Nhóm thu o ng G/P có p α 1 m phần tu nên theo gia thuyê t quy nȧp chú a mô t nhóm con S/P câ p p α 1, vó i S là mô t nhóm con cu a G. Khi d ó S có câ p p α. Ta có d iều pha i chú ng minh. Tù d i nh lí trên, ta có kê t qua cu a Cauchy. D i nh lí B.2 (Cauchy). Nê u mô t nhóm hũ u hȧn G có câ p chia hê t cho sô nguyên tô p thì G có mô t phần tu câ p p.

242 PHU LU C Chú ng minh. Gȯi S là p nhóm con Sylow cu a G, khi d ó S 1. Theo (A.17), tồn tȧi mô t nhóm con chuâ n tă c câ p p trong S. Ta có d iều pha i chú ng minh. C BAO D ÓNG D ȦI SÔ CU A MÔ T TRU Ò NG c này trình bày hai chú ng minh về viê c tồn tȧi cu a bao d óng d ȧi sô cu a mô t Mu tru ò ng tùy ý. D i nh lí C.1. Mȯi tru ò ng F d ều tồn tȧi t bao d óng d ȧi sô. mô Chú ng minh. Tru ó c tiên ta chú ý rằng, tu o ng tu nhu vành d a thú c hũ u hȧn biê n d ô c lâ p d ȧi sô, ta có thê xây du ng vành d a thú c F [{x j }] vó i tâ p tùy ý các biê n {x j }, trong d ó mô i d a thú c là tô ng hũ u hȧn các d o n thú c ax i1 x im, vó i x it {x j }. Gȯi F [..., y f,...] là vành d a thú c mà mô i biê n y f ú ng vó i mô t d a thú c chuâ n tă c f F [x]. Gȯi I là id êan cu a F [..., y f,...] sinh bo i tâ t ca d a thú c f(y f ). Nê u I = (1) thì tồn tȧi g 1,..., g n F [..., y f,...], sao cho g 1 f(y f1 ) + + g n f(y fn ) = 1. (16) Gȯi F là mô t mo rô ng cu a F chú a mô t nghiê m α i cu a f i vó i mȯi i = 1,..., n.

PHU LU C 243 Xét d ồng câ u vành tù F [..., y f,...] vào F biê n y fi thành α i, i = 1,..., n và biê n y f = 0 vó i f / {f 1,..., f n }. Khi d ó biê u diê n (16) cho 0 = 1. Vô lí! Cho nên I (1). Do d ó, theo Bô d ề Zorn, tồn tȧi mô t id êan tô i d ȧi M cu a F [..., y f,...] chú a I. D ă t E 1 = F [..., y f,...]/m, khi d ó E 1 là mô t tru ò ng chú a F. Mȯi d a thú c trong F [x] d ều có ít nhâ t mô t nghiê m trong E 1. Lă p lȧi quá trình trên khi thay F bo i E 1, ta có mo rô ng E 2 cu a E 1. Tiê p c nhu thê, ta có chuô i các mo rô ng tru ò ng tu F = E 0 E 1, và d ă t E = E i. Khi d ó E là mô t tru ò ng d óng d ȧi sô vì vó i mȯi d a thú c f E[x], tồn tȧi i sao cho f E i [x]. Nhu thê f có ít nhâ t mô t nghiê m trong E i+1 E. Lâ y tru ò ng con F các phần tu d ȧi sô trên F trong E. Khi d ó F là bao d óng d ȧi sô cu a F. Mô t chú ng minh khác su ng nhũ ng tính châ t về lu c lu ȯ ng. Ta cần bô du d ề sau : Bô d ề C.2. Cho F là t tru ò ng vô hȧn và K là t mo ng d ȧi sô cu a F. Khi mô mô rô d ó K có cùng lu c lu ȯ ng vó i F. Chú ng minh. K bằng hȯ p rò i rȧc cu a các tâ p hũ u hȧn, mô i tâ p chú a tâ t ca các

244 PHU LU C nghiê m trong K cu a mô t d a thú c chuâ n tă c bâ t kha quy trong F [x]. Do d ó lu c lu ȯ ng cu a K bằng vó i lu c lu ȯ ng các d a thú c chuâ n tă c, bâ t kha quy trong F [x]. Ta biê t rằng tâ p các d a thú c chuâ n tă c có bâ c bằng n cho tru ó c trong F [x] có cùng lu c lu ȯ ng vó i F, do d ó lu c lu ȯ ng cu a tâ p tâ t ca các d a thú c chuâ n tă c cũng bằng lu c lu ȯ ng cu a F, suy ra K và F có cùng lu c lu ȯ ng. Chú ng minh. (D i nh lí C.1) Ta chı cần chú ng minh cho tru ò ng hȯ p F là tru ò ng vô hȧn. Nhúng F vào trong mô t tâ p S có lu c lu ȯ ng ló n ho n lu c lu ȯ ng cu a F. Gȯi Λ là tâ p các (E, +, ), trong d ó E S là mô t mo rô ng d ȧi sô cu a F và +, là các phép bô toán trên tru ò ng E. Trên Λ xét quan thú tu, d i nh bo i (E, +, ) > (E hê, +, ) nê u E là mo rô ng tru ò ng cu a E. Bô d ề Zorn chı ra rằng tồn tȧi mô t phần tu tô i d ȧi (K, +, ) trong Λ. Khi d ó K là mô t mo rô ng d ȧi sô cu a F. Ta chú ng minh K d óng d ȧi sô. Gia su ngu ȯ c lȧi K không d óng d ȧi sô. Khi d ó tồn tȧi mô t mo rô ng d ȧi sô thu c su L = K(α) cu a K. Vì L < S, nhúng L vào S bằng mô t d o n ánh sao cho d ồng nhâ t trên K. Khi d ó tồn tȧi mô t phần tu cu a Λ ló n ho n (K, +, ), vô lí do tính tô i d ȧi cu a (K, +, ).

PHU LU C 245 D SO LU Ȯ C VỀ MAPLE Maple là mô t hê thô ng tính toán trên các biê u thú c d ȧi sô và minh hȯa toán hȯc mȧnh mẽ cu a công ty Warterloo Maple Inc., ra d ò i năm 1991, d ê n nay (2006) d ã phát triê n d ê n phiên ba n 10. Maple có cách cài d ă t d o n gia n, chȧy trên tâ t ca các hê d iều hành, có câ u trúc linh hoȧt d ê su du ng tô i u u câ u hình máy và d ă c biê t có trình trȯ giúp (Help) râ t dê su du ng. Tù phiên ba n 7 tro d i, Maple cung câ p ngày càng nhiều các công cu tru c quan, các gói lê nh tu hȯc gă n liền vó i toán phô thông và d ȧi hȯc. U u d iê m d ó làm cho nhiều nu ó c trên thê gió i lu a chȯn su du ng Maple cùng các phần mềm toán hȯc khác trong dȧy hȯc toán. Viê c su du ng Maple cũng nhu công nghê thông tin trong dȧy và hȯc toán là mô t xu hu ó ng ngày càng phô biê n trên thê gió i và to ra là mô t phu o ng tiê n hô trȯ d ă c lu c nhằm làm cho viê c dȧy-hȯc toán tro nên thu c tiê n ho n, d áp ú ng nhu cầu phát triê n cu a giáo du c hiê n d ȧi. Phần này cung câ p nhũ ng kiê n thú c co ba n về Maple d ê ngu ò i d ȯc có thê khai thác su du ng nó trong viê c hȯc tâ p và gia ng dȧy toán hȯc, trong d ó có Lí thuyê t Tru ò ng và Galois. D ô c gia có thê tìm hiê u thêm về Maple trong các tài liê u tham kha o [8] và [10].

246 PHU LU C Các tính năng co ba n cu a Maple. Có thê nêu vă n tă t các chú c năng co ba n cu a Maple nhu sau. - là mô t thô ng tính toán trên các biê hê u thú c sô hȯc và d ȧi sô ; - có thê thu c hiê c d u ȯ c hầu hê t các phép toán co ba n trong chu o ng trình toán d ȧi hȯc và phô thông ; - cung câ p các công minh hȯa hình hȯc thuâ n tiê n gồm: vẽ d ồ tĩnh và d ô ng cu thi cu a các d u ò ng và mă t d u ȯ c cho bo i các hàm tùy ý trong nhiều tȯa khác hê d ô nhau ; - mô t ngôn ngũ lâ p trình d o n gia n và mȧnh mẽ, có kha năng tu o ng tác vó i các ngôn ngũ lâ p trình khác ; - cho phép trích xuâ t dũ liê u ra các d i nh dȧng khác nhau nhu LaTex, Word, HTML,... - Mô t công biên soȧn giáo án và bài gia ng d iê n tu ; cu - cung câ p mô t môi tru ò ng dȧy-hȯc tu o ng tác tru c tiê p.

PHU LU C 247 Giao diê n và lê nh trong Maple. Giao diê n cu a Maple d u ȯ c thê hiê n nhu trong Hình 12. Hình 12: Giao diê n cu a Maple Lê nh cu a Maple d u ȯ c gõ vào trang làm viê c (worksheet) tȧi dâ u nhă c lê nh ">" và theo ngầm d i nh d u ȯ c hiê n thi bằng font Courier màu d o. Mô t lê nh d u ȯ c kê t thúc

2025 © DocPlayer.gr Πολιτική Απορρήτου | Όροι Χρήσης | Σχόλια