ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΣΕΡΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ

Transcript

1 ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΣΕΡΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΘΕΜΑ: ΤΟΠΟΛΟΓΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΟΥ ΔΙΚΤΥΟΥ ΤΗΣ ΒΟΥΛΗΣ ΤΩΝ ΕΛΛΩΝΩΝ - ΚΟΙΝΩΝΙΚΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ Υπό του φοιτητή: ΤΡΕΥΛΑΚΗ ΝΙΚΟΛΑΟΥ (Α.Μ ) Επιβλέπων Καθηγητής: Δρ. ΚΥΔΡΟΣ, Δημήτριος ΣΕΡΡΕΣ 2013

2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 5 Presentation Of The Problem... 5 Παρουσίαση του Προβλήματος... 5 Περίληψη ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΔΙΚΤΥΩΝ Βασικοί Όροι Δικτύων... 9 Δίκτυο (Network)... 9 Κόμβοι (Nodes) Τόξα (Arcs) Αναπαράσταση (Visualization) Συνιστώσες (Components) Μονοπάτια (Paths) Κύκλος (Cycle) Κλίκες (Cliques) Πυρήνες (Cores) Πυκνότητα (Density) Κεντρικότητα (Centrality) ΤΟ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΔΙΚΤΥΩΝ PAJEK Το περιβάλλον εργασίας του Pajek ΤΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΟΙΝΟΒΟΥΛΙΟ Η Βουλή, η δομή και οι λειτουργίες της Η ΜΕΛΕΤΗ Συλλογή και επεξεργασία δεδομένων Δομή του Ελληνικού Κοινοβουλίου Διαρθρωτική και Αριθμητική Ανάλυση του Δικτύου Αριθμητικά αποτελέσματα και σύγκριση με άλλα δίκτυα ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Βιβλιογραφία Σελίδα 2

3 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΚΟΝΩΝ ΚΑΙ ΠΙΝΑΚΩΝ Α/Α Εικόνα Σελίδα Πηγή 1.1 Η τοπολογία αστέρα Η τοπολογία αρτηρίας Η τοπολογία δακτυλίου Οι επισκέψεις στην Attiro Ένα απλό μη συνδεδεμένο κατευθυνόμενο δίκτυο. Το δίκτυο επισκέψεων στην Attiro. Οι ισχυρές συνιστώσες οριοθετούνται από ένα περίγραμμα Ένας κατευθυνόμενος κύκλος Η ολοκληρωμένη τριάδα και ένα παράδειγμα k-πυρήνες Παράδειγμα διάκρισης πυρήνων Παράδειγμα ενδιαμεσότητας. 34 Exploratory Social Network Analysis with Pajek, (2005) Exploratory Social Network Analysis with Pajek, (2005) Exploratory Social Network Analysis with Pajek, (2005) Social Network Analysis - Theory and Applications Exploratory Social Network Analysis with Pajek, (2005) Exploratory Social Network Analysis with Pajek, (2005) Exploratory Social Network Analysis with Pajek, (2005) Social Network Analysis - Theory and Applications 2.1 Το εμπορικό σήμα του Pajek Προσεγγίσεις για την αντιμετώπιση των μεγάλων δικτύων Η βασική οθόνη του Pajek Η οθόνη αναφοράς του Pajek Η οθόνη σχεδιασμού του Pajek Το Ελληνικό Κοινοβούλιο Η Ολομέλεια της Βουλής 51 Batagelj Vladimir, Analysis of Large Networks with Pajek, (2008) Exploratory Social Network Analysis with Pajek, (2005) Exploratory Social Network Analysis with Pajek, (2005) Exploratory Social Network Analysis with Pajek, (2005) ΒΟΥΛΗ ΤΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ. Ο ΘΕΣΜΟΣ Η ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΟ ΚΤΗΡΙΟ, (2008) ΒΟΥΛΗ ΤΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ. Ο ΘΕΣΜΟΣ Η ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΟ ΚΤΗΡΙΟ, (2008) Σελίδα 3

4 Α/Α Σχήμα Σελίδα 1 Ένα πλήρες σχέδιο του Ελληνικού Κοινοβουλίου 59 Α/Α Πίνακας Σελίδα 4.1 Οι δεκαπέντε πιο επιφανείς παράγοντες ως προς τη κεντρικότητα Γνωστά δίκτυα που έχουν ερευνηθεί από τη βιβλιογραφία 63 Σελίδα 4

5 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Presentation Of The Problem In this paper there are provided some insights in the structure of the Greek Parliament from the perspective of social network analysis. Using historical and publicly available data to create a social network (i.e. a graph) that comprises of all members of the Greek Parliament for a period of 80 years, together with their interactions. Also, we present a visualization of these data and calculate some wellestablished metrics, coming from social network analysis in this social network. The results indicate that the Greek Parliament Network (GPN) is a small-world network, very difficult to disconnect. We finally argue that this network may be prone to produce corruption in its general sense. Παρουσίαση του Προβλήματος Στην εργασία αυτή παρέχονται κάποιες γνώσεις σχετικά με τη δομή της Βουλής των Ελλήνων από τη σκοπιά της κοινωνικής ανάλυσης δικτύων. Χρησιμοποιώντας ιστορικά και δημοσίως διαθέσιμα δεδομένα δημιουργήθηκε ένα κοινωνικό δίκτυο (π.χ. ένα γράφημα) που αποτελείται από όλα τα μέλη της Βουλής των Ελλήνων για μια περίοδο 80 ετών, μαζί με τις αλληλεπιδράσεις τους. Επίσης γίνεται μια απεικόνιση αυτών των δεδομένων και υπολογίζονται κάποιες καθιερωμένες μετρήσεις, που προέρχονται από την ανάλυση των κοινωνικών δικτύων σε αυτό το κοινωνικό δίκτυο. Τα αποτελέσματα μάς δείχνουν ότι το δίκτυο της Βουλής των Ελλήνων είναι ένας μικρό-κόσμος, που είναι πολύ δύσκολο να διασπαστεί. Τέλος, υποστηρίζεται ότι το δίκτυο αυτό μπορεί να είναι επιρρεπές στο να παράγει τη διαφθορά στη γενική της έννοια. Λέξεις Κλειδιά: δίκτυα, ανάλυση κοινωνικών δικτύων, μικρό-κόσμος, πολιτική, Ελληνικό Κοινοβούλιο, Pajek Jel Classification: Z10, C1, A14 Σελίδα 5

6 Περίληψη Τα τελευταία χρόνια, η Ελλάδα έχει υποφέρει από μια πολύ σοβαρή οικονομική κρίση. Υπήρξε μια μεγάλη δημόσια συζήτηση σχετικά με τους λόγους που οδήγησαν το ελληνικό κράτος σε μια τόσο δύσκολη κατάσταση και φυσικά, πολλοί είναι οι λόγιοι, πολιτικοί και δημοσιογράφοι οι οποίοι προσπαθούν να εξηγήσουν την κατάσταση. Πολλοί λόγοι, ως επί το πλείστον οι μακροοικονομικοί είναι αυτοί που έχουν προταθεί και έχουν γίνει ευρέως αποδεκτοί ότι παίζουν ένα ρόλο στο «ελληνικό δράμα», όμως, φαίνεται ότι η πολιτική θέση του προσώπου που προτείνει τους λόγους αυτούς, οριοθετείται από την πολιτική του θέση. Ωστόσο, από τις γνώσεις μας, σχεδόν όλοι στην Ελλάδα, ανεξάρτητα από την πολιτική άποψη του καθενός, συμφωνεί ότι ένας από τους κύριους λόγους που οδηγούν την Ελληνική Οικονομία (και φυσικά την Ελληνική Κοινωνία) σε μια τέτοια σκληρή θέση είναι η διαφθορά. Βέβαια, η έννοια της διαφθοράς είναι αρκετά γενική. Κάποιος μπορεί να αντιληφθεί πολλές διαφορετικές πτυχές της διεφθαρμένης συμπεριφοράς δεδομένου ότι εξ ορισμού "η διαφθορά είναι διαστροφή ή καταστροφή της ακεραιότητας κατά την άσκηση των δημοσίων καθηκόντων λόγω δωροδοκίας ή ιδίου οφέλους" (αγγλικό λεξικό της Οξφόρδης, 2010). Στον Granovetter, (2007) αναφέρεται ότι η πρόσφατη βιβλιογραφία κυριαρχείται από τις οικονομικές θεραπείες, που εστιάζουν στον εντοπισμό των δομών των κινήτρων που κάνουν τη διαφθορά συχνότερη και, για την εκτίμηση των επιπτώσεων της διαφθοράς στην οικονομική αποδοτικότητα. Τέτοια επιχειρήματα συνήθως πλαισιώνεται από την άποψη της θεωρίας του οργανισμού, όπου ένας διεφθαρμένος υπάλληλος είναι ένας παράγοντας που προδίδει το αφεντικό του που του έχει αναθέσει τις πιστωτικές του υποχρεώσεις. Σε αυτές τις θεραπείες, η σχέση μεταξύ υπαλλήλου και αφεντικού ορίζεται από το πώς είναι τοποθετημένα τα κίνητρα, και οι ρόλοι είναι δυσδιάκριτοι. Έχοντας κατά νου τη παραπάνω "σοφή" κατεύθυνση, έχω αποφασίσει να επικεντρωθώ σε έναν από τους μεγαλύτερους, πιο ιστορικούς και ίσως έναν από τους πιο σημαντικούς δημόσιους οργανισμούς στην Ελλάδα: τη Βουλή των Ελλήνων. Θα χρησιμοποιούν τεχνικές και εργαλεία από την Ανάλυση Κοινωνικών Δικτύων για να αναπαραστήσω ένα απλοϊκό μοντέλο του Ελληνικού Κοινοβουλίου, να υπολογιστούν ένα σύνολο από καθορισμένες μετρήσεις σε αυτό, να το συγκρίνουμε με άλλα δίκτυα Σελίδα 6

7 στη πραγματική ζωή και να συζητηθούν αυτά τα αποτελέσματα στο πλαίσιο του αν αυτή η δομή ευνοεί τη διαφθορά με οποιονδήποτε τρόπο. Η θεωρία δικτύων ή θεωρία της κοινωνικής ανάλυσης δικτύων είναι μια ώριμη θεωρία, η οποία μπορεί να βοηθήσει στην εξερεύνηση της φύσης των διασυνδεδεμένων ενοτήτων (Wassermann and Faust, 1994). Η θεωρία αυτή εμφανίστηκε για πρώτη φορά από τον Moreno (όπως σημειώνεται στον Scott, 2000), έναν ανθρωπολόγο, που στη συνέχεια σπούδασε Θεωρία Γραφημάτων, ένα παρακλάδι της καθαρής μαθηματικής θεωρίας που ξεκίνησε από τον Euler. Η Θεωρία Γραφημάτων έχει διαδραματίσει κεντρικό ρόλο στην Επιστήμη των Υπολογιστών από την σύγχρονη εισαγωγή του Harary το 1969 (Harary, 1969). Η ανάλυση κοινωνικών δικτύων υπήρξε ένα από τα πεδία της έρευνας με έκρηξη τα τελευταία χρόνια, παρέχοντας εκτενή βιβλιογραφία, τόσο σε βιβλία όσο και σε περιοδικά. Στην ανάλυση κοινωνικών δικτύων οι ιδέες και τα αποτελέσματα έχουν χρησιμοποιηθεί εκτενώς σε πολλές εφαρμογές και περιπτώσεις, που κυμαίνονται από τη δομική ανθρωπολογία μέχρι το μάρκετινγκ και τις τράπεζες και από τις ιογενείς λοιμώξεις έως τη κοινωνιολογία. Στις ενότητες που ακολουθούν οργανώνεται η παρουσίαση ως εξής: Στο κεφάλαιο 1, παρουσιάζεται η βασική ορολογία και οι δείκτες που χρησιμοποιούνται στην τοπολογική ανάλυση δικτύων. Στο κεφάλαιο 2 γίνεται μια γνωριμία με τη Pajek που θα μας βοηθήσει να πραγματοποιήσουμε τη μελέτη. Στο κεφάλαιο 4 θα παρουσιαστεί το δίκτυο που προέκυψε και γίνεται παρουσίαση των μετρήσεων μας για το δίκτυο αυτό, ενώ γίνεται και σύγκριση με άλλα πραγματικά ή τεχνητά δίκτυα και γίνεται ένας σχολιασμός των αριθμητικών αποτελεσμάτων μας. Μια τελική συζήτηση αλλά και τρόποι για να αντιστραφεί αυτή η κατάσταση αναφέρονται στην τελευταία ενότητα. Σελίδα 7

8 1. ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΔΙΚΤΥΩΝ Όλοι οι κοινωνιολόγοι θα συμφωνούσαν ότι η εξουσία είναι μια θεμελιώδης ιδιότητα των κοινωνικών δομών. Η ομοφωνία θα άρχιζε να εκλείπει σχετικά με το τι είναι η εξουσία, και πώς μπορούμε να περιγράψουμε και να αναλύσουμε τις αιτίες και τις συνέπειές της. Η μελέτη του δικτύου συνέβαλε στο να εξαχθούν μια σειρά από σημαντικές πληροφορίες σχετικά με την κοινωνική δύναμη. Ίσως το πιο σημαντικό, η προσέγγιση του δικτύου τονίζει ότι η εξουσία είναι εγγενώς σχεσιακή. Η εξουσία που έχει ένα άτομο δεν είναι κάτι γενικό αλλά, είναι η δύναμη που έχει και μπορεί να κυριαρχήσει πάνω στους άλλους. Επειδή η δύναμη είναι μια συνέπεια των μοντέλων των σχέσεων, το ποσό της ενέργειας στις κοινωνικές δομές μπορεί να ποικίλει. Εάν ένα σύστημα είναι πολύ χαλαρά συνδεδεμένο (χαμηλής πυκνότητας) δεν μπορεί να ασκείται πολύ δύναμη, αντίθετα, σε συστήματα υψηλής πυκνότητας, υπάρχει η δυνατότητα να ασκηθεί μεγαλύτερη δύναμη. Το ποσό της ενέργειας σε ένα σύστημα και το πώς αυτή κατανέμεται είναι παράγοντες που σχετίζονται. Δύο συστήματα μπορούν να έχουν την ίδια ποσότητα ενέργειας, αλλά μπορεί να είναι ισόποσα κατανεμημένη στο ένα και άνισα κατανεμημένη στο άλλο. Η δύναμη στα κοινωνικά δίκτυα μπορεί να περιγράφει τις σχέσεις μεταξύ των φορέων είτε να περιγράφει το σύνολο του πληθυσμού. Αυτό σχετίζεται με το είδος της μελέτης του δικτύου, δηλαδή αν η μελέτη είναι μικροσκοπική ή μακροσκοπική. Οι αναλυτές δικτύων περιγράφουν συχνά τον τρόπο που ένας παράγοντας του δικτύου είναι ενσωματωμένος σε ένα σχεσιακό δίκτυο είτε ως ένα τρόπο για την επιβολή περιορισμών στον παράγοντα αυτόν είτε ότι του προσφέρονται ευκαιρίες. Παράγοντες που αντιμετωπίζουν λιγότερους περιορισμούς, και έχουν περισσότερες ευκαιρίες από ό,τι άλλοι είναι σε ευνοϊκές διαρθρωτικές θέσεις. Έχοντας μια ευνοημένη θέση σημαίνει ότι ένας παράγοντας μπορεί να εξάγει καλύτερες ευκαιρίες σε ανταλλαγές, να έχει μεγαλύτερη επιρροή, και ότι ο παράγοντας αυτός θα είναι το επίκεντρο για σεβασμό και προσοχή από αυτούς που βρίσκονται σε λιγότερο ευνοημένες θέσεις. Σελίδα 8

9 1.1. Βασικοί Όροι Δικτύων Παρακάτω θα γίνει μία παρουσίαση κάποιων βασικών εννοιών που είναι απαραίτητη η εμπέδωσή τους για την κατανόηση των βημάτων που έγιναν για τη πραγματοποίηση της μελέτης. Δίκτυο (Network) Δίκτυα υπάρχουν πάρα πολλά στη καθημερινότητά μας με διάφορες μορφές γύρω μας. Για να μπορέσουμε να μελετήσουμε καλύτερα ένα δίκτυο και να εξάγουμε χρήσιμες πληροφορίες πρέπει να το οπτικοποιήσουμε. Τοπολογία δικτύου ονομάζεται η μορφή της σύνδεσης μεταξύ των κόμβων ενός δικτύου. Οι τοπολογίες είναι είτε φυσικές είτε λογικές. Όπως και σε άλλους τομείς, έτσι και στα δίκτυα, χρησιμοποιούμε ένα κλάδο των μαθηματικών που ονομάζεται θεωρία γραφημάτων για να αποσαφηνίσουμε κάποιες έννοιες. Η ανάλυση των κοινωνικών δικτύων παρέχει τη μεθοδολογία για την ανάλυση των κοινωνικών σχέσεων. Τα περισσότερα χαρακτηριστικά των δικτύων που αναφέρονται πιο κάτω προέρχονται από τη θεωρία των γραφημάτων. Ένα δίκτυο αποτελείται από ένα γράφημα και πρόσθετες πληροφορίες σχετικά με τις κορυφές και τις γραμμές του γραφήματος που αποτελούν και τις κύριες συνιστώσες του. Θα πρέπει να σημειώσουμε ότι οι πρόσθετες πληροφορίες είναι άσχετες με τη δομή του δικτύου επειδή η δομή εξαρτάται από το μοτίβο των δεσμών. Για να κατανοήσουμε τις προσεγγίσεις ότι η ανάλυση του δικτύου χρησιμοποιείται για να μελετηθεί η εξουσία, είναι χρήσιμο πρώτα να γνωρίσουμε μερικά πολύ απλά συστήματα. Τα τρία κυριότερα είδη τοπολογιών είναι η τοπολογία αστέρα (Εικόνα 1.1), η τοπολογία αρτηρίας (Εικόνα 1.2) και η τοπολογία δακτυλίου (Εικόνα 1.3). Σελίδα 9

10 Εικόνα 1.1: Η τοπολογία αστέρα Εικόνα 1.2: Η τοπολογία αρτηρίας Εικόνα 1.3: Η τοπολογία δακτυλίου Παρακάτω γίνεται μια εισαγωγή για τρεις πολύ βασικές έννοιες, σχετικές με τις ιδιότητες ενός δικτύου, που θα μας απασχολήσουν και στη μελέτη. Αυτές είναι η έννοια του βαθμού, της εγγύτητας και της ενδιαμεσότητας. Βαθμός: Στη τοπολογία αστέρα, ο παράγοντας Α έχει περισσότερες ευκαιρίες και εναλλακτικές λύσεις από άλλους φορείς. Εάν ο παράγοντας D επιλέξει να μην παρέχει στον Α με έναν πόρο, ο Α έχει την ευκαιρία να το πάρει από άλλους φορείς. Ωστόσο, αν ο D επιλέγει να μην ανταλλάξει με τον Α, τότε ο D δεν θα είναι σε θέση να ανταλλάξει με κανέναν. Άρα όσο περισσότερες συνδέσεις έχει ένας παράγοντας τόσο περισσότερη είναι η δύναμη που μπορεί να έχει. Στη τοπολογία αστέρα, ο παράγοντας Α έχει βαθμό έξι και όλοι οι άλλοι φορείς έχουν βαθμό ένα. Αυτή η Σελίδα 10

11 λογική διέπει τα μέτρα της κεντρικότητας και της δύναμης με βάση το βαθμό του παράγοντα. Οι παράγοντες που έχουν περισσότερες συνδέσεις έχουν περισσότερες ευκαιρίες, επειδή έχουν επιλογές. Αυτή η αυτονομία τούς καθιστά λιγότερο εξαρτημένους όσον αφορά τους άλλους παράγοντες, και ως εκ τούτου, πιο ισχυρούς. Στη τοπολογία του δακτυλίου, όσον αφορά το βαθμό, κάθε παράγοντας έχει ακριβώς τον ίδιο αριθμό εναλλακτικών παραγόντων (ή βαθμό), έτσι ώστε όλες οι θέσεις να είναι εξίσου σε πλεονεκτική ή μειονεκτική θέση. Στη τοπολογία αρτηρίας, τα πράγματα είναι λίγο πιο περίπλοκα. Οι παράγοντες στο τέλος της αρτηρίας (A και F) είναι στην πραγματικότητα σε διαρθρωτικό μειονέκτημα, αλλά όλα τα άλλα είναι προφανώς ίσα (στην πραγματικότητα, δεν είναι τόσο απλό). Γενικά, όμως, οι παράγοντες που είναι πιο κεντρικά ως προς τη δομή, με την έννοια ότι έχουν υψηλότερο βαθμό ή περισσότερες συνδέσεις, τείνουν να έχουν πλεονεκτικές θέσεις, και επομένως μεγαλύτερη δύναμη. Εγγύτητα: Ο δεύτερος λόγος για τον οποίο ένας παράγοντας είναι πιο ισχυρός απ τους άλλους παράγοντες στη τοπολογία αστέρα είναι ότι ο παράγοντας Α είναι πιο κοντά στους άλλους παράγοντες από ό,τι οποιοσδήποτε άλλος παράγοντας. Η δύναμη μπορεί να ασκείται από τις άμεσες διαπραγματεύσεις και ανταλλαγές. Αλλά η δύναμη προέρχεται επίσης και από το να ενεργείς ως "σημείο αναφοράς", με βάση το οποίο οι άλλοι παράγοντες κρίνονται οι ίδιοι, και με το να είναι το κέντρο της προσοχής και των οποίων οι απόψεις γίνονται αποδεκτές από μεγαλύτερο αριθμό παραγόντων. Παράγοντες που είναι σε θέση να φθάσουν άλλους παράγοντες σε μικρότερα μήκη διαδρομής, ή που είναι πιο προσβάσιμοι από άλλους παράγοντες σε μικρότερο μήκος διαδρομής βρίσκονται σε ευνοϊκή θέση. Αυτό το διαρθρωτικό πλεονέκτημα μπορεί να μεταφραστεί σε ισχύ. Στη τοπολογία αστέρα, ο παράγοντας Α είναι σε μια γεωδαισιακή απόσταση του ενός από όλους τους άλλους παράγοντες ενώ ο καθένας απ τους άλλους παράγοντες βρίσκεται σε μια γεωδαισιακή απόσταση δύο από όλους τους άλλους παράγοντες (συμπεριλαμβανομένου του Α). Αυτή η λογική του διαρθρωτικού πλεονεκτήματος αποτελεί τη βάση της έμφασης που δίνεται στη διανομή της εγγύτητας και της απόστασης ως μία πηγή ενέργειας. Στη τοπολογία δακτυλίου όσον αφορά την εγγύτητα των παραγόντων. Κάθε παράγοντας βρίσκεται σε διαφορετικά μήκη διαδρομής από τους άλλους παράγοντες, Σελίδα 11

12 αλλά όλοι οι παράγοντες έχουν τις ίδιες κατανομές της εγγύτητας, και πάλι φαίνεται να είναι ίση όσον αφορά τις διαρθρωτικές θέσεις τους. Στη τοπολογία της αρτηρίας, ο μεσαίος παράγοντας (D) είναι πλησιέστερα στους άλλους παράγοντες από ότι το σύνολο C, E, το σύνολο Β, F, και το σύνολο A,G. Και πάλι, οι παράγοντες στα άκρα της αρτηρίας, βρίσκονται σε μειονεκτική θέση. Ενδιαμεσότητα: Ο τρίτος λόγος για τον οποίο ο παράγοντας Α είναι σε πλεονεκτική θέση στη τοπολογία αστέρα είναι επειδή ο παράγοντας Α είναι μεταξύ των άλλων παραγόντων, καθώς κανείς άλλος παράγοντας δεν βρίσκεται μεταξύ του Α και των άλλων φορέων. Αν ο Α θέλει να επικοινωνήσει με τον F, τότε ο A μπορεί απλά να το πράξει. Αν ο F θέλει να έρθει σε επαφή με τον Β, θα πρέπει να το πράξουν μέσω του Α. Αυτό δίνει στον παράγοντα Α την ικανότητα να διακόπτει τις επαφές μεταξύ των άλλων παραγόντων - να μπορεί να απομονώσει τους παράγοντες του δικτύου ή να αποτρέπει την επαφή τους. Άρα λοιπόν η τρίτη πτυχή μιας δομικά πλεονεκτικής θέσης είναι να είναι μεταξύ άλλων παραγόντων. Στη τοπολογία δακτυλίου, κάθε παράγοντας βρίσκεται μεταξύ των άλλων ζευγαριών παραγόντων. Στην πραγματικότητα, υπάρχουν δύο «οδοί» που συνδέουν το κάθε ζεύγος των παραγόντων, και κάθε τρίτος παράγοντας βρίσκεται σε ένα τέτοιο ζεύγος. Και πάλι, όλοι οι παράγοντες είναι εξίσου σε πλεονεκτική ή μειονεκτική θέση. Στη τοπολογία αρτηρίας, τα τελικά σημεία μας (A,F) δεν βρίσκονται μεταξύ των άλλων ζευγαριών, και δεν έχουν καμία δύναμη όσον αφορά το να διακόπτουν την επικοινωνία μεταξύ των υπολοίπων παραγόντων. Οι παράγοντες που είναι πιο κοντά στη μέση της αλυσίδας βρίσκονται σε περισσότερες «οδούς» μεταξύ των ζευγαριών, και είναι και πάλι σε μία ευνοούμενη θέση. Οι αναλυτές δικτύων είναι πιο πιθανό να περιγράψουν τις προσεγγίσεις τους ως περιγραφές της κεντρικότητας παρά της δύναμης. Κάθε μία από τις τρεις προσεγγίσεις (βαθμός, εγγύτητα, ενδιαμεσότητα) περιγράφουν τις θέσεις των ατόμων όσον αφορά το πόσο κοντά είναι στο «κέντρο της δράσης» σε ένα δίκτυο - αν και οι ορισμοί για το τι σημαίνει να είναι στο κέντρο διαφέρουν. Είναι πιο σωστό να Σελίδα 12

13 περιγράφουμε τις προσεγγίσεις του δικτύου με αυτόν τον τρόπο δηλαδή με τα μέτρα της κεντρικότητας από ό,τι με τα μέτρα της εξουσίας. Αλλά, όπως έχουμε συζητήσει εδώ, υπάρχουν πολλοί λόγοι για τους οποίους οι κεντρικές θέσεις τείνουν να είναι ισχυρές θέσεις. Περισσότερος λόγος σχετικά με αυτές τις τρεις έννοιες και τα πολύ σημαντικά στοιχεία που μας δίνουν αναφέρονται στο κεφάλαιο της κεντρικότητας. Κόμβοι (Nodes) Τα στοιχεία ενός δικτύου ορίζονται από φορείς (ή «κόμβους») και από σχέσεις που φανερώνονται από τις συνδέσεις μεταξύ των κόμβων. Άρα λοιπόν, οι κόμβοι του γράφου αναπαριστούν τους δράστες του δικτύου, δηλαδή, τα άτομα μιας ομάδας που με τη δράση τους έρχονται σε διάφορες σχέσεις μεταξύ τους. Το τμήμα των δεδομένων του δικτύου των κόμβων ή φορέων είναι αρκετά σημαντικό και αυτό γιατί τα δεδομένα που αναπαριστούν οι κόμβοι αποτελούν κυρίως το υποκείμενο της μελέτης. Η ανάλυση του δικτυού επικεντρώνεται στις σχέσεις μεταξύ των φορέων, και όχι των μεμονωμένων φορέων και των ιδιοτήτων τους. Αυτό σημαίνει ότι οι φορείς δεν είναι συνήθως ανεξάρτητα δείγματα, όπως σε πολλά άλλα είδη μελετών (κυρίως σε έρευνες). Αν υποθέσουμε ότι μελετάμε δεσμούς φιλίας, για παράδειγμα, με το Δημήτρη να έχει επιλεγεί να είναι το δείγμα μας. Όταν τον ρωτάμε, ο Δημήτρης αναφέρει επτά φίλους. Πρέπει να εντοπίσουμε κάθε έναν από αυτούς τους επτά φίλους και να ζητήσουμε και από αυτούς να μας πουν για τους δικούς τους δεσμούς φιλίας. Οι επτά φίλοι είναι στο δείγμα μας, για το Δημήτρη (και αντιστρόφως), τα «δείγμα του στοιχεία" και αποτελούν τους φορείς αυτού του δικτύου. Οι κόμβοι ή φορείς που περιλαμβάνονται σε μελέτες που δεν μας δίνουν κάποιο δίκτυο είναι το αποτέλεσμα ανεξάρτητων, τυχαίων δειγματοληψιών. Στις μελέτες δικτύων είναι πολύ πιο πιθανό να περιλαμβάνονται όλοι τις φορείς που εμφανίζονται με βάση κάποιο φυσικό συνήθως όριο. Συχνά σε μελέτες δικτύων δεν χρησιμοποιείται "δείγμα" σε όλα, τουλάχιστον με τη συμβατική έννοια του όρου. Σελίδα 13

14 Αντίθετα, προτιμάται να περιλαμβάνεται το σύνολο των φορέων σε κάποιο πληθυσμό. Φυσικά, οι πληθυσμοί που περιλαμβάνονται σε μία μελέτη δικτύου μπορεί να είναι ένα δείγμα από κάποιο μεγαλύτερο σύνολο πληθυσμών. Για παράδειγμα, όταν μελετάμε πρότυπα αλληλεπίδρασης μεταξύ των μαθητών σε αίθουσες διδασκαλίας, θα συμπεριλάβουμε όλα τα παιδιά από μια τάξη (δηλαδή, μελετούμε το σύνολο του πληθυσμού της τάξης). Η ίδια τάξη, όμως, μπορεί να έχουν επιλεγεί με μεθόδους πιθανοτήτων από το σύνολο των αιθουσών διδασκαλίας (δηλαδή από ολόκληρο το σχολείο). Η χρήση του συνόλου του πληθυσμού, ως τρόπου για την εξαγωγή συμπερασμάτων και παρατηρήσεων σε πολλές από τις μελέτες δικτύων καθιστά σημαντικό για τον αναλυτή να είναι σαφή τα όρια του κάθε πληθυσμού που πρέπει να μελετηθεί, και πως οι μεμονωμένες μονάδες παρατήρησης πρέπει να επιλέγονται εντός του εν λόγω πληθυσμού. Στη συγκεκριμένη μελέτη τους κόμβους του δικτύου θα αποτελέσουν οι Βουλευτές. Τόξα (Arcs) Για να μελετήσουμε καλύτερα ένα δίκτυο απαιτείται η δημιουργία ενός γράφου που θα αναπαριστά το εν λόγο δίκτυο. Σύμφωνα με τους κανόνες που ακολουθούνται για να γίνει αυτό, οι συνδέσεις μεταξύ ζευγαριών κόμβων απεικονίζουν ποια ζευγάρια δραστών κάνουν κάτι από κοινού ή έχουν κάποιο είδος σχέσης μεταξύ τους. Οι συνδέσεις αυτές μπορεί να είναι κατευθυνόμενες ή μη κατευθυνόμενες. Το τόξο είναι μια κατευθυνόμενη γραμμή. Στο παράδειγμα με το Δημήτρη και τους επτά φίλους του που δόθηκε πιο πάνω τα τόξα αποτελούν τους δεσμούς φιλίας μεταξύ των φίλων. Στη μελέτη αυτή τα τόξα στο δίκτυό μας θα είναι η ένδειξη πως οι Βουλευτές (οι κόμβοι που θα συνδέουν) υπηρέτησαν το κοινοβούλιο κατά το ίδιο χρονικό διάστημα. Σελίδα 14

15 Αναπαράσταση (Visualization) Το ανθρώπινο μάτι έχει εκπαιδευτεί στην αναγνώριση προτύπων. Ως εκ τούτου, η απεικόνιση των δικτύων βοηθάει να εντοπιστούν και να παρουσιαστούν τα σχέδια των δεσμών. Στα βιβλία σχετικά με τη θεωρία των γραφημάτων, οι απεικονίσεις χρησιμοποιούνται για να απεικονίσουν τις έννοιες και τις αποδείξεις αυτών. Οι απεικονίσεις διευκολύνουν στη καλύτερη κατανόηση των εννοιών του δικτύου, γι αυτό και χρησιμοποιούνται συχνά. Τα μάτια μας όμως μπορούν να ξεγελαστούν εύκολα. Ένα δίκτυο μπορεί να γίνει με πολλούς τρόπους, και κάθε σχέδιο τονίζει διαφορετικά δομικά χαρακτηριστικά. Επομένως, ο αναλυτής θα πρέπει να βασίζεται στη συστηματικές και όχι τις ad hoc αρχές για τη σχεδίαση του δικτύου. Σε γενικές γραμμές, θα πρέπει να χρησιμοποιούνται αυτόματες διαδικασίες, οι οποίες παράγουν μια βέλτιστη διάταξη του δικτύου, όταν θέλουμε να εξερευνήσουν δομή του δικτύου. Στη συνέχεια, θα μπορούσαμε να επεξεργαστούμε χειροκίνητα την αυτόματα διάταξη, αν θέλουμε να το παρουσιάσουμε. Θα πρέπει ωστόσο να τηρούνται μερικές βασικές αρχές της σχεδίασης του δικτύου. Η σημαντικότερη αρχή είναι ότι η απόσταση μεταξύ των κορυφών πρέπει να εκφράζει τη δύναμη ή τον αριθμό των δεσμών τους όσο το δυνατόν περισσότερο. Σε ένα χάρτη, η απόσταση μεταξύ των πόλεων σχετίζεται με τη γεωγραφική απόσταση τους. Σε ψυχολογικά διαγράμματα, η χωρική εγγύτητα των αντικειμένων εκφράζει συνήθως την αντιληπτή ομοιότητα. Επειδή η ανάλυση των κοινωνικών δικτύων επικεντρώνεται στις σχέσεις, σε ένα σχέδιο θα πρέπει να τοποθετούνται οι κορυφές σύμφωνα και με τους δεσμούς τους: οι κορυφές που συνδέονται θα πρέπει να γίνονται πλησιέστερα μεταξύ τους σε σχέση με τις κορυφές που δεν σχετίζονται. Ένα καλό σχέδιο ελαχιστοποιεί την διακύμανση του μήκους των γραμμών. Στη περίπτωση των γραμμών με άνισες τιμές, το μήκος της γραμμής θα πρέπει να είναι ανάλογο της αξίας που αντιπροσωπεύει. Η αναγνωσιμότητα ενός σχεδίου δημιουργεί πρόσθετες απαιτήσεις, τα οποία είναι γνωστά ως «αισθητική σχεδίασης γραφήματος». Οι κορυφές ή οι γραμμές δεν θα πρέπει να γίνονται πάρα πολύ στενές, και το να υπάρχουν μικρές γωνίες ανάμεσα στις Σελίδα 15

16 γραμμές που προσπίπτουν με η ίδια κορυφή θα πρέπει να αποφεύγεται. Οι κορυφές δεν θα πρέπει να συντάσσονται με γραμμές που δεν συνδέουν αυτό το κορυφή με άλλες κορυφές. Ο αριθμός των διασχιζουσών γραμμών θα πρέπει να ελαχιστοποιείται, επειδή το μάτι τείνει να δει τις διασταυρώσεις ως κορυφές. Συνιστώσες (Components) Οι κορυφές με βαθμό ένα ή υψηλότερο είναι συνδεδεμένες με τουλάχιστον ένα γείτονα, οπότε δεν είναι απομονωμένες. Ωστόσο, αυτό δεν σημαίνει ότι αναγκαστικά συνδέονται σε μία ενιαία ομάδα. Μερικές φορές, το δίκτυο χωρίζεται σε κομμάτια. Απομονωμένα τμήματα του δικτύου μπορεί να θεωρηθούν ως συνεκτικές υποομάδες γιατί οι κορυφές μέσα σε αυτό το τμήμα συνδέονται, ενώ κορυφές σε διαφορετικά τμήματα όχι. Το δίκτυο των επισκέψεων στην Attiro δεν είναι εντελώς συνδεδεμένο (βλέπε Εικόνα 1.4). Παρακάτω θα προσδιοριστούν το συνδεδεμένα τμήματα ενός δικτύου, τα οποία ονομάζονται συνιστώσες, αλλά πρέπει να παρουσιαστούν κάποιες βοηθητικές έννοιες των γραφημάτων πρώτα. Εικόνα 1.4: Οι επισκέψεις στην Attiro. Είναι εμφανές (από το παράδειγμα της εικόνας 1.5) ότι ορισμένες κορυφές συνδέονται με άλλες κορυφές, ενώ άλλες δεν είναι για παράδειγμα, η κορυφή v2 δεν Σελίδα 16

17 γειτονεύει με καμία άλλη κορυφή, αλλά οι άλλες τέσσερις κορυφές έχουν ένα ή περισσότερους γείτονες. Αν υποθέσουμε ότι τα τόξα είναι δρόμοι, μπορούμε να πάμε από την κορυφή v5 στην v3 και, χωρίς να λάβουμε υπόψη την κατεύθυνση των τόξων, μπορούμε να προχωρήσουμε από την κορυφή v3 στην v1. Λέμε ότι υπάρχει ένας «ημιπερίπατος» από την κορυφή v5 προς την κορυφή v1. Από την κορυφή v2 όμως δεν μπορούμε να πάμε πουθενά. Εικόνα 1.5: Ένα απλό μη συνδεδεμένο κατευθυνόμενο δίκτυο. Ένας «ημιπερίπατος» από την κορυφή u στην κορυφή v είναι μια σειρά από γραμμές, και για τη κορυφή στην οποία τελειώνει η μία γραμμή είναι η αρχική κορυφή της επόμενης γραμμής και η ακολουθία αρχίζει από την κορυφή u και καταλήγει στη κορυφή ν. Ένας «περίπατος» είναι ένας «ημιπερίπατος» με την πρόσθετη προϋπόθεση ότι καμία από τις γραμμές της δεν είναι τόξο του οποίου η κορυφή του τέλους είναι ουρά του τόξου. Αν φανταστούμε ότι τα τόξα αντιπροσωπεύουν μονόδρομους, τότε πρέπει να λαμβάνεται υπόψη η κατεύθυνση των τόξων. Τώρα, μπορούμε να πάμε από την κορυφή v5 προς την κορυφή v3 αλλά δεν μπορούμε να καταλήξουμε σε κορυφή v1. Στη θεωρία γραφημάτων, μπορούμε να πούμε ότι υπάρχει «περίπατος» από την κορυφή v5 στην v3, αλλά δεν υπάρχει «απόσταση» από την κορυφή v1 προς την v5. Σε έναν «περίπατο» θα πρέπει να ακολουθηθεί η κατεύθυνση των τόξων. Οι «περίπατοι» και οι «ημιπερίπατοι» είναι σημαντικές έννοιες, αλλά χρειαζόμαστε μια άλλη έννοια που να καθορίσει αν ένα δίκτυο είναι συνδεδεμένο. Πρέπει να σημειωθεί ότι υπάρχουν πολλοί - στην πραγματικότητα, απείρως πολλοί «περίπατοι» από την κορυφή v5 προς τη v3 στο παράδειγμα, όπως για παράδειγμα η v5 v3 v4 v5 v3 που είναι επίσης ένας «περίπατος» και μπορεί να επαναληφθεί η κυκλική διαδρομή v5 v3 v4 v5 όσες φορές μας αρέσει. Σαφέστατα, δεν Σελίδα 17

18 χρειαζόμαστε αυτές τις επαναλήψεις για να καταλάβουμε ποιές κορυφές συνδέονται, γι αυτό χρησιμοποιούμε μια πιο περιορισμένη έννοια των μονοπατιών και των ημιμονοπατιών, οι οποίες απαιτούν κάθε κορυφή στον «περίπατο» ή στον ημιπερίπατο εμφανίζεται μόνο μία φορά, αν και η αρχική κορυφή μπορεί να είναι η ίδια με τη κορυφή τέλους. Στο παράδειγμα, ο «περίπατος» v5 v3 είναι ένα μονοπάτι αλλά ο «περίπατος» v5 v3 v4 v5 v3 δεν είναι, και αυτό γιατί οι κορυφές v5 και v3 εμφανίζονται δύο φορές. Ένα μονοπάτι είναι πιο αποτελεσματικό από ό,τι ένας «περίπατος» γιατί δεν περνά μέσω ενός κόμβου περισσότερο από μία φορά. Ένα ημιμονοπάτι είναι ένας ημιπερίπατος στο οποίο καμία κορυφή μεταξύ της πρώτης και τελευταίας κορυφής του ημιπεριπάτου δεν εμφανίζεται περισσότερο από μία φορά. Ένα μονοπάτι είναι ένας περίπατος στον οποίο καμία κορυφή μεταξύ της πρώτης και τελευταίας κορυφής του περιπάτου να εμφανίζεται περισσότερο από μία φορά. Τώρα μπορούμε εύκολα να ορίσουμε τις απαιτήσεις ενός δικτύου οι οποίες πρέπει να πληρούνται για να είναι συνδεδεμένο. Ένα δίκτυο είναι ασθενώς συνδεδεμένο - συχνά απλά λέμε συνδεδεμένο - αν όλες οι κορυφές συνδέονται με ένα ημιμονοπάτι. Σε ένα ασθενώς συνδεδεμένο δίκτυο, μπορούμε να "πάμε" από κάθε κορυφή σε όλες τις άλλες κορυφές, αν παραμελήσουμε τη κατεύθυνση σε περίπτωση που υπάρχουν. Το παράδειγμα της Εικόνας 1.5 δεν είναι συνδεδεμένο, επειδή η κορυφή v2 είναι απομονωμένη: δεν περιλαμβάνεται σε οποιοδήποτε ημιμονοπάτι προς τις άλλες κορυφές. Στα κατευθυνόμενα δίκτυα, υπάρχει ένας δεύτερος τύπος σύνδεσης: ένα δίκτυο είναι ισχυρά συνδεδεμένο αν κάθε ζεύγος κορυφών συνδέεται με ένα μονοπάτι. Σε ένα άρρηκτα συνδεδεμένο δίκτυο, μπορούμε να πάμε από κάθε κορυφή σε οποιαδήποτε άλλη κορυφή υπακούοντας την κατεύθυνση των τόξων. Η ισχυρή συνεκτικότητα είναι πιο περιορισμένη από την αδύναμη συνεκτικότητα καθώς, κάθε ισχυρά συνδεδεμένο δίκτυο είναι ταυτόχρονα ασθενώς συνδεδεμένο αλλά ένα ασθενώς συνδεδεμένο δίκτυο δεν είναι κατ 'ανάγκη ισχυρά συνδεδεμένη. Ένα δίκτυο είναι ασθενώς συνδεδεμένο αν κάθε ζεύγος κορυφών συνδέεται από ένα ημιμονοπάτι. Ένα δίκτυο είναι ισχυρά συνδεδεμένο αν κάθε ζεύγος κορυφών συνδέεται από ένα μονοπάτι. Σελίδα 18

19 Παρόλο που το δίκτυο του παραδείγματος μας, δεν είναι συνδεδεμένο ως σύνολο, μπορούμε να προσδιορίσουμε τα μέρη που είναι συνδεδεμένα, για παράδειγμα, οι κορυφές v1, v3, v4 και v5 συνδέονται. Σε σύγκριση με την απομονωμένη κορυφή v2, οι κορυφές αυτές είναι σχετικά σφιχτά συνδεδεμένες, και έτσι μπορούμε να πούμε ότι αποτελούν μια συνεκτική ομάδα. Αν η σχέση αντιπροσωπεύει κανάλια επικοινωνίας, όλες οι κορυφές εκτός από την κορυφή v2 μπορούν να ανταλλάσσουν πληροφορίες. Οι κορυφές v1, v3, v4 και v5 αποτελούν μία αδύναμη συνιστώσα, επειδή είναι συνδεδεμένες με ημιμονοπάτια και δεν υπάρχει άλλη κορυφή στο δίκτυο η οποία να είναι επίσης συνδεδεμένη με αυτά με ένα ημιμονοπάτι. Επισήμως, λέμε ότι μία αδύναμη συνιστώσα είναι ένα μέγιστο, ασθενώς συνδεδεμένο υποδίκτυο. Ένα υποδίκτυο αποτελείται από ένα υποσύνολο των κορυφών του δικτύου και όλες τις γραμμές μεταξύ αυτών των κορυφών. Η λέξη μέγιστο σημαίνει ότι καμιά άλλη κορυφή δεν μπορεί να προστεθεί στο υποδίκτυο χωρίς να καταστρέφει το χαρακτηριστικό της, στην περίπτωση αυτή τη συνεκτικότητα. Αν μπορούσαμε να προσθέσουμε μόνο την απομείνασα κορυφή ( v2) το υποδίκτυο δεν είναι πλέον συνδεδεμένο. Από την άλλη πλευρά, αν μπορούσαμε να παραλείψουμε οποιαδήποτε από τις κορυφές v1, v3, v4, ή v5, το υποδίκτυο δεν είναι μία συνιστώσα, διότι δεν είναι μέγιστο δηλαδή δεν περιλαμβάνει όλες τις συνδεδεμένες κορυφές. Επίσης, μπορούμε να ορίσουμε μια ισχυρή συνιστώσα, η οποία είναι ένα μέγιστο, άρρηκτα συνδεδεμένο υποδίκτυο. Το δίκτυο του παραδείγματος περιέχει τρεις ισχυρές συνιστώσες. Η μεγαλύτερη ισχυρή συνιστώσα αποτελείται από τις κορυφές v3, v4 και v5, οι οποίες συνδέονται με τα μονοπάτια σε αμφότερες τις κατευθύνσεις. Επιπλέον, υπάρχουν δύο ισχυρές συνιστώσες που αποτελούνται από ένα κόμβο το καθένα, δηλαδή τη κορυφή ν1 και ν2. Η κορυφή v2 είναι απομονωμένη και υπάρχουν μόνο μονοπάτια από την κορυφή v1 αλλά κανένα μονοπάτι προς αυτή τη κορυφή, και έτσι δεν είναι έντονα συνδεδεμένη με οποιαδήποτε άλλη κορυφή. Είναι ασύμμετρα συνδεδεμένη με τη μεγαλύτερη, ισχυρή συνιστώσα. Σε γενικές γραμμές, οι δεσμοί μεταξύ των ισχυρών συνιστωσών είναι είτε ασύμμετρες ή δεν υπάρχουν. Μία αδύναμη συνιστώσα είναι ένα μέγιστο, ασθενώς συνδεδεμένο υποδίκτυο. Μια ισχυρή συνιστώσα είναι ένα ισχυρά συνδεδεμένο μέγιστο υποδίκτυο. Σελίδα 19

20 Σε ένα μη κατευθυνόμενο δίκτυο, οι γραμμές δεν έχουν καμία κατεύθυνση, και έτσι κάθε ημιπερίπατος είναι επίσης ένας περίπατος και κάθε ημιμονοπάτι είναι επίσης ένα μονοπάτι. Κατά συνέπεια, υπάρχει μόνον ένας τύπος σύνδεσης, ο οποίος είναι ισοδύναμος με την ασθενή συνεκτικότητα στα κατευθυνόμενα δίκτυα, και ένα τύπο συνιστώσας. Σε ένα μη κατευθυνόμενο δίκτυο, οι συνιστώσες είναι απομονωμένες η μία από την άλλη, και δεν υπάρχουν γραμμές μεταξύ των κορυφών των διαφόρων συνιστωσών. Αυτό είναι παρόμοιο με τις αδύναμες συνιστώσες στα κατευθυνόμενα δίκτυα. Εικόνα 1.6: Το δίκτυο επισκέψεων στην Attiro. Οι ισχυρές συνιστώσες οριοθετούνται από ένα περίγραμμα. Σε ένα κατευθυνόμενο δίκτυο, θα πρέπει να κοιτάξουμε για ισχυρές ή αδύναμες συνιστώσες. Η επιλογή εξαρτάται από ουσιαστικούς και πρακτικούς λόγους. Οι ουσιαστικοί λόγοι αφορούν τη σημασία που αποδίδεται στην κατεύθυνση μιας σχέσης: έχει σημασία σε κοινωνικές διαδικασίες εάν ο φορέας Α μετατρέπεται σε φορέας Β, και ο φορέας Β μετατρέπεται σε φορέας Α. Αν εξετάζεται η ροή της επικοινωνίας, πιθανώς δεν έχει σημασία ποιος ξεκινά μια επαφή. Για παράδειγμα στο δίκτυο επισκέψεων στην Attiro εάν η οικογένειά f98 επισκέπτεται και τις δύο οικογένειες - f11 και f99 - (Εικόνα 1.6, αριστερά), μπορεί να ενημερώσει την οικογένεια f11 για την οικογένεια f99 και τους άλλους τριγύρω. Οι οικογένειες f11 και f99 μπορεί να ανταλλάσσουν πληροφορίες, αν και δεν υπάρχει μονοπάτι μεταξύ Σελίδα 20

21 τους. Σε αυτή την περίπτωση, η κατεύθυνση της σχέσης είναι εντελώς ασήμαντη και οι αδύναμες συνιστώσες είναι προτιμότερες. Αν τα επί της ουσίας επιχειρήματα είναι αμφίβολα, ο αριθμός και το μέγεθος των συνιστωσών μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να επιλέξουμε μεταξύ των ισχυρών και των αδύναμων συνιστωσών. Πρέπει να υπενθυμίζουμε εδώ ότι οι ισχυρές συνιστώσες είναι πιο αυστηρές απ ότι οι αδύναμες συνιστώσες, πράγμα που σημαίνει ότι οι ισχυρές συνιστώσες συνήθως είναι μικρότερες από τις αδύναμες συνιστώσες. Είναι μια καλή στρατηγική να βρίσκουμε τις αδύναμες συνιστώσες πρώτα. Η Εικόνα 1.6 δείχνει τις ισχυρές συνιστώσες στο δίκτυο των επισκέψεων. Κάθε ισχυρή συνιστώσα με περισσότερες από μία κορυφές οριοθετείται από ένα περίγραμμα. Κάθε κορυφή έξω από τα περιγράμματα είναι μια ισχυρή συνιστώσα από μόνη της (π.χ. οι οικογένειες f67 και f59). Η αρχική κατάταξη σύμφωνα με τις ομάδες των οικογενειακών φιλιών εκπροσωπείται από τα χρώματα των κορυφή και από τους αριθμούς μέσα στις κορυφές. Βλέπουμε ότι η μεγάλη ασθενής συνιστώσα είναι χωρισμένη σε πολλές μικρές ισχυρές συνιστώσες, μερικές από τις κατά προσέγγιση φιλίες των οικογενειακών ομάδων. Οι συνιστώσες μπορούν να διαιρεθούν περαιτέρω σε πυκνότερα τμήματα με την εξέταση του αριθμός των διακριτικών, δηλαδή τα μη διασταυρωμένα μονοπάτια ή ημιμονοπάτια που συνδέουν τις κορυφές. Μέσα σε μια αδύναμη συνιστώσα, ένα ημιμονοπάτι μεταξύ του κάθε ζεύγους κορυφών αρκεί, αλλά πρέπει να υπάρχουν τουλάχιστον δύο διαφορετικά ημιμονοπάτια σε μία ημισυνιστώσα. Μία αδύναμη συνιστώσα, για παράδειγμα, είναι 1-συνδεδεμένη συνιστώσα και μία 2-συνδεδεμένη συνιστώσα. Μερικές φορές, οι πολύ μικρές συνιστώσες δεν είναι ενδιαφέρουσες, για παράδειγμα, οι απομονωμένες κορυφές, οι οποίες υπολογίζονται ως ξεχωριστές συνιστώσες εάν το ελάχιστο μέγεθος των συνιστωσών ορίζεται σε 1 κορυφή. Αν θέλουμε μπορούμε να αυξήσουμε τον αριθμό αυτό για να τους αποκλείσουμε από τις μετρήσεις που θα είχαμε. Οι ασθενείς συνιστώσες σε ένα κατευθυνόμενο δίκτυο είναι ίσες με τις συνιστώσες στο αντίστοιχο συμμετρικό του δίκτυο. Συνεπώς, δεν είναι αναγκαίο να μετατρέψουμε σε συμμετρικό ένα κατευθυνόμενο δίκτυο όταν θέλουμε να ξέρουμε τις συνιστώσες του. Σελίδα 21

22 Μονοπάτια (Paths) Τα μονοπάτια και οι κύκλοι είναι θεμελιώδεις έννοιες της θεωρίας γραφημάτων, στις εισαγωγικές ενότητες των περισσότερων κειμένων θεωρίας γραφημάτων. Στη θεωρία γραφημάτων, ένα μονοπάτι σε ένα γράφημα είναι μία αλληλουχία κορυφών, κατά την οποία από κάθε κορυφή υπάρχει ένα άκρο προς την επόμενη, στην αλληλουχία, κορυφή. Ένα μονοπάτι μπορεί να είναι άπειρο, αλλά ένα πεπερασμένο μονοπάτι έχει πάντα μια πρώτη κορυφή, που ονομάζεται κορυφή έναρξης, και μια τελευταία κορυφή, που ονομάζεται κορυφή τέλους. Και οι δύο αυτές ονομάζονται άκρα ή τερματικές κορυφές του μονοπατιού. Οι άλλες κορυφές στην πορεία είναι εσωτερικές κορυφές. Ένας κύκλος είναι ένα μονοπάτι κατά το οποίο η αρχική κορυφή και η κορυφή τέλους είναι ίδιες. Σημειώστε ότι η επιλογή της αρχικής κορυφής σε ένα κύκλο είναι αυθαίρετη. Εικόνα 1.7: Ένας κατευθυνόμενος Διαφορετικοί τύποι μονοπατιών κύκλος. Χωρίς τα βέλη είναι ένας απλός κύκλος. Αυτός όμως δεν είναι ένας Οι ίδιες αρχές ισχύουν και για μη απλός κύκλος αφού οι μπλε κορυφές χρησιμοποιούνται δύο φορές. κατευθυνόμενα γραφήματα και για κατευθυνόμενα γραφήματα, με τις ακμές να κατευθύνονται από τη μία κορυφή προς την επόμενη. Συχνά στην περίπτωση κατευθυνόμενων δικτύων χρησιμοποιούνται οι όροι κατευθυνόμενο μονοπάτι και κατευθυνόμενος κύκλος. Ένα μονοπάτι χωρίς επαναλαμβανόμενες κορυφές ονομάζεται απλό μονοπάτι, και ένας κύκλος χωρίς επαναλαμβανόμενες κορυφές ή ακμές εκτός από την απαραίτητη επανάληψη της κορυφής έναρξης και λήξης είναι ένας απλός κύκλος. Στη σύγχρονη θεωρία γραφημάτων, συχνά ο όρος «απλό» υπονοείται, δηλαδή, στο κύκλο σημαίνει «απλός κύκλος» και στο «μονοπάτι» σημαίνει «απλό μονοπάτι», αλλά αυτή η σύμβαση δεν τηρείται πάντοτε, ειδικά στην εφαρμοσμένη θεωρία γραφημάτων. Μερικοί συγγραφείς (όπως π.χ. οι Bondy και Murty (1976)) χρησιμοποιούν τον όρο «περίπατος» για ένα μονοπάτι στο οποίο οι κορυφές ή οι άκρες μπορεί να Σελίδα 22

23 επαναληφθούν, και διατηρείται ο όρος μονοπάτι για ό,τι εδώ ονομάζεται απλό μονοπάτι. Ένα μονοπάτι στο οποίο καμία ακμή του γράφου δεν συνδέει δύο μη συνεχόμενες κορυφές μονοπατιών λέγεται περιλαμβανόμενο μονοπάτι. Ένας απλός κύκλος που περιλαμβάνει κάθε κορυφή του γράφου, χωρίς επανάληψη, είναι γνωστός ως κύκλος του Hamilton. Ένας κύκλος με μία μόνο ακμή να έχει αφαιρεθεί στο αντίστοιχο ζευγνύον δένδρο του αρχικού γράφου είναι γνωστό ως Θεμελιώδης κύκλος. Δύο μονοπάτια είναι ανεξάρτητα εφόσον δεν έχουν καμία εσωτερική κορυφή τους κοινή. Το μήκος ενός μονοπατιού είναι ο αριθμός των ακμών που το μονοπάτι χρησιμοποιεί, μετρώντας πολλαπλές ακμές πολλές φορές. Το μήκος μπορεί να είναι μηδέν στην περίπτωση μίας μονής κορυφής. Ένα σταθμισμένο γράφημα σχετίζει μια τιμή (βάρος) με κάθε ακμή στο γράφημα. Το βάρος ενός μονοπατιού σε ένα σταθμισμένο γράφημα είναι το άθροισμα των βαρών των διασχιζουσών ακμών. Μερικές φορές οι λέξεις κόστος ή μήκος χρησιμοποιούνται αντί του βάρους. Κύκλος (Cycle) Στη θεωρία γραφημάτων, ο όρος του κύκλου μπορεί να αναφέρεται σε πολλά συγγενή αντικείμενα. Μια κλειστή διαδρομή, με δυνατότητα επαναλαμβανόμενες κορυφές. Αυτή η χρήση είναι πιο συχνή στην επιστήμη των υπολογιστών. Στη θεωρία γραφημάτων συχνά ονομάζεται κλειστή διαδρομή. Ένα κλειστό απλό μονοπάτι, στο οποίο δεν επαναλαμβάνονται άλλες κορυφές ή ακμές, εκτός από τις κορυφές έναρξης και λήξης. (Αυτό χρήση είναι συχνή στη θεωρία των γραφημάτων). Αυτό μπορεί επίσης να ονομάζεται απλός κύκλος, κύκλωμα, κύκλος, ή πολύγωνο. Μια κλειστή κατευθυνόμενη διαδρομή, με δυνατότητα επαναλαμβανόμενων κορυφών. Η χρήση αυτή είναι κοινή στην επιστήμη των υπολογιστών. Στη θεωρία των γραφημάτων ονομάζεται πιο συχνά κλειστή κατευθυνόμενη διαδρομή. Σελίδα 23

24 Μία κλειστή κατευθυνόμενη διαδρομή, χωρίς επαναλαμβανόμενες κορυφές εκτός από τις κορυφές έναρξης και λήξης. Η χρήση αυτή είναι κοινή στη θεωρία των γραφημάτων. Αυτό μπορεί επίσης να ονομαστεί απλός κατευθυνόμενος κύκλος. Το σύνολο των άκρων ενός μη κατευθυνόμενου κλειστού μονοπατιού χωρίς επαναλαμβανόμενες κορυφές ή ακμές. Αυτό μπορεί επίσης να ονομάζεται κύκλωμα, κύκλος, ή πολύγωνο. Ένα στοιχείο του δυαδικού ή πραγματικού διαστήματος του κύκλου ενός γραφήματος. Αυτό είναι η χρήση που βρίσκεται πλησιέστερα στα υπόλοιπα μαθηματικά, ιδίως στην Αλγεβρική Τοπολογία. Ένας τέτοιος κύκλος μπορεί να ονομαστεί δυαδικός κύκλος, αναπόσπαστος κύκλος, κλπ. Ένα σύνολο ακμών το οποίο έχει ζυγό βαθμό σε κάθε κορυφή, ονομάζεται επίσης ζυγό σετ ακμών ή, όταν υπολογίζεται μαζί με τις κορυφές, ένα ζυγό υπογράφημα. Αυτό είναι ισοδύναμο με ένα δυαδικό κύκλο, δεδομένου ότι ένας τέτοιος κύκλος είναι δείκτης δυαδικής συνάρτησης ενός σετ ακμών αυτού του τύπου. Κλίκες (Cliques) Η ιδέα της κλίκας είναι σχετικά απλή. Σε γενικότερο επίπεδο, μια κλίκα είναι ένα υποσύνολο ενός δικτύου στο οποίο οι κόμβοι είναι πιο στενά συνδεδεμένοι και έντονοι μεταξύ τους από ό, τι σε άλλα μέλη του δικτύου. Όσον αφορά τους δεσμούς φιλίας, για παράδειγμα, δεν είναι ασυνήθιστο στους ανθρώπους σε διάφορες ομάδες ανθρώπων να σχηματίζουν «κλίκες» με βάση την ηλικία, το φύλο, τη φυλή, την εθνικότητα, τη θρησκεία, την ιδεολογία, και πολλά άλλα πράγματα. Οι μικρότερες «κλίκες» αποτελούνται από δύο παράγοντες: η δυάδα. Αλλά οι δυάδες μπορούν να επεκταθούν και να γίνουν απεριόριστες σχηματίζοντας ισχυρές ή στενά συνδεδεμένες περιοχές σε γραφήματα. Αν θέλουμε να χωρίσουμε ένα μεγάλο k-πυρήνα σε υποομάδες, χρειαζόμαστε ένα αυστηρότερο ορισμό της συνεκτικής υποομάδας. Εδώ θα γίνει παρουσίαση των Σελίδα 24

25 αυστηρότερων δομικών μορφών μιας συνεκτικής υποομάδας, η οποία ονομάζεται κλίκα: ένα σύνολο από κορυφές στο οποίο κάθε κόμβος συνδέεται απευθείας με όλες τις άλλες κορυφές. Τυπικά, μια κλίκα είναι ο μέγιστος αριθμός των φορέων που έχουν όλες τις πιθανές σχέσεις μεταξύ τους. Το να μπορεί κάθε μέλος μιας κλίκας να συνδεθεί με κάθε άλλο μέλος είναι ένας πολύ ισχυρός ορισμός του τι εννοούμε με τον όρο ομάδα. Μια κλίκα είναι ένα μέγιστο πλήρες υποδίκτυο που περιέχει τρεις κορυφές ή περισσότερες. Το μέγεθος μιας κλίκας είναι ο αριθμός των κορυφών σε αυτό. Μέγιστα πλήρη υποδίκτυα μεγέθους 1 και 2 υπάρχουν, αλλά δεν είναι πολύ ενδιαφέροντα, διότι είναι μονές κορυφές και ακμές ή τόξα διπλής κατεύθυνσης, αντίστοιχα. Ως εκ τούτου, οι κλίκες πρέπει να περιλαμβάνει τουλάχιστον τρεις κορυφές. Δυστυχώς, είναι πολύ δύσκολο να εντοπιστούν κλίκες σε μεγάλα δίκτυα: η υπολογιστική μέθοδος είναι πολύ χρονοβόρα και ακόμα και μεσαίου μεγέθους δίκτυα μπορεί να περιέχουν ένα τεράστιο αριθμό κλικών. Η Εικόνα 1.8 δείχνει μία πλήρη μη κατευθυνόμενη και μία κατευθυνόμενη τριάδα καθώς και παράδειγμα ενός δικτύου που περιέχει αρκετές πλήρεις τριάδες. Πρέπει να σημειωθεί ότι η πλήρη τριάδα με κορυφές v1, v5 και v6 είναι μια κλίκα διότι δεν μπορούμε να προσθέσουμε άλλη κορυφή από το δίκτυο σε αυτό το υποδίκτυο εφόσον αυτό έχει ολοκληρωθεί. Αυτό το υποδίκτυο είναι μέγιστο σε σχέση με την πληρότητα. Σε αντίθεση με τη τριάδα v2, v4, v5 που δεν είναι μια κλίκα, διότι μπορούμε να προσθέσουμε τη κορυφή v3 και το υποδίκτυο να είναι ακόμη πλήρες. Οι κορυφές v2 έως v5 αποτελούν μια κλίκα μεγέθους 4 η οποία ταυτόχρονα αποτελείται από τέσσερις πλήρεις τριάδες. Εικόνα 1.8: Η ολοκληρωμένη τριάδα και ένα παράδειγμα. Σελίδα 25

26 Η Εικόνα 1.8 δείχνει ένα πολύ σημαντικό χαρακτηριστικό των κλικών και των ολοκληρωμένων υποδικτύων, δηλαδή ότι μπορούν να επικαλύπτονται. Η πλήρης τριάδα v1, v5, v6 συμπίπτει με την πλήρη τριάδα v2, v4, v5, επειδή μοιράζονται τη κορυφή v5. Κατά συνέπεια, είναι αδύνατο να εκχωρήσουμε όλες τις κορυφές σε μια κλίκα ή ένα ολοκληρωμένο υποδίκτυο. Δεν μπορούμε να εξισώσουμε κάθε κλίκα ή κάθε ολοκληρωμένο υποδίκτυο με μία συνεκτική υποομάδα και αυτό αποτελεί μια σοβαρή επιπλοκή αν θέλουμε να ταξινομήσουμε τις κορυφές σε συνεκτικές υποομάδες. Στην ανάλυση των κοινωνικών δικτύων, οι δομές των επικαλυπτόμενων κλικών, οι οποίες θεωρείται ότι αντιπροσωπεύουν κοινωνικούς κύκλους και όχι μεμονωμένες κλίκες, θεωρούνται ως συνεκτικές υποομάδες. Οι κλίκες ή οι πλήρεις τριάδες είναι το πυκνότερο τμήμα ή "τα οστά" του δικτύου, έτσι, η δομή της επικαλυπτόμενης κλίκας θεωρείται ο «σκελετός» του. Μερικές φορές, επιβάλλονται πρόσθετοι όροι για την επικάλυψη των κλικών (π.χ. ένας ελάχιστος αριθμός ή ποσοστό των κορυφών το οποίο δύο κλίκες πρέπει να μοιράζονται. Σελίδα 26

27 Πυρήνες (Cores) Η κατανομή του βαθμού αποκαλύπτει τοπικές συγκεντρώσεις δεσμών γύρω από μεμονωμένες κορυφές, αλλά αυτό δεν μας λέει αν οι κορυφές με υψηλό βαθμό είναι συγκεντρωμένες ή διάσπαρτες σε όλο το δίκτυο. Χρησιμοποιώντας το βαθμό μπορούμε να εντοπίσουμε τις ομάδες κορυφών που συνδέονται στενά, διότι κάθε κορυφή έχει ένα συγκεκριμένο ελάχιστο βαθμό μέσα στη συστάδα. Δεν προσέχουμε το βαθμό ενός κόμβου, αλλά το βαθμό όλων των κορυφών εντός ενός συμπλέγματος. Αυτά τα συμπλέγματα που ονομάζεται k-πυρήνες και το k δείχνει τον ελάχιστο βαθμό κάθε κορυφής εντός του πυρήνα: για παράδειγμα, ένας 2-πυρήνας περιέχει όλα κορυφές που συνδέονται με βαθμό δύο ή περισσότερο με άλλες κορυφές εντός του πυρήνα. Ένας k-πυρήνας προσδιορίζει σχετικά πυκνά υποδίκτυα, έτσι ώστε να βοηθήσει στο να βρούμε συνεκτικές υποομάδες. Όπως φαίνεται, ωστόσο, ένας k- πυρήνα δεν είναι απαραίτητα μια συνεκτική υποομάδα ο ίδιος. Ουσιαστικά, ένας k-πυρήνας είναι ένα μέγιστο υποδίκτυο στο οποίο κάθε κορυφή έχει τουλάχιστον βαθμό k εντός του υποδικτύου. Ο ορισμός βέβαια του k-πυρήνα είναι πιο περίπλοκος από ό,τι μπορούμε να σκεφτούμε. Είναι πιο εύκολο να το εξηγήσουμε αν αυτό ισχύει για ένα απλό μη-κατευθυνόμενο δίκτυο και, σύμφωνα με το κανόνα, μπορούμε να το εφαρμόσουμε μόνο σε αυτό το είδος δικτύου. Σε ένα απλό μη κατευθυνόμενο δίκτυο, ο βαθμός μιας κορυφής είναι ίσος με τον αριθμό των γειτόνων της, έτσι, ένας k-πυρήνας περιέχει τις κορυφές που έχουν τουλάχιστον k γείτονες εντός του πυρήνα. Άρα, ένας 2-πυρήνας, αποτελείται από όλες τις κορυφές που είναι συνδεδεμένες σε τουλάχιστον δύο άλλες κορυφές εντός του πυρήνα. Στον ορισμό, η λέξη μέγιστο σημαίνει ότι μας ενδιαφέρει το μεγαλύτερο σύνολο των κορυφών που ικανοποιούν την απαιτούμενη ιδιότητα, στην περίπτωση αυτή έναν ελάχιστο αριθμό k γειτόνων εντός του πυρήνα. Εικόνα 1.9: k-πυρήνες Σελίδα 27

28 Η έννοια των κατώτερων k-πυρήνων μπορεί να απεικονισθεί από το απλό παράδειγμα της Εικόνας 1.9. Αυτό το μικρό δίκτυο είναι συνδεδεμένο, και έτσι και οι δέκα κορυφές συνδέονται με τουλάχιστον έναν άλλο κόμβο. Σαν αποτέλεσμα, όλες οι κορυφές ανήκουν στον 1-πυρήνα, που απεικονίζεται με το μαύρο στο κάτω μέρος της Εικόνας Μια κορυφή, η v5, έχει μόνο ένα γείτονα, και έτσι δεν είναι μέρος του 2-πυρήνα που απεικονίζεται με το γκρι στη μέση της Εικόνας H κορυφή v6 έχει βαθμό 2 και έτσι δεν ανήκει στον 3-πυρήνα που απεικονίζεται με το λευκό στην κορυφή της Εικόνας Αυτό που πρέπει να επισημάνουμε είναι ότι μία κορυφή σε ένα 3-πυρήνα είναι επίσης μέρος ενός 2-πυρήνα, αλλά δεν είναι απαραίτητο όλα τα μέλη ενός 2-πυρήνα να ανήκουν σε ένα 3-πυρήνα. Εικόνα 1.10: Διάκριση σε 3,2 και 1 πυρήνες. Το παράδειγμα αυτό απεικονίζει άλλο ένα χαρακτηριστικό των k-πυρήνων, δηλαδή ότι ένας k-πυρήνας δεν πρέπει απαραίτητα να συνδέεται. Ως αποτέλεσμα της ένθεσης, διαφορετικών συνεκτικών υποομάδων μέσα σε ένα k-πυρήνα, συνήθως συνδέονται με κορυφές που ανήκουν σε χαμηλότερους πυρήνες. Στην Εικόνα 1.10, η κορυφή v6, η οποία αποτελεί μέρος του 2-πυρήνα, συνδέει τα δύο τμήματα του 3- πυρήνα. Αν αφαιρέσουμε τις κορυφές που ανήκουν σε πυρήνες κάτω από τον 3- πυρήνα, παίρνουμε ένα δίκτυο που αποτελείται από δύο συνιστώσες, οι οποίες προσδιορίζουν τις συνεκτικές υποομάδες του 3-πυρήνα. Παρακάτω περιγράφεται ο τρόπος που βοηθούν οι k-πυρήνες στον εντοπισμό των συνεκτικών υποομάδων (Εικόνα 1.10): αφαιρώντας τους χαμηλότερους k-πυρήνες από το δίκτυο μέχρι το δίκτυο να διασπαστεί σε σχετικές πυκνές συνιστώσες. Στη συνέχεια, κάθε συνιστώσα θεωρείται ότι είναι μια συνεκτική υποομάδα, επειδή έχει τουλάχιστον k γείτονες εντός της συνιστώσας. Στα πολύ μεγάλα δίκτυα, αυτός είναι Σελίδα 28

29 ένας αποτελεσματικός τρόπος για την εύρεση της συνεκτικής υποομάδας. Στο δίκτυο του Attiro ωστόσο, η στρατηγική αυτή δεν λειτουργεί επειδή δεν υπάρχουν καθόλου μη συνδεδεμένοι k-πυρήνες. Η αφαίρεση των κατώτερων k-πυρήνων δεν χωρίζει το δίκτυο σε ξεχωριστές συνιστώσες. Σελίδα 29

30 Πυκνότητα (Density) Ένας απλός τρόπος για να συγκρίνουμε τα κοινωνικά δίκτυα είναι να δούμε σε πόση μεγάλη έκταση αλληλοσυνδέονται οι κόμβοι τους, δηλαδή, να μετρήσουμε τον αριθμό των συνδέσεων ανάμεσα στους κόμβους. Γενικώς, από την άποψη αυτή, ένα δίκτυο μπορεί να κυμαίνεται μεταξύ δυο άκρων. Στο ένα άκρο έχουμε το πλήρως συνδεδεμένο δίκτυο, στο οποίο όλοι οι κόμβοι συνδέονται με όλους τους κόμβους, και στο άλλο άκρο έχουμε το πλήρως απομονωμένο δίκτυο, στο οποίο κάθε κόμβος είναι απομονωμένος, δηλαδή, δεν έχει καμία σύνδεση. Ας υποθέσουμε ότι έχουμε ένα δίκτυο αποτελούμενο από N κόμβους. Αν ήταν πλήρες, θα είχαμε συνολικά Ν(Ν-1)/2 συνδέσεις, που φυσικά αποτελούν το μέγιστο πιθανό αριθμό ζευγαριών που συνδέονται στο δίκτυο αυτό. Η πυκνότητα ρ ενός δικτύου ορίζεται σαν το πηλίκο του συνολικού αριθμού των συνδέσεων που υπάρχουν με το μέγιστο αριθμό των συνδέσεων που μπορούν να υπάρξουν: όπου σ είναι ο συνολικός αριθμός των συνδέσεων που υπάρχουν στο δίκτυο αυτό. Έτσι, για παράδειγμα, αν το δίκτυο είναι πλήρως συνδεδεμένο, η πυκνότητά του είναι 1, ενώ σ ένα δίκτυο στο οποίο εμφανίζεται μόνο το μισό πλήθος όλων των πιθανών συνδέσεών του, τότε η πυκνότητα είναι 0,5. Σελίδα 30

31 Κεντρικότητα (Centrality) Η έννοια της κεντρικότητας αποτελεί μια από τις παλαιότερες έννοιες στην ανάλυση του δικτύου. Ορισμένα παραδείγματα από τη καθημερινότητα που μας βοηθούν να αντιληφθούμε καλύτερα τη κεντρικότητα είναι τα εξής: κεντρικότητα είναι η διαδικασία με την οποία οι δραστηριότητες ενός οργανισμού, ιδίως εκείνων που αφορούν τον προγραμματισμό λήψης αποφάσεων, συγκεντρώνονται σε ένα συγκεκριμένο τόπο ή σε μια ομάδα ενώ, Στην πολιτική επιστήμη, αυτό αναφέρεται στη συγκέντρωση της εξουσίας μιας κυβέρνησης, τόσο γεωγραφικά όσο και πολιτικά, σε μια κεντρική κυβέρνηση. Στην ανάλυση δικτύων χρησιμοποιούμε τον όρο κεντρικότητα για να αναφερθούμε σε θέσεις των επιμέρους κορυφών στο πλαίσιο του δικτύου, εκτιμώντας ότι χρησιμοποιούμε την κεντρικότητα για να χαρακτηρίσουμε ένα ολόκληρο δίκτυο. Ένα δίκτυο είναι άκρως συγκεντρωτικό εάν υπάρχει ένα σαφές όριο ανάμεσα στο κέντρο και την περιφέρεια. Σε ένα ιδιαίτερα συγκεντρωτικό δίκτυο, οι πληροφορίες απλώνονται εύκολα, αλλά το κέντρο είναι απαραίτητο για τη διαβίβαση των πληροφοριών. Το ερώτημα που θέλουμε να εξετάσουμε τώρα και να δούμε πώς το απαντά η θεωρία των κοινωνικών δικτύων είναι το εξής: Αν έχουμε ένα δίκτυο, στο οποίο οι δράστες (κόμβοι) συνδέονται με διάφορους τρόπους μεταξύ τους, πώς μπορεί να συσχετισθούν οι συνδέσεις των δραστών αφενός με τη σημαντικότητα του ρόλου που παίζουν στο δίκτυο κι αφετέρου με την αίσθησή τους ότι συμμετέχουν σημαντικά στο δίκτυο; Η απάντηση στο ερώτημα αυτό που δίνεται από τη θεωρία των κοινωνικών δικτύων είναι ότι πρέπει να ληφθεί υπόψη η θέση του ατόμου στο δίκτυο, δηλαδή, να εξετασθεί σε κατά πόσο καλή θέση βρίσκεται ένα άτομο ως προς τις επικοινωνιακές και αλληλεπιδραστικές δυνατότητές του με τα άλλα άτομα του δικτύου. Έτσι, θα λέγαμε ότι τα κεντρικά άτομα σ ένα δίκτυο επικοινωνίας είναι εκείνα που βρίσκονται σε τέτοιες θέσεις, που τους επιτρέπουν να διατηρούν επαφές με άλλα (σημαντικά ή πολλά) άτομα στο δίκτυο (Freeman, (1979), Wasserman & Faust, (1994)). Εξαιτίας της θέσης τους, τα κεντρικά άτομα ίσως νιώθουν περισσότερο ότι συμμετέχουν στο δικτύου. Στην άλλη άκρη της κλίμακας είναι τα μη κεντρικά, τα (σχετικώς) απομονωμένα άτομα. Ένα εντελώς απομονωμένο άτομο δεν έχει Σελίδα 31