4.GAIA. ESPAZIO BEKTORIALAK

4.GAIA. ESPAZIO BEKTORIALAK. Defiizioa. Propietateak 3. Azpiespazio bektorialak 4. Kobiazio liealak 5. Depedetzia eta idepedetzia lieala 6. Oiarria eta dimetsioa 7. Oiarri-aldaketa 8. Azpiespazio bektoriale arteko ebaketa eta batuketa

4.GAIA. ESPAZIO BEKTORIALAK Matematika, beraie artea batu egi daitezkee edo zebaki errealeki biderka daitezke objektu matematiko askore adibide aurki ditzakegu. Nabaria da zebaki errealek guzti hau betetze dutela. Baia adibide gehiago ere badaude; besteak beste, matrizeak,futzioak, zebaki kopleuak, plaoko eta espazioko bektoreak. Gai hoeta ideia hau jeeralizatuko dugu Aljebra Liealare egitura garratzitsuea sartuz: espazio bektoriala. Multzo desberdieta atzeko egiturak agertze direea, hauek aiomatizatzea eta sortze de izate berriari ize bat ematea komei da.abataila hadiea hoako hau da: egitura hau aztertze badugu, bere barea sartze dire egitura guztiak aztertuta geratze dira. Laburtuz, espazio bektorial bat edozei elemeture multzo bat da, o batuketa eta zebaki bate bidezko biderketa deitze dire eragiketak egi daitezkee. Espazio bektorialare kotzeptua defiitzerakoa ez dugu zehazte elemetue izaera ezta beraie arteko eragiketak ola egite dire ere, baia espazio bektorialare aiomatzat kotsideratuko ditugu propietate batzuk betetzea eijituko dugu. Goaze, bada, espazio bektorial delako egitura eta berari dagozkio propietateak ikustera.. DEFINIZIOA bat eta K.V Iza bedi K gorputz trukakor bat. Adibidez, K = R edo K = C. Iza bedi V multzo bat o V φ de. V multzoa VV + V bare-eragiketa V kapo-eragiketa bat defiitze dira. Ordua, V K gaiea espazio bektoriala edo K gorputzare gaieko espazio bektoriala dela esago dugu, odoko balditzak betetze direea: I) (V,+) Talde abeldarra da.. Elkarkorra: ( + y) + z = + (y + z), y, z. Trukakorra: + y = y +, y V 3. Elemetu eutroa: V! 0 V / + 0 = 0 + = V

4. Aurkako elemetua: V V / + ( ) = ( ) + = 0 II) Kapo-biderketarekiko odoko propietateak betetze dira:. α.( + y) = α. + α.y α K,, y V. ( α + β). = α. + β. α, β K, V 3. α.( β.) = ( α. β). α, β K, V 4. K. = V o K K-re uitate elemetua de (t.=.t =t t K ). V espazio bektorialeko elemetuei bektoreak esate zaie, eta K gorputzeko elemetuei eskalarrak. Baldi K = R, V espazio bektorial erreala dela esago dugu eta K = C deea, V espazio bektorial kopleua dela esago dugu. Adibideak:. Plaoko bektore geometrikoe multzoa eta espazioko bektore geometrikoe multzoa batuketa eta zebaki erreal bate bidezko biderketareki espazio bektorial errealak dira.. m errekada eta zutabe dituzte matrize guztie M m (K) multzoa, elemetuak K gorputzeko elemetuak izaik, K gorputzare gaieko espazio bektoriala da. 3. R multzoa R gorputzare gaieko espazio bektoriala da. 4. C multzoa R gorputzare gaieko eta C gorputzare gaieko espazio bektoriala da. 5. Iza bedi R [], baio tikiagoko edo maila berdieko ezezagueko poliomioe multzoa, koefizieteak R- daudelarik. Ordua, R [] R gorputzare gaieko espazio bektoriala da. 6. R = { (,,..., ) / i R, i = } multzoa odoko eragiketeki R gorputzare gaieko espazio bektoriala da: (,,..., ) + (y, y,..., y ) = ( +y, +y,..., +y ) α.(,,..., ) = ( α, α,..., α ) Jeeralea, K K gorputzare gaieko espazio bektoriala da. 7. [a,b] tartea defiitutako futzio erreal jarraitue C[a,b] multzoa, odoko eragiketeki, R gorputzare gaieko espazio bektoriala da: (f+g)() = f() + g() eta ( α.f)() = α.f() 3

Baia badaude espazio bektorialare aioma guztiak betetze ez dituzte egiturak. Ikus dezagu zebait adibide:. N zebaki arrute multzoa, zebaki erreal bate eta zebaki arrut bate arteko biderkadura ez da beti zebaki arruta.. R ez da C gorputzare gaieko espazio bektoriala. 3. Determiate ulua dute ordeako matrize karratue D multzoa ez da espazio bektoriala, D- matrizee batura bare-eragiketa ez delako.adibidea: A = 0 0 0 eta B = 0 0 0 D, baia A + B = 0 beraz A + B D 4. A. = b, ( b R, b 0), sistema ez homogeeo bate S(A, b) soluzioe multzoa ez da espazio bektoriala, sistemare edozei bi soluziore batura sistemare batura ez delako. Bestalde, sistema homogeeoa baldi bada, A. = 0, soluzioe multzoa espazio bektoriala da.. PROPIETATEAK ) V, 0. = 0 ) α. = 0 α = 0 edo = 0 3) α K, α.0 = 0 4) α K, V, α.( ) = ( α.) 5) α K, V, ( α). = ( α.) 6) α K,, y V, α.( y) = α. α, y 7) α, β K, V, ( α β). = α. β. 8) α. = β. eta 0 α = β 9) α. = α.y eta α 0 = y 3. AZPIESPAZIO BEKTORIALAK Defiizioa. Iza bitez V K gaiea espazio bektoriala eta hoe F azpimultzoa. Baldi eta V- defiitutako eragiketeki F espazio bektoriala badugu, F V-re azpiespazio bektoriala dela esago dugu. 4

V-re azpimultzo bat azpiespazioa dela frogatzeko, espazio bektorialare propietate guztiak betetze dituela frogatzea ez da beharrezkoa izago odorego karakterizazioteorema erabiltze badugu: Teorema. V-re F azpimultzoa V-re azpiespazio bektoriala dugu, baldi eta soilik baldi odoko propietateak betetze badira: a), y F + y F b) α K, F α. F Hau da,f azpiespazio bektoriala batuketarekiko eta biderketarekiko zati egokorra da. Oharra. 0 bektore ulua azpiespazio bektorial guztieta dago, α =0 deea b) aplikatuz Adibideak: α. = 0 F betetze baita.. { 0} eta V multzoak V-re azpiespazio bektorialak dira eta azpiespazio ez-propio edo abari deritze.aurrekore bat ez de beste azpiespazio bektoriali azpiespazio bektorial propio deritzo.. Jatorritik pasatze dire zuze guztie multzoa R 3 espazio bektorialare azpiespazio bektoriala da. Gauza bera geratze da jatorritik pasatze dire plaoko zuze guztie multzoareki. 3. Iza bedi F = { (,0,z) /, z R} R 3, ordua F R 3 -re azpiespazio bektoriala da. 4. A. = 0, R, sistema homogeeoare S(A) soluzioe multzoa R -re azpiespazio bektoriala da. 5. R [] poliomioe multzoa, koefiziete errealak dituzte poliomio guztie espazio bektorialare azpiespazio bektoriala da. 4. KONBINAZIO LINEALAK Defiizioa. Iza bedi V K gaiea espazio bektoriala. Baldi erara idazterik badago: Ordua = α + α +... + α, o α α α V bektorea odoko K dire, V bektorea,,..., V bektoree kobiazio lieala dela esate da. Baldi A = { } bada, C(A) = < > ikurrare bidez A-re bektoree kobiazio lieala dire bektoree multzoa adierazte dugu.(itidura lieala) Proposizioa. Iza bitez V. Ordua, F = < > V-re azpiespazio bektoriala dela betetze da eta A = { } bektore-familiak 5

sorturiko azpiespazio bektoriala dela esate da. A = { sortzaile bat dela esate da. } F-re sistema 5. DEPENDENTZIA ETA INDEPENDENTZIA LINEALA Iza bitez V espazio bektoriala eta Defiizioa.,,...,,,..., V. V bektoreak liealki depedeteak edo liealki medekoak direla esate da baldi eta odokoa betetze dute α i K eskalarrak eistitze badira, guztiak batera zero ez izaik: α + α +... + α 0 Kasu hoeta, { = } familia edo sistema lotua dela esate da. Defiizioa.,,..., V bektoreak liealki depedeteak ez direea liealki idepedeteak direla esate da. Beraz,,,..., V bektoreak emaik, baldi eta betetze bada, ordua { α + α +... + α = 0 α = α =... = α = 0 bektoreak liealki idepedeteak dira eta } familia edo sistema askea dela esate da. Proposizioa.,,..., V bektoreak liealki depedeteak dira, baldi eta soilik baldi bektoreetatik bat gutieez gaierakoe kobiazio lieala bada. Proposizioa. Baldi A = { edozei azpisistema askea da. Proposizioa. Baldi A = { due V-re edozei G sistema (A G) lotua da. } V-re sistema askea bada, ordua A-re } V-re sistema lotua bada, ordua A barea Proposizioa. 0 bektore ulua due edozei bektore-sistema lotua da. Adibideak. a. + 0. +... + 0. 0 betetze da a K eskalarretarako = si, cos C[0,π ] futzioak liealki depedeteak dira. { -, ++, + } R [] bektore-sistema askea da. { (), (0,), () } R bektore-sistema ez da askea. Aurreko guztia kotua hartuz, matrize bate heia, liealki idepedeteak dire matrizeare errekada-kopuru edo zutabe-kopuru maimoa bezala defii dezakegu. 6

Beraz, bektore-sistema bat askea de ikusteko ahikoa izago da bektoreek osatze dute matrizeare heia aztertzea. 6. OINARRIA ETA DIMENTSIOA Iza bitez V K gaiea espazio bektoriala eta A V. Ordua, V = <A> baldi bada, A-ri V-re sistema sortzaile esate zaio. V espazio bektoriala sorkutza fiitukoa edo dimetsio fiitukoa dela esago dugu, baldi eta soilik baldi sistema sortzaile fiiture bat badu. Beraz, V dimetsio fiituko espazio bektoriala da, odokoa betetze due V-re A = { } azpimultzo fiiture bat eistitze bada: V α, α α K / = α + α +... + α Badaude dimetsio fiitukoak ez dire espazio bektorialak, besteak beste C[a,b] eta poliomio guztie espazio bektoriala, baia hemedik aurrera dimetsio fiituko espazio bektorialak soilik kotsideratuko ditugu. Defiizioa. Baldi eta { e, e e sortzailea eta askea bada, V-re oiarria dela esago dugu. Adibideak. } bektore-sistema V espazio bektorialare sistema { = (0), e (0,) } bektore-sistema R -re oiarri bat da. e = Jeeralea, { e = (0,...,0),e = (0,0,...,0),...,e (0,...,0,) } R -re oiarri bat = da eta R -re oiarri kaoikoa esago diogu. {, } R [] espazio bektorialare oiarri bat da. 0 0 0 0 0,,, 0 0 0 0 0 0 bektorialare oiarri bat da. 0 ordeako matrize karratue M (K) espazio Proposizioa. V-re edozei bektore, oiarri bate bektoree kobiazio lieal modua idatzia iza daiteke eta kobiazio lieal hori bakarra da. Iza bedi B = { e, e e } V-re oiarri bat, ordua V retzat α, α α K bakarrak / = αe + αe +... + α e de. 7

Aurreko adierazpeea agertze dire eskalarrei, B oiarriarekiko bektoreare koordeatuak esate zaie: = ( α, α,..., α. ) B Proposizioa. {0} ez de dimetsio fiituko edozei espazio bektorialek gutieez oiarri bat du. Oiarriare teorema. V-re oiarri guztiek bektore-kopuru berbera dute. V espazio bektorialare edozei oiarrire bektore-kopuruari, V-re dimetsioa esate zaio eta dim(v) ikurrare bidez adieraziko dugu. { 0} espazio bektorialare dimetsioa 0 dela oartze da. Adibideak. dim(r ) =,dim(r ) =, dim(r []) = 3, dim(r []) = + dim(m (R)) = 4 Proposizioa. Baldi dim(v) = bada, ordua m elemetu ditue V-re edozei bektore-sistema, m> izaik, lotua da. Proposizioa. Iza bitez dimetsiotako V espazio bektoriala (dim(v)=) eta bektorez osatutako V-re A bektore-familia. Ordua: A V-re oiarria A askea edo A V-re sistema sortzailea Defiizioa. Iza bitez V espazio bektoriala eta H = { } V. H-re heia, liealki idepedeteak dire familiare bektore-kopuru hadieari esate zaio. Beraz, r(h) = dim<h>. Heme matrize bate heia defii dezakegu: Matrize bate heia, liealki idepedeteak dire matrizeare errekada-kopuru edo zutabe-kopuru maimoa da. Froga daiteke matrizea liealki idepedete dire errekada-kopuru maimoa eta zutabe-kopuru maimoa kopuru berbera direla. Iza bitez V espazio bektoriala eta F V. Ordua, dim(f) = dim(v) o F defiitze dute ekuazio liealki idepedetee kopurua de. 7. OINARRI-ALDAKETA Atal hoeta, bi oiarri desberdiekiko bektore bate koordeatue arteko erlazioa aztertuko dugu. Iza bedi V dimetsioko espazio bektorial bat, dim(v) =. Iza bitez B = { e e e } eta B = { u u u } V-re bi oiarri. Badakigu V-re edozei bektore B oiarriare bektoree kobiazio lieal modua eta 8

B oiarriare bektoree kobiazio lieal bezala adieraz daitekela. Iza bedi V, ordua: α, α α K / = αe + α e +... + αe β, β β K / = βu +βu +... + βu Bestalde, B-re elemetuak V-reak dira eta B oiarriare bektoree kobiazio lieal bezala adieraz ditzakegu. e + = a u + a u +... a u e + = au + a u +... a u... e + = a u + a u +... a u Orai, α i eta βi koordeatue arteko erlazioa lortuko dugu: = αe + α e +... + αe = α ( a u + a u +... + a ) + + + u α ( a u + a u +... + a ) + u... α ( a u + a u +... + a u ) = βu +βu +... + βu Eta hemedik, odoko erlazioa lortze dugu: β β =.. β a a... a a a a............... a α a α..... a α ( ) = A. B' ( ) B A matrizea, B eta B oiarrie arteko oiarri-aldaketare matrizea da eta bere zutabeak B oiarriare elemetue B oiarriarekiko koordeatuak dira. A = (( e ), ( e ),...,( ) ) B' B' e B' A matrizea ibertigarria da eta A - matrizeak B eta B oiarrie arteko oiarri-aldaketa adierazte du. 9

8. AZPIESPAZIO BEKTORIALEN ARTEKO EBAKETA ETA BATUKETA bektorialak. Iza bitez K-re gaieko V espazio bektoriala eta V-re F eta G azpiespazio Defiizioa. F-re eta G-re ebakidura hoela defiitze dugu: F G = { / F eta G} Defiizioa. F-re eta G-re batura hoela defiitze dugu: F + G = { = u + v / u F eta v G} F + G batura batura zuzea dela esago dugu, eta F G ikurrare bidez adieraziko dugu, odoko balditza betetze deea: F + G!u F eta!v G / = u + v edo, aurrekoare baliokide dea: F G = {0}. Proposizioa. Aurrea defiituriko F+G eta F G multzoak, V-re azpiespazio bektorialak dira. Gaiera, F+G = <F G>betetze da. Oharra. Jeeralea, azpiespazioe bildura, F G = { / F edo G}, ez da azpiespazio bektoriala. Proposizioa. dim(f+g) = dim(f) + dim(g) dim(f G) 0