Στατιστική περιγραφή τουπεδίουβαρύτητας

Transcript

1 Στατιστική περιγραφή τουπεδίουβαρύτητας

2 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΟΥ ΠΕ ΙΟΥ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ Οι ανωµαλίες της βαρύτητας σε παγκόσµια κλίµακα θεωρούνται στατιστικά µεγέθη µε µέση τιµή µηδέν Τα στατιστικά χαρακτηριστικά των ανωµαλιών βαρύτητας είναι ανεξάρτητα από τη θέση και τη διεύθυνση Ανεξάρτητα από τη θέση: ιδιότητα της οµογένειας ανεξάρτητα από τη διεύθυνση: ιδιότητα της ισοτροπίας Η συνάρτηση συµµεταβλητότητας (ΣΣ) περιγράφει τα στατιστικά χαρακτηριστικά του πεδίου βαρύτητας (covarace fucto) Η ΣΣ περιγράφει τη στατιστική συµπεριφορά του πεδίου βαρύτητας που χαρακτηρίζεται από την τάση να έχουν οι τιµές της ανωµαλίας της βαρύτητας και j στα σηµεία Ρ και j το ίδιο περίπου µέτρο και το ίδιο περίπου πρόσηµο, όταν η απόσταση µεταξύ των σηµείων είναι µικρή Η τάση αυτή εξασθενίζει ή και αντιστρέφεται, όταν η απόσταση µεταξύ των σηµείων µεγαλώνει cov ( g, j, ψ ) Μ{ j} ψ Μ τελεστής του µέσου όρου και ψ σφαιρική απόσταση στη µοναδιαία σφαίρα (R)

3 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΟΥ ΠΕ ΙΟΥ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ Για ψ0 έχουµε τη µεταβλητότητα σ ( ) M { } g Οι ιδιότητες οµογένειας και ισοτροπίας δεν ισχύουν στην πραγµατικότητα Σε τοπικές/περιφερειακές περιφερειακές εφαρµογές οι ΣΣ υπολογίζονται λαµβάνοντας υπόψη τα στατιστικά χαρακτηριστικά της περιοχής µελέτης Εµπειρικές συναρτήσεις συµµεταβλητότητας µεταβλητότητα εµπειρική συνάρτηση συµµεταβλητότητας για τον ελληνικό χώροαπό περίπου 7500 σηµειακές τιµές

4 ΑΝΑΛΥΤΙΚΕΣ ΕΚΦΡΑΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΥΜΜΕΤΑΒΛΗΤΟΤΗΤΑΣ cov Συνάρτηση συµµεταβλητότητας ανωµαλιών βαρύτητας ( ),, ψ σ ( ) ( cosψ ) j R rr j + συντελεστές µεταβλητότητας πεδίου βαρύτητας πολυώνυµα Legedre αρµονικές συναρτήσεις Νόµος µετάδοσης συµµεταβλητότητας (covarace propagato) Συναρτήσεις διασυµµεταβλητότητας (cross-covarace covarace fuctos) cov + ( ) ( ) R R σ N,, ψ j γ rr j ( cosψ )

5 ΠΡΟΓΝΩΣΗ ΣΤΟ ΠΕ ΙΟ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ Μαθηµατική έκφραση του προβλήµατος πρόγνωσης (,, ) g, F g ~ Γραµµική πρόγνωση (lear predcto) a + a + + a a Σφάλµα πρόγνωσης ε ~

6 ΜΕΣΟ ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΟ ΣΦΑΛΜΑ ΠΡΟΓΝΩΣΗΣ Σφάλµα πρόγνωσης στο σηµείο Ρ ε ( g ) a g + aa Μέσος όρος σφάλµατος πρόγνωσης στο τετράγωνο M j j j { ε } M { } am { } + αa jm { j} Συµβολισµοί m j { } { ε, M }, M { } M{ } M, 0 j 0 + j j j m a aa j j

7 ΠΡΟΓΝΩΣΗ ΜΕ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ Προσδιορισµός συντελεστών α βέλτιστα αποτελέσµατα Η συνθήκη ελαχιστοποίησης συνεπάγεται m a + a (,,, ) j j a j j γραµµικό σύστηµα εξισώσεων µε αγνώστους αj Λύση συστήµατος a j j Πρόγνωση στο σηµείο Ρ ~ a j j j j j j

8 ΠΡΟΓΝΩΣΗ ΜΕ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ ( ) g g g g,,, ~ j j j m 0 ( ) m,,, 0

9 ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ- ΣΗΜΕΙΑΚΗ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ Εύρεση δυναµικού από τα συναρτησιακά του l L (T) Έστω το πρόβληµα τηςεκτίµησης στο σηµείο Ρ του διαταρακτικού δυναµικού Τ(Ρ) από τα στοιχεία l του διανύσµατος l των µετρήσεων, που αποτελείται από τιµές της ανωµαλίας της Βαρύτητας, τιµές των συνιστωσών της απόκλισης της κατακορύφου ξ, η κλπ Οι ποσότητες αυτές είναι δυνατό να παρασταθούν ως συναρτησιακά (factoals) του διαταρακτικού δυναµικού Τ µε τις κατάλληλες σχέσεις T γ g + γ Q E Q T ξ Mγ Q T φ η N cosφ γ Q T λ

10 ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ- ΣΗΜΕΙΑΚΗ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ Εύρεση δυναµικού από τα συναρτησιακά του l L (T) Συναρτήσεις συµµεταβλητότητας µεταξύ τιµών του δυναµικού και τιµών των δεδοµένων (συναρτησιακών του δυναµικού) ( T ( ) l ) M { T ( ) l } cov, cov, j ( l l ) M { l l } j j Γενικά ( l, l ) L ( cov( T, l ) L ( L ( K( Q) )) cov j j j, Νόµος µετάδοσης της συµµεταβλητότητας

11 ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ- ΣΗΜΕΙΑΚΗ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ Εύρεση δυναµικού από τα συναρτησιακά του l L ( T) Συναρτήσεις συµµεταβλητότητας µεταξύ τιµών του δυναµικού και τιµών των δεδοµένων (συναρτησιακών του δυναµικού) ~ T ( ) (,,, ) l l l

12 ΣΗΜΕΙΑΚΗ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ x AX + s + Εξίσωση Εξίσωση παρατήρησης x µέτρηση s σήµα θόρυβος ( µετρήσεις) ( σήµατα) ( θόρυβοι) X διάνυσµα m αγνώστων παραµέτρων Α πίνακας xm συνδέει τις παρατηρήσεις µε τις άγνωστες παραµέτρους

13 ΣΗΜΕΙΑΚΗ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ~ T s x AX s ( ) Βέλτιστη εκτίµηση σηµάτων ΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ + D πίνακας συµµεταβλητοτήτων σηµάτων D πίνακας συµµεταβλητοτήτων σφαλµάτων (πλήρης ή διαγώνιος συσχετισµένα ή ασυσχέτιστα σφάλµατα) ) ~ X ( T A A) T A x Βέλτιστη εκτίµηση αγνώστων παραµέτρων ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΑΚΡΙΒΕΙΕΣ m + h E s s xx ss T s T ( A ) A T s s h T s AE xx A T h s ss µεταβλητότητα σήµατος s

14 ΣΗΜΕΙΑΚΗ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ GEOOL (GEOdetc OLlocato) πρόγραµµα σηµειακής προσαρµογής σε Η/Υ (Fortra) Λογισµικό GRAVSOFT (επίλυση όλων των προβληµάτων που συνδέονται µε τη µέθοδο της σηµειακής προσαρµογής) Πλεονεκτήµατα σηµειακής προσαρµογής: Κατανοµή δεδοµένων τυχαία ή σε πλέγµα Πρόγνωση σε τυχαία σηµαία ή σε πλέγµα Αποτέλεσµα ανεξάρτητο από τον αριθµό των σηµείων πρόγνωσης εδοµένα και προσδιοριζόµενα σήµατα µπορεί να είναι ετερογενείς παρατηρήσεις Βέλτιστη λύση, ακριβέστερη από οποιαδήποτε άλλη γραµµική προσέγγιση Μειονέκτηµα σηµειακής προσαρµογής Απαιτείται επίλυση συστήµατος γραµµικών εξισώσεων µε αριθµό εξισώσεων ίσο µε µε τον αριθµό των αγνώστων Αντιµετώπιση του προβλήµατος Τεχνική «γρήγορης» σηµειακής προσαρµογής (fast collocato) Πεπερασµένες συναρτήσεις συµµεταβλητότητας (fte covarace fuctos) Θετικά ορισµένοι πίνακες, πίνακες µε πολλά µηδενικά (postve defte, sparse matrces)

15 ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΤΗΤΑΣ Συντελεστές µεταβλητότητας ανωµαλιών βαρύτητας σ ( ) { g M g } 4π σ g dσ αρµονικοί όροι g Συντελεστές µεταβλητότητας ανωµαλιών βαρύτητας από συναρτήσεις συµµεταβλητότητας σ + π ( ) cov(, j, ψ ) ( cosψ ) ψ 0 sψ dψ Συντελεστές µεταβλητότητας από γεωδυναµικά µοντέλα σ GM a ( ) ( ) ( + S ) R R m 0 m m

16 ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΤΗΤΑΣ Συντελεστές µεταβλητότητας υψοµέτρων του γεωειδούς σ ( N ) R ( ) γ σ ( ) Με ανάλογο τρόπο προκύπτουν συντελεστές µεταβλητότητας και για τις άλλες παραµέτρους του πεδίου βαρύτητας (αποκλίσεις κατακορύφου, διαταραχές βαρύτητας)

17 ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΤΗΤΑΣ Μοντέλα συντελεστών µεταβλητότητας Μοντέλο Tscherg και Rapp c ( ) A( ) ( )( + B) + s Α συντελεστής ( ms ) B ακέραιος s< συντελεστής σύγκλισης Σφαιρική εµπειρική συνάρτηση συµµεταβλητότητας ( ) 5 Α 458 x0 ms B 4 s

18 ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΤΗΤΑΣ συντελεστές µεταβλητότητας από γεωδυναµικό µοντέλο (GM98A) συντελεστές µεταβλητότητας από µοντέλο Tscherg-Rapp Οι συντελεστές µεταβλητότητας περιγράφουν τη φασµατική συµπεριφορά του πεδίου των ανωµαλιών βαρύτητας σε µήκος κύµατος / που αντιστοιχεί σε βαθµό του αναπτύγµατος του γεωδυναµικού εν είναι δυνατό να υπολογισθούν συντελεστές µεταβλητότητας µέχρι (ο βαθµός εξαρτάται πρακτικά από τη διακριτική ικανότητα των µετρήσεων)

19 ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΤΗΤΑΣ ιαδικασία υπολογισµού συντελεστών µεταβλητότητας (µοντέλο Tscherg/Rapp) c Υπολογίζεται η εµπειρική συνάρτηση συµµεταβλητότητας από τα διαθέσιµα δεδοµένα Γίνεται προσαρµογή του µοντέλου των συντ µεταβλητότητας c, ώστε οι συναρτήσεις συµµεταβλητότητας να προσεγγίζουν βέλτιστα τις εµπειρικές συναρτήσεις (απαιτείται επαναληπτική διαδικασία) Με τις παραµέτρους του µοντέλου των συντελεστών µεταβλητότητας υπολογίζεται η αναλυτική συνάρτηση συµµεταβλητότητας ανάµεσα σε οποιαδήποτε µεγέθη (δεδοµένα ή ζητούµενα)

20 ΕΦΑΡΜΟΓΗ Πρόγνωση ανωµαλίας βαρύτητας

21 ΕΦΑΡΜΟΓΗ

22 ΕΦΑΡΜΟΓΗ Εµπειρική συνάρτηση συµµεταβλητότητας στην περιοχή µελέτης

23 ΕΦΑΡΜΟΓΗ Προσαρµογή των εµπειρικών τιµών σε ένα εκθετικό µοντέλο (ελάχιστα τετράγωνα) ( ψ ) ae βψ ψ [ sφ sφ + cosφ cosφ ( cos λ cos λ s λ s λ )], j arccos j j j + j Από την προσαρµογή προκύπτουν

24 ΕΦΑΡΜΟΓΗ Τύποι Τύποι προσαρµογής προσαρµογής y y c y c y b / / l l y b c a l exp

25 ~ ΕΦΑΡΜΟΓΗ Αλγόριθµος πρόγνωσης T (, ) (, ) Για την πρόγνωση χρησιµοποιούνται 5 µετρήσεις που βρίσκονται στην πλησιέστερη απόσταση από το Ρ j Οι αποστάσεις για το διάνυσµα T ( g, ) Οι αποστάσεις για τον πίνακα πίνακα (, ) g g j

26 ~ ΕΦΑΡΜΟΓΗ T (, ) (, ) j Με τις αποστάσεις και το αναλυτικό µοντέλο της συνάρτησης συµµεταβλητότητας σχηµατίζονται το διάνυσµα και ο πίνακας συµµεταβλητοτήτων T ( ) ( ), ( ), j

27 Το διάνυσµα των µετρήσεων είναι ΕΦΑΡΜΟΓΗ g Ο αντίστροφος του πίνακα συµµεταβλητοτήτων είναι ( ), Τελικά η πρόγνωση στο σηµείο Ρ είναι ~ 5 503x0 ms